Calcul mental et représentation des Nbs CP-CE1

Calcul mental et représentation des nombres
un exemple de pratique au CP-CE1 : calculette et numération
( Véronique Danquechin Dorval, PEMF)
Question pédagogique sous-jacente
Comment permettre l'installation d'une bonne représentation des relations entre les nombres ?
Et plus particulièrement :
Comment faire prendre conscience de la relation additive (ou soustractive) entre les nombres quand on
compte (ou on décompte) ?
Le point théorique
Une représentation insuffisante des nombres et une méconnaissance des relations qui les unissent
est l'une des causes aux difficultés rencontrées en calcul mental.
La représentation mentale des nombres : base à tout apprentissage sur le domaine numérique
On ne peut entreprendre aucun apprentissage efficace sur le domaine numérique sans
représentation mentale des nombres. Cela consiste à :
- donner du sens aux nombres, à partir de quantités ;
- situer un nombre, par divers moyens ; en particulier lier un nombre à son successeur, son
prédécesseur et progressivement, pouvoir encadrer un nombre entre deux dizaines consécutives.
Cette construction passe par de nombreuses activités lors desquelles les élèves résoudront des
problèmes en manipulant des collections d’objets réels puis représentés ou symbolisés.
L'importance de la représentation des nombres et des relations qui les unissent pour favoriser la
mémorisation
Les représentations des nombres sont intériorisées en prenant appui sur des représentations imagées
ou symboliques. Ces dernières sont liées aux codages issus des systèmes de numération, chiffrée ou
verbale.
Ces représentations, figuratives ou symboliques, ne concernent pas seulement chaque nombre
séparément, mais impliquent également des relations entre les nombres entiers dont l’ensemble est
principalement structuré par deux rythmes :
Le premier est lié à la succession qui organise la suite verbale des noms des nombres.
Le second est justement créé par la numération chiffrée (en base dix) : Elle est rythmée par
les dizaines et les centaines : répétition périodique du chiffre des unités à l’intérieur d’une dizaine,
répétition des dizaines à l’intérieur de centaines… C’est la raison pour laquelle les opérateurs
simples sont +1, +10, –1, –10.
La mémorisation des résultats des tables d’addition et de multiplication est sans doute favorisée par
une bonne maîtrise de ces deux rythmes. Pour l’addition, une première étape est marquée par la
reconnaissance du fait qu’ajouter 1 revient à dire le nombre suivant.
Sources:
- Télé Formation Mathématiques- TFM, calcul mental, http://www.uvp5.univ-paris5.fr/tfm/
- Apprentissages clefs dans le domaine numérique, Catherine BERDONNEAU,
http://ecoles.ac-rouen.fr/stvalery/anim/outils/H.Canu-2008-2009/StValery-domainenumerique-matC20809.pdf
Proposition de mise en pratique au CP
Séances préalables indispensables :
1) Introduction de la calculatrice (Ermel CP, officialisation du signe +)
- Une séance pour faire découvrir le calculatrice;
- Une autre séance de calculs additifs à faire à l'aide de la calculette → Objectif : se mettre
d'accord pour finaliser les calculs faits par le signe =
2) Jeu de déplacements sur la suite numérique en relation avec les écritures additives et soustractives
(Ermel CP consolidation du signe + et introduction du signe – , sur la piste numérique / Euromaths : les signes +
et – avec le jeu de la piste).
OBJECTIF 1 : Prendre conscience que lorsqu'on compte ou décompte de n en n , on passe d'un
nombre au suivant en ajoutant ou retranchant n
(Ermel CP, Savoir écrire le précédent et le suivant d'un nombre -1. Calculette et numération)
►Séance 1 - Afficher la suite des nombres
Matériel : une calculatrice et une feuille de papier par élève ; une grande feuille-affiche pour la trace collective
Objectif : Prendre conscience que l'on passe d' un nombre à son successeur en ajoutant 1 : en tapant +1 sur la
calculatrice
- Étape 1 Consignes : 1- « Trouver un moyen de faire afficher la suite des nombres* sans utiliser la touche qui
efface »
* Faire rappeler ce qu'est la suite de nombres.
2- Prendre le temps de chercher. « Quand on a trouvé un moyen (ne pas dépasser 15),
montrer sur la feuille comment on a fait (sur quelles touches on a appuyé et ce qui s'affichait sur l'écran).
