P - Toubkal

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P - Toubkal

UNIVERSITÉ MOHAMMED V – AGDAL
FACULTÉ DES SCIENCES
Rabat
N° d’ordre : 2549
Département de Physique
UFR : Applications des Techniques Nucléaires
Laboratoire de Physique Nucléaire
THESE DE DOCTORAT
Présentée par
Abdelfettah BENCHRIF
Discipline : Physique
Spécialité : Physique des Réacteurs Nucléaires
Etude neutroniques des réacteurs nucléaires innovants, de longue durée
de vie et à faible et à moyenne puissance, BWR-PB et AFPR-100 basés
sur les concepts du combustible : CERMET et TRISO, moyennant des
codes de calcul APOLLO2 et SRAC95
Soutenue le 29 Octobre 2011, devant le jury composé de
Président
Mohammed LFERDE
Professeur, Faculté des Sciences, Rabat
Examinateurs
Abdelouahed CHETAINE
Abdelmajid SAIDI
Abdellatif JEHOUANI
Amina KHARCHAF
Oum Keltoum BOUHELAL
Moussa BOUNAKHLA
Professeur, Faculté des Sciences, Marrakech
Professeur, Faculté des Sciences, Kénitra
Professeur, Ecole Nationale d’Industrie Minérale, Rabat
Docteur Es Sciences, CNESTEN, Rabat
À mes parents, qui savent être toujours là et à qui je dois tant.
À mes frères et mes sœurs.
À la mémoire de ma grande mère (qu’Allah ait pitié de son âme).
Et à ceux qui ont su m'apporter leur soutien dans les périodes difficiles.
Résumé
Etude neutroniques des réacteurs nucléaires innovants, de longue durée de vie et à faible et à moyenne
puissance, BWR-PB et AFPR-100 basés sur les concepts du combustible : CERMET et TRISO, moyennant des codes
de calcul APOLLO2 et SRAC95.
Afin de répondre à la demande accrue à l’énergie nucléaire par les pays sous développés, l’Agence
Internationale de l’Energie Atomique (AIEA) lance un projet de recherche (CRP) pour le développement
des nouveaux concepts des réacteurs nucléaires, intitulé : « Small Reactors without On-site Refueling ».
Ces réacteurs ont été conçus afin de pouvoir satisfaire aux besoins de ces pays et respecter toutes les
normes de sûreté exigées pour l’utilisation de ces types de technologies en tenant compte notamment de
l’aspect économique. Ainsi, ces réacteurs, de longue durée de vie et à faible et à moyenne puissance, ont
été défini tel qu’ils ont la possibilité de fonctionner sans rechargement et changement du combustible pour
une période raisonnablement longue en respectant le non prolifération de la matière fissile.
C’est dans l’optique d’étudier la faisabilité neutronique de ces concepts des réacteurs nucléaires et
d’estimer la prolongation de leurs cycles de vie, sans rechargement et changement du combustible, que
s’inscrit ce travail de thèse. Plus précisément, cette thèse a pour objectif d’une part de calculer certains
paramètres neutroniques pour deux concepts des réacteurs innovants : BWR-PB et AFPR-100 basant sur
les combustibles CERMET et TRISO, et d’autre part de mettre en évidence l’influence majeure de
l’utilisation des tels types de combustibles sur les différents paramètres neutroniques et notamment la
réactivité. Cette étude est effectuée moyennant des codes de calcul APOLLO2, CRONOS2 et SRAC95.
Les paramètres à évaluer sont : le facteur de multiplication infinie, le spectre neutronique, le facteur de
conversion instantanée, la composition isotopique et l’indice du spectre. L’évaluation de ces paramètres
nous permet de mettre en évidence l’intérêt de ce travail qui est de montrer que les dits réacteurs ont la
capacité de fonctionner pour une longue durée de vie sans rechargement ou changement du combustible.
Abstract
Neutronic study of an innovative small and medium sized reactor of a long lifetime, BWR-BP and AFPR-100,
based on CERMET and TRISO fuel concepts using APOLLO2 and SRAC95 codes.
In the order to meet the increased demand for nuclear energy by the developing countries, the
International Atomic Energy Agency (IAEA) launched a Coordinated Research Project (CRP) on "Small
Reactors without On-Site Refueling. These small nuclear reactors without the need for on-site refueling
have a greater simplicity, better compliance with passive safety systems and are more adequate for
countries with small electric grids and limited investment capabilities. It will help the developing countries
to develop their economy, but at the same time these reactors must not lead to the proliferation of a
nuclear material, which could be used to fabricate weapons. Besides, it is defined as reactors which have
a capability to operate without refueling and reshuffling of fuel for a reasonably long period consistent with
the plant economics and energy security, with no fresh and spent fuel being stored at the site outside the
reactor during its service life.
The purpose of this study was to study some neutronic parameters for two nuclear reactors, as well
as: BWR-PB and AFPR-100 based on CERMET and TRISO fuel concept. We assume to contribute to the
evaluation of these parameters with the aim of predicting both their static and dynamic behavior before
starting on concrete processes, an optimization of fuel core parameters for fuel cycle characteristics
improvement and a core lifetime extension. The investigation of these neutronic parameters and the
burnup characteristics of assemblies and reactor cores were carried out by the calculation codes
APOLLO2, CRONOS2 and SRAC95.
In this work, all the parameters as well as Infinite Multiplication Factor, Neutron Spectrum,
Instantaneous Conversion Ratio, Isotope Compositions and Spectrum Index were calculated for the fuel
core with CERMET and TRISO fuel concept. The evaluation of these parameters shows that the aim of
this study can be verified that its life time can be extended for a reasonably period without outside
refuelling.
i
Avant Propos
Ce travail de thèse a été réalisé au sein du « Laboratoire de Physique Nucléaire (LPN) »
de la Faculté des Sciences de Rabat, Université Mohammed V-Agdal, dans l'Unité de Formation
et de Recherche « Applications des Techniques Nucléaires». Le sujet de thèse a été dirigé par
Monsieur A. CHETAINE, Professeur d’Enseignement Supérieur à la Faculté des Sciences de
Rabat, Université Mohammed V-Agdal. Je lui suis reconnaissant de m’avoir accueilli dans son
équipe, pour m’avoir initié à la recherche et pour la confiance qu’il m’a accordée dès mon
premier jour dans son laboratoire. Qu’il me soit permis de lui témoigner toute ma grande
reconnaissance. Son souci de rigueur, sa direction attentive et ses conseils m’ont été d’une grande
utilité pour mener à bien cette étude.
Je tiens également à exprimer ma reconnaissance envers Monsieur M. LFERDE,
Professeur à la Faculté des Sciences de Rabat, Université Mohammed V-Agdal, pour l'honneur
qu'il me fait en acceptant de présider le Jury de cette thèse.
Je remercie vivement Monsieur A. SAIDI, Professeur à la Faculté des Sciences de Rabat,
Université Mohammed V-Agdal, qui m’a fait l’honneur d’accepter de faire partie du membre de
jury de ce travail.
Je témoigne ma grande gratitude à Monsieur A. JEHOUANI, Professeur à la Faculté des
Sciences Semlalia de Marrakech, pour avoir accepté de juger ce travail et pour l’intérêt et le soin
qu’il a apporté à l’évaluation de ce manuscrit. Je le remercie également pour l’honneur qu’il m’a
fait en acceptant de faire partie du jury.
Madame A. KHARCHAF, Professeur à la Faculté des Sciences de Kénitra, m’a fait
l’honneur de s’intéresser à ce travail et de le juger. Qu’elle trouve ici l’expression de mes sincères
remerciements.
Je tiens également à exprimer ma reconnaissance envers Madame O. K. BOUHELAL,
Professeur à l’Ecole Nationale d’Industrie Minérale de Rabat, pour l'honneur qu'il me fait en
acceptant de faire partie du Jury de cette thèse.
ii
Monsieur le Docteur M. BOUNAKHLA, Responsable de l’Unité Géochimie et Pollution
au CNESTEN, a bien voulu prendre part au jury de cette thèse. Je suis heureux de lui exprimer le
témoignage de mes sincères remerciements.
Je tiens à exprimer ma profonde gratitude à Monsieur E. Mury, Ingénieur d'Etude
Neutronique et Physique des Cœurs à EDF, France. Je lui témoigne ici toute ma reconnaissance
pour l'aide qu'il m'a apportée et pour l'enthousiasme qu'il a manifesté à l'égard de ce travail.
Je fais une spéciale dédicace à mon cher ami Monsieur H. AMSIL, Cadre Chercheur au
CNESTEN, pour ses précieuses recommandations et ses efforts qui ont aidé mes travaux de
recherche.
Ma vive reconnaissance va à mes collègues de l’Unité Géochimie et Pollution au
CNESTEN, pour leurs encouragements et leur soutien moral durant la rédaction du manuscrit de
thèse.
Qu'il me soit permis d'adresser mes plus vifs remerciements à Monsieur A. BELABAR,
Technicien Supérieur au CNESTEN, pour son aide fructueuse et amicale.
Bien entendu, un grand remerciement à tous les membres de ma famille pour leur soutien
moral qu’ils ont pu me fournir pendant les moments difficiles et pour leur légendaire patience.
iii
Table des matières
Résumé ____________________________________________________________________________________i
Avant Propos _______________________________________________________________________________ ii
Introduction________________________________________________________________________________ 1
Chapitre I : Introduction à la neutronique _______________________________________________________ 4
1
Généralités____________________________________________________________________________ 5
1.1
Introduction: création et disparition des neutrons dans le réacteur _____________________________ 5
1.2 Interaction des neutrons avec la matière__________________________________________________ 5
1.2.1
Section efficace _________________________________________________________________ 6
1.2.2
Types d'interaction neutron-noyau _________________________________________________ 6
1.2.2.1
Diffusion élastique potentielle ________________________________________________ 7
1.2.2.2
Modèle du noyau composé___________________________________________________ 7
1.2.3
Variation des sections efficaces ____________________________________________________ 9
1.2.4
Sections efficaces résonnantes : loi de Breit et Wigner_________________________________ 10
1.2.5
Effet DOPPLER _________________________________________________________________ 12
2
Théorie de transport des neutrons _______________________________________________________ 13
2.1
Introduction________________________________________________________________________ 13
2.2 Equation de BOLTZMANN _____________________________________________________________ 14
2.2.1
Densité et flux de neutrons_______________________________________________________ 14
2.2.2
Equation de générale ___________________________________________________________ 15
2.2.3
Équation intégro-différentielle de transport _________________________________________ 17
2.2.3.1
Sources de fission _________________________________________________________ 18
