DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES 1ES : 14 Mars 2016

DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES 1ES : 14 Mars 2016
Calculatrice autorisée - Durée 2h
Le sujet complété devra être rendu avec la copie
NOM/PRENOM :
EXERCICE 1
Classe :
( …. / 5 points)
Une entreprise fabrique et commercialise un alliage métallique. Chaque mois, elle peut produire jusqu’à
10 tonnes de cet alliage et en vend toute la production.
On modélise le coût total de production de x tonnes, en milliers d’euros, par :
− 6 + 24 + 135 où ∈ [0; 10].
=
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction C.
1. Donner par lecture graphique :
a) Le coût total d’une production de 4 tonnes ;
b) La quantité correspondant à un coût total de production de 600 000 euros.
2. Par le calcul déterminer le coût de production de 6 tonnes.
3. Après une étude de marché, le prix de vente de l’alliage produit a été fixé à 60 000 euros la tonne.
a) Calculer la recette pour la vente de 5 tonnes d’alliage.
b) On note
la fonction qui modélise la recette, exprimée en milliers d’euros, pour x tonnes
vendues. Justifier que
= 60 .
c) Tracer dans le repère ci-dessus, la représentation graphique de .
d) A l’aide du graphique, préciser pour quelles productions produites et vendues, l’entreprise
réalise des bénéfices.
e) Avec la précision permise par le graphique, déterminer pour quelle production produite et
vendue le bénéfice est maximal.
EXERCICE 2
La parabole
Les droites
( …. / 9,5 points)
de sommet A ci-dessous représente une fonction polynôme du second degré .
, et
sont les tangentes à la parabole aux points , et respectivement.
1. Par lecture graphique, donner la valeur de chacun des nombres suivants :
a)
3 ,
b) ′ 3 ,
4 et
6 ;
′ 4 et ′ 6 . Justifier brièvement.
2. Démontrer que la forme canonique de
est :
3. Démontrer que la forme développée de
est :
=−
−4
=−
+ 2.
+ 8 − 14.
4. Déterminer par le calcul l'abscisse de chaque point d’intersection de
5. On se place au point
de
d’abscisse 5.
a) Soit ℎ un réel non nul, démontrer que :
b) Démontrer que
avec l’axe des abscisses.
5+ℎ −
5 = −ℎ − 2ℎ.
est dérivable en 5 et donner la valeur du nombre dérivé de
c) Construire, en laissant apparents les traits de construction, la droite
6. On sait que % 2 = 4.
Déterminer, par le calcul, une équation de la tangente à
au point '.
$
en 5.
tangente à
au point C.
EXERCICE 3
( …. / 8 points)
Dans une entreprise en 2013, on a dénombré 59 femmes et 130 hommes fumeurs.
Une enquête est menée auprès des fumeurs de cette entreprise pour déterminer le nombre de
cigarettes fumées sur une journée.
Cette enquête a donné les résultats suivants.
1. Pour les femmes :
Nombre de cigarettes par jour
Nombre de femmes
5
10
10
18
15
12
20
8
25
5
30
3
35
2
40
1
a) A l’aide de la calculatrice, sans justifier, calculer la moyenne et l’écart-type de cette série.
Arrondir au dixième près.
b) Déterminer, en détaillant la méthode, la médiane, le 1er et le 3ème quartile de cette série.
2. Pour les hommes :
Le nombre moyen de cigarettes par jour est
19,1 et l’écart-type est égal à 9,3.
Le diagramme en boîte est donné ci-contre :
a) Donner la valeur de chacun des
paramètres statistiques donnés par
ce diagramme.
b) Sur le même graphique, construire le
diagramme en boîte de la série des
femmes.
3. En utilisant les résultats précédents, dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
Aucune réponse non justifiée ne rapportera de points.
a) La série concernant les hommes est plus dispersée autour de la moyenne que celle des femmes.
b) Au moins
(
des femmes fument au moins 20 cigarettes par jour.
c) Au moins 50% des hommes fument moins de 19 cigarettes par jour.
4. Après une campagne d’information et de prévention de la médecine du travail, le nombre de femmes
fumeuses de cette entreprise a baissé de 10% en 2014 puis de 7% en 2015.
a) Calculer le taux global d’évolution, sur ces deux années, exprimé en pourcentage.
b) Calculer le nombre de femmes fumeuses de cette entreprise en 2015.
c) Le nombre d’hommes fumeurs dans cette entreprise est lui passé de 130, en 2013 lors de
l’enquête, à 110 en 2015.
Calculer le taux d’évolution correspondant exprimé en pourcentage et arrondi à 0,1%.
EXERCICE 4
( …. / 7,5 points)
Le 01/01/2016, un nouvel employé dans une entreprise se voit proposer deux formules pour l'évolution
de son salaire annuel :
• dans la formule A, il est augmenté tous les ans, au 1er janvier, de 390 euros ;
• dans la formule B, il est augmenté tous les ans, au 1er janvier, de 2 %.
Son salaire annuel initial durant l'année 2016 est de 16 800 euros.
On note un le salaire annuel selon la formule A et vn celui selon la formule B durant l'année 2016 + n ;
ainsi u0 = v0 = 16 800.
1. Expliquer pourquoi, en 2017, on a : u1 = 17 190 et v1 = 17 136.
2. Donner, en justifiant la réponse, la nature de chacune des deux suites étudiées, en précisant leurs
éléments caractéristiques.
3. Exprimer un et vn en fonction de n.
4. En déduire le salaire annuel calculé avec chacune des deux formules en 2026, puis en 2036.
Arrondir les résultats à l’euro près si nécessaire.
5. On considère l'algorithme ci-contre :
Initialisation
U prend la valeur 16 800
V prend la valeur 16 800
N prend la valeur 0
Traitement
Tant que U ≥ V
Faire
U prend la valeur U + 390
V prend la valeur ..............
N prend la valeur ..............
Fin Tant que
X prend la valeur 2016 + ...
Sortie
Afficher X
Compléter cet algorithme permettant de déterminer et d'afficher à partir de quelle année le salaire
calculé avec la formule B dépasse pour la première fois celui calculé avec la formule A.
6. a) A l'aide de la calculatrice, déterminer à partir de quelle année la formule B semble devenir
plus intéressante.
b) Les employés de cette entreprise y restent en moyenne treize ans.
Quelle formule conseilleriez-vous de prendre à ce nouvel employé ?