Déroulement
→ On laisse les élèves chercher, on observe les procédures.
Procédures observables
a) appuie sur 1 puis 2 puis 3 puis 4...
12345678...
b) 1 = 2 = 3 =
c ) 1 et + successivement : 1, 1, 2, 1, 3 , 1 , 4, 1, 5...
d ) 1 puis + puis 1 puis = de manière continue :1,1,1,2,3,4... e ) 1 puis + puis = de manière continue : 1,1,2,3,4,...
f )1+1=+1=+1=
→ 1, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 3, 1, 4, 4, 1, 5, 5...
Procédure mettant la mieux en valeur le lien entre l'affichage de la suite des nombres et l'opération ajouter 1
→ On organise la synthèse autour de leur production :
- Les procédures qui ne respectent pas la consigne et l'utilisation cohérente de la calculatrice sont écartées : a et b
- On met en évidence les procédures qui respectent la consigne : celle qui met la mieux en valeur le lien entre
l'affichage de la suite des nombres et l'opération ajouter 1 : f ; pour la procédure c, on fait remarquer qu'on n'utilise
pas la touche = et faire la correspondance avec l'écriture sur feuille 1+1+1+1+1+1 (la calculatrice affichant les
résultats intermédiaires).
- Si les procédures d et e ne sont pas apparues : ne pas les aborder. Sinon ne pas les retenir tout en expliquant rapidement
que ces procédures sont liées aux possibilités de la calculatrice qui enregistre la première opération « faire +1 » et la répète
tant qu'on appuie sur la touche = .
►Séance 2
Étape 1 Réinvestissement de la séance 1 : Afficher la suite des nombres quand on compte à partir d'un nombre A (12 par
exemple)
- même matériel , objectif et consigne que la séance 1 -
Déroulement
Passer auprès des élèves pour observer les procédures et relancer :
Relancer ceux qui utilisent des procédures non valides ou non retenues ; favoriser le réinvestissement de la
procédure f ; laisser poursuivre ceux qui utilisent la procédure c
* Les relances pour élèves bloqués
→ Faire verbaliser le problème; ce qu'il faut chercher à faire [ex : L'enseignant : « Je suis un robot . Je suis sur le
nombre 7 . « Dis-moi ce que je dois faire pour aller sur le nombre 8 » …]
→ permettre de dépasser le cloisonnement des savoirs (faire mobiliser les savoirs utiles) en utilisant ce qu'on a
appris dans le fichier, dans son vécu ( ex : jeu de piste des nombres , jeu de société comme les petits chevaux)
Exemple de trace collective , bilan de la séance :
Étape 2 - Afficher la suite des nombres quand on compte de 2 en 2 à partir d'un nombre 8
Objectif : Prendre conscience que lorsqu'on compte de 2 en 2 , on passe d'un nombre au suivant en ajoutant 2
▪ Préalable : entraînement collectif (calcul mental) , Jeu du furet : compter de 2 en 2
▪ Avec la calculatrice
Consigne : Trouvez un moyen de faire afficher la suite des nombres quand on compte de 2 en 2 sans utiliser la
touche qui efface . 2- « Écrivez au fur et à mesure sur la feuille cette suite de nombres que vous affichez. »
Recherche des élèves puis Mise en commun
→ à partir de la verbalisation, structurer la phrase correspondant au savoir construit: « Pour passer d'un
nombre à son suivant quand on compte de 2 en 2, il faut ajouter 2 » ou « Compter de en 2 en 2 , c'est ajouter 2 à
chaque fois. »
→ Accompagner cette phrase-savoir, d'une représentation codée usuelle :
8
10
+2
12
+2
14
+2
16
+2
►Séance 3
Étape 1 Compter de _ en _ en avançant ou en reculant ; inscription des comptages sur la feuille (voir ci-dessous)
Objectif : Prendre conscience que lorsqu'on compte ou décompte de n en n , on passe d'un nombre au suivant en
ajoutant ou retranchant n
▪ sous forme d'un jeu
→ avec tirage de la carte indiquant de combien en combien on compte : 1 , 2 , 3 , 5
→ avec tirage de la carte indiquant si l'on compte en avançant (AV) ou en reculant (RE)
→ Le nombre de départ est donné par l'enseignant
Feuille de jeu :
Dans un premier temps : s'aider en cherchant avec la
calculatrice et écrire les résultats au fur et à mesure ;
dans un second temps : compter et écrire ses résultats
puis vérifier avec sa calculatrice.
