Mécanique du point matériel TRAVAUX DIRIGES Année 2016-2017

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Mécanique du point matériel TRAVAUX DIRIGES Année 2016-2017
Département STPI
1ère année
er
1 semestre
UF Physique (I1ANPH21)
Mécanique du point matériel
TRAVAUX DIRIGES
Année 2016-2017
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Mécanique du point aux éditions DUNOD d’A. Gibaud et M. Henry
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Exercice 1 : Analyse vectorielle
On considère un espace à trois dimensions muni d'un repère d'observation cartésien
ℛ(0, ⃗ , ⃗ , ⃗ , ). Le vecteur ⃗ est unitaire et sa direction est définie par les angles  et  (voir
schéma). Le vecteur ⃗ est colinéaire à ⃗ . Le vecteur ⃗ ′ = ′⃗ ′ est la projection de ⃗ dans le plan
(0,x,y).
1) Exprimez le vecteur ⃗⃗⃗selon les
vecteurs de base ⃗ et ⃗ ′ en fonction
de r et .
2) Exprimez le vecteur ⃗⃗⃗ selon les
vecteurs de base⃗⃗⃗
 , ⃗ , ⃗ en fonction
de r,  et .
3) Calculez le produit scalaire ⃗ . ⃗ ′ en
utilisant une méthode géométrique.
Retrouver ce résultat en utilisant les
composantes des deux vecteurs
impliqués.
4) On donne  =

4
et  =

3
Quel est
l'angle , en degrés, entre les vecteurs
⃗ et ⃗ ?
5) Calculez
suivants :
les
produits
vectoriels
⃗ ∧ ⃗ ; ⃗ ∧ ⃗ ; ⃗ ∧ ⃗ ; ⃗ ∧ ⃗ ′ et ⃗ ∧ ⃗ ′
5) Nous considérons que l'angle  est désormais fonction du temps avec  = 2.  + 1. L'angle  et la
quantité r restent constantes. Calculez l'expression
⃗ ′

de manière analytique, c'est à dire en
explicitant les coordonnées des vecteurs dans la base cartésienne.
6) Nous allons retrouver le résultat précédent de manière géométrique. A partir de la norme unitaire
de ⃗ ′, que peut-on dire déduire sur
⃗ ′
.

7) Soit le vecteur 
⃗⃗ =

⃗
 
8) Calculez l'expression
⃗

⃗ ′

et ⃗ ′ ? En déduire géométriquement l’expression de
. Calculez le produit vectoriel 
⃗⃗ ∧ ⃗′ . Commentaires ?
avec la méthode de votre choix

9) Soit le vecteur ⃗ = 3. (). ⃗ + 5. (). . ⃗ − () . ⃗ . Calculer la forme différentielle de ⃗ (c'est
à dire ⃗ ainsi que sa dérivée par rapport au temps
⃗⃗

,

avec () = 3.  et () = 2.  et k = -2 ).
2
Exercice 2 : Le mouvement circulaire, repère cylindrique et repère de Frenet
Nous nous intéressons au mouvement circulaire d’un
point M dans le référentiel ℛ repéré par le repère
d’observation (, ⃗ , ⃗ ). La position du point M est
repérée sur son orbite grâce à l'angle () entre l'axe
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (voir schéma). Le rayon du cercle
[Ox) et le vecteur 
est r.
1) Etablir l'expression du vecteur position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

dans la base ⃗ , ⃗ en fonction de r et () puis
dans la base ⃗ , ⃗ .
2) Nous étudions le mouvement dans ℛ.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ par rapport au
Dériver le vecteur position 
temps et établir l'expression du vecteur vitesse
⃗/ℛ dans la base ⃗ , ⃗ , en fonction de r et ()
et
()
.

Faite de même dans la base ⃗ , ⃗ .
3) Etablir l'expression formelle du vecteur
accélération ⃗/ℛ dans la base ⃗ , ⃗ en fonction
de r, (),
()

et
 2 ()
.
 2
Idem dans la base ⃗ , ⃗ .
4) Déterminer la norme du vecteur vitesse en fonction de r et ().
5) Exprimer les vecteurs du repère de Frenet ⃗ et ⃗ en fonction de ⃗ , ⃗ .
6) Déterminer les composantes de l’accélération dans le repère de Frenet.
Exercice 3 : La spirale
Un point M décrit dans le plan (O,x,y) une spirale d'équations paramétriques :
 = . . cos() et  = . . sin()

avec  = ;  = (̂
 ,  ) et  =  = 
A l'origine du temps t = 0, nous avons  = 0. Le repère (, ⃗ , ⃗ ) constitue un repère d’observation
pour le référentiel ℛ dans lequel est étudié le mouvement. On le note ℛ(, ⃗ , ⃗ ).
1) Déterminer l'expression formelle de (i) le vecteur position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
, (ii) le vecteur vitesse ⃗/ℛ et
(iii) le vecteur accélération ⃗/ℛ dans le repère d’espace polaire (, ⃗ , ⃗ ).
2) Calculer l'expression formelle du module du vecteur vitesse.
3
3) Montrer que les vecteurs unitaires parallèle ⃗ et normal ⃗ à la trajectoire sont donnés par
⃗ =
1
√1+()2
⃗ +

