Exposé sur la mesure de la capacité d`un condensateur et de l`i

Exposé sur la mesure de la capacité d’un
condensateur et de l’inductance d’une bobine
par différentes méthodes
I-
Présentation du condensateur et de la bobine
(I-1) Le condensateur
(I-2) La bobine
II-
Mesure de la capacité et de l’inductance par différentes méthodes
(II-1) Mesure de la capacité d’un condensateur
(II-2) Mesure de l’inductance d’une bobine
L’électronique actuelle met en œuvre des composants de plus en plus complexes,
sophistiqués et hautement intégrés. Leur mise en œuvre et leur association nécessitent souvent
la connaissance du comportement des composants élémentaires. L’objectif de cet exposé est
bien évidemment non pas de proposer une formation de spécialiste, mais plutôt de présenter
une approche simple des composants ainsi que leur comportement, leur modèle et les
méthodes d’étude des montages associés.
I-
Présentation du condensateur et de la bobine
(I-1) Le condensateur
► Présentation
On appelle condensateur l’ensemble formé par deux conducteurs dont les surfaces en
regard sont proches l’une de l’autre et séparées par un isolant que l’on appelle le diélectrique.
C’est donc un dipôle élémentaire caractérisé par la relation :
q(t ) = C * u (t )
Avec la capacité C en farad F, et q(t) la charge électrique stockée à l’instant t.
On a aussi les symboles graphiques suivants :
C pourra donc dépendre des grandeurs q(t) et u(t) (et par suite du temps
également). Dans le cas particulier où C est constante, la capacité sera dite linéaire et
autonome : cet élément sera alors caractérisé par une relation linéaire.
On obtient alors la relation de définition suivante :
D’après la loi de Coulomb :
I (t ) =
dq(t )
dt
On obtient alors les relations suivantes :
U (t ) =
1
1
* ∫ i ( x)dx = u (0) + * ∫ i ( x )dx
C
C
I (t ) = C *
du
dt
Si la capacité est considérée déchargée à t=0, on aura donc une constante u(0) nulle.
La première relation s’écrira alors :
U=
1
* i ( x)dx
C ∫
Si on considère maintenant l’aspect énergétique, on a au bout d’un temps t, l’énergie
absorbée par une capacité telle que :
W (t ) =
∫ u( x) * i( x) * dx = ∫ u ( x) * du ( x) =
1 * C * u ²(t )
2
Il apparaît évident que cette capacité (qui est toujours positive ou nulle) peut
augmenter ou diminuer au cours du temps. La capacité est donc un élément réactif : elle
stocke l’énergie sous forme d’énergie électrique.
► Associations de capacités
On peut à présent décrire le comportement de capacités associées. En effet,
l’utilisation des lois de Kirchhoff et des relations exposées précédemment nous montre les
résultats suivants :
- En association série :
Ce type d’association peut se modéliser en une capacité unique équivalente telle que :
1
=
Céq
-
En association en parallèle :
n
1
k = 0 Ck
∑
Ce type d’association peut se modéliser par une capacité équivalente telle que :
Céq =
n
∑
k= 0
Ck
► Limitations
Les condensateurs sont donc des plaques métalliques séparées par un diélectrique qui
d’ailleurs peut parfois être simplement de l’air. Pour un condensateur plan, on sait que :
C=
S *ε
d
Avec d la distance entre les plaques, S leur surface et ε la constante diélectrique du
milieu qui les sépare.
Ces dispositifs se comportent presque comme des capacités.
Toutefois, aux basses fréquences il y aura des pertes assez faibles dont on peut tenir
compte en choisissant comme circuit équivalent du condensateur une capacité en parallèle
avec une résistance Rp, appelée résistance de fuite.
Aux hautes fréquences, l’effet de la résistance de fuite devient négligeable. Par contre,
les pertes dans le diélectrique augmentent. On pourra les comptabiliser à l’aide d’un schéma
équivalent comportant cette fois la capacité idéale en série avec une résistance Rs.
On a donc les schémas équivalents suivants :
A basse fréquence
A haute fréquence
A toute fréquence
► Facteur de qualité
En régime sinusoïdal, l’aptitude d’un dipôle à stocker de l’énergie est déterminée par
le facteur de qualité Q de cet élément. On a donc :
Q = 2Π *
valeur max imale de l ' énergie stockée au cours du temps
énergie dissipée durant une période
On obtient donc les résultats suivants pour un condensateur :
Q = Rp * C * ω
1
Q=
Rs * C * ω
aux basses fréquences
aux hautes fréquences
Dans la pratique, on aura plus tendance à parler pour un condensateur de ses pertes
plutôt que du facteur de qualité.
Les pertes d’un condensateur seront caractérisées par son angle de perte δ défini à
