Université Lyon 1 Classes préparatoires 2015

Université Lyon 1
Classes préparatoires 2015-2016
Algèbre linéaire
Serge Parmentier
Chapitres 5. Les matrices.
1. L’ensemble des matrices.
Soit K un corps et n, m ∈ N \ {0}.
Définition et notations: on appelle matrice m par n à coefficients dans K tout tableau
a11
 a21
A=
 ...
···
···
..
.

a1n
a2n 
.. 
. 
am1
···
amn

constitué de m lignes (ou rangées) et de n colonnes d’éléments aij ∈ K, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
Lorsque le nombre de lignes de A est égal au nombre de ses colonnes, i.e. lorsque n = m, on dit
que A est une matrice carrée de taille n.
L’ensemble des matrices m par n à coefficients dans K est noté Mm,n (K); lorsque m = n, cet
ensemble est noté Mn (K) (au lieu de Mn,n (K)).
La i−ème ligne de A est
Li = ( ai1 ai2 · · · ain )
et la j−ème colonne de A est
a
1j
a
 2j
Cj = 
 ..
.




amj
On écrit A = (aij ) ∈ Mm,n (K) et on dit que aij est le coefficient ou la composante ij de A.
Deux matrices A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mm,n (K) sont égales ssi pour tout couple (i, j), aij = bij .
Exemples de matrices et matrices particulières
1. M1 (K) = K.
2. Les éléments de M2,3 (K) sont les tableaux
a b c
d e f
,
a, b, c, d, e, f ∈ K.
3. La matrice nulle O ∈ Mm,n (K) est la matrice dont tous les coefficients sont nuls: O = (oij )
avec pour tout (i, j), oij = 0.
4. On dit qu’une matrice carrée A = (aij ) ∈ Mn (K) est diagonale si aij = 0 pour tout (i, j) tel
que i 6= j.
1 √1
1 √0
∈ M2 (R) est diagonale et
ne l’est pas.
Par exemple,
0
2
2
0
1
5. La matrice unité 1n ∈ Mn (K) est la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux valent 1:
11 = 1,
12 =
1
0
0
1


