Introduction to fluids mechanics : exercises Updated 21 septembre

Introduction to fluids mechanics : exercises
Updated 21 septembre 2016
Emmanuel Cosme
Table des matières
1
Vector calculus
2
2
Static of fluids
3
3
Physical properties of fluids
4
4
Kinematics of fluids
4
5
Transport theorem and integral form of the momentum equation
5
6
Navier-Stokes equations
6
7
Dimensional analysis and similarity
8
8
Contrôle continu L3MK du 22 octobre 2012
8
9
Examen L3MK du 21 décembre 2012
9
10 Contrôle continu L3MK du 14 octobre 2013
10
11 Examen L3MK du 16 décembre 2013
12
12 Contrôle continu L3MK du 13 octobre 2014
13
13 Examen L3MK du 15 décembre 2014
14
14 Contrôle continu L3MK du 14 octobre 2015
15
15 Examen L3MK du 14 décembre 2015
16
1
1
Vector calculus
Exercice 1 : Very basic calculus
1. Compute (2,-3,-1) ∧ (1,4,-2) et (1,4,-2) ∧ (2,-3,-1).
(x2 )
2. Compute the gradient of P(x, y, z) = ln
.
y+z3
3. Compute the divergence of u(x, y, z) = (x2 z, −2y3 z2 , xy2 z).
4. Compute the curl of u(x, y, z) = (xz3 , −2x2 yz, 2yz4 ).
5. Let Ψ(x, y, z) = 3x2 y − y3 z2 ; Compute grad Ψ.
6. Let Ψ(x, y, z) = ln |r|, r = (x, y, z) ; Compute grad Ψ.
7. Let u = (x2 z, −2y3 z2 , xy2 z) ; Compute div u.
8. Let u = (xz3 , −2x2 yz, 2yz4 ) ; Compute rot u and div (rot u).
9. Let u = (x2 y, −2xz, 2yz) ; Compute rot u and rot (rot u).
Exercice 2 : Vector identities and formulas
1. Using the Cartesian coordinates, show the following identities :
grad (AB) = Agrad B + Bgrad A
(1)
div (Au) = Adiv u + u.grad A
(2)
div (u ∧ v) = v.rot u − u.rot v
(3)
rot (Au) = grad A ∧ u + Arot u
grad u.u = grad u.u
2 + (rot u) ∧ u.
(4)
(5)
2. Show that if rot u = 0, then there exists a scalar field A such that u = −grad A.
3. By applying Ostrogradsky’s formula with the vector field v = Au, where u is a uniform
vector field, show that
I
Z
A n dS =
grad A dτ
Σ
V
.
4. Find the expressions of grad A, div u and ∆A in cylindrical and spherical coordinates.
5. Let s be a curvilinear coordinate of space. Show that
∂A
= grad A.n,
∂s
2
where n is the unit vector associated to s.
2
Static of fluids
Exercice 3 : Pipe under pressure
A cylindrical pipe with inner radius R=20 cm is filled with a fluid under pressure P=10 bar.
Find the pressure force applied to a 1-meter section of a half-pipe (pipe cut along the symmetry
axis).
Exercice 4 : Variations of pressure in air and water
1. How much does pressure vary for a hiker going up 1000 m ? (Density of air is 1.225 kg
m−3 )
2. How deep a scuba diver must go to reach a similar pressure variation ? (Density of sea water
is 1028 kg m−3 )
Exercice 5 : Fluids in a tube
In a U-shaped, empty tube with inner diameter 1 cm and with arms distant of 10 cm, one
spills 50 cm3 of mercury (d=13.6), then 10 cm3 of alcohol (d=0.7) in the left arm ; then, 10 cm3
of water in the right arm. What is the difference of height between the liquids in the two arms ?
Exercice 6 : Accelerometer
A car accelerates from 25 km.h−1 to 80 km.h−1 in 13 s with a constant acceleration. The car
transports a U-shaped tube partially filled with water, with one arm ahead and the other behind.
The two arms are distant of 60 cm. What is the difference of water level between the two arms
during acceleration ?
Exercice 7 : Rotating cup
A cylindrical cup with circular section is filled with water and rotating with constant speed
around its axis of symmetry. After a spin-up period, the water becomes motionless with respect
to the cup.
