Le fichier (6 pages)

Théorème d’irréductibilité de Hilbert
Colas Bardavid
20 janvier 2005 : la galette de Binet
Préliminaires : irréductibilité
Définition 1 Soit k un corps et soit P ∈ k[X
P 1 , . . . , Xn ] un polynôme à n indéterminées
à coefficients dans k ; on peut écrire P = α∈Nn aα X1α1 · · · Xnαn , où la somme est à
support fini. On appelle degré total de P et on note deg P l’entier maxaα 6=0 (α1 + · · · +
αn ).
Définition 2 Soit P ∈ k[X1 , . . . , Xn ] non constant. On dit que P est irréductible
si lorsqu’on décompose P = QR dans k[X1 , . . . , Xn ], on a forcément deg P = 0 ou
deg Q = 0.
1
Introduction
Soit un k un corps.
Soit P (t, X) un polynôme à deux variables ; on verra t comme un paramètre et
X comme l’indéterminée. On a P (t, X) ∈ k[t, X] et en particulier P ∈ k(t)[X], ce
qui nous permettra de voir P comme un élément d’une algèbre de polynômes L[X]
au-dessus d’un corps.
1.1
Spécialisations et spécialisations acceptables
k[t] → k
le morphisme d’évaluation. χt0 induit
Q(t) 7→ Q(t0 )
k[t, X] → k[X]
un morphisme χf
.
t0 :
P (t, X) 7→ P (t0 , X)
Est-ce que χf
t0 conserve bien les propriétés d’irréductibilité ? Par exemple, est-ce
que χf
t0 envoie les irréductibles sur les irréductibles, pour un t0 bien choisi ou pour
tous ? (non) De façon inverse, si on se donne un polynôme P irréductible, est-ce qu’il
existe un t0 tel que χf
t0 (P ) est encore irréductible ? Dans ce cas, on dira que t0 est
une spécialisation (P -)acceptable. Que peut-on dire sur l’ensemble des spécialisations
acceptables ?
Dans toute la suite, P est supposé irréductible et on note
Soit t0 ∈ k. Notons χt0 :
P =
N
X
ak (t)X k ,
k=0
où les ak (t) sont dans k[t] et où aN 6= 0. On supposera pour éviter les trivialités que
N ≥ 2.
1.2
Motivations (historiques)
Hilbert a étudié ce problème dans le but de construire des groupes de Galois.
1
1.3
Corps hilbertiens
Si k est un corps tel que la spécialisation χf
t0 conserve bien les propriétés d’irréductibilité,
on dit que k est un corps hilbertien. Plus précisément :
Définition 3 Soit k un corps. On dit que k est hilbertien si ∀r, s, n ∈ N∗ , ∀g ∈
k[t1 , . . . , tr ] \ {0}, ∀f1 , . . . , fn ∈ k[t1 , . . . , tr , X1 , . . . , Xs ] \ k[t1 , . . . , tr ] irréductibles,
∃(t?1 , . . . , t?r ) ∈ k r tel que g(t?1 , . . . , t?r ) 6= 0 et ∀0 ≤ i ≤ n, fi (t?1 , . . . , t?r , X1 , . . . , Xs ) ∈
k[X1 , . . . , Xs ] est irréductible.
Remarque : Il est équivalent de demander l’existence d’un r-uplet (t?1 , . . . , t?r ) ou
d’une infinité.
Exemples : R, Qp , C, Fpn , tous les corps algébriquement clos ne sont pas des corps
hilbertiens.
Q, tous les corps de nombres, k(X) pour tout corps k, tous les corps infinis finiment
engendrés sont des corps hilbertiens.
1.4
Étude du cas général
Soit L = k(t) une clôture algébrique de L.
On scinde dans L le polynôme P :
P = aN (t)
N
Y
(X − αi ) où ∀i, αi ∈ k(t).
i=1
Soit t0 tel que que aN (t0 ) 6= 0, comme on le supposera souvent. On peut alors
étendre χt0 à k[t, aN (t)−1 ]. Or les αi sont entiers au-dessus de k[t, aN (t)−1 ]. Comme
Serge Lang l’explique page 347 dans [Lang], on peut alors prolonger (algébriquement)
χt0 en :
1
χc
:
k[t]
[αi ]1≤i≤n → k.
t0
aN (t)
On notera (attention, ce n’est qu’une notation !) : χc
t0 (α) = α(t0 ).