Après chaque comptage; mise en commun et trace
codée au tableau.
Différenciation : Laisser les enfants performants
explorer le comptage au delà de la feuille (comme au
delà de 100...) ; leur proposer des nombres de départ
plus éloignés dans la suite des nombres.
Étape 2
Objectif : Faire évoluer la trace écrite comme mémoire vers la trace comme outil construit.
Déroulement
A partir d'une des parties du jeu de comptage notée sur la feuille , remobiliser ce que l'on a appris . À partir
de la verbalisation, structurer la phrase correspondant au savoir construit, par exemple :
« Quand on compte de en 5 en 5 en avançant, pour passer d'un nombre à son suivant, il faut ajouter 5 (faire plus 5) »
« Quand on compte de en 2 en 2 en reculant, pour passer d'un nombre à son suivant, il faut enlever 2 (faire moins 2) »
→ Accompagner ces phrases-savoir, d'une représentation codée usuelle
exemple de trace écrite
5
10
15
+5
4
+5
+5
6
–2
20
8
–2
10
–2
12
–2
OBJECTIF 2 : utiliser ses premières connaissances sur les nombres en liaison avec celles sur les
calculs additifs et soustractifs pour résoudre des petits problèmes.
Voici les étapes de ces séances d'entraînement au calcul.
Pour chacune :
- Encourager à trouver différentes solutions
- Recenser les différentes procédures découvertes pendant la mise en commun
(Ermel CP écritures additives et soustractives, activités d'entraînement , 4. Calculettes
Euromaths : la calculatrice )
1 ▪ Demander d'afficher le nombre 6; puis sans effacer d'afficher 10
d'afficher le nombre 15; puis sans effacer d' afficher 21
d'afficher le nombre 17 ; puis sans effacer d' afficher 14
Procédures visées :
6+4;6+2+2…
15 + 5 + 1 ; 15 + 6 …
17 – 3 ; 17 – 1 – 2 ; 17 – 7 + 4 ...
2 ▪ Afficher un nombre sans taper les chiffres de ce nombre (ou le premier chiffre de ce nombre)
→ Demander d'afficher le nombre 12 sans utiliser ni la touche 1, ni la touche 2
→ Demander d'afficher le nombre 20 sans utiliser la touche 2
Procédures visées :
les écritures additives : 6 + 6 ; 5 + 7 ; 4 + 8 ; 3 + 9 / 15 + 5 ; 19 + 1 …
le comptage de 2 en 2 ou de 5 en 5 … par additions répétées successives.
Les sommes à plusieurs termes : 3 + 3 + 6 ; 3 + 3 + 3 +3 … / 7 + 3 + 6 + 4 ; 8 + 8 + 4 ...
les écritures soustractives : 30 – 10
Procédures visées :
3 ▪ Afficher un nombre terminé par un chiffre donné sans utiliser la touche de ce chiffre
3 + 5 ; 13 + 5 …
→ Demander d'afficher un nombre qui a 8 pour chiffre des unités sans utiliser la touche 8 2 + 2 + 2 + 2 ; 3 + 1 + 4 ...
4 ▪ Afficher un nombre dont le chiffre des dizaines est imposé sans utiliser la touche
correspondant au nombre de dizaines
→ Demander d'afficher un nombre entre 20 et 30 sans utiliser la touche 2
5 ▪ Afficher un nombre et le transformer en un autre nombre sans
utiliser la touche d'effacement
→ Demander d'afficher 39 et sans effacer de transformer 39 en 38
→ Demander d'afficher 43 et sans effacer de transformer 43 en 47
→ Demander d'afficher 26 et sans effacer de transformer 26 en 36
→ Demander d'afficher 15 et sans effacer de transformer 15 en 45
10 – 2 ; 20 – 2 …
Procédures visées :
13 +15 ; 13 + 11 …
8 + 8 + 5 + 2 ...
