mathématiques financières

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES
Durée 1 h 30 mn
Problème n° 1
L’entreprise VAXERL est en relation avec deux partenaires financiers, la Société Générale de Banque (SGB) et
le Crédit Marseillais (CM)
Les conditions d’escompte des lettres de change relevé support papier des deux banques sont les suivantes :
Société Générale de Banque
Taux d'escompte de la SBG
Commission d'endos
Commission de manipulation
(propre à l'escompte)
Jours de banque
Date de valeur d'une remise
à l'encaissement
Date de valeur d'une remise
à l'escompte
6,50%
0,60%
5 € HT
1
J
J
Crédit Marseillais
Taux d'escompte de la SBG
Commission d'endos
Commission de manipulation
(escompte ou encaissement)
Jours de banque
Date de valeur d'une remise
à l'encaissement
Date de valeur d'une remise
à l'escompte
6,80%
0,60%
6 € HT
2
J
J
Établir une relation permettant à la société VAXERL d’arbitrer entre les deux banques lorsqu’un effet
doit être porté à l’escompte.
Problème n° 2
Une entreprise remet à l’escompte le 15 octobre deux effets dont les caractéristiques sont le suivantes :
Valeur nominale
15 000,00
22 000,00
Échéance
31-octobre
30-novembre
Les conditions de banque sont les suivantes :
- Taux de l’escompte (dont commission d’endos)
- Commission de service (que l’effet soit escompté ou encaissé)
- Jour de banque
- Date de valeur des effets remis à l’encaissement
- Date de valeur des effets remis à l’escompte
9% l'an
4 € HT
1
J+3
J+1
1- Présenter le bordereau de remise à l’escompte mettant en évidence montant des agios et net de
la négociation.
2- Calculer le taux de revient pour chacun des deux effets.
3- Calculer le taux de revient global de cette remise à l’escompte.
Problème n° 3
Les soldes prévisionnels de trésorerie établis la société LAPALME pour le quatrième trimestre sont les
suivants :
Date de valeur
30 septembre
16 octobre
20 octobre
03 novembre
15 décembre
31 décembre
Opération
Solde débiteur (positif)
Virements émis
Remise de chèques
Effet encaissé
Effets domiciliés
Solde avant agios
Mouvement
Débit
Crédit
25 000,00
2 500,00
20 000,00
10 000,00
Solde
Débiteur
Créditeur
500,00
24 500,00
22 000,00
2 000,00
12 000,00
12 000,00
Les conditions appliquées par sa banque pour le découvert sont les suivantes :
Taux nominal du découvert
9,00%
Commission de plus fort découvert
0,05% par mois
Commission de dépassement
0,25% par mois
Commission de tenue de compte
0,025% HT par trimestre
(appliquée aux mouvements débiteurs au sens bancaire)
Commission d’arrêté de compte
5 € HT par trimestre
Plafond de découvert
20 000 €
1- Calculer le montant des agios prélevés par la banque.
2- Quel est le taux réel de l’opération de découvert ?
La société LAPALME dispose en portefeuille fin septembre d’un effet d’un montant de 20 000 €, échéant le 31
octobre (présent dans les prévisions précédentes en date de valeur du 3 novembre).
Les conditions de banque appliquées à l’escompte sont les suivantes :
- Taux de l’escompte (dont commission d’endos)
9,50%
- Commission de service (propre à l’escompte)
4 € HT
- Jour de banque
2
- Date de valeur des effets remis à l’encaissement
J+3
- Date de valeur des effets remis à l’escompte
J+1
3- Après avoir calculé le total des agios prélevés par la banque lors de l’opération d’escompte,
préciser s’il est opportun de porter cet effet à l’escompte ?
Problème n° 4
Une entreprise acquiert un matériel qui sera livré deux mois après la commande. Le fournisseur lui propose de
choisir entre deux modes de règlement :
- soit au comptant le jour de la livraison ;
- soit en 3 versements :
- 1 600 € à la commande ;
- 3 200 € au moment de la livraison ;
- 5 000 € trois mois après la livraison.
Sur la base d’un taux mensuel de 0,50%, en raisonnant en intérêts composés, à quelle condition est-il
préférable d’accepter le paiement comptant ?
Problème n° 5
On veut rééchelonner une dette de 300 000 € que l'on doit en principe verser dans 1 an. Cette dette est
remplacée par 5 trimestrialités égales, la première dans 2 ans 6 mois.
Au taux annuel de 7%, calculer le montant de la trimestrialité.
