E2 Démonstration des deux formules de la variance

Première S2
Exercices sur le chapitre 19 : E2.
2007 2008
E2 Démonstration des deux formules de la variance.
La variance V est donnée par les formules ci-dessous :
V= 1
N
n
1
∑n i(x i − x)² ou bien V = N ∑n i x i ² − x²
V= 1
N
1
∑n i(x i − x)² = N
i =1
V= 1
N
Or
Donc
i =1
n
i=p
∑
i =1
i=p
∑
i=p
( ni xi² ) − 1
N
x = 1
N
V= 1
N
V= 1
N
( ni xi² − 2 ni xi × x + ni x ² )
i =1
( 2 ni xi × x ) + 1
N
∑
i =1
i=p
∑
∑
i =1
∑
( ni x ² )
i =1
i=p
ni xi ⇔
i =1
i=p
i=p
∑
i=p
ni xi = N x et N =
i =1
∑
ni.
i =1
( ni xi² ) − 1 × 2 × N × x × x + 1 × N × x ² = 1
N
N
N
i=p
∑
( ni xi² ) − 2 x ² + x ²
i =1
i=p
∑
( ni xi² ) − x ²
i =1
E2 bis Démonstration de la propriété influence sur l'écart type d'une transformation affine des données.
Soit une série statistique x1, x2, …, xp.
Soit le changement de variable yi = a xi + b où a et b sont deux réels donnés.
Notons sx est l'écart type de la série x1, x2, …, xp. Notons Vx la variance de la série x1, x2, …, xp.
Notons sy est l'écart type de la série y1, y2, …, yp. Notons Vy la variance de la série y1, y2, …, yp.
Démontrons que sy = a sx
Notons x la moyenne de la série x1, x2, …, xp et y la moyenne de la série y1, y2, …, yp
Alors on a la linéarité de la moyenne : y = a x + b .
En effet
y = 1
N
y = 1
N
Vy = 1
N
i=p
∑
i =1
i=p
∑
i =1
( ni yi ) = 1
N
sy =
∑
an i x i + 1
N
n
n i(yi − y)² = 1
N
i =1
∑
Vy = 1 × a² ×
N
Donc
i=p
Vy =
i =1
i=p
∑
i =1
i=p
∑
i =1
( ni × ( axi + b ) ) = 1
N
( ni b ) = a × 1
N
ni ( x i − x ) ² = a² × Vx.
i =1
a²×Vx = a
∑
i =1
∑
( a ni xi + ni b )
i =1
n ix i + 1 × N × b = a x + b
N
ni (axi +b−(a x +b ))²= 1
N
i=p
∑
i=p
i=p
Vx = a sx
i=p
∑
i =1
n i ( a ( x i − x )) ²