TD3

UNIVERSITÉ DE METZ
Département de Mathématiques
DEUG MASS 1 - Logique
Année Universitaire 2004/2005
TD 3 : prédicats
Exercice 22
Donner des exemples de prédicats de degré 3.
Exercice 23
Traduisez en langage courant par une phrase la plus usuelle possible les formules :
(i) ∀x∀yHxy (ii) ∃x∀yHxy (iii) ∀y∃xHxy (iv) ∀y∀xHxy (v) ∀x∃yHxy (vi) ∃x∃yHxy
où Hxy note : x aime y.
Signalez alors parmi les phrases obtenues celles qui ont le même sens.
Exercice 24
Soit P x : “x chante” et soit q : “il pleut”. Traduire par une phrase : (1) ∃xP x −→ q et (2) ∃x (P x −→ q) .
Dire quand (1) est fausse et quand (2) est fausse. Conclusion ?
Exercice 25
Mettre en formule :
(1) Les ours blancs sont plus grands que tous les autres.
(2) Le diamant peut rayer tous les autres corps.
(3) Si on tire la queue d’un chat, il est mécontent.
(4) Si on tire la queue d’un chat, on a des ennuis.
(5) Il y a des gens qui sont en colère s’ils sont contrariés.
(6) Jupin n’est jamais malade.
(7) Un résultat n’est jamais acquis.
Exercice 26
Mettre en formule :
(1) Quand la pluie tombe à Pago Pago, elle tombe à torrents.
(2) Olaf a vu le Stromboli mais il n’était pas en éruption.
Notations :
Mx : x est un moment
Ayx : y est acquis en x
Ry : y est un résultat
Dx : x est du diamant
Cx : x est un corps
Rxy : x peut rayer y
Cx : x est un chat
Txy : x tire la queue de y
Fx : x est mécontent
Ex : x a des ennuis
Jx : Jupin est malade au moment x
Rx : x est un résultat
Notations :
Mx : x est un moment
Px : la pluie tombe à Pago Pago au moment x
Tx : il pleut à torrents en x à Pago Pago
Ox : Olaf voit le Stromboli en x
Ex : Le Stromboli est en éruption en x
Exercice 27
Quelles sont parmi les propositions suivantes celles qui deviennent indiscernables les unes des autres une fois
traduites en symboles ?
(1) Tout homme est mortel
(2) Toute chose qui est un homme est mortelle
(3) Toute chose est ou bien non pas un homme ou bien alors mortelle
(4) Rien n’est un homme et cependant non mortelle
(5) Il n’est pas vrai que quelques hommes ne sont pas mortels
(6) Aucun homme n’est non mortel
(7) Il n’y a pas d’hommes qui ne sont pas mortels
1
Exercice 28
Donner la négation des propositions ou formules suivantes :
(1) Toute peine mérite salaire
(2) Toutes les françaises sont rousses
(3) Un ours est plus fort qu’un buffle
(4) Un malheur n’est jamais bon
(5) Certains réussissent sans travailler
(6) ∃x∀y (Ayx −→ M xy)
(7) ∀x (∃yAxy ∧ ∃yM xy)
Exercice 29
Soit les deux formules de quantification suivantes : (i) ∀x (F x ∧ Gx) et (ii) ¬ (∀xF x ∨ ¬∀xGx)
(1) Mettez (ii) en forme prénexe.
(2) Montrez par la méthode de votre choix (instantiation, raisonnement, chaı̂nes d’équivalences, ...) que (i) est
inconsistant avec (ii).
Exercice 30
Soit les deux schémas de quantification suivants : (i) ∃x∀yRxy et (ii) ∀x∃yRxy.
Démontrer par instantiations que (i) implique (ii).
Exercice 31
Démontrer par instantiations que ∃x∀y∀z (F xy ∧ ¬F zx) est inconsistant.
Exercice 32
Soit Ω un ensemble et pour chaque n ∈ N, soit An une partie de Ω et une application fn de Ω vers R. On notera
S=
+∞
\ +∞
[
(1)
An .
q=0 n=q
1. Exprimer à l’aide des quanteurs ∀, ∃, les phrases ω ∈ S et ω ∈
/ S.
2. On note I l’ensemble des ω ∈ Ω tels que
∃q ((q ∈ N) ∧ (∀n ((n ∈ N) ∧ (n > q)) =⇒ (ω ∈ An ))) .
Exprimer I à l’aide d’une formule ensembliste de type (1).
3. Dire lequel des ensembles I ou S est l’ensemble des ω ∈ Ω qui appartiennent à une infinité de parties An . Trouver
alors une description analogue pour l’autre ensemble (I ou S).
+∞
[
[ +∞
\ +∞
1
4. Soit l ∈ R. Soient fn : Ω −→ R, n ∈ N, des fonctions. On pose A =
x ∈ Ω | |fn (x) − l| >
.
k
q=0 n=q
k=1
Que signifie ω ∈
/ A?A 6= ∅?A = ∅?A = Ω?
Exercice 33
Etablir par un raisonnement que
(1) ∀x (F x ∨ p) équivaut à ∀xF x ∨ p.
(2) ∃x(Ex ⇒ F x) équivaut à (∀xEx) ⇒ (∃x¬F x).
Exercice 34
Soit f une fonction de R vers R de domaine de définition D. Soit a et l ∈ R.
(1) Donner la négation de
∀ε∃η∀x
ε ∈ R+∗ ∧ η ∈ R+∗ ∧ (x ∈ D) ∧ (|x − a| 6 η) =⇒ (|f (x) − l| 6 ε)
(2) Que signifie (2) ?
(3) Ecrire de façon analogue à (2) la phrase : f n’a pas de limite en a.
2
(2)