mathématiques financières i

MATHÉMATIQUES
FINANCIÈRES I
Deuxième cours
ACT2025 - Cours 2
Rappel:
• Intérêt
ACT2025 - Cours 2
Rappel:
• Intérêt
• Fonction de capitalisation
ACT2025 - Cours 2
1
Rappel:
• Intérêt
• Fonction de capitalisation
• Fonction d’accumulation
ACT2025 - Cours 2
Rappel:
•
•
•
•
Intérêt
Fonction de capitalisation
Fonction d’accumulation
Taux effectif de l’intérêt
ACT2025 - Cours 2
Rappel:
•
•
•
•
•
Intérêt
Fonction de capitalisation
Fonction d’accumulation
Taux effectif de l’intérêt
Intérêt simple
ACT2025 - Cours 2
2
Rappel:
•
•
•
•
•
•
Intérêt
Fonction de capitalisation
Fonction d’accumulation
Taux effectif de l’intérêt
Intérêt simple
Intérêt composé
ACT2025 - Cours 2
Rappel:
Pour l’intérêt simple, la fonction de capitalisation est
et la fonction d’accumulation est
ACT2025 - Cours 2
Rappel:
Pour l’intérêt composé, la fonction de capitalisation est
et la fonction d’accumulation est
ACT2025 - Cours 2
3
Considérons maintenant quelques exemples
pour illustrer les concepts d’intérêt simple et
d’intérêt composé
ACT2025 - Cours 2
Exemple 1:
La valeur accumulée par un capital de 7500$ investi
pendant 3 mois au taux d’intérêt simple de 6% par année est
égale à
Notons que la période de 3 mois correspond à la valeur t =
3/12 = 0.25
ACT2025 - Cours 2
Exemple 2:
Anasthasia a placé 10000$ dans un investissement
rapportant 7% par année d’intérêt composé pour 4 ans.
Après ces 4 années, elle réinvestit entièrement le montant
accumulé dans un placement rapportant 5.75% par année
d’intérêt composé pour 5 ans. Déterminons maintenant
• le montant accumulé à la fin de la 9e année
ACT2025 - Cours 2
4
Exemple 2:
Anasthasia a placé 10000$ dans un investissement
rapportant 7% par année d’intérêt composé pour 4 ans.
Après ces 4 années, elle réinvestit entièrement le montant
accumulé dans un placement rapportant 5.75% par année
d’intérêt composé pour 5 ans. Déterminons maintenant
• le montant accumulé à la fin de la 9e année
• le montant d’intérêt gagné pendant la 7e année
ACT2025 - Cours 2
Calcul du montant accumulé
• Le montant accumulé après 4 ans sera
ACT2025 - Cours 2
Calcul du montant accumulé
• Le montant accumulé après 4 ans sera
• Le montant accumulé après 9 ans sera
ACT2025 - Cours 2
5
Calcul du montant d’intérêt
• Le montant accumulé après 7 ans sera
ACT2025 - Cours 2
Calcul du montant d’intérêt
• Le montant accumulé après 7 ans sera
• Le montant accumulé après 6 ans sera
ACT2025 - Cours 2
Calcul du montant d’intérêt
• Le montant accumulé après 7 ans sera
• Le montant accumulé après 6 ans sera
• Le montant d’intérêt gagné pendant la 7e année sera
ACT2025 - Cours 2
6
Comparaison:
Si nous comparons les fonctions de capitalisation dans les
cas de l’intérêt simple et de l’intérêt composé pour le même
taux i, nous obtenons le graphique suivant
ACT2025 - Cours 2
ACT2025 - Cours 2
Nous avons
ACT2025 - Cours 2
7
Nous avons
et
ACT2025 - Cours 2
Jusqu’à maintenant nous avons considéré la valeur accumulée
d’un placement, mais il est aussi important de considérer la
valeur actuelle d’un capital futur.
On dit aussi la valeur présente ou encore la valeur escomptée.
ACT2025 - Cours 2
Exemple 3:
Bobby veut investir un capital dans un compte d’épargne
rémunéré au taux d’intérêt composé de 4% par année pour 6
ans et au terme de la sixième année avoir 15000$. Quel est le
capital qu’il doit investir?
ACT2025 - Cours 2
8
Solution:
Notons ce capital par k. Nous avons maintenant l’équation
k (1.04)6 = 15000.
ACT2025 - Cours 2
Solution:
Notons ce capital par k. Nous avons maintenant l’équation
k (1.04)6 = 15000.
