Corrigé : Optimisation

Ld
2MR
Test formatif
Corrigé : Optimisation
Exercice 1
On propose à Monsieur Bolomey, propriétaire d’un terrain rectangulaire ABCD d’une longueur de 20
mètres et d’une largeur de 10 mètres, de modifier son terrain en retirant x mètres à la longueur et en
ajoutant x mètres à la largeur comme l’indiquent les figures ci-dessous.
A
B
B!
A
B
x
D
C
D
D!
C
x
C!
Il deviendrait alors propriétaire d’un nouveau terrain rectangulaire A’B’C’D’.
a) Préciser dans quel intervalle peut varier x, pour que la modification soit réalisable.
b) Montrer que l’aire du nouveau terrain en fonction de x est donnée par
f (x) = −x2 + 10x + 200
c) Déterminer la valeur de x pour laquelle l’aire du terrain est maximale.
Solution
a) x ∈ [0 ; 20[
b) nouvelle longueur : 20 − x
nouvelle largeur : 10 + x
Aire : A(x) = (20 − x)(10 + x) = −x2 + 10x + 200
A! (x) = −2x + 10
Zéro de A! : −2x + 10 = 0 ⇒ x = 5
c) Si x = 5, l’aire du terrain est maximale
x
5
−2x + 10 + 0 −
Exercice 2
Parmi tous les triangles rectangles d’hypoténuse donnée h, quel est celui dont le périmètre est le plus
grand ?
Quel est ce périmètre maximal ?
Solution
√
Soit x et y les deux cathètes du triangle. x2 + y 2 = h2 ⇒ y = h2 − x2
√
√
h2 − x2 − x
−2x
P(x) = x + y + h = x + h2 − x2 + h
P! (x) = 1 + √
= √
2 h2 − x2
h2 − x2
√
√
!
√
2
2
1 2
!
2
2
2
2
2
2
h ⇒ y = h − 2h =
h
P (x) = 0 ⇒ h − x = x ⇒ h − x = x ⇒ x =
2
2
x
P! (x)
P
√
2/2
+
−
0
√
2(h + 1)
Le triangle rectangle de
√ périmètre maximal est celui qui est isocèle.
Son périmètre vaut : 2(h + 1)
Corrigé : Optimisation
Ld, 19/03/2013
2
Exercice 3
Un fil de longueur L doit être coupé en deux parties. Avec l’une, on forme un triangle équilatéral et avec
l’autre un carré. Où faut-il couper ce fil pour que l’aire totale des deux figures construites soit maximale ?,
minimale ?
Solution
Soit x la longueur du fil attribuée au triangle et L − x, celle pour le carré avec 0 < x < L.
√
!
!
3x
x
x2
x2
x2
Le côté du triangle mesure 3 et sa hauteur mesure
9 − 36 =
12 =
6
√
√ 2
x. 3 x
3x
base x hauteur
=
=
L’aire du triangle =
2
2.3.6
36
L2 − 2Lx + x2
L−x 2
Le côté du carré mesure L−x
4 . Son aire = ( 4 ) =
16
√
√
√ 2
3 x L2 − 2Lx + x2
4 3 x2 + 9L2 − 18Lx + 9x2
(4 3 + 9)x2 − 18Lx + 9L2
+
=
=
Aire totale : A(x) =
36
16
144
144
√
(8 3 + 18)x − 18L
!
A (x) =
144
√
√
9L
18L
Zéro(s) de A’(x) : (8 3 + 18)x − 18L = 0 ⇒ (8 3 + 18)x = 18L ⇒ x = √
= √
8 3 + 18
4 3+9
9L
9L
x< √
⇒ A! (x) < 0 ⇒ √
est un minimum.
4 3+9
4
3+9
√
4 3 L2
9 L2
A(L) =
sont des maximums.
A(0) =
144
144
9L
√
x
0
L
Conclusion :
4 3+9
Aire maximale pour x = 0
9 L2
−
+
f ! (x)
0
)
(Aire maximale =
144
√ 2
2
9L
9L
4 3L
Aire minimale pour x = √
4 3+9
144
144
√ 2
f (x)
√ 2
3L
3L
√
√
)
(Aire minimale =
16 3 + 36
16 3 + 36
.
Exercice 4
Un mur de 2 m de haut, situé à 1 m d’une façade, interdit l’accès à celle-ci. Calculer la longueur de
l’échelle la plus courte qui s’appuie contre la façade et dont le pied est sur le sol, devant le mur.
Solution
D
l
Par Thalès,
√
l
AB
x + 1√ 2
x2 + 4
=
=
⇒ l=
x +4
x+1
x
x
x
x
x − (x + 1) √ 2
x+1
l! (x) =
·√
· x +4+
2
2
x
x
x +4
√
−(x2 + 4) + x3 + x2
− x2 + 4
x+1
√
=
=
+√
x2
x2 + 4
x2 x2 + 4
√
x3 − 4
= √
s’annule pour x = 3 4
x2 x2√
+4
3
√
4 + 1 "√
3
16 + 4 ∼
l( 3 4) = √
= 4, 16
3
4
B
2
l! (x)
A
x
√
3
4
x
1
l
C
−
0
∼
= 4, 16
+
La longueur de l’échelle
minimum est de ∼
= 4, 16 m