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Transcription

FAMILLES GÉ
ENÉ
ERATRICES
Cours donnée à
a l’éecole d’éetée Erasmus de Samos en 1990
MARC CHAPERON
Universitée Paris 7
1
2
AVERTISSEMENT
Ce texte, d’abord paru en 1993 sous la forme d’une publication Erasmus, reproduit
sans grand changement un cours donnée lors d’une éecole d’éetée organiséee àa Samos en
1990.
Son contenu réesulte d’un effort d’adaptation àa un auditoire composée pour moitiée
d’éetudiants en physique et en géenéeral nanti d’une trèes mauvaise formation en calcul
infinitéesimal et en géeoméetrie difféerentielle ; ainsi, ne supposant aucune connaissance
dans ce dernier domaine, j’ai en outre succombée àa la tentation de préesenter d’abord
rapidement le calcul difféerentiel “àa la Henri Cartan”, qui a marquée ma géenéeration.
Ce texte devrait donc êetre accessible àa un trèes bon éetudiant de troisièeme annéee
ou àa un bon éetudiant de quatrièeme annéee, voire àa un éetudiant méediocre de cinquièeme
annéee ; c’est ce qui justifiait pour moi sa publication.
Je remercie Françcoise Delon d’avoir bien voulu, aprèes les consultations d’usage,
partager ce jugement et accepter l’ouvrage aux Publications de l’Universitée Paris 7.1
Ma reconnaissance va aussi àa Spyros Pnevmatikos, organisateur de l’éecole d’éetée
de Samos, et àa Michèele Audin et Chris Golée, dont les remarques m’ont aidée àa améeliorer la version primitive.
1
Un remords tardif, dont je la prie de m’excuser, m’a fait juger suffisant de le “mettre sur le
web” en attendant que Panoramas et synthèeses publie un texte plus complet sur la question.
i
Marc Chaperon
ii
PRÉ
EFACE
Connues depuis fort longtemps, les fonctions géenéeratrices jouent par exemple un rôole
essentiel dans la théeorie de Hamilton-Jacobi. Aprèes un moment d’oubli, elles ont fait
un retour en force dans des domaines assez variées des mathéematiques : éequations
aux déerivéees partielles (travaux de Maslov, Höormander, Sato, Kawai et Kashiwara),
systèemes dynamiques (“courbes” invariantes d’Aubry-Mather) et géeoméetrie symplectique globale, point sur lequel nous mettrons l’accent dans ce cours.
Dans le discours des grands ancêetres, la distinction entre local et global restait
souvent assez floue. Or, bien que toute transformation canonique admette localement
des fonctions géenéeratrices, l’existence globale de celles-ci est assez exceptionnelle tout
en préesentant beaucoup plus d’intéerêet. La question se posait donc de savoir par quoi
les remplacer lorsqu’elles cessent d’exister.
Nous allons voir que cette question admet dans de nombreux cas une réeponse
trèes simple, si simple qu’on aurait tout aussi bien pu l’obtenir un sièecle plus tôot : il
suffit “d’ajouter des variables” (en nombre fini) et de considéerer des familles (dites
aussi phases) géenéeratrices. Comme souvent en géeoméetrie algéebrique et en théeorie
des singularitées, on regarde donc les objets “singuliers” comme des sections d’objets
“réeguliers” de dimension plus grande.
L’exposée s’organise comme suit : aprèes un chapitre de rappels et de compléements
viennent l’éenoncée et la preuve du théeorèeme principal, affirmant l’existence de familles
géenéeratrices pour une large classe de transformations canoniques. Dans le troisièeme
et dernier chapitre, on déeduit des bonnes propriéetées des familles géenéeratrices ainsi
construites un assez grand nombre de corollaires en géeoméetrie symplectique globale,
tous inconnus il y a huit ans : ce sont les réeponses apportéees par Conley, Zehnder,
Hofer, Laudenbach, Sikorav, Viterbo et l’auteur àa des questions poséees par Arnold
et Weinstein.
Comme beaucoup d’idéees simples, celle que nous exposons ici n’a revêetu que
peu àa peu sa forme déefinitive : si la construction qui aboutit au théeorèeme principal
est due àa l’auteur [3,4], il a fallu la sagacitée de Sikorav [13] et de Tchekanov pour la
formuler (suivant Weinstein) en termes de familles géenéeratrices ; l’idéee d’en déeduire le
iii
Marc Chaperon
théeorèeme de Hofer-Sikorav est éegalement due àa Tchekanov, sans qui notre théeorèeme
principal ne méeriterait donc pas son qualificatif.
Il va de soi que nous ne préetendons nullement rendre compte de tous les réesultats
réecents en géeoméetrie symplectique globale : l’extraordinaire percéee de Gromov [9]
reste éetrangèere àa notre propos, ainsi que le travail considéerable de Floer [8], où
u
la mise en œuvre d’idéees de déepart trèes simples requiert des prouesses techniques
déepassant de beaucoup le niveau de ce cours.
Note (1995). Le sujet ayant un peu éevoluée en cinq ans, la bibliographie initiale est
suivie de quelques réeféerences suppléementaires assorties d’un bref commentaire.
iv
1. - RAPPELS ET COMPLÉ
EMENTS
Ce chapitre préesente rapidement quelques faits essentiels sur le calcul infinitéesimal ; pour plus de déetails, le lecteur pourra par exemple consulter Calcul difféerentiel
d’Henri Cartan, Fondements de l’Analyse moderne (Eléements d’Analyse, tome 1) de
Jean Dieudonnée ou Real Analysis de Serge Lang.
1.1
Applications liné
eaires continues
Si u est linéeaire, nous noterons souvent u · v ou u v au lieu de u(v) − non par
pur snobisme, mais pour mettre l’accent sur le fait que l’application (u, v) → u(v)
est bilinéeaire, c’est-àa-dire se comporte àa bien des éegards comme un produit (ni
commutatif, ni associatif ! quand u est une application linéeaire de Rn dans Rp , le
produit en question est simplement le produit d’une matrice àa n colonnes et p lignes
par une matrice-colonne àa n lignes).
1.1.1 Espaces normé
es
Un espace normée réeel (resp. complexe) est un espace vectoriel réeel (resp. complexe)
éequipée d’une norme, c’est-àa-dire d’une fonction réeelle v → |v| sur E telle que, pour
tout choix de v, w ∈ E et λ ∈ R (resp. λ ∈ C),

|v|






≥ 0 , et |v| = 0 si et seulement si v = 0
|λv| = |λ| · |v|
|v + w| ≤ |v| + |w| (inéegalitée triangulaire).
On dit que E est un espace de Banach quand c’est un espace normée complet, c’estàa-dire que toute suite de Cauchy dans E est convergente − on rappelle qu’une suite
(xn ) converge vers x (resp. est de Cauchy) si, pour tout ε > 0, l’ensemble des n
véerifiant |xn − x| ≥ ε (resp. l’ensemble des (n, p) véerifiant |xn − xp | ≥ ε) est fini.
Une application f de E dans un autre espace normée est dite continue quand, pour
toute suite (xn ) dans E qui converge vers un x ∈ E, la suite (f (xn )) converge vers
f (x).
1
Marc Chaperon
1.1.2 Espaces d’applications liné
eaires continues
Soient E et F deux espaces normées sur K = R ou C.
(i) Une application linéeaire u : E → F est continue si et seulement s’il existe une
constante c ≥ 0 telle que, pour tout x ∈ E, on ait |u · x| ≤ c|x|. Une application
linéeaire continue est donc uniforméement continue.
(ii) Les applications linéeaires continues de E dans F forment un K – espace vectoriel
L(E, F ), qui devient un K – espace normée si l’on déefinit |u|, pour u ∈ L(E, F ),
comme le plus petit c véerifiant (i).
(iii) Si F est complet, il en va de mêeme de L(E, F ).
(iv) Toute application linéeaire u d’un espace normée E de dimension finie dans un
espace normée F est continue.
Rappelons que l’adhéerence X d’une partie X de l’espace normée E est le plus petit
fermée contenant X, c’est-àa-dire l’ensemble des limites de suites dans X qui convergent dans E.
1.1.3 Lemme de prolongement
Soient X un sous-espace vectoriel de E, et F un espace de Banach. Alors X est un
espace vectoriel et toute u ∈ L(X, F ) est la restriction àa X d’une unique application
continue u : X → F ; celle-ci est linéeaire, de mêeme norme que u.
1.1.4 Application : inté
egrale des fonctions continues
Notations et dé
efinitions On se donne un intervalle compact I = [a, b] et un
espace de Banach E ; on note B = B(I, E) l’espace des fonctions bornéees sur I
àa valeurs dans E, muni de la norme de la convergence uniforme (ou norme L∞ )
|f |∞ = supx∈I |f (x)| qui en fait un espace de Banach, et S = S(I, E) le sous-espace
vectoriel de B formée des fonctions en escalier, déefinies comme suit : on a f ∈ S si
et seulement s’il existe k ∈ N, a0 , · · · , ak+1 ∈ I avec a = a0 ≤ · · · ≤ ak+1 = b et
v0 , · · · , vk ∈ E tels que f (t) = vj pour tout t ∈]aj , aj+1 [ et tout j ∈ {0, · · · , k}. On
dit alors que (a0 , · · · , ak+1 ) est une subdivision de I adaptéee àa f ; l’intéegrale de f de
a àa b
(1)
J (f ) =
b
f (t) dt =
a
k
(aj+1 − aj ) vj ∈ E
j=0
ne déepend que de f , et non du choix de cette subdivision. On voit facilement que
(1) déefinit une application J ∈ L(S, E), de norme b − a.
Soit C(I, E) le sous-espace fermée de B formée des applications continues de I
dans E. Les fonctions en escalier préesentent un intéerêet limitée, mais toute f ∈ C(I, E)
est la limite uniforme d’une suite (fn ) àa valeurs dans S(I, E) (cela réesulte de la
2
Familles géenéeratrices en géeoméetrie symplectique
continuitée uniforme de f ) ; en d’autres termes, C(I, E) est inclus dans l’espace S
des fonctions réegléees sur I àa valeurs dans E.
En appliquant le lemme de prolongement àa J ∈ L(S, E), on obtient une ap
plication linéeaire de norme b − a de S dans E, encore notéee J : f → ab f (t) dt et
appeléee intéegrale de a àa b.
Etant donnéee f dans S(I, E) (resp. C(I, E)), sa restriction àa un intervalle
compact J = [c, d] ⊂ I appartient àa S(J, E) (resp. C(J, E)), et l’intéegrale de c àa d
de ladite restriction est notéee cd f (t) dt. On note dc f (t) dt = − cd f (t) dt.
Thé
eorè
eme
(i) Pour a ≤ c ≤ b et f ∈ S(I, E), ab f (t) dt = ac f (t) dt + cb f (t) dt.
(ii) Si E = R, l’intéegrale d’une fonction continue positive f est positive ; pour a < b,
on a alors ab f (t) dt = 0 si et seulement si f est identiquement nulle.
(iii) Pour a < b, on déefinit une norme f → |f |1 sur C(I, E), la norme L1 , par
|f |1 = ab |f (t)| dt. D’aprèes (1) , on a |f |1 ≤ (b − a)|f |∞ .
(iv) Pour chaque espace de Banach F , chaque A ∈ L(E, F ) et chaque f ∈ S(I, E),
on a A◦f ∈ S(I, F ) et ab A · f (t) dt = A · ab f (t) dt.
Fonctions continues par morceaux On dit que f : I → E est continue par
morceaux quand il existe une subdivision (a0 , · · · , an ) de I et, pour 0 ≤ j < n,
une fj ∈ C([aj , aj+1 ], E) telles que f (t) = fj (t) pour tout t ∈]aj , aj+1 [. Tous les
réesultats de ce paragraphe sont vrais pour les fonctions continues par morceaux (on
le voit en les appliquant aux fj ) − elles sont d’ailleurs réegléees − mais il faut parler
de semi-norme L1 : une fonction continue par morceaux nulle sauf en un nombre
fini de points a une intéegrale nulle.
1.2
Calcul diffé
erentiel à
a une variable
1.2.1 Chemins diffé
erentiables
Soit E un espace normée. Un chemin (les méecaniciens parleraient plutôot de mouvement) dans une partie A de E est une application continue γ d’un intervalle réeel
(pas forcéement ouvert) J dans A. Lorsque J est un intervalle compact [a, b], on dit
que γ est un arc, d’origine γ(a) et d’extréemitée γ(b) (ou arc joignant γ(a) àa γ(b)
dans E).
Un tel chemin γ est difféerentiable au point t ∈ J si (γ(s) − γ(t))/(s − t) tend
vers une limite γ (t) − appeléee déerivéee (ou vitesse) de γ au point (ou au temps)
t − quand s ∈ J tend vers t. En termes imagées, si l’on regarde au microscope le
graphe de γ au voisinage de (t, γ(t)), ce que l’on voit ressemble éenorméement àa une
droite : le graphe de la fonction linéeaire T → γ (t)T . De manièere préecise, regarder
3
Marc Chaperon
R × E au microscope en se centrant en (t, γ(t)) et avec le grossissement 1/ε consiste
àa éecrire chaque point (t, y) de R × E sous la forme (t + εT, γ(t) + εY ) ; dans ces
nouvelles coordonnéees, l’éequation y = γ(t) se lit Y = (γ(t + εT ) − γ(t))/ε, qui tend
vers Y = γ (t)T quand ε tend vers 0.
Le chemin γ est dit difféerentiable quand il est difféerentiable en tout t ∈ J. Si
de plus sa derivéee (ou vitesse) γ : t → γ (t) est continue, alors γ est un chemin (de
classe) C 1 .
Par exemple, une fonction affine, c’est-àa-dire de la forme t → αt + β (α, β ∈ E), est
C 1 sur R et sa déerivéee est la fonction partout éegale àa α.
On dit qu’un chemin γ : [a, b] → E est C 1 par morceaux lorsqu’il existe une subdivision t0 = a < t1 < · · · < tn+1 = b telle que γ soit C 1 sur chacun des intervalles
[tj , tj+1 ] ; la déerivéee γ est alors bien déefinie et continue, sauf éeventuellement aux
points tj . On notera γ toute application de [a, b] dans E qui est la déerivéee de γ sur
chacun des ]tj , tj+1 [ (et prenant des valeurs arbitraires aux points où
u γ n’est pas
1
déerivable). Plus géenéeralement, on dit qu’un chemin γ : J → E est C par morceaux
lorsque c’est le cas de sa restriction àa tout [a, b] ⊂ J.
1.2.2 Thé
eorè
eme fondamental du calcul infinité
esimal
Soient I un intervalle et E un espace de Banach.
(i) Pour toute fonction continue par morceaux g : I → E et tout a ∈ I, l’appli
cation G : t → at g(s) ds est continue. En outre, pour tout intervalle J ⊂ I ne
contenant pas de discontinuitée de g, G|J est de classe C 1 et a pour déerivéee g|J .
(ii) Soit γ : I → E un chemin C 1 par morceaux ; quels que soient a, b ∈ I,
γ(b) − γ(a) =
b
γ (t) dt (formule de la moyenne).
a
1.2.3 Applications biliné
eaires continues et inté
egration par parties
Etant données trois espaces vectoriels E1 , E2 , F , rappelons que B : E1 × E2 → F
est bilinéeaire quand elle est linéeaire par rapport àa chaque variable ; elle est alors
nulle sur E1 × {0} et {0} × E2 , donc en (0, 0). On munit E1 × E2 de la norme
|(x, y)| = max{|x|, |y|}.
Applications biliné
eaires continues Soient E1 , E2 , F, G quatre espaces normées
sur K = R ou C.
(i) Une application bilinéeaire B : E1 × E2 → F est continue si et seulement s’il
existe une constante c ≥ 0 telle que, pour tout (x1 , x2 ) ∈ E1 × E2 , on ait
|B(x1 , x2 )| ≤ c |x1 | |x2 |.
4
(ii) Les applications bilinéeaires continues de E1 × E2 dans F forment un K – espace
vectoriel L(E1 , E2 ; F ), qui devient un K – espace normée si l’on déefinit |B|, pour
B ∈ L(E1 , E2 ; F ), comme le plus petit c véerifiant (i).
(iii) On déefinit une isomé
etrie linéeaire de L(E1 , E2 ; F ) sur L(E1 , L(E2 , F )) par
∀B ∈ L(E1 , E2 ; F ) ∀(v1 , v2 ) ∈ E1 × E2
[( · B)(v1 )](v2 ) = B(v1 , v2 ) .
(iv) Quelles que soient u ∈ L(F, G) et B ∈ L(E1 , E2 ; F ), on a |u◦B| ≤ |u| |B|.
(v) Si F est complet, il en va de mêeme de L(E1 , E2 ; F ).
(vi) Si E1 et E2 sont de dimension finie, toute application bilinéeaire B : E1 ×E2 → F
est continue.
Dé
erivé
ee d’un produit Soient E1 , E2 , F normées et B ∈ L(E1 , E2 ; F ) ; pour tout
chemin γ : s → (γ1 (s), γ2 (s)) dans E1 × E2 difféerentiable au point t, le chemin B ◦γ
dans F l’est aussi, et
(B ◦γ) (t) = B(γ1 (t), γ2 (t)) + B(γ1 (t), γ2 (t)) ;
si l’on note B comme un produit (rarement commutatif ou associatif) B(v1 , v2 ) =
v1 · v2 , cette formule prend la forme plus familièere
(γ1 · γ2 ) (t) = γ1 (t) · γ2 (t) + γ1 (t) · γ2 (t) .
(2)
Elle implique que B ◦γ = γ1 ·γ2 est C 1 (resp. C 1 par morceaux) quand γ l’est − c’estàa-dire quand γ1 et γ2 le sont − et que (γ1 · γ2 ) est alors donnéee par (2) .
La preuve est la mêeme que pour les produits “classiques”.
Inté
egration par parties Soient E1 , E2 , F normées et B ∈ L(E1 , E2 ; F ) ; comme
préecéedemment, on note B comme un produit B(v1 , v2 ) = v1 · v2 . Quels que soient
les chemins C 1 par morceaux γ1 : J → E1 , γ2 : J → E2 et a, b ∈ J,
b
a
γ1 (t) ·
γ2 (t) dt
= γ1 (b) · γ2 (b) − γ1 (a) · γ2 (a) −
b
a
γ1 (t) · γ2 (t) dt .
Déemonstration Il suffit d’éecrire la formule de la moyenne pour γ1 · γ2 entre a
et b (en appliquant le réesultat préecéedent) et d’utiliser la linéearitée de l’intéegrale.
Déefinissons inductivement un chemin C k+1 , k ≥ 1, comme un chemin C 1 dont la
déerivéee est de classe C k . Pour 0 ≤ j ≤ k, la déerivéee (j + 1)-ièeme γ (j+1) d’un tel
chemin γ est γ si j = 0 et (γ (j) ) sinon. Quand γ est C k pour tout k, il est dit C ∞ ,
ou lisse.
5
Marc Chaperon
1.2.4 Ouverts connexes dans les espaces normé
es
Notations et dé
efinitions Soit S une partie d’un espace normée E. On dit qu’un
arc γ joint a àa b dans S quand c’est un arc àa valeurs dans S, d’origine a et d’extréemitée
b.
Un arc γ : [α, β] → E est dit affine par morceaux (“ligne briséee”) quand il
existe t0 = α < t1 < · · · < tn+1 = β tels que γ soit affine sur chacun des intervalles
[tj , tj+1 ].
On dit que S est connexe par arcs (resp. arcs affines par morceaux , arcs C ∞ )
lorsque, quels que soient a, b ∈ S, il existe un arc (resp. une ligne briséee, un arc C ∞ )
qui les joint dans S.
Rappelons qu’un ouvert de E est une partie U de E qui ne peut contenir un
point a sans contenir une boule ouverte Br (a) := {x : |x − a| < r} (il revient au
mêeme de dire que E \ U est fermée). On dit que l’ouvert S est connexe s’il n’est
pas réeunion de deux ouverts disjoints non vides (déefinition qui vaut pour une partie
S quelconque àa condition d’appeler “ouvert” de S l’intersection avec celle-ci d’un
ouvert de E).
Les parties connexes de R sont les intervalles.
Thé
eorè
eme Soit U un ouvert de E ; les propriéetées suivantes sont éequivalentes :
(i) U est connexe ;
(ii) U est connexe par arcs affines par morceaux ;
(iii) U est connexe par arcs C ∞ .
1.3
Applications diffé
erentiables
Dans toute cette section, E et F sont deux espaces normées, U un ouvert de E et f
une application de U dans F .
Notations de Landau Etant données deux espaces normées E et F , soit ϕ une
application àa valeurs dans F , déefinie dans l’intersection d’un ouvert U 0 de E et
de E \{0} ; pour k ∈ N, on note alors ϕ(h) = o(|h|k ) quand limh→0 |h|−k ϕ(h) = 0, et
ϕ(h) = O(|h|k ) quand il existe un ouvert U1 ⊂ U contenant 0 tel que h → |h|−k ϕ(h)
soit bornéee sur U1 \ {0}.
1.3.1 Dé
efinition
On dit que f est difféerentiable au point a ∈ U lorsque “son graphe, regardée au
microscope en se centrant en (a, f (a)), tend vers celui d’une application linéeaire
continue Df (a) de E dans F quand le rapport de grossissement 1/ε tend vers
6
l’infini”. De manièere préecise, regarder E×F au microscope en se centrant en (a, f (a))
et avec le grossissement 1/ε consiste àa éecrire chaque point (x, y) de E × F sous la
forme (a + εX, f (a) + εY ) ; l’éequation y = f (x) se lit alors Y = (f (a + εX) − f (a))/ε.
Dire que f est difféerentiable au point a signifie donc
− que, pour tout X ∈ E, la déerivéee directionnelle
f (a + εX) − f (a)
ε→0
ε
de f suivant le vecteur X au point a existe ;
− que ∂X f (a) = Df (a) · X : on dit que Df (a) (aussi notéee f (a), Ta f ou df (a))
est la difféerentielle (ou déerivéee) au sens de Gâateaux de f au point a ;
− que la limite (3) est atteinte de manièere uniforme par rapport àa X au voisinage
de X = 0, ce qui s’éecrit
(3)
(4)
∂X f (a) := lim
f (a + h) − f (a) − Df (a) · h = o(|h|) ;
on dit que Df (a) est la difféerentielle (dite aussi application linéeaire tangente ou
déerivéee) de f au point a. On notera que l’existence de Df (a) ∈ L(E, F ) véerifiant (4)
implique les deux propriéetées qui la préecèedent (existence de déerivéees directionnelles
et difféerentiabilitée au sens de Gâateaux en a) et peut donc êetre prise comme déefinition
de la difféerentiabilitée de f en a ; la version “Gâateaux” montre l’unicitée de Df (a).
Enfin, (4) entraı̂ıne que f est continue en a.
Si E = R, f est difféerentiable au point a en ce nouveau sens si et seulement si elle l’est
au sens de 1.2.1, et Df (a) · X = X f (a). Cela justifie que l’on parle de “déerivéee”
aussi bien que de difféerentielle, f (a) éetant l’image de Df (a) par l’isomorphisme
canonique u → u(1) de L(R, F ) sur F ; cependant, dèes que E est de dimension au
moins 2, l’espace L(E, F ) où
u habite Df (a) n’est pas l’espace F où
u vit f (a) ; par
n
p
exemple, si E = R et F = R , l’espace L(E, F ) est l’espace des matrices n × p,
qui est de dimension np.
Si F est le produit F1 × · · · × Fp de p espaces normées, f est difféerentiable au
point x si et seulement si ses composantes f1 : U → F1 , . . . , fp : U → Fp le sont, et
dans ce cas
(5)
Df (x) · h = (Df1 (x) · h, . . . , Dfp (x) · h) .
1.3.2 Dé
erivé
ee d’une fonction composé
ee (“chain rule”)
Soient X un ouvert d’un troisièeme espace normée et g : X → E ; si g est difféerentiable
au point a ∈ X et que f est difféerentiable au point g(a), alors f ◦g est difféerentiable
au point a, et D(f ◦g)(a) = Df (g(a))◦Dg(a).
7
Marc Chaperon
Cas particulier Si γ : J → U est un chemin difféerentiable au temps t et que f
est difféerentiable en γ(t), alors f ◦γ est difféerentiable au temps t et
(6)
(f ◦γ) (t) = Df (γ(t)) · γ (t).
1.3.3 Dé
erivé
ees partielles Si E = Rn , la déerivéee (si elle existe) de f au point
a = (a1 , . . . , an ) ∈ U suivant le j–ièeme vecteur de la base canonique est notéee ∂j f (a)
et appeléee déerivéee partielle de f au point a suivant le j–ièeme facteur. C’est donc la
déerivéee au point aj de x → f ((am )1≤m<j , x, (am )j<m≤n ).
Plus géenéeralement, lorsque E est le produit E1 ×· · ·×En de n espaces normées, sa
déerivéee partielle ∂j f (a) au point a = (a1 , . . . , an ) ∈ U suivant le j–ièeme facteur est
la déerivéee au point aj ∈ Ej (si elle existe) de x → f ((am )1≤m<j , x, (am )j<m≤n ) ; c’est
donc un éeléement de L(Ej , F ). Chaque application x → ((am )1≤m<j , x, (am )j<m≤n )
éetant affine et continue, on voit facilement que si f est difféerentiable au point a, les
déerivéees partielles ∂1 f (a), . . . , ∂n f (a) existent, et
(7)
Df (a) · (h1 , . . . , hn ) =
n
∂j f (a) · hj .
j=1
On déeduit de (5) et (7) que, si E = Rn et F = Rp , la matrice de Df (a) est


