et résolution de problèmes

IUFM de Bourgogne
Concours de recrutement :
professeurs des écoles
RESOLUTION DE PROBLEMES
ET
DIFFERENCIATION
DE
L’ENSEIGNEMENT
Anne-Isabelle HERBERICHS
Directrice de mémoire :
Françoise GODINAT
Année 2004-2005
Dossier N° 0365089L
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SOMMAIRE
Avant propos………………………………………………………………………………………3
Introduction…………………………………..……………………………………………………4
I.
Objectifs d’apprentissages et compétences visées en résolution de problème………..7
II.
D’une observation en stage tutelle à une tentative de mise en œuvre pendant les
stages en responsabilité………………………………………………………………..9
A. Observations, naissance d’un questionnement……………………………………9
1. Descriptif des situations observées et mises en œuvre………………….9
2. Les difficultés sont à mettre en relation avec les diverses composantes
pouvant avoir un impact sur l’activité de résolution de problème……..12
B. Projets de stages et travail conduit avec les élèves lors des stages R1 et R2…….17
III.
Pratiques pédagogiques mobilisables par le maître………………………………….19
A. La pédagogie différenciée…en général………………………………………….19
1. Différenciation : fondements, objectifs………………………………..19
2. Question de l’évaluation et statut de l’erreur………………………….20
3. Ecueils à éviter…………………………………………………………21
B. Différenciation de l’enseignement … et résolution de problèmes..…………….22
1. Différenciation simultanée……………………………………………..22
a. Par les procédures………………………………………………..23
b. Par les ressources et contraintes………………………………….24
c. Par les tâches et les rôles…………………………………………28
2. Différenciation successive……………………………………………..28
a. Variété des situations, contextes, représentations, exemples,
démarches, corrections, modes de schématisation……………….28
b. Alternance des modes de travail………………………………...29
3. Un dispositif fructueux au service de la différenciation : le travail en
ateliers………………………………………………………………….30
IV.
Les aides différenciées apportées par le maître au cours des activités de résolution de
problème……………………………………………………………………………..34
Climat, encouragements………………………………………………34
Familiarisation avant entrée dans la situation…………………………34
Aide à la représentation du problème…………………………………34
Aide à la représentation du résultat à atteindre………………………..35
Recentrage sur la question…………………………………………….35
Aide à la lecture, à l’écriture…………………………………………..35
Temps accordé………………………………………………………...35
Médiation……………………………………………………………...35
Métacognition…………………………………………………………36
Conclusion……………………………………………………………………………………….37
Bibliographie…………………………………………………………………………………….39
Annexes………………………………………………………………………………………….40
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Avant propos
Ma scolarité s’est déroulée sans traumatisme, sous le signe de la pédagogie
transmissive, la plus courante à l’époque. Mes résultats scolaires corrects en mathématiques
s’accommodaient le plus souvent de l’absence de questions, de l’exécution docile de la recette
apprise.
L’IUFM m’a fait découvrir un visage tout autre de l’enseignement des mathématiques.
Certaines notions me sont apparues sous un autre jour. Tout cela a quelque peu changé ma
relation avec les mathématiques, et je souhaite être en capacité demain de favoriser le plaisir
des élèves à les fréquenter.
Le stage de pratique accompagnée, à l’école des Rosoirs à Auxerre, a été un riche
terrain d’observations, suscitant de nombreuses questions du point de vue de la future
professeure des écoles que je suis.
Convaincue de l’importance de l’activité de résolution de problème comme vecteur
d’apprentissage de l’autonomie, le choix du sujet de mon mémoire s’est ainsi arrêté sur ce
thème : ayant découvert l’ampleur des difficultés qu’un « problème » pouvait susciter auprès
des élèves, j’ai eu envie de chercher à faire progresser mes compétences pédagogiques dans
ce domaine.
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Introduction
Qu’est-ce qu’un problème ?
Pour le Petit Robert la première acception désigne le problème en science. C’est une
« question à résoudre qui prête à discussion », et plus précisément une « question à résoudre
portant soit sur un résultat inconnu à trouver à partir de certaines données, soit sur la
détermination de la méthode à suivre pour obtenir un résultat supposé connu. »
La deuxième acception désigne le problème de la vie courante … mais aussi les
difficultés rencontrées par des élèves confrontés à des problèmes mathématiques ! Un
problème est une « difficulté qu’il faut résoudre pour obtenir un certain résultat », une
« situation instable ou dangereuse exigeant une décision ».
Selon R. CHARNAY et M. MANTE ( Mathématiques, Hatier tome 1 ) , pour un
mathématicien, le problème est toujours une question non résolue, alors qu’à l’école, il l’a
déjà été de nombreuses fois. Il reste cependant un problème si sa solution n’est pas disponible
d’emblée.
Pour L. d’Hainaut ( Des fins aux objectifs de l’éducation ) un problème est un acte
intellectuel défini selon trois composantes : la situation initiale, le traitement et la situation
finale. L’auteur met en relief le processus de communication entre la situation initiale et le
traitement ( réception) et entre le traitement et la situation finale ( émission). Il précise qu’il
n’y a résolution de problème que lorsqu’au moins une des composantes est nouvelle. Sans
quoi, il y a uniquement imitation, reproduction ou application. La plupart du temps c’est le
traitement qui est nouveau. Dans de nombreux problèmes proposés aux élèves, la difficulté
réside le plus souvent dans la mobilisation des outils pertinents et/ou leur combinaison.
Par conséquent, toujours selon R. CHARNAY et M. MANTE, un énoncé peut-être un
problème pour certains élèves, et ne pas l’être pour d’autres, selon les connaissances et
procédures dont ils disposent, et selon les valeurs données à certaines variables.
Place de la résolution de problème dans les instructions officielles .
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Elles placent « la résolution de problèmes au centre des activités mathématiques des
élèves », les documents d’application des programmes justifiant cette position accordée à la
résolution de problèmes en cela que les problèmes sont à la fois critère et moyen
d’appropriation des connaissances :
Le document d’application des programmes pour le cycle 3 distingue, selon les problèmes,
plusieurs fonctions :
- Problèmes visant la construction de connaissances : « Les problèmes proposés
doivent alors permettre aux élèves de prendre conscience des limites ou de l’insuffisance des
connaissances dont ils disposent déjà et d’en élaborer de nouvelles .»
- Problèmes dits de réinvestissement , qui sont « destinés à permettre l’utilisation
« directe » des connaissances acquises. »
-Problèmes de recherche, ayant pour objectif une « activité privilégiée dans le but de
développer chez les élèves un comportement de recherche et des compétences d’ordre
méthodologiques : émettre des hypothèses et les tester, faire et gérer des essais successifs,
élaborer une solution originale et en éprouver la validité, argumenter. ». « Ces situations
peuvent enrichir leur représentation des mathématiques, développer leur imagination et leur
désir de chercher, leurs capacités de résolution et la confiance qu’ils peuvent avoir dans leurs
propres moyens. »
Aussi, comme l’affirment les instructions officielles, un enjeu fort des mathématiques
est aussi celui de la formation du futur citoyen : « les mathématiques fournissent des outils
pour agir, choisir, décider dans la vie courante ».
En particulier, elles confèrent aux « problèmes pour chercher » les objectifs transversaux
suivants :
-
développer les capacités à faire face à des situations inédites,
-
prendre conscience de la puissance de ses connaissances,
-
valoriser des comportements et méthodes essentiels pour la construction de leurs
savoirs,
-
développer les capacités argumentatives,
-
contribuer à l’éducation civique des élèves.
La résolution de problème est donc une compétence-clé à développer chez les élèves.
L’enfant doit être élevé au statut de citoyen éclairé qui construira d’autant mieux ses
connaissances qu’il cultivera dans toutes les disciplines l’esprit rigoureux ensemencé dans le
domaine des mathématiques.
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Les objectifs généraux de l’apprentissage de la résolution de problèmes étant ainsi
esquissés, il faut rappeler que la loi d’orientation de 1989 impose la prise en compte de la
diversité des élèves : la différenciation pédagogique relève de la mission du professeur des
écoles, qui est tenu de conduire tous les élèves vers un même objectif, en adaptant son mode
d’enseignement à la situation propre de chacun d’entre eux, tant du point de vue du niveau de
savoir et savoir-faire, que du point de vue de l’attitude et du mode de pensée.
Ceci me conduit à définir ainsi la problématique du présent mémoire :
De quels moyens le maître dispose-t-il pour aider diversement les élèves à
surmonter les difficultés auxquelles ils se heurtent lorsqu’ils sont confrontés à
des situations de résolution de problème ?
Dans les deux premières parties du présent mémoire, j’examinerai le contenu des
programmes 2002 puis j’exposerai les observations réalisées pendant le stage de pratique
accompagnée, le questionnement qui en a découlé pour moi, et les projets élaborés en
conséquence pour les stages en responsabilité.
Les deux dernières parties seront consacrées aux pratiques pédagogiques et aux aides
différenciées que le maître peut apporter au cours des activités de résolution de problème.
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I.
Objectifs d’apprentissages et compétences visées en
résolution de problèmes.
Les instructions officielles, comme nous l’avons vu, entendent placer la résolution de
problèmes au centre des activités mathématiques. Selon la nature des problèmes proposés aux
élèves, seront attendus de leur part des modes de résolution plutôt experts s’il s’agit de mettre
en œuvre une procédure connue, dans un cadre repéré comme appartenant à une catégorie
connue ; ou bien plutôt des modes de résolution personnels, lorsque la situation à résoudre est
nouvelle.
Le document d’application des programmes pour le cycle 3 insiste sur « la possibilité
offerte aux élèves d’élaborer de telles « solutions personnelles » originales » qui constituent
«à la fois une avancée dans le développement de l’autonomie de l’élève et un moyen de
différenciation pour l’enseignant».
Les textes accordent donc une grande importance à la démarche de résolution en ellemême, qui doit faire l’objet d’un apprentissage. Il n’est pas question d’apprendre à reproduire
tel ou tel type de raisonnement, mais bien d’apprendre à en élaborer soi-même.
Les compétences générales visées sont ainsi détaillées dans les documents
d’accompagnement :
CYCLE 2
-s’engager dans une procédure personnelle de résolution et la mener à son terme ;
-rendre compte oralement de la démarche utilisée, en s’appuyant éventuellement sur sa
feuille de recherche ;
-admettre qu’il existe d’autres procédures que celles qu’on a soi-même élaborée et essayer de
les comprendre ;
-rédiger une réponse à la question posée ;
-identifier des erreurs dans une solution
CYCLE 3
« Au cycle 3, les compétences suivantes seront particulièrement travaillées :
-utiliser ses connaissances pour traiter des problèmes ;
-chercher et produire une solution originale dans un problème de recherche ;
-mettre en œuvre un raisonnement, articuler les différentes étapes d’une solution ;
-formuler et communiquer sa démarche et ses résultats par écrit et les exposer oralement ;
-contrôler et discuter la pertinence ou la vraisemblance d’une solution ;
-identifier des erreurs dans une solution en distinguant celles qui sont relatives au choix
d’une procédure de celles qui interviennent dans sa mise en œuvre ;
-argumenter à propos de la validité d’une solution produite par soi-même ou par un
camarade ( ceci suppose que les élèves ne pensent pas que la démarche est unique, et donc
que l’enseignant accepte des démarches différentes ). »
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« Ces compétences [générales] n’ont pas à être travaillées pour elles-mêmes, l’objectif
essentiel étant toujours de résoudre le problème proposé », précise le DAP du cycle 3.
La résolution de problèmes n’est pas une activité facile,
elle requiert en outre
d’apprendre à :
-
donner du sens au vocabulaire,
-
interpréter la situation,
-
formuler des hypothèses,
-
identifier et mettre en relation les données,
-
les organiser en fonction de la question posée,
-
gérer des essais successifs en fonction du but à atteindre.
Comme le montre Sylvie COPPE (grand N n° 63 p 42) les compétences
méthodologiques interagissent entre elles ;
la maîtrise de la somme des compétences
travaillées individuellement ne garantit en rien l’aboutissement de la démarche de résolution.
