ESPACES VECTORIELS NORMÉS ET TOPOLOGIE DANS Rn:

Transcription

I- Espaces vectoriels normés :
II- Suites convergentes :
III- Topologie de Rn :
ESPACES VECTORIELS NORMÉS ET
TOPOLOGIE DANS Rn :
N. Tsouli
University Mohamed I Faculty of Sciences
Department of Mathematics
Oujda, Morocco.
N. Tsouli
01 october 2014
Plan
1
I-1 Norme :
I-2 Distance associée á une norme :
I-3 Boules :
I-4 Partie et Fonction bornées :
1-5 Normes équivalentes :
2
3
III-1 Ouvert et fermé :
III-2 Intérieur, adhérence et point d’accumulation :
III-3 Compacité et Connexité :
N. Tsouli
01 october 2014
Introduction : Pour étudier le calcul différentiel des fonctions á
plusieurs variables, nous aurons besoin d’introduire les
espaces vectoriels normés, ainsi que la topologie dans Rn , en
donnant quelques notions et définitions qu’on aura besoins
dans toute la suite de ce cours.
N. Tsouli
01 october 2014
I-1 Norme :
I-3 Boules :
Plan
1
I-1 Norme :
I-3 Boules :
2
3
N. Tsouli
01 october 2014
I-1 Norme :
I-3 Boules :
Plan
1
I-1 Norme :
I-3 Boules :
2
3
N. Tsouli
01 october 2014
I-1 Norme :
I-3 Boules :
Dans ce chapitre, on désigne par K l’un des corps R ou C, et
on désigne par E un K-espace vectoriel.
Définition
Soit E un espace vectoriel sur K, une norme sur E est une
application N de E dans R+ vérifiant :
1
∀x ∈ E, N(x) = 0 implique que x = 0.
2
∀x ∈ E, ∀α ∈ K, N(αx) = |α|N(x).
3
∀(x, y ) ∈ E ∗ E, N(x + y ) ≤ N(x) + N(y ) (Inégalité
triangulaire).
On dit alors que le couple (E, N) est un espace vectoriel normé.
Remarque
En général, les normes sont usuellement notées par
N(.) = k.k = |.|, et on prend E = Rn .
N. Tsouli
01 october 2014
I-1 Norme :
I-3 Boules :
Exemple
1/ La valeur absolue est une norme sur R.
2/ Le module est une norme sur C.
3/ Dans un espace euclidien la norme euclidienne associée au
produit scalaire est une norme.
Proposition
Si k.k est une norme sur E alors :
1
∀x ∈ E, kxk = 0 ↔ x = 0.
2
∀x ∈ E, k − xk = kxk.
3
∀(x, y ) ∈ E × E, |N(x) − N(y )| ≤ N(x − y ).
4
De plus,
∀q ∈
N∗ , ∀(x1 .........xq )
∈
E q , N(
N. Tsouli
q
X
q
X
xk ) ≤
N(xk )
k
=1
k
=1
01 october 2014
I-1 Norme :
I-3 Boules :
Proposition
(Norme induite) Si F est un sous-espace vectoriel d’un espace
E normé par N alors la restriction N/F : F → R + définit une
norme sur F ; encore notée N ; est appelée norme induite.
Remarque
Un vecteur x d’un espace E normé par N est dit unitaire si
x
N(x) = 1. Exemple, si x ∈ E r {0} alors le vevteur u = N(x)
est
unitaire.
N. Tsouli
01 october 2014
I-1 Norme :
I-3 Boules :
Proposition
pour tout x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn , on pose :
kxk1 = |x1 | + ... + |xn |
1
kxk2 = [|x1 |2 + ... + |xn |2 ] 2
kxk∞ = max{|x1 |, ..., |xn |}.
Les aplications kxk1 , kxk2 et kxk∞ définissent des normes sur
Rn , elles sont appelées les normes usuelles.
Remarque
Plus généralement, pour p ∈ [1, +∞[, on peut montrer que
1
kxkp = [|x1 |p + ... + |xn |p ] p
définit une norme sur Rn . De plus kxk∞ = lim kxkp .
p→+∞
N. Tsouli
01 october 2014
I-1 Norme :
I-3 Boules :
Plan
1
I-1 Norme :
I-3 Boules :
2
3
N. Tsouli
01 october 2014
I-1 Norme :
I-3 Boules :
Définition