Corrigé Note sur 21 (bonus 1 point)
Problème n° 1 ( 2 points)
On retiendra la banque dont le montant de l’agio prélevé est le plus faible avec les hypothèses suivantes :
- la TVA étant supposée récupérée, elle n’entre pas dans la calcul du coût,
- seules les commissions propres à l’escompte sont retenues, les autres commissions ne correspondant
pas à la rémunération d’un opération de crédit.
Soit V, la valeur nominale d’un effet, n le nombre de jours séparant la date de négociation de la date
d’échéance de l’effet, calculons les agios hors taxes des deux banques, compte tenu des hypothèses
précédentes.
Société Générale de Banque
Crédit Marseillais
Agio = [ V . (n+1) . 0,071 / 360 ] + 5
Agio = [V . (n+2) . 0,074 / 360 ]
La Société Générale de Banque est préférable si l’agio est le plus faible soit :
[ V . (n+1) . 0,071 / 360 ] + 5
<
V . (n+2) .0,074 / 360
Après simplification, on obtient :
V
>
1 800 000 / (3.n + 77)
Problème n° 2 ( 6 points)
21- Bordereau de remise à l'escompte
Taux de l'escompte :
Commission de service
Date de l'escompte
Jours de banque
9,00%
4,00
15-oct
1
Bordereau de remise à l'escompte
Valeur
nominale
15 000,00
22 000,00
Jours
Échéance Jours réels
décomptés
31-oct
16
17
30-nov
46
47
Intérêt
Agio HT
63,75
258,50
322,25
67,75
262,50
330,25
TVA
Agio TTC
0,78
0,78
1,56
68,53
263,28
331,81
22- Calcul du taux de revient des deux effets
Pour ces calculs nous retiendrons les hypothèses suivantes :
- la TVA supposée récupérée est donc exclue du calcul,
- l'année civile est de 365 jours,
- la commission de service qui n'est pas un élément de la rémunération du crédit est exclue,
- le nombre de jours réels est calculé en retenant les dates de valeurs des bordereaux de remise
à l'escompte et à l'encaissement,
- le calcul des dates de valeur est réalisé par simplification en jours calendaires.
Valeur
nominale
Somme
prêtée
P
15 000,00
22 000,00
14 931,47
21 736,72
Date de
Date de
valeur de
Jours réels
valeur de
l'encaissem
retenus
l'escompte
ent
(a)
(b)
3/11
3/12
16/10
16/10
J =(a)-(b)
18
48
Agio
retenu
Taux de revient
A
A . 365 / P / J
63,75
258,50
322,25
8,6576%
9,0431%
Net
14 931,47
21 736,72
36 668,19
23- Calcul du taux de revient global
Les hypothèses précédentes restent valables.
Soit T le taux réel. Nous avons :
P1 . T . J1
P2 . T . J2
+
=
365
365
Après simplification, nous obtenons :
Σ Ak . 365
T=
Σ Pk . Jk
Valeur
nominale
15 000,00
22 000,00
Somme
prêtée
Jours réels
retenus
Agio
retenu
P
J
A
14 931,47
21 736,72
18
48
63,75
258,50
322,25
Σ Ak
Taux de revient
P.J
268 766,46
1 043 362,56
1 312 129,02
Σ Ak . 365
Σ Pk . Jk
8,9642%
Problème n° 3 ( 9 points)
31- Calcul des agios
Date
de valeur
30 septembre
16 octobre
20 octobre
03 novembre
15 décembre
31 décembre
Opération
Solde débiteur (positif)
Virements émis
Remise de chèques
Effet encaissé
Effets domiciliés
Solde avant agios
Mouvement
Débit
Crédit
Solde
Nombre de
Nombres
Débiteur Créditeur
jours
500,00
16
25 000,00
24 500,00
4 98 000,00
2 500,00
22 000,00
14 308 000,00
20 000,00
2 000,00
42 84 000,00
10 000,00
12 000,00
16 192 000,00
12 000,00
682 000,00
Intérêt
682000 x 9% / 360 =
Plus fort découvert
- octobre
- novembre
- décembre
Total
Commission de plus fort découvert
58500 x 0,05% =
Plus fort dépassement
- octobre
- novembre
- décembre
Total
Commission de dépassement
6500 x 0,25% =
Somme des mouvements débiteurs (au sens bancaire)
Commission de tenue de compte
35000 x 0,025% =
Commission d'arrêté
Agio HT
Base TVA
8,75 + 5 =
TVA
13,75 x 19,6% =
Agio TTC
170,50
24 500,00
22 000,00
12 000,00
58 500,00
29,25
4 500,00
2 000,00
0,00
6 500,00
16,25
35 000,00
8,75
5,00
229,75
13,75
2,70
232,45
32- Calcul du taux réel du découvert
Nous retiendrons comme éléments de la rémunération du crédit la charge d’intérêt et les commissions de plus
fort découvert et de dépasssement.