1. Find the pressure field in water.
2. Find the shape of the water surface.
Exercice 8 : The crown of King Hiero II of Syracuse
The legend says that Archimedes discovered the principle bearing his name when he was
trying to meet a request from King Hiero II of Syracuse : The latter wanted to know whether
3
his jeweler deceived him by melding silver (ρ=10500 kg m−3 ) with gold (ρ=19300 kg m−3 )
in his crown (Silver is cheaper than gold...). Show that weighting the crown first in air, then
completely immersed in water, Archimedes could answer Hiero’s request.
3
Physical properties of fluids
Exercice 9 : Translation of the piston of a hydraulic actuator
A hydraulic lift is controlled by a cylindrical piston of diameter D=25 cm that slides along
a fixed, cylindrical piston body of diameter D0 =25.01 cm. The annular space between the piston
and the outer body is filled with oil (ρ=900 kg m−3 , kinematic viscosity ν=0.36 10−4 m2 s−1 ).
We take it for granted that oil moves along the same direction as the piston only, and that oil
velocity is linearly distributed between the body and the piston.
1. For a piston speed V=5 m/minute, compute the force due to friction applied to the piston
when 2.5 m of piston are inside the body.
2. In the same position of the piston, compute the torque to apply to the piston in order to make
it rotate in the body with a rotation speed N=2 rpm.
4
Kinematics of fluids
Exercice 10 : Flow in a dihedron
A fluid flows in the bidimensional region x > 0, y > 0 with velocity field :
u = −kx,
1.
2.
3.
4.
v = ky,
w = 0.
Find the streamlines.
Compute the acceleration of a fluid particle.
Show that the flow is potential, find the velocity potential.
Find the equipotential surfaces.
Exercice 11 : Vortex
A flow is defined by the following velocity field, in cylindrical coordinates :
u=
C
eθ .
2πr
1. Check that the flow is incompressible.
2. Check that it is irrotational (apparently).
3. Find the velocity potential, the streamlines, and the equipotential surfaces.
4
Exercice 12 : Narrowing of a river bed
The bed of a (incompressible) river tightens, its section decreasing from S 1 to S 2 < S 1 .
Velocities are considered homogeneous at each section crossed by the flow. Show that the flow
rate is conserved between S 1 and S 2 .
Exercice 13 : Transformations in a plane Couette flow
A plane Couette flow takes place between two horizontal, plane plates distant of h, and is
characterized by a unidirectional velocity expressed by :
y y
u(y) = C
−1 .
h h
Find the rate-of-deformation and the rate-of-rotation tensors in this flow.
Exercice 14 : Rankine’s solid (more advanced)
A point source located at point O, origin of the spherical coordinate system. The emission
of incompressible fluid is spatially isotropic with a steady flow rate Dv .
1. Find the velocity field u1 of the flow.
2. Show that this field derives from a potential.
3. Double check incompressibility of the flow.
4. Describe the streamlines.
A velocity field in the form u2 = u0 ez is superposed to the previous field u1 .
5. Write the new, resulting velocity field in the spherical coordinate system.
6. In this flow incompressible ? Is it potential ?
7. Write the streamline equation under the form f (r, θ, φ) = cte.
8. Show there exists a stopping point (u = 0) and write the equation of the streamlines crossing
this point.
9. Explain why the flow outside of the streamlines defined previously can also be obtained by
placing a solid in the fluid. This is Rankine’s solid.
5
Transport theorem and integral form of the momentum equation
Exercice 15 : Transport theorem
Consider δΩ an elementary volume of fluid. Applying the transport theorem, show that
1 d(δΩ)
= div u,
δΩ dt
where u is the velocity field.
5
Exercice 16 : Angled pipe
A perfect fluid flows in an angled pipe of constant section and set up horizontally. Find the
force applied by the fluid to the pipe. Numerical Application : θ=60◦ , input velocity U=5 m
s−1 , input pressure P=4 bar, section S =0.06 m2 .
Exercice 17 : Tank on a skate board
A tank filled with water is laid on a skate board (Figure 3). At its bottom, a valve can drain
the water that gets out in a horizontal jet. What is the force to apply to the tank to maintain its
equilibrium when the valve is opened ?