Soit (E,N) un espace vectoriel normé, on appelle distance
associée à la norme N l’application d de E × E dans R+ définie
par :
∀(x, y ) ∈ E × E, d(x, y ) = N(x − y ).
A partir des propriétés de N on déduit :
Proposition
1
d(x, y ) = 0 si et seulement si x = y (séparation),
2
∀(x, y ) ∈ E × E d(x, y ) = d(y , x) (symétrique),
3
∀x, y , z ∈ E d(x, z) ≤ d(x, y ) + d(y , z) (inégalité
triangulaire).
N. Tsouli
01 october 2014
I-1 Norme :
I-3 Boules :
Remarque
1/ ∀x, y , z ∈ E, d(x + z, y + z) = d(x, y ) [invariance par
translation].
2/ ∀x, y , z ∈ E, |d(x, z) − d(y , z)| ≤ d(x, y ).
Définition
(Distance d’un point à une partie) Soit (E, N) un espace
vectoriel normé et d la distance associée. Si A est une partie
non vide de E et x un élément de E, l’ensemble
{N(x − a)|a ∈ A} est une partie non vide minorée de R, on
appelle distance de x à A et on le note d(x, A) , le nombre réel
d(x, A) = inf N(x − a) = inf d(x, a).
a∈A
N. Tsouli
a∈A
01 october 2014
I-1 Norme :
I-3 Boules :
Remarque
a ∈ A −→ d(a, A) = 0, la réciproque n’est pas vraie. Lorsque
d(a,A)=0, on dit que a est adhérent à A.
N. Tsouli
01 october 2014
I-1 Norme :
I-3 Boules :
Plan
1
I-1 Norme :
I-3 Boules :
2
3
N. Tsouli
01 october 2014
I-1 Norme :
I-3 Boules :
Définition
Soient (E, N) un espace vectoriel normé, a un élément de E et
r un réel strictement positif, on définit :
1
B(a, r ) = {x ∈ E : N(x − a) < r } boule ouverte de centre a
et de rayon r,
2
Bf (a, r ) = {x ∈ E : N(x − a) ≤ r } boule fermée de centre a
et de rayon r,
3
S(a, r ) = {x ∈ E : N(x − a) = r } sphère de centre a et de
rayon r .
Exemple
Dans (R, |.|), B(a, r ) =]a − r , a + r [, Bf (a, r ) = [a − r , a + r ] et
S(a, r ) = {a − r , a + r }.
N. Tsouli
01 october 2014
I-1 Norme :
I-3 Boules :
Définition
Les boules de centre 0E et de rayon 1, sont appelées boules
unités.
Exemple
Boules unités fermées sur E = R2 pour les normes kxk1 , kxk2
et kxk∞ .
N. Tsouli
01 october 2014
I-1 Norme :
I-3 Boules :
Définition
1/ Soient a et b deux points de Rn , on appelle segment de Rn
d’extrémités a et b l’ensemble
[a, b] = {x ∈ Rn /x = ta + (1 − t)b, t ∈ [0, 1]}.
2/ Une partie A de Rn est dite convexe si pour tout couple de
points a et b de A, le segment [a, b] est inclu dans A.
Proposition
1/ Les boules sont des parties convexes. 2/
B(a, r ) = a + rB(0E , 1) et B(a, r ) = a + r B(0E, 1). Ainsi les
boules générales se déduisent des boules unités par
homothéties et translations.
N. Tsouli
01 october 2014
I-1 Norme :
I-3 Boules :
Plan
1
I-1 Norme :
I-3 Boules :
2
3
N. Tsouli
01 october 2014
I-1 Norme :
I-3 Boules :
Définition
Une partie A de E est dite bornée s’il existe M ∈ R∗+ vérifiant
∀x ∈ A, kxk ≤ M.
Exemple
Les boules sont bornées. En effet
∀x ∈ Bf (a, r ), kxk ≤ kak + kx − ak ≤ kak + r = M
N. Tsouli
01 october 2014
I-1 Norme :
I-3 Boules :
Remarque
Le diamètre d’un ensemble A (noté δ(A)) est défini par :
δ(A) = sup{kx − y k; x ∈ A, y ∈ A}.
A est borné si et seulement si δ(A) < +∞.
N. Tsouli
01 october 2014
I-1 Norme :
I-3 Boules :
Soient X un ensemble non vide et k.k une norme sur E.
Définition
On dit qu’une fonction f : X −→ E est bornée lorsque son
