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NW optique physique II
Prérequis de polarisation
Enseignante: Nathalie Westbrook
Bureau R2-27, [email protected]
Format du cours: 4 séances de 3 heures
poly: transparents à compléter
exercices: inclus dans le poly
quelques démos expérimentales
Mise en pratique rapidement en TP d’Optique (4
séances sur la polarisation en début de 1er
semestre)
1
Plan du cours
 Cours I : Lumière polarisée
états de polarisation et formalisme (Jones, Stokes, Poincaré)
principales fonctions et dispositifs
 Cours II : Propagation dans les milieux anisotropes
surface des indices, ellipsoïde des indices, constructions de rayons
 Cours III : Composants et dispositifs utilisés en optique
anisotrope
Composants passifs: différents types de polariseurs et lames retard
Composants actifs: effets Pockels, cristaux liquides, effets
photoélastiques et magnétooptiques
Anisotropie circulaire: pouvoir rotatoire, effet Faraday
 Cours IV : Interférences en lumière polarisée
principes, Fresnel-Arago, interf en lumière blanche et en source étendue
dispositifs utilisant les interférences: compensateur de Babinet, lames
séparatrices
2
Bibliographie
3
 Polarisation, S. Huard
récent, formalisme, peu d’interférométrie, mais des ondes guidées
 Optical waves in crystals (Yariv), Principles of Optics
(Born&Wolf)
références internationales, disponibles dans la plupart des bibliothèques
 Optique, Bruhat/Kastler
explications claires avec approche géométrique, pas de formalisme
 Optique, Pérez et Optics, Hecht
ouvrages généraux (moins complets) pour étudiants, clairs et bien illustrés
 Polarization interferometers, Françon et Mallick
le plus complet sur les interféromètres, disponible à la bibliothèque IO
 Atlas des phénomènes optiques et supplément
très belles photos des phénomènes optiques, à la bibliothèque IO
Cours I: Lumière polarisée
I. Structure d’une onde plane dans un milieu isotrope
E champ électrique
D déplacement
E,H plan
d’onde
B,H
Polarisation =
direction du champ E
k vecteur d’onde
R=ExH vecteur de Poynting
(rayon lumineux)
4
Chapitre I: lumière polarisée
II. Etats de polarisation et représentation de Jones
Onde plane monochromatique (polarisation totale)
Champ complexe
Ecomplexe=E0complexeexp-i(ωt-kr)
E0=E0xux + E0ye+iϕuy
E0x , E0y réels
ϕ retard de y par rapport à x
Représentation graphique:
extrémité du vecteur champ réel
Représentation de Jones
Eréel=Re(Ecomplexe)
Vecteur colonne, éventuellement normé,
défini à un facteur de phase global près
5
Polarisation linéaire
Ecomplexe=(E0xux + E0yuy )exp-iωt avec E0x , E0y réels
Eréel= (E0xux + E0yuy)cosωt
Linéaire
suivant Ox
Linéaire
suivant Oy
Linéaire à 45°
Représentation
graphique
Vecteur de
Jones
Les polarisations linéaires sont les seules pour
lesquelles le vecteur de Jones est réel: ε=ε*
6
Polarisation circulaire
+ circulaire gauche (y en retard sur x de π/2)
- circulaire droite
Circulaire
gauche
Représentation
graphique
Vecteur de Jones
Circulaire
droite
7
Polarisation elliptique
Cas le plus général de la polarisation totale
Paramètres caractérisant la polarisation elliptique:
• angle α tel que tanα=Eoy/Eox
• déphasage ϕ
8
Représentation graphique (animation):
on fixe α et on fait varier ϕ de 0 à π
Eoy
α
Eox
9
10
Cas général : lien entre l’expression mathématique (α,ϕ) et
la forme de l’ellipse (θ,β)
β : ellipticité (0 pour
linéaire, ±45° pour circulaire)
β
θ
α
: direction des axes
θ
• En général les axes de l’ellipse ne sont ni les axes Ox et Oy, ni la diagonale
du rectangle
• Intensité proportionnelle au carré de la diagonale (E0x2 + E0y2)
Tous les rectangles dans lesquels s’inscrit une même ellipse ont même
diagonale
Pour deux valeurs différentes de α
on a fait varier ϕ de 0 à π tous les 15°
α=70°
α=20°
0°
15°
30°
45°
90°
165°
1er cas particulier: ϕ=π/2, θ=0 (ou π/2)
Ellipse d’axes Ox et Oy
11
2e cas particulier:
Ellipse inscrite dans un carré (E0x = E0y): α=45°, θ=±45°