Exercice 18 : Equilibrium of a plate hit by a jet
A blade-shaped jet of water of section S and velocity U hits a square, homogeneous plate
of side a mobile around a horizontal axis fixed at one side (Figure 1). The plate takes an angle
α with respect to the vertical. Find α as a function of the plate mass M and the vertical distance
h between the jet and the axis of rotation.
N. A. : S =10 cm2 , U=30 m.s−1 , h=60 cm, a=90 cm, M=240 kg.
Exercice 19 : Pelton turbine
In a Pelton turbine, a jet of water hits the blades of a water wheel to cause its rotation. The
rotation axis of the wheel is horizontal. The blades shape is such that the jet is divided into
two symmetric branches deviated backward (Figure 2). The wheel diameter is large enough to
approximate the blade displacement as a rectilinear motion.
1. Show that the input and output water velocities, with respect to the blade, have similar amplitudes.
2. Compute the force exerted by the jet on the blade.
6
Navier-Stokes equations
Exercice 20 : Poiseuille flow in a cylindrical pipe
Gasoline (a viscous, incompressible fluid) flows in a horizontal, cylindrical pipe. The flow
is slow enough to avoid the emergence of turbulence : We assume that velocity is directed along
the z-axis, axis of symmetry of the cylinder. We also consider that the flow is steady, axisymmetric, invariant along z. The effect of gravity is neglected and a pump produces a pressure
gradient ∂P
∂z .
1. Find the velocity profile in the fluid.
2. Compute the flow rate.
6
A device injects a thin layer of another, low-viscosity fluid between the gasoline and the
pipe walls.
3. Assuming that the new fluid follows a plane Couette flow, find the velocity profile in the
gasoline.
4. Compute the flow rate and compare to the case without the thin layer.
Exercice 21 : Rotating fluids
An incompressible fluid is in rotation around the vertical z axis. We assume the motion is in
cylindrical symmetry and invariant in the z direction. The z component of velocity is zero.
1. Using the mass conservation equation, show that radial velocity ur is zero.
2. Write the Navier-Stokes equations.
3. Find the general, steady solution for the velocity field.
4. For the solution valid with an infinite fluid domain, compute the velocity circulation along
a circle of radius r. Infer a formulation of the previous solution using the circulation.
The motion is generated by a cylinder of radius R and axis z, in rotation with constant speed
ω, and immersed in the fluid to a depth H.
5. Using the no-slip condition at the cylinder wall, find an expression of circulation, then velocity.
6. Compute the torque exerted on the cylinder, due to the fluid viscosity.
7. Infer a method to measure fluids viscosity.
Now, the fluid occupies the empty space between a solid cylinder, of axis z and radius R1 ,
and a hollow cylinder of similar axis and radius R2 > R1 (that means in particular that the domain is no more infinite !). The inner cylinder is motionless. The outer cylinder is in rotation
around its axis with speed ω. The resulting flow is steady.
8. Find the velocity field.
9. Compute the torque exerted on the outer cylinder, due to the fluid viscosity.
Exercice 22 : Flow of a layer of fluid on a vertical wall
A Newtonian, viscous fluid flows on a vertical wall located in the (y − z) plane. The flow is
steady and developed enough to be considered invariant along z. It is invariant along y.
1. Show that u is zero everywhere in the fluid.
2. Show that pressure is homogeneous.
3. Find the equation for w et its general solution (with integration constants).
4. Using appropriate boundary conditions, find an expression of w that involves the layer thickness δ.
5. Compute the flow rate.
7
7
Dimensional analysis and similarity
Exercice 23 : Back to high school : Pythagoras’s theorem
The area of a right-angled triangle is utterly determined by its hypotenuse and one of its
non-right angles. Noting that it can be divided into 2 smaller right-angled triangles, retrieve
Pythagoras’s theorem using dimensional analysis.
Exercice 24 : Dam
A scale model of a dam is made with concrete blocks of 1 kg and resists to a lab-controlled
swell of 30 cm. What will be the mass of concrete blocks to place on the real dam, supposed to
resist to a swell of 6 m ?
Exercice 25 : Tank draining
We want to design a scale model to estimate the emptying time of a water tank. How to
choose the fluid used with the model ? We call l a characteristic dimension of the tank, ρ the
density, µ the dynamical viscosity, and g is for gravity. We assume that the pressure gradient
between the free surface and the valve is proportional to l, thus does not explicitly interfere in
the analysis.