√1+()2
⃗ et ⃗ =
−
√1+()2
⃗ +
1
√1+()2
⃗
4) Calculer l'expression formelle du vecteur accélération ⃗/ℛ dans le repère de Frenet ⃗ , ⃗
(c.a.d. trouver et  et  sachant que ⃗ =  ⃗ + ⃗ )
5) Trouver une méthode alternative pour déterminer  et  sans connaître au préalable les
expressions de ⃗ et ⃗ ?
6) Etablir, en utilisant deux méthodes différentes, l'expression du rayon de courbure R de la
trajectoire à n'importe quel temps t.
Exercice 4 : Le skieur de vitesse.
Un skieur de masse m descend en ligne droite une piste de
vitesse d’inclinaison . Lors de sa descente il subit les
frottements de la piste qu’on négligera dans un premier
temps et les frottements de l’air caractérisés par le
coefficient . On assimile le skieur à une masse ponctuelle
M. Le mouvement est étudié dans le Référentiel galiléen ℛ
de repère d’observation (, ⃗ , ⃗ ). A l’instant t = 0 le
skieur à une vitesse nulle et se trouve en (0, 0).
1) Déterminer dans le repère (, ⃗ , ⃗ ) les expressions de la vitesse ⃗/ℛ et de l’accélération
⃗/ℛ du skieur.
2) Faites le bilan des forces subies par le skieur dans le référentiel ℛ et donner leurs
expressions dans le repère (, ⃗ , ⃗ ).
3) Quelle(s) force(s) exerce(nt) le skieur sur la piste ?
4) En appliquant le PFD, déterminer les composantes de la vitesse du skieur en fonction du
temps. Quelle autre informations tirez-vous du PFD ?
5) Déterminer ses coordonnées x(t) et y(t).
6) Sur quels paramètres peut-on jouer pour augmenter la vitesse du skieur ?
7) Que se passerait-il si les frottements étaient nul ?
4
Rq : Le record du monde de vitesse de 252 km.h-1 est détenu par l’Italien Simone Origone. Il a
atteint cette vitesse sur une piste de 1km avec une pente moyenne de 52%.
Exercice 5 : Le spectromètre de masse : mouvement d’une particule chargée
dans un champ électrique et dans un champ magnétique.
On considère une particule de charge q = 1.6 × 10−19  et de masse m= 9.1 × 10−31  se déplaçant
dans un référentiel galiléen ℛ(, ⃗ , ⃗ , ⃗ ). Nous allons étudier à tour de rôle l’effet d’un champ
⃗⃗ sur la particule. Nous rappelons que la force de
électrique ⃗⃗ et l’effet d’un champ magnétique 
⃗⃗). On négligera le poids dans la suite de l’exercice.
Lorentz s’écrit ⃗ = (⃗⃗ + ⃗ ∧ 
1 : Effet du champ électrique
La particule M est située à l’instant t = 0 en (0, y0, 0). Sa
vitesse initiale est nulle. Un champ électrique uniforme
⃗⃗ = 0 ⃗ est appliqué dans la région x = 0, x = 50cm.
1) Appliquer le PFD dans le référentiel ℛ pour
déterminer les composantes de la vitesse de la particule.
2) Déterminer la position de la particule au cours du
temps.
3) Calculer le travail effectué par le champ
électrique entre x = 0 et 50cm.
4) Grâce au théorème de l’énergie cinétique, déterminer la vitesse acquise par la particule en
sortie de la zone où règne le champ électrique.
5) Quel est le bilan des forces dans la zone où x > 50cm. Comment évolue la vitesse de la
particule dans la zone où x > 50cm ?
2 : Effet du champ magnétique
La particule M est située à l’instant t = 0 en (0, y0, 0). Sa
vitesse initiale est ⃗ = 0 ⃗ . Un champ magnétique
⃗⃗ = 0 ⃗ règne dans tout l’espace.
uniforme 
1) Exprimer les composantes Fx, Fy, Fz de la force
subie par la particule à un instant t quelconque en
fonction de E, B, q et des composantes de la vitesse vx et
vy.
5
2) Montrer que le mouvement de la particule est inscrit dans le plan (x0y).
3) Grâce au PFD, déterminer les équations différentielles régissant l’évolution temporelle des
composantes de la vitesse.
4) On pose  =

.

