Séance 4. Fonction de répartition et fonction

Probabilités
4. Fonction de répartition et fonction
caractéristique
Denis Villemonais
IECL – École des Mines de Nancy
18 avril 2016
1 / 22
Organisation de l’examen partiel
→ Les conditions pratiques (arriver 5 min en avance si possible)
De 13h30 à 15h30 pour les groupes 2.x
De 15h45 à 17h45 pour les groupes 1.x
Salles A006 et A007 (voir e-mail ou page web)
→ Les consignes
Calculatrices/téléphones portables interdits
Tous les supports du cours autorisés
Pas de documents extérieurs
→ Quelques remarques
Les chapitres 1 à 5 sont au programme
Note finale : 50% partiel, 50% examen
Réponse non garantie après le vendredi à 18h.
Non-réponse garantie après le samedi à 18h.
2 / 22
Continuité/Dérivabilité sous le signe E
Soient E métrique (par ex. E ouvert de Rd ) et X une v.a. à
valeurs dans un espace mesurable (F ,F).
Continuité
Soit f : E × F → R telle que
f (x ,X ) est une variable aléatoire pour tout x ∈ E ,
x 7→ f (x ,X ) est continue presque sûrement,
∃Y une variable aléatoire intégrable telle que
|f (x ,X )| ≤ |Y |, p.s, ∀x ∈ E .
Alors la fonction
x ∈ E 7→ E(f (x ,X )) est continue.
3 / 22
Soient E ouvert de R et X une v.a. à valeurs dans un espace
mesurable (F ,F).
Dérivabilité
Soit f : E × F → R telle que
f (x ,X ) est une variable aléatoire intégrable pour tout x ∈ E ,
x 7→ f (x ,X ) est dérivable presque sûrement,
∃Y une variable aléatoire intégrable telle que
∂f
(x ,X ) ≤ |Y |, p.s, ∀x ∈ E .
∂x
Alors F : x ∈ E 7→ E(f (x ,X )) est dérivable en x et
∂f
0
F (x ) = E
(x ,X ) .
∂x
→ Preuve : appliquer
le théorème avec intégrales
à
R
R
F (x ) =
Ω
f (x ,X (ω)) P(d ω) ou F (x ) =
F
f (x ,u) PX (du).
4 / 22
Chapitre 4. Fonction de répartition et fonction caractéristique
5 / 22
Fonction de répartition : définition et généralités
Définition
Si X : Ω → R est une variable aléatoire réelle alors, sa fonction
de répartition est la fonction FX définie par
Z
∀t ∈ R, FX (t) = P(X ≤ t) = PX (] − ∞,t]) =
1 PX (dx ).
]−∞,t]
Théorème de caractérisation
Deux variables aléatoires X et Y ont la même loi si et seulement si
elles ont la même fonction de répartition, i.e. si et seulement si
FX (t) = FY (t), ∀t ∈ R.
Objectif : trouver la loi de X à partir de sa fonction de répartition.
6 / 22
Exemple. Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur [0,1].
Déterminer la loi de
Y := − ln(1 − X ).
Solution. Nous avons PX (dx ) = 1[0,1] λ1 (dx ), donc, ∀t ∈ R,
FY (t) = P(Y ≤ t) = P(X ≤ 1 − e −t )
Z
1[0,1] λ1 (dx ) = (1 − e −t )1t>0 .
=
]−∞,1−e −t ]
Or la fonction caractéristique d’une variable aléatoire Z de loi
exponentielle de paramètre 1 est
Z
FZ (t) =
e −x 1x >0 λ1 (dx ) = (1 − e −t )1t>0 .
]−∞,t]
On en déduit que
Y est de loi exponentielle de paramètre 1.
7 / 22
La fonction de répartition FX (t) = PX (] − ∞,t]) est
croissante, car les ensembles ] − ∞,t] sont croissants en t,
continue à droite, car, par continuité décroissante de PX ,
FX (t+ ) = lim PX (] − ∞,t + h]) = PX (∩h>0 ] − ∞,t + h])
h→0+
= PX (] − ∞,t]) = FX (t)
telle que, par continuité décroissante de PX ,
lim FX (t) = lim PX (] − ∞,t]) = PX (∩t∈R ] − ∞,t])
t→−∞
t→−∞
= PX (∅) = 0
telle que, par continuité croissante de PX ,
lim FX (t) = lim PX (] − ∞,t]) = PX (∪t∈R ] − ∞,t])
t→+∞
t→+∞
= PX (] − ∞, + ∞[) = 1
8 / 22
FX admet une limite à gauche et, par continuité de PX ,
FX (t− ) = lim PX (] − ∞,t − h]) = PX (∪h>0 ] − ∞,t − h])
h→0+
= PX (] − ∞,t[) = P(X ∈] − ∞,t[).
On a ainsi, pour tout −∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞,
P(X ∈ ]a,b[) = P(X ∈] − ∞,b[) − P(X ∈] − ∞,a])
= FX (b− ) − FX (a),
P(X ∈ ]a,b]) = FX (b) − FX (a),
P(X ∈ [a,b[) = FX (b− ) − FX (a− ),
P(X ∈ [a,b]) = FX (b) − FX (a− ).
En particulier, P (X = x ) = FX (x ) − FX (x− ), donc
P(X = x ) > 0 ⇐⇒ FX est discontinue au point x .
9 / 22
Calculs de fonction de répartition
Variables aléatoires discrètes
Soit X une v.a. discrète à valeurs dans K = {k1 < k2 < . . .} ⊂ R
presque sûrement. Alors FX est constante par morceaux et
X
FX (t) =
P(X = k ), ∀t ∈ R,
k ∈K , k ≤t
donc FX (t) − FX (t− ) = P(X = t), pour tout t ∈ R.
Exemple. X de loi PX = 14 δ0 + 43 δ1 ,
1
0.8


