TD 1 : correction.

LM1 – TD 1
Correction.
N. Laillet
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TD 1 : correction.
Exercice 3 Pour un objet mathématique donné, il y a souvent plusieurs manières de le définir : à l’aide de mots, de symboles, de manière plus ou moins
explicite. Par exemple, pour une fonction (d’un sous-ensemble A de R dans R),
la façon la plus classique est de la définir ainsi :
f : x 7→ une expression dépendant de x.
(1)
Ainsi, « la fonction carrée » et x 7→ x2 sont des expressions synonymes. Trouver
pour chacune des expressions suivantes un synonyme.
a. La fonction inverse.
b.
f : x 7→
√
x.
c. La fonction affine d’ordonnée à l’origine 1 et dont la courbe passe par le
point (3, 7).
d. (difficile) La fonction qui a un réel x associe le plus grand entier qui lui est
inférieur.
Correction
a. On peut exprimer la fonction inverse comme la fonction x :7→ x1 .
√
b. « La fonction racine carrée » est un synonyme de « x 7→ x ».
c. En cherchant a réel tel que a×3+1 = 7, on trouve qu’un synonyme de cette expression
mathématique est x :7→ 2x + 1.
d. Plusieurs synonymes existent pour cette fonction . On l’appelle fonction partie entière,
et on la note x 7→ E(x) ou bien x 7→ [x].
Remarque : E(1, 3) = 1, E(3, 4) = 3 MAIS E(−1, 2) = −2 ! Il faut faire attention donc
lorsqu’on manipule cette fonction avec des nombres négatifs.
Devoir maison à rendre le 1er octobre.
Exercice 4
Donner trois noms et trois propositions.
Correction Je ne vais pas donner de correction, puisque beaucoup de réponses étaient
acceptables. Une remarque cependant, sur le statut des équations : certains diront qu’une
équation est un nom (c’est l’objet mathématique « équation »), d’autres au contraire
voient ça comme une proposition. Personnellement, lorsqu’on écrit « l’équation 3x + 5 =
0 », je suis d’accord pour la considérer comme un nom. En revanche, 3x + 5 = 0 est une
proposition !
Exercice 5 Déterminer si les expressions suivantes sont synonymes ou
non (justifier).
1. « X 4 − 1 = 0 » est/n’est pas synonyme de « X = 1 ou X = −1 ».
2. « La dérivée de la fonction exponentielle en 0 » est/n’est pas synonyme
de « 1 ».
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/
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3. « x − 3 » est/n’est pas synonyme de « y − 3 ».
4. « LM = AE » est/n’est pas synonyme de « le quadrilatère LAM E est un
rectangle ».
5. « L’ensemble des entiers naturels impairs » est/n’est pas synonyme de
« {2n − 1 |n ∈ N} ».
6. « L’équation x2 + 3x + b = 0 d’inconnue réelle x » est/n’est pas synonyme
de « L’equation y 2 + 3y + b = 0 d’inconnue réelle y ».
7. «
n
X
k 2 » est/n’est pas synonyme de «
k=1
n(n + 1)(2n − 1)
».
6
Correction
a. J’ai accepté beaucoup de réponses différentes. L’idéal était de considérer que l’énoncé
était ambigu :
– si la variable x est astreinte à R, les deux énoncés sont synonymes. En effet, soit
x tel que x4 − 1 = 0. Alors x4 = 1, donc x2 = −1 ou x2 = 1. Le premier cas
étant impossible (x est réel), x2 = 1 donc x = −1 ou x = 1. (−1)4 = 14 = 1 donc
x4 − 1 = 0 est synonyme de x = 1 ou x = −1.
– si la variable x est astreinte à C, les deux énoncés ne sont pas synonymes. En effet,
le premier est vrai si x = i, alors que le deuxième ne l’est pas.
b. Les deux expressions sont synonymes.
ATTENTION ! ! J’ai vu dans presque toutes les copies des immondices comme
0
(ex )0 , e0 , f 0 (e0 )
Il faut correctement
écrire les dérivées ! Si (ex )0 permet de voir à peu près ce quevous voulez
0
0 0
est du grand n’importe quoi ! Certains ont conclu par exemple e0 = 10 = 0.
dire, e
Voici une rédaction possible.
Soit f la fonction définie sur R par : pour tout x ∈ R, f (x) = ex . Alors f 0 (x) = ex , donc
f 0 (0) = 1.
c. Les deux expressions ne sont pas synonymes : en effet, les variables x et y sont parlantes, et peuvent donc avoir pris des valeurs différentes.
d. Attention, piège (dans lequel je suis tombé au début). Il s’agissait d’une égalité sur
les diagonales. Ceux qui m’ont cité les parallélogrammes comme contre-exemple se sont
donc trompés !
Les deux expressions ne sont pas synonymes. En effet, un trapèze isocèle non rectangle a
ses deux diagonales de même longueur et pourtant ce n’est pas un rectangle.
e. Les deux expressions ne sont pas synonymes car ils ne désignent pas le même ensemble.
En effet, −1 appartient à {2n − 1 |n ∈ N}, mais pas à l’ensemble des entiers naturels
impairs (naturels signifie positifs).
f. Les deux expressions sont équivalentes car les variables x et y sont muettes (le mutificateur est « L’équation...d’inconnue... ».
Pn
n(n+1)(2n+1)
g. Les deux expressions ne sont pas équivalentes : en effet,
6=
k=0 =
6
n(n+1)(2n−1)
, et ce quelque soit n.
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Exercice 6
a.
(Bonus)
En utilisant seulement des variables astreintes à R∗+ , le symbole d’égalité
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=, le symbole d’inégalité <, les connecteurs propositionnels NON, OU, ET, ⇒,
⇔, les quantificateurs ∀, ∃, écrire une proposition synonyme de :
Il n’existe pas de nombre réel strictement positif plus petit que tous les nombres
réels strictement positifs.
b.
Montrer que cette proposition est vraie.
Correction
L’exercice a été plutôt bien traité par ceux qui l’ont fait.
a. Il faut traduite « Il n’existe pas de nombre réel strictement positif plus petit que tous
les nombres réels strictement positifs ». Cet énoncé peut se réécrire.
NON (∃a ∈ R∗+ , ∀x ∈ R∗+ , a < x)
soit (vous le reverrez en détail dans les futurs cours)
∀a ∈ R∗+ , ∃x ∈ R∗+ , x ≤ a.
b. L’énoncé devient alors évident à montrer ! Soit a ∈ R∗+ . Alors a/2 ∈ R∗+ et a/2 < a.
Le résultat est montré !
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