2.2.4
Simplifications de l'équation du transport ___________________________________________ 19
2.2.4.1
Hypothèses concernant les sections efficaces ___________________________________ 19
2.3
Équation du transport en régime stationnaire_____________________________________________ 21
2.4
Criticité et facteur de multiplication_____________________________________________________ 22
2.5
Expression sous forme d’opérateurs_____________________________________________________ 24
2.6
Conditions aux limites ________________________________________________________________ 25
2.7 Forme intégrale de l'équation du transport _______________________________________________ 25
2.7.1
Détermination de l'équation intégrale ______________________________________________ 25
2.7.2
Forme simplifiée _______________________________________________________________ 26
3
Résolution de l'équation du transport_____________________________________________________ 27
3.1 Les méthodes déterministes ___________________________________________________________ 28
3.1.1
Discrétisation de l'équation du transport ___________________________________________ 28
3.1.1.1
Traitement multigroupe ____________________________________________________ 29
3.1.1.2
Discrétisation des variables d'espace pour la résolution de l'équation intégrale________ 31
3.1.1.3
Discrétisation angulaire pour la résolution de l'équation intégro-différentielle ________ 39
3.1.1.4
Discrétisation spatiale pour la résolution de l'équation intégro-différentielle__________ 42
3.2
Phénomène de l'autoprotection ________________________________________________________ 46
3.2.1.1
Introduction ______________________________________________________________ 46
3.2.1.2
Traitement du phénomène de l’autoprotection _________________________________ 47
3.3 Les méthodes probabilistes____________________________________________________________ 48
3.3.1
Principe général de la méthode de Monte-Carlo______________________________________ 48
iv
3.3.2
Adéquation à la neutronique _____________________________________________________ 49
3.3.2.1
Étude du transport des neutrons à l'aide de la méthode de Monte-Carlo _____________ 49
3.3.2.2
Simulation analogues du transport des neutrons ________________________________ 50
3.3.2.3
Caractère aléatoire de l'histoire des neutrons ___________________________________ 52
3.3.2.4
Utilisation de la méthode de Monte Carlo dans les calculs de criticité________________ 53
Chapitre II : Outils et codes de calcul utilisés ____________________________________________________ 55
1
Outils de calcul _______________________________________________________________________ 56
1.1 Evaluation nucléaire _________________________________________________________________ 56
1.1.1
Evaluation JEF2.2_______________________________________________________________ 57
1.1.2
Evaluation JENDL 3.3____________________________________________________________ 57
1.2
2
Bibliothèque CEA 93 _________________________________________________________________ 58
Codes de calcul neutronique ____________________________________________________________ 59
2.1 Codes déterministes en transport_______________________________________________________ 59
2.1.1
Code APOLLO__________________________________________________________________ 59
2.1.1.1
Généralités_______________________________________________________________ 59
2.1.1.2
Calcul de transport par le code APOLLO2_______________________________________ 60
2.1.2
Code CRONOS _________________________________________________________________ 61
2.1.2.1
Généralités_______________________________________________________________ 61
2.1.2.2
Organisation des données___________________________________________________ 62
2.1.2.3
Langage de programmation et exécution du code _______________________________ 63
2.1.2.4
Principaux domaines d’application de CRONOS__________________________________ 63
2.1.2.5
Procédures CPROC_________________________________________________________ 64
2.1.2.6
Description schématique d'un calcul CRONOS stationnaire ________________________ 64
2.1.3
Code SRAC ____________________________________________________________________ 66
2.1.3.1
Généralités_______________________________________________________________ 66
2.1.3.2
Principales fonctions du code SRAC ___________________________________________ 67
2.1.3.3
Schéma de calcul dans le code SRAC __________________________________________ 68
2.2 Code Monte-Carlo : MCNP ____________________________________________________________ 70
2.2.1
Généralités ___________________________________________________________________ 70
2.2.2
Description de la géométrie ______________________________________________________ 70
2.2.3
Description de la source _________________________________________________________ 71
2.2.4
Description des données nucléaires. _______________________________________________ 71
2.2.5
Sorties de MCNP _______________________________________________________________ 72
2.2.6
Simulation du transport des neutrons par MCNP _____________________________________ 72
Chapitre III : Description des benchmarks et calcul neutronique ____________________________________ 74
1
Présentation des benchmarks ___________________________________________________________ 75
2
Description du combustible utilisé : TRISO _________________________________________________ 75
3
Conception du réacteur BWR-PB _________________________________________________________ 78
3.1
Description des assemblages étudiés ____________________________________________________ 78
3.2
Description des cellules étudiés ________________________________________________________ 79
3.3
Condition du calcul __________________________________________________________________ 80
3.4
Schéma du calcul d’assemblage BWR-PB_________________________________________________ 82
3.5
Présentation des paramètres neutroniques à calculer ______________________________________ 83
3.6 Résultats obtenus et commentaires _____________________________________________________ 86
3.6.1
Spectre neutronique ____________________________________________________________ 86
v
3.6.2
3.6.3
3.6.4
3.6.5
3.6.6
L’évolution isotopique___________________________________________________________ 88
Usure du combustible et composition isotopique _____________________________________ 89
Facteur de multiplication infini____________________________________________________ 94
Rapport de conversion instantanée ________________________________________________ 97
Indice du spectre _______________________________________________________________ 98
3.7 Calcul du cœur BWR-PB ______________________________________________________________ 99
3.7.1
Configuration du cœur BWR-PB ___________________________________________________ 99
3.7.2
Schéma de calcul du cœur BWR-PB _______________________________________________ 100
3.7.3
Facteur de multiplication infini du cœur BWR-PB ____________________________________ 101
3.8 Influence du poison neutronique consommable : Gadolinium _______________________________ 102
3.8.1
Introduction__________________________________________________________________ 102
3.8.2
Description des assemblages avec la présence du poison______________________________ 103
3.9 Résultats obtenus et commentaires ____________________________________________________ 105
3.9.1
Spectre neutronique ___________________________________________________________ 105
3.9.2
Usure du combustible et composition isotopique ____________________________________ 107
3.9.3
Facteur de multiplication infini___________________________________________________ 112
3.9.4
Rapport de Conversion Instantanée_______________________________________________ 115
3.9.5
Indice du spectre ______________________________________________________________ 116
3.10
4
Comparaison avec le code MCNP ___________________________________________________ 117
Conception du réacteur AFPR-100 _______________________________________________________ 121
4.1
Introduction_______________________________________________________________________ 121
4.2
Description du cœur d’AFPR-100 ______________________________________________________ 122
4.3
Schéma de calcul du cœur ___________________________________________________________ 124
4.4
Condition du calcul _________________________________________________________________ 125
4.5 Résultats obtenus et commentaires ____________________________________________________ 126
4.5.1
Spectre neutronique ___________________________________________________________ 126
4.5.2
Usure du combustible et formation du plutonium ___________________________________ 127
4.5.3
Facteur de multiplication infini___________________________________________________ 129
4.5.4
Rapport de conversion instantanée _______________________________________________ 130
4.6
Comparaison avec le code MCNP ______________________________________________________ 131
Chapitre IV : Comparaison neutroniques des concepts du combustible CERMET et TRISO. ______________ 132
1
Introduction_________________________________________________________________________ 133
2
Description du combustible utilisé : CERMET ______________________________________________ 133
3
Comparaison neutroniques des concepts TRISO et CERMET __________________________________ 134
3.1 Cas du réacteur BWR-PB_____________________________________________________________ 134
3.1.1
Calcul de cellule_______________________________________________________________ 134
3.1.2
Calcul d’assemblage ___________________________________________________________ 138
3.2 Cas du réacteur AFPR-100____________________________________________________________ 143
3.2.1
Calcul de cellule_______________________________________________________________ 143
3.2.2
Calcul du cœur________________________________________________________________ 147
3.3
Comparaison avec le code MCNP ______________________________________________________ 150
Conclusion _______________________________________________________________________________ 154
Références _______________________________________________________________________________ 158
vi
Liste des tableaux _________________________________________________________________________ 162
Liste des figures___________________________________________________________________________ 164
Liste des publications et des communications __________________________________________________ 167
vii
Introduction à la neutronique
Introduction
Le début du vingtième siècle marqua par une demande accrue sans précédente des besoins
énergétiques de l’humanité, aussi bien à des fins domestiques qu’industrielles. Pour faire face à
cet accroissement, et également pour assurer une indépendance énergétique apparue comme