0
0  , ...
1
1 0
13 =  0 1
0 0
,
Pour (i, j) ∈ {1, . . . , n}2 on définit le symbole de Kronecker δij par δij = 0 si i 6= j et δij = 1 si
i = j.
On a 1n = (δij ) ∈ Mn (K).
2. Somme de matrices et multiplication par un scalaire
On introduit deux lois naturelles:
La somme
Mm,n (K) × Mm,n (K) → Mm,n (K)
(A = (aij ), B = (bij )) 7→ A + B = (aij + bij )
et la multiplication scalaire
K × Mm,n (K) → Mm,n (K)
7→
(λ, A = (aij ))
λA = (λaij )
Proposition: Muni de ces deux lois, l’ensemble Mm,n (K) est un espace vectoriel sur K de neutre
la matrice nulle O.
preuve: il s’agit d’observer que les lois étant définies composantes par composantes, les propriétés
de K sont conservées, i.e. que l’on a bien pour tout A, B, C ∈ Mm,n (K) et λ, µ ∈ K,
(A + B) + C = A + (B + C),
−A + A = O,
A + O = O + A,
A + B = B + A,
où −A = (−aij ),
λ(A + B) = λA + λB,
(λ + µ)A = λA + µA,
(λµ)A = λ(µA),
1n A = A.
Base de Mm,n (K) comme espace vectoriel sur K
Pour k ∈ {1, . . . m}, l ∈ {1, . . . n} on définit la matrice Ekl ∈ Mm,n (K) en déclarant que Ekl est la
matrice dont toutes les composantes sont nulles sauf la composante kl qui vaut 1.
Exemples: dans M2,1 (K),
E11
1
=
,
0
E21
0
=
.
1
Dans M2 (K),
E11 =
1
0
0
0
, E12 =
0
0
1
0
, E21 =
0
1
0
0
, E22 =
0
0
0
1
.
Proposition: la famille de matrices (Ekl )k∈{1,...,m}, l∈{1,...,n} constitue une base du K- espace
Mm,n (K). On a dimK (Mm,n (K)) = mn.
2
Exemple: Toute matrice A = (aij ) ∈ M2 (K) s’écrit dans cette base comme suit:
A=
a11
a21
a12
a22
= a11
1
0
0
0
+ a12
0 1
0 0
+ a21
0 0
1 0
+ a22
0 0
0 1
.
preuve: Cette famille est génératrice car tout A = (aij ) ∈ Mm,n (K) s’écrit
X
A=
akl Ekl .
1≤k≤m,1≤l≤n
Elle est libre car la condition de combinaison linéaire nulle:
X
λkl Ekl = O
1≤k≤m,1≤l≤n
équivaut à demander que la matrice Λ = (λij ) soit la matrice nulle, i.e. à demander que λij = 0
pour tout (i, j).
3. Multiplication matricielle.
Soient m, n, p ∈ N \ {0}. On définit le produit des matrices A = (aij ) ∈ Mm,n (K) et B = (bij ) ∈
Mn,p (K) en posant
n
X
A B := (
aik bkj ) ∈ Mm,p (K),
k=1
i.e. le produit AB est la matrice m par p dont la composante ij vaut
n
X
aik bkj = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + ain bnj .
k=1
Exemples:
c
b ) ∈ M1,2 (K) et B =
∈ M2,1 (K). On a
d
1. Prenons A = ( a
AB = ( a
et
2. A =
a
c
c
b)
= ac + bd ∈ M1 (K) = K
d
c
ca cb
BA =
(a b) =
∈ M2 (K).
d
da db
b
1 2 3
∈ M2 (R) et B =
∈ M2,3 (R). On a
d
4 5 6
AB =
a
c
b
d
1 2
4 5
3
6
=
a + 4b 2a + 5b 3a + 6b
c + 4d 2c + 5d 3c + 6d
Par contre, BA n’est pas défini.
1 1
1 0
3. A =
,B =
∈ M2 (Q).
0 1
1 1
3
∈ M2,3 (K).
On a
AB =
BA =
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
2 1
1 1
1 1
1 2
=
=
Observer que AB 6= BA, i.e. la multiplication matricielle n’est pas commutative.
4. Soit 1n ∈ Mn (K) la matrice unité. Pour tout A ∈ Mn (K) on a A1n = 1n A = A.
Propriétés: Pour tout A, A0 ∈ Mm,n (K), B, B 0 ∈ Mn,p (K), C ∈ Mp,q (K) et λ, λ0 ∈ K on a
(λA + λ0 A0 )B = λ(AB) + λ0 (A0 B), A(λB + λ0 B 0 ) = λ(AB) + λ0 (AB 0 ).
Pn
Pp
preuve: on a AB = ( k=1 aik bkj ) et BC = ( l=1 bil clj ). D’où
(AB)C = A(BC),
p X
p
n
n
X
X
X
(AB)C = ( (
aik bkl )clj ) = (
aik (
bkl clj )) = A(BC).
l=1 k=1
k=1
l=1
Je vous laisse vérifier les égalités de distributivité.
Observer que le produit de deux matrices carrées A, B ∈ Mn (K) est toujours défini et est une
matrice carrée AB ∈ Mn (K).
On a donc deux lois de composition interne sur Mn (K):
- l’addition matricielle + : Mn (K)2 → Mn (K) : ((aij ), (bij )) 7→ (aij + bij )
Pn
- le produit matriciel × : Mn (K)2 → Mn (K) : ((aij ), (bij )) 7→ ( k=1 aik bkj )
Proposition Mn (K) muni des lois + et × est un anneau unitaire, d’unité la matrice identité 1n .
Pour n ≥ 2 cet anneau n’est pas commutatif.
preuve: on sait déjà que l’addition + est associative, de neutre la matrice nulle, à opposés (l’opposé
de A = (aij ) est −A = (−aij )) et commutative.
L’associativité (AB)C = A(BC), l’unité A1n = 1n A = A, la distributivité A(B + B 0 ) = AB +
AB 0 , (A+A0 )B = AB +A0 B et le fait que le produit n’est pas commutatif ont été vus en propriétés
et/ou en exemples plus haut.
Matrice inversible: on dit qu’une matrice carrée A ∈ Mn (K) est inversible s’il existe B ∈ Mn (K)
telle que AB = BA = 1n .
Observer que si une telle matrice B existe, elle est unique: en effet, si B 0 est telle que AB 0 = 1n ,
alors BAB 0 = B et donc B 0 = B (car BA = 1n ).
Lorsque A est inversible, l’unique B pour laquelle AB = BA = 1n est notée A−1 et est appelée la
matrice inverse de A. L’ensemble des matrices inversibles de Mn (K) est noté Gln (K).
Exemples et contre-exemples
1. La matrice unité 1n est inversible, d’inverse 1n ; la matrice nulle O ∈ Mn (K) n’est pas inversible
car pour toute matrice B ∈ Mn (K) on a OB = O 6= 1n
1 1
a b
2. A =
∈ M2 (R) est inversible: si B =
est telle que AB = BA = 12 , on a
0 1
c d
a+c b+d
1 0
AB =
=
,
c
d
0 1
4
i.e.
a + c = 1,
b + d = 0,
i.e.
c = 0,
d=1
−1
B=
1
1 −1
−1
pour laquelle on a aussi BA = 12 . Conclusion A =
.
0 1
0 1
a b
3. A =
∈ M2 (K) n’est pas inversible: si B =
est telle que AB = BA = 12 , on a
0 1
c d
AB =
c
c
1
0
d
d
=
1
0
0
1
ce qui conduit à d = 0 = 1!
a11 a12
4. Une matrice A =
∈ M2 (K) est inversible ssi δ = a11 a22 − a21 a12 6= 0 auquel cas
a21 a22
A
−1
1
=
δ
a22
−a21
−a12
a11
.
Propriétés:
(i) 1n est inversible.
(ii) si A, A0 ∈ Mn (K) sont inversibles alors AA0 l’est aussi.
(iii) L’inverse A−1 d’une matrice A ∈ Mn (K) est inversible.
preuve: (i) on a 1n 1n = 1n . (Cf exemple 1.)
−1
−1
(ii) on a (AA0 )(A0 A−1 ) = A(A0 A0 )A−1 = A1n A−1 = AA−1 = 1n et (A0
−1
Conclusion: l’inverse de AA0 est A0 A−1 .
−1
A−1 )(AA0 ) = 1n .
(iii) on a A−1 A = AA−1 = 1n , i.e. (A−1 )−1 = A.
4. Matrices et espaces vectoriels
Soit E un K- espace de dimension n de base e = (ej )1≤j≤n , F un K- espace de dimension m de
base f = (fi )1≤i≤m .
On sait
Pn que tout élément u ∈ E s’écrit d’une et une seule manière comme combinaison linéaire
u = j=1 xj ej des éléments de la base (ej )1≤j≤n ; se donner u équivaut donc à se donner la liste
de ses composantes (x1 , . . . , xn ) ∈ Kn dans la base (ej )1≤j≤n . C’est ce qu’exprime, sous forme
matricielle, la proposition qui suit:
Proposition: l’application
M ate : E → Mn,1 (K)