∂1 f1 (a) · · · ∂n f1 (a)


..
..
..

 ;
.
.
.


∂1 fp (a) · · · ∂n fp (a)
c’est la matrice jacobienne de f au point a.
1.3.4 Applications diffé
erentiables f est dite difféerentiable quand elle l’est en
tout point de U ; lui est alors associéee sa difféerentielle (ou déerivéee) Df : U →
L(E, F ) − bien sû
ur, c’est l’application x → Df (x). Lorsque f est difféerentiable et
Df continue, f est dite continû
ument difféerentiable, ou (de classe) C 1 .
Composition de fonctions C 1 Etant données un ouvert U1 d’un troisièeme espace
normée E1 et une application g : U1 → E de classe C 1 , si f est C 1 , l’application
f ◦g : g −1 (U ) → F est C 1 (rappelons que sa déerivéee est x → Df (g(x))◦Dg(x)).
1.3.5 Inté
egrale curviligne Si λ est une forme de Pfaff sur U àa valeurs dans
F , c’est-àa-dire une application continue de U dans L(E, F ), on déefinit l’intéegrale
(curviligne) de λ le long d’un arc C 1 par morceaux γ : [α, β] → U par
β
λ :=
γ
α
λ(γ(t)) · γ (t) dt .
8
La formule de la moyenne (“plusieurs” variables) Soit γ un arc C 1 par
morceaux joignant deux points a et b dans U ; si f est C 1 , alors γ df = f (b) − f (a).
Corollaire (iné
egalité
e des accroissements finis) Si f est C 1 , on a |f (b) −
f (a)| ≤ (γ) |(Df )◦γ|∞ pour tout arc C 1 par morceaux γ joignant a àa b dans U ; en
particulier, si U contient le segment [a, b] := {a + t(b − a) : 0 ≤ t ≤ 1},
|f (b) − f (a)| ≤ |b − a| sup |Df (x)| .
x∈[a,b]
1.3.6 Critè
eres pour que f soit C 1
Les propriéetées suivantes sont equivalentes :
(i) f est C 1 ;
(ii) il existe une application continue α : U → L(E, F ) telle que, pour tout chemin
γ de classe C 1 dans U , le chemin f ◦γ soit difféerentiable et ait pour déerivéee
(f ◦γ) (t) = α(γ(t)) · γ (t) (f ◦γ est donc C 1 ) ;
(iii) f est C 1 au sens de Gâateaux : il existe une application continue α : U → L(E, F )
telle que, pour tout a ∈ U et tout X ∈ E, la déerivéee directionnelle ∂X f (a) existe
et soit éegale àa α(a) · X ;
(iv) (si E est de dimension finie et que (e1 , · · · , en ) en est une base) les applications
∂ej f : U → F , 1 ≤ j ≤ n, existent et sont continues.
Dans (iv), la déerivéee de f est donnéee par Df (a)(
et (iii), Df = α.
X j ej ) =
X j ∂ej f (a) ; dans (ii)
(iv) réesulte du théeorèeme suivant :
Thé
eorè
eme Si E est le produit de n espaces normées E1 , . . . , En , f est C 1 si et
seulement si ses déerivéees partielles ∂j f : U → L(Ej , F ), 1 ≤ j ≤ n, existent et sont
continues (rappelons que Df est alors donnéee par (7) ).
1.3.7 Suites de fonctions C 1
Soit (gn ) une suite d’applications C 1 de U (supposée connexe) dans F (supposée
complet), posséedant les deux propriéetées suivantes :
(i) il existe a ∈ U tel que la suite (gn (a)) soit convergente, de limite ∈ F ;
(ii) tout b ∈ U est contenu dans un ouvert Ωb ⊂ U où
u la suite (Dgn ) converge
uniforméement ; en particulier, (Dgn ) converge simplement vers une application
continue α : U → L(E, F ).
Alors (gn ) converge simplement vers une application g : U → F de classe C 1 telle
que Dg = α ; en outre, tout b ∈ U appartient àa un ouvert Ωb où
u la suite (gn ) converge
uniforméement vers g.
9
Marc Chaperon
Convergence C 1 Sous les hypothèeses du théeorèeme, on dit que la suite (gn ) converge au sens C 1 dans U .
1.3.8 Applications C 1 et applications lipschitziennes
Dé
efinitions On dit que f est lipschitzienne s’il existe c ≥ 0 tel que |f (y)−f (x)| ≤
c |y − x| quels que soient x, y ∈ U (f est donc continue). Le plus petit de ces c est la
constante de Lipschitz Lip(f ) de f . Par exemple, la norme de E est lipschitzienne, de
constante de Lipschitz 1 (d’aprèes l’inéegalitée triangulaire). Il est commode de dire que
Lip(f ) = ∞ lorsque f n’est pas lipschitzienne, ce qui permet de parler de constante
de Lipschitz dans tous les cas.
f est dite localement lipschitzienne quand tout point de U est le centre d’une
boule ouverte B ⊂ U telle que f |B soit lipschitzienne. Une application lipschitzienne
est donc localement lipschitzienne.
On dit de mêeme qu’une application g de U dans un espace normée est localement
bornéee quand tout point de U est le centre d’une boule ouverte B ⊂ U telle que g|B
soit bornéee. Par exemple, une application continue est localement bornéee.
Deux normes sur un mêeme espace vectoriel sont dites éequivalentes quand elles
déefinissent les mêemes suites convergentes, c’est-àa-dire quand l’identitée est une application continue de chacun des deux espaces normées considéerées dans l’autre. D’aprèes
1.1.2 (i), les notions d’application lipschitzienne, localement lipschitzienne, bornéee ou
localement bornéee sont donc invariantes si l’on remplace les normes par des normes
éequivalentes (mais les constantes de Lipschitz et les normes L∞ , elles, varient).
Enfin, une partie de E est convexe quand elle est “connexe par arcs affines”,
c’est-àa-dire quand elle ne peut pas contenir deux points sans contenir le segment qui
les joint.
Thé
eorè
eme
(i) Si f est difféerentiable au point a, on a |Df (a)| ≤ Lip(f ).
(ii) Si U est convexe et f de classe C 1 , alors Lip(f ) = |Df |∞ .
(iii) Si f est de classe C 1 , elle est localement lipschitzienne.
1.4
Dé
erivé
ees d’ordre supé
erieur
Dans cette section, f déesigne toujours une application déefinie sur un ouvert U d’un
espace normée E, àa valeurs dans un espace normée F .
1.4.1 Applications deux fois diffé
erentiables
On dit que f est deux fois difféerentiable au point a ∈ U lorsqu’elle est difféerentiable
10
dans un ouvert V ⊂ U contenant a et que Df : V → L(E, F ) est elle-mêeme
difféerentiable au point a. Notons L2 (E, F ) := L(E, E; F ) l’espace des applications
bilinéeaires continues de E 2 dans F ; grâace àa l’isoméetrie canonique de L2 (E, F )
sur L(E, L(E, F )) (1.2.3), on peut identifier D(Df )(a) àa un éeléement D2 f (a) de
L2 (E, F ), la déerivéee seconde de f au point a.
Le lecteur n’aura pas manquée de remarquer que, l’isoméetrie n’éetant pas si
canonique que cela, on aurait pu déecider que D2 f (a)(v, w) = [D(Df )(a) · w] · v au
lieu de [D(Df )(a) · v] · w ; cela n’a guèere d’importance en vertu du réesultat suivant,
qui traduit infinitéesimalement le fait que f (b) − f (a) = γ df pour tout arc C 1 par
morceaux γ joignant a àa b dans U :
Thé
eorè
eme de Schwarz Si f est C 1 et deux fois differentiable au point a, sa
déerivéee seconde D2 f (a) appartient àa l’espace L2s (E, F ) des applications bilinéeaires
continues et symé
etriques de E 2 dans F .
1.4.2 Applications C k
Toute u ∈ L(E, F ) est C 1 , et Du(v) ≡ u. Donc, Du est de classe C 1 et D(Du) ≡ 0.
Une application linéeaire (ou plus géenéeralement affine) continue est donc lisse, c’estàa-dire de classe C ∞ , au sens suivant : déefinissons inductivement une application
C k+1 , k ≥ 1, comme une application C 1 dont la difféerentielle est C k ; si f est C k
pour tout k, elle est dite C ∞ ou lisse.
Si f est C k+1 , ses déerivéees successives sont déefinies inductivement par
D0 f = f
Dj+1 f = D(Dj f )
pour 0 ≤ j ≤ k.
Proposition
(i) Une application bilinéeaire B est C ∞ et DB(x, y) · (X, Y ) = B(X, y) + B(x, Y ),
[D2 B(x, y)·(X1 , Y1 )]·(X2 , Y2 ) = B(X1 , Y2 )+B(X2 , Y1 ) et Dk B = 0 pour k > 2.
(ii) Si F est le produit F1 × · · · × Fp de p espaces normées, f est C k , k > 0, si
et seulement si toutes ses composantes fj : U → Fj le sont ; dans ce cas, les
composantes de Dm f (a) sont les Dm fj (a) pour a ∈ U et 0 ≤ m ≤ k.
(iii) La composéee de deux applications C k est C k .
(iv) Si E est le produit de n espaces normées, f est C k+1 avec k > 0 si et seulement
si toutes ses déerivéees partielles sont C k .
Pour k > 0, nous avons vu que D2 f s’identifiait àa une application de U dans l’espace
L2 (E, F ) des applications bilinéeaires continues de E 2 dans F . On identifie de mêeme
Dk+1 f à
a une application de U dans l’espace Lk+1 (E, F ) des applications (k + 1)–
linéeaires continues de E k+1 dans F , et le théeorèeme de Schwarz entraı̂ıne la syméetrie
11
Marc Chaperon
des déerivéees successives : si f est C k (k > 0) et k + 1 fois difféerentiable en a ∈ U
alors, pour 1 ≤ j ≤ k, Dj+1 f est àa valeurs dans l’espace Lj+1
(E, F ) des applications
s
k+1
(j + 1)–linéeaires continues syméetriques de E
dans F .
Notations et dé
efinition Pour v ∈ E et u ∈ Lk (E, F ), il est parfois commode
d’éecrire
k fois
k fois
v = (v, ..., v) et u v = u(v, ..., v) (aussi notée u · v k ).
k
k
Si f est k fois difféerentiable au point a, on dit (en posant D0 f = f ) que
Tak f : x →
k
1 j
D f (a) · (x − a)j
j!
j=0
est son dé
eveloppement de Taylor à
a l’ordre k au point a. Si f est k + 1 fois
difféerentiable et que l’on note dg(x) = Dg(x) · dx, on a
(8)
d(Txk (b)) =
1 k+1
D (x) dx, (b − x)k ) ,
k!
pour chaque b ∈ E, d’où
u la
Formule de Taylor Si f est C k+1 (k ∈ N), pour tout arc γ joignant a àa b dans
U,
1 k+1
D f (x) (dx, (b − x)k ) ;
f (b) = Tak f (b) +
k! γ
en particulier, dèes que U contient le segment [a, a + X],
1
1 j
(1 − t)k k+1
j
f (a + X) = f (a) +
D f (a) X +
D f (a + tX) X k+1 dt .
j!
k!
0
1≤j≤k
1.4.3 Application aux extrema
Dans ce paragraphe, f est àa valeurs réeelles.
Dé
efinitions Si f est difféerentiable, un point critique de f est un b ∈ U tel que
Df (b) = 0. La fonction f a un minimum [local, ou relatif ] en a ∈ U (on dit aussi
que f est minimale au point a) quand il existe un ouvert V ⊂ U contenant a tel que
f (a) = inf f (V ). Si l’on peut choisir un tel V de manièere que f n’y ait pas d’autre
minimum, on dit que f a un minimum strict en a.
Les maxima de f éetant les minima de −f , le lecteur pourra facilement traduire
ce qui suit en termes de maxima.
Nous dirons que u ∈ L2 (E, R) est positive si l’on a u X 2 ≥ 0 pour tout X ∈ E,
12
et déefinie positive s’il existe C > 0 tel qu’on ait u X 2 ≥ C|X|2 pour tout X ∈ E (en
dimension finie, cela coı̈ıncide avec la déefinition habituelle : la sphèere-unitée S de E
éetant alors compacte, l’application S X → u X 2 atteint son minimum C).
Thé
eorè
eme
(i) Si f est minimale au point c et que la déerivéee directionnelle ∂X f (c) existe, alors
∂X f (c) = 0 ; lorsque f est difféerentiable, c est donc un de ses points critiques.
(ii) Si f est deux fois difféerentiable au point c et y est minimale, alors D2 f (c) est
positive.
(iii) Si f est C 2 et a un point critique c où
u D2 f (c) est déefinie positive, alors c est
un minimum strict de f .
13
Marc Chaperon
14
2. - FAMILLES GÉ
ENÉ
ERATRICES
Aprèes des versions globales des classiques théeorèemes d’existence en calcul difféerentiel,
nous construisons des fonctions et familles géenéeratrices (globales). Comme dans le
chapitre préecéedent, la méethode est exposéee dans un cadre “banachique” trèes géenéeral,
où
u il me semble que la vraie nature des problèemes apparaı̂ıt mieux. J’ai conscience
d’aller ainsi àa contre-courant d’une mode actuelle, qui limite la théeorie au strict
néecessaire permettant d’aborder les petits problèemes visées : cette mode me paraı̂ıt
contraire àa l’essence mêeme des mathéematiques.
2.1
Thé
eorè
emes d’existence globale
2.1.1 Points fixes des applications lipschitziennes
Espaces mé
etriques Un espace méetrique est un ensemble E éequipée d’une distance,
c’est-àa-dire d’une fonction réeelle (x, y) → d(x, y) sur E ×E telle que, pour tout choix
de x, y, z ∈ E,

d(x, y)