Exercice 26 : Oscillation in a U-shaped tube
A U-shaped tube contains a non-viscous fluid. Estimate the oscillation frequency of the fluid
in the tube. Some possibly important parameters are density, gravity, tube diameter, volume of
fluide...
Exercice 27 : Range of a projectile
A projectile is thrown with horizontal speed v from height h. Find a relation between the
range d and other physical parameters connected to the problem.
Exercice 28 : Head loss in a pipe
Find the head loss of a viscous fluid flow in a horizontal, rough pipe by dimensional analysis.
8
Contrôle continu L3MK du 22 octobre 2012
Durée : 1 h 30. Les documents et calculettes sont autorisées. Tout résultat issu du cours ou
d’un TD peut être utilisé (à bon escient...) sans être redémontré. En revanche, il doit être clairement rf́érencé (numéro de section, de TD, d’exercice, etc). Les notations des variables sont
8
identiques à celles du cours lorsqu’elles ne sont pas reprécisées.
Exercice 29 : Analyse vectorielle
1. Montrer que rot (Au) = grad A ∧ u + Arot u.
2. Calculer
I
r.ndS ,
S
−−→
où S est une surface fermée et r = OM.
Exercice 30 : Description lagrangienne et eulérienne
Dans un écoulement donné, la position des particules fluides est définie par :
x(t) = x0 ekt ,
y(t) = y0 e−kt ,
z(t) = z0 .
k est un paramètre constant, et (x0 , y0 , z0 ) est la position initiale de la particule. L’écoulement
est-il permanent (ou stationnaire) ?
Pour répondre, on pourra suivre la démarche suivante :
1. Calculer la vitesse de la particule fluide.
2. Ecrire cette vitesse en fonction de la position de la particule.
3. Conclure.
Exercice 31 : Mouvement hélicoı̈dal
Soit l’écoulement déterminé par le champ de vitesse suivant :
u = −ay,
v = ax,
w = 0,
où a est un paramètre constant.
1. Le fluide est-il incompressible ?
2. L’écoulement est-il irrotationnel ?
3. Déterminer les lignes de courant.
4. Déterminer le tenseur taux de déformation pour cet écoulement.
5. Comparer cet écoulement au champ de vitesse d’un solide en rotation.
Exercice 32 : Gouttes et tension superficielle
Calculer la pression qui règne dans une goutte liquide baignant dans l’air, en fonction de
son rayon R et du coefficient γ de tension superficielle du liquide.
9
Examen L3MK du 21 décembre 2012
Durée : 2 h. Les documents et calculettes sont autorisées. Tout résultat issu du cours ou
d’un TD peut être utilisé (à bon escient...) sans être redémontré. En revanche, il doit être clai9
rement référencé (numéro de section, de TD, d’exercice, etc). Les notations des variables sont
identiques à celles du cours lorsqu’elles ne sont pas reprécisées.
Exercice 33 : Ruissellement laminaire
Un fluide s’écoule librement sur une plaque inclinée d’un angle α avec l’horizontale, sous
le seul effet de la gravité. Il forme un film d’épaisseur a uniforme. Sa viscosité est notée ν. On
considère l’écoulement comme bidimensionnel (plan (x, z), x le long de la plaque et z perpendiculaire à la plaque), infiniment long selon x, permanent et établi.
1. Traduire mathématiquement les hypothèses de régime ”bidimensionnel”, ”permanent” et
”établi”.
2. Montrer que w = 0.
3. Ecrire l’équation de Navier-Stokes pour u en tenant compte des hypothèses simplificatrices.
4. Ecrire les conditions aux limites pour u en négligeant la tension superficielle à l’interface
avec l’air.
5. Démontrer que le profil de vitesse est
g sin α z
u(z) =
z a− .
ν
2
6. Déterminer le débit par unité de largeur.
Exercice 34 : Coefficient de trainée d’un cylindre circulaire
Un cylindre de rayon d est immergé dans un fluide de masse volumique ρ, viscosité ν, en
écoulement permanent et uniforme (au moins loin du cylindre) avec une vitesse U. Sous l’effet
du fluide, le cylindre subit une force par unité de longueur immergé, notée F. Traditionnellement, les mécaniciens utilisent le coefficient de trainée défini comme :
Cx =
F
1
2
2 ρU d
.