image l’est i.e.
∃M ∈ R∗+ , ∀x ∈ X , kf (x)k ≤ M.
Exemple
Pour X = N, on peut parler de suites bornées d’éléments de E :
(un )n∈N est bornée si, et seulement si,
∃M ∈ R∗+ , ∀n ∈ N, kun k ≤ M.
N. Tsouli
01 october 2014
I-1 Norme :
I-3 Boules :
Theorem
Si X est un ensemble non vide alors l’ensemble B(X , E) des
fonctions bornées de X vers E est un K-espace vectoriel normé
et celui-ci peut être normé par
kf k∞ = sup kf (x)k.
x∈X
N. Tsouli
01 october 2014
I-1 Norme :
I-3 Boules :
Plan
1
I-1 Norme :
I-3 Boules :
2
3
N. Tsouli
01 october 2014
I-1 Norme :
I-3 Boules :
Définition
On dit qu’une norme N1 sur E est dominée par une norme N2
lorsque
∃α > 0, ∀x ∈ E, N1 (x) ≤ αN2 (x).
N. Tsouli
01 october 2014
I-1 Norme :
I-3 Boules :
Définition
(Normes équivalentes) Soint N1 et N2 deux normes définies sur
un espace vectoriel E, on dit que les deux normes N1 et N2
sont équivalentes sur E s’il existe deux constantes α, β ∈ R∗+
telles que
∀x ∈ E, α N1 (x) ≤ N2 (x) ≤ β N1 (x).
Remarque
Deux normes N1 et N2 sont équivalentes sur E si, et seulement
si, elles se dominent mutuellement.
On définit ainsi une relation d’équivalence sur l’ensemble des
normes sur E.
N. Tsouli
01 october 2014
I-1 Norme :
I-3 Boules :
Le théorème suivant à admettre :
Theorem
Sur un K-espace vectoriel de dimension finie E, toutes les
normes sont deux à deux équivalentes.
Exemple
les normes usuelles kxk1 , kxk2 et kxk∞ sont équivalentes sur
Rn .En effet,
√
kxk∞ ≤ kxk1 ≤ n kxk∞ , kxk∞ ≤ kxk2 ≤ n kxk∞ et
kxk2 ≤ kxk1 ≤ n kxk2 .
N. Tsouli
01 october 2014
I-1 Norme :
I-3 Boules :
Plus généralement, soient E1 , ..., Ep des espaces vectoriels
(sur un même corps K) munis respectivement des normes
notées k.k1 , ..., k.kp . On appelle norme produit sur l’espace
vectoriel produit E = E1 × ... × Ep l’une des normes suivantes
(on pose x = (x1 , ..., xp )) :
N1 (x) = kx1 k1 + ... + kxp kp ,
1
N2 (x) = [kx1 k21 + ... + kxp k2p ] 2
N∞ (x) = max{kx1 k1 , ..., kxp kp }.
Les aplications N1 (x), N2 (x) et N∞ (x) définissent des normes
sur E, elles sont appelées les normes usuelles.
N. Tsouli
01 october 2014
Plan
1
I-1 Norme :
I-3 Boules :
2
3
N. Tsouli
01 october 2014
On s’intéresse ici aux suites d’éléments d’un espace normé.
L’étude s’appliquera aux suites numériques et aux suites
d’éléments de E = RN
Définition
On dit qu’une suite u = (un )n∈N d’éléments de E tend vers
l ∈ E si kun − lk −→ 0 i.e. :
∀ > 0, ∃N0 ∈ N/∀n ≥ N0 −→ kun − lk ≤ .
k.k
On note alors un −→n→+∞ l ou un −→n→+∞ l.
N. Tsouli
01 october 2014
Exemple
2
1/ Soit un = ( sinn n , n+1
n )∈R .
sin n
On a : kun − (0, 1)k = | n | + | n+1
n − 1| −→ 0 donc un −→ (0, 1).
2/ Soit un = (n sin n1 , (1 + n1 )n ) ∈ R2 .
On remarque que lim un = (1, e).
n→+∞
N. Tsouli
01 october 2014
Remarque
1/ La limite d’une suite quand elle existe est unique.
2/ Si une suite (Xn)n∈N dans RN est convergente, alors toute
suite extraite ( ou sous-suite) converge vers la même limite.
3/ La convergence d’une suite dans RN ne dépend pas de la
norme choisie ( car toutes les normes sont équivalentes).
N. Tsouli
01 october 2014
Proposition