La très grande complexité des opérations mentales à accomplir ne saurait être réduite à une
déclinaison successive de sous-compétences. C’est en cherchant qu’on apprend à chercher,
c’est à dire, en se lançant dans des essais, en testant des hypothèses.
On peut noter au passage la conception socio-constructiviste de l’apprentissage mise
en avant dans les programmes, inspirée par les travaux de Vygotsky : selon lui, le seul
apprentissage valable pendant l’enfance est celui qui anticipe sur le développement et le fait
progresser. Tout comme on n’attend pas qu’un enfant sache parler pour lui parler, on ne va
pas attendre qu’un élève sache résoudre des problèmes pour lui en faire résoudre !
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II.
D’une observation en stage tutelle à une tentative de mise
en œuvre pendant les stages en responsabilité.
A.
Observations, naissance d’un questionnement.
Descriptif des situations observées et mises en œuvre.
1.
28/09/2004 PROBLEME SANS QUESTION « OBELIX »
1 séance de problèmes de l’année, conduite par la maîtresse.
ère
Objectif : évaluation formative et formatrice. Permettre aux élèves de prendre
conscience de ce qui bloque, plutôt que de les laisser s’arrêter sur un sentiment diffus
d’incompréhension totale.
Énoncé : « Obélix doit livrer 450 menhirs à Damganum. »
Consigne : chercher les questions que l’on peut inventer à partir de cette phrase, et y
répondre.
Mode de travail : Travail par deux.
Observations : Les questions que posent les élèves sont d’abord :
- Qui est Obélix ?
- Qu’est-ce qu’Obélix doit livrer ?
- Combien font 450 ?
- Trouver les deux « machins » ?
- Quel est les méchirs (sic) ?
- (…)
Après un temps, les élèves ont trouvé que le texte manquait d’indices, et la maîtresse a
rajouté « Il en a déjà transporté 185. »
Les questions deviennent :
- Combien doit-il rester en argent ?
- A qui doit-il livrer les menhirs ?
- Combien il a déjà transporté ?
- Combien doit-il livrer ?
- Combien lui faut-il ?
- (…)
- Combien doit-il transporter encore de menhirs pour que ça fasse 450 ?
Cette dernière question est reformulée, acceptée par tous et résolue.
Un élève propose : 50 x 9 = 450
Finalement, la solution est apportée par une élève grâce à la soustraction posée ( 450 –
185 = 265 ).
La maîtresse propose ensuite la méthode de l’addition à trou (185 + ? = 450 ).
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2/10/2004 « L’AJA »
Séance conduite par un autre enseignant, Francis ROMERO (directeur de l’école,
déchargé), qui devait intervenir par la suite dans la classe en mathématiques.
Objectif : évaluation diagnostique en mathématiques et maîtrise de la langue.
Enoncé : voir texte en annexe.
Consigne : noter ce que nous pourrions chercher. Noter les remarques que l’on pourrait
faire.
Observations : extraits du dialogue maître-élèves.
QUESTIONS DU MAITRE
Qu’est-ce que c’est ?
QUESTIONS / RÉPONSES DES ÉLEVES
Une sorte de problème
Un problème
Un texte
Pourquoi un problème ? ou une sorte Il faut chercher quelque chose
de problème ?
Que faut-il chercher dans un Il y a des calculs
problème ?
Il faut faire des opérations car il y a des
chiffres, des numéros
Dans le journal aussi !
Oui, mais ça parle de ce qui s’est passé, le
journal.
Pourquoi alors est-ce un problème ?
…
On a dit des renseignements
…
Il y a une question
Il y a une question : « que pourrions-nous
chercher ? »
Que pourrions nous chercher ?
Longue explicitation des phrases du
texte.
Par 2, trouvez 2 choses à chercher.
Combien a coûté le carburant ?
Combien on a payé en tout la place du match ?
Combien d’heures ont-ils parcouru entre 16h et
minuit ?
Combien ont-ils fait de kilomètres ?
Combien de carburant a été utilisé ?
Garde-t-on cette question ? On verra
ça plus tard.
Arrêt de la séance.
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4/10/2004
Séquence préparée et mise en œuvre par l’ équipe des trois pe2.
« LES EPERVIERS DEMENAGEURS »
Intention : travailler sur le sens d’un problème, mettre les élèves en situation d’établir
des liens entre une situation de classe, pratique, réelle et son énonciation mathématique.
Déroulement : (Voir compte-rendu en annexe)
1.Séance d’EPS : le jeu des éperviers déménageurs
2.Séances de maths, conduite par moi-même pour les phases 1 et 2 ( puis par
Mathilde pour la phase 3 ( séance 2 ) et par Hélène pour les séances 3 et 4).
Objectif : rédiger un énoncé de problème avec des données et une question au moins, le
résoudre, le communiquer à un groupe d’élèves afin qu’il le résolve
Consigne : par 2 écrire un énoncé de problème à faire résoudre par un autre groupe. Il
s’agit de savoir ce qu’il faudrait prévoir en matériel si nous voulions organiser un tournoi
d’éperviers déménageurs avec une autre classe, c’est à dire si au lieu d’être 15 comme ce
matin en EPS, nous étions 30 pour jouer. Résoudre vous-même le problème avant de le
transmettre.
Phase 1 : Rappel collectif de la séance d’EPS
Récapitulation du matériel utilisé avec quantités ( ballons, plots, dossards, caisses…)
Sur proposition des élèves réalisation au tableau d’un schéma : terrain, matériel,
joueurs.
Phase 2 : recherche par 2, après reformulation de la consigne.
Observations :
Les élèves reprennent presque tous la schématisation faite au tableau pendant la phase
collective.
Ils font des calculs, écrivent parfois une question, telle que « combien d’élèves y a-t-il
dans les deux classes ? » ou « combien faut-il de plots ? ».
Une seule élève écrit un énoncé, puis fait un calcul pour le résoudre.
« Le tournoi d’éperviers déménageurs se dispute. Il y a 30 élèves et 16 ballons. Combien
de ballons manque-t-il ? »
Réponse : « 16 + 16=32 »
La séance s’arrête là, le temps ne permet pas de faire l’échange de productions prévu.
Le travail n’ayant pas abouti pour la plupart des groupes, cet échange n’aurait de toutes
façon pas pu se faire comme prévu.
phase 3 : présentation à la classe de l’ énoncé cité plus haut.
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Consigne : « cherchez la solution. »
Observation :
Les réponses sont variées :
14=30-16
15=16-1
20=30-16
il reste 51 ballons
30x16=480
16+16=32 selon l’élève auteur de l’énoncé
30+16=46
Mathilde, la collègue stagiaire qui mène la séance :
Interpelle les élèves : pourquoi autant de réponses différentes ?
Tente de faire prendre conscience à la classe de la nécessité d’apporter des
renseignements supplémentaires dans l’énoncé, concernant la règle du jeu.
Conclusion : points communs entre ces trois situations, observées puis agies
pendant ce premier stage.
Ces trois situations mettent en évidence la difficulté des élèves à caractériser un
problème mathématique, mais aussi peut-être les difficultés des enseignants confrontés aux
problèmes des enfants. Les problèmes eux-mêmes ne seraient-ils pas eux aussi source de
difficultés ?
Ayant pour objectif de chercher à comprendre de quelle façon ces difficultés peuvent
être combattues, il est utile de les distinguer par nature et origine.
2.
Les difficultés observées sont à mettre en relation avec les diverses
composantes pouvant avoir un impact sur l’activité de résolution de
problèmes.
J’ai distingué les paramètres relatifs à la gestion de la classe, de ceux relatifs à
l’activité mentale des élèves, et de ceux liés au problème lui-même.
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Profil de la classe
Niveaux : unique, multiple
A l’école des Rosoirs, la classe dite de cycle 3 regroupe 13 élèves en grande difficulté
en français et/ou en mathématiques : 2 enfants de CE2 et 11 de CM1. L’objectif est de
rattraper le retard d’ici la fin de l’année. Deux élèves de CLIS viennent s’intégrer à la classe,
lors des séances de français et d’ EPS.
Organisation et habitudes de travail
La classe fonctionne le plus souvent en classe entière.
Néanmoins, du fait du double niveau, les élèves sont habitués à travailler « en
autonomie », les CE2 et les CM1 bénéficiant alternativement de la présence du maître pour
certaines activités. Ces moments d’autonomie sont très cadrés, dans la mesure où les élèves
ont toujours un travail précis à accomplir, le même pour tous.
L’entraide est admise, les élèves fonctionnent parfois en binôme.
Je n’ai pas observé de travail de groupe à proprement parler pendant mon stage.
Certains regroupements d’ élèves deux par deux se sont avérés improductifs, pour
des raisons d’incompatibilité d’ humeurs, lors de la séance « Eperviers ».
Certains binômes ont en fait travaillé individuellement. Dans d’autres cas, un des
deux acteurs est resté passif, spectateur de son binôme
Climat
Il règne un climat rassurant dans la classe, où l’enseignant respecte la parole des
élèves et prend en compte chaque individualité.
Les trois séances citées mettent en évidence une grande liberté de parole des
élèves, mais certains élèves ne s’expriment que s’ils sont interrogés.
Attitude des élèves face aux problèmes et contrat didactique.
Le contrat didactique définit implicitement ou explicitement les rôles respectifs de
l’enseignant et des élèves.
Dans la classe d’observation, il est dit que « se tromper n’est pas grave ». Les
interventions des élèves sont sollicitées, ils sont fréquemment « provoqués » ; le
questionnement est très peu inductif.
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Les conditions sont réunies pour favoriser l’engagement des élèves dans une
situation de recherche. L’erreur est considérée comme faisant partie du processus
d’apprentissage, elle n’est ni blâmée ni évitée, ce qui limite la prise de risques de
la part des élèves.
Le contrat didactique fonctionne bien dans les deux premières situations dans la
mesure où les réponses des élèves sont toutes prises en compte.
Au contraire, dans la situation « Eperviers », séance 3, les réponses non
attendues par Mathilde sont occultées, sans explication, ce qui ne permet pas aux
élèves d’évaluer leur production.
Outils de travail.
Les élèves ne disposent ni de manuel, ni de fichier. La maîtresse est ainsi leur seul
repère, ils ne peuvent situer leurs apprentissages dans une progression.
A aucun moment des séances observées ou menées, les objectifs d’apprentissage
des séances ont été annoncés aux élèves. Nous y reviendrons, car avec un peu de
recul, il me paraît important d’impliquer les élèves dans leur propre démarche en
leur permettant de se situer.
« Hétérogénéité » de la classe.
Les élèves les plus « performants » jouent un rôle moteur évident dans les échanges
maîtresse-classe et élèves-élèves. Les compétences sont très variables à l’oral comme à l’écrit,
certains enfants sont « éteints » par moment, d’autres agités, le manque de concentration est
assez bien partagé. La maîtresse sollicite personnellement les élèves, régulièrement, pour les
maintenir en activité.
Profil de l’élève
Les difficultés liées aux processus d’apprentissages propres à chaque élève peuvent
être d’ordre mathématiques, péri-mathématiques et métacognitives.
Dans la classe observée, on retrouve toutes les caractéristiques du « profil de l’élève
en difficulté » dégagé par Butlen et Pézard (cité dans grand N n°69 p 72).
-
difficultés de mémorisation, connaissances anciennes peu fiables, méthodes absentes,
-
rapide lassitude,
-
recherche systématique d’algorithmes, difficultés à changer de point de vue et de
cadre,
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-
identification des enjeux de l’apprentissage faible ou absente,
-
difficultés de lecture et d’expression, orale et écrite,
-
mauvaise image de lui-même, refus du travail en groupe, préférence d’une relation à
l’adulte d’ordre affectif.
Maîtrise de la langue et mathématiques : parler, lire et écrire
Comprendre les mathématiques, c’est d’abord bien maîtriser sa langue. Dans un
problème, deux tâches sont présentes : d’une part comprendre l’énoncé, d’autre part résoudre
ce problème. Avec un énoncé écrit uniquement avec des mots, il n’y a pas de représentation
de ce problème pour l’élève en grande difficulté de lire/écrire.