≥ 0 , et d(x, y) = 0 si et seulement si x = y
d(x, y) = d(y, x)
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)| (inéegalitée triangulaire).
Toute partie d’un espace normée est un espace méetrique pour la distance d(x, y) :=
|x − y|. On voit donc comment géenéeraliser aux espaces méetriques les notions de suite
convergente, de suite de Cauchy, d’espace complet et d’application continue.
Applications lipschitziennes Etant données des espaces méetriques E, F , une
application f : E → F est lipschitzienne s’il existe c ≥ 0 tel que d(f (x), f (y)) ≤
c d(x, y) quels que soient x, y ∈ E (f est donc continue). Le plus petit de ces c
est la constante de Lipschitz Lip(f ) de f . Les autres déefinitions donnéees dans 1.3.8
s’éetendent de mêeme aux espaces méetriques. Un point fixe de u : E → E est un a ∈ E
tel que u(a) = a.
15
Marc Chaperon
Lemme de contraction Soient E un espace méetrique complet et u : E → E
une application lipschitzienne. S’il existe un entier m > 0 tel que Lip(um ) < 1,
l’application u a un unique point fixe a ∈ E et, pour tout x ∈ E, la suite un (x)
converge vers a.
Déemonstration Si a et b sont deux points fixes de u (et donc de um ), on a
d(a, b) = d(um (a), um (b)) ≤ Lip(um ) d(a, b)
et donc d(a, b) = 0, d’où
u l’unicitée. Pour l’existence, on remarque que, pour tout
n
x ∈ E, la suite u (x) est une suite de Cauchy : on a en effet
(1)
d(un (x), un+p (x)) ≤ Lip(un )d(x, up (x)) ;
si l’on éecrit n = qm + r, q ∈ N, 0 ≤ r < m, et que l’on pose c = Lip(um ), on voit
que
Lip(un ) ≤ cq Lip(ur ) ≤ cq max Lip(us )
0≤s<m
tend vers 0 quand n → ∞ ; en éecrivant de mêeme p sous la forme q m + r , on
s’aperçcoit que

d(x, up (x)) ≤ 

≤
q
−1

d(ujm (x), u(j+1)m (x)) + d(uq m (x), up (x))
j=0
q
−1

cj d(x, um (x)) + cq d(x, ur (x))
j=0
≤
d(x, um (x))
+ max d(x, us (x))
0≤s<m
1−c
est bornée, ce qui montre d’aprèes (1) que un (x) est une suite de Cauchy. Elle converge
donc vers un a, qui est un point fixe de u parce que la suite un+1 (x) converge vers a
(comme suite extraite de la préecéedente) et vers u(a) (comme image de la suite un (x)
par l’application continue u).
Contractions Ce sont les applications u véerifiant l’hypothèese du lemme préecéedent
(deux normes éequivalentes admettent donc les mêemes contractions).
Thé
eorè
eme Soient F un espace méetrique complet, Λ un espace méetrique et Φ : Λ×
F → F une application posséedant la propriéetée suivante : en notant Φλ (x) = Φ(λ, x),
il existe une constante c < 1 tels que Lip(Φλ ) ≤ c pour tout λ ∈ Λ ; si ϕ(λ) déesigne
l’unique point fixe de la contraction Φλ , λ ∈ Λ, l’application ϕ : Λ → F ainsi déefinie
possèede les propriéetées suivantes :
16
(i) Quand µ → Φµ (ϕ(λ)) est continue au point λ (ce qui est le cas si Φ est continue),
ϕ est continue au point λ.
(ii) Lorsqu’il existe un réeel majorant les constantes de Lipschitz de toutes les applications µ → Φµ (ϕ(λ)) (c’est le cas si Φ est lipschitzienne), ϕ est lipschitzienne.
Déemonstration On a
d(ϕ(λ), ϕ(µ)) = d (Φλ (ϕ(λ)), Φµ (ϕ(µ)))
≤ d (Φλ (ϕ(λ)), Φµ (ϕ(λ))) + d (Φµ (ϕ(λ)), Φµ (ϕ(µ)))
≤ d (Φλ (ϕ(λ)), Φµ (ϕ(λ))) + c d (ϕ(λ), ϕ(µ))
et donc
(2)
d(ϕ(λ), ϕ(µ)) ≤
d (Φλ (ϕ(λ)), Φµ (ϕ(λ)))
.
1−c
Notation Dans la suite, sauf mention du contraire, E et F sont des espaces de
Banach.
2.1.2 Thé
eorè
eme d’inversion globale
Etant donnéee u : E → E, si l’on a Lip(u) < 1, l’application IdE − u est bijective et
son inverse est lipschitzienne ; plus préeciséement, en posant Φy (x) = y + u(x) pour
x, y ∈ E, on a
(3)
lim Φny (a)
∀y ∈ E ∀a ∈ E (IdE − u)−1 (y) = n→∞
et Lip ( (IdE − u)−1 ) ≤ (1 − Lip(u))−1 .
Déemonstration Etant donnée y ∈ E, un point x tel que (IdE − u)(x) = y
est un point fixe de Φy , auquel il suffit donc d’appliquer le lemme de contraction
pour obtenir la bijectivitée. On voit que ϕ := (IdE − u)−1 est lipschitzienne grâace au
théeorèeme 2.1.1 (ii), et la relation (2) dans sa déemonstration entraı̂ıne alors la dernièere
inéegalitée.
Proposition Soient u et v deux applications de E dans lui-mêeme satisfaisant aux
hypothèeses du théeorèeme, et soient g = Id−u et h = Id−v. Si g−h est bornéee, il en va
de mêeme de g −1 −h−1 ; plus préeciséement, on a |g −1 −h−1 |∞ ≤ |g −h|∞ /(1−Lip(u)).
Déemonstration Etant donnée z ∈ E, posons x = g −1 (z) et y = h−1 (z). Puisque
|g − h|∞ = |u − v|∞ , et x − u(x) = y − v(y) = z, on conclut en utilisant l’inéegalitée
|x − y| = |u(x) − v(y)| ≤ |u(x) − u(y)| + |u(y) − v(y)| ≤ |x − y| Lip(u) + |g − h|∞ .
17
Marc Chaperon
2.1.3 Inversion locale des applications lipschitziennes
Lemme de prolongement lipschitzien Quels que soient a ∈ E et r > 0, la
réetraction
(4)
ρ : x →
a + r(x − a)/|x − a|
x
pour |x − a| ≥ r
pour |x − a| ≤ r
de E sur Br (a) a une constante de Lipschitz ≤ 2, éegale àa 1 si E est hilbertien. Pour
toute application f de Br (a) dans F , l’application f̃ := f ◦ρ : E → F véerifie donc
Lip(f̃ ) ≤ 2 Lip(f ), et mêeme Lip(f̃ ) = Lip(f ) si E est hilbertien.
Déemonstration On se ramèene par translation au cas où
u a = 0. Pour x, y ∈
Br (0), on a |ρ(y) − ρ(x)| = |y − x| ; pour |x| ≥ r ≥ |y|,
|ρ(y) − ρ(x)| = |y − r(x/|x|)| ≤ |y − x| + | x − r(x/|x|)| =
≤ |y − x| + |x| − r ≤ |y − x| + |x| − |y|
≤ 2|y − x|
et, dans le cas hilbertien, |ρ(y) − ρ(x)| ≤ |y − x| (exercice facile de géeoméetrie euclidienne plane) ; pour |x| ≥ |y| ≥ r, on a donc
|ρ(y) − ρ(x)| =
ry
rx ρ
−ρ
|y|
|y| ≤
ry
2 |y|
rx 2r
− =
|y − x| ≤ 2|y − x|
|y|
|y|
et de mêeme |ρ(y) − ρ(x)| ≤ (r/|y|)|y − x| ≤ |y − x| dans le cas hilbertien.
Diffé
eomorphismes Un difféeomorphisme d’un ouvert U de E sur un ouvert V de
F est une bijection h : U → V telle que h et h−1 soient localement lipschitziennes.
Par exemple, dans le théeorèeme d’inversion globale, Id − u est un difféeomorphisme
de E sur lui-mêeme.
Diffé
eomorphismes locaux et applications locales Un difféeomorphisme en a ∈
E, àa valeurs dans F , ou difféeomorphisme local (E, a) → F , est un difféeomorphisme
d’un ouvert U a de E sur un ouvert V de F . De mêeme, une application locale
(E, a) → F est une application d’un ouvert U a de E dans F . L’intéerêet de ces
déefinitions est d’alléeger les éenoncées, les ouverts n’ayant plus besoin d’êetre spéecifiées.
Thé
eorè
eme d’inversion locale lipschitzien Etant donnée un difféeomorphisme
local A : (E, a) → F , soit R : (E, a) → F une application locale lipschitzienne. Si
Lip(R|Br (a) ) tend vers 0 quand r → 0, alors A + R est un difféeomorphisme en a.
18
Déemonstration En composant A+R àa droite avec A−1 , nous pouvons supposer
que E = F et A = IdE . D’aprèes le lemme de prolongement et notre hypothèese sur
R, pour r > 0 assez petit, la composéee R̃ de R avec la réetraction ρ déefinie par (4)
est bien déefinie et a une constante de Lipschitz < 1. Le théeorèeme d’inversion globale
nous dit alors que IdE + R̃ est un difféeomorphisme ; en posant V = Br (a), il en
réesulte que (IdE + R̃)|V = (IdE + R)|V est un difféeomorphisme sur (IdE + R̃)(V ),
dont l’inverse est la restriction de (IdE + R̃)−1 .
Une “petite” perturbation locale d’un difféeomorphisme est donc un difféeomorphisme ;
naturellement, on peut améeliorer la notion de “petitesse” choisie. Ce qui préecèede a
l’avantage d’êetre trèes simple et largement suffisant dans la pratique.
2.1.4 Diffé
erentielles des diffé
eomorphismes
Soit h un difféeomorphisme d’un ouvert U de E sur un ouvert V de F .
(i) Si h est difféerentiable au point x ∈ E, alors h−1 l’est au point h(x) ; la rèegle de
déerivation d’une application composéee donne donc D(h−1 )(h(x)) = Dh(x)−1 .
(ii) Si h est C k , il en va de mêeme de h−1 .
Déemonstration En remplaçcant U et V par des ouverts plus petits, on peut
supposer h et h−1 lipschitziennes dans (i) ; posons h(x) = y et commençcons par
montrer que Dh(x) est un isomorphisme de E sur F : pour tout X ∈ E et tout
ε > 0 assez petit, on a
|h−1 (h(x + εX)) − h−1 (h(x))|
|h(x + εX) − h(x)|
≤ Lip(h−1 )
ε
ε
et donc, àa la limite, |X| ≤ Lip(h−1 ) |Dh(x) X| ; il en réesulte que Dh(x) est injective
et que Dh(x)−1 , si elle existe, est continue ; en outre, Dh(x) a une image ferméee car
si la suite (Dh(x) Xk ) converge, la suite (Xk ) est une suite de Cauchy (on le voit en
prenant X = Xk − X dans l’inéegalitée que nous venons de déemontrer). Enfin, pour
y + w ∈ V , on a
|X| =
w = h(h−1 (y + w)) − h(h−1 (y))
= Dh(x) (h−1 (y + w) − h−1 (y)) + o(|h−1 (y + w) − h−1 (y)|)
et donc, h−1 éetant lipschitzienne,
(5)
w = Dh(x) h−1 (y + w) − h−1 (y) + o(|w|) .
Pour tout Y ∈ F , en prenant w = εY (ε > 0 assez petit) dans (5) , on obtient
h−1 (y + εY ) − h−1 (y)
,
Y = lim Dh(x)
ε→0
ε
19
Marc Chaperon
ce qui prouve la surjectivitée de Dh(x) puisque son image est ferméee. Par conséequent,
Dh(x) est un isomorphisme ; en appliquant Dh(x)−1 aux deux membres de (5) , on
voit que
h−1 (y + w) − h−1 (y) − Dh(x)−1 w = o(|w|) ,
d’où
u (i). Sous l’hypothèese de (ii), on a donc D(h−1 )(y) = Dh(h−1 (y))−1 pour y ∈
h(U ) ; cette formule montre que si h−1 et Dh sont C m (m ∈ N), D(h−1 ) l’est aussi,
comme composéee de h−1 , de Dh et de l’application analytique A → A−1 ; il en réesulte
que h−1 est C m+1 , ce qui permet de prouver (ii) dans le cas C k par réecurrence.
L’exemple de x → x3 montre que le réesultat préecéedent n’est pas vrai si l’on remplace
les difféeomorphismes par des homéeomorphismes. Les difféeomorphismes jouent en
géeoméetrie difféerentielle le rôole des isomorphismes en algèebre linéeaire : ce sont les
“changements de coordonnéees admissibles”.
2.1.5 Thé
eorè
eme d’inversion locale
Soit h : (E, a) → F une application locale C k , k ≥ 1 ; si Dh(a) est un isomorphisme,
alors h est un difféeomorphisme en a et, pour tout ouvert U a de E tel que h|U
soit un difféeomorphisme sur un ouvert de F , son inverse (h|U )−1 est C k .
Déemonstration Soient A = Dh(a)et R(x) = h(x)−A(x). Pour x, x+y ∈ Bε (a)
et ε assez petit, R(x + y) − R(x) = 01 (Dh(x + ty) − Dh(a)) dt · y d’aprèes la
formule de Taylor. Par conséequent, puisque Dh est continue, les hypothèeses du
théeorèeme d’inversion locale lipschitzien sont véerifiéees par A et R, ce qui nous permet
de conclure grâace àa 2.1.4.
2.1.6 Equations diffé
erentielles
Conventions, hypothè
eses et position du problè
eme “Intervalle” signifie “intervalle réeel d’intéerieur non vide”, J déesigne un intervalle compact et E un espace
de Banach. On se donne une application continue Γ : J × E → E posséedant la propriéetée suivante : il existe une constante c ≥ 0 telle que l’on ait Lip(Γt ) ≤ c pour tout
t ∈ J (on a notée Γt (x) = Γ(t, x)). D’aprèes le théeorèeme 1.3.8 (ii), cette hypothèese est
véerifiéee lorsque ∂2 Γ : (t, x) → DΓt (x) existe, est continue et est bornéee dans J × E.
On cherche les solutions de l’éequation difféerentielle
dx
+ Γ(t, x) = 0
dt
c’est-àa-dire les chemins difféerentiables γ dans E tels que γ (t) + Γ(t, γ(t)) = 0 pour
tout t. Une solution γ de (6) est donc déefinie sur un intervalle contenu dans J ; la
(6)
20
continuitée de γ et de Γ entraı̂ınant celle de γ (t) = −Γ(t, γ(t)), toute solution de (6)
est C 1 .
Lemme Quels que soient l’intervalle compact K ⊂ J et (s, a) ∈ K × E, il existe
une unique solution γ : K → E de (6) telle que γ(s) = a.
Déemonstration Il s’agit de montrer l’existence et l’unicitée de l’application continue δ := γ : K → E véerifiant
δ(t) + Γ t, a +
(7)
t
δ(τ ) dτ
s
= 0 pour tout t ∈ K.
Or, on déefinit une contraction us,a de l’espace de Banach F = C(K, E), muni
de la norme L∞ , par
us,a (g)(t) = −Γ t, a +
t
g(τ ) dτ .
s
En effet, us,a est éevidemment une aplication de F dans lui-mêeme, et sa déefinition
implique l’inéegalitée |[us,a (h) − us,a (g)](t)| ≤ c |t − s| |h − g|∞ ; on en déeduit d’une
part (en déesignant par (K) la longueur de K) Lip(us,a ) ≤ c (K) et d’autre part
|[u2s,a (h)
−
u2s,a (g)](t)|
≤
t
c c |τ
s
− s| |h − g|∞ dτ =
c2 |t − s|2
|h − g|∞
2
d’où
u, de proche en proche,
|[uks,a (h) − uks,a (g)](t)| ≤
ck |t − s|k
|h − g|∞ ;
k!
par conséequent,
ck (K)k
k!
tend vers 0 quand k → ∞. Le lemme en réesulte car (7) exprime que δ est un point
fixe de us,a , point fixe dont l’existence et l’unicitée sont garanties par le lemme de
contraction.
(8)
Lip(uks,a ) ≤
21
Marc Chaperon
Thé
eorè
eme
(i) Quels que soient (t0 , x0 ) ∈ J × E et l’intervalle I ⊂ J contenant t0 , il existe
une unique solution γ = γI : I → E de (6) telle que γI (t0 ) = x0 , qui est donc
la restriction de l’unique solution maximale (c’est-àa-dire déefinie dans J tout
entier) γJ du problèeme.
(ii) On déefinit une application localement lipschitzienne R : (s, a, t) → Rst (a) de
J × E × J dans E, la ré
esolvante de (6), de la manièere suivante : pour chaque
(s, a, t) ∈ J × E × J, Rst (a) est la valeur au temps t de la solution (maximale)
de (6) qui vaut a au temps s.
(iii) La réesolvante véerifie Rτt ◦Rsτ = Rst pour s, τ, t ∈ J, d’où
u en particulier Rts =
(Rst )−1 ; chaque Rst est un difféeomorphisme lipschitzien de E sur lui-mêeme, et
lim Lip(Rst − Id) = 0 uniforméement par rapport àa s ∈ J.
t→s
(iv) Soient K0 ⊂ J un intervalle compact et γ0 : K0 → E une solution de (6) ; si Γ
est C k (0 ≤ k ≤ ∞) ainsi que (t, x) → DΓt (x) au voisinage du graphe gr(γ0 )
de γ0 , la réesolvante R est C k+1 au voisinage de gr(γ0 ) × K0 . Quels que soient
s, t ∈ K0 , on a DRst (γ0 (s)) = (δR)ts , où
u δR déesigne la réesolvante de l’éequation
difféerentielle linéeaire
dX
+ DΓt (γ0 (t)) · X = 0 (“éequation aux variations”).
dt
Déemonstration
(i) L’existence de γI est claire puisque la restriction àa I de la solution γJ (qui existe
et est unique d’aprèes le lemme) est une solution. Lorsque I est compact, l’unicitée
réesulte du lemme ; lorsqu’il n’est pas compact, il suffit d’appliquer le lemme àa tous
les intervalles compacts contenus dans I.
(iii) La formule Rτt ◦Rsτ = Rst exprime que, pour chaque a ∈ E, la solution maximale
qui vaut a au temps s coı̈ıncide forcéement (par unicitée) avec la solution maximale
qui vaut Rsτ (a) au temps τ . Montrons maintenant que chaque Rst est lipschitzienne
(son inverse Rts le sera aussi) : si l’on prend K = J dans le lemme, alors, pour
k ∈ N assez grand, l’application Φs : (a, g) → uks,a (g) de E × F dans F satisfait
aux hypothèeses du théeorèeme 2.1.1 (ii) : la majoration (8) est indéependante de a, et
l’on a éevidemment |us,b (g) − us,a (g)|∞ ≤ c|b − a| quels que soient g ∈ F et a, b ∈ E ;
par conséequent, l’application ϕs qui àa a ∈ E associe l’unique point fixe de us,a est
lipschitzienne. En outre, d’aprèes l’inéegalitée (2) de 2.1.1, sa constante de Lipschitz
est majoréee par une constante C, indéependante de s comme le second membre de
(8) ; la constante de Lipschitz de Rst − Id : a → st [ϕs (a)](τ ) dτ est donc majoréee par
C|t − s|, d’où
u (iii).
22
(ii) Pour voir que R est localement lipschitzienne, on peut procéeder comme suit :
on choisit K dans le lemme de manièere àa avoir c (K) < 1 ; on voit alors que ϕ :
(s, a) → ϕs (a) est localement lipschitzienne en appliquant l’inéegalitée (2) de (2.1.1)
àa l’application Φ : (s, a, g) → us,a (g) de (K × E) × F dans F, qui véerifie |ut,b (g) −
us,a (g)|∞ ≤ c(|b − a| + |g|∞ |t − s|)].
(iv) Fixons τ ∈ K0 et posons a0 = γ0 (τ ) ; il existe un intervalle compact K ⊂ J dont
l’intéerieur relativement àa J contienne K0 et tel que Γ véerifie encore l’hypothèese de
(iv) lorsqu’on y remplace K0 par K et γ0 par son extension naturelle γ1 : K → E
donnéee par γ1 (t) = Rτt (a0 ) ; un tel K éetant fixée, nous allons prouver que uτ est C k+1
au voisinage
ee de l’application linéeaire continue
de (a0 , γ1 ) : c’esten effet la composé
t
(a, g) → t → −a + τ g(s) ds de E × F dans F et de γ → (t → −Γ(t, γ(t)) ), qui
est une application C k+1 de F dans lui-mêeme au voisinage de γ1 .
Exercice Le prouver ; plus préeciséement, montrer que sa déerivéee j–ièeme au point
γ, appliquéee àa δγ j (δγ ∈ F), est t → Dj Γt (γ(t)) · δγ(t)j .
Comme γ1 est un point fixe de u(τ,γ(τ )) et donc de um
(τ,γ(τ )) pour tout entier m,
m
k+1
l’application vτ,m : (a, g) → uτ,a est de classe C
au voisinage de (a0 , γ1 ) ; si
l’on choisit m assez grand pour que les um
τ,a (a ∈ E) soient des contractions, on
m
a |Duτ,a |∞ < 1 et donc (a, g) → (a, g − um
eomorphisme C k+1 au
τ,a (g)) est un diffé
voisinage de (a0 , γ1 ) d’aprèes le théeorèeme d’inversion locale ; on en déeduit que la
“fonction implicite” a → (t → (∂/∂t)Rτt (a)) est C k+1 au voisinage de γ1 (τ ).
Il en réesulte aussitôot que Rτt est C k+1 au voisinage de a0 , mais aussi (par
réecurrence) que a → (t → (∂/∂t)j+1 Rτt (a)) est C k−j au voisinage de a0 pour 0 ≤
j ≤ k, car (∂/∂t)Rτt (a) = −Γ(t, Rτt (a)) ; par conséequent, Rτ : (a, t) → Rτt (a) est
C k+1 .
On en déeduit que R̃τ : (a, t) → (t, Rτt (a)) est un C k+1 – difféeomorphisme
(c’est le cas au voisinage de tout point d’aprèes le théeorèeme d’inversion locale, et
R̃τ est bijective) ; son inverse (b, s) → (s, Rsτ (b)) est donc C k+1 . Par conséequent,
R : (s, a, t) → Rst (a) = Rτt ◦Rsτ (a) est bien C k+1 .
Pour finir de prouver (iv), il reste àa véerifier que, pour tout δa ∈ E, t → DRτt (a0 )·
δa est solution de l’éequation aux variations − ce sera celle qui vaut δa au temps τ
puisque Rττ = Id ; pour cela, remarquons que Rτt (a) = a + τt Γs (Rτs (a)) ds et donc,
par “déerivation sous le signe somme”,
DRτt (a0 ) · δa = δa +
t
τ
DΓs (Rτs (a0 )) · (DRτs (a0 ) · δa) ds ;
le réesultat annoncée s’obtient en déerivant cette identitée par rapport àa t.
23
Marc Chaperon
Cas où
u Γ ne dé
epend pas du temps Soit X : E → E une application lipschitzienne (“champ de vecteurs” lipschitzien sur E).
(i) Pour tout a ∈ E, il existe une unique solution maximale (déefinie sur R
tout entier) t → ρt (a) de l’éequation difféerentielle x = X(x) valant a au temps 0 ;
l’application t → ρt est un homomorphisme du groupe additif R dans le groupe des
difféeomorphismes lipschitziens de E sur lui-mêeme − on a donc
(9)
∀(s, t) ∈ R2 ρs+t = ρs ρt .
L’application ρ : (x, t) → ρt (x) est localement lipschitzienne ; on dit que c’est le
groupe à
a un paramè
etre, ou flot engendrée par X (on exprime aussi (9) en disant
que ρ est une action de R sur E).
(ii) Si X est C k , k > 0, il en va de mêeme de ρ.
Déemonstration On a ici Γ(t, x) = −X(x). On peut appliquer le théeorèeme àa
toutes les restrictions de Γ àa des J × E pour obtenir l’existence et l’unicitée. Le
caractèere autonome de l’éequation se traduit par la relation Rst = R0t−s ; en posant
R0t = ρt , (9) n’est donc rien d’autre que l’identitée Rτt ◦Rsτ = Rst . Les autres affirmations réesultent aussitôot du théeorèeme.
2.2
La construction principale
Soient E un espace normée réeel, E ∗ := L(E, R) son dual (topologique) et E ∗∗ :=
L(E ∗ , R) son bidual. Le théeorèeme de Hahn Banach affirme qu’on déefinit une isoméetrie linéeaire j de E dans E ∗∗ par j(x) u = u(x). Lorsque cette isoméetrie est un
isomorphisme, on dit que E est un espace réeflexif − c’est alors un espace de Banach,
puisqu’il est isoméetrique àa l’espace de Banach (cf. 1.1.2 (iii)) E ∗∗ . En pareil cas, il
est naturel (et commode) de considéerer j comme une identification. Par exemple,
les espaces de Hilbert (et donc les espaces de dimension finie) sont réeflexifs.
2.2.1 Hypothè
eses et notations On se donne un espace de Banach réeflexif B, un
réeel T > 0 et une fonction continue H : [0, T ] × B × B ∗ → R posséedant la propriéetée
suivante : en notant Ht (q, p) = H(t, q, p), (t, q, p) ∈ [0, T ] × B × B ∗ , l’application
(t, q, p) → DHt (q, p) est bien déefinie, continue, et uniforméement lipschitzienne par
rapport àa (q, p) − c’est-àa-dire qu’il existe un réeel c ≥ 0 tel que l’on ait Lip(DHt ) ≤ c
pour tout t.
Il est alors clair que les hypothèeses de 2.1.6 sont satisfaite par J = [0, T ],
E = B × B ∗ et
(10)
Γt (q, p) = (−∂2 H(q, p), ∂1 H(q, p)) , (t, q, p) ∈ [0, T ] × B × B ∗ .
24
L’éequation difféerentielle (dx/dt) + Γ(t, x) = 0 s’éecrit sous la forme des éequations de
Hamilton