essentielle lors des différents chocs pétroliers, de nombreux pays du monde, dont les pays sousdéveloppés, se sont résolument tournés vers l’électronucléaire. Cette nouvelle orientation
énergétique s’est traduite par l’essor de la recherche des nouveaux concepts des réacteurs
nucléaire respectant toutes les normes de sûreté et de sécurité exigées pour l’utilisation de ces
types de technologies et également satisfaisant les besoins de ces pays en tenant compte
notamment de l’aspect économique et de l’infrastructure.
Dans ce contexte, l’Agence Internationale de l’Energie Atomique (AIEA) a lancé un
projet de recherche (CRP) pour le développement des nouveaux concepts des réacteurs
nucléaires, intitulé : « Small Reactors without On-site Refueling ». Quatre conceptions ont été
proposées par différents pays. Ils s’agissent de, PFPWR50 (Particle Fuel Presurised Water
Reactor) du Japon, FBNR (Fixed Bed Nuclear Reactor) du Brésil, AFPR-100 (Atoms For Peace
Reactor at a power of 100 MWe) des Etats Unis et BWR-PB (Boiling Water Reactor With
Pebble-Bed Coated Particles) de la Russie. Ces réacteurs, de longue durée de vie et à faible et à
moyenne puissance, ont été définis tel qu’ils ont la possibilité de fonctionner sans rechargement
et changement du combustible pour une période raisonnablement longue en respectant la non
prolifération de la matière fissile. Ainsi, ils ne permettent pas de stocker ni le combustible frais ni
celui usé en dehors du réacteur pendant sa durée de fonctionnement. Seuls les deux derniers
réacteurs seront traités.
Ce travail de recherche s’inscrit dans l’optique de la tendance internationale de
développement des nouveaux concepts des réacteurs nucléaires. Il porte essentiellement sur
l’évaluation de certains paramètres neutroniques par la modélisation en 2D et/ou 3D du cœur des
réacteurs BWR-PB et AFPR-100.
Ainsi, les concepts des deux réacteurs nucléaires, BWR-PB et AFPR-100, présentent une
particularité assez remarquable. Elle réside, autre que la possibilité de fonctionner pour une
1
période raisonnablement longue sans rechargement et changement du combustible, dans
l’utilisation d’un combustible sphérique de type TRISO semblable à celui du réacteur HTR (High
Temperature Reactor). Le combustible TRISO est sous forme de microsphères composées de
noyaux de matière fissile enrobés de différentes couches de matériaux réfractaires. A cause de
problème d’intégrité du combustible TRISO à basse température (environ 260°C), un nouveau
concept du combustible a été proposé. Il s’agit du combustible CERMET. Ce dernier se compose
de microsphères d’oxyde d’uranium enrichi, gainées d’une couche en zirconium, émergées dans
une matrice en zirconium pour produire une macro-sphère enrobée à son tour par une couche en
zirconium.
Les cœurs des réacteurs nucléaires sont des systèmes physiques complexes, dont la
modélisation neutronique s'appuie sur l'équation de BOLTZMANN régissant l'évolution de la
population des neutrons au sein du cœur du réacteur. Cette modélisation s’appuie sur des codes
de calcul utilisés pour la résolution de cette équation. Parmi ces codes, nous citons APOLLO2,
CRONOS2 et SRAC95. Les bibliothèques des données nucléaires qui ont été utilisées sont
JENDL-3.3, ENDF/B-VI et JEF-2.2. Ces bibliothèques contiennent les informations concernant
les interactions des neutrons avec les constituants du réacteur.
Nous avons fixé trois objectifs principaux :
-
Etudier la capacité des réacteurs nucléaires BWR-PB et AFPR-100 de fonctionner pour une
période raisonnablement longue sans rechargement ou changement du combustible ;
-
Etudier le comportement neutronique des dits réacteurs utilisant deux concepts du
combustible: TRISO et CERMET ;
-
Evaluer l’impact de l’adaptation du combustible CERMET sur la durée de vie de ces
réacteurs et sur certains paramètres neutroniques durant le burnup.
Afin de répondre à ces objectifs, nous avons réalisé les travaux décrits dans quatre
chapitres de ce mémoire :
Le premier chapitre est consacré à une introduction générale des interactions des neutrons
avec la matière constituant le réacteur et à une présentation de l'équation de BOLTZMANN qui
régit le transport des neutrons dans le réacteur et dont la complexité justifie l'existence et
l'emploi, pour le calcul de ces réacteurs, des codes tels que APOLLO2, CRONOS2 et SRAC95.
2
Dans un deuxième temps, nous évoquons les deux formes distinctes que l’équation du transport
peut prendre, la forme intégrale et la forme intégro-différentielle qui, bien qu'équivalentes
mathématiquement, se traduisent par des méthodes de résolution très différentes. C'est alors
l'occasion de présenter succinctement ces méthodes de résolution, de manière théorique, puis de
la manière dont elles sont mises en œuvre dans les différents codes de calcul utilisés.
Le deuxième chapitre donne un aperçu général de la manière dont est mené le calcul
neutronique d'un réacteur nucléaire à l'aide d'un code du transport, et plus particulièrement code
déterministe. Il porte ainsi sur la description des codes de calcul utilisés et les grandes étapes d'un
calcul de transport moyennant les dits codes. Notons que ce chapitre ne prétend pas fournir une
présentation exhaustive du fonctionnement de ces codes, on s'y limite à la description de certains
points particuliers intervenant dans nos calculs.
Le troisième chapitre est réservé à la description des benchmarks, sujet de ce travail,
citant les différentes spécifications de chaque benchmark, allant du combustible aux géométries
utilisées. Ainsi, il synthétise les études ayant conduit à la détermination des paramètres
neutroniques au cours du burnup pour les différents benchmarks (BWR-PB et AFPR-100). Il
décrit aussi les différentes étapes de calcul, de dépouillement et d’interprétation des résultats. En
effet, nous avons commencé par la définition des différents paramètres à calculer et par les
approximations faites au cours de ces études, tenant compte du schéma de calcul recommandé. A
la fin de ce chapitre, nous avons étudié l’évolution des différents paramètres neutroniques au
cours du burnup ainsi que les écarts observables sur le facteur de multiplication infinie associés à
chaque benchmark à burnup nul à froid par modélisation Monté Carlo.
Dans le quatrième chapitre nous présentons les résultats de l’évaluation neutronique de
l’utilisation du concept du combustible CERMET construit à base du zirconium. Nous mettons
également en évidence l’influence majeure de l’adaptation du combustible CERMET sur la durée
de vie des réacteurs et sur les différents paramètres neutroniques notamment la réactivité.
Les différents résultats obtenus et des recommandations ainsi que des points qui
pourraient être développés pour compléter le présent travail sont synthétisés à la fin de ce
mémoire.
3
Chapitre I : Introduction à la neutronique
4
1 Généralités
1.1 Introduction: création et disparition des neutrons dans le réacteur
Dans le cœur d'un réacteur nucléaire, évolue dans le temps, une population des neutrons
qui, pris individuellement, naissent puis interagissent avec la matière jusqu'à y être absorbés et y
disparaître ou bien jusqu'à s'en échapper. Ce réacteur nucléaire est le siège des réactions
nucléaires de fission: le cœur du réacteur contient des noyaux lourds, qui sous l'action d'un
neutron peuvent se casser en plusieurs noyaux, libérant une grande quantité d'énergie ainsi que
deux ou trois nouveaux neutrons. Ceux-ci sont alors disponibles pour, à leur tour, provoquer de
nouvelles fissions sur d'autres noyaux lourds après la thermalisation : une réaction en chaîne est
possible.
Dans le cas des réacteurs thermiques les noyaux lourds concernés sont essentiellement des
noyaux d’Uranium. L'énergie cinétique élevée des neutrons issus de fission (environ 2 MeV) n'est
alors pas bien adaptée à l'entretien de cette réaction en chaîne. À cette énergie en effet, il est
beaucoup plus probable de voir les neutrons capturés par l'Uranium, ou de les voir fuir, que de les
voir conduire à une nouvelle fission. Afin de privilégier cette fission, pour entretenir la réaction
en chaîne, il convient donc de ralentir les neutrons jusqu'à un niveau où le rapport des
probabilités de ces évènements est plus favorable à la fission. Ce sont des noyaux légers (carbone
et hydrogène notamment, sous forme de graphite ou d'eau, que le réacteur contient donc
également), qui permettent ce ralentissement, par chocs successifs des neutrons sur ces noyaux
modérateurs.
En conséquence, entre sa naissance par fission et sa disparition finale (qui peut, ou non, se
traduire par une nouvelle fission), et bien que la durée moyenne de « vie » d'un neutron dans un
réacteur nucléaire soit très courte (de l'ordre de quelques millisecondes seulement), cette vie est
l'occasion de nombreuses interactions avec la matière constitutive du réacteur.
1.2 Interaction des neutrons avec la matière
Au sein d'un réacteur, la population neutronique est particulièrement dense, avec de
l'ordre de cent millions de neutrons par centimètre cube, ce qui en justifie une étude statistique et
permet de se limiter, en pratique, a l’étude du comportement moyen des neutrons dans le
5
réacteur. Malgré cela, pour se faire une idée précise des interactions que cette population peut
connaitre avec la matière constituant le réacteur, il est tout à fait fondamental de s'intéresser aux
phénomènes microscopiques qui régissent les interactions individuelles des neutrons avec cette
matière. Du fait de la neutralité électrique des neutrons, la seule forme possible pour l'interaction
de ces derniers avec la matière, lorsque ceux-ci traversent le réacteur, est celle de collisions avec
les atomes constituant ce réacteur. Ces collisions concernent alors les seuls noyaux des atomes.
1.2.1 Section efficace
Lorsque des neutrons libres et des noyaux sont en présence, le taux de réactions nucléaires
observées, ou nombre de réactions par unité de volume et de temps, dépend du nombre de
particules projectiles que sont les neutrons, ainsi que du nombre et de la nature des noyaux cibles.
La nature de la cible intervient sous la forme d'une probabilité d'observer une réaction lorsqu'un
neutron et un noyau de cette cible sont mis en présence. La grandeur caractéristique de cette
probabilité, notée σ, est appelée section efficace.
Si l'on considère une cible mince, d'épaisseur un noyau et contenant N noyaux par unité
de surface, que l'on bombarde perpendiculairement par un faisceau parallèle de neutrons
monocinétiques, d'intensité φ neutrons par unité de surface et par unité de temps, le nombre de
réactions nucléaires observées par unité de surface de la cible et par unité de temps, note τ, sera
donne par :
  N
(1.1)
L'intensité de la réaction étant caractérisée par le coefficient :