Les questions posées par les élèves de cette classe, leur niveau de formulation
dénotent souvent de très grandes difficultés langagières : compréhension de
l’écrit, expression orale
Compétences logico-mathématiques.
Du domaine de la logique, de l’abstraction, de la conceptualisation, du sens critique,
du sens des opérations, de la technique opératoire, ces compétences constituent un pôle
essentiel dans la démarche de résolution de problème.
Le savoir des élèves peut être disponible ou non , il peut aussi être peu économique,
voire parasite comme le montrent les divers « théorèmes de l’élèves » volontiers décrits par
les didacticiens.
Dans la classe de cycle 3 des Rosoirs, les compétences logico-mathématiques
semblent à première vue faire massivement défaut.
Les élèves ont tendance à se raccrocher à des algorithmes connus, quelque soit
leur pertinence.
Cependant, si on s’attarde un peu sur les réponses des élèves leur caractère
saugrenu peut bien souvent s’interpréter par des carences culturelles, ou un
manque d’expériences de la vie concrète. « Qui est Obélix ? » ou « Combien font
450 ? » sont des questions qui se posent réellement aux élèves.
Expériences et connaissances du réel, connaissances sociales et extra-scolaire.
Elles sont relativement réduites, par rapport à celles de la moyenne des enfants de
cet âge. Ceci apparaît surtout au cours de la 1ere situation, les deux autres ayant
été construites « sur mesure » pour éviter un contexte trop éloigné de leur réalité.
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Compétences méta-cognitives : mémoire, attention, anticipation et planification,
évaluation.
Ces compétences sont notamment observables lorsque l’on invite l’élèves à revenir
sur ses démarches, à verbaliser les procédures parfois intuitivement utilisées et à expliquer le
choix de telle ou telle démarche.
Ces compétences sont facteur d’apprentissage, expliciter permettant de s’approprier.
Le plus souvent les compétences méta-langagières qui y sont associées
apparaissent peu développées dans cette classe. Lorsque les élèves proposent une
opération, ils ont beaucoup de mal à expliquer pourquoi ils l’ont choisie. Ils
peinent à revenir sur leur démarche et ont tendance à mettre en doute leur
réponse lorsqu’on leur demande de la justifier.
Estime de soi, motivation, initiative.
Une situation d’échec à l’école contribue à donner aux élèves en difficulté une image
dévalorisée d’eux-mêmes, non sans répercussions sur leur vie scolaire.
Si les élèves dans leur grande majorité ne refusent pas de se lancer dans les
activités, leur degré d’initiative est variable. Certains donnent l’impression de
faire n’importe quoi, mais de faire quelque chose, comme si le sens et la logique
du travail demandé leur échappait complètement.
Certains ont tendance à rechercher une relation privilégiée avec l’enseignant.
On ressent une fragilité de l’estime de soi de certains : manque de confiance, ils
parlent bas, peu volontiers, sont prompts à effacer, à changer d’avis. Ce qui peut
aussi avoir une répercussion sur la difficulté d’accepter le travail en groupe.
Problème lui-même
Il peut être à l’origine de difficultés pour les élèves, de par certains facteurs non
forcément délibérément voulus par le maître.
Le contexte peut être familier ou non, concret ou abstrait.
Obélix est manifestement un étranger pour la plupart des élèves, et les menhirs ne
font pas partie de leur univers de référence.
Ceci explique les premières questions.
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Le vocabulaire est plus ou moins connu.
« livrer » pose problème à beaucoup d’élèves.
Plus le texte est long, plus il pose problème.
Lorsque la situation est exposée oralement, les élèves se la représentent plus
facilement, ils sont capables ici d’en donner une représentation schématique,
d’autant plus facilement qu’ils l’ont vécue en EPS.
La consigne :
Les deux premiers problèmes sont des problèmes dits sans question. La consigne
est d’en rechercher.
Obélix : les premières questions des élèves se rapportent davantage au sens de la
situation qu’ils appréhendent mal. Le caractère mathématique du problème ne
s’impose pas d’emblée, il se construit lorsqu’on ajoute une donnée, qui aura pour
effet de faire chercher des « combien… ? »
Peut-être peut-on s’interroger sur la pertinence de cette consigne, avec l’énoncé
de base : l’objectif est-il mathématique ? avec un tel énoncé, ne pourrait-on pas
autoriser toutes les questions ?
L’AJA : une profusion de données hétéroclites doit ici mettre les élèves dans
l’embarras, face à la même consigne. Les remarques du narrateur peuvent égarer
les élèves : elles confèrent au texte le caractère de récit, non de problème, en tout
cas pas au sens scolaire classique ! ce qui peut conforter la logique « naturelle »
des élèves, au détriment d’une logique « formelle » attendue.
Là encore, la consigne destinée à aiguiller les élèves vers les notions de
« question » et de « renseignements utiles » pourrait être discutée. Il aurait pu
être demandé par exemple dans un premier temps de résoudre une question
pertinente d’après les données, puis de résoudre une question impossible à
résoudre avec les données présentes.
B.
Projets de stages, travail conduit avec les élèves en
résolution de problèmes pendant les stages R1 et R2.
A la suite des observations faites à l’école des Rosoirs, j’ai souhaité mettre en œuvre
une expérimentation sur la résolution de problèmes au cours du stage en responsabilité.
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La première partie du stage a été effectuée à Saint-Privé, dans une classe de cycle
3 à trois niveaux, en zone rurale.
Cette classe comprenait 4 élèves de CE2, 4 de CM1 et 7 de CM2. Quatre d’entre eux
avaient été signalés au RASED. L’enseignante de la classe envisageait une proposition
d’orientation en SEGPA pour une élève, Gwendoline, et en CLIS pour une autre élève,
Sandra dont la scolarité avait souffert des irrégularités inhérente au mode de vie des « gens du
voyage ».
Outre les difficultés d’apprentissage, assez lourdes pour ces deux élèves, des
difficultés d’ordre comportemental perturbaient les apprentissages en particulier pour deux
autres élèves, Virginie et Benjamin.
Mon objectif était de mettre en place une situation comparable à « l’AJA » au départ, à
titre d’évaluation diagnostique, puis de proposer aux élèves la résolution de problèmes de
natures diverses, avec une différenciation prévue d’avance selon le niveau de classe d’une
part, et l’apport d’aides adaptées aux élèves d’autre part, en fonction des besoins.
Séance
1 : Énoncé
sans
question « Notre classe », évaluation diagnostique et
détermination de quatre groupes de niveaux.
Séance 2 : Chacun des groupes travaille sur un problème de recherche, d’abord
individuellement, puis en groupe : « les nombres », « les dés », « le manège », et « la
promenade en bateau ».
Séance 3 : Problème de géométrie « parallèle, perpendiculaire »
Séance 4 : Méthodologie : lecture d’énoncés.
Hors séances : Défi-maths ( Evariste et autres énigmes ).
Le deuxième stage, en CE1 à Chablis, m’a permis de tester le dispositif d’ateliers.
Je décris en annexe la première séance, où j’ai travaillé avec des groupes de 6 élèves un
problème de recherche issu de banqoutils : « le magasin de jouets »
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III. Pratiques pédagogiques mobilisables par le maître .
A. La pédagogie différenciée…en général.
Comme nous l’avions rappelé en introduction, depuis la loi d’orientation de 1989,
« l’enseignement doit être adapté à la diversité des élèves ». « L’enfant doit être placé
résolument au cœur du système éducatif » et « la prise en compte de l’hétérogénéité des
élèves recentre l’action du maître tout autant sur celui qui apprend que sur ce qu’il apprend ».
Différencier la pédagogie, c’est permettre à chacun d’aller aussi loin qu’il peut avec ce
qu’il sait, et d’apprendre des autres, de ses camarades et du maître. C’est organiser des
échanges dans le groupe pour permettre de confronter des représentations et procédures
différentes, et de générer ainsi des changements de points de vue, des progrès.
Différencier la pédagogie, c’est utiliser tout le registre des formes d’organisation dans
le travail de la classe.
1. Différenciation : fondements, objectifs.
Tous les élèves n’apprennent pas la même chose en même temps et au même rythme.
Le modèle cognitiviste de l’apprentissage a mis en évidence, pour un même contenu enseigné,
pour une même situation d’apprentissage, la grande diversité des comportements cognitifs des
élèves. Ces travaux ont ainsi orienté la réflexion pédagogique vers la prise en compte de ces
différences.
Selon Halina PRZESMYCKI, la pédagogie différenciée se définit comme :
-
« une pédagogie individualisée », qui reconnaît l’élève comme une personne ayant ses
représentations propres de la situation de formation ;
-
« une pédagogie variée qui propose un éventail de démarches » selon des rythmes
d’apprentissage différents, dans des durées variables, par des itinéraires diversifiés, sur
des supports différents et dans des situations non identiques.
Avoir le souci d’un processus individualisé signifie permettre à chaque élève, sur des
tâches communes à tous, d’avoir accès à ses propres processus cognitifs , à ses propres
régulations, pour les amender ou les transformer, le cas échéant.
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La pédagogie différenciée veut prendre en compte les différences, et en tirer parti en
favorisant les interactions entre élèves, comme le suggère le titre évocateur « chacun, tous,
…différemment » signé ERMEL.
2. Question de l’évaluation et statut de l’erreur
L’évaluation permet de dégager les besoins du groupe ainsi que ceux des élèves, et
leurs réussites.
Différencier, c’est individualiser l’observation et l’évaluation pour se donner une
bonne connaissance de l’état de savoir de chacun et de la classe, et concevoir en fonction des
connaissances de la classe des situations telles que tous les élèves s’y trouvent dans leur
« zone proximale de développement » au sens de Vygotsky.
Par conséquent, la prise en compte de l’erreur dans le processus d’apprentissage
apparaît indissociable de la démarche de différenciation. Dans cette perspective, ni « faute »
ni « horreur », l’erreur sert d’indice au maître, qui va même chercher à les provoquer en vue
de permettre aux élèves de les dépasser.
Ceci implique d’envisager a priori le traitement qui sera fait des erreurs attendues.
Ses travaux de recherche à l’appui, Jean Julo s’interroge sur l’efficacité des « bonnes
solutions » recopiées par les élèves qui ne les avaient pas trouvées. A l’idée de correction
s’oppose celle de mise en commun, débat, échange, dont R. Charnay souligne l’importance
mais aussi la délicatesse de sa mise en œuvre.
Du côté du maître, l’évaluation est diagnostique et formative.
L’interprétation des erreurs et des conceptions qu’elles révèlent joue un rôle central
dans la démarche d’enseignement. L’erreur reflétant l’état de savoir et les processus mis en
œuvre par les élèves, son traitement implique une bonne culture mathématique de la part de
l’enseignant, qui doit s’attacher à déjouer par exemple les théorèmes en acte, implicitement
mis en action par les élèves qui les ont construits à l’aide d’informations et raisonnements
incomplets ou défaillants.
Du côté de l’élève, l’évaluation est formatrice.
Les élèves sont associés à l’évaluation : ils progressent en corrigeant eux-mêmes leurs
erreurs. Pour cela, il est nécessaire qu’ils soient informés des objectifs d’apprentissages, afin
qu’ils puissent être réellement acteurs de leur propre cheminement, de l’erreur à la réussite.
L’autoévaluation des élèves peut se faire soit grâce au caractère autovalidant de la situation,
soit à l’aide d’une grille de critères construite ensemble avec eux.
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3. Ecueils à éviter
Individualisation
R. Charnay préconise de travailler avec le groupe classe aux différentes étapes des
apprentissages, afin de conserver le bénéfice des apports mutuels. Ce qui contribue à la
construction d’une « histoire cognitive commune » et au maintien d’une certaine homogénéité
dans la classe.
Groupe de niveaux
Si des groupes de niveaux peuvent être ponctuellement constitués, il est risqué de les
installer durablement : si un élève se perçoit comme membre d’un groupe en échec, il lui sera
difficile de trouver des arguments pour se valoriser dans ce même groupe. Il est préférable,
dans cette perspective, de former des groupes d’objectifs.