En négligeant les effets de la gravité, montrer que C x n’est fonction que du nombre de Reynolds
associé à l’écoulement du fluide autour du cylindre.
Exercice 35 : Lance à incendie
Un pompier tient une lance à incendie pendant la projection d’eau vers un feu. La lance est
alimentée avec un débit qv connu. Les sections du tuyau et de la tête de la lance (figure 4) sont
connues. Calculer l’effort que doit fournir le pompier pour maintenir la lance immobile.
10
Contrôle continu L3MK du 14 octobre 2013
Durée : 1 h 30. Les documents et calculettes sont autorisées. Tout résultat issu du cours
ou d’un TD peut être utilisé (à bon escient...) sans être redémontré. En revanche, il doit être
10
clairement référencé (numéro de section, de TD, d’exercice, etc). Les notations des variables
sont identiques à celles du cours lorsqu’elles ne sont pas reprécisées.
Exercice 36 : Analyse vectorielle
1. Montrer que a.(u ∧ v) = v.(a ∧ u).
2. Montrer que
r ∧ n dS = 0,
S
−−→
où S est une surface fermée et r = OM.
Exercice 37 : Description lagrangienne et eulérienne
Un écoulement est décrit dans le formalisme lagrangien par :
X(t) = X0 (1 + at),
Y(t) = Y0 + b,
Z(t) = Z0 .
a et b sont des paramètres constants, et (X0 , Y0 , Z0 ) sont des paramètres propres à chaque particule.
1. Ecrire les composantes u, v, et w du champ de vitesse du fluide dans le formalisme eulérien.
2. Calculer la dérivée particulaire de ce champ de vitesse.
3. Calculer le tenseur taux de déformation de cet écoulement.
Exercice 38 : Examen d’un écoulement
Soit l’écoulement déterminé par le champ de vitesse suivant :
u(x, y, z, t) =
ax
,
1 + at
v = 0,
w(x, y, z, t) = bω cos ωt,
où a, b et ω sont des paramètres constants.
1. Le fluide est-il incompressible ?
2. L’écoulement est-il irrotationnel ?
3. Déterminer les trajectoires de l’écoulement et en tracer quelques-unes dans le plan X − Z.
4. Déterminer les lignes de courant et en tracer quelques-unes dans le plan X − Z.
Exercice 39 : Bulles et tension superficielle
Une bulle de savon sphérique de rayon R2 vient se coller à une autre bulle de savon (de
même savon) sphérique de rayon R1 > R2 (Figure 5). Déterminer précisément la forme de
l’interface de contact entre les 2 bulles.
11
11
Examen L3MK du 16 décembre 2013
Durée : 2 h. Les documents et calculettes sont autorisées. Tout résultat issu du cours ou
d’un TD peut être utilisé (à bon escient...) sans être redémontré. En revanche, il doit être clairement référencé (numéro de section, de TD, d’exercice, etc). Les notations des variables sont
identiques à celles du cours lorsqu’elles ne sont pas reprécisées. Un soin particulier doit être
apporté à la clarté et la concision (sans excès) des réponses aux questions.
Exercice 40 : Jet dévié
Un système industriel (figure 6) est composé d’une conduite (comprenant une section cylindrique de diamètre D0 =0.2 m, un venturi de diamètre D1 =0.1 m, une tuyère convergente de
diamètre d’entrée D2 =0.2 m et de sortie D3 =5 cm) et d’une aube qui dévie le jet sortant d’un
angle α=120◦ . L’ensemble solide est fixé à un bâti sans possibilité de mouvement. L’eau entre
dans la conduite avec un débit qv =0.2 m3 .s−1 . Elle sort par la tuyère à l’air libre avant d’aller
frapper l’aube. Le fluide est considéré parfait, sauf indication contraire.
Pour chaque question, l’application numérique est indispensable.
1. Calculer les vitesses de l’eau au niveau des points 0, 1, 2, 3 indiqués sur la figure.
2. Calculer les pressions P0 à l’entrée de la conduite et P1 au niveau du venturi.
3. Calculer la force exercée par l’eau en écoulement sur la tuyère. L’effet de la gravité sera
négligé (mais pas les forces de pression !).
4. Calculer la force exercée par le jet sur l’aube (et on justifiera brièvement le fait de négliger
les forces de pression).