0
FX (t) = 1/4


1
si t < 0,
si 0 ≤ t < 1,
si 1 ≤ t.
0.6
0.4
0.2
0
−0.5
0
0.5
1
1.5
10 / 22
Variables aléatoires absolument continues
Soit X une v.a. à valeurs dans R, de loi PX = fX d λ1 . Alors FX
est continue, dérivable λ1 -presque partout et FX0 = fX λ1 -presque
partout, soit
Z
FX (t) =
fX (x ) λ1 (dx ), ∀t ∈ R.
]−∞,t[
Exemple. X de loi N (−1,1)
exp(−(x + 1)2 /2)
√
PX (x ) =
λ1 (dx ),
2π
donc
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Z
FX (t) =
]−∞,t]
exp(−(x + 1)2 /2)
√
λ1 (dx )
2π
0
−0.2
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
11 / 22
Ex 2 (loi mixte). Calculer FX , pour X une v.a. réelle de loi
1
1x >0 −x
1
e λ1 (dx ).
PX (dx ) = δ−1 (dx ) + δ2 (dx ) +
2
4
4
Solution. Pour tout t ∈ R, FX (t) =
1
1
FX (t) = 1−1≤t + 12≤t +
2
4
R
]−∞,t] 1 PX (dx ),
Z
]−∞,t]
donc
1x >0 −x
e λ1 (dx ).
4
Par conséquent,
FX (t) =


0



1
2
1
1
−t


2 + 4 (1 − e )


 3 + 1 (1 − e −t )
4
4
si
si
si
si
t < −1,
− 1 ≤ t < 0,
0≤t <2
2 ≤ t.
12 / 22
Calcul d’une loi à partir d’une fonction de répartition
Soit X une variable aléatoire de fonction de répartition FX .
Propriété
Supposons que FX est de classe C 1 sur R \ K , où K est au plus
dénombrable. Alors X est de loi mixte et sa loi s’écrit :
X
PX (dx ) = FX0 (x ) 1x ∈K
pk δk (dx )
/ λ1 (dx ) +
k ∈K
avec pk = P(X = k ) = FX (k ) − FX (k− ).
→ Remarques
FX0 définie partout sauf aux points k ∈ K ,
Si FX est continue, alors X de loi absolument continue, de
densité fX = F 0
Si FX constante par morceaux (F 0 = 0 λ1 -p.p.), alors X de loi
discrète à valeurs dans K .
13 / 22
Souvent, on se donnera une fonction F : R → R et il faudra dans
un premier temps déterminer l’existence d’une variable aléatoire X
telle que FX = F , avant de déterminer la loi de X .
Existence d’une v.a. de fonction de répartition donnée
Une fonction F : R → R est la fonction de répartition d’une
variable aléatoire si et seulement si elle est
croissante,
continue à droite
et telle que
lim F (t) = 0
t→−∞
et
lim F (t) = 1.
t→+∞
14 / 22
Exemple. Montrer qu’il existe une