10 + 10 + 4
Procédures visées :
39 – 1
43 + 1 + 1 + 1 +1 ; 43 + 2 + 2 ; 43 + 4
26 + 10 (à privilégier) ; 26 + 5 + 5 …
15 + 10 + 10 + 10 ; 15 + 10 + 20 ; 15 + 30
Proposition de mise en pratique au CE1
Deux cas se présentent :
1- Les élèves n'ont pas été confrontés à ce type de situation : faire en séance préalable , la séance 1
(et 2) de la séquence proposée pour les CP ( Voir : un exemple de pratique au CP : calculette et
numération)
2- Les élèves ont déjà été confrontés au CP à des séances du type calculette et numération : passer
directement à la séquence ci-dessous
Objectif 1 : Vérifier l'installation d'une bonne représentation des relations entre les nombres : que
lorsqu'on compte ou décompte de n en n , on passe d'un nombre au suivant en ajoutant ou retranchant n
(Ermel CP, Savoir écrire le précédent et le suivant d'un nombre -1. Calculette et numération /
Ermel CE1 : Comprendre l'algorithme de la suite écrite des nombres- Calculatrice )
- Étape 1 - Afficher la suite des nombres quand on compte à partir de n > 50
(exemple : 95 )
Objectif : Passer d' un nombre à son successeur en ajoutant 1 à partir d'un nombre donné
Consigne : 1- « Affichez d'abord n ( nombre de départ) .Trouvez un moyen de faire afficher la suite des nombres à
partir de n sans utiliser la touche qui efface .»
2- Écrivez au fur et à mesure sur la feuille cette suite de nombres que vous affichez.
Exploitation corrective au tableau (en faisant observer qu'un chiffre change à chaque fois qu'on fait + 1 [ le chiffre
des unités ] ; et à quel moment le chiffre des dizaines change)
- Étape 2 - Élargir au comptage de N en N en avançant ou en reculant
Objectif : Comprendre que pour compter de N en N en avançant ou en reculant , il faut ajouter ou retrancher N à
chaque fois :
● Proposer : Afficher la suite des nombres quand on compte de 2 en 2 à partir d'un nombre n (> 50 ) en reculant
● Puis amener les élèves à faire des propositions d'autres « comptages » comme de 3 en 3 , de 5 en 5 , ou de 10
en 10 ... » en avançant ou reculant
● Élaboration d'une trace écrite rendant compte du savoir construit :
→ à partir de la verbalisation, structurer la phrase correspondant au savoir construit
→ accompagner cette phrase-savoir, d'une représentation codée usuelle
Exemples :
« Pour passer d'un nombre à son suivant sur la suite des nombres, il faut ajouter 1 » / ou / « Compter de en 1 en 1 , c'est
ajouter 1 à chaque fois. »
95
+1
96
97
98
99
100 101 102 103
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1
« Quand on compte de en 2 en 2 en reculant, pour passer d'un nombre à son suivant, il faut enlever 2 (faire moins
2) »
64
66
–2
68
–2
70
72
–2
–2
« Quand on compte de en 5 en 5 en avançant, pour passer d'un nombre à son suivant, il faut ajouter 5 (faire plus 5) »
135
140
+5
145
+5
150
+5
- Étape 3 ■ Réinvestissement des connaissances à partir de nombres beaucoup plus grands.
Exemples :
Afficher la suite des nombres quand on compte de 1 en 1 à partir de 2614. Ne pas hésiter à prendre
des nombres encore plus grands.
Afficher la suite des nombres quand on compte de 5 en 5 en reculant à partir de 765 ...