Une suite (Xn)n∈N converge vers X dans RN si et seulement si
pour tout i ∈ {1, ..., N} la suite de nombres réels (Xin )n∈N
converge dans R, de plus :
X = ( lim x1n , ..., lim xNn ).
n→+∞
n→+∞
Définition
On dit qu’une suite (Xn)n∈N dans RN est de Cauchy si :
∀ > 0, ∃N0 ∈ N/∀m > n ≥ N0 → kum − un k ≤ .
N. Tsouli
01 october 2014
Proposition
1. Toute suite de Cauchy dans RN est convergente dans RN .
(On exprime ceci en disant que RN est complet.)
2. Toute suite convergente est bornée.
Définition
a ∈ RN est une valeur d’adhérence d’une suite (Xn)n∈N si a est
limite d’une sous-suite de (Xn)n∈N .
N. Tsouli
01 october 2014
Plan
1
I-1 Norme :
I-3 Boules :
2
3
N. Tsouli
01 october 2014
Plan
1
I-1 Norme :
I-3 Boules :
2
3
N. Tsouli
01 october 2014
Dans la suite on utilisera la norme euclidienne sur RN ( sauf
indication contraire) que l’on notera simplement k.k. Nous
définirons les notions de topologie : boule, ouvert, fermé, etc...
Toutes les définitions sont valables si on remplace RN par
n’importe quel espace vectoriel E de dimension finie et k.k par
une norme N sur E. Les notions qui suivront ne seront pas
modifiées lorsqu’on passe d’une norme à une norme
équivalente.
Définition
(Voisinage) On appelle voisinage d’un élément a de E toute
partie V de E vérifiant
∃α > 0, B(a, α) ⊂ V .
N. Tsouli
01 october 2014
Remarque
Un voisinage d’un point x de Rn est une partie de Rn qui
contient une boule ouverte contenant x. (la norme utilisée n’a
pas d’importance).
Définition
(Partie ouverte) Une partie U de E est dite ouverte si elle est
voisinage de chacun de ses points i.e. :
∀a ∈ U, ∃α > 0, B(a, α) ⊂ U.
On dit encore que U est un ouvert de E.
N. Tsouli
01 october 2014
Exemple
Une boule ouverte B(a,r) dans Rn est une partie ouverte. En
effet pour x ∈ B(a, r ) et α = r − kx − ak > 0, on a
B(x, α) ⊂ B(a, r ).
Proposition
1/ Une réunion (finie ou infinie) de parties ouvertes est une
partie ouverte.
2/ Une intersection finie de parties ouvertes est une partie
ouverte.
N. Tsouli
01 october 2014
Remarque
Une intersection infinie\
de parties ouvertes peut ne pas être
] − 1/n, 1/n[= {0} n’est pas une
ouverte. Par exemple
n∈N ∗
partie ouverte.
Exemple
1/ ∅ et E sont des parties ouvertes
[ de E.
2/ Soient X ⊂ E et α > 0.Xα =
B(a, α) est un ouvert de E
a∈X
contenant X.
N. Tsouli
01 october 2014
Proposition
Si U1 , ..., Up sont des parties ouvertes des espaces normés
E1 , ..., Ep alors U = U1 × ... × Up est une partie ouverte de
l’espace normé produit E = E1 × ... × Ep .
Définition
Une partie F de E est dite fermée si son complémentaire est
une partie ouverte. On dit encore que F est un fermé de E.
Exemple
1/ E et ∅ sont des fermés.
2/ Dans E = R, les intervalles fermés [a, b], [a, +∞[, ] − ∞, a]
sont des parties fermées de R.
N. Tsouli
01 october 2014
Proposition
1/ Une intersection (finie ou infinie) de parties fermées est un
fermé.
2/ Une union finie de parties fermées est fermée.
Preuve :
1/ Par passage au complémentaire d’une union d’ouverts.
2/ Par passage au complémentaire d’une intersection d’ouverts.
Remarque
Une union infine de parties fermées peut ne pas être fermée.