N
(1.2)
L'analyse dimensionnelle montre que σ a la dimension d'une surface. Elle est usuellement
exprimée en 10-24 cm2 ou barn, unité plus adaptée aux ordres de grandeurs rencontres. Elle varie
avec la nature du noyau cible, le type de réaction observée et l’énergie du neutron incident (plus
exactement avec la vitesse relative du neutron par rapport à sa cible).
1.2.2 Types d'interaction neutron-noyau
Lors d'une interaction neutron-noyau, deux situations se présentent :
6
- dans le cas d'une diffusion potentielle élastique, le neutron ne pénètre pas dans le noyau
cible ;
- dans le cas contraire, le neutron pénètre dans la cible, conduisant à la formation d'un
noyau composé dont la désexcitation se traduit par un grand nombre de réactions possibles [1]
1.2.2.1 Diffusion élastique potentielle
Cette réaction peut être décrite classiquement : on assiste a un choc élastique du neutron
sur le noyau cible qui se comporte comme une sphère dure. Ce type de réaction est observable
avec tous les types de noyaux, quelle que soit l'énergie du neutron incident. Malgré le caractère
apparemment simple de ce type d'interaction, une importante difficulté (que l'on retrouve au
moment des calculs) est liée à la possible anisotropie, plus ou moins marquée suivant les noyaux
mis en jeu, de ce type d'événement.
En outre, deux points importants pour la neutronique peuvent être révéler, concernant les
interactions des neutrons d'énergie comprise entre zéro et une dizaine de MeV :
1/ les interactions neutron-électron sont négligeables car, d'une part, la section efficace est
infime (seule une interaction faible est possible entre ces deux particules) et, d'autre part, le
rapport des masses est tel qu'une collision d'un neutron avec un électron ne modifierait guère sa
trajectoire. En effet, le parcours des neutrons est très long (à leur échelle), typiquement de l'ordre
du centimètre; autrement dit : un neutron traverse environ cent millions d'atomes avant de
rencontrer, par hasard, un noyau avec lequel il a une interaction. Donc, les neutroniciens n'ont pas
besoin d'introduire une modélisation précise des cortèges électroniques des atomes [2].
2/ les interactions neutron-neutron sont également négligeables, tant la probabilité d'une
rencontre de deux neutrons dans le réacteur est faible par rapport à celle des neutrons avec les
atomes.
1.2.2.2 Modèle du noyau composé
Lorsque le neutron pénètre dans le noyau cible, le phénomène d'interaction est trop
complexe pour pouvoir être explicite mathématiquement. On a alors recours à des modèles
nucléaires, bâtis pour permettre de rendre compte des faits observés expérimentalement. Pour les
réactions neutron-noyau intéressant la physique des réacteurs (neutrons incidents d'énergie
inferieure à une vingtaine de MeV), un modèle est particulièrement bien adapte à cette
7
description : celui du « noyau composé ».
On suppose dans ce modèle que le neutron incident est absorbé par le noyau, qui est alors
porté à une énergie d'excitation Ee égale à la somme de l’énergie cinétique Ec du neutron dans le
système du centre de masse (comprise entre zéro et quelques MeV) et de l’énergie de liaison El
que le neutron supplémentaire apporte (généralement de l'ordre de 7 MeV). Le noyau résultant,
qualifie de noyau composé, se trouve alors à un niveau d'énergie très éloigné de son niveau
d'énergie initiale.
Dans ce modèle, après capture du neutron, le noyau est dans un état excité. Ce niveau
excité a une durée de vie limité: le noyau composé finit par se désexciter et retomber à son niveau
fondamental. Plusieurs phénomènes physiques peuvent être à l'origine de cette désexcitation,
chacun d'eux étant appelé par une voie de sortie de la réaction, à laquelle correspond une section
efficace partielle qui comptera pour partie de la section efficace totale de la réaction. Les
principaux modes de désexcitation jouant un rôle important dans les réacteurs nucléaires sont:
1)
la diffusion résonnante élastique (n,n) lorsque le noyau résiduel est laissé dans son
état fondamental (réémission d’un neutron), ou la diffusion résonnante inélastique (n,n')
lorsque ce noyau est laissé dans un état encore excité, ce qui n'est possible que si l’énergie
cinétique du neutron incident est au moins égale à l’énergie du premier niveau
d’excitation du noyau cible.
2)
l’émission de rayonnement γ (un ou plusieurs γ) qui peut accompagner le retour du
noyau sur son état fondamental : c'est la capture radiative (n, γ).
3)
la possible scission du noyau composé en plusieurs morceaux : c'est la réaction de
fission (n,f).
4)
l’émission de plusieurs neutrons, (réactions (n,xn)) ou celle de particules chargées
(réactions (n,p) et (n,α)) qui sont également possibles, bien que rares.
Les différentes sections efficaces partielles peuvent être sommées pour former la section efficace
totale selon le schéma, figure 1.1.
On y distingue conventionnellement la section de diffusion qui englobe seulement les
réactions ayant un neutron unique en sortie, de celle d'absorption qui regroupe les autres.
8
Figure 1.1: Les principales réactions induites par les neutrons dans les réacteurs nucléaires.
Finalement, on y distingue conventionnellement entre la section efficace :
- de diffusion (scattering) pour toute réaction ré-émettant (au moins) un neutron;
- d'absorption pour toute réaction mettant fin au cheminement à l'état libre du neutron;
- de fission (induite) pour une absorption conduisant à la fission du noyau composé formé;
- de capture pour toute autre absorption.
On a donc :
- section efficace totale :  t   s   a ;
- section efficace d'absorption :  a   f   c .
1.2.3 Variation des sections efficaces
Les valeurs numériques des sections efficaces changent en fonction de la nature du noyau
cible et du type d'interaction neutron-noyau considéré. On a cependant coutume, du fait de
variations similaires de toutes les sections efficaces en fonction de l'énergie du neutron incident,
de distinguer quatre grands domaines pour ces variations :
9
- Le domaine thermique, lorsque l'énergie est inférieure à 1 eV. Les sections y présentent
d'une manière très générale des variations lentes avec de faibles gradients, même si quelques
exceptions notables existent (cas du Plutonium-239, par exemple, qui présente une résonance
importante à 0.3 eV),
- Le domaine des résonances résolues pour des énergies comprises entre 1 eV et quelques
dizaines de keV, où les sections présentent de brusques variations localisées,
- Le domaine des résonances non résolues ou statistiques, pour des énergies comprises
entre quelques dizaines et quelques centaines de keV. Les sections y conservent une structure
résonnante mais l'amplitude de ces résonances décroit avec l'énergie, tandis que leur densité
augmente. La séparation de ces résonances n'étant plus possible, on ne les décrit plus que par la
donnée de paramètres moyens,
- Enfin, le domaine du continuum, pour des énergies supérieures à quelques centaines de
keV, se caractérise par des résonances tellement nombreuses et proches que celles-ci se
recouvrent mutuellement conduisant à des variations à nouveau lentes des sections avec l'énergie.
1.2.4 Sections efficaces résonnantes : loi de Breit et Wigner
La représentation des sections efficaces au voisinage d'une résonance, où les gradients en
fonction de l'énergie sont quelquefois très importants, est délicate. On peut y parvenir par le biais
du formalisme de BREIT et WIGNER qui relie les variations des sections efficaces en fonction
de l'énergie aux paramètres caractéristiques des niveaux excités correspondants du noyau
composé.
En mécanique ondulatoire, une particule est décrite par le biais d'une fonction d'onde à
valeurs complexes, dont la norme en un point et à un instant donnés s'interprète comme la
probabilité de présence de cette particule en ce point et à cet instant. Ce formalisme, associe au
modèle du noyau composé, a permis à BREIT et WIGNER d'établir l'expression de la section
efficace caractérisant une interaction.
Dans ce formalisme, on associe à chaque voie de désintégration i du noyau composé une
10
largeur i 1, la largeur totale  étant alors la somme des largeurs partielles. L'ensemble des
données de l'énergie de la résonance, E0, des i , et de  constitue ce que l'on appelle les
paramètres de la résonance.
Pour les différentes réactions d'absorption, la section efficace partielle σi est alors donnée
en fonction de l'énergie par :
 i   2 g J
 n i
( E  E ) 2  ( / 2) 2
i= γ, f, n, …
(1.3)
 est la longueur d'onde réduite du neutron, et E son énergie cinétique totale dans le
-
système du centre de masse.