Donc
k = 15000 (1.04)-6 = 11854.72 $
ACT2025 - Cours 2
Notation:
Le facteur d’accumulation est
(1 + i)
ACT2025 - Cours 2
9
Notation:
Le facteur d’accumulation est
(1 + i)
Le facteur d’escompte est
ACT2025 - Cours 2
Définition de la fonction d’actualisation
Cette fonction correspond à la valeur actuelle d’un capital de
1$ payable au temps t
Remarque: Si nous voulons connaitre la valeur actuelle d’un
capital de k dollars après une période de temps t, il suffit de
multiplier cette fonction d’actualisation par k.
ACT2025 - Cours 2
Formule:
Si nous connaissons la fonction de capitalisation a(t), alors
la fonction d’actualisation a-1(t) est obtenue en divisant par
la fonction de capitalisation:
ACT2025 - Cours 2
10
Exemple 4:
Dans le cas de l’intérêt simple, la fonction d’actualisation est
ACT2025 - Cours 2
Exemple 4 (suite):
Dans le cas de l’intérêt composé, la fonction d’actualisation
est
ACT2025 - Cours 2
Propriétés anticipées de la fonction
d’actualisation:
• Décroissance par rapport au temps. Si nous avons plus de
temps, il faut moins de capital pour obtenir à terme 1 dollar
ACT2025 - Cours 2
11
Propriétés anticipées de la fonction
d’actualisation:
• Décroissance par rapport au temps. Si nous avons plus de
temps, il faut moins de capital pour obtenir à terme 1 dollar
• Décroissance par rapport au taux d’intérêt. Si le taux
d’intérêt augmente, il nous faut moins de principal à
investir pour obtenir à terme 1 dollar
ACT2025 - Cours 2
Exemple 5: (Obligation sans coupon)
Si le taux effectif d’intérêt est de 5% par année, quel est le
prix d’obligation sans coupon dont la valeur à l’échéance est
de 25000$ et l’échéance est dans 7 ans?
ACT2025 - Cours 2
Solution:
Nous voulons calculer la valeur actuelle de 25000$ payable
dans 7 ans au taux effectif d’intérêt de 5% par année. Nous
obtenons
25000 (1.05)-7 = 17767.03 $
ACT2025 - Cours 2
12
Voyons maintenant une autre mesure de
l’intérêt:
taux effectif d’escompte
ACT2025 - Cours 2
Taux effectif d’escompte pour la 1e période:
Ce taux est le rapport du montant d’intérêt gagné pendant la
première période sur le montant accumulé à la fin de la période.
ACT2025 - Cours 2
Taux effectif d’escompte pour la 1e période:
Ce taux est le rapport du montant d’intérêt gagné pendant la
première période sur le montant accumulé à la fin de la période.
En formule, nous obtenons
ACT2025 - Cours 2
13
Taux effectif d’escompte pour la ne période:
Ce taux est le rapport du montant d’intérêt gagné pendant la
ne période sur le montant accumulé à la fin de la ne période.
En formule, nous obtenons
ACT2025 - Cours 2
Si nous connaissons les taux effectifs d’escompte pour toutes
les périodes, de la 1e à la ne , et le capital initial, alors nous
pouvons calculer le montant accumulé à la fin de la ne
période, i.e. A(n)
ACT2025 - Cours 2
En effet,
ACT2025 - Cours 2
14
En effet,
et ainsi de suite.
ACT2025 - Cours 2
Finalement nous obtenons la valeur accumulée:
ACT2025 - Cours 2
Finalement nous obtenons la valeur accumulée:
ainsi que la valeur actuelle
ACT2025 - Cours 2
15
Exemple 6:
Dans un placement, le taux effectif d’escompte est de 5% pour la première
année, 5.5% pour la deuxième année, 6% pour la troisième année, 5.75%
pour la quatrième année et 5.25% pour la cinquième année.
(a)
Si le principal investi est 8000$, quel est le montant accumulé après
5 ans?
ACT2025 - Cours 2
Exemple 6:
Dans un placement, le taux effectif d’escompte est de 5% pour la première
année, 5.5% pour la deuxième année, 6% pour la troisième année, 5.75%
pour la quatrième année et 5.25% pour la cinquième année.
(a)
(b)
Si le principal investi est 8000$, quel est le montant accumulé après
5 ans?
Quel est le principal à investir si nous voulons accumuler 10000$
après 4 ans?
ACT2025 - Cours 2
Solution: (a)
Nous voulons calculer la valeur accumulée après 5 ans. Par ce
que nous avons vu, celle-ci sera
8000(0.95)-1(0.945)-1(0.94)-1(0.9425)-1(0.9475)-1 = 10615.64 $
ACT2025 - Cours 2
16
Solution: (b)
Nous voulons calculer la valeur actuelle de 10000 payable à la
fin de la 4e année. Par ce que nous avons vu, celle-ci sera
10000(0.95)(0.945)(0.94)(0.9425) = 7953.62 $
ACT2025 - Cours 2
Équivalence de taux:
Deux taux d’intérêt ou d’escompte sont dits équivalents si les
valeurs accumulées d'un même principal investi pendant une
période à ces deux taux sont égales.