partir de l’inverse du facteur de qualité :
tan(δ ) =
1
Q
(I–2) La bobine
C’est un dipôle élémentaire caractérisé par la relation :
Φ (t ) = L * i (t )
C’est donc une inductance de valeur L exprimée en henrys H. Φ(t) correspond au flux
magnétique à travers l’élément.
Si L est une fonction à valeurs réelles dépendant des grandeurs Φ(t) et i(t),
l’inductance sera non linéaire.
Si L est constante, l’inductance est linéaire est autonome, l’élément inductance sera
alors caractérisé par une courbe linéaire.
On trouve les représentations suivantes :
On a les relations de définition suivantes :
On peut exprimer la tension en fonction du flux :
u (t ) =
d Φ (t )
dt
On obtient donc les relations suivantes :
u (t ) =
i (t ) =
d Φ (t )
di (t )
= L*
dt
dt
1
1
* ∫ u ( x) * dx = i (0) + ∫ u ( x) * dx
L
L
Si à l’instant t=0 l’inductance n’est parcourue par aucun courant, on aura la constante
i(0) égale à zéro qu’on pourra donc simplifier dans le calcul.
Au bout d’un temps t l’énergie absorbée par une inductance est :
W (t ) =
∫ v( x) * i( x) * dx = L ∫ i( x)di( x) =
L * i ²(t )
2
Comme dans le cas d’une capacité, il paraît évident que cette quantité ne pouvant être
négative augmentera ou diminuera au cours du temps : l’inductance est aussi un élément
passif réactif.
Par contre, elle stockera elle l’énergie sous forme d’énergie magnétique.
► Associations d’inductances
On peut à nouveau déduire des relations précédentes le dipôle équivalent d’une
association d’impédances :
- En association série :
On obtient une impédance équivalente à :
Léq =
-
n
∑
k= 0
Lk
En association en parallèle :
On obtient une impédance équivalente telle que :
1
=
Léq
n
1
k = 0 Lk
∑
On remarque que l’on a finalement les mêmes règles de calcul que pour des
résistances. A noter toutefois que ces résultats ne valent qu’en l’absence de couplage
magnétique entre les différents éléments.
► Limitations
Une bobine de fil de cuivre peut simuler le comportement d’une inductance mais
l’écart entre le composant et l’élément idéal sera plus important que celui qui existe entre le
condensateur et la capacité.
Le fil de cuivre a nécessairement une résistance et la circulation du courant provoque
inévitablement un effet joule qui a en plus tendance à augmenter cette résistance.
En hautes fréquences, il faudra tenir compte de la capacité, inhérente à l’enroulement
des fils. Ajoutons qu’à très hautes fréquences la résistance augmentera généralement à cause
de l’effet de peau. Par ailleurs dans le cas où un circuit comporte plusieurs bobines le risque
de couplage entre inductances augmente.
On obtient donc le tableau suivant :
Aux basses fréquences
Aux hautes fréquences
Pour augmenter l’inductance ou l’ajuster à une valeur souhaitée, on utilise des bobines
à noyau ferromagnétique dont le comportement est approximativement linéaire tant que le
noyau est loin de la saturation.
► Facteur de qualité
Partant de la définition de Q, on montrera facilement que le facteur de qualité d’une
bobine comportant une inductance L en série avec une résistance R s’écrit :
Q=
L *ω
R
Plus généralement, pour un dipôle série formé d’une résistance et d’une réactance X,
le facteur de qualité s’exprime par :
Q=
X
R
Avec :
-
Pour un bobinage :
X = L *ω
-
Pour un condensateur :
X=
II-
1
C *ω
Mesure de la capacité et de l’inductance par différentes méthodes
(II-1) Mesure de la capacité d’un condensateur
► Mesure par charge à courant constant
On va utiliser un montage à amplificateur opérationnel pour réaliser un générateur
idéal de courant et on charge le condensateur tout en faisant l’acquisition de la tension aux
bornes de ce condensateur avec un oscilloscope à mémoire ou un ordinateur.
On a alors dans le circuit :
C*
du (t )
 I 
= I = cste donc u =   * t
dt
 C
La courbe de charge du condensateur est donc une droite de pente I/C. Connaissant la
pente et le courant, on en déduit finger in the nose C.
► Mesure par la méthode des 90% - 10%
Cette méthode permet la détermination de C par la mesure de la constante de temps τ.
On effectue des cycles de charges et de décharges ‘un circuit RC avec un GBF en
signal créneau avec une tension de décalage pour que le minimum du signal soit à zéro.
On règle l’oscilloscope pour q’un cycle se fasse sur la totalité de la hauteur de l’écran.
tm représente alors le temps mis par la tension pour passer de 10% à 90%.
La charge d’un condensateur avec un échelon de tension est régit par l’équation :
( τ ))
(
U c = E * 1 − exp − t
A t = t1, on a :