x1
.
u=
xj ej →
7 M ate (u) =  .. 
j=1
xn

n
X
est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
5
preuve: mq cette application est linéaire: pour u =
P
j
xj ej et u0 =
P
j
x0j ej , on a
    0 
x1
x1 + x01
x1



.
. 
.
0
..
M ate (u + u0 ) = 
 =  ..  +  ..  = M ate (u) + M ate (u ).
xn
x0n
xn + x0n

De même, pour λ ∈ K et u ∈ E, on a
M ate (λu) = λM ate (u).
Pour montrer que cette application est bijective, il suffit d’observer que l’application

x1
n
X
 ...  7→
xj ej

j=1
xn
est la réciproque de M ate .

x1
.
Remarque: Lorsque E = K n cet isomorphisme est simplement (x1 , . . . , xn ) 7→  ..  .
xn

Définition:
1. La matrice M ate (u) ∈ Mn,1 (K) est appelée la matrice de u ∈ E dans la base e.
2. Soit v = (v1 , . . . , vp ) une famille de vecteurs de E. La matrice
M ate (v1 , . . . , vp ) ∈ Mn,p (K)
dont la j−ième colonne Cj est la matrice de vj dans la base e ( i.e. Cj = M ate (vj )) est appelée
la matrice de la famille v dans la base e.
Soit maintenant φ : E → F une application linéaire. On a vu au chapitre 4 que φ est déterminée par
l’image (φ(ej ))1≤j≤n de la base (ej )1≤j≤n de E. Et l’on vient de voir que pour tout j ∈ {1, . . . , n},
se donner le vecteur φ(ej ) équivaut à se donner la matrice M atf (φ(ej ) de ses composantes dans
la base f = (fi )1≤i≤m de F. Dès lors se donner φ équivaut à se donner la matrice de la famille
(φ(ej ))1≤j≤m dans f . On est donc naturellement amené à poser la
Définition: soit φ : E → F une application linéaire. La matrice
M ate,f (φ) := M atf (φ(e1 ), . . . , φ(en )) ∈ Mm,n (K)
est appelée la matrice de φ rapportée aux bases e et f .
Voici comment obtenir cette matrice: pour tout j ∈ {1, . . . , n}, écrire φ(ej ) ∈ F dans la base f de
F:
m
X
φ(ej ) =
aij fi = a1j f1 + a2j f2 + . . . + amj fm .
i=1
6
On a alors
a
11
 a21
M ate,f (φ) = 
 ..
.
···
···
..
.
a1j
a2j
..
.
···
···
..
.
a1n
a2n
..
.
am1
···
amj
···
amn


,

i.e. M ate,f (φ) est la matrice m par n dont la j−ème colonne Cj est constituée des composantes
de φ(ej ) dans la base f de F :
a 
1j
 a2j 