dq
= ∂2 Ht (q, p)
dt
(11)


 dp = −∂ H (q, p)

1 t
dt
associéees au hamiltonien H. Les notations éetant celles du théeorèeme 2.1.6 (avec le
choix (10) de Γ), soit δ > 0 tel qu’on ait Lip(Rst − Id) < 1/2 pour |t − s| < δ. Le
théeorèeme d’inversion globale 2.1.2 entraı̂ıne le
Scolie Soient Qts et Pst les composantes de Rst suivant B et B ∗ respectivement.
Pour |t − s| < δ, l’application gst : (q, p) → (Qts (q, p), p) est un difféeomorphisme de
B × B ∗ sur lui-mêeme.
2.2.2 Fonctions gé
ené
eratrices
D’aprèes le scolie, pour |t − s| < δ, on déefinit une fonction Sst : B × B ∗ → R par
(12)
Sst (gst (q, p)) =p (q − Qts (q, p))+
t
d τ
τ
τ
Ps (q, p) Qs (q, p) − Hτ (Rs (q, p)) dτ .
+
dτ
s
Thé
eorè
eme Pour |t − s| < δ,
(i) le graphe de Rst est l’ensemble des ((q, p), (Q, P )) ∈ (B × B ∗ )2 véerifiant
q = Q + ∂2 Sst (Q, p)
P = p + ∂1 Sst (Q, p) :
ené
eratrice de Rst ;
on dit que Sst est une fonction gé
(ii) Les points critiques de Sst sont les images des points fixes de Rst par le difféeormorphisme gst ;
(iii) Les points critiques de la restriction de Sst àa B × {0} sont les gst (q, 0) tels que
Pst (q, 0) = 0. Ils sont donc en bijection avec les intersections de B × {0} et de
son image par Rst .
(iv) on a
d t
S
dt s
t
◦gs
= −Ht ◦Rst ;
en particulier, si H est ≥ 0 (resp. > 0), alors Sst est ≤ 0 (resp. < 0) pour s < t.
25
Marc Chaperon
Déemonstration Pour prouver (i), il suffit de montrer que
t
(13)
d τ
Q (q, p) − Hτ (Rsτ (q, p)) dτ = Pst (q, p)dQts (q, p) − pdq ;
dτ s
Psτ (q, p)
d
s
en effet, on en déeduit imméediatement que
d Sst ◦gst (q, p) = Pst (q, p) − p dQts (q, p) + q − Qts (q, p) dp ,
(14)
ce qui (puisque gst est un difféeomorphisme) n’est qu’une autre façcon de formuler (i).
Si l’on applique le premier membre de (13) àa (δq, δp) ∈ B × B ∗ , en notant
(Qts , Pst ) = (Qts (q, p), Pst (q, p)) et (δQts , δPst ) = dRst (q, p) (δq, δp), on obtient
t
δPsτ
s
d τ
d
Qs + Psτ
δQτs − ∂1 Hτ (Qτs , Psτ ) δQτs − ∂2 Hτ (Qτs , Psτ ) δPsτ dτ ;
dτ
dτ
Comme (d/dτ )Qτs = ∂2 Hτ (Qτs , Psτ ) et ∂1 Hτ (Qτs , Psτ ) = −(d/dτ )Psτ , cela vaut
t
s
Psτ
d
d τ
δQτs +
Ps δQτs dτ ,
dτ
dτ
t
c’est-àa-dire s (d/dτ ) (Psτ δQτs ) dτ alias Pst δQts − pδq, d’où
u (14) et donc (i). Pour
obtenir (ii)–(iii), il suffit de lire (14). Prouvons maintenant (iv) : en déerivant par
rapport àa t les deux membres de (12), on obtient l’identitée
d
d t
d t
Ss (Qts , p) + ∂1 Sst (Qts , p)
Qs = Pst − p
Qt − Ht (Qts , Pst ) ,
dt
dt
dt s
d’où
u l’on déeduit (iv) car, d’aprèes (14) , Pst − p = ∂1 Sst (Qts , p).
2.2.3 Familles gé
ené
eratrices
Choisissons une subdivision 0 = t0 < · · · < tN +1 = T , N ∈ N, de [0, T ] véerifiant
max{tj+1 − tj} < δ et déefinissons S : (B × B ∗ )N +1 → R par
S ((Qj , pj )0≤j≤N ) =
N tj+1
Stj
(Qj , pj ) + pj+1 (Qj+1 − Qj ) ,
j=0
où
u les indices j sont pris modulo N + 1 (c’est-àa-dire que N + 1 = 0). Un calcul facile
donne le
Lemme Si l’on déefinit qj = qj (Qj , pj ) ∈ B et Pj = Pj (Qj , pj ) ∈ B ∗ par (Qj , pj ) =
t
t
gtjj+1 (qj , pj ) et (Qj , Pj ) = Rtjj+1 (qj , pj ), on a (en posant toujours N + 1 = 0)
(15)
dS =
N
((Pj − pj+1 ) dQj + (qj+1 − Qj ) dpj+1 ) .
j=0
26
Thé
eorè
eme principal Posons (Q, p) = (QN , p0 ), v = (Qj , pj+1 )0≤j<N et considéerons S comme une fonction de (Q, p, v). Le graphe de R0T est alors
(16)
(Q +
∂S
∂S
∂S
(Q, p, v) , p) , (Q , p +
(Q, p, v) ) :
(Q, p, v) = 0 ,
∂p
∂Q
∂v
et chaque point du graphe correspond àa un unique zéero de ∂S/∂v : on dit que S est
une famille gé
ené
eratrice (ou phase gé
ené
eratrice) de R0T . En particulier,
(i) les points critiques de S sont en bijection avec les points fixes de R0T ;
(ii) les points critiques de S|{P =0} sont en bijection avec les intersections de B ×{0}
et de son image par R0T .
Déemonstration Avec les notations de (15) la relation (∂S/∂v)(Q, p, v) = 0
t
signifie que, pour 0 ≤ j < N , (qj+1 , pj+1 ) = Rtjj+1 (qj , pj ), c’est-àa-dire (puisque
t
Rτt ◦Rsτ = Rst ) que (qj+1 , pj+1 ) = R0j+1 (q0 , p0 ) et donc (QN , PN ) = R0T (q0 , p0 ). Les
points de (16) sont donc sur le graphe de R0T , et àa tout point ((q, p), (Q, P )) de
t
t
celui-ci est associée l’unique zéero de ∂S/∂v déefini par (Qj , pj ) = gtjj+1 (R0j (q, p)),
0 ≤ j ≤ N.
2.2.4 Hamiltoniens et familles gé
ené
eratrices quadratiques à
a l’infini
Thé
eorè
eme Soit K un autre hamiltonien véerifiant les hypothèeses 2.2.1 et, en choisissant δ assez petit pour convenir àa la fois àa H et K, soient Ats et A les fonctions Sst et S associéees àa K − la subdivision (tj ) éetant la mêeme que pour H. Si
(t, q, p) → D(Kt −Ht )(q, p) est bornéee, il en va de mêeme des applications D(Sst −Ats ),
|s − t| < δ, et (donc) de D(S − A).
Déemonstration Montrons d’abord que, si l’on note Bst les applications Rst associéees àa K, les Rst −Bst sont uniforméement bornéees pour |t−s| ≤ δ : supposons s ≤ t
(le cas s ≥ t est analogue) ; en notant c := sup Lip(DKt ), k := sup |D(Kt − Ht )|,
Rst := Rst (q, p), Bst := Bst (q, p) et ∆t (q, p) := (−∂2 Kt (q, p), ∂1 Kt (q, p)), on a
t
Rs
−
Bst =
≤
t
(−Γτ
s
t
s
(Rsτ )
|(−Γτ + ∆τ ) (Rsτ )| dτ +
≤ (t − s) k + c
c’est-àa-dire
+
∆τ (Bsτ )) dτ t
s
|Rsτ
−
t
s
Bsτ | dτ
t
d
−ct
e
|Rsτ − Bsτ | dτ
dt
s
27
|−∆τ (Rsτ ) + ∆τ (Bsτ )| dτ
,
≤ (t − s) k e−ct
Marc Chaperon
et donc
e−ct
t
s
soit encore
t
s
t
|Rsτ − Bsτ | dτ ≤
|Rsτ − Bsτ | dτ ≤ k
s
t
s
(τ − s) k e−cτ dτ ,
(τ − s) ec(t−τ ) dτ ;
on déeduit donc bien de l’inéegalitée initiale que
t
R s
− Bst ∞
≤ (t − s) k + ck
t
s
(τ − s) ec(t−τ ) dτ = k
ec(t−s) − 1
ecδ − 1
≤k
c
c
pour 0 ≤ t − s ≤ δ.
Nous avons donc prouvée que les Rst − Bst sont uniforméement bornéees pour
|t − s| ≤ δ ; en notant fst les applications gst associéees àa K, on en déeduit qu’il en va de
mêeme des fst − gst . C’est éegalement le cas des (fst )−1 − (gst )−1 pour |s − t| < δ puisque
la proposition 2.1.2 et le choix de δ entraı̂ınent |(fst )−1 − (gst )−1 |∞ ≤ 2|fst − gst |∞ . La
formule (14) s’éecrit aussi
dSst (Q, p) = π2 ◦Rst ◦(gst )−1 (Q, p) − p dQ + π1 ◦(gst )−1 (Q, p) − Q dp ,
où
u π1 , π2 déesignent les projections de B × B ∗ sur ses facteurs ; on a donc
d(Sst − Ats ) = π2 ◦(Rst ◦(gst )−1 − Bst ◦(fst )−1 ) dQ + π1 ◦((gst )−1 − (fst )−1 ) dp
et l’on conclut grâace au fait que, (gst )−1 − (fst )−1 , Lip(Rst ) et |Rst − Bst |∞ éetant
∞
uniforméement bornées pour |s − t| < δ, il en va de mêeme de
t
Rs ◦(gst )−1
− Bst ◦(fst )−1 ∞
≤ Lip(Rst )(gst )−1 − (fst )−1 ∞
+ |Rst − Bst |∞ .
Hamiltoniens quadratiques à
a l’infini Lorsque les Kt sont des formes quadrat
tiques, il en va de mêeme des As et de A ; le théeorèeme préecéedent exprime donc que
“quand H est quadratique àa l’infini, il en va de mêeme de S.”
Bst
2.3
Déemonstration Les éequations de Hamilton associéees àa K éetant linéeaires, les
et fst le sont aussi.
Cas des hamiltoniens convexes par rapport à
ap
Ce paragraphe n’est pas utilisée dans le chapitre 3.
2.3.1 Hypothè
eses
En plus des hypothèeses 2.2.1, nous supposons ici que (t, p, q) → D2 Ht (q, p) existe,
est continue et que ∂22 Ht (q, p) est “uniforméement déefinie positive” : il existe c > 0
28
telle que l’on ait
(17)
∀(t, q, p) ∈ [0, T ] × B × B ∗ ∀P ∈ B ∗ ∂22 Ht (q, p) P 2 ≥ c|P |2 .
Ainsi, H est “uniforméement strictement convexe par rapport àa p.” En outre, d’aprèes
le théeorèeme 1.3.8, D2 Ht est bornéee puisque les DHt sont unifoméement lipschitziennes ; il existe donc en particulier une constante C ≥ c telle que l’on ait
(18)
∀(t, q, p) ∈ [0, T ] × B × B ∗ |∂22 Ht (q, p)| ≤ C .
Scolie Soient E un espace de Banach et u ∈ L2s (E, R). Si u est déefinie positive
(1.4.3), alors elle déefinit (1.2.3 (iii)) un isomorphisme de E sur E ∗ .
Déemonstration La norme · déefinie sur E par x 2 = u x2 est alors éequivalente àa la norme initiale ; le produit scalaire u munit donc E d’une structure d’espace
de Hilbert (puisqu’il est complet) et la conclusion de notre lemme n’est autre que le
théeorèeme de Riesz (cf. par exemple Lang, Real Analysis).
L’espace B et son dual sont donc des espaces de Hilbert (du moins aux yeux du calcul
difféerentiel, qui ne change pas quand on remplace une norme par une norme éequivalente). Le réesultat suivant contient l’essentiel de la théeorie de la “transformation
de Legendre-Fenchel” :
2.3.2 Thé
eorè
eme
Soit f une fonction réeelle de classe C 2 sur un espace de Hilbert E. S’il existe c > 0
telle que l’on ait
(19)
∀x, X ∈ E; D 2 f (x) X 2 ≥ c|X|2 ,
les propriéetées suivantes sont véerifiéees :
(i) la difféerentielle Df est un difféeomorphisme de E sur E ∗ − en particulier, la
fonction f a un unique point critique x0 , qui est son minimum absolu ;
(ii) si de plus C := |D 2 f |∞ est finie, la fonction f ∗ : E ∗ → R déefinie par
f ∗ (Df (x)) = Df (x) x − f (x) est de classe C 2 , a une déerivéee seconde bornéee et
véerifie
c
(20)
∀y, Y ∈ E ∗ ; D 2 f ∗ (y) Y 2 ≥ 2 |Y |2 ;
C
∗
la fonction f a donc les mêemes propriéetées que f , on a min(f ∗ (E ∗ )) = −f (0),
et la fonction (f ∗ )∗ n’est autre que f .
Déemonstration D’aprèes le scolie et le théeorèeme d’inversion locale, Df est un
difféeomorphisme en tout point de E ; en particulier, Df (E) est un ouvert de E ∗ .
29
Marc Chaperon
Quels que soient x, X ∈ E, on a
1
(Df (x + X) − Df (x)) X =
0
D2 f (x + tX) X 2 ≥ c|X|2 ;
on en déeduit d’une part que Df est injective, et d’autre part l’inéegalitée
|Df (x + X) − Df (x)|
,
c
qui implique que Df (E) est fermée (et donc éegal àa E ∗ tout entier, puisqu’il est
ouvert) : si (Df (xn )) converge vers z ∈ E ∗ , c’est une suite de Cauchy et donc
(xn ) aussi d’aprèes (∗) ; comme E est complet, la suite (xn ) converge vers une limite
x, donc son image par l’application continue Df converge vers Df (x), d’où
u z =
Df (x) ∈ Df (E). Nous avons donc prouvée que Df éetait un difféeomorphisme de E
sur E ∗ . Pour voir que x0 := (Df )−1 (0) est le minimum absolu de f , il suffit d’éecrire
la formule de Taylor et d’utiliser (20) :
|X| ≤
(∗)
1
f (x0 + X) = f (x0 ) +
0
(1 − t) D2 f (x0 + tX) X 2 dt ≥ f (x0 ) +
c
|X|2 .
2
Pour prouver (ii), remarquons que, la déefinition de f ∗ s’éecrivant
∗
f (y)
(21)
= y(x) − f (x)
y = Df (x) ,
on a df ∗ (y) = xdy et donc
Df ∗ (y) = x = (Df )−1 (y).
(22)
Il en réesulte que Df ∗ est C 1 et que, vue comme application de E ∗ dans E = E ∗∗ ,
D2 f ∗ (y) = D2 f (x)−1 ;
on en tire d’une part
|D2 f ∗ (y)| ≤
1
c
puisque
(∗∗)
|D2 f ∗ (y)Y | |Y | ≥ D2 f ∗ (y) Y 2 = D2 f (x) (D2 f ∗ (y)Y )2 ≥ c |D2 f ∗ (y)Y |2 ,
et d’autre part,
|D2 f ∗ (y) Y | ≥
|Y |
|D2 f ∗ (y)−1 |
=
|Y |
|D2 f (x)|
≥
|Y |
,
C
ce qui permet de déeduire (20) de la dernièere inéegalitée de (∗∗). Enfin, (21) et (22)
entraı̂ınent la dernièere assertion.
30
2.3.3 Proposition
Si H véerifie les hypothèeses 2.3.1, il existe ε > 0 tel que chacune des applications
hts : (q, p) → (q, Qts (q, p)) avec 0 < |t − s| < ε soit un difféeomorphisme lipschitzien
de B × B ∗ sur B × B.
Déemonstration Il suffit éevidemment de montrer que c’est le cas de kst := Lts ◦hts ,
où
u Lts est l’automorphisme de B × B déefini par
Lts (q, Q) = q,
Q−q
.
t−s
L’avantage de ce changement de coordonnéees est que kst est bien déefini pour t = s,
puisque les éequations de Hamilton donnent
1 t
= q,
∂2 Hτ (Rsτ (q, p)) dτ
(∗ ∗ ∗)
t−s s
et donc kss (q, p) = (q, ∂2 Hs (q, p)). Quel que soit q, le théeorèeme 2.3.2, appliquée àa
p → Hs (q, p), nous dit que p → ∂2 Hs (q, p) est un difféeomorphisme, et il réesulte de
(∗) que la constante de Lipschitz de son inverse est majoréee par 1/c ; comme (q, p) →
∂2 Hs (q, p) est elle-mêeme lipschitzienne, on en déeduit que kss est un difféeomorphisme
lipschitzien pour tout s, et qu’en outre les constantes de Lipschitz de kss et de (kss )−1
sont majoréees indéependamment de s. Or, on a
kst (q, p)
∂2 Hτ ◦Rsτ
− ∂2 Hs (x + X) − ∂2 Hτ ◦Rsτ − ∂2 Hs (x) ≤
≤Lip (∂2 Hτ ) |Rsτ (x + X) − Rsτ (x)| + Lip (∂2 Hs ) |X|
≤ Lip (∂2 Hτ ) Lip (Rsτ ) + Lip (∂2 Hs ) |X| ;
les constantes de Lipschitz qui apparaissent dans le second membre éetant bornéees
uniforméement par rapport àa s, τ , il réesulte donc de (∗ ∗ ∗) que Lip(kss − kst ) → 0
quand t → s, uniforméement par rapport àa s. Il existe donc ε > 0 tel qu’on ait