Les axes de l’ellipse sont fixes à 45°
L’ellipticité β vaut ±ϕ/2 (modulo π/2)
12
Correspondance entre représentation graphique et vecteur
de Jones pour les principales polarisations elliptiques
Elliptique d’axes
Ox et Oy
Représentation
graphique
Vecteur de
Jones
b
a
Elliptique d’axes
à 45° de Ox et Oy
Elliptique
quelconque
b
a
13
Propriétés générales des vecteurs de Jones
• Polarisations orthogonales
• Espace vectoriel:
toute polarisation peut être représentée comme combinaison linéaire
de deux polarisations orthogonales
Linéaire = circulaire droite+circulaire gauche
linéaire d’angle α=
circ droite + circ gauche déphasées de 2α
14
III. Transformation de la polarisation Jones
Matrices de
Exemples de phénomènes modifiant l’état de polarisation
• Coefficients de transmission et de réflexion en incidence non normale sur un
diélectrique ou sur un métal différents en TE et en TM
• Réflexion totale: déphasage à la réflexion
• Traversée d’un milieu biréfringent (indice différent suivant la polarisation,
par exemple lames λ/2, λ/4,…) et/ou dichroïques (absorption différente
suivant la polarisation, par exemple polariseurs en polymère type
« polaroïd »)
Principales fonctions
• Polariseurs
• Lame demi-onde
• Lame quart d’onde
• Rotateur
15
16
III. Transformation de la polarisation - Matrices de Jones
Polariseur
Projection sur l’état de polarisation transmis par le polariseur
Représentation graphique
Einc
Einc
α
Esortant
Isort=Iinc cos2 α
P
Esortant
Isort=Iinc /2
Einc
P
P
Esortant
Lame demi onde
Déphase les deux composantes suivant ses axes neutres de
ϕ= π , modulo 2π
δ= λ/2, modulo λ
Symétrie de la polarisation incidente par rapport aux axes de
la lame demi onde
Einc
Einc
Axes neutres de
la lame λ/2
Esortant
Lame d’ordre 0:
Lame d’ordre k:
ϕ= π ϕ= π+2kπ
Lame λ/2
Esortant
17
Lame quart d’onde
ϕ= π/2 , modulo π ou 2π
δ= λ/4, modulo λ/2 ou λ
Transforme une linéaire à 45° en une circulaire
Transforme une rectiligne quelconque en une elliptique dont
les axes sont ceux de la lame quart d’onde
(et vice-versa à une symétrie par rapport aux axes près)
Einc
Einc
Einc
Lame λ/4
(ordre 0, axe lent)
Esortant
Esortant
Esortant
Rmq: Si l’elliptique incidente a des axes différents des axes neutres de la lame quart
d’onde, la polarisation sortante est elliptique d’axes et d’ellipticité quelconques (pas de
relation simple dans ce cas)
18
Rotateur
Provoque une rotation d’un angle α sur une polarisation
linéaire
E
sortant
α
Einc
Lumière venant vers
l’observateur
Quel effet sur une polarisation circulaire ou elliptique?
19
Représentation matricielle
Matrices de Jones: 2x2 à coefficients complexes, représentant la
transformation d’un vecteur de Jones dans une base de polarisations
orthogonales (en général linéaires)
définie à un terme de phase global près,
unitaire si intensité conservée (lames demi ou quart d’onde,
rotateur)
Vecteurs propres, valeurs propres: états de polarisation non
modifiés à la traversée, éventuellement atténués en intensité ou
déphasés
20
21
Principales matrices de Jones
Polariseur //Ox
⎛1
Px = ⎜
⎝0
0⎞
⎟
0⎠
Pour obtenir la matrice de Jones dans
un repère (X,Y) tourné d’un angle θ
par rapport à (x,y):
⎛0
Py = ⎜
⎝0
€
Lame demi⎛1
onde d’axes Ox L λ / 2 = ⎜
⎝0
et Oy
€
Lame quart
⎛1
d’onde axe lent L λ / 4 = ⎜
⎝0
Ox
€
0⎞
⎟
1⎠
0 ⎞
⎟
-1⎠
On peut ainsi obtenir la matrice d’un
polariseur d’axes à 45° de x et y, à
partir de celle du polariseur d’axe X
en écrivant:
Polariseur //Oy
Rotateur
d’angle α
0 ⎞
⎟
- i⎠
⎛ cos α −sin α ⎞
Rα = ⎜
⎟
⎝sin α cos α ⎠
€
€
IV. Lumière partiellement polarisée – Représentations
de Stokes et de Poincaré
Lumière naturelle= totalement non polarisée, aucune direction
privilégiée
⇒ direction de E fluctue rapidement par rapport au temps de
réponse mis en jeu (détecteur, phénomène physique observé)
⇒ Représentation possible par un champ scalaire
Quel effet d’un polariseur sur de la lumière naturelle?