Par exemple
[ 1
[ , 1] =]0, 1].
n
∗
n∈N
n’est pas fermée.
N. Tsouli
01 october 2014
Exemple
1/ Les singletons sont des parties fermées.
2/ Les boules fermées sont des parties fermées.
La caractérisation séquentielle des parties fermées permet
alors de conclure.
Proposition
Si F1 , ..., Fp sont des parties fermées des espaces vectoriels
normés E1 , ..., Ep alors F = F1 × ... × Fp est une partie fermée
de l’espace vectoriel normé produit E = E1 × ... × Ep .
Exemple
Dans R2 , le produit cartésien de deux intervalles fermés de R
est un fermé de R2 .
N. Tsouli
01 october 2014
Remarque
1/ On appelle
voisinage de a relatif à X, tout ensemble de la
T
forme V X avec V voisinage de a.
2/ T
On appelle ouvert relatif à X tout ensemble de la forme
U X avec U ouvert de E.
T
3/ On appelle fermé relatif à X tout ensemble de la forme F X
avec F fermé de E.
N. Tsouli
01 october 2014
Plan
1
I-1 Norme :
I-3 Boules :
2
3
N. Tsouli
01 october 2014
Soit E un espace vectoriel normé muni d’une norme N, et
τ = {O : O ⊂ E et O ouvert}. On dira que τ est une topologie
sur E.
Il est évident que si N1 et N2 sont deux normes équivalentes
alors elle définissent la même topologie sur E. En particulier
sur Rn toutes les normes définissent la même topologie.
Définition
Pour un ensemble A ⊂ Rn , on dit que x est un point intérieur à
A s’il existe r > 0 tel que B(x, r ) ⊂ A.
L’ensemble des points intérieurs à A est noté Å, et s’appelle
intérieur de A.
N. Tsouli
01 october 2014
Theorem
Å est la réunion des ouverts inclus dans A. Par suite Å est le
plus grand ouvert inclus dans A.
Remarque
1/ Si x est un point intérieur à A alors A est un voisinage de x.
2/ Une partie A est ouverte si, et seulement si, Å = A.
Exemple
1/ L’intérieur d’un intervalle non vide est l’intervalle ouvert de
même extrémités.
˚
2/ Pour toute partie A de E, Å = Å.
N. Tsouli
01 october 2014
Définition
On dit qu’un point x est un point adhérent à une partie A ⊂ Rn
si tout voisinage de x rencontre A, ( ou tout ouvert contenant x
rencontre A). L’adhérence (ou ferméture) de A est l’ensemble
des points adhérents à A et se note A.
A est dit dense dans Rn si A = Rn .
N. Tsouli
01 october 2014
Proposition
Si A est une partie non vide de E, on a équivalence entre :
1
a est adhérent à A ;
2
d(a, X ) = 0 ;
3
∃(xn )n∈N ⊂ A, xn −→ a.
Theorem
Ā est l’intersection des fermés contenant A. Par suite Ā est le
plus petit fermé contenant X .
N. Tsouli
01 october 2014
Corollaire
1/ Une partie A est fermée si, et seulement si, Ā = A.
2/ A est un fermé si et seuleument si pour tout suite
convergente (Xn )n∈N ⊂ A sa limite appartient à A.
Exemple
¯ = Ā
Ā
Remarque
On a toujours Å ⊂ A ⊂ Ā mais ces inclusions peuvent être
strictes.
N. Tsouli
01 october 2014
Définition
On dit qu’un point x est un point d’accumulation d’une partie
A ⊂ Rn si tout voisinage de x contient un point de A autre que x
( ou tout ouvert contenant x contient un point de A autre que x
).
N. Tsouli
01 october 2014
Remarque
1/ Il est équivalent aussi de dire que x est un point
d’accumulation de A si tout voisinage (ou ouvert ) contenant x
contient une infinité de points de A.