Lip (Id − kst ◦(kss )−1 ) ≤ Lip (kss − kst ) sup Lip ((kss )−1 ) < 1
0≤s≤T
pour |s − t| < ε ; le théeorèeme d’inversion globale, appliquée àa u = Id − kst ◦(kss )−1 ,
nous dit alors que kst ◦(kss )−1 est un difféeomorphisme lipschitzien ; c’est donc le cas
de kst .
2.3.4 La fonctionnelle d’action Pour 0 < |t−s| < ε, c’est la fonction Ats déefinie
sur B × B par
Ats (hts (q, p))
t
=
s
Psτ (q, p)
d τ
Qs (q, p) − Hτ (Rsτ (q, p)) dτ
dτ
31
Marc Chaperon
La formule (20) s’éecrit
(23)
dAts (Q, q) = Pst ◦(hts )−1 (q, Q) dQ − π2 ◦(hts )−1 (q, Q) dq
où
u π2 est la projection sur le second facteur de B × B ∗ .
Thé
eorè
eme Pour 0 < |t − s| < ε, on a les propriéetées suivantes :
(i) Les points critiques de Ats sont les hts (q, 0) tels que Pst (q, 0) = 0. Ils sont donc
en bijection avec les intersections de B × {0} et de son image par Rst .
(ii) Les points critiques de Ats |q=Q sont les images par hts des points fixes de Rst ;
(iii) Pour chaque Q ∈ B, les points critiques de q → Ats (q, Q) sont les hts (q, 0) tels
que Qts (q, 0) = Q. Ils sont donc en bijection avec les intersections de Rst (B×{0})
et de {Q} × B ∗ .
(iv) Pour chaque Q ∈ B, si l’on a s < t, la fonction q → Ats (q, Q) tend vers +∞
quand |q| → ∞.
Déemonstration Il suffit de lire (23) pour obtenir (i)–(iii). Pour prouver (iv),
commençcons par remarquer que (23) et les éequations de Hamilton donnent
d t t s
As ◦hs ◦Rt (Q, P ) = ∂2 Ht (Q, P ) P − Ht (Q, P )
dt
et donc
∂2
d t t s
As ◦hs ◦Rt (Q, P ) P = ∂22 Ht (Q, P ) P 2 ≥ c|P |2 ,
dt
d’où
u
d t t s
d t t s
As ◦hs ◦Rt (Q, P )) =
As ◦hs ◦Rt (Q, 0)) +
dt
dt
1
d t t s
+
∂2
A ◦h ◦R (Q, τ P ) P dτ ≥
dt s s t
0
d t t s
c
≥
As ◦hs ◦Rt (Q, 0) + |P |2
dt
2
s
et finalement, puisque As = 0,
c(t − s)
|P |2 .
2
Il en réesulte que Ats ◦hts ◦Rts (Q, P ) → +∞ quand |P | → ∞ ; pour achever la déemonstration, il suffit de remarquer que hts ◦Rts (Q, P ) = (q, Q) éequivaut àa hst (Q, P ) =
(Q, q), auquel cas |P | → ∞ si et seulement si |q| → ∞.
Ats ◦hts ◦Rts (Q, P ) ≥ Ats ◦hts ◦Rts (Q, 0) +
32
2.3.5 Familles gé
ené
eratrices
Choisissons une subdivision 0 = t0 < · · · < tN +1 = T , N ∈ N, de [0, T ] véerifiant
max{tj+1 − tj} < ε et déefinissons A : B N +2 → R par
A ((qj )0≤j≤N +1 ) =
N
t
Atj+1
(qj , qj+1 ) .
j
j=0
Un calcul facile donne le
Lemme Si l’on déefinit pj = pj (qj , qj+1 ) ∈ B ∗ et Pj = Pj (qj , qj+1 ) ∈ B ∗ , 0 ≤ j ≤
t
t
N , par (qj , qj+1 ) = htj+1
(qj , pj ) et (Qj , Pj ) = Rtjj+1 (qj , pj ), on a
j
dA = PN dqN +1 − p0 dq0 +
(24)
(Pj − pj+1 ) dqj+1 .
0≤j<N
Comme dans 2.2.3, on en déeduit le
Thé
eorè
eme principal Posons Q = qN +1 , q = q0 v = (qj )1≤j≤N et considéerons A
comme une fonction de (q, Q, v). Le graphe de R0T est alors
(25)
(q , −
∂A
∂A
∂A
(q, Q, v)) , (Q ,
(q, Q, v) ) :
(q, Q, v) = 0 ,
∂q
∂Q
∂v
et chaque point du graphe correspond àa un unique zéero de ∂A/∂v : ici encore, on dit
que A est une famille gé
ené
eratrice (ou phase gé
ené
eratrice) de R0T . Elle possèede
les propriéetées suivantes :
(i) les points critiques de A sont en bijection avec avec les intersections de B × {0}
et de son image par R0T ;
(ii) les points critiques de A|{q=Q} sont en bijection avec les points fixes de R0T .
(iii) si l’on fixe (q, Q), les points critiques de v → A(q, Q, v) sont en bijection avec
les intersections de R0T ({q} × B ∗ ) et de {Q} × B ∗ ;
(iv) si l’on fixe Q, les points critiques de (q, v) → A(q, Q, v) sont en bijection avec
les intersections de R0T (B × {0}) et de {Q} × B ∗ .
33
Marc Chaperon
34
3. - APPLICATIONS
Nous tirons maintenant quelques conséequences de notre construction, d’abord sur
les tores et les espaces euclidiens, puis sur des (sous)-variéetées plus géenéerales. Pour ne
pas trop éelever le niveau requis du lecteur, des “rappels et compléements” occupent
de nouveau une dizaine de pages au milieu de l’exposée. Sauf mention du contraire,
les objets considéerées sont C ∞ et les dimensions sont finies.
3.1
Ré
esultats sur les tores et les espaces euclidiens
3.1.1 Fonctions phases
Une fonction phase (ou simplement une phase) sur Rn est une fonction F : Rn ×E →
R de classe C 2 , où
u E déesigne un espace vectoriel réeel de dimension finie. Lorsque
n
F (x, v) est Z –péeriodique par rapport àa v ∈ Rn , elle induit une fonction f sur
Tn × E, où
u Tn déesigne le tore Rn /Zn ; on dit alors que f est une phase sur Tn .
Les points critiques de f sont les images de ceux de F par la projection canonique
π : Rn × E → Tn × E ; un tel point critique π(a) est dit non déegéenéerée quand
D2 F (a), vue comme une application de Rn × E dans (Rn × E)∗ (cf. 1.2.3 (iii)), est
un isomorphisme.
Une phase F sur M = Tn ou Rn est dite quadratique (abréeviation assez malheureuse pour “quadratique non déegéenéeréee àa l’infini”) lorsqu’il existe une forme
quadratique non déegéenéeréee K sur E telle que l’application
∂F
(x, v) − dK(v) ∈ E ∗
∂v
soit bornéee. Nous admettrons le réesultat suivant (voir par exemple [6]) :
M × E (x, v) →
Thé
eorè
eme Le nombre de points critiques d’une phase quadratique sur Tn est
strictement supéerieur àa n dans tous les cas, et au moins éegal àa 2n quand aucun de
ces points critiques n’est déegéenéerée.
35
Marc Chaperon
3.1.2 Le thé
eorè
eme de Conley et Zehnder
Hypothè
eses et notations On se donne un réeseau Z de Rn × (Rn )∗ , c’est-àa-dire
un sous-groupe tel qu’il existe un isomorphisme linéeaire de Rn × (Rn )∗ sur R2n
envoyant Z sur Z2n . Soit H : [0, 1] × Rn × (Rn )∗ → R une fonction continue telle
que Ht (x) = Ht ((x + m)) quel que soit m ∈ Z, ce qui s’exprime en disant que H
est Z–péeriodique. On suppose que (t, x) → DHt (x) existe et est lipschitzienne en x,
uniforméement par rapport àa t (ce sera par exemple le cas, par péeriodicitée, si H est
C 2 ). Les hypothèeses de 2.2.1 sont donc satisfaites (avec T = 1), ainsi que celles de
2.2.4 avec K = 0 (toujours par péeriodicitée). Adoptons donc les notations de 2.2.
Scolie
(i) Pour |t − s| < δ, les applications Rst , gst et Sst déefinies dans 2.2.2 sont Z–
péeriodiques.
(ii) L’application S (cf. 2.2.3) véerifie S(((Qj , pj ) + m)0≤j≤N ) = S((Qj , pj )0≤j≤N )
pour tout m ∈ Z.
Déemonstration Quels que soient ( , m) ∈ Z et (q, p) ∈ Rn × (Rn )∗ , on a
Rst (q + , p + m) = Rst (q, p) + ( , m) parce que les deux membres satisfont àa la mêeme
éequation difféerentielle et ont la mêeme valeur au temps t = s ; on en déeduit facilement
(i). Pour prouver (ii), il suffit donc de montrer que
N
(pj+1 + m) (Qj+1 − Qj ) =
j=0
N
pj+1 (Qj+1 − Qj ),
j=0
ce qui est éevident car
m
N
(Qj+1 − Qj ) = m (QN +1 − Q0 ) = 0.
j=0
Un changement de variables Avec les notations de (2.2.3), posons xj = Qj+1 −
Qj , yj = pj − p0 pour 1 ≤ j ≤ N , w = (xj , yj )1≤j≤N et (comme dans 2.2.3) (Q, p) =
(QN , p0 ). La fonction F (Q, p, w) déeduite de S par ce changement de variables est
une famille géenéeratrice de R01 aus sens de 2.2.3 ; elle est Z–péeriodique par rapport
àa (Q, p) et c’est une phase non déegéenéeréee sur l’espace Rn × (Rn )∗ des (Q, p) ; plus
préeciséement, si l’on pose
F0 (Q, p, w) =
N
j=1
D(F − F0 ) est bornéee.
36
yj xj ,
Déemonstration La premièere affirmation est claire ; la péeriodicitée de F par rapport àa (Q, p) traduit le point (ii) du scolie ; la dernièere assertion provient de 2.2.4,
appliquéee àa K = 0 : la fonction S associéee au hamiltonien nul est éevidemment
N
pj+1 (Qj+1 − Qj ) ;
j=0
en remarquant que
p0 (Q0 − QN ) = −p0
N
xj ,
j=1
on en déeduit que la fonction F associéee est bien
F0 (Q, p, w) = −p0
N
xj +
j=1
N
(p0 + yj ) xj =
j=1
N
yj xj .
j=1
Corollaire (Conley et Zehnder [7]) Sous les hypothèeses préecéedentes, R01 a au moins
2n + 1 points fixes ne se ramenant pas les uns aux autres par translation dans Z, et
au moins 22n lorsqu’ils sont tous non déegéenéerées (c’est-àa-dire lorsque 1 n’est jamais
valeur propre de la difféerentielle de DR01 en un point fixe).
Déemonstration Les points fixes de R01 sont en bijection avec les points critiques
de sa famille géenéeratrice F , qui est une phase quadratique sur Rn × (Rn )∗ ; la
péeriodicitée par rapport àa Z signifie que F provient d’une phase sur le tore (Rn ×
(Rn )∗ )/Z, àa laquelle il suffit d’appliquer le théeorèeme 3.1.1 pour conclure, modulo le
Lemme Les points fixes non déegéenéerées de R01 correspondent aux points critiques
non déegéenéerées de F .
Déemonstration du lemme D’aprèes la formule (15) de 2.2.3 et avec les notations
de celle-ci, dire qu’un point critique de S est non déegéenéerée signifie que la difféerentielle
de
(Qj , pj )0≤j≤N → (qj+1 − Qj , Pj − pj+1 )0≤j≤N
t
y est bijective, c’est-àa-dire (en la composant avec les difféeomorphismes gtjj+1 ) que la
difféerentielle de
N +1
(zN ) ) , (zj+1 − Rtjj+1 (zj ))0≤j<N
(Rn × (Rn )∗ )N +1 (z0 , . . . , zN ) −→ (z0 − RtN
Φ
t
t
au point z = (z0 , . . . , zN ) correspondant (où
u Φ s’annule) est bijective.
37
Marc Chaperon
Or, Z = (Z0 , . . . , ZN ) annule DΦ(z) si et seulement si l’on a


t
N +1
Z0 = DRtN
(zN )ZN
Z
t
j+1
= DRtjj+1 (zj ) Zj , 0 ≤ j < N ,
c’est-àa-dire, d’aprèes les relations Rτt ◦Rsτ = Rst et la rèegle de déerivation des fonctions
composéees, si et seulement si
Z0 = DR01 (z0 ) Z0
t
Zj = DR0j (z0 ) Z0 , 1 ≤ j ≤ N ;
pour que ce systèeme linéeaire ait pour seule solution Z = 0, il faut et il suffit éevidemment que, au point fixe z0 de R01 considéerée, l’éequation linéeaire Z0 = DR01 (z0 ) Z0
n’ait pas d’autre solution que Z0 = 0, ce qui prouve le lemme.
Remarque Le lemme préecéedent vaut en dimension infinie ; il fait partie des géenéeralitées que nous aurions pu inclure dans le chapitre 2.
3.1.3 Un thé
eorè
eme d’intersection
Hypothè
eses Les hypothèeses et les notations sont les mêemes que dans 3.1.2, sauf
que H est ici seulement Zn –péeriodique par rapport àa la variable q ∈ Rn . Par ailleurs, nous allons voir qu’il n’est pas réeellement néecessaire que les DHt soient (uniforméement) globalement lipschitziennes, ni mêeme que R01 soit déefini partout : nous
importe seulement qu’il soit déefini en tout point de Rn × {0}.
Thé
eorè
eme Sous les hypothèeses préecéedentes, Rn × {0} et son image par R01 ont
au moins n + 1 points d’intersection ne se ramenant pas les uns aux autres par
translation dans Zn × {0}, et au moins 2n lorsque ces intersections sont toutes
transverses.
Déemonstration Puisque Rn q → R01 (q, 0) est Zn –péeriodique, elle est bornéee.
Il suffit donc de multiplier tous les Ht (q, p) par une mêeme fonction de p, àa support
compact mais éegale àa 1 dans un grand voisinage de p = 0, pour se ramener, sans
rien changer àa q → R01 (q, 0), au cas où
u Ht (q, p) est nulle pour |p| assez grand − et
donc véerifie àa la fois les hypothèeses de 2.2.1 et celles de 2.2.4 avec K = 0.
En effectuant les mêemes changements de variables que dans 3.1.2, on arrive àa
une famille géenéeratrice F (Q, p, w) dont la restriction G(Q, v) àa {p = 0} est Zn –péeriodique par rapport àa Q et induit donc une phase sur le tore Tn , qui est quadratique
d’aprèes 2.2.4. Il réesulte donc de 3.1.1 que G a au moins n + 1 points critiques ne
se ramenant pas les uns aux autres par translation dans Zn × {0}, et au moins 2n
lorsqu’ils sont tous non déegéenéerées. D’aprèes le point (ii) du théeorèeme principal 2.2.3,
38
les points critiques de G sont en bijection avec les intersections de Rn × {0} et de
son image par R01 ; plus préeciséement, la formule (15) de 2.2.3 permet de voir que G
a un point critique (Q, w) si et seulement si (Q, 0) ∈ Rn × (Rn )∗ appartient àa ladite
intersection. Pour conclure, il reste àa prouver l’analogue du lemme 3.1.2, excellent
exercice pour le lecteur.
Remarque La déemonstration initiale de ce réesultat [3] utilisait une méethode moins
simple, inspiréee de Conley et Zehnder. La preuve que nous préesentons ici se trouve,
au langage prèes, dans [5].
3.1.4 Un ré
esultat de Hofer
Peut-êetre faut-il l’attribuer àa Rabinowitz... la déemonstration que je préesente est en
tous cas une version simplifiéee de celle de Hofer [11], obtenue en collaboration avec
B. D’Onofrio.
Hypothè
eses
On considèere ici la norme euclidienne standard sur Rn ,

|(q1 , . . . , qn )| =
n

1
2
qj2 
j=1
et la norme “duale”