0
F (t) = 1/3


1
v.a. X de fonction de répartition
si t < 3
si 3 ≤ t < 6
si 6 ≤ t.
Puis déterminer la loi de X .
Solution. F est croissante et continue à droite, limt→−∞ F (t) = 0
et limt→+∞ F (t) = 1, donc il existe X telle que FX = F .
De plus, FX est constante par morceaux, donc X est discrète et


1/3 si t = 3,
FX (t) − FX (t− ) = 2/3 si t = 6,


0 sinon.
1
2
donc la loi de X est PX = δ3 + δ6
3
3
15 / 22
Exemple. Montrer qu’il existe une v.a. X de fonction de répartition
F (t) =
(
0
2
π arctan(t)
si t < 0,
si t ≥ 0.
Solution. F est croissante et continue à droite, limt→−∞ F (t) = 0
et limt→+∞ F (t) = 1, donc il existe X telle que FX = F .
De plus, FX est C 1 par morceaux et continue, donc X est
absolument continue de densité fX : R → R telle que
(
0
si x ≤ 0,
0
fX (x ) = F (x ) 1x 6=0 =
2
si x > 0.
π(1+x 2 )
En définitive,
PX (dx ) =
2
1x >0 λ1 (dx )
π(1 + x 2 )
16 / 22
Exemple. Montrer qu’il existe une v.a. X de fonction de répartition
F (t) =
(
0
1
π
arctan(t) +
π
2
si t < 0,
si t ≥ 0.
Solution. F est croissante et continue à droite, limt→−∞ F (t) = 0
et limt→+∞ F (t) = 1, donc il existe X telle que FX = F .
De plus, F est C 1 en tout x ∈ R∗ et discontinue en x = 0. Par
suite, il s’agit de la fonction de répartition d’une v.a. X de loi
mixte donnée par
PX (dx ) = (F (0) − F (0− ))δ0 (dx ) + F 0 (x )1x 6=0 λ1 (dx ),
soit
1
1
PX (dx ) = δ0 (dx ) +
1x >0 λ1 (dx ).
2
π(1 + x 2 )
17 / 22
Fonction caractéristique : Définition
Définition
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans Rd . La fonction
ϕX : Rd −→ C
R
,
u 7−→ E e ihu,X i = Rd e ihu,x i PX (dx )
où hu,X i = u1 X1 + · · · + ud Xd , est bien définie et est appelée
la fonction caractéristique de X .
Caractérisation de la loi
Deux v.a. X et Y à valeurs dans Rd ont même loi si et seulement
si elles ont même fonction caractéristique, i.e.
ϕX (u) = ϕY (u), ∀u ∈ Rd .
18 / 22
Exemple. Soit X une variable aléatoire à valeurs réelles de loi
1
1
1x >0 −x
PX (dx ) = δ−1 (dx ) + δ2 (dx ) +
e λ1 (dx ).
2
4
4
Déterminer la fonction caractéristique de X .
Solution. D’après le théorème du transport, ∀u ∈ R,
Z
ϕX (u) =
e iux PX (dx )
R
Z
1 −iu 1 2iu
1x >0 −x
= e
+ e +
e iux
e λ1 (dx ),
2
4
4
R
soit, ∀u ∈ R,
1
1
1
ϕX (u) = e −iu + e 2iu +
2
4
4(1 − iu)
19 / 22
Théorème (Existence d’une densité)
Soit X une v.a. à valeurs dans Rd . Si ϕX est intégrable par
rapport à λd (du), alors X suit une loi absolument continue de
densité fX donnée par
Z
1
fX (x ) =
ϕX (u) e −ihu,x i λd (du).
(2π)d Rd
Remarques.
Le membre de droite est une fonction continue en x
Si on voit la fonction caractéristique comme une transformée
de Fourier, alors le théorème ci-dessus donne la transformée
de Fourier inverse.
20 / 22
Calcul de Moments
Théorème
Soit X une variable aléatoire à valeurs réelles. Soit k ∈ N tel que
X k est intégrable, c’est-à-dire tel que
E(|X |k ) < +∞.
(k )
Alors ϕX est k fois dérivable et ϕX (0) = i k E(X k ).
De plus, au voisinage de 0,
ϕX (t) =
k
X
(it)n
E(X n ) + o(|t|k ).
n!
n=0
21 / 22
Une réciproque partielle
Soit X une variable aléatoire à valeurs réelles. Si ϕX est 2n fois
dérivable, avec n ∈ N∗ , alors
E |X |k < +∞, ∀k ∈ {0,1 . . . ,2n}
et
E X k = (−i )k ϕ(k ) (0).
22 / 22