ACT2025 - Cours 2
Équivalence de taux: (approche équivalente)
Deux taux d’intérêt ou d’escompte sont dits équivalents si les
valeurs actuelles d'un même capital à la fin d’une période à
ces deux taux sont égales.
ACT2025 - Cours 2
17
Équivalence des taux d’intérêt et d’escompte
Étant donné le taux d’escompte d , alors le taux d’intérêt i
équivalent est
ACT2025 - Cours 2
Explication de la formule:
Considérons un capital de 1 dollar à la fin de la période. Dans
ce cas, sa valeur actuelle est (1 - d)
ACT2025 - Cours 2
Explication de la formule (suite) :
Nous avons
Capital investi au début de la période:
(1 - d)
ACT2025 - Cours 2
18
Explication de la formule (suite) :
Nous avons
Capital investi au début de la période:
(1 - d)
Capital accumulé à la fin de la période:
1
ACT2025 - Cours 2
Explication de la formule (suite) :
Nous avons
Capital investi au début de la période:
(1 - d)
Capital accumulé à la fin de la période:
1
Intérêt:
d
ACT2025 - Cours 2
Explication de la formule (suite) :
Donc
ACT2025 - Cours 2
19
Équivalence des taux d’intérêt et d’escompte
Étant donné le taux d’intérêt i, alors le taux d’escompte d
équivalent est
ACT2025 - Cours 2
Explication de la formule:
Considérons un capital de 1 dollar investi au début de la
période. Dans ce cas, sa valeur accumulée est (1 + i) à la fin de
la période
ACT2025 - Cours 2
Explication de la formule (suite) :
Nous avons
Capital investi au début de la période:
1
ACT2025 - Cours 2
20
Explication de la formule (suite) :
Nous avons
Capital investi au début de la période:
1
Capital accumulé à la fin de la période:
(1 + i)
ACT2025 - Cours 2
Explication de la formule (suite) :
Nous avons
Capital investi au début de la période:
1
Capital accumulé à la fin de la période:
(1 + i)
Intérêt:
i
ACT2025 - Cours 2
Explication de la formule (suite) :
Donc
ACT2025 - Cours 2
21
Exemple 7:
Si le taux effectif d’escompte est de 2.25% par année, alors le
taux effectif d’intérêt équivalent est
soit 2.30017903%.
ACT2025 - Cours 2
Exemple 8:
Si le taux effectif d’intérêt est de 5% par année, alors le taux
effectif d’escompte équivalent est
soit 4.7619048%.
ACT2025 - Cours 2
Exemple 9:
Nous allons illustrer la formule
au moyen d’un exemple numérique.
ACT2025 - Cours 2
22
Supposons que nous voulons prêter 10000$ au taux effectif
d’escompte de 6% par année et qu’il y a autant d’emprunteurs
que nous le désirons.
ACT2025 - Cours 2
Le premier emprunteur recevra 10000(1 - 0.06) = 9400$ au
début de l’année et remboursera 10000$ à la fin de l’année.
Du 10000$, il nous reste 10000 - 9400 = 600$ à prêter.
Le second emprunteur recevra 600(1 - 0.06) = 564$ au début de
l’année et remboursera 600$ à la fin de l’année
Du 600$, il nous reste 600 - 564 = 36$ à prêter.
Le troisième emprunteur recevra 36(1 - 0.06) = 33.84$ et
remboursera 36$ à la fin de l’année.
Ainsi de suite à l’infini
ACT2025 - Cours 2
En résumé, nous avons
Emprunteur
Montant reçu au
début de l’année
Montant remboursé
à la fin de l’année
1er
9400
10000
2e
564
600
3e
.
.
.
33.84
.
.
.
36
.
.
.
ACT2025 - Cours 2
23
À la fin de l’année, nous recevrons
Cette somme est égale à
Nous pouvons calculer cette dernière somme.
ACT2025 - Cours 2
Nous avons
si - 1 < x < 1.
Donc
ACT2025 - Cours 2
Finalement nous obtenons que l’intérêt est
et le taux d’intérêt est
c’est-à-dire 6.3830%.
ACT2025 - Cours 2
24
Plus généralement, nous avons que l’intérêt est égal à
si le capital prêté est k et et le taux d’escompte est d.
ACT2025 - Cours 2
Donc le taux d’intérêt est
ACT2025 - Cours 2
25