Schémas de résolution préétablis
La COPIRELEM montre comment, face à une classe comportant de nombreux élèves
en difficultés, l’enseignant peut être amené à proposer des algorithmes simples de résolution,
des règles ou des opérations. Dans ces conditions l’élève se trouve réduit en quelque sorte à
un rôle d’exécutant. Il se représente plus difficilement le problème, n’assume pas la
responsabilité de la recherche qui se vide de sens.
Travail fragmenté, axé sur la méthodologie, non mathématique.
Si, comme le note le rapport CORRIEU, cité par l’IUFM de la Réunion, des outils
d’aide à l’organisation peuvent être prudemment introduits ( tableaux, arbres…), ils ne
peuvent pas faire l’objet d’un apprentissage pour eux-mêmes ni être perçus par les élèves
comme des intermédiaires qu’il faut obligatoirement utiliser pour traiter certains problèmes.
Sylvie COPPE ( grand N N° 69 ) cite REY en mettant en avant le fait que « rien ne dit que la
juxtaposition d’activités visant une microcompétence permet au sujet de recomposer la
compétence générale (si elle existe) ».
Dans le N° 63, l’auteur analysait les activités méthodologiques proposées par les
manuels et concluait en proposant de plutôt laisser les élèves élaborer eux-mêmes leurs
techniques de résolution : c’est en résolvant des problèmes que l’on construit ses outils
propres. Jean JULO corrobore cette affirmation mettant lui aussi en doute l’efficacité des
méthodes générales d’entraînement à la résolution de problèmes.
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Simplification énoncés, aides qui « tuent » le problème.
L’aide à la résolution doit permettre la compréhension et éviter l’échec. Pour autant,
elle ne doit pas « tuer le problème », donc ni mettre sur la voie d’une procédure de résolution,
ni a fortiori donner la solution. Les énoncés doivent conserver leur complexité, les simplifier
leur conférerait un caractère de simple « exercice ».
La nature et le dosage des aides constituent donc un point crucial dans la démarche de
différenciation. Nous y reviendrons dans la partie consacrée aux aides.
B. Différenciation de l’enseignement… et résolution de problèmes
Dans son premier ouvrage sur la pédagogie différenciée, MEIRIEU, s’inspirant des
thèses de PERETTI et de LEGRAND, MEIRIEU distinguait deux façons de différencier les
modalités d’apprentissage dans la classe : la différenciation successive et la différenciation
simultanée.
La différenciation simultanée, à l’appui des observations faites par l’enseignant
(évaluation formative), construit des parcours d’apprentissages adaptés aux besoins des
élèves. Sa mise en œuvre mobilise les variables didactiques prévues par le maître pour une
même situation, mais aussi des activités de nature ou en quantité différente si nécessaire.
La différenciation successive se pratique dans les situations d’apprentissage
communes au groupe classe, et se base sur la diversification des questionnements, situations,
tâches, supports, outils, modes de travail, etc…
1.
Différenciation simultanée
La différenciation simultanée peut se concevoir comme un travail commun mené en
groupes , mais aussi comme un travail du groupe classe accompli par chacun selon des
moyens différents.
Dans la classe de cycle 3 à Saint-Privé, j’ai souhaité faire travailler la classe
entière en résolution de problème sur la même situation au départ, en vue de par
la suite, en fonction de l’évaluation effectuée, différencier de façon simultanée
l’apprentissage sans a priori tenir compte du niveau de classe, sauf en géométrie
où les compétences requises étaient différentes selon le niveau.
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Pour l’équipe ERMEL, les outils de la différenciation se classent en plusieurs catégories :
-
les procédures admises,
-
les contraintes imposées et les ressources disponibles,
-
la tâche
a. Différenciation par les procédures.
Il est important que le maître résolve préalablement par écrit les problèmes proposés,
et qu’il anticipe sur les diverses procédures de résolution qui pourront être mobilisées par les
élèves. Ainsi, il pourra plus facilement mener la phase de mise en commun, qui est aussi un
moment clé de l’apprentissage. La mise en évidence non pas d’une solution unique, mais de
plusieurs voies possibles, et leur comparaison a pour but de faire évoluer les conceptions des
élèves, puis leur propre pratique.
Lors de la séance 2, à Saint-Privé, j’avais prévu deux phases, la première
consacrée à la recherche personnelle, et la suivante, le lendemain, consacrée à
l’explicitation en groupe des démarches utilisées. La consigne était de produire
un écrit par groupe, ce qui devait inciter les élèves à chercher quelle(s)
solution(s) pouvait être acceptée(s) après confrontation des propositions.
Cette deuxième phase a été difficile à mettre en œuvre, car je n’avais pas prévu
d’avoir autant à intervenir dans chacun des groupes.
Le groupe « les nombres » a nécessité une importante régulation , dès sa mise en
place, pour fonctionner collectivement : les élèves, très en difficultés,
s’attachaient à leur procédure personnelle et refusaient d’entendre autre chose.
Le groupe « les dés » avait rapidement répondu au problème, j’ai donc changé
« cherchez 2 solutions » en « cherchez toutes les solutions », ce qui nécessitait d’
élaborer une stratégie. Dès lors, ce changement introduit, les élèves n’ont pas
réussi à s’entendre sur le but de la tâche, qu’ils auraient pu je pense résoudre
beaucoup plus rapidement avec une aide au lancement, leur demandant de
reformuler la consigne.
Ils ont produit 8 solutions, dont à deux reprises deux solutions identiques, et dont
une solution « impossible » avec 8 points obtenus d’un seul jet dé. Ils n’ont pas
élaboré de stratégie ni contrôlé leurs résultats. Là encore, ils ont manqué de
guidance pour mener à bien leur travail.
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« Le manège » a par contre bien fonctionné, avec le groupe des CE2 auprès de
qui j’ai été plus présente. Après recherche individuelle, les 5 élèves ont travaillé
par 2 ou 3, et ont ensuite comparé leurs solutions. Un des groupes, qui n’avait
pas été jusqu’au bout du problème, n’ayant dépensé que 13 euros, a très vite
compris comment poursuivre le raisonnement.
«La promenade » a été assez facilement résolu par trois élèves de CM2, mais le
déroulement ne s’est pas opéré de la même façon. J’avais corrigé le travail
individuel avant la 2e phase en groupe, ce qui n’a pas permis aux élèves de
repérer seuls leurs erreurs. Erreurs de 2 ordres : de lecture de l’énoncé et de
calcul. Si bien que leur travail en commun a perdu une partie de son fondement, il
leur restait principalement à refaire correctement les calculs erronés et à
communiquer leur réponse.
Je retire de cette expérience :
-l’intérêt de la réflexion personnelle préalable des élèves,
-la nécessité pour l’enseignant, d’autant plus quand l’habitude de la
coopération et du travail de groupe n’est pas installée, d’animer cette
confrontation afin que chaque élève puisse en retirer ce qui lui revient. C’est à
dire, pour ceux qui ont réussi, parfois intuitivement, d’expliquer leur démarche,
et pour ceux qui étaient en erreur, d’en prendre conscience et de s’approprier
une démarche proposée par un pair.
b. Différenciation par les ressources et contraintes
Types de problèmes .
Le groupe EVA MATH propose une diversification des types de problèmes en
fonction de la difficulté rencontrée par l’élève, selon qu’elle se trouve dans la situation
initiale, dans la réception ( lecture de l’énoncé, décodage ) ou dans l’émission ( rédaction )
etc…
Ceci permet également une analyse des difficultés et la mise en place d’activités de
remédiation mieux ciblées.
Contexte et autres caractéristiques de l’énoncé .
Dans le cadre de la résolution de problème, le support de l’énoncé peut varier : il peut
être communiqué sous la forme de langage verbal oral ou formel écrit. Il peut aussi être
matérialisé ou non par des éléments manipulables. Le support écrit peut être plus ou moins
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dense et complexe ou au contraire très court et assorti d’une illustration aidant à sa
représentation. La formulation et la place de la question peuvent également varier, de même
que l’on peut faire travailler les élèves sur des problèmes « sans question ».
Pour l’évaluation initiale, en cycle 3 à Saint-Privé, j’ai fabriqué d’abord un
énoncé sans question, à habillage banal, destiné à éliminer au maximum la
difficulté de représentation de la situation.
Mais en choisissant un contexte trop familier, l’effet observé a été, comme dans la
classe des Rosoirs lors de la situation « AJA », d’occulter le caractère
potentiellement mathématique des données présentées.
Je me suis ensuite interrogée sur la pertinence d’un problème sans question
fourni par le maître, pour des élèves qui ont du mal à résoudre des problèmes. Il
me semblerait aujourd’hui peut-être plus constructif d’amener les élèves à se
poser des questions, de les aider à les mettre en forme, à les résoudre, et ensuite
de leur faire reformuler l’ensemble de leur démarche, par exemple en vue de
poser un problème à une autre classe.
J’ai voulu ensuite privilégier davantage l’aspect « recherche », dans les
problèmes proposés à la classe de cycle 3, ainsi qu’en CE1. J’ai donc choisi des
énoncés courts, avec peu de données et une question unique. Il y a eu malgré tout
des problèmes de lecture, avec mauvaise compréhension de la consigne, par
exemple :
« Les personnes d’un même groupe ne veulent pas se séparer » n’a pas été pris
en compte, cette information n’a pas été décodée.
« La somme » n’a pas été compris par Gwendoline.
Ayant eu 4 groupes qui démarraient simultanément, j’ai passé trop vite cette
phase importante de lecture compréhension de l’énoncé, ce qui a généré de faux
départs et des blocages qui auraient pu être évités.
Réponse de l’élève.
Là encore, le maître peut prévoir un allègement de la tâche grâce par exemple à la
dictée à l’adulte, si l’enfant est en difficultés à l’écrit.
A saint-Privé, Nicolas ( CM1) était particulièrement lent, dans l’élocution comme
à l’écrit, mais il donnait la preuve d’une très bonne qualité de réflexion. Zineb, à
Chablis, primo-arrivante, était encore très handicapée à l’écrit, alors que son
raisonnement mathématique était vif et sûr. J’ai pu aider Zineb, ayant l’habitude
de travailler avec elle en dictée à l’adulte, mais j’ai négligé Nicolas, alors que si
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je l’avais libéré de l’écrit, il aurait pu jouer un rôle bien plus moteur dans son
groupe pendant la deuxième phase de recherche.
Le maître peut aussi alléger la tâche de l’élève en l’aidant à se situer, en cours de
travail, dans son itinéraire de résolution, et en l’invitant à contrôler sa réponse
après relecture de la question.
Virginie après avoir cherché longuement le 1er défi, avait trouvé que le livre était
ouvert aux pages 20 et 5 : je l’ai renvoyée à la bibliothèque pour vérifier. Dans
son tâtonnement, elle avait complètement perdu de vue le sens de la question.
De même pour Lisa et Alison, en cours de recherche sur « les dés », trouvent une
partie de la solution, puis s’égarent et proposent des réponses impossibles ( plus
de 6 points par lancer ), ou non autorisées par l’énoncé ( plus de 3 lancers). Là
encore, il y avait manque de contrôle.
Cette phase de contrôle était de façon générale défaillante dans la classe, ce qui
aurait mérité un travail particulier commun au groupe classe.
Variables didactiques.
Le choix de la taille des nombres, par exemple, aura une incidence sur les procédures
de résolution. De petites quantités seront facilement dessinées et dénombrées, alors que les
grands nombres incitent à trouver une autre procédure.
Les CM1 ont eu à résoudre un problème d’autobus, avec succession de
transformations. Aucun d’entre eux n’ont réussi, avec des nombres entre 15 et 40.
J’ai repris le même type de problème avec des petits nombres, ce qui a facilité la
représentation mentale et schématique, et la résolution.
Outils.
Les outils disponibles peuvent, pour un même problème, être adaptés en fonction des
élèves. Si l’on veut privilégier la recherche, on pourra par exemple autoriser la calculatrice à
des élèves en difficultés sur le plan de la technique opératoire.