■ Entraînement pour remobiliser ce qui a été appris (une meilleure représentation des relations entre les
nombres) ; la calculette étant un outil de vérification
Exemples :
- Compte de 10 en 10 en reculant à partir de 261 sans calculatrice; puis vérifie avec ta calculatrice
- Compte de 3 en 3 à partir de 66 sans calculatrice; puis vérifie avec ta calculatrice
- Compte de 2 en 2 en reculant à partir de 177 sans calculatrice; puis vérifie avec ta calculatrice …
Objectifs 2 :
- Comprendre l'effet des opérations ajouter 1,10, 100 et retrancher 1,10 , 100 sur l'écriture d'un nombre ;
- Résoudre des problèmes additifs et soustractifs liés à la numération ;
- Favoriser un prise de conscience du fonctionnement de la numération de position (et permettre de dépasser le
cloisonnement des savoirs)
(Ermel CE1 : S'approprier des procédures de calculs réfléchis - Utilisation de la calculette pour apprendre à
calculer / Comprendre l'algorithme de la suite écrite des nombres- Calculatrice ) (Euromaths CE1 La calculatrice
(1) et (2))
- Étape 1 -
Objectif : comprendre l'effet des opérations ajouter 1,10, 100 et retrancher 1,10 , 100 sur l'écriture
d'un nombre
Déroulement
▪ Faire afficher : 138 ; Consigne : « Afficher 188 , sans utiliser la touche qui efface . »
Recherche des élèves; Mise en commun des procédures :
▪ Mettre en évidence comment on a eu l'idée de l'ajout de 10, grâce aux connaissances sur les nombres et le calcul
(compter de 10 en 10; ajouter une dizaine) et l'intérêt de ces ajouts successifs de 10 par rapport à des procédures
d'ajouts successifs de 1 ou 2 ou 5 qui relèvent davantage du tâtonnement.
▪ Comparer les procédures selon le nombres de calculs faits sur la calculatrice : 5 calculs (5 ajouts successifs de
10) ; 3 calculs ( + 20 + 20 + 10 ) ; un seul (+50)
▪ Recommencer avec d'autres consignes :
- Afficher
- Afficher
- Afficher
- Afficher
371, puis sans effacer afficher 171 .
179, puis sans effacer afficher 209
590, puis sans effacer afficher 589
1564, puis sans effacer afficher 1604
Lors des mises en commun des procédures,
▪ faire remarquer les (ou le) chiffres qui n'ont pas changé ; illustrer la démarche faite sur la calculatrice en
utilisant un compteur (les roues qui bougent et celles qu'on ne touche pas)
▪ Quand plus d'un chiffre à changer, faire relever de bien commencer du chiffre des unités vers les autres chiffres
(en raison des échanges);
▪ comparer le nombres de « sauts de 10 ou 100 » ; encourager à faire le moins de calculs possibles
- Étape 2 -
Objectif : utiliser ses connaissances sur la numération de position en liaison avec celles sur les
calculs additifs et soustractifs pour résoudre des petits problèmes
- Encourager à trouver différentes solutions
- Recenser les différentes procédures découvertes pendant la mise en commun
Demander d'afficher le nombre 44 (cité oralement) sans utiliser la touche 4
100
"
"
" "
0
57
sans utiliser les touches 5 et 7
222
sans utiliser la touche 2
ex :
50 – 6 ; 30 + 10 + 2 + 2
/ 99 + 1 ; 111 – 11 … /
100 + 100 + 10 + 10 + 1 + 1 ; 111 + 111 ; 555 – 333 ;
- Étape 3 - Objectif : s'entraîner à aller de a à b en passant par le multiple de 10 intermédiaire ou en
commençant par ajouter un multiple de 10 pour égaliser le chiffre des dizaines
Problème 1
- Aller de 23 à 45 en faisant des calculs
Les procédures observables :
- chercher à faire qu'une seule opération, par sur comptage, tâtonnement ou calcul mental.
- faire plusieurs additions ; ceux qui dépassent le nombre à atteindre reviennent en arrière en faisant des
soustractions ou recommencent.
- faire une première addition pour aller à 30 puis terminer par une deuxième addition.
- Additionner 10, puis 10 puis 2 (ou 12 directement à la deuxième addition)
*on peut utiliser la notation par sauts fléchés
23
33
35
+ 10
+2
Ajout de contraintes aux problèmes suivants :
pour obtenir le passage par le multiple de 10 le plus proche ou l'ajout de 10
Problème 2
- Aller de 35 à 54 en passant par un ou plusieurs nombres terminés par 0
ex : Aller de 35 à 54 en passant par un ou plusieurs nombres terminés par 0
35 + 5 = 40 ; 40 + 10 + 4 = 54
35 - 5 = 30 ; 30 + 20 + 4 = 54
Problème 3 - Aller de a à b en modifiant un seul chiffre à la fois
ex : Aller de 44 à 78 en modifiant un seul chiffre à la fois
44 + 30 = 74 ( 44 + 10 = 54) ; 74 + 4 = 78 ( 54 + 4 = 58)
44 + 4 = 48 ; 48 + 30 = 78 ( 48 + 10 = 58)