Correction du contrôle 2 Question 1 : Factoriser (sur R et C) le

Correction du contrôle 2
Question 1 : Factoriser (sur R et C) le polynôme X 4 − 1.
Correction : L’identité remarquable a2 − b2 = (a − b)(a + b) permet d’écrire
X 4 − 1 = (X 2 − 1)(X 2 + 1).
Comme le polynôme X 2 + 1 est de degré 2 et n’a pas de racines réelles, il est irréductible sur
R. Ainsi la factorisation sur R du polynôme X 4 − 1 s’écrit X 4 − 1 = (X − 1)(X + 1)(X 2 + 1),
tandis que la factorisation sur C du même polynôme s’écrit X 4 −1 = (X −1)(X +1)(X −i)(X +i).
Question 2 : Factoriser (sur R et C) le polynôme X 4 + 1.
Correction : Le polynôme X 4 + 1 n’admettant aucune racine réelle, sa factorisation sur R est de
la forme
X 4 + 1 = (X 2 + aX + b)(X 2 + cX + d).
On cherche les réels a, b, c, d par conditions nécessaires. On doit avoir a + c = 0, d + ac + b = 0,
ad + bc = 0 et bd = 1. En√prenant b√= d = 1, le système précédent devient a + c = 0, ac = −2.
Ceci incite à prendre a = 2, b = − 2, b = d = 1. On vérifie alors en effet que
√
√
X 4 + 1 = (X 2 − 2X + 1)(X 2 + 2X + 1).
Les deux trinômes de la décomposition précédente ayant un discriminant strictement négatif, ils
sont irréductibles sur R. Ainsi, l’égalité ci-haut fournit la factorisation de X 4 + 1 sur R. Pour
trouver la factorisation sur C, on cherche les racines complexes des deux trinômes précédents
avec les formules usuelles. On trouve, après calculs,
−1 + i
−1 − i
1+i
1−i
4
X +1= X − √
X− √
X− √
X− √
.
2
2
2
2
C’est la factorisation sur C du polynôme X 4 + 1.
Question 3 : En déduire la liste des racines huitièmes de l’unité.
Correction : Comme X 8 − 1 = (X 4 + 1)(X 4 − 1), en regroupant les résultats des deux questions
précédentes on trouve que les racines huitièmes de l’unité sont :
1−i 1+i
±1, ±i, ± √ , ± √ .
2
2
1