5. L’eau est remplacé par une huile de même densité, mais visqueuse (ν = 10−5 m2 .s−1 ). On
constate que la vitesse u3 est réduite de 20%, par rapport à l’eau, entre le point d’arrivée sur
l’aube et le point de sortie. Calculer l’intensité de la force appliquée sur l’aube.
Exercice 41 : Oscillation d’une surface libre
Lorsque l’on transporte un récipient rempli d’un liquide en marchant, les à-coups de la
marche engendrent des oscillations de la surface du liquide. Si le récipient était trop plein le liquide déborde. Une observation rigoureuse conduit à constater que la fréquence des oscillations
est indépendante des caractéristiques du déplacement si celles-ci sont raisonnables. On cherche
à relier, par l’expérience, la fréquence d’oscillation de la surface libre aux caractéristiques de
différents réservoirs cylindriques (diamètres D, profondeur H) et à celles de différents fluides
incompressibles newtoniens de masse volumique ρ, viscosité µ, et tension superficielle A.
12
1. Quelle stratégie adopter pour minimiser le nombre d’expériences ?
2. Déterminer les unités de A.
3. Par analyse dimensionnelle, déterminer une relation entre la fréquence d’oscillation f et les
variables caractéristiques du problème.
On peut penser que la gravité g a un rôle à jouer... D’autre part, afin de bien distinguer les
rôles de la viscosité et de la tension superficielle, il peut être judicieux d’éviter de mêler ces 2
quantités dans une même variable.
4. On s’impose de n’utiliser que des réservoirs dont le diamètre et la hauteur sont identiques.
Comment se simplifie la relation précédente ?
5. Ensuite, on néglige les effets de viscosité et de tension superficielle. Que devient la loi de f ?
6. Sous les hypothèses précédentes, on mesure une fréquence d’oscillation f1 avec un réservoir
de profondeur H1 et un fluide 1. Peut-on prédire la valeur de f2 , fréquence pour un réservoir de
profondeur H2 avec un fluide 2 ?
12
Contrôle continu L3MK du 13 octobre 2014
Durée : 1 h 30. Les documents et calculettes sont autorisées. Tout résultat issu du cours
ou d’un TD peut être utilisé (à bon escient...) sans être redémontré. En revanche, il doit être
clairement référencé (numéro de section, de TD, d’exercice, etc). Les notations des variables
sont identiques à celles du cours lorsqu’elles ne sont pas reprécisées.
Exercice 42 : Analyse vectorielle
φ et ψ sont deux champs scalaires.
1. Montrer que
∆(φψ) = φ∆ψ + 2grad φ.grad ψ + ψ∆φ.
2. Montrer que
rot φgrad φ = 0.
Exercice 43 : Etude d’un écoulement ; Description lagrangienne et eulérienne
Un écoulement est décrit dans le formalisme lagrangien et en coordonnées cylindriques par :
R(t) = R0 ,
Θ(t) = Θ0 +
α
t,
R20
13
Z(t) = Z0 (1 + βt) .
α et β sont des paramètres constants, et (R0 , Θ0 , Z0 ) sont des paramètres propres à chaque particule.
1. Ecrire les composantes du champ de vitesse du fluide dans le formalisme eulérien.
2. Calculer la dérivée particulaire de ce champ de vitesse. Pouvait-on anticiper le résultat sans
faire le calcul ?
3. Calculer le tenseur taux de déformation de cet écoulement.
4. Que faut-il pour que l’écoulement soit incompressible ?
5. Dans le cas où l’écoulement est incompressible, est-il aussi irrotationnel ?
6. Dans le cas où l’écoulement est incompressible, déterminer les lignes de courant et en tracer
quelques-unes.
Exercice 44 : Bulles et tension superficielle
Une bulle de savon sphérique de rayon R2 vient se coller à une autre bulle de savon (de
même savon) sphérique de rayon R1 > R2 (Figure 5). Déterminer précisément la forme de l’interface de contact entre les 2 bulles.
13
Examen L3MK du 15 décembre 2014
Durée : 2 h. Les documents et calculettes sont autorisées. Tout résultat issu du cours ou
d’un TD peut être utilisé (à bon escient...) sans être redémontré. En revanche, il doit être clairement référencé (numéro de section, de TD, d’exercice, etc). Les notations des variables sont
identiques à celles du cours lorsqu’elles ne sont pas reprécisées. Un soin particulier doit être
apporté à la clarté et la concision (sans excès) des réponses aux questions.