|(p1 , . . . , pn )| =

n
1
2
pj2 
j=1
sur (Rn )∗ . Les éequations de Hamilton associéees au hamiltonien quadratique
K0 (q, p) = |q|2 + |p|2
déefinissent le flot
(1)
ρtK0 (q, p) = (q sin 2t + p cos 2t , q cos 2t − p sin 2t).
On considèere un hamiltonien H : Rn × (Rn )∗ → R de classe C 2 posséedant les trois
propriéetées suivantes :
(a) il est identiquement nul au voisinage de 0 ;
(b) il est éegal àa 3πK0 /2 en dehors d’un compact ;
(c) il n’est nulle part néegatif.
Il véerifie donc éevidemment les hypothèeses de 2.2.1 avec H(t, p, q) := H(p, q), et celles
de 2.2.4 avec
3π
K(t, q, p) :=
K0 (q, p) .
2
39
Marc Chaperon
t−s)
On note ρtH le flot qu’il déefinit (c’est-àa-dire que Rst = ρH ), et l’on s’intéeresse
aux points fixes a du difféeomorphisme ρ1H − c’est-àa-dire aux solutions péeriodiques de
péeriode 1 des éequations de Hamilton associéees àa H. Plus préeciséement, on s’intéeresse
àa l’action
1
d τ
τ
τ
P (a) Q (a) − H(ρ (a)) dτ
A(a) :=
dτ
0
le long d’une telle solution, où
u l’on a notée ρτH (a) = (Qτ (a), P τ (a)). Nous verrons que
le réesultat suivant, qui n’a l’air de rien, permet entre autres de donner une preuve
trèes simple de la conjecture de Weinstein dans R2n :
Thé
eorè
eme Sous les hypothèeses préecéedentes, ρ1H possèede au moins un point fixe a
véerifiant A(a) > 0.
Déemonstration Choisissons δ > 0 dans 2.2.1 assez petit pour convenir aux
trois hamiltoniens H, K et 0 (c’est-àa-dire, en fait, àa H). Un entier N éetant choisi
comme dans 2.2.3, nous pouvons considéerer les trois familles géenéeratrices SH , SK
et S0 associéees àa ces hamiltoniens, et y effectuer le mêeme changement de variables
que dans 3.1.2, ce qui donne trois familles géenéeratrices FH , FK et F0 des variables
(Q, p, w). Nous savons déejàa que
F0 (Q, p, w) =
N
yj xj .
j=1
Lemme
(i) La fonction FH − F0 est nulle au voisinage de 0 et ne prend pas de valeur
strictement positive.
(ii) La forme quadratique FK − F0 est déefinie néegative.
(iii) La forme quadratique FK est non déegéenéeréee ; la somme de son indice (nombre
de carrées néegatifs) et de celui de −F0 , éetant éegale àa 2n(N + 2), est strictement
plus grande que la dimension 2n(N +1) de l’espace sur lequel elles sont déefinies.
Preuve La déefinition 2.2.3 de S montre que
(∗)
S − S0 =
N
t
Stjj+1 (Qj , pj ) ,
j=0
t
d’où
u l’on déeduit la premièere affirmation de (i), les Stjj+1 éetant nulles au voisinage
de 0 d’aprèes l’hypothèese (a) ; en outre, la néegativitée dans (i)–(ii) réesulte de (∗) et
du théeorèeme 2.2.2 (iv). Dire que FK est déefinie néegative signifie donc, d’aprèes le
t
−t
théeorèeme 2.2.2 (ii), que ρKj+1 j n’a pas de point fixe autre que 0 ; c’est éevident car
40
dans le cas contraire tj+1 −tj serait d’aprèes (1) au moins éegal àa π, ce qui contredirait
la déefinition de δ dans 2.2.1.
Pour montrer (iii), remarquons que, pour |t − s| < δ et λ ∈ R, la fonction Sst
λ(t−s)
qui correspond àa λK0 n’est autre que la fonction S0
, d’où
u l’on déeduit par le
théeorèeme 2.2.2 (iv) que la forme quadratique
d
SλK0
dλ
est déefinie néegative quel que soit λ ≤ 3π/2. Il en réesulte que l’indice de la forme
quadratique SλK0 augmente de 2n chaque fois que λ traverse un point de πZ en
croissant ; (1) nous dit en effet que ce sont les valeurs de λ pour lesquelles SλK0
est déegéenéeréee ou autrement dit a des points critiques, ces points éetant (cf. 2.2.3) en
bijection (en l’occurrence linéeaire) avec les points fixes de ρ1λK0 . Il en réesulte que
l’indice de SK est la somme de l’indice nN de S0 et de deux fois 2n, une pour la
traverséee de λ = 0, l’autre pour celle de λ = π.
Preuve du Théeorèeme Soit x → x l’isomorphisme de Rn sur son dual déefini
par le produit scalaire associée àa la norme
(|Q, p, v)| = |Q|2 + |p|2 +
N
12
(|xj |2 + |yj |2 )
;
1
posons
W + = {(Q, p, v) : yj = (xj ) pour 1 ≤ j ≤ N et (Q, p) = 0}
W0− = {(Q, p, v) : yj = −(xj ) pour 1 ≤ j ≤ N } ;
d’aprèes le point (i) du lemme, FH est strictement positive sur W + au voisinage de 0,
et ne prend pas de valeur positive sur W0− ; d’aprèes (ii)–(iii), il existe un sous-espace
vectoriel W1− contenant W0− comme hyperplan et tel que la restriction de FK àa W1−
soit déefinie néegative. La difféerentielle de FH − FK éetant bornéee, on déeduit donc de
la formule de Taylor que la restriction de FH àa W1− tend vers l’infini àa l’infini. Pour
r > 0 assez petit et R > r assez grand, on est donc dans la situation suivante :
(∗) la restriction de FH àa la sphèere de rayon r dans W + est constante et éegale
àa r2 ;
(∗∗) si B ⊂ W1− déesigne l’intersection de la boule de centre 0 et de rayon R
avec un des deux demi-espaces déelimitées par W0− , la restriction de FH àa la frontièere
∂B de B ne prend pas de valeur strictement positive.
Considéerons le flot (g t ) du gradient de FH , c’est-àa-dire du champ de vecteurs
∇FH déefini par
∇FH (Q, p, v) = DFH (Q, p, v) ;
41
Marc Chaperon
puisque ∇FH −∇FK est bornée et que le champ de vecteurs linéeaire ∇FK ne s’annule
qu’en 0 (car FK est non déegéenéeréee), ∇FH (Q, p, v) tend vers l’infini quand (Q, p, v) →
∞ et g t , comme le flot de ∇FK , est déefini pour tout t. Il réesulte de (∗)–(∗∗) que
g −t (B) rencontre S pour tout t ≥ 0 ; en effet, le nombre algéebrique d’intersections
entre g −t (B) et S vaut 1 ou −1 pour t = 0 (selon les orientations choisies), et ne
pourrait varier au cours du temps que si g −t (∂B) rencontrait S, ce qui est impossible
pour t ≥ 0 : d’aprèes l’identitée
d
FH (g −t (X)) = −|∇FH (g −t (X))|2 ,
dt
−t
t → FH (g (X)) est déecroissante ; (∗∗) nous dit donc qu’elle n’est jamais > 0 (ni a
fortiori éegale àa r2 ) pour X ∈ ∂B et t ≥ 0.
On en tire l’inéegalitée
∀t ≥ 0 max FH (g −t (B)) ≥ r2 ,
(∗ ∗ ∗)
dont nous allons déeduire que FH a au moins une valeur critique (image par FH d’un
de ses point critique) ≥ r2 ; en effet,
B0 :=
{X ∈ B : FH (g −t (X)) ≥ r2 }
t≥0
est non vide, comme intersection déecroissante de compacts non vides ; pour X ∈ B0 ,
on a donc
t
0
|∇FH (g −τ (X))|2 dτ = (FH (X) − FH (g −t (X))) ≤ FH (X) − r2
pour tout t ≥ 0, ce qui entraı̂ıne l’existence d’une suite (tk ) de réeels, tendant vers
∞, et telle que ∇FH (g −tk (X)) → 0 quand k → ∞ ; comme ∇FH tend vers l’infini àa
l’infini, la suite g −tk (a) est bornéee et l’on peut donc en extraire une suite convergente
g −tk() (X). La limite X0 de cette suite est un point critique de FH , car ∇FH (X0 ) =
lim ∇FH (g −tk() (X)) = 0 ; on a bien FH (X0 ) = lim FH (g −tk() (X)) ≥ r2 d’aprèes
(∗ ∗ ∗).
Il en réesulte que la famille géenéeratrice SH a un point critique (a, v) ∈ (Rn ×
(Rn )∗ ) × (Rn × (Rn )∗ )N avec SH (a, v) ≥ r2 ; en d’autres termes, le point fixe a de
ρ1H véerifie A(a) ≥ r2 .
Remarque Contrairement aux apparences, la déemonstration préecéedente est plutôot moins difficile que celle du théeorèeme de Conley et Zehnder : l’impression inverse
vient de ce que nous avons déetaillée l’argument topologique permettant de prouver
l’existence d’un point critique alors que nous n’avions pas préetendu déemontrer le
théeorèeme 3.1.1, nettement plus “savant”.
42
3.2
Complé
ements de gé
eomé
etrie diffé
erentielle
Ce qui suit vaut en dimension infinie, àa condition d’imposer aux sous-espaces vectoriels considéerées d’êetre facteurs directs. L’idéee géenéerale est d’utiliser des difféeomorphismes pour mettre divers objets sous forme normale, c’est-àa-dire sous une forme
aussi simple que possible. Les isomorphismes préeservant les dimensions et les codimensions, il en va de mêeme des difféeomorphismes.
Nous noterons dom(f ) le domaine d’une application locale f , et Im(f ) son
image f (dom(f )).
3.2.1 Sous-varié
eté
es
On dit que V ⊂ Rn est une sous-variéetée C k , k > 0, de dimension d et de codimension
c = n − d en a ∈ Rn quand “àa difféeomorphisme C k en a prèes, elle ressemble àa
{0} × Rd ” : il existe un difféeomorphisme local h : (Rn , a) → Rn−d × Rd de classe
C k (appelée carte adaptéee àa S) tel que h(V ∩ dom(h)) = ({0} × Rd ) ∩ Im(h). On dit
que d (resp. n − d) est la dimension (resp. codimension) de V en a. Naturellement,
V est une sous-variéetée (de mêemes dimension et codimension qu’en a) en tout point
de dom(h) ∩ V .
V est une sous-variéetée C k de dimension d et de codimension c = n − d de Rn
quand c’est une sous-variéetée C k de dimension d et de codimension n − d en chacun
de ses points.
Exemples Un ouvert de Rn est une sous-variéetée de codimension 0 ; un point est
une sous-variéetée de dimension 0. Le graphe d’une application f : R → Rm est une
sous-variéetée de R × Rm , de dimension (resp. codimension) (resp. m) − pour le
“redresser”, il suffit de lui appliquer le difféeomorphisme (x, y) → (x, y − f (x)).
3.2.2 Submersions et points critiques
On dit de mêeme que f : (Rn , a) → (Rc , b) est une submersion en a, ou submersion
locale f : (Rn , a) → Rc quand “modulo des difféeomorphismes en a et b, c’est une
projection linéeaire” : il existe deux difféeomorphismes locaux g : (Rn , a) → Rn et
h : (Rc , b) → Rc tels que h◦f ◦g −1 soit la restriction àa dom(g) de la projection
π1 : Rc × Rn−c → Rc ; on dit alors que g et h sont des cartes adapté
ees àa f
en a. Bien sû
ur, f est une submersion en tout x ∈ dom(g) et elle est “localement
surjective” : il existe des ouverts U a et V b tels que f |U soit une surjection sur
V.
On dit que f est une submersion quand c’est une submersion en tout point.
Un point critique d’une application f est un point a ∈ dom(f ) où
u f n’est pas
une submersion (c’est cohéerent avec la déefinition donnéee pour les fonctions réeelles).
43
Marc Chaperon
On dit alors que f (a) est une valeur critique de f . Un point b ∈ N qui n’est pas
une valeur critique de f est dit valeur regulièere de f . En particulier, quand b n’est
pas une valeur de f , c’est une valeur réegulièere de f !
Les déefinitions préecéedentes entraı̂ınent la
Proposition
(i) Une partie V ⊂ Rn est une sous-variéetée de codimension c en a si et seulement
s’il existe une submersion locale p : (Rn , a) → (Rc , b) telle que S ∩ dom(p) =
p−1 (b) ; on dit alors que p = b est une é
equation de S au voisinage de a,
expression qui sous-entend que p est une submersion.
(ii) En particulier, si b ∈ Rc est une valeur réegulièere de f : Rn → Rc , alors f −1 (b)
est une sous-variéetée de codimension c de Rn .
3.2.3 Immersions et plongements locaux
On dit que f : (Rd , b) → (Rn , a) est une immersion en b quand “àa difféeomorphismes
en a et b prèes, c’est une injection linéeaire” : il existe deux difféeomorphismes locaux
g : (Rd , b) → Rd , h : (Rn , a) → Rn tels que h◦f ◦g −1 soit la restriction àa dom(g −1 )
de l’injection j : Rd → Rn donnéee par j(x) = (0, x). On dit alors que h−1 ◦j ◦g est
un plongement local et que g et h sont des cartes adaptéees àa f en b. Bien sû
ur, f est
−1
une immersion en tout x ∈ dom(g ), et f est “localement injective” : il existe un
ouvert U b tel que f |U soit injective.
On dit que f est une immersion quand c’est une immersion en tout point.
Comme préecéedemment, on déeduit des déefinitions la
Proposition Une partie V de Rn est une sous-variéetée de dimension d en a si et
seulement s’il existe un plongement local j : (Rd , b) → (Rn , a) et un ouvert U a
de Rn tels que U ∩ V = Im(j) ; on dit alors que j est un paramé
etrage de V prèes
de a. On déeduit du théeorèeme d’inversion locale une trèes importante
3.2.4 Caracté
erisation infinité
esimale des submersions et des immersions
n
c
Soit f : (R , a) → (R , b) ;
(i) f est une submersion en a si et seulement si Df (a) est surjective ;
(ii) f est une immersion en a si et seulement si Df (a) est injective.
3.2.5 Espace tangent Soit V ⊂ Rn une sous-variéetée en a. L’espace tangent Ta V
de V en a est l’ensemble de toutes les vitesses en t = 0 de chemins C 1 locaux
γ : (R, 0) → (V, a) [le choix de t = 0 est éevidemment arbitraire dans cette déefinition].
Il est donc clair que Ta V = Rn si V est un ouvert de Rn .
44
Proposition Soit V ⊂ Rn une sous-variéetée en a.
(o) Si V est un sous-espace vectoriel, Ta V = V .
(i) La (co)dimension de Ta V est celle de V : pour toute carte h : (Rn , a) →
Rd × Rn−d adaptéee àa V , on a Ta V = Dh(a)−1 ({0} × Rn−d ).
(ii) Si p = b est une éequation de V au voisinage de a, alors Ta V est le noyau de
Dp(a).
(iii) Si j : (Rd , b) → (Rn , a) est un paraméetrage de V en a, alors Ta V est l’image
de Dj(b).
3.2.6 Fonctions sur les sous-varié
eté
es
k
Si V est C , les propriéetées suivantes sont éequivalentes, et s’expriment en disant que
ϕ : V → Rm est C k :
(i) Pour chaque a ∈ V , il existe une application locale ϕ̃ : (Rn , a) → Rm de classe
C k telle que ϕ(q) = ϕ̃(q) pour tout q ∈ V ∩ dom(ϕ̃).
(ii) Pour chaque a ∈ V , il existe un C k –paraméetrage j de V prèes de a tel que ϕ◦j
soit C k .
(iii) Pour tout a ∈ V et tout C k –paraméetrage j de V prèes de a, ϕ◦j est C k ; autrement dit, si h : (Rn , a) → Rn−d × Rd est une carte adaptéee àa V en a,
l’application Rd x → ϕ(h−1 (0, x)) est C k .
Le fibré
e tangent Etant donnéee une sous-variéetée V de Rn , son fibrée tangent est
l’ensemble des (q, v) ∈ Rn × Rn avec v ∈ Tq V . C’est une sous-variéetée de dimension
double de celle de V , car si h : (Rn , a) → Rn−d × Rd est une carte adaptéee àa V en
a, l’application
T h : (q, v) → (h(q), Dh(q) v)
est une carte adaptéee àa T V en (a, b) pour tout b ∈ Ta V . De telles cartes T h sont
appeléees cartes naturelles de T V .
L’application τV de T V sur V donnéee par τV (q, v) = q est la projection du fibrée
tangent ; pour chaque q ∈ M , on dit que τV−1 (q) est la fibre du fibrée tangent, et on
l’identifie àa Tq V .
Par exemple, le fibrée tangent àa un ouvert U de Rn s’identifie naturellement àa
U × Rn , et τU àa la projection habituelle.
La diffé
erentielle Si ϕ : V → Rm est C k , la difféerentielle de ϕ est l’application
dϕ : T V → Rm de classe C k−1 déefinie comme suit : pour tout arc γ dans V ,
difféerentiable au temps s, ϕ◦γ est difféerentiable au temps s et
(2)
dϕ(γ(s), γ (s)) = (ϕ◦γ) (s) ;
45
Marc Chaperon
avec les notations du critèere (i) de la proposition préecéedente, on a éevidemment
dϕ(q, v) = Dϕ̃(q) v pour chaque q ∈ V et chaque v ∈ Tq V ; si l’on note
Dϕ(q) v = dϕq v = Tq ϕ v := dϕ(q, v) ,
l’application Dϕ(q) = dϕq = Tq ϕ : Tq V → Rm est donc linéeaire.
eté
e W Pour chaque a ∈ M ,
Cas où
u ϕ est à
a valeurs dans une C k –sous-varié
Ta ϕ = Dϕ(a) est alors àa valeurs dans Tϕ(a) W ; autrement dit, on déefinit une application T ϕ de classe C k−1 de T M dans T N par T ϕ(q, v) = (ϕ(q), Dϕ(q) · v). Par
exemple, si γ est un chemin, on a T γ(t, τ ) = (γ(t), τ γ (t)).
Dé
erivé
ee d’une application composé
ee On suppose que ϕ est àa valeurs dans W
et que ψ est une application de W dans une troisièeme sous-variéetée Z ; alors, ψ ◦ϕ
satisfait àa la rèegle de déerivation d’une fonction composéee 1.3.2, qui s’éecrit aussi
T (ψ ◦ϕ) = (T ψ)◦T ϕ .
Diffé
eomorphismes, cartes, immersions et submersions On dit que h : V →
W est un difféeomorphisme C k lorsqu’elle est bijective et que h et h−1 sont C k .
D’aprèes la rèegle de déerivation d’une fonction composéee, Dh(a) est alors pour chaque
a ∈ V un isomorphisme de Ta V sur Th(a) W , d’inverse D(h−1 )(h(a)).
Les notions d’application locale, de difféeomorphisme local, etc. sont déefinies sur les
sous-variéetées comme sur les ouverts d’espaces de Banach ; éetant donnée a ∈ V , une
carte (locale) de V en a est un difféeomorphisme local (V, a) → Rd . Par exemple, la
restriction àa V de la seconde composante d’une carte adaptéee àa V en a, ou (c’est,
plus qu’un exemple, une déefinition éequivalente) l’inverse d’un paraméetrage de V en
a, sont des cartes de V en a ; par conséequent, la proposition 3.2.6 affirme que ϕ est
C k si et seulement si, pour chaque a ∈ V , il existe une carte C k , g, de V prèes de a
telle que ϕ◦g −1 soit C k − c’est alors le cas pour toute carte C k de V en a.
Thé
eorè
eme
(i) Le théeorèeme d’inversion locale 2.1.5 subsiste quand on y remplace les espaces
de Banach E et F par des sous-variéetées V et W , l’hypothèese éetant dans les