-
h
, avec μ la masse réduite.
2 2  E
gJ est un facteur statistique
gJ 
2J  1
, avec J le spin du noyau composé et I le spin du noyau cible.
2(2 I  1)
Pour la section de diffusion, il faut ajouter à cette relation donnant la diffusion résonnante,
la section de diffusion potentielle  p , ainsi qu'un terme traduisant une interférence entre ces deux
phénomènes :
 i   2 g J
 2n
 n ( E  E0 )
 2 g J  p
 p
2
2
( E  E0 )  ( / 2)
( E  E0 ) 2  ( / 2) 2
(1.4)
 p : section de la diffusion potentielle
2 g J  p
 n ( E  E0 )
: terme d’interférence.
( E  E0 ) 2  (  / 2) 2
La section totale, somme des sections partielles, s'obtient a partir de cette relation, en
remplaçant simplement  2n , au premier terme, par  n  i .
1
Largeur de la résonance :   

où τ est la durée de vie moyenne du noyau composé suivant la voie i (inverse de
sa constante de décroissance); la largeur Г a la dimension d'une énergie et s'exprime en pratique en électronvolts
ou, plus souvent, en meV.
11
Le formalisme ci-dessus, dite de simple niveau, a été établie par BREIT et WIGNER pour
une résonance isolée. Dans le cas où les résonances sont très espacées et n'ont aucune influence
les unes sur les autres, il est possible de représenter la section efficace totale par une section
efficace potentielle et une somme de termes résonnants symétriques et asymétriques. Dans le cas
le plus fréquent où les résonances ne peuvent plus être considérées comme très espacées, il se
produit des phénomènes d'interférences entre résonances. La prise en compte de ces interférences
nécessite l'emploi de formalismes multi-niveaux plus élaborés, tels que les formalismes "BRETT
et WIGNER multi-niveaux" ou "REICH et MOORE". [3]
1.2.5 Effet DOPPLER
Dans l’interaction neutron-noyau, les noyaux ne sont pas au repos, et sont toujours animés
d’un spectre de vitesse, dû à l’agitation thermique, généralement décrit par la fonction de
Maxwell-Boltzmann. En pratique, il faut tenir compte cette agitation thermique des noyaux
cibles, qui étaient jusqu'à présent considérés au repos.
En effet, la formulation des sections efficaces de BREIT et WIGNER est établie dans le
système du centre de masse, pour un neutron interagissant avec un noyau supposé au repos. Dans
la réalité, les observations sont faites dans le laboratoire, ce qui est différent. La relation entre
l'énergie E, dans le système du laboratoire, d'un neutron interagissant avec un noyau cible
immobile, et l'énergie E' de ce même neutron dans le système du centre de masse est
simplement :
E' 
M noyau
M noyau  mn
E
(1.5)
Par contre, deux phénomènes supplémentaires, contredisant l'hypothèse adoptée jusqu'ici
d'un noyau lourd libre et au repos au moment de l'interaction, sont plus gênants :
- les noyaux cibles ne sont jamais au repos en pratique puisque, sauf pour un gaz au zéro
absolu, et par suite de l'agitation thermique, ils sont toujours animes d'un certain spectre de
vitesse,
- les cibles sont communément constituées par des solides, le noyau en interaction est
donc lié aux autres atomes du solide par des liaisons cristallines et il faut considérer l'interaction
du neutron avec l'ensemble du cristal.
12
L'influence de ce mouvement du noyau sur l'allure de la section efficace est connue sous
le nom d'effet DOPPLER. Cet effet est le résultat combine de l'agitation thermique d'une part, et
des liaisons cristallines d'autre part, qui sont deux phénomènes couplés. Pour tenir compte de ces
effets, le modèle du gaz libre en mouvement reste utilisable, mais la température de l'interaction
est remplacée par une température effective supérieure à la température réelle [4]
2 Théorie de transport des neutrons
2.1 Introduction
La neutronique est l'étude du cheminement des neutrons dans la matière et des réactions
qu'ils y induisent, en particulier la génération de puissance par la fission de noyaux d'atomes
lourds [2].
La neutronique est une branche de la physique qui a la particularité d'être intermédiaire
entre le macroscopique et le microscopique. Fondamentalement, c'est la description de
l'interaction de particules élémentaires, les neutrons, avec les noyaux des atomes de la matière. À
ce titre donc, la neutronique dérive de la physique nucléaire. Mais, la population des neutrons
étant très nombreuse, on est amené à la traiter de façon globale en l'assimilant à un « fluide »
continu, comme cela est fait en mécanique des fluides.
Cette approche amène à reprendre, pour traiter la population neutronique, une équation
écrite, dans le cadre de ses travaux sur la mécanique statistique, par Ludwig Boltzmann en 1879,
soit plus d'un demi-siècle avant la découverte du neutron ! L'étude et le traitement numérique de
l'équation de Boltzmann pour les neutrons est le principal défi posé aux neutroniciens.
En effet, la très grande densité de la population neutronique dans le réacteur en justifie un
traitement statistique. Assez paradoxalement, cette population est dans le même temps fortement
diluée par rapport à celles des atomes du réacteur, avec de l'ordre d'un neutron pour cent mille
milliard d'atomes [4]. Cette grande dilution permet de considérer cette population comme un gaz
parfait monoatomique de très faible densité. L'interaction neutron-neutron peut être négligée, et
l'équation régissant le transport des neutrons dans le cœur du réacteur est alors linéaire2. Sur la
base de cette seule hypothèse, il est possible d'établir assez simplement l'équation exacte qui régit
2
Cette particularité, qui distingue notablement le « gaz » neutronique d'un gaz atomique a une conséquence
particulièrement importante : la modélisation de l'évolution de ce gaz ne fait pas intervenir de termes quadratiques
traduisant les interactions neutrons-neutrons. On a affaire à un problème linéaire, beaucoup plus simple à traiter.
13
le transport des neutrons dans le réacteur, c'est-à-dire l'évolution de la population neutronique.
On trouve, dans cette équation, deux opérateurs mathématiques traduisant les deux
facettes de la migration des neutrons : l'opérateur de transport et l'opérateur de collision. De leur
émission jusqu'à leur absorption, le cheminement des neutrons est, en effet, une alternance de
parcours en ligne droite, sans interaction avec la matière (en terme technique, c'est le « transport
» de ces particules), et d'interactions avec un noyau atomique (dans l'image d'un projectile venant
percuter une cible, c'est une « collision »).
2.2 Equation de BOLTZMANN
2.2.1 Densité et flux de neutrons
Avant d'établir l’équation de BOLTZMANN ou de TRANSPORT, il convient de préciser
la fonction mathématique choisie pour représenter la population neutronique. On peut retenir
pour ce faire la densité neutronique, qui se définit comme l'effectif moyen dans l'unité de «
volume ». Cette densité est plus générale que la notion de densité usuelle. Il faut en effet
décompter les neutrons dans l'espace, mais aussi selon le spectre (en énergie cinétique) ; il est
également utile de connaître la répartition en phase (selon les directions de la vitesse), le devenir
d'un neutron pouvant en dépendre fortement. Par ailleurs, l'effectif des neutrons n'a pas de raisons
à priori de rester constant dans le temps.
Cette densité est donc en principe fonction de sept variables dans l’espace des phases. Elle
exprime le nombre « n » de neutrons:
 par unité de volume au point

r (3 variables, coordonnées du vecteur).
 par unité de vitesse v ou bien d'énergie E (1 variable).

 par unité d'angle solide autour de la direction  (2 variables : colatitude et
longitude de  ).
 à l'instant t (1 variable).
En neutronique, comme le produit de la densité par la vitesse des neutrons intervient
souvent, nous utilisons la notion de flux défini par :




 (r , E , , t )  v.n(r , E , , t )
14
(2.1)
Le flux est commode pour exprimer le nombre des réactions du type i par unités de
volume et de temps ou taux de réaction qui est une grandeur fondamentale. Ce taux de réaction
est proportionnel au flux et au nombre N de noyaux par cm3 :





Ri ( r , E , , t )  N i (r , E ). (r , E , , t )
(2.2)
Le produit N i , appelé section efficace macroscopique et noté i représente le nombre
de réactions de type i probables par centimètre.
2.2.2 Equation de générale
L'équation de BOLTZMANN traduit un bilan de variation de la population neutronique
pendant un intervalle de temps infinitésimal, compte tenu des événements susceptibles d'affecter
les caractéristiques des neutrons, qui sont principalement :
- les disparitions par déplacement (ou fuites) ;
- les disparitions par chocs ;
- les arrivées par transferts d'énergie ;
- les naissances par sources.
Ce bilan peut être obtenu en tenant compte de la propriété fondamentale suivante : La probabilité
pour un neutron situé au point


r et se déplaçant dans un milieu matériel avec la vitesse v de
subir dans un élément de parcours infinitésimal ds un événement de type donné est indépendante
de l'histoire passée de ce neutron et est proportionnelle à ds, le facteur de proportionnalité étant
la section efficace macroscopique. [41]

3
On considère un élément de volume d r autour du point r , et un élément d'angle solide


d entourant le vecteur unitaire  .
1- Disparition par déplacement :
3
Soit ds un élément de surface entourant d r ; le nombre de neutrons traversant ds pendant

l'intervalle de temps dt dans la direction  à l'énergie E est :
 


 (r , E , , t )dEd 2 dt.nds
15
(2.3)
3
L'intégration de cette quantité sur toute la surface limitant l'élément de volume d r donne,
compte tenu du théorème d’Ostrogradsky, les fuites nettes :

 
div . (r , v, , t ) d 3 rdEd 2 dt

(2.4)




t (r , E , , t )(r , E, , t )d 3rdEd 2dt
(2.5)

2- Disparition par chocs :
Le taux de disparition est :


où t (r , E, , t ) est la section efficace macroscopique totale.
3- Arrivées par transferts d'énergie :
3
Le nombre de ces événements pendant l'intervalle de temps dt dans l'élément de volume d r est,
en intégrant sur toutes les directions
d 3rdEd 2 dt

(4 )

0

 et toutes les énergies E' de départ :

 '


 '
 s (r , E '  E ,   , t ) (r , E ' ,  , t )dE ' d 2 '
(2.6)

 '

où  s (r , E '  E ,   , t ) est la section efficace macroscopique de diffusion.
4- Sources éventuelles :


S (r , E , , t )d 3rdEd 2 dt
(2.7)
Le bilan global est obtenu par la sommation algébrique des quatre termes et de l'opérateur
d'évolution. La nature de chacune de ces contributions au bilan explique le signe avec lequel
celle-ci est comptabilisée: les disparitions ont une contribution évidemment négative tandis que
les apports ou les arrivées dans l'intervalle élémentaire, y augmentant le nombre de neutron, sont
logiquement comptés positivement.