Déterminer la dépendance temporelle des composantes de la vitesse puis
déterminer les équations horaires x(t) et y(t) de la particule.
5) Calculer la norme de la vitesse de la particule. Comment évolue-t-elle dans le temps ?
6) Redémontrer le résultat précédent grâce au théorème de l’énergie cinétique.
7) Quelle est la nature de la trajectoire ? Utiliser l’expression de l’accélération dans le repère de
Frenet pour retrouver la nature de la trajectoire.
3 : Spectrométrie
La particule M est située à l’instant t = 0 en (0, y0, 0)
avec y0 = 5cm. Sa vitesse initiale est nulle. Un champ
électrique
uniforme
⃗⃗ = 0 ⃗
(0 = 2 ×
104 . −1 ) est appliqué dans la région x = 0, x =
⃗⃗ = 0 ⃗ (0 =
50cm. Puis un champ magnétique 
10) règne à partir de x = 100cm.
1) Tracer qualitativement la trajectoire de la
particule en vous aidant des parties 1 et 2.
2) En quoi peut-on dire que ce système constitue
un spectromètre de masse (système capable de séparer les composants selon leur masse).
Exercice 6 : Le pendule
Un point matériel M est suspendu à un fil de longueur l
sans masse. La position de M est définie par l'angle . 
⃗⃗
est un vecteur unitaire perpendiculaire au plan du
mouvement (voir figure). On écarte M de sa position
d'équilibre d'un angle 0 puis on le lâche sans vitesse
initiale. L'origine du temps est prise à cet instant. Le
mouvement est étudié dans le référentiel galiléen
ℛ(, ⃗ , ⃗ ).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗/ℛ et ⃗/ℛ dans
1) Etablir l’expression de 
le repère d’espace (, ⃗ , ⃗ ).
2) Faire le bilan des forces subies par le point
6
matériel M dans le référentiel ℛ et donner leurs expressions dans le repère d’espace
(, ⃗ , ⃗ ).
3) Etablir l'équation différentielle du mouvement en utilisant le théorème du moment
cinétique.
4) Résoudre cette équation dans le cas des petites oscillations.
5) Utiliser le théorème de l’énergie cinétique pour déterminer la vitesse en fonction de  sans
faire d’hypothèse sur l’amplitude des oscillations.
Exercice 7 : Le skate-boarder
Un skate-boarder souhaite réaliser une performance exceptionnelle : il envisage de s'élancer sans
vitesse initiale depuis le haut d'une rampe à l'altitude h, de se laisser glisser, puis de terminer sa
course par une grande boucle (un looping) de rayon fixe . Plus l'altitude h est petite, plus la
performance sera remarquable! Cependant le skate-boarder n'est pas fou : il souhaite calculer au
préalable l'altitude h minimum pour être certain de ne pas "décrocher" une fois dans le looping...
Dans un premier temps, nous allons nous intéresser au mouvement du skate-boarder, assimilé un
point matériel M de masse m évoluant à l'intérieur d'un cercle de rayon . Le mouvement se fait sans
frottement. Le référentiel d'étude, dans lequel la rampe et le looping sont fixes, est supposé galiléen
et sera noté ℛ.
1) Etablir l'expression de l'accélération, exprimer la selon les vecteurs de base ⃗ , ⃗ .
2) Montrer que le module de l'accélération tangentielle ⃗ peut se mettre sous la forme
⃗ =
‖
⃗⃗‖ ‖
⃗⃗‖


3) Lister et étudier le(s) force(s) appliqué(es) sur le skate-boarder.
4) Ecrire l'équation fondamentale de la dynamique. Que devient cette équation en la projetant
sur les vecteurs de base ⃗ , ⃗ ?
7
5) Déterminer la vitesse v en un point quelconque de la trajectoire si v0 est la vitesse en bas de
la trajectoire
6) Quelle est la réaction normale ⃗⃗⃗⃗⃗
 de la sphère sur le skate-boarder ?
7) Finalement... quelle est l'altitude minimum h à partir de laquelle le skate-boarder peut
s'élancer sur la rampe sans vitesse initiale, pour que ce dernier adhère à la sphère tout au
long de sa trajectoire ?
Exercice 8 : Le Toboggan
Les équations en coordonnées polaires
d'une trajectoire hélicoïdale d'axe vertical
[Oz) sont :
 =    = ℎ
Un enfant s'élance sans vitesse initiale
d'une altitude  = 2ℎ et glisse le long
d'un toboggan hélicoïdal. Nous assimilons
cet enfant à une particule matérielle
mobile glissant sans frottement le long de
l'hélicoïde. Le référentiel ℛ(, ⃗ , ⃗ , ⃗ )
est galiléen.
1) Faite le bilan des forces appliquées au point matérielle M. Détailler leurs expressions dans la
base ⃗ , ⃗ , ⃗ .
2) Grâce au théorème de l'énergie cinétique, donnez l'équation horaire de la variable .
3) Calculez le temps que met l'enfant pour atteindre le plan horizontal de base (z = 0).
Exercice 9 : Vitesse de libération
L'accélération de la pesanteur varie en fonction de l'altitude par rapport à la surface de la terre