deux cas que Dh(a) est un isomorphisme de Ta V sur Th(a) W .
(ii) Tout ce qui a éetée dit dans 3.2.2–4 persiste lorsqu’on y remplace Rn , Rc et Rd
par des sous-variéetées V , W , Z pourvu que, dans 3.2.4, on considèere Df (x) en
tant qu’application de Tx V dans Tf (x) W .
Plongements On dit que f : V → W est un plongement lorsque f (V ) est une
46
sous-variéetée et que f est un difféeomorphisme de V sur f (V ) (un plongement local
est donc un plongement d’un ouvert de Rd ) ; par exemple, l’inclusion d’une sousvariéetée est un plongement, et tout plongement f : V → W s’obtient par déefinition
en composant l’inclusion de f (V ) avec un difféeomorphisme.
3.2.7 Formes de Pfaff et inté
egrale curviligne
Formes de Pfaff Si V est C k , k > 0, une forme de Pfaff ou 1–forme (difféerentielle) C k−1 sur V est une application α : T V → R de classe C k−1 dont la restriction
αq àa chaque fibre Tq V du fibrée tangent est linéeaire. La difféerentielle d’une fonction
réeelle est donc une forme de Pfaff.
Exemple Si V est un ouvert de Rn , α s’éecrit de manièere unique
α(x) =
n
aj (x) dxj ,
j=1
où
u dxj : Rn → R est la j–ièeme application coordonnéee et aj (x) ∈ R déesigne la
valeur de α(x) sur le j–ièeme vecteur de la base canonique de Rn . En particulier, si
α est la difféerentielle d’une fonction ϕ : V → F de classe C 1 ,
dϕ(x) =
n
∂j ϕ(x) dxj .
j=1
Inté
egrale curviligne Pour tout arc difféerentiable γ : [t0 , t1 ] → V de classe C 1
par morceaux, on déefinit l’intéegrale (curviligne) de α le long de γ par
t1
α=
γ
t0
αγ(t) γ (t) dt;
Si α est la difféerentielle dϕ d’une fonction ϕ sur V et que γ joint a àa b dans V , on
a la formule de la moyenne
γ
dϕ = ϕ(b) − ϕ(a).
Une forme de Pfaff α sur V est dite exacte lorsqu’elle admet une primitive, c’estàa-dire une application ϕ : V → R telle que dϕ = α ; elle est ferméee quand elle est
localement exacte : tout a ∈ V est contenu dans un ouvert Ω de U tel que α|Ω soit
exacte. Si de plus Ω est connexe (ou, ce qui revient au mêeme, connexe par arcs C 1
par morceaux), deux primitives ϕ1 et ϕ2 de α|Ω diffèerent d’une constante (d’aprèes
la formule de la moyenne, car la difféerentielle de ϕ1 − ϕ2 est nulle).
47
Marc Chaperon
Images directes et inverses L’image (directe) f∗ γ par f : V → W d’un chemin
γ dans V est simplement l’arc f ◦γ dans W . Etant donnéee ϕ : W → R, son image
réeciproque (ou inverse) f ∗ ϕ par f est ϕ◦f : V → R. L’image réeciproque f ∗ α d’une
forme de Pfaff α sur W , est déeterminéee par le fait que
f ∗α =
γ
α
f∗ γ
pour tout arc γ dans V ; elle est donnéee par
(f ∗ α)x v = αf (x) (dfx · v) ;
en particulier, f ∗ dϕ = d(f ∗ ϕ). Lorsque f est un difféeomorphisme, on déefinit de mêeme
l’image réeciproque f ∗ := (f −1 )∗ pour les chemins et l’image directe f∗ := (f −1 )∗
pour les fonctions et les formes.
La diffé
erentielle exté
erieure Considéerons la somme de Whitney T V ⊕V T V
du fibrée tangent avec lui-mêeme, c’est-àa-dire l’ensemble des triplets (q, v, w) avec
(q, v), (q, w) ∈ T V , muni de la structure de sous-variéetée de T Rn ⊕Rn T Rn =
Rn × Rn × Rn déefinie par les cartes adaptéees (q, v, w) → (h(q), Dh(q)v, Dh(q)w), où
u
h est une carte adaptéee àa V ; les fibres de la projection T V ⊕V T V (q, v, w) → q
sont donc les Tq V × Tq V . Une 2–forme difféerentielle sur V est une application continue ω : T V ⊕V T V → R qui est bilinéeaire alternéee dans chacune de ces fibres.
Dé
efinition Pour toute 1–forme α de classe C 1 sur V , on déefinit une 2–forme dα
sur V , sa diffé
erentielle exté
erieure, de la manièere suivante : quelle que soit la
2
“surface paraméetréee” σ : (R , 0) → V de classe C 2 , on a
∂ ∂ ασ(s,t) · ∂2 σ(s, t) −
ασ(s,t) · ∂1 σ(s, t) = dασ(s,t) (∂1 σ(s, t), ∂2 σ(s, t)) .
∂s
∂t
Lemme de Poincaré
e Pour qu’une forme de Pfaff α de classe C 1 sur V soit ferméee,
il faut et il suffit que dα soit identiquement nulle.
3.2.8 Champs de vecteurs sur les sous-varié
eté
es et isotopies
Soit f : V → W ; supposons d’abord que V et W soient des ouverts d’espaces de
Banach. Il est raisonnable de déesirer que l’image réeciproque d’un champ de vecteurs
Y sur W soit un champ de vecteurs X sur V tel que, pour toute solution γ de
l’éequation q = X(q), f∗ γ soit une solution de Q = Y (Q). Or, on a alors
Y (f ◦γ(t)) = (f ◦γ) (t) = Df (γ(t)) · γ (t)
= Df (γ(t)) · X(γ(t)) ,
48
ce qui impose la relation
(3)
Df (x) · f ∗ Y (x) = Y (f (x)) .
etale, c’estOn voit donc que f ∗ Y est déefini de manièere unique par (3) lorsque f est é
àa-dire que sa déerivéee en tout point est un isomorphisme − et donc en particulier si
f est un difféeomorphisme (auquel cas on peut aussi déefinir l’image directe f∗ X :=
(f −1 )∗ X d’un champ de vecteurs sur M ).
Champs de vecteurs sur les sous-varié
eté
es On appelle champ de vecteurs X sur
la sous-variéetée V une application de V dans son espace ambiant telle que X(q) ∈ Tq V
pour tout q ∈ V (X est donc bien un champ de vecteurs tangents àa V , comme il
y a des champs de blée) ; en identifiant X àa q → (q, X(q)), on voit qu’un champ de
vecteurs sur V est une section du fibrée tangent, c’est-àa-dire une application de V
dans T V telle que τV ◦X = IdV (identifier une application àa son graphe n’est pas
vraiment un abus de langage).
Etant donnée un intervalle compact J, un champ de vecteurs déependant du temps
(Γt )t∈J sur V est de mêeme une application J × V (t, q) → Γt (q) telle que chaque
Γt soit un champ de vecteurs sur V (la géenéeralisation du calcul difféerentiel aux
variéetées àa bord comme J × V ne pose pas de problèeme ; on peut aussi supposer (Γt )
obtenu par restriction d’un champ de vecteurs déependant du temps et C k sur I × V ,
où
u I est un intervalle ouvert contenant J).
Equations diffé
erentielles sur les sous-varié
eté
es Lorsque V et W sont deux
sous-variéetées et que f : V → W est éetale, on prend (3) comme déefinition de l’image
réeciproque f ∗ Y d’un champ de vecteurs Y sur W .
Si h est une carte de V et (Γt ) un champ de vecteurs déependant du temps
sur V , alors (h∗ Γt ) est un champ de vecteurs déependant du temps sur Im(h) ; or,
le théeorèeme d’existence globale 2.1.6 se localise àa la manièere de 2.1.3 et fournit un
théeorèeme d’existence (et d’unicitée locale) de solutions d’éequations difféerentielles ; les
images par h−1 des solutions de l’éequation difféerentielle x + h∗ Γt (x) = 0 éetant des
solutions de l’éequation
(4)
q + Γt (q) = 0
(et, dans dom(h), réeciproquement), on obtient des éenoncées locaux qui se recollent
pour donner le
49
Marc Chaperon
a support comThé
eorè
eme Sous les hypothèeses préecéedentes, si (t, q) → Γt (q) est à
pact, c’est-àa-dire nul en dehors d’un compact,
(i) quels que soient (t0 , q0 ) ∈ J × V et l’intervalle I ⊂ J contenant t0 , il existe
une unique solution γ = γI : I → V de (4) telle que γI (t0 ) = q0 , qui est donc
la restriction de l’unique solution maximale (c’est-àa-dire déefinie dans J tout
entier) γJ du problèeme ;
(ii) on déefinit une application R : (s, q0 , t) → Rst (q0 ) de J × V × J dans V , la
ré
esolvante de (4) , de la manièere suivante : pour chaque (s, q0 , t) ∈ J × V × J,
Rst (q0 ) est la valeur au temps t de la solution (maximale) de (4) qui vaut q0 au
temps s ;
(iii) la réesolvante véerifie Rτt ◦Rsτ = Rst pour s, τ, t ∈ J, d’où
u en particulier Rts =
(Rst )−1 ; chaque Rst est un difféeomorphisme de V sur elle-mêeme ;
(iv) si Γ ne déepend pas du temps et que l’on note X(q) = −Γt (q), on a Rst = ρt−s
pour s, t ∈ R, où
u t → ρt est un homomorphisme du groupe additif R dans
le groupe des difféeomorphismes lipschitziens de V sur lui-mêeme. L’application
ρ : (q, t) → ρt (q) est le groupe à
a un paramè
etre, ou flot engendrée par X.
Remarque Il est certain que la nature intime des éequations difféerentielles apparaı̂ıt beaucoup mieux dans ce contexte où
u les vitesses n’appartiennent pas au mêeme
espace que les positions.
Isotopies d’une sous-varié
eté
e V Une isotopie (gt ) de V est un chemin [0, 1] t → gt dans l’espace des difféeomorphismes de V sur elle mêeme tel que g0 = Id
(de manièere préecise, on requiert que (t, q) → gt (q) soit C ∞ ou au moins assez
difféerentiable). Si J = [0, 1] dans le théeorèeme préecéedent, un exemple typique est
fourni par gt = R0t ; réeciproquement, une isotopie s’obtient toujours en intéegrant une
éequation difféerentielle : àa (gt ) on associe son géenéerateur infinitéesimal (Xt ), c’est-àadire le champ de vecteurs déependant du temps déefini par
d
gt (q) = Xt (gt (q)) ;
dt
le théeorèeme d’unicité
e des solutions d’une éequation difféerentielle assez difféerentiable
éetant vrai dèes qu’il y a existence, on voit donc que gt est l’application R0t déefinie par
(Γt ) = (−Xt ). L’isotopie gt est dite àa support compact quand il existe un compact
K de V tel que gt (x) = x pour tout (t, x) ∈ [0, 1](V \ K)
Dé
erivé
ee de Lie C’est la version infinitéesimale de l’image réeciproque : si X est un
champ de vecteurs àa support compact sur V et que l’on note ρt son flot, la déerivéee
50
de Lie par rapport àa X est par déefinition
d (ρt )∗ .
dt t=0
Pour une fonction ϕ : V → R, on a donc
LX =
LX ϕ(x) = (ιX dϕ)(x) := dϕx · X(x) ;
pour une 1–forme α, on déeduit facilement de la déefinition de dα (en considéerant
σ(s, t) = ρt (γ(s)) pour chaque chemin γ dans V ) que
LX α = ιX dα + d(ιX α) ,
(5)
où
u ιX α(q) = α(q) X(q) et (ιX dα)q (v) = dα(X(q), v) : (5) est la formule d’homotopie
des Cartan.
Si (gt ) est une isotopie de V , de géenéerateur infinitéesimal Xt , on voit facilement
que
d
(gt )∗ = (gt )∗ ◦LXt .
dt
3.3
Ré
esultats de Hofer, Sikorav et Tchekanov dans les cotangents
3.3.1 Reformulation et consé
equences du thé
eorè
eme principal
Hypothè
eses et notations Ce sont celles de 2.2.1 avec B = Rn (l’extension
en dimension infinie ne pose pas de problèeme) ; on associe comme dans 2.2.3 au
hamiltonien H une famille géenéeratrice S.
Commentaire du thé
eorè
eme principal Sous les hypothèeses et avec les notations
du théeorèeme principal 2.2.3,
(i) l’application ∂S/∂v admet 0 pour valeur réegulièere, et (∂S/∂v)−1 (0) est donc
une sous-variéetée ΣS ;
(ii) le graphe de R0T est l’image de ΣS par le plongement jS : ΣS → ( Rn ×(Rn )∗ )2
déefini par
jS (Q, p, v) = (Q +
∂S
∂S
(Q, p, v) , p) , (Q , p +
(Q, p, v) ) .
∂p
∂Q
La remarque suivante, qui s’obtient en regardant la formule (15) de 2.2.3, peut êetre
attribuéee (pour les points (i)–(ii)) àa Tchekanov et àa Sikorav :
51
Marc Chaperon
Thé
eorè
eme Sous les hypothèeses et avec les notations préecéedentes, soit V une sousvariéetée de Rn .
(i) En déesignant par Φ(Q, v) la restriction de S àa l’ensemble des (Q, p, v) avec
Q ∈ V et p = 0, ∂Φ/∂v admet 0 pour valeur réegulièere, et (∂Φ/∂v)−1 (0) est
donc une sous-variéetée ΣΦ .
(ii) Le difféeomorphisme de ΣS sur Rn ×(Rn )∗ obtenu en composant jS et la projection ( Rn × (Rn )∗ )2 ( (q, p) , (Q, P )) → (Q, P ) ∈ Rn × (Rn )∗ envoie ΣΦ sur
R0T (Rn × {0}) ∩ (V × (Rn )∗ ), et les points critiques de Φ sur les intersections
de R0T (Rn × {0}) et du conormal
ν ∗ V := {(Q, P ) : Q ∈ V et P ∈ (TQ V )⊥ }
de V , où
u (TQ V )⊥ est l’ensemble des P ∈ (Rn )∗ identiquement nulles sur TQ V .
(iii) De mêeme, jS envoie les points critiques de la restriction de S àa l’ensemble
des (Q, p, v) avec Q ∈ V sur l’ensemble des ( (q, p) , (Q, P )) tels que (Q, P ) =
R0T (q, p) véerifie Q ∈ V et P − p ∈ (TQ V )⊥ .
Suivant Tchekanov, nous sommes trèes prèes de pouvoir éetendre le théeorèeme 3.1.3, qui
est un réesultat sur les tores, àa toutes les (sous-) variéetées compactes ; il faut d’abord
préeciser l’espace d’arrivéee de l’application jΦ déefinie sur ΣΦ par
∂Φ
(Q, v) :
jΦ (Q, v) = Q,
∂Q
3.3.2 Le fibré
e cotangent
Dé
efinition Soit V une sous-variéetée de Rn . Le fibrée cotangent de V est l’ensemble
T ∗ V des (q, p) avec q ∈ V et p ∈ (Tq V )∗ . La méetrique euclidienne standard de Rn
permet de l’identifier àa une sous-variéetée de T ∗ Rn = Rn ×(Rn )∗ , puisque nous avons
vu dans 1.2.3 (iii) qu’elle (resp. sa restriction àa (Tq V )∗ ) permet d’identifier (Rn )∗
àa (Rn ) (resp. (Tq V )∗ àa Tq V ). L’application τV∗ : T ∗ V → V (projection du fibrée
cotangent) déefinie par τV∗ (q, p) = q se trouve alors identifiéee àa τV .
La forme de Liouville La forme de Liouville λRn = p dq = pj dqj de T ∗ Rn
peut êetre caractéeriséee par le fait suivant : pour toute forme de Pfaff α sur Rn (qui
est une application de Rn dans T ∗ Rn ), on a
α∗ (p dq) = α .
La forme de Liouville λV de T ∗ V est la forme de Pfaff induite sur T ∗ V par p dq,
c’est-àa-dire (dans l’identification préecéedente) la restriction de p dq : T (T ∗ Rn ) → R
52
àa T (T ∗ M ). Elle est, elle aussi, caractéeriséee par le fait que
α ∗ λV = α
pour toute 1–forme α sur V . Pour tout x ∈ T ∗ V , −dλV (x) est non-déegéenéeréee : −dλV
est une forme symplectique, dite structure symplectique canonique de T ∗ V .
Une immersion lagrangienne dans T ∗ V est une immersion j d’une sous-variéetée L
dans T ∗ V véerifiant dim L = dim V et telle que j ∗ λV soit ferméee. Si de plus j ∗ λV est
exacte, on dit que l’immersion lagrangienne j est exacte.
Ces notions éetant invariantes par difféeomorphisme de L, on peut parler de sousvariéetées lagrangiennes (exactes ou non) de T ∗ V .
La notion d’immersion lagrangienne est invariante par transformation symplectique de T ∗ V (difféeomorphisme de T ∗ V préeservant −dλV ), mais celle d’immersion
exacte ne l’est que par le groupe des transformations (symplectiques) g de T ∗ V telles
que g ∗ λV − λV soit exacte : ce sont les transformations globalement canoniques de
T ∗V .
Puisque α∗ λV = α, une 1–forme α sur V est un plongement lagrangien si et
seulement si elle est ferméee, un plongement lagrangien exact si et seulement si elle
est exacte ; en particulier, la section nulle du cotangent est exacte.
Le réesultat suivant se déeduit facilement de la formule d’homotopie des Cartan :
Isotopies hamiltoniennes Soit (gt ) une isotopie de T ∗ V ; pour que les gt soient
tous globalement canoniques, il faut et il suffit que l’isotopie soit hamiltonienne,
c’est-àa-dire qu’il existe une fonction h : [0, 1] × T ∗ V → R telle que le géenéerateur
infinitéesimal (Xt ) de l’isotopie soit donnée par
(6)
ιXt dλV + dht = 0
pour tout t, où
u ht (q, p) = h(t, q, p). On exprime (6) en disant que (ht ) est un hamiltonien de l’isotopie et que chaque ht est le hamiltonien du champ hamiltonien
Xt .
Exemple fondamental Si V = Rn , gt n’est autre que la “réesolvante” R0t des
éequations de Hamilton (cf. 2.2.1 (11)) déefinies par h.
3.3.3 Lemme de Tchekanov
Soient V une sous-variéetée compacte de Rn et (gt ) une isotopie hamiltonienne
de T ∗ V . Il existe une isotopie hamiltonienne (Gt ) de T ∗ Rn , àa support compact,
posséedant les deux propriéetées suivantes :
(i) on a Gt (Q, 0) = gt (Q, 0) quel que soit (t, Q) ∈ [0, 1] × V ;
(ii) Gt (Rn × {0}) ∩ (V × (Rn )∗ ) = gt (V × {0}) pour tout t.
53
Marc Chaperon
Déemonstration Seules nous intéeressent les gt (V × {0}) ; en multipliant le hamiltonien de (gt ) par une fonction T ∗ V → R àa support compact mais éegale àa 1 dans
un grand voisinage de V × {0}, nous pouvons donc supposer que (ht ) (et donc (gt ))
est àa support compact.
Déesignons par u : R → [0, 1] une fonction C ∞ telle que u−1 (1) =] − ∞, 1] et
u−1 (0) = [2, ∞[ ; pour chaque q ∈ V , notons πq : (Rn )∗ → (Tq V )∗ la projection
parallèelement àa (Tq V )⊥ (qui n’est autre que la projection orthogonale quand on
identifie cotangents et tangents comme dans la déefinition 3.3.2).
On déeduit du théeorèeme d’inversion locale et de la compacitée de V le “théeorèeme
des voisinages tubulaires” : pour ε > 0 assez petit, quel que soit q ∈ Rn véerifiant
d(q, V ) := min{|q − q | : q ∈ V } < 3ε, il existe un unique point ν(q) ∈ V (la
projection orthogonale de q sur V ) tel que |ν(q) − q| = d(q, V ) ; dans le “tube”
Vε := {q : d(q, V ) < 3ε}, les applications q → ν(q) et (donc) q → d(q, V )2 sont
lisses.
Nous pouvons donc déefinir un hamiltonien (h̃t )0≤t≤1 sur T ∗ Rn par
h̃t (q, p) =