En particulier, on a :
!
N
Y
χf
c
aN (t) (X − αi ) = aN (t0 )(X − αi (t0 )).
t0 (P (t, X)) = P (t0 , X) = χ
t0
i=1
S
{1, . . . , n} tel que
Q Ainsi, si P (t0 , X) ∈ k[X] est réductible, il existe
Q ∅
i∈S (X −αi (t0 )) soit dans k[X] sans que cependant
i∈S (X −αi ) ne puisse être dans
k(t)[X] puisqu’on a supposé P irréductible. C’est donc qu’il existe yS ∈ k[αi ]1≤i≤n
tel que d’une part yS ∈
/ k(t) mais yS (t0 ) ∈ k.
En contraposant, on obtient que (∀∅ S {1, . . . , n}, yS (t0 ) ∈
/ k) ⇒ P (t0 , X) irréductible.
Une piste possible pour l’étude de la hilbertiannité d’un corps k est donc d’étudier
le corps k(t).
1.5
Théorèmes de Puiseux (pour la culture)
On dispose en particulier des théorèmes suivants.
Si k est un corps, on note k((X)) le corps des fractions
P de k[[X]], les séries formelles
à coefficients dans k. Tout élément de k((X)) s’écrit k≥n0 ak X k où n0 ∈ Z et ak ∈ k.
Théorème 4 (Théorème de S
Puiseux formel) Soit k un corps algébriquement clos
de caractéristique nulle. Alors, n≥1 k((X 1/n )) est une clôture algébrique de k((X)).
Définition 5 On note C{X} et on appelle algèbre des séries formelles convergentes
la C-algèbre des séries formelles dans C[[X]] qui ont un rayon de convergence non
nul. On note ChXi ⊂ C((X)) son corps des fractions.
2
Théorème 6 (Théorème de Puiseux analytique 1)
algébrique de ChXi.
S
n≥1
ChX 1/n i est une clôture
Définition 7 Soit r > 0. On note A(r) l’anneau des fonctions définies et continues
sur {z ∈ C/|z| ≤ r} et holomorphes à l’intérieur de ce domaine.
Théorème 8 (Théorème de Puiseux analytique 2) Soit r > 0. Soit P ∈ A(r)[X]
unitaire de degré n. Alors, il existe ρ > 0, un entier e et n éléments x1 , . . . , xn dans
A(ρ) tels que :
n
Y
P (z e , X) =
(X − xi (z))
i=1
1.6
Le théorème d’irréductibilité de Hilbert (1892)
Le but de cet exposé est de démontrer que Q est hilbertien. Plus précisément :
Théorème 9 Soit P (t, X) ∈ Q[t, X] un polynôme irréductible. Alors :
a) il y a une infinité de spécialisations t0 ∈ Q P -acceptables.
b) il y a une infinité de spécialisations t0 ∈ Z P -acceptables et une infinité de
spécialisations t0 ∈ P P -acceptables.
c) l’ensemble {t0 ∈ Q/P (t0 , X) irréductible} des spécialisations acceptables est dense
dans Q pour la topologie usuelle, pour toutes les topologies p-adiques et pour la
topologie de Zariski.
Remarque : Le premier point du b) entraı̂ne le a) et le c), en faisant des changements
de variables judicieux.
2
Démonstration du théorème d’irréductibilité de
Hilbert
Rappelons qu’on a fixé P ∈ k[t, X] irréductible, etc. Maintenant, on fixe k = Q.
2.1
Étude de Q(t)
Commençons par une petite
Définition 10 On dit t0 ∈ Q est une valeur régulière si aN (t0 ) 6= 0 et si P (t0 , X) ∈
Q[X] est à racines simples dans C.
On montre en utilisant l’irréductibilité de P la
Proposition 11 Toutes les spécialisations t0 ∈ Q sauf un nombre fini d’entre elles
sont régulières.