Lumière partiellement polarisée (ou cohérence partielle de
polarisation)= mélange de lumière naturelle et de lumière polarisée
⇒ difficile à représenter par un champ électrique (introduction de
matrices de cohérence remplaçant les vecteurs de Jones)
⇒ Représentation de Stokes, basée sur les intensités,
mieux adaptée
22
IV. Lumière partiellement polarisée - Représentations de Stokes et de Poincaré
Paramètres de Stokes
• Définition à partir de valeurs moyennes du champ électrique réel
Attention pas
d’espace
vectoriel
• Signification physique en terme d’intensités mesurées
• Degré de polarisation
lumière naturelle
polarisation totale
V=0
V=1
23
24
Paramètres de Stokes: quelques exemples
Linéaire
Circulaire
Elliptique
b
a
Naturelle
Matrices de Mueller
Matrices 4x4 à coefficients réels, représentant la transformation du
vecteur de Stokes
Attention ici pas d’espace vectoriel
Quelques exemples
Polariseur //Ox
Lame demionde d’axes Ox
et Oy
Polariseur //Oy
Lame quart
d’onde axe lent
Ox
25
26
Sphère de Poincaré
Pour une polarisation totale: S02=S12+S22+S32
Un état de polarisation d’intensité S0 est représenté par un point sur
une sphère de rayon S0, de coordonnées S1, S2, S3
S3
Circulaire gauche
Lin//Oy
Lin//Ox
Linéaires
//Ox
Lin à 45°
S2
//Oy
45°
Circulaires
Linéaires
S1
Circulaire droite
gauche
droite
27
IV. Lumière partiellement polarisée - Représentations de Jones et de Poincaré
Polarisations elliptiques sur la sphère de Poincaré
• Point P: polarisation
elliptique de grand axe θ et
d’ellipticité β
Ellipticité
constante
P
2β
• Polarisations orthogonales:
diamétralement opposées
2θ
Azimuth constant
(direction des axes)
Représentation d’une polarisation partielle: point à l’intérieur de la sphère
(centre de la sphère pour la lumière naturelle)
28
Effet d’un déphaseur sur la sphère de Poincaré
= rotation de ϕ autour d’un axe joignant les deux polarisations propres
Exemples:
Cg
Ly
Lx
L45
• Lame quart d’onde d’axes
neutres x et y = rotation
d’angle ϕ=90° autour des
points Lx et Ly
⇒ L45 (lin à 45°) devient Cg
(circ gauche)
• Rotateur d’angle α=45° =
rotation d’angle ϕ=2α=90°
autour des points Cg et Cd
⇒ L45 devient Ly
Cd
Analogie entre le formalisme de polarisation
et celui de la mécanique quantique
Vecteur de Jones
(base des polarisations
circulaires)
⇔
Spin ½: vecteur d’état
Matrice de Jones
⇔
Combinaison linéaire de
matrices de Pauli
Vecteur de Stokes
⇔
Vecteur de Bloch (valeur
moyenne du spin)
Matrice de cohérence
(Jones étendu au cas des
polarisations partielles)
⇔
Matrice densité
29
V. Quelques exemples de dispositifs
Création d’une polarisation quelconque
A partir d’une polarisation rectiligne incidente:
une lame demi-onde et une lame quart d’onde bien orientées
suffisent, avec deux possibilités suivant la lame qui est placée
en premier
Exemple:
λ/2
Esort
λ/4
λ/2
Einc
λ/4
Einc
linéaire
Esort
30
A partir d’une polarisation elliptique quelconque: il suffit
d’ajouter aux deux autres lames une lame quart d’onde
orientable indépendamment
(λ/4)1
λ/2
(λ/4)1
λ/2
Einc
(λ/4)2
Esort
Einc
ellipt
(λ/4)2
Esort
31
32
Dispositif « anti-retour »
Polariseur suivi d’une lame quart d’onde d’axes neutres à 45° du
polariseur
Polariseur P
Einc
λ/4
miroir
circ gauche
P
45°
λ/4
ordre 0, axe lent
Iretour=0
circ droite
33
Pointé d’une vibration rectiligne
Pour repérer la direction d’une polarisation rectiligne, on peut utiliser un
simple analyseur rectiligne, on recherche alors une extinction:
Einc
Einc
α
Esort
Isort=Iinccos2α
P
Esort
P
90°
• En pratique on trouve un minimum en fonction de l’orientation de P,
et la précision est limitée par le fait qu’on se déplace autour d’un point
où la tangente est horizontale.
• On peut être plus précis en repérant une égalité d’éclairement entre
deux plages juxtaposées: c’est l’idée de l’analyseur à pénombre.
α
Analyseur à pénombre
L’analyseur à pénombre est constitué d’un analyseur classique devant
lequel on place une lame demi onde couvrant la moitié du champ et
dont l’un des axes neutres fait un petit angle ε avec la direction de
l’analyseur.