1  (r , E , , t )



  div . (r , E , , t )  t (r , E , , t )  (r , E , , t ) 
v
t
 '
 '

 '  '



' 2 '

, t )

(
r
,
E

E
,



,
t
)

(
r
,
E
,

,
t
)
dE
d


S
(
r
,
E
,

 s

(4 )

0
16
(2.8)
Ceci est la forme originale de l’équation de BOLTZMANN, elle est intégrale par rapport à E et


 et différentielle par rapport à r et t.
2.2.3 Équation intégro-différentielle de transport
L'équation régissant la fonction représentative de la population neutronique telle que le
flux, est obtenue en établissant le bilan de la variation, entre les instantes t et t+dt, du nombre de
neutrons contenus dans l'intervalle élémentaire des autres variables qu'est drd 2  dv . On obtient
l'expression intégro-différentielle de l'équation de transport (intégrale par rapport aux variables v
et  , différentielle par rapport aux variables r et t) :
 

1  (r , v, , t )
 
 
 
 
  div . (r , v, , t )  t (r , v, , t )  (r , v, , t )  Q(r , v, , t ) (2.9)
v
t


Les trois termes intervenant au second membre de cette équation correspondent aux
différentes raisons de variation de la densité neutronique :

 
• div . (r , v, , t ) : le terme « déplacements » correspond aux disparitions de neutrons par


déplacements ou fuites.
 
 
• t (r , v, , t ) (r , v, , t ) : le terme « chocs » correspond aux sorties des neutrons de l'intervalle
élémentaire par chocs. Tous les types des chocs étant concernés, il faut logiquement intervenir la
 
 
r
section efficace totale, t (r , v, , t ) , en général fonction des quatre variables , v,  et t.
• Les émissions (sources et réémission par diffusion) qui s'expriment par la densité d’émission
 
Q ( r , v ,  , t ) définie par:
 

Q(r , v, , t )   dv '
0



 
 
2 '
 r , (v'  v,  '  )   (r , v' , ' , t )  S (r , v, , t )
d


s



(4 )
(2.10)
1. Le terme « transferts » correspond aux arrivées des neutrons dans cet intervalle par



transfert. Il fait intervenir  s (r ,(v ',  ')  (v, ), t ) , la section efficace différentielle
de
diffusion,
définie
comme
le
17
produit
de
la
section
efficace
de


diffusion s (r, v, , t ) au point




r , par la probabilité P( r , (v ',  ')  (v, )) , en ce
point, que la diffusion amène le neutron à la vitesse v, dans la direction  . Ces

évènements sont comptabilisés pour tous les couples (v ',  ') , justifiant l'intégrale
double.
2. Le terme « sources », correspond à la possibilité d'existence d'une source de neutrons
dans l'intervalle élémentaire considéré.


On notera que l'on a coutume d'appeler opérateur de diffusion, parfois noté D(r , v, , t ) ,
le terme de « transfert » intervenant dans cette équation. La somme de cet opérateur et du terme


de source est quant à elle appelée densité d’émission Q ( r , v, , t ) .
2.2.3.1 Sources de fission
Dans un réacteur en fonctionnement, on peut considérer que le terme « source » de
l'équation du transport correspond uniquement aux neutrons émis par fissions. Les autres sources
éventuelles (source de démarrage, fissions spontanées) sont en effet largement négligeables en
pratique.
Lors d'une fission, deux types de neutrons sont émis, les neutrons prompts3 et les neutrons
retardés4. Parmi un nombre moyen ν de neutrons de fission, une fraction  est en effet produite
avec un certain retard. Le nombre de neutrons résultant des sources de fission, supposées
isotropes est donné par:
S (r , v, , t ) 
1
4
 


 (2.11)
(
1


)
P
(
r
,
t
)

(
v
)


C
(
r
,
t
)

(
v
)
 

k
k
p ,k
j , k j ,k
r , j ,k

j
 k 

Les neutrons prompts (indice p) sont émis en proportion (1   k ) par les différents
noyaux fissiles (indice k), selon le spectre  p ,k , et en nombre :
3
Neutron accompagnant le processus de fission sans retard mesurable.
4
Neutron accompagnant le processus de fission avec un retard égal à celui de la désintégration bêta du produit de
fission qui lui a donné naissance.
18


Pk ( r , t )    k  f ,k  ( r , v, t ) dv
(2.12)
où le flux est intégré sur les directions des neutrons et   f représente la section efficace
macroscopique de production. Par convention,  k est, pour une fission, le nombre total de
neutrons (prompts et retardés) qui seront libérés.
Tandis que la production des neutrons retardés dépend de l'évolution de la concentration
isotopique Cj,k des précurseurs par l'intermédiaire de l'équation
C j ,k
t
  j ,k Pk (r , t )   j ,k C j ,k (r , t )
(2.13)
où l'on note  j , k les constantes de décroissance radioactive des précurseurs et  j , k la production
du précurseur j par neutron émis par fission du noyau k selon le spectre de neutrons retardés
(indice r)  r , j ,k ( ) .
On peut tout de même simplifier les expressions précédentes, d'une part en regroupant les
spectres d'émission prompte et différée à l'aide de l'expression définissant un spectre unique
k ( ) par :
 k (v )  (1   k )  p ,k (v)    j ,k  r , j ,k (v)
(2.14)
j
et, d'autre part, en considérant qu'en pratique, les spectres de fission des différents noyaux fissiles
sont suffisamment proches les uns des autres pour permettre de remplacer ces k par un spectre
unique  .
2.2.4 Simplifications de l'équation du transport
Après cette présentation générale de l'équation du transport, on s'intéresse maintenant au
cas pratique d'un réacteur en fonctionnement, qui permet de considérer quelques simplifications.
2.2.4.1 Hypothèses concernant les sections efficaces
Dépendance temporelle
19
En toute rigueur, dans un réacteur, les sections efficaces varient dans le temps. Cependant,
ces variations sont toujours très lentes devant le temps de vie des neutrons dans le réacteur, de
sorte que ces sections efficaces peuvent en fait être considérées en pratique comme indépendantes
du temps.
 
 
t ( r , v, , t )  t ( r , v, )
(2.15)






 s r , (v, )  (v, ), t   s r , (v, )  (v, )




(2.16)
Isotropie des milieux
Certains matériaux utilisés dans les réacteurs, tels que les composés métalliques, ont
naturellement une structure cristalline. Cependant, la taille des grains cristallins de ces composés
métalliques est négligeable devant le libre parcours moyen des neutrons5. On considère donc le
milieu comme isotrope vis-à-vis des neutrons, ce qui amène aux simplifications des sections
efficaces:
 

 t ( r , v , )   t ( r , v )
(2.17)


 


 s r , (v, )  (v, )   s r , v  v, .




(2.18)
Sous cette hypothèse, d'isotropie, la probabilité d'interaction d'un neutron avec la matière
 
ne dépend plus de sa direction incidente mais du produit scalaire . . Par conséquent, la section
 
efficace différentielle de diffusion ne dépend alors que du cosinus de l'angle  que font  et  .
Anisotropie de la diffusion
Pour des énergies inférieures à quelques dizaines de keV, la diffusion des neutrons peut
être considérée comme isotrope dans le système du centre de masse. Ce n'est pas le cas dans le
système du laboratoire, l'anisotropie étant d'autant plus marquée que le noyau diffusant est léger.
Cette dépendance angulaire de s est d'ailleurs l'une des principales difficultés à la résolution de
l'équation du transport.

Or, on sait que toute fonction de la variable angulaire  peut être développée sur la base
5
Cette distance se mesure généralement en centimètres, par contre les tailles de grains en micron.
20

des harmoniques sphériques Yl m (  ) . C'est en particulier le cas de s qui, ne dépendant que
 
de . , pourra être développée sur la seule partie en  de ces harmoniques sphériques, c'est-àdire sur les polynômes de LEGENDRE Pl.
Formellement, l'anisotropie de diffusion peut donc être prise en compte par un
 
développement de la loi de choc sur la base des polynômes de LEGENDRE Pl (.) :
 

1
 s r , v '  v, . 
4


 

.)

(
r
,
v
'

v
)
P
(

 s ,l
l

l 0
(2.19)
avec les coefficients  s ,l , qualifiés de moments de la loi du choc, définis par :

 
 


s ,l  r , v '  v   (2l  1)  d s r , v '  v, . Pl (.)