Exercice 45 : Accélération dans une tuyère
Un fluide parfait et incompressible circule dans une tuyère horizontale, dans un écoulement
permanent. La tuyère, représentée sur la figure 7, s’évase selon une loi
R(x) =
1
(1 + arctan (2x)) ,
10π
où R(x) est le rayon local de la tuyère. Loin de l’évasement, ce rayon est constant, de 5 cm en
entrée, 15 cm en sortie. Le fluide entre dans la tuyère avec un débit qv de 1.8 m3 .h−1 .
On rappelle que la dérivée de arctan(x) est 1/(1 + x2 ).
1. Rappeler succinctement ce que signifient les caractéristiques : incompressible, permanent,
parfait.
2. Déterminer la vitesse du fluide en entrée (U1 ) et en sortie (U2 ) de la tuyère. Application
numérique.
14
3. Pour répondre à la question 2, a-t-on invoqué une ou des caractéristiques mentionnées dans
la question 1 ? Laquelle ou lesquelles ?
4. Le fluide subit-il une accélération au passage de la tuyère ?
5. Déterminer l’accélération horizontale que subit une particule de fluide en chaque position x, au cours de sa traversée dans la tuyère (on pourra écrire avec R et R0 sans décomposer
complètement ces deux fonctions).
6. Par quelle(s) force(s) cette accélération est-elle équilibrée ?
7. Donner la valeur numérique de cette accélération lorsque la particule est en x = 0.
Exercice 46 : Mise en rotation d’un cylindre baigné
Le dispositif présenté sur la figure 8 inclut un cylindre intérieur de rayon Ri et un cyclindre
creux extérieur, dont la cavité est de rayon Re , avec Re > Ri . Les deux cylindres ont le même
axe de symétrie z. L’espace entre les deux cylindres est rempli avec un fluide de viscosité µ sur
une hauteur H. Le cylindre extérieur est mis en rotation à la vitesse ω.
1. Supposons que le cylindre intérieur est laissé libre de tourner autour de son axe z. On
constate que la mise en rotation du cylindre extérieur n’entraı̂ne pas la rotation du cylindre
intérieur. Que peut-on dire du fluide ?
2. On remplace le fluide précédent par un autre, de telle sorte que la mise en rotation du
cylindre extérieur entraı̂ne la rotation du cylindre intérieur. Mais on immobilise le cylindre
intérieur. Déterminer le moment exercé par le fluide sur le cylindre intérieur.
3. Discuter autant que possible le cas où le cylindre intérieur est laissé libre en rotation avec le
second fluide. (Attention dans cette question, les éléments qui font du sens sont récompensés,
mais les absurdités sont pénalisées !).
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Contrôle continu L3MK du 14 octobre 2015
Durée : 1 h 30. Les documents et calculettes sont autorisées. Tout résultat issu du cours
ou d’un TD peut être utilisé (à bon escient...) sans être redémontré. En revanche, il doit être
clairement référencé (numéro de section, de TD, d’exercice, etc). Les notations des variables
sont identiques à celles du cours lorsqu’elles ne sont pas reprécisées.
Exercice 47 : Opérateurs différentiels, etc
1. Montrer que
− →
→
− − →
−a ∧ →
(→
b ).−c = ( b ∧ →
c ).−a .
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2. Montrer que
Z
Ω
→
−
rot b dΩ =
I
∂Ω
→
−
n ∧ b dS .
Exercice 48 : Champ de vitesse d’un écoulement à symétrie axiale
Un fluide incompressible s’écoule dans une conduite d’axe Oz dont la section varie. Son
champ de vitesse est donné par
→
−u = 2Kr→
−e + K 0 z→
−e .
r
z
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Exprimer K 0 en fonction de K. Par la suite, on écrira tout avec K.
Calculer l’accélération d’une particule de fluide dans l’écoulement.
Montrer que l’écoulement est irrotationnel.
Déterminer le potentiel de vitesse de l’écoulement.
Déterminer l’équation des lignes de courant et les tracer.
Quel peut être la forme de la conduite ?