Einc
EsortB
ε
EsortA
EintA
P
λ/2
λ/2
P
Einc
EintA
EsortA
EsortB
Einc
Seules les directions de polarisation parallèles aux axes
de la demi onde donnent une égalité d’éclairement des
deux plages, et c’est celle donnant deux éclairements
faibles que l’on repère avec précision.
λ/2
EsortA
=EsortB
P
34
Polarimètre à analyseur tournant
En mesurant l’intensité transmise par un analyseur rectiligne
tournant, on obtient un signal sinusoïdal dépendant du temps
dont la modulation et la phase donnent accès à la forme de la
polarisation elliptique incidente (axes et ellipticité).
Ainsi dans le cas idéal:
• Une rectiligne donne une sinusoïde de modulation 1,
la phase donnant sa direction
• Une circulaire donne
une intensité constante
(modulation nulle, phase indéfinie)
• Une elliptique donne
une sinusoïde de
modulation inférieure à 1
35
36
Analyse de vibration par méthode visuelle
On peut analyser la forme d’une vibration uniquement à l’aide de
l’observation d’extinctions d’abord après un analyseur simple,
puis en ajoutant une lame quart d’onde avant l’analyseur de
façon à transformer la polarisation elliptique en une rectiligne
que l’on peut alors éteindre avec l’analyseur. Les positions
relatives de la quart d’onde et de l’analyseur permettent alors de
déterminer les axes et l’ellipticité de la polarisation initiale.
Cette méthode permet aussi de discerner une polarisation totale
d’une polarisation partielle. Par exemple de la lumière non
polarisée donnera une intensité constante au travers de
l’analyseur, comme la polarisation circulaire. Par contre après la
lame quart d’onde, on aura toujours une intensité constante
dans le 1er cas, tandis qu’on obtiendra une extinction dans
l’autre.
37
ANALYSE DE VIBRATION:cas d'une polarisation totale
Analyseur rectiligne A
que l'on fait tourner
pas de variation
CIRCULAIRE
Une extinction totale
RECTILIGNE
Perpendiculaire
à l'analyseur
Un minimum
et un maximum
ELLIPTIQUE
on règle A sur le mini (petit axe de l'ellipse)
on ajoute avant A une lame quart d'onde
avec un de ses axes // A
on tourne A pour retrouver l'extinction
L'angle de rotation de A donne
l'angle β d'ellipticité
38
ANALYSE DE VIBRATION: cas d'une polarisation totale
dont on veut le sens de rotation
pas de variation
CIRCULAIRE
RECTILIGNE
Perpendiculaire
à l'analyseur
on ajoute avant A
une lame quart d'onde
d’ordre 0 ou pair
d’axe rapide // A
on tourne A pour
retrouver l'extinction
Le sens de rotation de A
donne le sens de la circulaire
Un minimum
et un maximum
ELLIPTIQUE
on règle A sur le mini (petit axe de l'ellipse)
d’ordre 0 ou pair
avec son axe rapide // A
on tourne A pour retrouver l'extinction
l'angle β d'ellipticité
et son sens donne le sens de rotation
39
ANALYSE DE VIBRATION, cas le plus général: polarisation
partielle ou totale dont on veut le sens de rotation
pas de variation
CIRCULAIRE
LUMIERE NATURELLE
ou mélange des deux
on ajoute avant A
une quart d'onde d'ordre 0 ou pair
axe rapide // A
une extinction en tournant A
CIRCULAIRE PURE
aucune variation en tournant A
LUMIERE NATURELLE
minimum non nul en tournant A
CIRCULAIRE + NATURELLE
RECTILIGNE PURE
perpendiculaire à l'analyseur
Un minimum et un maximum
ELLIPTIQUE
ou RECTILIGNE + LUMIERE NATURELLE
ou ELLIPTIQUE + LUMIERE NATURELLE
on règle A sur le mini
d'ordre 0 ou pair
avec axe rapide // A
une extinction en tournant A
ELLIPTIQUE PURE
minimum non nul en tournant A
ELLIPTIQUE + NATURELLE
(rectiligne + naturelle
si A n'a pas bougé)
l'angle d'ellipticité β
et son sens donne le sens de rotation
Mesure du déphasage d’une lame cristalline à l’aide
d’une lame quart d’onde
On utilise ici le fait qu’une polarisation rectiligne incidente à 45°
des axes d’une lame cristalline de déphasage ϕ quelconque
donne une polarisation elliptique dont l’un des axes reste à 45°,
suivant la direction de la polarisation incidente, et dont
l’ellipticité est égale à ϕ/2 modulo π/2.
On est donc ainsi ramené à la mesure de cette ellipticité, ce
qu’on peut faire à l’aide d’une lame quart d’onde comme il a été
décrit dans le paragraphe précédent « analyse de vibration ».
40

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