4

(2.20)
En pratique, le développement de l’approximation de la loi de choc étant tronqué à un
ordre fini N, on parle alors d'approximation PN. Se contenter d'un développement à l'ordre 0 par
exemple, revient à considérer que le choc est isotrope. C'est l'approximation P0 :
 
1


 s r , v '  v, . 
 s ,0  r , v '  v 
4


(2.21)
L'approximation P1 est quant à elle dite de « diffusion linéairement anisotrope » (i.e. loi
 
linéaire en  '. ).
2.3 Équation du transport en régime stationnaire
Le fonctionnement normal d’un réacteur est caractérisé par un régime stationnaire ou
indépendant du temps. Les équations permettant de modéliser l'évolution de la population
neutronique se simplifient grandement: les dépendances temporelles disparaissent tandis que les
dérivées par rapport au temps s’annulent. Le terme des sources de fission se simplifie également
car les concentrations des précurseurs atteignent un équilibre et s'expriment directement en
fonction des taux de production (équation (2.13) dont le premier membre s'annule).
En tenant compte du spectre de fission unique  (v) qu’on vient d'évoquer, on peut
21
réécrire ce terme de source par :
 

1
S ( r , v, ) 
 (v ) 
4


k

  1

Pk ( r )  
 (v) dv ' f (r , v ')
 4
0


 
d  '  (r , v ',  ') (2.22)
4

où   f est la somme sur tous les noyaux fissiles des termes  k  f , k .
Dans l'approximation du régime stationnaire et des diffusions isotropes, l'équation du transport
(2.9) se réécrit :
  

 



1
div[. (r , v, )]  t (r , v) (r , v, ) 
 (v)  dv ' f (r , v ')(r , v ')
0
4


1 

dv
'

(
r
,
v
'

v
)

(
r
, v ')
0
4 0
(2.23)
Par souci de simplification, on y note le premier coefficient  s ,0 de s sous la forme  0 et on

notant le flux scalaire (r , v) , défini comme l'intégrale sur toute les directions possibles


de (r , v, ) .

 (r , v) 

  
d  (r , v, )
(2.24)
(4 )
Tous les termes de l'équation (2.23) sont alors proportionnels au flux : cette équation
prend un caractère homogène, impliquant que ses éventuelles solutions ne seront définies qu'à
une constante multiplicative près. Les solutions n'ont de sens physique que si le système est
réellement stationnaire, c'est à dire si la population neutronique est en équilibre (état critique).
Cette condition est satisfaite lorsque le nombre de neutrons naissant par fission est exactement
égal au nombre de neutrons qui disparaissent, ce qui se traduit mathématiquement dans l'équation
du transport par la division du terme de production de neutron par un coefficient correcteur k. Ce
facteur, définit comme le facteur de multiplication effectif, permet de résoudre l'équation du
transport dans sa forme stationnaire pour un motif dans un état critique [4] [1].
2.4 Criticité et facteur de multiplication
Rechercher une solution de l'équation de transport dans sa forme stationnaire, c'est
22
rechercher un état du réacteur ou du système neutronique considéré qui soit lui-même
stationnaire, et qui se définisse donc par le fait que la population neutronique y soit en équilibre.
Le nombre de neutrons qui naissent par fissions doit alors nécessairement y être exactement égal
au nombre de neutrons qui disparaissent, que ce soit par absorptions ou par fuites hors du
système. C'est la notion de criticité du système. Si au contraire ces deux quantités de neutrons ne
sont pas égales, le système ne peut connaître d'état stationnaire et sa description ne peut être faite
à l'aide de l'équation du transport sous cette forme stationnaire.
Pour la résolution du problème dans ces situations où le système n'est pas critique, on
introduit la notion de facteur de multiplication, noté k, que l'on définit comme la grandeur par
laquelle il faut diviser les productions de neutrons dans le système pour que le système modifié
soit critique.
Au prix de l'introduction de ce paramètre critique on peut se ramener, quel que soit le
caractère (critique ou non) du système étudié, à la résolution de l'équation du transport dans sa
forme stationnaire, celle-ci étant cependant modifiée par l'introduction du facteur k :
  

 



1
div[. (r , v, )]  t (r , v) (r , v, ) 
 (v)  dv ' f (r , v ')(r , v ')
0
4 k
(2.25)


1 

dv
'

(
r
,
v
'

v
)

(
r
,
v
')
0
4 0
À partir de ce facteur de multiplication k, on peut introduire également la notion de réactivité

du système, définie comme suit :

k 1
k
(2.26)
Un système critique se caractérise par une réactivité nulle. Ce système est dit sur-critique
lorsque sa réactivité est positive, son facteur de multiplication k étant alors supérieur à 1.
Physiquement cette «sur-criticité» du système traduit le fait que les disparitions des neutrons y
sont insuffisantes pour compenser les émissions par fissions. Ce système est au contraire dit souscritique lorsque sa réactivité est négative et que donc son facteur de multiplication est inférieur à
l’unité, traduisant le fait qu'alors les disparitions de neutrons dépassent les productions par
fissions.
23
Pour finir sur ce point, on notera que ce facteur de multiplication k est généralement
qualifié de facteur de multiplication effectif. En introduisant la probabilité F pour un neutron du
système de ne pas fuir hors de celui-ci, on définit également le facteur de multiplication infini,
noté kinf, tel que
k = kinf x F
(2.27)
kinf est la valeur maximale de k, obtenue lorsque le système ne connaît pas de fuites.
Le facteur de multiplication effectif apparaît comme le rapport entre le nombre de
neutrons produits dans le système et celui de neutrons disparaissant de ce système, soit par
absorption, soit par fuites, kinf étant ce même rapport dans le cas sans fuites.
2.5 Expression sous forme d’opérateurs
La population des neutrons peut être représentée par trois fonctions reliées par des
opérateurs intervenant dans l’équation de Boltzmann. La définition de ces opérateurs permet une
notation simplifiée souvent appréciable.
Soit H l'opérateur dit de BOLTZMANN, décomposé lui-même en deux opérateurs :
1) L, l'opérateur de disparition (Leakage), prenant en compte les effets de transport
spatial (terme de divergence et terme contenant la section totale) et les effets de
transport en énergie (terme de transfert) :
 
  

  1 




L(r, v, )  div[
. (r, v, )]  t (r, v)(r, v, )   dv ' 0 (r, v '  v, ' )(r, v ')
4 0
(2.28)
2) P, l'opérateur de production (neutrons produits par fission) :
 



1
P(r, v, ) 
 (v) dv ' f (r , v ')(r, v ')
0
4 k
(2.29)
L'équation du transport peut alors être écrite sous forme fonctionnelle, qui apparaît
comme une équation aux valeurs propres :
1
H   ( L  P)   0
k
24
(2.30)
2.6 Conditions aux limites
Pour calculer le flux neutronique et donc résoudre l’équation de transport, nous avons
besoin, en plus de l’équation, la connaissance d'une condition initiale et des conditions aux
limites. Ces dernières pouvant être de différentes natures.
Si l'on définit un domaine volumique d'étude D, limité par une surface S où des conditions



sont imposées. On introduit n le vecteur normal unitaire à S en l'un de ses points rs , et  
 
l'ensemble des directions angulaires rentrant dans D par S (définies par le fait que .n  0 ). Le


flux à connaître peut être noté   (rs , v,   , t ) . Ce flux rentrant peut par exemple être un flux
angulaire donné. Ce peut être également le flux sortant d'un volume D' voisin de D, ou bien
encore le flux obtenu à partir du flux   sortant de D, par des conditions de réflexion, de
translation, ou de périodicité [1]. En effet, il existe plusieurs méthodes pour relier ce flux entrant
au flux sortant. Dans ce travail, nous en utiliserons essentiellement deux conditions:
• La condition frontière de réflexion spéculaire6 (ou miroir) : on suppose que les neutrons
atteignant la surface sont renvoyés vers l’intérieur comme s’ils l’étaient par un miroir parfait.
Donc, on considère que la frontière est un plan de symétrie de notre géométrie et le flux rentrant
est égal au flux sortant. On peut alors écrire :




t   ( rs , v,   , t )    (rs , v,  , t )
avec


n.   n. 
(2.31)
• La condition de frontière de réflexion blanche (ou isotrope) : tout neutron atteignant la
surface est supposé oublier son état (direction et position) et est renvoyé selon une loi uniforme le
long de la surface et isotrope vers l’intérieur [2]. On considère, alors, que tout neutron sortant du
domaine D retourne dans le domaine D avec une distribution angulaire isotrope. On peut écrire :
 
 
t ,   (rs , v, , t )   .    (rs , v, , t )d 
n .0
(2.32)
2.7 Forme intégrale de l'équation du transport
2.7.1 Détermination de l'équation intégrale
L'équation intégro-différentielle n'est que l'une des formes possibles pour le bilan
neutronique. Il est parfois plus intéressant de considérer une forme intégrale de cette équation.
6
Speculum signifié un miroir, en latin.
25
Cette forme intégrale de l'équation de transport peut être déduite de la forme intégro-différentielle
(2.9), dont on parlait jusqu'ici.
 
