Quel est le volume d`une sphère en 4D?

Quel est le volume d’une sphère en 4D?
Bogdan Pechounov
Nous avons appris que les formules pour la
de la fonction f, l'axe des abscisses et les
surface d’un disque en 2D et le volume d’une
droites d'abscisses a et b.
sphère en 3D sont comme suit:
Dans notre cas,
est la fonction suivante:
Toutefois, d’où viennent ces formules?
Fig3. Cercle en 2D
Alors, la surface indiquée en bleu (Fig.3)
Fig1. Cercle en 2D
correspondra à:
L’équation du cercle est:
Pour obtenir la surface du disque au complet, il
Nous allons exprimer
en fonction de
.
Nous savons que l’intégral sert à calculer l’aire.
faut multiplier par 4.
Pour trouver la valeur de cet intégral, nous
allons faire une substitution qui ne change pas
la valeur de l’intégral, mais qui rend les calculs
plus faciles:
Fig2.Interprétation de l’intégral [1]
est interprétée comme l’aire du
domaine délimité par la courbe représentative
1
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Bogdan Pechounov
Nous allons choisir un disque avec une hauteur
infiniment petite:
.
La somme des volumes de tous ces disques va
nous donner le volume de la sphère.
Fig 4. Sphère en 3D
L’intervalle dans lequel varie
Ici on a utilisé l’identité trigonométrique:
est :
Le volume du disque que nous venons de
dessiner est:
La révolution est effectuée par rapport à l’axe
des
.
Ainsi, le rayon de ce disque est:
Donc, nous obtenons la formule pour la surface
du disque:
.
Maintenant, pour trouver le volume d’une
Par exemple, à
et à
.
, le rayon du disque est
, le rayon du disque est
.
Alors, la surface du disque est:
sphère en 3D, nous allons utiliser une méthode
similaire.
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Quel est le volume d’une sphère en 4D?
Bogdan Pechounov
Quand n=4, l’équation de l’hypersphère est
De plus, le volume du disque est donnée par:
donnée par:
=
La somme de tous ces disques le long de l’axe
des
nous permettra d’obtenir le volume de
Nous allons choisir un “disque” sur l’axe
avec une hauteur infiniment petite:
toute la sphère :
.
La somme des volumes de tous ces “disques”,
qui varie le long de l’axe
, va nous donner le
volume de l’hypersphère (en 4D).
L’intersection
de
ce
“disque”
avec
l’hypersphère donne une sphère ordinaire (en
3D) avec un rayon :
.
Tantôt, le volume du disque était donné par
l’aire d’un cercle, multiplié par une hauteur
infinitésimale:
.
En 4D, le volume du “disque” est donné par le
volume d’une sphère en 3D, multiplié par une
hauteur infinitésimale :
=
Maintenant, nous pouvons calculer le volume
d’une
sphère
dans
une
espace
de
4
dimensions (4D). Les sphères dans une
espace de n dimensions (
) sont aussi
=>
appelées des hypersphères.
Précédemment, nous avons obtenu:
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Bogdan Pechounov
1) Pouvez-vous obtenir la formule pour le
volume d’une hypersphère dans un espace à
dimensions? Vous pouvez utiliser l’induction
mathématique.
2) Prouvez que le volume d'une hypersphère
dans un espace à
dimensions de rayon
tend vers zéro lorsque
Voici
les
formules
tend vers l'infini.
du
volume
lorsque le rayon est
pour
[2][3].
Nous avons obtenu la formule du volume d’une
hypersphère en 4D.
4
Quel est le volume d’une sphère en 4D?
Nous remarquons que quand
tend vers
l'infini, le volume de n-sphère tend vers zéro.
Bogdan Pechounov
Sources:
[1]
https://fr.wikipedia.org/wiki/Intégration_(mathématiques)
[2]
http://spacemath.gsfc.nasa.gov/universe/6Page89.pdf
[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Volume_of_an_n-ball
Fig 5. Le volume d'une hypersphère en
fonction de n [2].
Réponse à la question 1) [3]:
La formule recursive est [2]:
5