Soit T le coût réel du découvert. Nous avons :
682 000 x T / 365 = 170,50 + 29,25 + 16,25
=>
T = 11,5601%
33- Recours à l’escompte
Taux de l'escompte :
Commission de service
Date de l'escompte
Jours de banque
Valeur
nominale
20 000,00
9,50%
4,00
15-octobre afin de disposer des fonds le 16 octobre
2
Bordereau de remise à l'escompte
Jours
Échéance Jours réels
Intérêt
Agio HT
TVA
Agio TTC
Net
décomptés
31-oct
16
18
95,00
99,00
0,78
99,78 19 900,22
La charge propre à l'escompte est de 99,00 €.
Il convient de comparer cette charge à l'économie d'agios sur découvert.
Economie d'agios sur découvert
Charge d'intérêt
Diminution
19 900,22 x 9% x 18 / 360
(du 16 octobre au 3 novembre)
Augmentation
-99,78 x 9% x 58 / 360
(du 3 novembre au 31 décembre)
Plus fort découvert
Avant
Après
Variation
- octobre
24 500,00
4 599,78
- novembre
22 000,00
2 099,78
- décembre
12 000,00 12 099,78
Total
58 500,00 18 799,34 -39 700,66
Commission de plus fort découvert
39700,66 x 0,05% =
Commission de dépassement
Total des économies
89,55
-1,45
19,85
16,25
124,20
Le recours à l’escompte dont le coût est de 99,00 € (précompté) est largement inférieur aux économies de
charges de découvert de 124,20 € (post compté à trimestre civil échu). Le recours à l’escompte est opportun en
terme de coût. De plus en évitant de dépasser le plafond de découvert autorisé, il est de nature à rassurer le
banquier de l’entreprise.
Vérification (non demandée)
La nouvelle échelle d’intérêt et le nouveau tickets d’agios sont présentés à la page suivante. On peut contrôler
la variation de l’agio HT : 105,55 – 229,75 = - 124,20 €
Echelle d'intérêt et ticket d'agio en cas de recours à l'escompte
Date
de valeur
30 septembre
16 octobre
16 octobre
20 octobre
15 décembre
31 décembre
Opération
Solde débiteur (positif)
Effet escompté
Virements émis
Remise de chèques
Effets domiciliés
Solde avant agios
Mouvement
Débit
Crédit
Solde
Nombre de
Nombres
Débiteur Créditeur
jours
500,00
16
19 900,22
20 400,22
0
25 000,00
4 599,78
4 18 399,12
2 500,00
2 099,78
56 117 587,68
10 000,00
12 099,78
16 193 596,48
12 099,78
329 583,28
Intérêt
329583,28 x 9% / 360 =
Plus fort découvert
- octobre
4 599,78
- novembre
2 099,78
- décembre
12 099,78
Total
18 799,34
Commission de plus fort découvert
18799,34 x 0,05% =
Plus fort dépassement
- octobre
0,00
- novembre
0,00
- décembre
0,00
Total
0,00
Commission de dépassement
0 x 0,25% =
Somme des mouvements débiteurs (au sens bancaire)
35 000,00
Commission de tenue de compte
35000 x 0,025% =
Commission d'arrêté
Agio HT
Base TVA
8,75 + 5 =
13,75
TVA
13,75 x 19,6% =
Agio TTC
82,40
9,40
0,00
8,75
5,00
105,55
2,70
108,25
Problème n° 4 ( 2 points)
Calculons la valeur actuelle du paiement en 3 versements au moment de la livraison :
1 600 x 1,0052 + 3 200 + 5 000 x 1,005-3 = 9 741,78 €
Le paiement comptant est préférable si le montant à régler est inférieur à 9 741,78 €.
Problème n° 5 ( 2 points)
Le taux trimestriel équivalent au taux annuel de 7% est de 1,071/4 –1 = 1,70585% noté par la suite i.
Soit T la trimestrialité.
Nous avons :
300 000
=
T x 1 – (1+i)-5 x (1+i)-5
i
T
=
68 674,34 €