3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète

Mathématiques classe de Tale ES/L
ES/L – DST du 05.01.2016
Durée 3 h - Calculatrice autorisée - Encadrer les résultats – Il sera tenu compte du soin apporté à la copie.
Exercice 1. (30 min)
Voici la représentation graphique d’une fonction - définie et dérivable sur
00 ; 22 :
On considère la fonction 6 définie sur 00 ; 22 par 6 7 8 9 (ou 6(:) 7 8 9(;)).
1. a. Justifier que -(0) 7 0 puis que 6(0) 7 1.
b. Calculer 6(1) et 6(2).
2. a. Rappeler la formule qui donne la dérivée de la fonction 6. Comment en
déduit-on les variations de 6 en fonction des variations de - ?
b. Dresser le tableau de variations de 6.
3. On sait désormais que -(:) 7 2: ? : @ .
a. Calculer -A (0).
b. Calculer 6′(0).
c. La proposition suivante est-elle vraie ou fausse : « La tangente à la
courbe représentative de la fonction 6 au point d’abscisse 0 admet pour
équation D 7 2: » ? Justifier.
Exercice 2. (50 min)
Soit la fonction 6 définie et dérivable sur 00 ; F∞0 par 6(:) 7 : ? 1,5 F 8 I;JK .
Partie A :
1. a. Démontrer que pour tout : N 0, 6 A (:) 7 1 ? 8 I;JK .
b. Résoudre l’inéquation 1 ? 8 I;JK O 0.
c. En déduire le tableau de variations de 6.
2. a. Etudier la convexité de 6 sur 00 ; F∞0.
b. On admet qu’une équation de la tangente à la courbe représentative de 6 au point d’abscisse 2 est
D 7 0,63: ? 0,4.
Pourquoi peut-on affirmer que, pour tout : N 0 : : ? 1,5 F 8 I;JK N 0,63: ? 0,4 ?
Partie B :
Une entreprise fabrique un produit. Le coût total journalier de
fabrication d’un produit est donné par la fonction 6
précédente, où : est exprimé en tonnes et 6(:) est exprimé en
dizaines de milliers d’euros.
Une tonne de produit est vendue 6 500 €.
On appelle respectivement X(:) et Y(:) la recette et le bénéfice
journaliers, exprimés en dizaines de milliers d’euros,
engendrés par la production et la vente de : tonnes de produit.
1. a. Exprimer X(:) en fonction de :.
b. Démontrer que Y(:) 7 ?0,35: F 1,5 ? 8 I;JK.
2. Ci-contre l’étude effectuée par une calculatrice du
bénéfice de cette entreprise :
a. Donner au kilogramme près la quantité de produit procurant un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice
journalier maximal à l’euro près ?
b. Quelle est la plage de rentabilité de cette entreprise (c’est-à-dire l’intervalle sur lequel le bénéfice est positif) ?
3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en
compte dans l’évaluation.
Cette entreprise produit quotidiennement : tonnes de produit mais ne parvient à en vendre que 90 %.
a. Exprimer le nouveau bénéfice journalier _(:) en fonction de :.
b. Par lecture graphique sur la calculatrice donner, à l’euro près, le bénéfice maximal. A quelle production cela
correspond-il (on donnera la valeur au kilogramme près) ?
Exercice 3. (55 min)
Une boutique de textile vend des nappes et des lots de serviettes assorties.
Quand un client se présente, il achète au plus une nappe et un lot de serviettes.
La probabilité qu’un client achète une nappe est égale à 0,2 ;
La probabilité qu’il achète un lot de serviettes quand il a acheté une nappe est égale à 0,7 ;
La probabilité qu’il achète un lot de serviettes quand il n’a pas acheté de nappe est égale à 0,1.
On note a l’événement « le client achète une nappe ».
On note b l’événement « le client achète un lot de serviettes ».
1. a. Construire un arbre pondéré représentant cette situation.
b. Montrer que la probabilité de l’événement a ∩ b est égale à 0,14.
c. Calculer la probabilité de l’événement b.
d. Calculer la probabilité qu’un client achète au moins l’un des deux articles.
e. Calculer la probabilité qu’un client achète une nappe sachant qu’il a acheté les serviettes.
2. La nappe est vendue 125 euros et le lot de serviettes 45 euros.
a. Compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la dépense d d’un client :
ef
g(d 7 ef )
b. Donner l’espérance de cette loi et en donner une interprétation.
c. 100 clients rentrent dans la boutique.
Combien la boutique peut-elle espérer gagner ?
Exercice 4.
(40 min)
Dans un magasin de produits informatiques, 50 personnes ont acheté un produit et un seul dans les rayons suivants :
-
Matériel d’impression,
Logiciel,
Livre.
De plus :
-
20 % ont payé en argent liquide, les autres ayant payé par chèque ou carte,
la moitié de ceux qui ont payé par chèque ou carte ont acheté un logiciel,
aucun logiciel n’a été payé en argent liquide,
le nombre de personnes ayant acheté du matériel d’impression est égal à celui des personnes ayant acheté un
livre,
les 3/5 des personnes ayant acheté un livre ont payé en argent liquide.
1. Quel est le pourcentage de personnes ayant payé par chèque ou carte ? En déduire le nombre de ces personnes.
2. Expliquer comment on trouve que 15 personnes ont acheté un livre.
3. Compléter le tableau suivant :
Matériel
Total
Logiciel
Livre
d’impression
Chèque ou carte
Argent liquide
Total
50
4. Quel est le pourcentage de personnes ayant acheté un logiciel ?
5. On choisit au hasard une des 50 personnes, on considère les événements suivants :
i : « la personne a acheté du matériel d’impression » ;
_ : « la personne a payé en argent liquide ».
a. Calculer la probabilité des événements i et _.
b. Définir par un phrase l’événement i ∩ _, et calculer sa probabilité.
c. Calculer la probabilité de l’événement i ∪ _.
6. Quelle est la probabilité qu’une personne qui a acheté du matériel d’impression paie par chèque ou carte ?