−t

U c = 0,1* E = E *  1 − exp  1  
τ



⇒
exp 

− t1
⇒
exp 

− t2
 = 0,9 ⇒
τ 
t1 = − τ *ln ( 0,9 )
A t = t2, on a :

−t

U c = 0,9* E = E *  1 − exp  2  
τ



 = 0,1 ⇒
τ 
t2 = − τ *ln ( 0,1)
Et donc finalement :
tm = t2 − t1 = τ *ln ( 9 )
On obtient la capacité en fonction de la constante de temps et de la résistance suivant :
τ =
tm
ln ( 9 )
et τ = R * C
d ' où C =
τ
R
► Mesure au moyen d’un pont de Maxwell
Pour les calculs, on modélisera le condensateur réel par un condensateur idéal de
capacité Ci en série avec une résistance Ri (de l’ordre de quelques ohms).
On réalise le pont de Maxwell comme suit :
Le pont est dit équilibré pour VD = VF. On obtient donc en impédance complexe :
Z1 * Z 3 = Z 2 * Z 4




1
1
R1 *  R +

 = R2 *  Ri +
j * C *ω 
j * Ci * ω 


On atteindra l’égalité en pratique en faisant varier la résistance et le condensateur
variables.
En identifiant les parties réelles et complexes, on trouve :
R1 * R = R2 * Ri
⇒
Ri =
R1 * R
R2
R1
R2
=
C * ω Ci * ω
⇒
Ci =
C * R2
R1
(II-2) Mesure de l’inductance d’une bobine
► Mesure au moyen d’un ampèremètre et d’un voltmètre
On réalise le montage suivant :
On va prendre R élevé pour avoir i faible. On relève ensuite I et U pour différentes
fréquences.
On obtient donc :
Z = r + j * L *ω
⇒
Z =
U²
I²
⇒
Z ² = r ² + 4* Π ² * L ² * f ²
Z ² = r ² + L² * ω ² =
r ² + L² * ω ²
Ainsi on tracera l’impédance au carré en fonction de la fréquence au carré, on obtient
comme ordonnée à l’origine la résistance interne de la bobine au carré et la pente représentera
4*Π²*L². On pourra donc en déduire l’inductance de la bobine.
► Mesure au moyen d’un point de Maxwell
Pour le calcul, on modélisera la bobine réelle par une bobine idéale L i en série avec
une résistance Ri.
On réalise le montage suivant :
Lorsque le pont est équilibré :
Z1 * Z 3 = Z 2 * Z 4
Z4 =
Z1 * Z3
 1

= R1 * R2 *  + j * C * ω  = Ri + j * Li * ω
Z2
 R

On identifie alors les parties réelles et imaginaires pour obtenir :
Ri =
R1 * R2
R
j * R1 * R2 * C * ω = j * Li * ω
⇒
Li = R1 * R2 * C
► Mesure de l’inductance ou de la capacité par un circuit RLC à la résonance
Un dipôle RLC série est soumis à une tension en créneaux non symétriques 0 – E de
fréquence faible afin que le régime permanent puisse s’établir au cours de chaque demipériode. Nous nous intéresserons au régime qui s’établit lors d’une variation de la tension
d’alimentation de E volts à 0.
Lorsque la résistance R est égale à 10 ohms, par exemple, la tension Ur ainsi que
l’intensité i du courant sont pseudo-périodiques. En effet, u(r) = r*i est l’image de l’intensité i
du courant traversant le circuit.
En augmentant la valeur de la résistance R, nous observons une diminution de la durée
du régime oscillatoire (ainsi qu’une diminution rapide de l’amplitude des oscillations) et
même la disparition de ce régime pour une valeur de résistance supérieure à 1kΩ.
En négligeant Ur devant UR (c'est-à-dire que la résistance r est bien inférieure à R) on
peut alors écrire, pour tout instant t en considérant que la tension d’alimentation passe de la
valeur E à 0V à un instant qui est choisi pour origine des temps :
U L + U R + UC = 0
On peut remplacer ces tensions par :
UL = L*
di
dt
, U R = R * i , UC =
q
C
On obtient alors l’équation du circuit suivante :
L*
di
q
+ R *i + = 0
dt
C
Avec de plus pour l’expression du courant :
i=
dq
dt
On dérive par rapport au temps notre relation précédente :
L*
d ²i
di i
+ R* + = 0
dt ²
dt C
L’intensité i du courant traversant le circuit RLC série sera solution de l’équation
différentielle linéaire.
On a alors différents cas :
-
Circuit pour lequel R ≈ 0
L’équation se réduira alors à :
L*
d ²i i
+ = 0 soit
dt ² C
d ²i
i
+
= 0
dt ² L * C
La solution de cette équation sera alors :
i (t ) = î*cos(ω t+φ ) avec ω =
1
L*C
Avec î et Φ qui dépendront uniquement des conditions initiales.
On obtient donc alors un courant d’intensité sinusoïdale qui s’établit dans le circuit.
On peut définir sa fréquence ainsi :
f =
-
ω
1
=
2* Π
2* Π * L * C
Circuit pour lequel R n’est pas négligeable
Deux cas sont alors envisageables suivant la valeur de R :
 Si R < 2*
L
C
L’intensité i du courant est alors donnée par l’équation suivante :
i = A * e − k *t *cos(ω t + ϕ )
R
Avec k =
2L
et ω =
1
LC
 R 
−

