Logique mathématique Série 2

Logique mathématique (série 2)
EXERCICE 1 :
Monsieur Ali fait les affirmations suivantes :
(a) si cet objet est rare alors il est cher ;
(b) si cet objet est cher alors il n’est pas rare.
En utilisant les tables de vérité, montrez que cet ensemble d’énoncés n’est pas contradictoire.
Monsieur Ali a-t-il tort ?
EXERCICE 2 :
Brown, Jones et Smith sont prévenus de fraude fiscale. Ils prêtent serment de la manière
suivante : BROWN : Jones est coupable et Smith est innocent. (I)
JONES : Si Brown est coupable alors Smith aussi. (II)
SMITH : Je suis innocent mais au moins l’un des deux autres est coupable. (III)
Soient B, J et S les énoncés « Brown est innocent », « Jones est innocent » et « Smith est
innocent».
1) Exprimer le témoignage de chacun des suspects dans le symbolisme logique.
2) Calculer les valeurs de vérités des trois formules obtenues.
3) Le témoignage de l’un des suspects s’ensuit il de celui d’un autre suspect ? Desquels deux
témoignages s’agit-il ?
4) En supposant que tous sont innocents, lequel aurait commis un faux serment ?
EXERCICE 3 :
On se trouve sur une île dont les habitants sont répartis en deux catégories : les Purs et les
Pires. Les Purs disent toujours la vérité, tandis que les Pires mentent toujours.
On rencontre trois habitants de l’île : Moe, Jon et Will.
Moe déclare : « Nous sommes Pires tous les trois ».
Jon déclare : « Il y a exactement un Pire parmi nous ».
Que peut-on déduire de ces déclarations ?
EXERCICE 4 :
Trois personnes, Ali (A), Belaid (B) et Chérif (C) exercent chacune une profession différente :
pharmacien, dentiste ou chirurgien.
Sachant que les implications suivantes sont vraies, retrouver leur profession :
( A chirurgien ⇒ B dentiste ),
( A dentiste ⇒ B pharmacien ),
( B non chirurgien ⇒ C dentiste ).
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Correction
EXERCICE 1 :
Soit p = « l’objet est rare » et q = « l’objet est cher ». Les affirmations de Monsieur Ali
peuvent s’écrire (a) = p → q ; et (b) = q → ¬ p.
Sa déclaration est donc (a) ∧ (b) = (c).
Les valeurs de vérité de (c) sont :
La déclaration (c) n’est pas contradictoire : elle vaut 1 si p = 0.
Donc si l’objet n’est pas rare alors Mr Ali a raison (il n’a pas tort) ; mais si l’objet est rare
alors il a tort.
EXERCICE 2 :
1) Formalisation :
Soient B = « Brown est innocent », J = « Jones est innocent » et S = « Smith est innocent ».
Les trois énoncés (I), (II) et (III) peuvent se formaliser comme suit :
(I) : ¬ J ∧ S
(II) : ¬ B → ¬S
(III) : S ∧ ( ¬ J ∨ ¬B)
2) Table de vérité
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3) D’après la table de vérité, on remarque que (I) → (III) est une tautologie ce qui veut dire
que le témoignage de Smith découle de celui de Brown. C’est l’unique cas car :
(I) → (II), (II) → (I), (II) → (III), (III) → (II) et (III) → (I) ne sont pas des tautologies.
4) S’ils sont tous innocents alors B = J = S = 1 (I) = 0 et (III) = 0 ; donc Brown et Smith ont
fait un faux serment.
EXERCICE 3 :
Moe : « Nous sommes Pires tous les trois » (I)
Jon : « Il y a exactement un Pire parmi nous » (II)
- Si Moe est pur alors il dit la vérité, donc (I) est vraie et cela engendre une contradiction car
Moe est pur, donc ils ne peuvent pas être pires tous les trois.
- Si Moe est pire, alors (I) est fausse donc la vérité c’est qu’il y a un pire seulement ou deux
pires
seulement.
- Si Jon est pure alors (II) est vraie et le pire est Moe et donc Will est pur.
- Si Jon est pire alors (II) est fausse et il y a deux pires : ce sont Moe et Jon et donc Will est
pur.
En conclusion, ce que l’on peut déduire des déclarations c’est que Moe est pire et Will est pur,
mais on ne peut rien déduire sur Jon.
EXERCICE 4 :
On a : F1= ( A chirurgien ⇒ B dentiste ),
F2= ( A dentiste ⇒ B pharmacien ),
F3= ( B non chirurgien ⇒ C dentiste ).
F1,F2 et F3 sont vraies simultanément et A, B, C ont chacun une profession différente parmi
pharmacien, dentiste et chirurgien.
les variables propositionnelles sont
C1 :"A Chirurgien"
D1: "A dentiste"
P1 : "A pharmacien"
C2 :"B Chirurgien"
D2: "B dentiste"
P2 : "B pharmacien"
C3 :"C Chirurgien"
D3: "C dentiste"
P3 : "C pharmacien"
On a alors la table de vérité suivante (on ne considère que les
profession différente):
C1
D1
P1
C2
D2
P2
C3
D3
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V
V
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V
Conclusion :
A est pharmacien, B est chirurgien, C est dentiste.
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cas où A, B, C ont chacun une
P3
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F1
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F
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F2
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F
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F3
F
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F
V
F