Par conséquent un ensemble fini n’a pas de point
d’accumulation.
2/ Tout point d’accumulation de A est un point adhérent à A.
Mais la réciproque est fausse.
N. Tsouli
01 october 2014
Exemple
S
1/ Soit A = {1} [3, 5[, 1 est un point adhérent à A mais n’est
pas un point d’accumulation
S de A. De plus on a : Å ( A ( Ā,
car Å =]3, 5[ et Ā = {1} [3, 5].
2/ Soit x ∈ R2 , on pose D = {y ∈ R2 /0 < kx − y k ≤ r } alors
D̄ = {y ∈ R2 /kx − y k ≤ r } et D̊ = {y ∈ R2 /0 < kx − y k < r }.
N. Tsouli
01 october 2014
Définition
On appelle frontière d’une partie A ⊂ Rn l’ensemble définie
par :
Fr (A) = Ā r Å.
Exemple
Dans E = R :
1/ Fr ([a, b[) = [a, b]r]a, b[= {a, b}.
2/ Fr (Q) = Q̄ r Q̊ = R.
N. Tsouli
01 october 2014
Remarque
S
Ā = A Fr (A) et Å = A r Fr (A).
Proposition
Soient A une partie de Rn et B le complémentaire de A par
rapport à Rn , on a :
Fr (A) = Ā ∩ B̄ = Fr (B),
et donc Fr (A) est une partie fermée.
N. Tsouli
01 october 2014
Plan
1
I-1 Norme :
I-3 Boules :
2
3
N. Tsouli
01 october 2014
Définition
Une partie A de Rn est dite un compact si elle est fermée et
bornée dans Rn .
Theorem
Si A est une partie de Rn , les propriétés suivantes sont
équivalentes :
1
A est un compact.
2
Propriété de Bolzano Weierstrass : Toute suite de points
de A admet une sous-suite convergente vers un point de A.
3
Toute partie infinie incluse dans A admet un point
d’accumulation dans A.
N. Tsouli
01 october 2014
Remarque
1/ De toute famille d’ouverts qui recouvre A on peut extraire un
sous recouvrement fini, c’est à dire que si (Oi )i∈I est une
famille (quelconque) d’ouverts telle que :
[
A⊂
Oi
i∈I
alors il existe un sous ensemble fini d’indices {i1 , ..., is } ⊂ I tel
que :
s
[
A⊂
Oik .
k =1
2/ Si K1 est un compact dans Rp et K2 est un compact dans Rq
alors K1 × K2 est un compact dans Rp+q .
3/ Si A est borné dans Rn , son adhérence Ā est un compact
n
N. Tsouli
01 october 2014
Définition
Une partie A ⊂ Rn est dit connexe si et seulement s’il n’existe
aucune paire d’ouverts O1 et O2 de Rn tels que :
A ⊂ O1 ∪ O2 , A ∩ O1 6= ∅, A ∩ O2 6= ∅ et O1 ∩ O2 ∩ A = ∅.
Autrement dit, A est connexe si on ne peut pas le séparer en
deux parties indépendantes en l’intersectant avec deux
ouverts.
Proposition
n
Si (Ai )i∈I une famille
\
[ de parties connexes de R telles que
Ai 6= ∅, alors
Ai est un connexe de Rn .
i∈I
i∈I
N. Tsouli
01 october 2014
Exemple
1/ Les seuls connexes dans R sont les intervalles.
2/ R et ∅ sont des connexes.
3/ Tout ensemble convexe est connexe et la réciproque est
fausse. Ainsi toute boule B(a, r ) dans Rn est un connexe dans
Rn , puisqu’elle est déja un convexe.
N. Tsouli
01 october 2014

ESPACES VECTORIELS NORMÉS ET TOPOLOGIE DANS Rn:

Transcription

Documents pareils

Fiche 1 : exercices à faire à la maison Exercice 1 Pour chaque

Clarion suites Aparthotel de 9 studios, 39 suites et 9

Seychelles - Mahé

Meeting Planner FR no QR

Au Cœur du Village, à La Clusaz (74)

Grand Hôtel de Cala Rossa

all access - Artravel

L`Hôtel Partenaire / Hosting Hotel

école active Les gens d`Uterpan Atelier Topologie

Vers Elara - People Ignore who I Am