 2* L 
2
L’intensité i se présentera alors sous la forme d’oscillations pseudopériodiques
exponentiellement amorties.
 Si R ≥ 2*
L
C
L’intensité i du courant est alors donnée par l’équation suivante :
i = B1 * e k1*t + B2 * e k2 *t
k1 et k2 dépendront alors des valeurs de R, L, C, tandis que B 1 et B2 seront des
constantes fixées par les conditions initiales.
Le régime est alors apériodique : l’intensité i tend vers 0, sans osciller et d’autant plus
lentement que la résistance R est importante.
On peut alors chercher la fréquence de résonance d’un circuit RLC série en régime
sinusoïdal forcé. Pour cela, on cherche l’impédance équivalente du dipôle RLC du circuit.
1 

Z éq = R * j  L * ω −

C *ω 

On introduit alors le facteur de qualité et la pulsation propre du circuit. En effet pour
un circuit RLC, on a :
ω0=
1
L *C
et Q =
L *ω 0
1
=
R
R * C *ω 0
On obtient donc :

 ω ω0
Z éq = R *  1 + j * Q * 
−
 

ω0 ω 

On peut alors introduire la pulsation réduite x =
ω
:
ω0

1 

Z éq = R *  1 + j * Q *  x −  
x 


Enfin, on peut déterminer ensuite la réponse du dipôle au signal sinusoïdal
e(t ) = em *cos ( ω * t ) .
La réponse en intensité est de la forme i (t ) = im *cos ( ω * t + Φ
em = Z éq * im
im = im =
⇒
im =
em
Z éq
em
2

1 

R *  1 + Q²  x −  

x  


i
).
On pose alors :
1

f ( x) = 1 + Q ² *  x − 
x

2
Les extremums de im correspondront aux extremas de f(x) :
f '( x) = 2* Q ² * x −
2Q ²
= 0 ⇒
x3
x−
1
= 0 ⇒
x3
x = 1 car x réel positif
Ainsi, si ω0=ω, on se trouve à la résonance.
Pour se placer à la résonance, on peut par exemple se placer à al fréquence pour
laquelle on observe l’intensité maximale avec un moultimètre. La précision de cette mesure
va dépendre grandement du facteur de qualité du circuit.
Plus Q sera grand, et plus la résonance sera marquée.
On peut trouver une autre méthode pour se situer à la résonance :
Φ i = arg ( im )
2

1 
 em 

= arg   − arg  1 + Q ² *  x −  

x 

 R


A la résonance, e(t) et i(t) sont en phase :
sin ( Φ
i
)=

1 

 Q * x − x  



−
si x = 1, sin ( Φ
1

1 + Q² *  x − 
x

i
)=
0 ⇒
2
Φi= 0
Ainsi en visualisant la tension aux bornes du GBF et la tension aux bornes de la
résistance à l’oscilloscope en Lissajoux, et lorsque l’on aura une droite, l’on se trouvera à la
résonance.
Dans la pratique, nous rencontrons souvent des circuits composés seulement d’un
élément réactif et d’une résistance. Par exemple les moteurs qui sont composés
d’enroulements réalisés avec du fil de cuivre peuvent être représentés par une résistance
montée en série avec une inductance. La résistance représente alors la valeur résistive du fil
de cuivre, et l’inductance la bobine réalisée avec le fil de cuivre. D’autres exemples peuvent
également être rencontrés : ballast pour tubes fluorescents, transformateurs,…
Les récepteurs capacitifs sont plus rares, mais ils peuvent également être rencontrés.
En électronique, les circuits RC et RL série sont très couramment utilisés. Dans les
amplificateurs, ils servent à filtrer certaines fréquences (égaliseur, contrôle de tonalité,
télévision, hauts parleurs, …).