Muni de ces armes, on peut énoncer le :
Théorème 12 (théorème des fonctions implicites analytique) Soit t0 ∈ Q un
spécialisation régulière. Alors, il existe N fonctions x1 (t), . . . , xN (t) définies autour
de t0 , deux-à-deux distinctes en tout point et analytiques en t0 telles que :
P∞
(i)
(i)
xi (t) = k=0 Ak (t − t0 )k avec Ak ∈ Q[xi (t0 )]
∀1 ≤ i ≤ N, ∀ |t − t0 | petit, P (t, xi (t)) = 0
3
Donnons une esquisse de preuve de ce théorème.
Démonstration : Par un changement de variable on se ramène au cas où t0 = 0 et, quitte
à soustraire à P une de sesPracines, au cas où P (t0 , 0) = 0. Notre polynôme s’écrit alors
P (t, X) = a0,1 X + a1,0 t + i+j≥2 ai,j ti X j . La régularité de t0 nous dit que a0,1 6= 0 et
P
donc, quitte à diviser P par −a0,1 , on peut écrire P (t, X) = −X + a1,0 t + i+j≥2 ai,j ti X j .
P∞
k
Supposons alors
P que la série formelle x(t) = k=1 Bk t vérifie P (t, x(t)) = 0. Cela s’écrit
x(t) = a1,0 t + i+j≥2 ai,j ti x(t)j . Par récurrence, on en déduit que les Bk sont uniquement
déterminés par les formules Bk = pk (ai,j )i,j≤k où pk est un polynôme à plusieurs variables
à coefficients entiers positifs.
Il faut alors montrer que cette série formelle a un rayon de convergence non nul. Soit A
plus grand que tous les |ai,j |. On considère alors le problème où on a remplacé tous les ai,j par
A. On trouve des coefficients Bk0 qui sont plus grands que |Bk |. Cependant, on sait résoudre
P
explicitement aussi l’équation x(t) = At + i+j≥2 Ati x(t)j et la solution est analytique en
0. On connaı̂t donc la forme locale des α ∈ Q(t).
2.2
Un changement de variable
Soit T0 une valeur régulière.
On pose Q(t, X) = P T0 + 1t , X td où d est le plus grand des degrés des ak (t),
grâce à quoi Q(t, X) ∈ Q[t, X]. Ce changement de variable est pertinent dans la mesure où Q(t, X) est encore irréductible et où si t0 est une spécialisation Q-acceptable,
alors T0 + t10 est une spécialisation P -acceptable.
Par ailleurs, on a
∀i ≤ N, ∀ |t| suffisamment grand, Q(t, αi (t)) = 0 avec
k
P∞
(i)
∀i, αi (t) = k=0 Ak 1t ∈ C
En particulier, miracle de l’algèbre polynômiale, si t0 est suffisamment grand, on
a la factorisation :


Y
N
1


Q(t0 , X) = td0 aN T0 +
X − αi (t0 )
| {z }
t0 i=1
{z
}
|
∈C
=λ(t0 )∈Q
Si on trouve des spécialisations Q-acceptables arbitrairement grandes, alors on
saura que t0 est un point adhérent à l’ensemble des spécialisations P -acceptables. En
particulier, on en déduira que l’ensemble des spécialisations P -acceptables est dense
dans Q pour la topologie usuelle.
2.3
Le moteur de la preuve
Supposons que t0 ∈ Q est une spéciliasation inacceptable, c’est-à-dire que Q(t0 , X) ∈
QN
Q[X] est réductible. Comme Q(t0 , X) se scinde dans C en λ(t0 ) i=1 (X − αi (t0 )),
c’est donc forcément qu’il existe deux paquets de racines ∅
S
{1, . . . , n} et
{1, . . . , n} \ S tels que
Y
Y
Q(t0 , X) = λ(t0 )
(X − αi (t0 ))
(X − αi (t0 ))
i∈S
i∈S
/
est une factorisation dans Q[X] de Q(t0 , X).
Cependant, n’oublions pas que Q(t, X) ∈ Q[t, X] est irréductible. En particulier,
si on relève la décomposition de Q(t0 , X) en une décomposition
Y
1 Y
Q(t, X) = td aN T0 +
(X − αi (t))
(X − αi (t)),
t
i∈S
4
i∈S
/
Q
Q
on voit qu’un au moins des coefficients de i∈S (X − αi (t)) ou de i∈S
/ (X − αi (t)),
qu’on notera yS , n’est pas dans Q(t). Cependant, yS (t0 ) ∈ Q puisque la factorisation
considérée provient d’une factorisation dans Q[X].