Si pour « la promenade », j’avais autorisé la calcuatrice, j’aurais peut-être
observé de meilleurs résultats dans les premières productions, truffées d’erreurs
de calcul.
En géométrie, un problème pourra être résolu avec des outils différents selon le niveau des
élèves, toujours en fonction des objectifs ciblés.
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Le tracé à effectuer après l’introduction des notions de parallélisme et
perpendicularité devait se faire à l’aide d’outils différents selon le niveau des
élèves. Les résultats n’ont été que moyens :
- la règle en CE2 n’a pas été utilisée pour mesurer, par exemple, et en CM1
l’aspect mesure du quadrillage n’a pas été perçu par plusieurs élèves,
- les tracés étaient souvent imprécis, même sur quadrillage,
- l’équerre était manipulée très malhabilement,
Visiblement, ces outils n’étaient pas familiers aux élèves.
J’aurais dû passer un peu de temps, avec les CM2 y compris, à faire
caractériser les outils utilisés, faire dire à quels usages ils répondaient et faire
préciser leur mode d’utilisation, avant de, phase là encore trop négligée,
vérifier collectivement la compréhension de la consigne.
Temps
Le temps disponible pour mener à bien la résolution d’un problème peut être modulé.
Certains élèves ont besoin de plus de temps, il est important de leur laisser l’occasion de
mener un travail à son terme, sans quoi ils risquent de se démobiliser. En contrepartie, cela
signifie qu’en général il est à prévoir des activités supplémentaires pour les élèves les plus
rapides.
La lenteur ne doit cependant pas être cultivée : elle peut parfois être imputée à
l’installation de procédures très coûteuses en temps, voire inefficaces, auxquelles le maître
doit prêter attention en vue d’en détourner les élèves. Robert NEYRET ( RP N° 12 ) évoque
ainsi le cas des élèves en difficultés qui reproduisent souvent procédures rudimentaires pas à
pas dont ils sont assurés qu’elles « marchent ». Il met en avant la nécessité de concevoir des
situations permettant aux élèves de prendre appui sur ce qu’ils savent faire, et de faire évoluer
progressivement leur procédures initiales vers des procédures plus complexes.
Dans la classe multiniveaux de cycle 3, les élèves étaient habitués à travailler en
autonomie spontanément dès leur tâche terminée. La difficulté pour moi était la
validation immédiate du résultat, que j’avais du mal à gérer simultanément. Ainsi,
certains élèves auraient dû reprendre leur travail, qui en fait était incorrect ou
inachevé.
J’ai essayé l’échange des productions entre élèves avant l’arrêt de la séance,
mais cela avait l’inconvénient de fausser l’évaluation individuelle dans certains
binômes.
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En définitive, j’en ai conclu que là où une validation immédiate est
indispensable, il fallait que je me donne les moyens organisationnels de la
rendre effective. Ce qui m’a conduite à réfléchir à l’organisation en ateliers ou
en groupes d’activités simultanées mais différentes selon qu’il y a nécessité ou
non de la présence de l’enseignant.
c. Différenciation par les tâches et par les rôles.
Selon R. CHARNAY, la différenciation par la tâche répond à des besoins
individuels : la mise en place de groupes s’organise en fonction de l’évaluation de chacun, et
peut prendre la forme de groupes de soutien, de besoin, de choix, d’entraînement ou
d’approfondissement.
Ce type d’activité différenciée ne doit pas être systématisé, au risque de priver les
élèves les moins habiles du dialogue avec les autres.
La mise en place de certaines situations permet également de différencier par les rôles
attribués aux élèves, soit en les adaptant à leurs niveau de compétences, soit en les
personnalisant selon les compétences à acquérir. Par exemple, dans une situation de
communication, on peut proposer le rôle d’émetteur à un élève qui ne maîtrise pas encore bien
le vocabulaire spécifique de la notion, afin de l’amener à prendre conscience de la nécessité
de l’utiliser.
2. Différenciation successive.
a. Variété des situations, contextes, représentations, exemples,
démarches, corrections, modes de schématisation…
Ce mode de différenciation se pratique le plus souvent lors des phases collectives
d’engagement dans un nouvel apprentissage : tous les élèves, engagés dans la même activité,
se voient proposer un parcours diversifié, construit de sorte que chacun d’entre eux puisse
trouver la clé qui lui convient le mieux.
En variant les supports pédagogiques, les questionnements, le contexte, un même
concept est abordé sous ses divers aspects.
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L’approche tient compte de la diversité des profils des élèves, en ce qui concerne leur
dominante perceptive et mémorielle ( plutôt auditive, visuelle ou kinesthésique ).
A titre d’exemple, abordant la multiplication au CE1 de Chablis, j’avais
confronté les élèves à diverses situations multiplicatives : quadrillages, jeu du
kangourou, cubes et allumettes, paquets dessinés, et aussi « groupements
sonores » de frappés dans les mains, qu’ils devaient écrire sous forme
multiplicative après représentation schématique de leur choix. Cette dernière
approche, sonore, sollicitant la concentration, menée comme un jeu, a été très
appréciée.
b. Alternance des modes de travail.
En faisant appel tantôt au travail classe entière, tantôt au travail individuel, en binôme,
en atelier ou en groupe, l’enseignant espère faire fonctionner efficacement les interactions
bénéfiques des élèves entre eux, entre groupes d’élèves (ou classe) et le maître, ou encore
entre le maître et les élèves, individuellement.
A Saint-Privé, pendant la 2e séance de résolution de problèmes lors de la phase
de recherche individuelle, j’ai pu me rendre compte de certains des obstacles
rencontrés par les élèves qui me sollicitaient parce qu’ils « ne comprenaient
pas »,
avec une conscience plus ou moins claire de ce qui les bloquait.
Gwendoline était embarrassée par le terme « somme » : après renvoi de la
question à la classe, elle a pu commencer sa recherche.
D’autres élèves par contre, qui avançaient très vite tant dans la lecture de
l’énoncé que dans leur recherche, ne posaient pas de question et je n’ai découvert
leurs erreurs qu’en fin de 1ère séance. Comme indiqué plus haut, j’avais négligé la
première phase collective de lecture et clarification d’énoncé.
L’articulation recherche individuelle-recherche en groupe n’était pas non plus
optimale : il aurait mieux valu que ces deux phases se succèdent immédiatement.
Ce qui n’était pas facile à gérer car le rythme de travail était très variable dans
un même groupe, et je tenais à laisser finir chacun avant la mise en commun.
J’avais omis cependant de préciser le temps imparti, ce qui ne favorisait pas
l’apprentissage de la gestion du temps par les élèves.
Le temps de travail en groupe a permis une appropriation du problème par tous
les élèves, le fait de demander un écrit par groupe les a conduit à se mettre
d’accord sur une solution commune.
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Le temps collectif de synthèse, par contre, a fait défaut : si c’était à refaire,
j’aurais désigné deux rapporteurs par groupe, l’un pour présenter le problème à
la classe, l’autre ( par exemple celui qui individuellement avait rencontré
davantage de difficultés ) pour exposer la procédure de résolution adoptée par le
groupe - après un court temps laissé au reste de la classe pour chercher. Ceci
avec un double objectif :
- alimenter la « banque de problèmes » des élèves, qui permet de répertorier
des catégories de problèmes,
- faire verbaliser les élèves et argumenter, en vue d’une appropriation des
démarches de résolution.
Pour le Défi, j’avais choisi de laisser toute latitude aux élèves quant au mode de
recherche, proposant la coopération sans l’imposer. Les binômes d’inséparables
se sont inévitablement constitués, ce qui a eu pour avantage d’impliquer certains
élèves en difficulté. En corollaire, l’évaluation individuelle était là encore
impossible.
Une autre situation de différenciation successive : celle conduite en géométrie
avec un point de départ classe entière, puis une tâche spécifique à chaque niveau
de classe. J’ai constaté là l’intérêt pour les CM2 de réactiver des connaissances
qui en principe auraient dû être acquises, lors de leur présentation pour les CE2.
Parallèle, perpendiculaire, deux concepts nouveaux en début de cycle, vont se
consolider ainsi progressivement. Au cours de la phase introductive, le travail
perceptif a été conduit par les plus jeunes : recherche dans la classe de droites
parallèles et perpendiculaires matérialisées. Puis les plus grands opéraient la
vérification à l’aide des outils appropriés, règle et équerre. Ce qui ensuite devait
être réinvesti dans le contexte de la feuille, quadrillée ou non, remise à chaque
élève.
3. Un dispositif fructueux au service de la différenciation : le
travail en ateliers.
L’expérience conduite dans la classe multi-niveaux de Saint-privé m’a poussée à
rechercher une forme d’organisation qui me permette d’accorder davantage d’attention à
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chacun. L’évaluation des productions écrites me semblait bien insuffisante. Certaines
affirmations m’avaient laissée perplexe, par exemple :
-
« On ne peut pas » écrivait Valentin (CE2).
-
.« J’ai compté » argumentait Paul (CE2).
-
C’est le dialogue
avec Valentin qui m’a éclairée : il mêlait la notion du jour
(polygone) à celle abordée la veille (perpendiculaire), et « ne pouvait pas » trouver
d’angle droit à l’hexagone, qui pour lui n’était donc pas un polygone.
De même, seul Paul pouvait expliquer ce qu’il avait compté et comment il avait procédé,
et il fallait lui faire comprendre que c’est cela qu’il devait écrire, pour répondre à la consigne
demandant de calculer et de justifier.
La mise en place d’ateliers de résolution de problème m’a semblée de nature à favoriser
l’apprentissage de la résolution de problèmes.
D’abord, parce que le travail en petit groupe, en présence du maître, devait à mon sens
favoriser l’engagement des élèves dans la recherche en toute sécurité, autorisant davantage la
prise de parole et les initiatives, puis les confrontations.
Ensuite, parce qu’une évaluation fine est indispensable à une bonne médiation, au cours
des travaux collectifs, afin qu’elle implique au mieux les élèves, et que leurs compétences et
difficultés soient mises à profit pour le groupe.
Dans la revue rencontre pédagogiques N°12, est proposée une organisation intéressante
dans le cadre de la différenciation simultanée, permettant de prendre en compte le niveau de
compétence de chacun :
- Un atelier spécifique travaille avec le maître, qui s’y consacre exclusivement.
- Un atelier autonome individualisé travaille pendant ce temps là, sur fiches par
exemple, à des activités de consolidation ou d’entraînement, programmées individuellement.
- Un troisième atelier concomitant, dit « groupe de travail d’aide mutuelle », peut
proposer soit une tâche à résoudre collectivement, soit individuellement avec autorisation
d’entraide.
J’ai voulu mettre en œuvre à Chablis, dans la classe de CE1, une organisation inspirée
de celle-ci dès la première séance de résolution de problème, afin de repérer où en était
chaque élève, pour lui permettre d’avancer à partir de là où il en était.
Au cours de la première semaine, tous les élèves sont passés à l’atelier de
résolution de problème, pour résoudre « Le magasin de jouets » ( voir énoncé en
annexe ).
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La consigne était d’abord de lire l’énoncé. Après explicitation en groupe, il fallait
chercher seul dans un premier temps. Les procédures observées étaient très
variées. Dans un premier temps je suis intervenue individuellement pour aider à
reformuler la consigne. Puis, mon aide a porté sur la méthode de travail :
comment savoir combien vont coûter ces 2 jouets ensembles ? où écrire le
calcul ? faut-il en garder une trace ? y a-t-il une autre solution ? comment
rédiger la réponse ? …
Sans donner de réponse, je questionnais individuellement les enfants.
Romain, en grande difficulté à l’écrit, n’arrivait pas à démarrer. Le travail en
petit groupe m’a permis de reprendre avec lui la représentation de la situation. Il
réussit donc à reformuler la question du problème. A la suite de quoi, il a pu
s’engager dans des essais, mais qu’il ne parvenait jamais à conclure sans mon
aide.