Exercice 49 : Détermination d’une tension superficielle
Pour déterminer la ternsion superficielle d’un liquide en interface avec l’air, on utilise le
dispositif suivant : un anneau métallique, traité pour être parfaitement mouillant, de diamètre
intérieur 2 cm et extérieur 2,2 cm, est pendu au bout d’un fil lui-même monté sur une balance. La
balance est mise à l’équilibre. L’anneau est ensuite posé à la surface du liquide. Pour décoller
l’anneau de la balance, il faut ajouter, sur l’autre bras de la balance, une masse de 380 mg.
Déterminer le coefficient de tension superficielle du liquide.
15
Examen L3MK du 14 décembre 2015
Durée : 2 h. Les documents et calculettes sont autorisées. Tout résultat issu du cours ou
d’un TD peut être utilisé (à bon escient...) sans être redémontré. En revanche, il doit être clairement référencé (numéro de section, de TD, d’exercice, etc). Les notations des variables sont
identiques à celles du cours lorsqu’elles ne sont pas reprécisées. Un soin particulier doit être
apporté à la clarté et la concision (sans excès) des réponses aux questions.
Exercice 50 : Etude de la suspension du train d’atterrissage d’un avion
Le schéma du système étudié est présenté sur la figure 9, à droite. Le cylindre lié à la roue
de l’avion est considéré comme fixe. A l’atterrissage, le piston 1 lié à la carlingue s’enfonce, sa
position est définie par X par rapport à la position neutre avant l’atterrissage, et sa vitesse est
V = dX/dt. Le cylindre est rempli d’huile incompressible. Le piston 2, solidaire et de même
rayon R que le piston 1, se déplace donc de la même façon, et sa position est également repérée
par X. Il comprime un ressort de raideur k, non contraint quand X = 0, qui délivre une force de
rappel −kX. Le piston 1 porte une aiguille de rayon r, engagée dans l’étranglement du cylindre.
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Le rayon r + a de cet étranglement est à peine plus grand que celui du cylindre (a r) et sa
longueur est L. L’huile chassée par le piston 1 traverse l’espace annulaire d’épaisseur a.
Dans l’étude de l’écoulement, on néglige l’effet de la pesanteur. On suppose r2 négligeable
devant R2 et a négligeable devant r. Par simplicité, on considèrera en outre que V est constante
dans le temps.
1. Exprimer en fonction de V le débit d’huile chassé par le piston 1 et la vitesse moyenne U de
l’ écoulement dans l’espace annulaire d’épaisseur a. Vérifier que V est négligeable par rapport
à U.
2. L’espace annulaire est très peu épais et il y a une symétrie cylindrique dans l’écoulement.
Jusitifier rapidement pourquoi l’écoulement dans cette espace est assimilable à un écoulement
de Couette plan.
3. Déterminer l’expression du champ de vitesse dans l’espace annulaire, en fonction du gradient de pression. On utilisera le système de coordonnées de la figure 9, à gauche.
4. Déterminer le débit dans l’espace annulaire.
5. En déduire la différence de pression P1 − P2 entre les chambres des pistons 1 et 2. On devrait
montrer que
6µVR2 L
P1 − P2 =
.
ra3
6. Pour obtenir la pression P2 , on considère que le piston 2 a une inertie négligeable, et qu’il y
a équilibre entre l’effet de la pression de l’huile et l’action du ressort.Exprimer P2 et en déduire
P1 .
7. Exprimer la force de pression exercée sur le cylindre 1. Montrer qu’elle comporte une composante de rappel vers la position neutre et une composante d’amortissement.
8. L’aiguille mobile dans l’espace annulaire est soumise à une force due à la viscosité de l’huile
lors de son déplacement. Cette force s’exerce donc sur le piston 1. Déterminer cette force. Estelle importante par rapport à la force de pression ?
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Figure 1 – Jet on a plate.
Figure 2 – Pelton turbine.
Figure 3 – Tank on a skateboard.
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Figure 4 – Lance à incendie.
Figure 5 – 2 bulles de savon collées ensemble.
Figure 6 – Système venturi-tuyère-déflecteur.
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Figure 7 – Tuyère.
Figure 8 – Cylindre.
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Figure 9 – A droite : schéma de la suspension du train d’atterrissage ; A gauche : zoom sur
l’espace annulaire entre l’étranglement et l’aiguille, avec une représentation ”artistique” du
profil de vitesse du fluide.
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