⃗
2
 +)
suivant la loi : ⃗ = − (
où G est la constante universelle de gravitation, MTerre et Rterre sont
respectivement la masse et le rayon de la Terre. On appelle « vitesse de libération » vlib(r) à l'altitude
r la vitesse minimale que doit avoir une particule pour échapper à l'attraction terrestre (et donc
s'éloigner jusqu'à l'infini). On donne :  = 6.67 × 10−11 3 −1  −2,  = 6 × 1024 ,  =
7.3 × 1024 ,  = 6400   = 1700.
1) Montrer que la force de gravitation dérive d'une énergie potentielle U que l'on calculera (on
prendra U = 0 à l'infini).
2) En déduire le travail minimal qu'il faut fournir pour élever une masse m à l'altitude r'.
8
3) Etablir l'expression de vlib(r), quelle est sa valeur numérique au sol et à une altitude h de 300
km ?
4) Quelle est la vitesse de libération à la surface de la Lune ?
Exercice 10 : Gyromètre
Un anneau de masse m est enfiché dans une tige en
rotation constante autour de l’axe z et de vitesse
angulaire constante . L’anneau est maintenu par un
ressort de constante de raideur k. La longueur au repos
du ressort est 0 . Nous allons étudier le mouvement de
l’anneau assimilé à une masse ponctuelle dans le
référentiel ℛ ′ non galiléen tournant à la vitesse 
autour de l’axe z. L’anneau est soumis à des frottements
le long de la tige caractérisés par la force ⃗ = −⃗/ℛ′ .
L’axe z représente la verticale.
1) Déterminer la position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
, ⃗/ℛ′ et ⃗/ℛ′ dans
la base ⃗ , ⃗ .
2) Faire le bilan des forces subies par l’anneau
dans le référentiel ℛ ′ et donner leurs expressions dans
la base ⃗ , ⃗ .
3) Utiliser le PFD pour déterminer l’équation différentielle régissant la position de l’anneau sur
la tige.


4) Trouver () dans le cas où  = 2√( −  2 )
5) Comment peut-on se servir de ce système pour mesurer une vitesse de rotation ?
6) Déterminer le travail effectué par le ressort ainsi que le travail effectué par les forces
d’inertie entre la position initiale et une position  que vous choisirez de telle manière que
vous puissiez calculer toute l’énergie dissipée par les frottements grâce au théorème de
l’énergie cinétique (posez-vous la question : quand est ce que les frottements ont lieu ?).
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Exercice 11 : Force de Coriolis
Un tireur d’élite positionné au pôle nord
s’entraine en tirant sur une cible de 5cm à une
distance de 750m. Il tire en direction de l’ouest.
On s’intéresse à la trajectoire du projectile de
masse m considéré comme une masse
ponctuelle M. A l’instant initial le projectile est
en (0,0,z’0) et sa vitesse initiale est ⃗/ℛ′ (0) =
−0 ⃗′ . On négligera les frottements. La vitesse
d’un projectile en sortie du canon est de l’ordre
de 900m.s-1. On fera l’analyse du mouvement
dans le référentiel Terrestre ℛ′(0, ⃗ ′ , ⃗′ , ⃗′ )
non galiléen en rotation dans le référentiel
ℛ(0, ⃗ , ⃗ , ⃗ ), Galiléen. On note que ⃗′ = ⃗ .
La vitesse angulaire de rotation de la Terre est
notée ℛ′/ℛ . On prendra g = 9,8m.s-2 et z’0 =
3,4m.
1) Donner l’expression de ⃗/ℛ′ et ⃗/ℛ′ après la sortie du canon dans le repère ⃗ ′ , ⃗′ , ⃗′ .
2) Faite le bilan des forces subies par le projectile après sa sortie du canon dans le référentiel
ℛ′(0, ⃗ ′ , ⃗′ , ⃗′ ). Donner leurs expressions dans le repère ⃗′ , ⃗′ , ⃗′ .
3) Déterminer les équations différentielles régissant ⃗/ℛ′ en appliquant le PFD dans le
référentiel ℛ′.
2
4) On suppose que les termes en ℛ
⃗/ℛ′ () puis
′ /ℛ sont négligeables. Déterminer l’équation 
x(t), y(t) et z(t).
5) On rappelle que sin() ≈   () ≈ 1 −
2
2
lorsque  est petit. Le tireur vise le centre de
la cible situé à 750m. Est-ce qu’il atteint sa cible ?
6) Préciser la validité de l’approximation faite au 4. Pour cela on s’intéressera aux projections
des forces sur l’axe x’.
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