Gautier a passé beaucoup de temps à schématiser les jouets sous forme de
paquets d’euros. Au bout d’un moment, inspiré par le travail qui se faisait à côté,
il a changé de méthode et s’est mis à poser des additions, qui l’ont rapidement
conduit à la première solution.
Tiffany effaçant chaque essai, ne savait plus où elle en était.
Florent et Alexis posaient bien leur addition en colonne, mais ne géraient pas la
retenue.
Un autre élève utilisait un raisonnement soustractif, mais se trompait en
calculant.
Ces quelques exemples donnent un aperçu de l’hétérogénéité des savoirs, de la
diversité des modes de traitement mobilisés, ainsi que de la variété des difficultés
rencontrées lesquelles ne nécessitent pas toutes
pour autant un traitement
collectif.
Certains obstacles repérés méritaient d’être repris par la classe, d’autres
devaient permettre la mise en place de remédiation ou de consolidation
personnalisées, par exemple pendant les temps d’ateliers autonomes qui se
déroulaient en parallèle.
Ces temps étant uniquement voués à la recherche, je n’avais pas prévu de phase
de synthèse. Or, ce que j’ai déjà noté au cours de mon stage en cycle 3 reste
valable dans le cadre des ateliers : un bilan classe entière du travail mené en
ateliers aurait été souhaitable, avec confrontation des procédures, explicitation
et argumentation des choix opérés. Sans être une correction, une telle étape
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finale a manqué dans ma préparation, alors qu’elle fait partie intégrante de
l’apprentissage .
C’est au cours des moments de synthèse que j’aurais pu élaborer avec les élèves
une grille de critères permettant de vérifier si un problème est résolu ou non,
grille évolutive, outil d’auto-évaluation utilisable par la suite.
Le bilan de cet atelier m’apparaît néanmoins positif, tous les enfants se sont bien
engagés dans une démarche personnelle de résolution, et une grande majorité d’entre eux est
parvenue à écrire au moins une solution.
Cette expérience, tout à fait ponctuelle, et dépourvue d’évaluation différée est bien
entendu à mon sens insuffisante pour être réellement porteuse de sens. Elle ne s’inscrit pas
dans le cadre d’une progression. Elle a le mérite cependant de montrer comment peut
s’organiser la classe de façon à ce que chaque élève bénéficie de l’attention du maître, c’était
l’objectif visé et il est bien atteint.
Ce type d’atelier aurait pu être mis en place dans une classe multiniveaux, avec un
énoncé commun présentant des variables didactiques en fonction des niveaux.
J’ai l’intention, dans ma pratique ultérieure, de mettre en place un fonctionnement par
ateliers, quelque soit le ou les niveau(x) de classe. Il faut souligner l’intérêt du travail en
autonomie ( et/ou en coopération ) pour les autres groupes d’élèves, tant du point de vue de
l’enseignant, qui peut individualiser les tâches attribuées à chacun, que du point de vue des
élèves, qui apprécient beaucoup ce temps d’ateliers, ressentant probablement mieux dans ce
cadre qu’ils sont maîtres de leur apprentissage. Le climat de la classe en est également
bénéficiaire, car l’entraide et les échanges y sont particulièrement favorisés.
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IV. Les aides différenciées apportées par le maître au cours des
activités de résolution de problèmes.
Afin qu’aide ne se confonde avec assistance, elle se doit d’être bien mesurée. Il s’agit
de faire évoluer les élèves, non de les faire réussir à tout prix : quand l’élève n’est pas capable
d’effectuer seul une tâche, il est capital que l’enseignant puisse lui apporter une aide qui le
conduise progressivement vers une certaine autonomie
En petit groupe, nous dit R. CHARNAY, « par l’incitation à agir, par les verbalisations
qu’il sollicite ou qu’il propose, par les actions qu’il amorce ou par les contrôles qu’il exerce
sur celles des élèves, le maître peut [alors] devenir le tuteur vigilant qu’il ne peut pas toujours
être lorsqu’il travaille avec toute la classe. »
Climat, encouragements.
Ces paramètres sont à prendre en compte, dans une activité à risque comme celle de la
résolution de problème. Harmoniser l’affectif et le cognitif permet de sécuriser les élèves qui
se lanceront ainsi plus facilement vers l’inconnu.
Il importe de favoriser un climat, un mode de relation propices à la communication
dans la classe et à la confiance en soi des élèves.
Familiarisation avant entrée dans la situation.
R . CHARNAY préconise pour certains élèves plus en difficultés que d’autres à
« rentrer dans une situation » nouvelle pour eux, de préalablement les aider à s’approprier le
nouvel environnement.
En résolution de problème, on peut par exemple travailler avec des tableaux si les
données de l’énoncé sont organisées en tableau.
Aide à la représentation du problème.
Catherine Houdement propose, pour débloquer des élèves qui ne démarrent pas, de les
inciter à simuler la situation , en prévoyant des situations possibles à mimer, où le matériel
permet une entrée dans a tâche, sans permettre la résolution complète. (Grand N 71 p 10)
Lors du démarrage de la recherche sur “le livre”, feuilleter un vrai livre a permis
de comprendre la situation à quelques élèves très en difficultés.
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Aide à la représentation du résultat à atteindre, avant le démarrage de la
recherche.
Cette étape permet la mise en œuvre d’une stratégie de résolution, puis un contrôle du
résultat. Si l’élève n’anticipe pas sur le type de résultat à chercher, il ne peut planifier son
activité. L’aider à mettre en relation la question et les données va lui permettre de se forger
une représentation du but à atteindre, et de passer à l’étape suivante : celle de détermination
de l’action ou opération à entreprendre pour conduire à ce résultat.
Le groupe travaillant sur « la promenade » a eu besoin d’aide pour repréciser le
résultat à atteindre, à savoir quels groupes iraient ensemble, après une première
lecture incomplète de l’énoncé.
Recentrage sur la question.
Au cours de sa recherche, l’élève peut avoir besoin d’être ramené à l’énoncé, dont il a
parfois oublié les contraintes ou certaines données.
Le problème des « dés », par exemple, avait été résolu en partie correctement,
mais les dernières solutions présentées ne tenaient parfois plus du tout compte
soit des constellations réelles d’un dé, soit du nombre de lancers autorisés.
L’intervention aurait été ici d’attirer l’attention des élèves en question sur ces
incongruités.
Aide à la lecture, l’écriture.
Ces aides peuvent alléger la charge cognitive afin de mobiliser tous les efforts de
l’élève sur le raisonnement mathématique.
Temps accordé.
Accorder davantage de temps à un élève ne peut être systématique. Cependant, à mon
sens, un élève qui a trouvé la bonne voie après des errements a le droit de finir sa recherche et
de voir créditée de succès sa persévérance.
Médiation .
Là se trouve l’action essentielle du maître : favoriser les interactions entre les élèves,
les confrontations de solutions, les essais d’autres procédures. Aider les élèves à se décentrer,
à accepter d’autres points de vue et à en reprendre certains à leur compte.
Le maître, sans intervenir sur le contenu, doit aider les élèves lors de la négociation
permettant de valider ou non les procédures. Jeanne BOLON (Grand N N° 69) insiste sur la
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nécessaire mise à l’épreuve des connaissances de l’élève, trop souvent court-circuitée par le
« vrai » ou « faux » exprimé par le maître.
C’est par son questionnement « élucidant », comme le qualifie B.M. BARTH, que
l’enseignant peut aider l’élève à progresser dans son cheminement.
Métacognition.
En demandant à un élève de « penser tout haut », de redire comment il a trouvé,
d’argumenter sa procédure, de comparer sa démarche avec une autre, d’expliquer la résolution
d’un camarade, le maître aide l’élève en question
à asseoir son apprentissage, à se
l’approprier rationnellement ; il aide également le groupe, qui bénéficie de ces explicitations,
et peut à son tour les reprendre ou les contrer.
Elément fondamental dans le processus d’apprentissage, ce retour descriptif sur la
démarche suivie nécessite une aide de la part du maître, qui sans imposer de vocabulaire
spécifique, va aider les élèves à mettre en mot les procédures.
Dans cette optique, il me semble que l’usage systématique du cahier brouillon est
incontournable, permettant de suivre en différé le cheminement de la pensée. Là encore, le
maître a un rôle à jouer dans la valorisation des tâtonnements, essais et erreurs menant au but.
C’est en reprenant la démarche dans son ensemble, avec du recul, que s’éclaire réellement la
complexité d’un problème.
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Conclusion
Différencier sans individualiser
Aider chaque élève à progresser dans son apprentissage signifie prendre en compte les
besoins de chacun, et proposer des situations communes qui autorisent des voies de résolution
diversifiées. C’est au sein du groupe, hétérogène par essence, que peut se construire une
« histoire cognitive commune », faite de questions, de tâtonnements, d’erreurs, de découvertes
et de réussites, susceptible d’inscrire chaque élève, quelque soit son « niveau », dans une
dynamique d’apprentissage.
Un moment du stage effectué à Saint-Privé me revient en mémoire, illustrant d’une
certaine façon la synergie déployée dans la classe dans ce contexte, malgré les problèmes que
je pouvais rencontrer face à groupe plutôt difficile.
La classe avait travaillé en littérature sur l’album « Le voyage d’Oregon », de Rascal,
et les élèves étaient entrés dans son univers avec grand plaisir. Alors que se posait la question
de la durée du voyage, un groupe avait travaillé sur la chronologie dans le texte, et un autre
avait retracé, à l’aide d’un atlas, l’itinéraire de Pittsburgh à Seattle en passant par Chicago.
Au moment de la synthèse ont été confrontés les résultats de ces deux recherches. Les
réponses du groupe « chronologie » étaient-elles vraisemblables ? Trois jours étaient-ils
suffisants pour traverser ainsi l’Amérique ? Cette question a conduit, de fil en aiguille, à
évaluer la distance parcourue, en utilisant l’échelle de l’atlas. La classe entière s’est investie
dans la résolution de ce problème qui « parlait » à chacun., tous les élèves étant plongés dans
le récit depuis quelques jours déjà. Le calcul effectué, l’immensité d’un pays inconnu leur
était apparue sous un jour chiffré, impressionnant. « Faire des mathématiques » s’était imposé
d’évidence et dans cette situation, les uns avaient mobilisé leurs efforts sur la numération, les
autres sur la multiplication, d’autres encore sur la question de l’échelle, … le tout ayant
finalement amené l’ensemble de la classe à la réponse finale. Ce résultat avait ensuite été
rapproché du texte littéraire…
Différencier, mais pas tout le temps
Si la mise en place d’activités spécifiques permet, comme nous l’avons montré avec
l’organisation en ateliers, de mieux répondre aux besoins réels de l’élève, les temps collectifs
sont des moments indispensables qui permettent à chacun de s’enrichir et de se situer. Situer
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son propre savoir par rapport à l’objectif commun, et se situer par rapport aux autres. Un
élève qui aura résolu une partie du problème, ou bien utilisé une procédure particulière, aura
peut-être atteint l’objectif que le maître lui avait assigné au regard de sa situation propre. Pour
autant, il n’aura pas l’occasion d’appréhender la situation dans sa complexité s’il reste
cantonné à son travail personnel.
La
recherche
de
problème
ouvert
comme
moyen
de
différenciation en soi
Confrontés régulièrement à ce type de problème, les élèves peuvent éprouver à la fois
leurs savoirs et leur marge d’imagination, de créativité, d’autonomie. Le maître quant à lui
peut, dans ce contexte au caractère rendu aisément ludique, appréhender les obstacles qui se
présentent devant chacun, et ainsi évaluer et mettre en place des situations propres à faire
évoluer les diverses connaissances.
Prendre en compte la diversité, deux stratégies pour le maître :
Différencier l’enseignement c’est mettre en mouvement à la fois la dynamique
individuelle et la dynamique collective. Les actions du maître peuvent ainsi s’appuyer
sur deux principes :
Prendre appui sur le projet personnel de l’élève, c’est à dire aider l’élève à s’inscrire
dans un projet d’apprentissage, et lui donner les moyens d’évaluer sa progression : c’est dans
cette perspective que le maître pourra efficacement proposer des moyens diversifiés
permettant à l’élève d’affirmer ses compétences en résolution de problèmes, et de construire
son autonomie.