En contraposant, on obtient que (∀∅ S {1, . . . , n}, yS (t0 ) ∈
/ Q) ⇒ Q(t0 , X) irréductible.
Dès lors, notre nouveau but est de montrer que si y est l’une des fonctions yS ,
alors, {t0 ∈ Z/y(t0 ) ∈ Q} est petit.
2.4
Entièreté
Notons y une des fonctions yS . Comme y est une somme de produits de αi , y est
algébrique au-dessus de Q(t). Ainsi, quitte à multiplier y par R ∈ Z[t], Ry est entier
au-dessus de Z[t]. Si t0 ∈ Z et y(t0 ) ∈ Q alors, Ry(t0 ) ∈ Q en même temps que
Ry(t0 ) est entier au-dessus de Z. Ainsi, Ry(t0 ) ∈ Z. On note maintenant z = Ry et
on cherche à montrer que {t0 ∈ Z/z(t0 ) ∈ Q} = {t0 ∈ Z/z(t0 ) ∈ Z} est petit.
Comme tous les αi s’expriment comme série entière au voisinage de l’infini, il en
k
P∞
est de même de tous les yS , de y et de z : on peut écrire z(t) = k=0 Bk 1t pour
|t| suffisamment grand, avec les Bk ∈ C. Par ailleurs, comme les yS ne sont pas des
fractions rationnelles, z n’est pas un polynôme.
2.5
L’essence (arithmétique) qui fait tourner le moteur
Lemme 13 Soient t0
t0 < t? < tm tel que
1 t0
(m) ?
f (t ) 1 t1
= .
..
..
m!
.
1 tm
< t2 < · · · < tm ∈ R et f ∈ C m ([t0 , tm ], R). Alors, il existe
t20
t21
..
.
· · · t0m−1
· · · t1m−1
..
.
t2m
m−1
· · · tm
·
f (tm ) |
f (t0 )
f (t1 )
..
.
t0
t1
..
.
t20
t21
..
.
· · · t0m−1
· · · t1m−1
..
.
1 tm
t2m
m−1
· · · tm
{z
1
1
..
.
Vm
−1
m tm )
}
tm
0
tm
1
..
.
Démonstration : C’est plus ou moins le théorème de Rolle.
On distingue alors deux cas : si {t0 ∈ Z/z(t0 ) ∈ Z} est un ensemble fini, en
particulier, ψ(N ) = #{t0 ∈ Z, |t0 | ≤ N/z(t0 ) ∈ Z} ∈ O(N 1−ε ) pour un certain ε > 0.
D’autre part, si {t0 ∈ Z/z(t0 ) ∈ Z} est un ensemble infini, alors les Bk de l’écriture
k
P∞
z(t) = k=0 Bk 1t sont forcément tous réels (sinon, la partie imaginaire de z(t) est
équivalente à c/tk0 pour un certain k0 au voisinage de l’infini et est donc non nulle
à partir d’un certain rang, ce qui empêche z d’avoir une infinité de valeurs réelles en
des points entiers).
Par ailleurs, comme z n’est pas un polynôme, en la dérivant un nombre suffisant
(disons m) de fois, on tue tous les monômes tk où k ≥ 0. Alors, z (m) (t) ∼t→∞ tpq et
donc, pour t ≥ A, 0 < |z m (t)| < 2|p|
tq . On peut alors appliquer le lemme à la fonction
z et aux entiers t0 < t1 < · · · < tm tous plus grands que A et tels que z(ti ) ∈ Z.
La non nullité de z (m) (t? ) entraı̂ne que les matrices qui interviennent dans le
lemme, qui sont à coefficients entiers, sont de module plus grand que 1. On a
(m) ? z (t ) 2 |p|
1
< q .