Cj = 
 ..  .
.
amj
Calcul de Matf (φ(u)) en fonction de M ate (u) et de M ate,f (φ):
Pn
Pm
Soit u = j=1 xj ej ∈ E et écrivons comme plus haut φ(ej ) = i=1 aij fi .
On a
n
m
m X
n
n
X
X
X
X
aij xj )fi .
aij fi ) =
(
xj φ(ej ) =
xj (
φ(u) =
j=1
i=1 j=1
i=1
j=1
La matrice des composantes de φ(u) dans la base f est donc
 Pn

a1j xj
Pj=1
 nj=1 a2j xj 


M atf (φ(u)) = 

..


.
Pn
j=1 amj xj
a
11
a
 21
=
 ..
.
···
···
..
.
a1j
a2j
..
.
···
···
..
.
am1
···
amj
···
x 
1
a1n  .. 
. 
a2n  
x 

..   j 
 . 
.
 . 
.
amn
xn

= M ate,f (φ) M ate (u)
On rappelle que l’ensemble L(E, F ) des applications linéaires φ : E → F est un espace vectoriel
sur K pour les opérations (φ +L ψ)(u) = φ(u) + ψ(u) et (λ ·L ψ)(u) = λ(ψ(u)).
Proposition L’application de L(E, F ) vers Mm,n (K) qui à l’application linéaire φ associe la
matrice M ate,f (φ) est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
esquisse de preuve: pour vérifier la linéarité, il s’agit de mq
M ate,f (φ +L ψ) = M ate,f (φ) + M ate,f (ψ)
M ate,f (λ ·L φ) = λ M ate,f (φ)
Pour mq c’est une bijection, on définit l’application réciproque:
Soit A = (aij ) ∈ Mm,n (K); on sait déjà qu’il existe une unique application linéaire φA : E → F
telle que, pour tout j ∈ {1, . . . , n},
φA (ej ) = a1j f1 + a2j f2 + . . . + amj fm
7
(Cf Chapitre 4: une application linéaire est déterminée par l’image d’une base).
L’application
Mm,n (K) → L(E, F ) : A 7→ φA
est la réciproque de l’application L(E, F ) → Mm,n (K) : φ 7→ M ate,f (φ).
Composition et produit matriciel
Soient trois K- espaces E, F, G de dimensions respectives n, m et p et de bases respectives e =
(ej )1≤j≤n , f = (fi )1≤i≤m et g = (gk )1≤k≤p .
On sait déjà que si φ : E → F et ψ : F → G sont des applications linéaires, alors l’application
composée ψ ◦ φ : E → G est linéaire.
Voici le lien fondamental entre la composition d’applications et le produit matriciel:
Proposition: On a
M ate,g (ψ ◦ φ) = M atf ,g (ψ) M ate,f (φ).
preuve: Ecrivons
M ate,f (φ) = A =(aij ) ∈ Mm,n (K),
M atf ,g (ψ) = B = (bij ) ∈ Mp,m (K)
M ate,g (ψ ◦ φ) = C = (cij ) ∈ Mp,n (K).
Il s’agit de montrer que C = BA, i.e. pour tout (i, j) ∈ {1, . . . , p} × {1, . . . , n},
cij =
m
X
bik akj .
k=1
Voici le calcul:
p
X
cij gi = (ψ ◦ φ)(ej )
i=1
= ψ(φ(ej ))
m
X
= ψ(
akj fk )
k=1
=
=
=
m
X
k=1
m
X
k=1
p
X
akj ψ(fk )
p
X
akj (
bik gi )
(
i=1
m
X
bik akj )gi .
i=1 k=1
La famille (gi )1≤i≤p étant une base de G, on a pour tout (i, j), cij =
Pm
k=1 bik akj .
Lorsque E = F = G, l’isomorphisme entre L(E, F ) et Mm,n (K) et le lien entre composition et
produit matriciel nous permettent d’identifier les anneaux L(E) et Mn (K):
Proposition: soit E un K- espace de base e = (ej )1≤j≤n . L’application
8
L(E) → Mn (K) : φ 7→ M ate,e (φ)
est un isomorphisme d’anneaux qui envoie l’application identité idE sur la matrice unité 1n .
preuve: on sait déjà que c’est une bijection compatible avec la somme:
M ate,e (φ +L ψ) = M ate,e (φ) + M ate,e (ψ).
La proposition qui précède nous dit que c’est aussi compatible avec la composition:
M ate,e (ψ ◦ φ) = M ate,e (ψ) M ate,e (φ).
Enfin, M ate,e (idE ) = 1n car pour tout j ∈ {1, . . . , n}, idE (ej ) = ej .
9