Prendre appui sur l’entraide, les échanges et interactions entre élèves, favoriser
l’engagement par le travail en coopération. Résoudre collectivement un problème, c’est
apprendre à comprendre et à agir sur son environnement, c’est apprendre à utiliser des savoirs
et acquérir les attitudes qui seront nécessaires au libre exercice de la citoyenneté.
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BIBLIOGRAPHIE
BARTH, Britt-Mari. L’apprentissage de l’abstraction. Retz, 1987.
BARUK, Stella (1985) : L’âge du capitaine. De l’erreur en mathématiques. Seuil,1985.
BOLON, Jeanne. Pédagogie différenciée en mathématiques : mission impossible ou défi ? Grand N N°69, 2002..
BRIAND Joël, CHEVALIER Marie-Claude. Les enjeux didactiques de l’enseignement mathématique. Hatier ,
1995.
BRISSIAUD, Rémi. Comment les enfants apprennent à calculer. Retz, 1990.
Carnets de route de la COPIRELEM. Tome 1 : Apprentissage et diversité. COPIRELEM, 2003.
COPPE, Sylvie. Réflexions sur les activités concernant la résolution de problèmes à l’école primaire. Grand N
N°69, 2002.
COPPE, Sylvie, BALMES, Rose-Marie. Les activités d’aide à la résolution de problèmes dans les manuels de
cycle III. Grand N N°63, 1998-1999.
ERMEL. Apprentissages numériques. Hatier.
En mathématiques peut mieux faire. Rencontres pédagogiques N°12, 1986.
Chacun, tous…différemment ! Différenciation en mathématiques au cycle des apprentissages. Rencontres
pédagogiques N°34, 1995.
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HOUDEMENT, Catherine. La résolution de problèmes en question. Grand N° 71, 2003.
HOUDEMENT, Catherine. Le choix des problèmes pour la « résolution de problèmes ». Grand N N°63, 19981999.
JULO, Jean. Des apprentissages spécifiques pour la résolution de problèmes ? Grand N° 69, 2002.
LAMONTAGNE, Jean. De l’évaluation à l’entrée au CE2 aux PPAP. CRDP des Pays de Loire, 2003.
MINISTERE DE L’EDUCATION NATIONALE . Programmes 2002 et Documents d’application des
programmes. CNDP.
MONTI, Bernard, PLOURDEAU, Claudine . Opérations mentales en résolution de problèmes.
pour agir. CRDP Basse-Normandie, 2003.
Sites Internet :
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http://aideeleves.net/morceauxchoisis/differenciation.htm
http://www.ac-bordeaux.fr/ia64/pedago/cycles/docia/doc11.htm
http://freinet.org/icem/dept/gempem/outils/pedadiffcurie2004.htm
http://parcours-diversifies.scola.ac-paris.fr/PERETTI
http://www.lebulletinpmev.com/
http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/peda/clg
http://www2.ac-lille.fr/apmep/les_ateliers/LA25_Leclere.htm
http://www.ien-landivisiau.ac-rennes.fr/maths/geometrie/textes%20theorie/principes.htm
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Repères
ANNEXES
« L’AJA à Paris », cycle 3, école des Rosoirs. ..…………………………………41
« Les éperviers déménageurs », cycle 3, école des Rosoirs. …………………….42
Progression mise en œuvre dans la classe de cycle 3 à Saint-Privé. …………….45
Séance 1, cycle 3, Saint-Privé : « Notre classe…» ………………………………46
Séance 2, cycle 3, Saint-Privé : problèmes de recherche.
« Les nombres », « Les dés »,
« Le manège », « La promenade en bateau » ………………………………...48
Séance 3, cycle 3, Saint-Privé : tracés géométriques. ……………………………49
Séance 4, cycle 3, Saint-Privé : lecture d’énoncés. ………………………………50
Défi-maths, cycle 3, Saint-Privé. ………………………………………………...51
« Le magasin de jouets », CE1, Chablis. ………………………………………...52
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MATHEMATIQUES : RÉSOLUTION DE PROBLEMES
Compte-rendu d’une situation d’apprentissage
Stage de pratique accompagnée octobre 2004
L’AJA à Paris.
Séance du 2/10/2004.
Énoncé :
Lors du dernier déplacement de l’AJA à Paris, nous étions 48 dans un car (6 garçons, 7 filles, 20
messieurs et 16 dames).
Le voyage AUXERRE PARIS a duré 2 heures 15 minutes.
Le voyage du retour a duré 3 heures moins le quart.
Le chauffeur m’a dit que le car consommait 25 litres de carburant tous les 100 kilomètres.
Chaque adulte a payé 15 euros pour le billet d’entrée au match, chaque enfant 10 euros.
Le transport en car n’était pas gratuit, c’est normal.
Nous sommes partis à 16 heures, nous sommes rentrés à minuit.
Au retour à Auxerre, le chauffeur me dit : « on a parcouru 400 kilomètres depuis le départ
d’Auxerre !! »
Je ne me souviens plus du score !!!
Que pourrions-nous chercher ?
Remarques
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MATHEMATIQUES : RÉSOLUTION DE PROBLEMES
Compte-rendu d’une situation d’apprentissage
Stage de pratique accompagnée octobre 2004
LES EPERVIERS DEMENAGEURS
Niveau et contexte :
CE2 / CM1
Ecole des Rosoirs : classe de Françoise GAYE
13
élèves
« en
difficultés »
(
soit
particulièrement
en
mathématiques, soit particulièrement en français )
Thème de la séance :
Construction d’un énoncé de problème
Grands axes du déroulement prévu :
A la suite d’une séance d’EPS ( situation vécue ), il est proposé aux
élèves travaillant en binômes de la transposer en énoncé de problème ( passage à l’abstraction ),
en vue d’en proposer la résolution à un autre groupe.
Objectif :
Comprendre qu’un problème
-
part d’une situation initiale
-
est assorti d’un but à atteindre
-
nécessite une ou des opérations à effectuer : solution non
immédiate !
Durée prévue :
1h
Place dans la progression :
Au début du stage tutelle, observation de plusieurs séances sur la
résolution de problème ( problème sans question ; compréhension d’un énoncé ; énoncé à trous ).
Au cours de ces séances, nous sont apparues les difficultés rencontrées par les élèves face à un
énoncé de problème.
D’où la proposition de notre équipe de 3 PE2 de mettre en place
une séquence sur ce même thème. ( voir : prolongements )
Type de situation d’apprentissage : Problème ouvert.
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Analyse a priori :
A partir du jeu réalisé le matin, les élèves devraient :
* récapituler les données liées à la règle et au matériel utilisé ( quantités d’objets et de
joueurs ),
prendre en compte la modification proposée : davantage de joueurs, nécessité d’adapter
l’organisation matérielle.
* formuler une question issue de cette modification : « combien de cerceaux, de ballons,
de plots… devrons-nous prévoir ? »,
Ainsi les élèves devraient-ils, selon nous, s’approprier un problème, comprendre qu’un problème
peut se rencontrer au quotidien, même pour eux.
Déroulement prévu :
Collectif : rappel de la situation initiale
Listage des données ( joueurs, matériel : quantités ) et élaboration collective d’un schéma,
au tableau.
Consigne :
« En EPS nous avons joué à l’ épervier-déménageur, nous étions 15 joueurs. Si nous
organisions un tournoi, avec 30 élèves, de quel matériel aurions-nous besoin ? »
« Vous allez travailler par 2 : formuler une question et donner les renseignements pour
pouvoir y répondre. »
Recherche :
Individuellement : temps de réflexion.
Puis en binômes, rédaction d’un énoncé et résolution pour vérifier la faisabilité avant de le
transmettre.
Echange d’énoncés entre binômes, essais de résolution.
Mise en commun : repérage des erreurs, rectification en vue d’obtenir un énoncé correct.
Analyse a posteriori :
-Phase collective initiale beaucoup trop longue, notamment schématisation ( déjà acquise, ne
présentait pas de difficulté ). Trop de temps de parole de ma part, pas suffisamment d’échange
entre les élèves.
-Phase de recherche individuelle trop brève.
-Difficulté de certains élèves à travailler en binôme : plusieurs d’entre eux travaillent seuls.
-Bilan des productions :
Seule une élève a atteint l’objectif et rédigé un énoncé.
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Plusieurs groupes ont refait le schéma initial
D’autres ont fait des calculs…
D’autres ont fait un schéma avec la nouvelle situation : d’où énoncé inutile, la
réponse à la question qu’ils se posaient était contenue dans le schéma.
-Les élèves se sont lancés davantage dans la recherche-résolution que dans la formulation ellemême.
-L’enjeu n’était pas assez fort ou en trop, car il y avait beaucoup de données dans cette situation
( quantité importante de matériels ).
-Echec donc du projet d’échange d’énoncés.
-Manque de temps pour la mise en commun, remise à la séance suivante.
Prolongements :
Séance 2 : reprise des productions élèves : « Peut-on résoudre ce problème ? » en vue de faire
ressortir les caractéristiques d’un énoncé (contexte ; données ; question.).
Séance
3 : Reconnaître un énoncé de problème. Parmi diverses propositions, entourer les
problèmes mathématiques.
Séance 4 : Travail sur un énoncé. Trier et éliminer les données superflues.
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PROGRESSION MISE EN ŒUVRE DANS LA CLASSE DE CYCLE 3 A
SAINT-PRIVÉ
CE2
CM1
CM2
Exploitation de données
uation diagnostique : problème sans question. Que pourrions-nous chercher?
numériques :
En groupes de niveau : problème pour apprendre à chercher "Le manège" et "les bateaux"
( 5 séances )
ERMEL ( groupes 1 et 2) "les dés" BANQOUTILS C2
Recherche individuelle ( 1 séance )
Mise en commun des résultats et recherche en groupe ( 1 séance )
Travail en groupe classe sur la lecture d'énoncé : observation critique de réponses d'élèves
( 1 séance )
Identification d'énoncés de problèmes et résolution. ( manuels )
Défi : Evariste
autres énigmes
Calcul mental :
Fractions :
et Recherche libre pendant les temps d'autonomie, individuellement ou par 2 ou 3. Délivrance
ponctuelle d'"aide" quand plusieurs élèves sont bloqués.
Tous les 2 jours, sur feuille, 10 questions : toutes opérations, travail par niveau, correction
orale avec explicitation des procédures proposées par les élèves
Découverte
quadrillage, bandes,
tartes
( 2 séances )
Désignation et notation
Géométrie :
Polygones
Observation et tri
( 2 séances )
Tracés
Définitions : segment, côté,
sommet
Cercle
Observation, rappels
Tracés et utilisation du
compas ---> mesure.
Définitions : centre,
diamètre, rayon
( 2 séances )
Perpendicularité,
parallélisme
Angle droit : découverte, fabrication d'une équerre
( 4 séances )
Tangram
Tracés à la règle sur Tracés à la règle + équerre sur
papier quadrillé
papier non quadrillé
Parallélisme : découverte, définition
Programme
construction
( 2 séances )
Dans la classe, rechercher des parallèles et des
Problème : tracer ou trouver la
perpendiculaires matérialisées. Vérifier à l'aide de la
parallèle,
la
perpendiculaire,
règle et l'équerre. ( activité de remédiation, non prévue
vérifier...
au départ, qui s'est avérée nécessaire.)
Prolongement en arts plastiques : réalisation d'un "damier avec bulles" au crayon, règle et
compas.
de Réinvestissement des notions abordées : reproduction d'une figure, puis rédaction d'un
programme de construction
Travail en binômes avec échange des productions, en vue de mettre en lumière les imprécisions
et erreurs du programme énoncé et de souligner l'importance du vocabulaire spécifique.
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CYCLE 3 : SAINT-PRIVÉ
Séance 1 du 22/11/2004
« Notre classe. »
Objectif :
Évaluation diagnostique de la représentation d’un problème chez les élèves, ainsi que de
leur démarche de résolution.
