Perspective parallèle

Projection parallèle
Définition
Etant donné un plan P, appelé plan de projection, et une direction d
non parallèle à P, la projection
sur P selon la direction d est
l’application p de l’espace sur
P telle que :
P
p (M) = m signifie que la
m
d
droite  de direction d
n
passant par M coupe P en m.
La projection sur P d’une
figure de l’espace donne une
figure plane qui servira de
représentation à la figure de
l’espace.
N
M
Cas particulier : Projection orthogonale sur un plan :
En effectuant des projections orthogonales sur divers plans, on obtient
des vues de l'objet que l'on veut représenter (très utilisées en dessin
technique).
M. Poncy
15/12/2012
Pratiquement
On suppose P vertical (comme un tableau) et d oblique.
On considère l’angle  de la projetée  d’une perpendiculaire à P avec
une droite horizontale de P.
P
m
d
n
N
M
 est appelée fuyante
 est appelé angle des fuyantes ou angle de fuite
Si on considère deux points M et N placés sur une même
perpendiculaire au plan P et leurs projetés m et n, le quotient
mn
est
MN
appelé (improprement) rapport de réduction (ou rapport de
projection).
M. Poncy
15/12/2012
Perspective cavalière
Utilisée pour la première fois de façon systématique au 16ème siècle.
Définie pour son utilisation en architecture par Augustin Choisy au
19ème siècle.
On effectue une perspective cavalière d'un parallélépipède, et plus
généralement d'un objet tri - orthogonal, lorsqu'on effectue une
projection parallèle sur un plan parallèle à une face de l'objet, suivant
une direction non orthogonale au plan de projection.
M. Poncy
15/12/2012
Propriétés de la perspective cavalière
1) L’application p n’est pas bijective.
2) Trois points alignés sont représentés par trois points alignés.
3) Si une droite a pour direction d, elle est représentée par un point,
sinon elle est représentée par une droite.
4) Deux droites parallèles dont la direction n’est pas d sont
représentées par deux droites parallèles.
5) Si les droites (MN) et (PQ) sont parallèles, la direction n’étant
pas d, et si les points M, N, P, Q sont représentés par m, n, p, q,
alors :
mn MN
=
.
pq PQ
En particulier, le milieu de [MN] est représenté par le milieu de
[mn].
6) Un cercle est représenté par une ellipse.
On ajoute la convention :
Les arêtes cachées sont dessinées en pointillés.
M. Poncy
15/12/2012
Un même cube peut avoir plusieurs représentations en perspective
cavalière.
M. Poncy
15/12/2012
Construire un cube en perspective cavalière :
- De rapport 0,5 et d’angle de fuite 90° ;
- De rapport 0,9 et d’angle de fuite 90° ;
- De rapport 0,3 et d’angle de fuite 45° ;
- De rapport 0,5 et d’angle de fuite 45° ;
- De rapport 0,9 et d’angle de fuite 45° ;
- De rapport 0,2 et d’angle de fuite 30° ;
- De rapport 0,9 et d’angle de fuite 30° ;
- De rapport 0,3 et d’angle de fuite 0° ;
- De rapport 0,9 et d’angle de fuite 0°.
M. Poncy
15/12/2012
M. Poncy
15/12/2012
On distingue :
 Le point de vue : c’est l’endroit où se trouve l’observateur.
Pour que l’objet soit représenté avec un certain effet de volume,
il faut que l’observateur soit placé un peu à droite ou à gauche
sur une droite horizontale (parallèle à la droite d’horizon), et un
peu au – dessus ou au – dessous sur une droite verticale.
 Les plans frontaux : ce sont les plans parallèles à P.
 Les fuyantes : ce sont les droites perpendiculaires à P.
 Les faces fuyantes : ce sont les faces contenant des fuyantes.
Dans le cas du cube, ce sont les faces latérales ou supérieures.
Propriétés géométriques générales :
 L’alignement des points est conservé ;
 Le parallélisme des droites est conservé (sauf quand la droite a la
direction de la projection ;
 Les rapports de longueurs de deux segments parallèles sont
conservés (et en particulier les milieux sont conservés).
Propriétés géométriques sur les faces frontales :
 Les dimensions sont conservées ;
 Les angles ont leur mesure réelle.
Propriétés géométriques sur des faces fuyantes :
 Les segments verticaux sont représentés par des segments
verticaux dont les longueurs sont les vraies longueurs.
M. Poncy
15/12/2012
L’AFNOR (Association française de normalisation)
recommande d’utiliser la perspective cavalière PC (
1
; 45°)
2
qu’elle appelle projection cavalière courante.
Son inconvénient majeur est que les fuyantes et les diagonales du
carré de la face frontale sont confondues.
Point de vue de l’observateur
Soit  l’angle des fuyantes.
 Si  = 90°, la perspective est orthogonale ;
 Si 0° <  < 90° : le point de vue est à droite et au – dessus de
l’objet ;
 Si 90° <  < 180° : le point de vue est à gauche et au – dessus de
l’objet ;
 Si   ]-180° ; -90°[ ou   ]-90° ; 0°[ : le point de vue est au –
dessous de l’objet.
M. Poncy
15/12/2012
Perspective axonométrique
Les axonométries correspondent à des projections orthogonales sur le
plan du dessin.
Au lieu de privilégier une face de l'objet à représenter, on peut
privilégier un sommet, un "angle". On parle alors de perspective
axonométrique.
Dans une perspective axonométrique d’un cube, on dispose le cube de
sorte qu’aucune des faces du cube ne soit parallèle au plan de
projection.



Soit ( O; OI ; OJ ; OK ) un repère orthonormal. Dans une perspective
axonométrique qui privilégie le point O, on fixe les angles entre les
représentations des trois directions (OI), (OJ) , (OK), avec un rapport
de réduction particulier sur chacune.
Exemples :
$1$$2$$3$
30
120
60
Perspective isométrique
120° ; 120° ; 0,82 ; 0,82 ; 0,82
M. Poncy
Perspective tri métrique
120° ; 105° ; 0,92 ; 0,65 ; 0,86
15/12/2012
Perspective isométrique
Perspective dimétrique
M. Poncy
15/12/2012
Perspective trimétrique
M. Poncy
15/12/2012