 ht (q, πq p)
u(d(q, V )/ε)h̃t (ν(q), p)


pour q ∈ V
pour q ∈ Vε
sinon.
0
Les propriéetées suivantes sont alors faciles àa éetablir :
(a) ce hamiltonien satisfait aux hypothèeses 2.2.1, et engendre donc une isotopie
(g̃t ) ;
(b) la restriction de cette isotopie àa T ∗ V n’est autre que (gt ) ;
(c) on a g̃t (V × (Rn )∗ ) = V × (Rn )∗ pour tout t ∈ [0, 1].
Il en réesulte imméediatement que l’on pourrait prendre (Gt ) = (g˜t ) si l’on n’exigeait
pas que (Gt ) soit àa support compact, mais en fait (a) et (b) ne nous intéeressent
qu’en restriction àa {p = 0} ; il suffit donc de déefinir (Gt ) par son hamiltonien
Ht (q, p) = u(|p|/R) h̃t (q, p) :
u le lemme
pour R > 0 assez grand, on aura Gt (q, 0) = g̃t (q, 0) pour tout q ∈ Rn , d’où
de Tchekanov.
3.3.4 Fonctions phases sur une sous-varié
eté
e compacte V Les déefinitions
d’une fonction phase et d’une phase quadratique sur V sont les mêemes que pour
V = Rn (cf. 3.1.1).
Thé
eorè
eme (Sikorav [13] et Tchekanov) Sous les hypothèeses du lemme de Tchekanov, soit S une famille géenéeratrice associéee comme dans 2.2.3 au hamiltonien (Ht )
de l’isotopie (Gt ) que nous venons de construire.
54
(i) En appelant Φ(Q, v) la restriction de S àa l’ensemble des (Q, p, v) avec Q ∈ V et
p = 0, l’application ∂Φ/∂v a 0 pour valeur réegulièere, et (∂Φ/∂v)−1 (0) est donc
une sous-variéetée ΣΦ ;
(ii) on déefinit un plongement jΦ : ΣΦ → T ∗ V par
jS (Q, p, v) = (Q ,
∂Φ
(Q, v) ) ,
∂Q
et jΦ (ΣΦ ) n’est autre que la variéetée lagrangienne g1 (V × {0}) ;
(iii) la fonction Φ est une phase quadratique sur V , et ses points critiques sont en
bijection avec g1 (V × {0}) ∩ (V × {0}).
ee par la
Ces trois conditions s’expriment en disant que g1 (V × {0}) est engendré
phase quadratique Φ.
Déemonstration La fonction Φ est une phase quadratique d’aprèes le théeorèeme
2.2.4, appliquée àa K = 0. Pour le reste, le lecteur se convaincra qu’il suffit de mettre
bout àa bout le lemme de Tchekanov et le théeorèeme 3.3.1 (i)–(ii).
Nous admettrons le réesultat suivant (voir par exemple [6]) :
Lemme Le nombre de points critiques d’une phase quadratique sur une sousvariéetée compacte V est strictement supéerieur àa la longueur cohomologique (“cup
length”) c (V ) de V dans tous les cas, et au moins éegale àa la somme SB(V ) de ses
nombres de Betti quand aucun de ces points critiques n’est déegéenéerée.
Comme c (Tn ) = n et SB(Tn ) = 2n , ce réesultat contient le théeorèeme 3.1.1 et le
point (iii) du théeorèeme permet une géenéeralisation de 3.1.3 :
Corollaire (Hofer [10]) Soient V une sous-variéetée compacte de Rn et (gt ) une
isotopie hamiltonienne de T ∗ V . Les variéetées lagrangiennes V × {0} et g1 (V × {0}) se
coupent en au moins c (V ) points, et au moins SB(V ) quand toutes ces intersections
sont transverses.
3.4
La conjecture de Weinstein dans R2n
3.4.1 Enoncé
e du thé
eorè
eme
On se donne une hypersurface (sous-variéetée de codimension 1) compacte et connexe
M de T ∗ Rn . Le théeorèeme de Jordan-Brouwer affirme alors que T ∗ Rn \ M a une
seule composante connexe bornéee Ω et donc en particulier que M est orientable (la
déemonstration la plus simple consiste àa caractéeriser Ω comme l’ensemble des points
x ∈ T ∗ Rn \ M tels que les demi-droites issues de x coupent géenéeriquement M
55
Marc Chaperon
en un nombre impair de points). Les autres composantes connexes de T ∗ Rn \ M
constituent ce que nous appellerons l’extéerieur de M .
On peut donc “éepaissir” M en un tube
Mε = {x + tνx : x ∈ M et − ε < t < ε} ,
où
u νx est la normale unitaire àa Tx M , orientéee vers l’extéerieur ; en effet, pour ε assez
petit,
h
ε
x + tνx ∈ Mε
] − ε, ε[×M (t, x) −→
est un difféeomorphisme ; on peut donc construire un hamiltonien H : T ∗ M → R
constant dans chaque composante connexe du compléementaire de Mε et tel que
H ◦hε (t, x) = u(t)
dans ] − ε, ε[×M , où
u u(t) est constante au voisinage de −ε et de ε et éegale (par
exemple) àa t prèes de 0. Il en réesulte que 0 est valeur réegulièere de H et que H −1 (0) =
M.
Caracté
eristiques Dans cette situation, soit X le champ hamiltonien engendrée
par H ; pour x ∈ M et v ∈ Rn , par déefinition de X,
(−dλRn )x (X(x), v) = dHx · v ;
il en réesulte que la direction caractéeristique χx de M en x, c’est-àa-dire l’orthogonal
de Tx M pour (dλRn )x , n’est autre que RX(x) ; comme l’orthogonal de X(x) contient
X(x) par antisyméetrie de (dλRn )x , on a donc χx ⊂ Tx M . La restriction de X àa M
est donc un champ de vecteurs sur M . Les courbes intéegrales (ou orbites) de X|M ,
c’est-àa-dire les images des solutions maximales de x = X(x), sont les courbes dont
la tangente en chaque point x est χx ; elles ne déependent donc pas du choix du
hamiltonien H ayant M pour niveau réegulier. On les appelle les caractéeristiques de
M ; elles forment le feuilletage caractéeristique, partition de M en courbes immergéees :
si ρt déesigne le flot de X, chaque caractéeristique C est l’image de l’immersion t →
ρt (x) pour tout x ∈ C − c’est bien une immersion car, 0 éetant valeur réegulièere de
H, le champ X ne s’annule pas sur M . Une telle caractéeristique C est dite ferméee
quand c’est l’image d’une solution péeriodique
Hypersurfaces de type contact Sous les hypothèeses préecéedentes, on dit que M
est une hypersurface de type contact quand il existe une 1–forme α sur un voisinage
de M telle que dα = −dλRn et que l’on ait αx |χx = 0 pour tout x ∈ M . Le réesultat
suivant prouve une conjecture d’Alan Weinstein :
56
Thé
eorè
eme (Viterbo [14]) Toute hypersurface compacte de type contact dans
∗ n
T R a au moins une caractéeristique ferméee.
3.4.2 La dé
emonstration
Comme les translations de T ∗ Rn préeservent la structure symplectique, nous supposerons que 0 apprtient àa la composante connexe bornéee Ω du compléementaire de
M.
Nous allons construire un hamiltonien H véerifiant les hypothèeses du théeorèeme
3.1.4, et tel que celui-ci entraı̂ıne l’existence d’une caractéeristique ferméee sur M .
La construction de H au voisinage de M va s’effectuer comme dans le paragraphe
préecéedent, mais en remplaçcant hε par un difféeomorphisme gε tirant parti du fait que
M est de type contact.
Soit donc α une 1–forme satisfaisant aux conditions éenoncéees dans la déefinition
d’une hypersurface de type contact. En multipliant α par une fonction àa support
compact dans dom(α) éegale àa 1 au voisinage de M , on peut supposer α globalement
déefinie sur T ∗ Rn et àa support compact (bien entendu, dα n’est éegale àa la structure
symplectique standard qu’au voisinage de M ). Déefinissons alors le champ de vecteurs
Y sur T ∗ Rn par
ιY dλRn + α = 0;
La formule d’homotopie des Cartan donne
LY (−dλRn ) = d(−ιY dλRn ) = dα ,
qui vaut −dλRn au voisinage de M ; par déefinition de la déerivéee de Lie, si σ t est le
flot de Y , il existe donc δ > 0 tel que l’on ait
(σ t )∗ (−dλRn )
x
= et (−dλRn )x
pour tout (t, x) ∈ [−δ, δ] × M . Comme les caractéeristiques d’une hypersurface compacte sont inchangéees quand on remplace dans leur déefinition la forme symplectique
−dλRn par une des formes symplectiques et (−dλRn ), on en déeduit le
Scolie 1 Pour −δ < t < δ, les caractéeristiques de σ t (M ) sont les images par σ t
de celles de M . Pour trouver une caractéeristique ferméee sur M , il suffit donc d’en
trouver une sur une des σ t (M ) avec −δ < t < δ.
Nous n’avons pas utilisée pour l’instant les rapports particuliers de α avec les caractéeristiques de M ; réeparons cette omission :
57
Marc Chaperon
Scolie 2 On a Y (x) ∈ Tx M pour tout x ∈ M . Par conséequent, pour ε ∈]0, δ] assez
petit, l’application
g
ε
] − ε, ε[×M (t, x) −→
σ t (x)
est un difféeomorphisme sur un ouvert Mε 0 de T ∗ Rn .
Déemonstration Si H est un hamiltonien ayant M pour niveau réegulier et que
l’on appelle X le champ hamiltonien qu’il déefinit, on a Y (x) ∈ Tx M pour un x ∈ M si
et seulement si dHx Y (x) = 0, ce qui s’éecrit aussi (−dλRn )x(X(x), Y (x)) = 0, c’estàa-dire αx X(x) = 0 par déefinition de Y . Comme χx = RX(x), c’est incompatible
avec le choix de α. La seconde assertion en réesulte grâace au théeorèeme d’inversion
locale, appliquée en chaque point de {0} × M , et àa un argument de compacitée.
Le théeorèeme de Viterbo est une conséequence imméediate du théeorèeme 3.1.4 et du
Lemme [11] On peut contruire un hamiltonien H : T ∗ M → R satisfaisant aux
hypothèeses de 3.1.4 et posséedant en outre les propriéetées suivantes :
(i) il existe K > 0 tel que, pour 0 < b < K, le niveau H −1 (b) soit un des σ t (M )
avec −ε < t < ε ;
(ii) Avec les notations du théeorèeme 3.1.4, on ne peut avoir ρtH (a) = a et A(a) > 0
que pour 0 < H(a) < K.
Déemonstration Soit B une boule ouverte de centre 0 ∈ T ∗ Rn , de rayon R
assez grand pour que l’on ait
Mε ∪ Ω ⊂ B;
déefinissons H dans B par


H
=0
H=K


H ◦gε (t, x) = Ku(t)
dans Ω \ Mε (et donc en 0)
dans B \ (Mε ∪ Ω)
pour (t, x) ∈] − ε, ε[×M ,
où
u u vaut 0 prèes de l’extréemitée de ] − ε, ε[ correspondant àa Ω, vaut 1 prèes de l’autre
extréemitée, et est strictement monotone entre ces deux valeurs.
Si l’on a pris la préecaution de choisir
3πR2
,
2
il existe une fonction v : R → R de classe C ∞ posséedant les propriéetées suivantes :
K>


 v(t)
=K
v(t) = 3πt/2

 v (t) > 0
pour t ≤ R2
pour t ≥ 4R2
pour R2 < t < 4R2 ;
58
on achèeve alors de déefinir un H véerifiant (i) en posant
H(x) = v(|x|2 ) pour |x| ≥ R.
Bien entendu,
A(a) =
0
−K
si H(a) = 0
si H(a) = K ;
il reste donc àa prouver qu’on a A(a) ≤ 0 pour ρ1H (a) = a et H(a) > K. Le problèeme
ne se pose que pour R < |a| < 2R (car ρ1H (a) = a n’a pas de solution pour |a| ≥ 2R) ;
sous cette hypothèese, en notant ρtH (a) = (Qt (a), P t (a)), une intéegration par parties
donne
1
0
1
d t
1
d t
d t
t
P (a)
P t (a)
Q (a) dt =
Q (a) − Qt (a)
P (a)
dt
dt
dt
0 2
dt
puisque ρtH (a) = a ; par déefinition des éequations de Hamilton, cela vaut
1
0
c’est-àa-dire
1
DH(ρtH (a)) · ρtH (a) dt ,
2
1
0
v (|ρtH (a)|2 ) |ρtH (a)|2 dt
et donc, puisque t → H(ρtH (a)) (et donc t → |ρtH (a)|) est constante,
1
0
d t
P (a)
Q (a) dt = v (|a|2 ) |a|2 .
dt
t
On a donc
A(a) = v (|a|2 ) |a|2 − v(|a|2 ) ;
la fonction t → tv (t) − v(t) a pour déerivéee v (t), qui est positive pour R2 < t <
4R2 ; comme elle est nulle pour t = 4R2 , on a bien A(a) < 0 pour ρ1H (a) = a et
R < |a| < 2R.
3.5
En guise de conclusion
Le théeorèeme principal a d’abord [4] éetée formulée en termes d’intéegrale curviligne, ce
qui a l’avantage de montrer que le cas “convexe” 2.3 s’obtient (dans cette formulation géeoméetrique) par restriction du cas géenéeral. La premièere déemonstration “raisonnable” [12] du corollaire 3.3.4 s’inspirait de [5]. L’article [11] a donnée naissance
àa la “théeorie des capacitées symplectiques” d’Ekeland-Hofer, dont Claude Viterbo a,
semble-t-il, donnée réecemment une version plus proche du point de vue de ce cours.
59
Marc Chaperon
60
RÉ
EFÉ
ERENCES
[1] V. I. ARNOLD, Sur une propriéetée topologique des applications globalement canoniques de la méecanique classique, C. R. Acad. Sc. Paris 261 (1965), Groupe
1, 3719–3722.
[2] V. I. ARNOLD, Méethodes mathéematiques de la méecanique classique, Mir, Moscou (1976).
[3] M. CHAPERON, Quelques questions de géeoméetrie symplectique [d’aprèes, entre
autres, Poincarée, Arnold, Conley et Zehnder], Séeminaire Bourbaki, Astéerisque
105–106 (1983), 231–249.
[4] M. CHAPERON, Une idéee du type “géeodéesiques briséees” pour les systèemes
hamiltoniens, C. R. Acad. Sc. Paris t. 298 (1984) séerie A, 293–296.
[5] M. CHAPERON, An elementary proof of the Conley-Zehnder theorem in symplectic geometry, dans Braaksma, Broer et Takens, Dynamical systems and
bifurcations, Springer Lecture Notes in Mathematics 1125 (1985), 1–8.
[6] M. CHAPERON, E. ZEHNDER, Quelques réesultats globaux en géeoméetrie symplectique, dans P. Dazord, N. Desolneux-Moulis, Géeoméetrie symplectique et de
contact : autour du théeorèeme de Poincarée-Birkhoff, Travaux en cours, Hermann
(1984), 51–121.
[7] C. C. CONLEY, E. ZEHNDER, The Birkhoff-Lewis fixed point theorem and a
conjecture of V. I. Arnol’d, Invent. math. 73 (1983),. 33–49.
[8] A. FLOER, Morse theory for lagrangian intersections, J. Diff. Geom. 28 (1988),
513–547.
The unregularized gradient flow of the symplectic action Comm. in pure and
appl. math. 41 (1988), 775–813.
A relative Morse index for the symplectic action, Comm. in pure and appl.
math. 41 (1988), 393–407.
Witten’s complex and infinite dimensional Morse theory, J. Diff. Geom. 30
(1989), 207–221.
Cuplength estimates for Lagrangian intersections, Comm. in pure and appl.
math. 42 (1989), 335–356.
61
Marc Chaperon
[9] M. GROMOV, Pseudo-holomorphic curves in symplectic manifolds, Invent.
math. 82 (1985), 307–347.
[10] H. HOFER, Lagrangian embeddings and critical point theory, Ann. Inst. H.
Poincarée, Analyse non linéeaire, Vol. 2 no 6 (1985), 407–462.
[11] H. HOFER, E. ZEHNDER, Periodic solutions on hypersurfaces and a result by
C. Viterbo, Invent. math. 90 (1987), 1–9.
[12] F. LAUDENBACH, J. C. SIKORAV, Persistance d’intersection avec la section
nulle..., Invent. math. 82 (1985), 349–357.
[13] J. C. SIKORAV, Problèemes d’intersections et de points fixes en géeoméetrie hamiltonienne, Comm. math. Helvet. Vol. 62 No 1 (1987), 62–73.
[14] C. VITERBO, A proof of the Weinstein conjecture in R2n , Ann. Inst. H. Poincarée, Analyse non linéeaire (1987).
Ré
efé
erences additionnelles (1995)
L’article [15] contient une extension de notre théeorèeme principal àa la géeoméetrie
de contact et diverses applications. Yu.V. Tchekanov a fini par réediger ses réesultats
de 1986, qui devraient paraı̂ıtre bientôot (en russe) dans Functional Analysis and its
applications ; en géeoméetrie de contact, son approche diffèere un peu de [15].
La construction trèes éeléementaire qui fait l’objet de ce cours et de [15] ne s’applique malheureusement qu’àa des espaces “assez linéeaires”. Pour obtenir des réesultats
sur les intersections lagrangiennes éetendant le théeorèeme de Hofer (corollaire 3.3.4)
àa des variéetées symplectiques géenéerales, deux voies semblaient possibles : suivre jusqu’au bout une idéee simple en bravant d’éenormes difficultées analytiques, ou se ramener au théeorèeme de Hofer en “aspirant les isotopies considéeréee dans un morceau
de cotangent” ; la premièere voie a éetée suivie par Floer [8] il y a presque dix ans, alors
que la seconde a éetée exploréee plus réecemment par Françcois Laudenbach [17].
Le lecteur trouvera une excellente introduction au travail de Floer et bien
d’autres réesultats dans [16]. L’article de Viterbo mentionnée tout àa la fin du texte
est [18].
[15] M. CHAPERON, On generating families, dans H. Hofer, C.H. Taubes, A. Weinstein, E. Zehnder (Editors), The Floer Memorial Volume, Birkhäauser (1995),
283–296.
[16] H. HOFER, E. ZEHNDER, Symplectic Invariants and Hamiltonian Dynamics,
Birkhäauser, 1994.
[17] F. LAUDENBACH, Engouffrement symplectique et intersections lagrangiennes,
Comm. math. Helvet., àa paraı̂ıtre.
[18] C. VITERBO, Symplectic topology as the geometry of generating functions,
Math. Annalen 292 (1992), 685–710.
62
TABLE DES MATIÈ
ERES
Préeface
page i
1
Rappels et compléements
1.1 Applications linéeaires continues
1.2 Calcul difféerentiel àa une variable
1.3 Applications difféerentiables
1.4 Déerivéees d’ordre supéerieur
1
1
3
6
10
2
Familles géenéeratrices
2.1 Théeorèemes d’existence globale
2.2 La construction principale
2.3 Cas des hamiltoniens convexes par rapport àa p
15
15
24
28
3
Applications
3.1 Réesultats sur les tores et les espaces euclidiens
3.2 Compléements de géeoméetrie difféerentielle
3.3 Réesultats de Hofer, Sikorav et Tchekanov dans les cotangents
3.4 La conjecture de Weinstein dans R2n
3.5 En guise de conclusion
35
35
43
51
55
59
Réeféerences
61
63

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