Compétences générales :
Mise en relation d’une situation de la vie quotidienne avec un énoncé de problème
mathématique.
Compétences spécifiques :
Lecture d’un énoncé
Sélection de données, et mise en relation avec une ou des opérations connues
Argumentation
Résolution par le calcul
Enoncé :
Mathématiques
Notre classe comprend 17 élèves, dont huit filles.
La maîtresse est en stage pendant 3 semaines.
Dans la classe, il y a 3 ordinateurs, un magnétoscope, un téléviseur et un lecteur de CD.
La liste des livres de bibliothèque mentionne 15 romans d’aventures. Trois d’entre eux sont
actuellement empruntés. Il y a aussi de nombreux documentaires.
Le matin, l’école commence à 9 heures et se termine à midi. Il n’y a pas de classe le samedi.
Les élèves ont chacun 1 classeur et trois cahiers.
Le lundi, 8 élèves vont à la cantine.
Aujourd’hui il y a des pommes au dessert. Je ne connais pas le menu de demain.
QUESTION :
Que pourrions nous chercher ? ………………………………………………………………………………………………………………...
REMARQUES : ……………………………………………………………….………………………………………………………………………………
RÉSOLUTION : ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………..
Réponses attendues :
Combien y a-t-il de garçons ? Combien de romans d’aventure restent-ils en rayon ? Combien y a-til d’appareils audio-visuels dans la classe ? Combien a-t-il fallu acheter de cahiers ? …
Erreurs attendues :
Questions dont la réponse est dans l’énoncé
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Questions non mathématiques
Questions dont les données ne sont pas dans l’énoncé
Déroulement
1. Phase collective : lecture du texte et recherche de quelques questions.
Des élèves proposent :
Combien de classeurs en tout ? de cahiers ?
Combien d’élèves mangent-ils à la cantine ?
Quel est le menu de demain ?
Combien d’élèves mangeront-ils demain à la cantine ?
2. Recherche individuelle.
Consigne : « Sélectionner 1 ou 2 questions et y répondre » puis s’il reste du temps : « Inventer
d’autres questions. »
3.
Mise en commun.
Les questions résolues sont les suivantes :
Combien reste-t-il de romans ?
Combien y a-t-il de garçons ?
Combien de classeurs en tout ?
Combien d’élèves mangent-ils à la cantine ?
Combien y a-t-il d’appareils audio-visuels ?
Combien y a t-il de cahiers ?
Comparaison des questions et de leur réponse, qui amène au constat suivant : certaines questions
ont été résolues par un calcul, alors que d’autres non, la réponse était contenue dans l’énoncé.
4. Elaboration de la trace écrite avec les élèves.
« L’énoncé nous indique les renseignements utiles pour répondre aux questions posées. Pour
trouver la réponse, il est nécessaire de faire une opération. »
Remarque : « opération » n’est pas nécessairement « calcul ».
Bilan :
J’ai regroupé les élèves en fonction de leurs productions à l’issue de cette première situation.
* Groupe 1 (CM1 et CM2 ) :
Questions impossibles à résoudre, données non présentes dans l’énoncé
Questions dont les réponses sont dans l’énoncé
* Groupe 2 (CM1 et CM2 ) :
Même type de questions, mais avec de plus quelques questions pertinentes
* Groupe 3 ( CE2 ) :
Questions pertinentes, résolues par un calcul.
* Groupe 4 ( CM2 ) :
Questions pertinentes, plus élaborées, nécessitant des connaissances ou des calculs
intermédiaires.
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CYCLE 3 : SAINT-PRIVÉ
Séance 2 du 25/11/2004.
Problèmes de recherche.
Objectif : s’engager dans une procédure de résolution experte ou personnelle, communiquer sa
démarche et l’argumenter.
Enoncés :
Groupe 1 :
Les nombres.
Cherche le plus possible de nombres dont la somme des chiffres est 5
Groupe 2 :
Les dés.
Pour gagner à un jeu, Laure doit avancer son pion de 12 cases.
Elle lance trois fois son dé.
Cherche 2 solutions pour que le total des points soit égal à 12.
Groupe 3 :
Le manège.
Tu veux acheter des tickets pour faire le plus possible de tours de manège.
Tu as 16 euros.
Les tickets coûtent : 1 euro le ticket
8 euros les 10 tickets
12 euros les 20 tickets
Combien peux-tu acheter de tickets ?
Groupe 4 :
La promenade en bateau.
Des groupes arrivent pour une promenade en bateaux. Voici le nombre de personnes par groupe :
25 50 65 70 85 100 45
Les personnes d’un même groupe ne veulent pas se séparer. Elles veulent monter dans le même
bateau.
Un bateau transporte 150 personnes, pas une de plus.
Il y a trois bateaux.
On veut savoir comment ces groupes vont s’organiser pour monter dans les bateaux.
Phase 1 : recherche individuelle
Phase 2 : mise en commun par groupes
- Confrontation des réponses dans chacun des groupes.
- Mise en évidence de réponses et/ou procédures différentes.
- Elaboration d’une solution commune au groupe.
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CYCLE 3 SAINT-PRIVÉ
Séance 3 du 30/11/2004.
Tracés géométriques.
Il s’agit de la deuxième séance de géométrie, la première ayant été consacrée à la
fabrication d’une équerre en papier et à son utilisation pour vérifier la perpendicularité, ainsi qu’à
la réalisation de tracés de droites perpendiculaires.
A côté de cela, un damier est en cours de réalisation en arts plastiques.
Au cours de cette séance, l’objectif de travail reste le même pour les trois niveaux : il
s’agit de réinvestir les notions de parallélisme et perpendicularité, et de mettre en œuvre
l’utilisation des outils ( papier quadrillé, règle, équerre ) pour mesurer et tracer les figures
demandées.
Consignes :
CE2 : sur une feuille quadrillée, continuer un tracé en utilisant la règle.
Les segments de « l’escargot » à continuer mesurent respectivement 1 cm, puis 2 cm, puis 3cm.
Le papier est quadrillé 5x5 mm.
CM1 : même travail, sur papier blanc, tracé à effectuer à la règle et l’équerre.
CM2 : construire un réseau à mailles carrées, sur papier blanc, à la règle et l’équerre.
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CYCLE 3 : SAINT-PRIVÉ
Séance 4 du 2/12/2004
Lecture d’énoncés.
L’objectif est d’attirer l’attention des élèves sur la nécessité de bien prendre en compte
tous les éléments de l’énoncé, y compris de la question.
Cette séance précède celle du lendemain, qui sera réservée à la lecture critique
d’énoncés : la tâche des élèves sera de déterminer s’il s’agit ou non de problèmes. Si oui, de les
résoudre si c’est possible ; si non, de dire pourquoi ;
Déroulement :
Au cours de cette séance, j’ai repris avec les élèves quelques erreurs de lecture relevées
pendant la séance de recherche individuelle du 25 novembre, et leur ai demandé de les
commenter, après relecture des énoncés.
Exemples :
« Les nombres » : à la question « cherche le plus possible de nombres dont la somme des
chiffres est 5», il est répondu entre autres : « 5x5=25 ».
« La promenade »: à la question « on veut savoir comment ces groupes vont s’organiser » il
est répondu : « il va rester 3 personnes ».
Les difficultés ont été recensées oralement avec les élèves, ainsi que les recommandations y
afférentes :
Bien lire chaque mot, chaque phrase.
S’interroger sur le sens des mots difficiles, par exemple la « somme ».
S’imaginer la situation présentée.
Possibilité de faire un schéma, parfois.
Chercher et réfléchir au sens de la question : qu’est-il demandé de faire ?
A la suite de quoi, j’ai écrit quelques consignes au tableau, avec à côté des réponses erronées, que
j’ai présentées comme de « vraies erreurs commises par d’autres élèves ».
La consigne était de repérer ces erreurs.
Exemples :
« Écris en chiffre le nombre dicté par le maître. »
Réponse : « deux cent dix »
« Repasse en rouge les côtés du carré au centre de la figure. »
Réponse : ( ce sont les sommets du carré qui ont été matérialisés par des points rouges.)
« Sur les 1100 tickets de tombola à vendre, 1000 ont été vendus, et 2 perdus. Calcule le nombre
de tickets non vendus. »
Réponse : « 1100 – 1000 – 2 = 98 »
Les élèves se sont révélés plus critiques à l’égard des autres que d’eux-mêmes, et ont rapidement
rectifié les erreurs.
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CYCLE 3 : SAINT-PRIVÉ
Evariste et autres énigmes:
problèmes ouverts.
Afin d’allier l’agréable à l’utile, j’ai lancé dès la première semaine un défi-maths dans la
classe.
Les élèves disposant régulièrement d’un temps d’autonomie, je leur ai proposé de se
consacrer à la recherche d’énigmes, lorsque leur travail serait terminé, leur laissant le choix de
s’organiser à deux ou plusieurs s’ils le souhaitaient.
Il s’agissait de problèmes très courts, assortis d’une illustration ou d’un schéma.
Chaque soir, ils me remettaient le fruit de leur recherche, pour la validation.
La feuille de points était affichée.
Le nombre de points attribués diminuait avec le nombre des aides délivrées ( 50 points
pour une résolution exacte sans aide, 40 points après la 1ère aide, 30 après la seconde, etc…).
La motivation a été constante, malgré de grandes difficultés et beaucoup d’erreurs.
Les élèves ont choisi les uns le travail individuel, les autres en binôme.
Les plus lents n’ont pu participer régulièrement, défaut du caractère « facultatif » de
cette variante du dispositif.
Exemples de problèmes :
Je lis … :
J’ouvre mon livre au hasard.
Je regarde les numéros des pages et je les additionne.
Je trouve 25.
A quelles pages mon livre est-il ouvert ?
Du haut de cette pyramide … :
Dans cette pyramide, chaque brique vaut la somme des deux briques sur lesquelles elle
repose.
Complétez les nombres qui manquent.
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Classe de CE1 à Chablis
Première séance de recherche, en atelier.
Les ateliers dits « autonomes » avaient été mis en place après les vacances de février par
l’enseignante de la classe.
J’ai conservé un atelier « informatique » où les élèves travaillent le français ( outils de la
langue ), et remplacé les autres ateliers par un atelier de recherche, d’une part, où les élèves
pouvaient compter sur ma présence, et par deux ateliers autonomes de français et maths :
orthographe par les mots croisés et calcul par les jeux de nombres .
Un responsable était désigné dans chaque atelier, chargé de m’alerter en cas de problème
dans le groupe.
La consigne était de travailler seul, avec autorisation de s’entraider en cas de difficultés.
Chaque jour, chaque élève changeait d’atelier, sauf en fin de semaine où il s’est avéré
nécessaire que je reprenne avec moi les élèves les plus en difficultés pour la résolution de
problème.
Le temps d’atelier était de 45 minutes, déplacement et rangement compris.
Les locaux se prêtaient bien à cette organisation, avec la disponibilité de la BCD et de
tables de travail dans le hall pendant ce créneau horaire.
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CHABLIS CE1
Atelier de résolution de problème : premier énoncé.
Le magasin de jouets.
Paul veut dépenser les 40 euros qu'il a dans son porte-monnaie.
Il observe les six jouets qui restent dans la vitrine.
Quels jouets choisit-il pour dépenser ses 40 euros ?
MASQUE : 12 euros
BALLON : 22 euros
PELUCHE : 18 euros
VOITURE : 8 euros
RAQUETTE : 16 euros
AVION : 6 euros
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BROUILLON :
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RÉPONSE :
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RESOLUTION DE PROBLEMES ET
DIFFERENCIATION DE L’ENSEIGNEMENT
RESUME : De quels moyens le maître dispose-t-il pour aider les élèves à surmonter les
difficultés auxquelles ils se heurtent lorsqu’ils sont confrontés à des situations de résolution
de problèmes en mathématiques ? D’une analyse des obstacles rencontrés à des propositions
de mise en œuvre : différenciation successive et simultanée, mise en place d’ateliers, aides
spécifiques.
MOTS-CLES : Mathématiques – Résolution – Problème – Différenciation – Aides.
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