≤ Vm
m! t0
Q
m(m+1)
m(m+1)
Or, V = 0≤i<j≤m (tj − ti ) < (tm − t0 ) 2 . Donc : (tm − t0 )− 2
< V1m ≤
(m) m? z (t ) 2|p|
m! < tq . Donc, ∃λ > 0/tm − t0 > tλ0 , ce qui signifie que les ti sont de plus en
0
plus écartés. On va en déduire que ψ(N ) est un O(N 1−ε ).
2.6
Fin de la démonstration
1
On pose α = 1+λ
. Comptons les ti entiers compris entre 0 et N tels que z(ti ) ∈ Z.
D’abord, dans [0, N α [, il y en a au plus N α . Ensuite, dans [N α , N ], si N α > A et si
5
on classe les {ti }0≤i≤M par ordre croissant, on a ti+m − ti > tλi > N αλ . On fait la
division euclidienne M = km + r de M et on écrit :
N > N − N α ≥ t M − t0
= tkm+r − tkm + (tkm − t(k−1)m ) + (t(k−1)m − t(k−2)m ) + · · · + (tm − t0 )
≥ kN αλ + tkm+r − tkm ≥ (k + 1)N αλ .
Le nombre de ti dans l’intervalle, km + r + 1, peut donc être majoré par (k + 1)m ≤
mN 1−αλ = mN α .
Finalement, en mettant bout à bout les majorations et en faisant le même travail
pour les ti négatifs, on obtient que ψ(N ) est un O(N 1−ε
S).
De même, #{t0 ∈ Z, |t0 | ≤ N/∃S, yS (t0 ) ∈ Q} = # S {t0 ∈ Z, |t0 | ≤ N/yS (t0 ) ∈
0
Q} est un O(N 1−ε ). Donc le complémentaire de cet ensemble dans Z ∩ [−N, N ] a
00
un cardinal plus grand que N − N 1− au voisinage de +∞. On en conclut qu’il y a
une infinité de spécialisations t0 Q-acceptables, ce qui achève la preuve du fait que
les spécialisations acceptables sont denses pour la norme usuelle.
Remarque : En fait, la même démonstration prouve que pour une famille finie de
polynômes Pi ∈ Q[t, X] irréductibles, il y a une infinité dense de spécialisations acceptables pour tous les Pi en même temps. Il suffit, au lieu d’étudier les fonctions yS
d’un polynôme, d’étudier en même temps toutes les fonctions yS de tous les Pi .
2.7
Généralisation dans Q[t1 , . . . , tr , X1 , . . . , Xs ]
Nous nous contenterons de présenter la transformation de Kronecker qui permet
(voir [Hadlock]) de faire cette généralisation.
Soit k un corps ; on note P(k, n, d) l’ensemble {f ∈ k[X1 , . . . , Xn ]/∀i, degXi f < d}
et Q(k, n, d) l’ensemble {f ∈ k[Y ]/ deg f ≤ dn − 1}. Alors,
P(k, n, d) → Q(k, n,d)
2
n−1
,
f (X1 , . . . , Xn ) 7→ fb = f Y, Y d , Y d , . . . , Y d
appelée transformation de Kronecker, est une bijection qui vérifie ∀f, g ∈ P(k, n, d), fcg =
fbgb.
Grâce à cette transformation, on peut transposer un problème de réductibilité
dans k[X1 , . . . , Xn ] en un problème dans k[Y ].
Proposition 14 (Critère de Kronecker) Soit f ∈ P(k, n, d). Alors, f est irréductible
si et seulement si, pour toute factorisation fb = GH avec gb = G et b
h = H, on a
gh ∈
/ P(k, n, d).
Références
[Lang] Serge Lang, Algebra, troisième édition révisée, Springer.
Pour la preuve du théorème de Hilbert
[Hadlock] C. R. Hadlock, Field Theory and its classical problems, Carus Mathematical
Monographs, Mathematical Association of America, 1978, chapitre 4.
Pour les résultats sur les corps hilbertiens
[1] Schinzel, Polynomials with special regard to reductiblity.
Pour les théorèmes de Puiseux
[2] Jean-Marie Arnaudiès, Séries entières, séries de Puiseux, séries de Fourier et
compléments sur les fonctions presque périodiques, Ellipses, 1999.
[3] Antoine Chambert-Loir, Algèbre corporelle, disponible sur Internet.
6