 1   
  


.
grad


(
v
)

(
r
,
v
,

,
t
)

Q
(
r
, v, , t )
t
 v t



(2.33)
On peut montrer que cette équation linéaire aux dérivées partielles pour  a pour solution :

 
  
s
(r , v, , t )   e ( s )Q(r  s, v, , t  )ds
0
v
(2.34)
où Q est la densité d'émission que nous avons déjà eu l'occasion d’évoquer. La grandeur


e  ( s ) exprime la probabilité pour un neutron partant de r0 , d’atteindre le point r sans subir
d'interaction.
L’écriture de l'équation de transport sous cette forme intégrale nécessite la précision de
quelques grandeurs. Il faut ainsi par exemple introduire la notion d'abscisse curviligne (s) qui
permet de lier la position


r d'un neutron à l'instant t à celle, r0 , que celui-ci occupait à l'instant t0,
par :
 

r (s)  s.  r0
avec
t ( s) 
s
 t0
v
(2.35)
Il faut également définir la grandeur  , obtenue par intégration de la section efficace totale sur le


trajet de ce neutron, entre son point de départ r0 , défini par s=0, et le point r , défini par s :
s
 (s)   t (v, s ')ds '
0
 est
(2.36)
appelée, par analogie avec la propagation d'une onde lumineuse, le parcours optique du
neutron entre les points
 
r et r0 .
2.7.2 Forme simplifiée
À partir de cette forme très générale, et sous les hypothèses simplificatrices précédentes :
1
régime stationnaire (t est constant) ;
2
neutrons monocinétiques (v ou bien E constant) ;
26
3
milieu et diffusion des neutrons isotrope (  est constant),
4
sources isotropes correspondants à des fissions,
on peut donner une forme simplifiée de cette équation. Celle-ci est obtenue par intégration sur la
 
variable angulaire, en utilisant le fait que s  r  r ' et que d 3 r '  4 rs 2 ds . Si l'on note de
 
plus R  r  r ' , on a :
e  ( s )
 
.Q(r )d 3r
2
rD 4 R

(r )  
(2.37)

où Q ( r ) est issue de la simplification de Q, compte tenu des hypothèses considérées ici.
On peut remarquer que la résolution de l'équation intégrale ainsi simplifiée ne donne pas
accès au flux en phase. La dépendance angulaire du flux n'y est en effet traitée qu'implicitement,
ce qui aura d'ailleurs des conséquences importantes au moment de la résolution de cette équation.
3 Résolution de l'équation du transport
Les deux formes de l’équation de transport sont strictement équivalentes sous l'angle
mathématique, ce qui veut dire que les solutions théoriques sont les mêmes [2].
En pratique, ce n'est pas le cas, d'une part parce qu'on fait souvent des approximations,
pas forcement les mêmes, dans l'approche complètement intégrale et dans l'approche intégro

différentielle (intégrale pour v et  et différentielle en r et t), d'autre part parce que, les
résolutions étant rarement analytiques, on se contente à des traitements numériques : évidemment
différents selon la forme de l'équation à traiter.
Ces divers traitements numériques sont qualifies de « déterministes » par opposition aux
traitements « probabilistes ». Ces derniers appliquent à la neutronique la technique dite « Monte
Carlo » (clin d'œil aux jeux de hasard). Le principe est de simuler le plus précisément possible le
cheminement de neutrons en tirant au hasard les événements comme le font les vrais neutrons,
c'est-à-dire conformément aux lois de la physique nucléaire : point d'émission, points de
collision, type d'atome entre en collision, type de réaction, voie de sortie, etc. Cette approche
reste statistique, comme l'approche déterministe, puisque l'on simulera le plus grand nombre
possible d'histoires de neutrons de façon à obtenir avec la plus grande précision statistique
27
possible les taux auxquels on s'intéresse.
Outre le fait qu'elle évite d'avoir à écrire explicitement l'équation de Boltzmann, cette
méthode probabiliste est séduisante en ce sens qu'elle n'oblige pas forcement à introduire des
simplifications dans la géométrie, les compositions et les lois nucléaires. En pratique, ce n'est, au
mieux, qu'une méthode de référence car les incertitudes de caractère statistique ne peuvent jamais
être réduites à zéro. Elles varient, en effet, comme l'inverse de la racine carrée du nombre
d'événements : si l’on veut réduire l’incertitude d'un facteur 10, il faut traiter 100 fois plus
d'histoires, donc utiliser un ordinateur 100 fois plus rapide si on y consacre le même temps de
calcul.
3.1 Les méthodes déterministes
Les méthodes dites "déterministes" consistent à discrétiser l'équation du transport de
façon à obtenir une forme matricielle qu'il deviendra possible d'inverser. Toutes les méthodes
déterministes se basent sur la même discrétisation de la variable d’énergie (ou de vitesse
car E  mv 2 2 )7. Par contre, la discrétisation des variables d’espace et des variables angulaires
diffère selon qu’il s’agit de la méthode des ordonnées discrètes ou de la méthode des probabilités
de collision.
3.1.1 Discrétisation de l'équation du transport
Dans les codes de calcul déterministes, la détermination du flux, solution de l'équation du
transport, se fait par l'inversion du système d'équations algébriques auquel conduit la
discrétisation de cette équation. La procédure la plus immédiate pour ce faire, qui consisterait à


évaluer le flux  ( r , E , ) pour certaines valeurs discrètes des variables
(ri , E j , k ) n'est pas
utilisable dans les faits, car le nombre de points nécessaire à un traitement satisfaisant du
problème se révèlerait beaucoup trop important.
Par ailleurs, en raison de l'existence des résonances des sections efficaces, une
discrétisation brutale est très mal adaptée à la variable d'énergie. Des méthodes de discrétisation
plus sophistiquées ont donc dû être élaborées pour rendre possible cette résolution numérique,
conduisant à ce que l'on appelle l'équation multigroupe du transport.
7
Par commodité, on choisit d'utiliser désormais la variable énergie E au lieu de la vitesse v.
28
Autre que le traitement de la variable d'énergie, la discrétisation des variables espace


r et
angulaire  peut ainsi utilisée dépendant du choix de la méthode retenue pour le calcul du flux
multigroupe. Il existe plusieurs méthodes de résolution, en l’occurrence :
1) La méthode des ordonnées discrètes consiste à discrétiser la variable angulaire du
flux, la discrétisation spatiale pouvant alors être menée de différentes façons qui font
l'objet d'autant de sous-méthodes. Dans le cadre de ces méthodes de résolution, c'est
l'expression intégro-différentielle de l'équation du transport qui est utilisée [36].
2) La méthode des probabilités de première collision (ou méthode Pij). Elle consiste à
diviser le réacteur à traiter en plusieurs régions homogènes et à supposer que le flux
est constant à l'intérieur de chacune d'elles (hypothèse dite de « flux plat ») [1]. Ceci
tient au fait que l'équation intégrale du transport qui est alors utilisée ne traite pas
explicitement la dépendance en angle du flux. En effet, on suppose dans cette méthode
que les chocs et les sources sont isotropes ce qui permet de faire disparaître la variable
angulaire de l'équation de transport, et de ramener le problème à celui de la recherche
du flux scalaire.
3) La méthode CN basée sur le Lemme de Placzek. Elle permet de s’affranchir de
découpage spatial en résolvant les problèmes à partir des frontières des différents
milieux. Le Lemme de Placzek permet d’établir une 3éme forme de l’équation de
transport. Le milieu considéré limité par une surface S est étendu à l’infini à condition
d’introduire une source superficielle correspond aux flux angulaires inconnues sur la
frontières. Le problème se ramène alors à la résolution de l’équation intégrale dont les
inconnues sont les flux angulaires aux frontières des milieux.
3.1.1.1 Traitement multigroupe
L'équation du transport discrétisée en énergie est obtenue en subdivisant le domaine
énergétique en g intervalles ou en groupes d'énergie, qui permet de lever la dépendance en
énergie des sections et du flux. Les groupes sont généralement numérotés par des énergies
décroissantes de façon à se succéder dans l'ordre naturel pour les neutrons qui se ralentissent.
Si le domaine traité va des énergies E0 à Eg, les g groupes sont définis en plaçant des
bornes intermédiaires E1, E2,...Eg-1. Dans un groupe g, on a donc Eg  E  Eg 1 .
29
Avec cette discrétisation en plusieurs groupes d’énergies (multigroupes), le flux8 est
 
représenté dans le groupe g considéré par l'intégrale (les variables r et  sont sous-entendues) :
Eg



 g (r )    (r , E )dE    (r , E )dE
E g 1
g
(3.1)
Comme le but d'un calcul est d'obtenir les grandeurs qui ont un sens physique c'est-à-dire
les taux de réaction, les sections efficaces multigroupes pour chaque réaction (absorption, capture
ou fission) sont définies par :

 g (r ) 


 ( E )  ( r , E ) dE
g

 g (r )
(3.2)
Pour les sections de diffusion exprimant les transferts des neutrons, il faut intégrer sur le
groupe de départ et d'arrivée :
 sg ' g


(r ) 

 ( r , E ') dE '   ( E '  E )dE
g'
g
g' 
 (r )
(3.3)
Ces expressions de section efficaces sont purement formelles car pour la résolution de

l'équation de transport, le flux  (r , E ) est une inconnue que l'on cherche à calculer. En pratique, il
faut remplacer ce flux par une fonction de pondération connue, par exemple, le spectre
représentatif d'un réacteur [5].
Pour aller plus loin, on est alors amené à distinguer deux types d'isotopes : isotopes
résonnants et non résonnants.
Isotopes non résonnants
Ces isotopes ont des sections efficaces variant lentement et régulièrement avec l'énergie.
Par conséquent leurs sections multigroupes dépendent assez peu du flux  utilisé pour leur
définition. On peut alors remplacer dans les équations (3.2) et (3.3) le flux de pondération réel,
8
Par souci de simplification, on travaille ici avec le flux scalaire  , en supposant les chocs et les sources isotropes.

Les raisonnements et les expressions seraient analogues en tenant compte de la variable  et en utilisant le flux
angulaire  .
30
qui dépend de l'espace, par un flux ne dépendant que de l'énergie, à condition que celui-ci soit
représentatif du réacteur à traiter. Les sections multigroupes ne dépendent alors plus de l'espace :
g 

g
 ( E )   ( E ) dE

g

g ' g

et  s

g'
  ( E ') dE '   ( E '  E )dE

g
g'

(3.4)
où  g est l'intégrale de  ( E ) sur le groupe g.
Isotopes résonnants
Dans le domaine de haute énergie et dans le domaine thermique, la plupart des isotopes
résonnants ont des sections efficaces variant lentement et régulièrement avec l'énergie;
l'utilisation d'un flux de pondération  g est alors possible de la même manière que dans le cas
des isotopes non résonnants.
En revanche, dans le domaine des résonances, les sections efficaces présentent des
variations irrégulières et rapides avec l'énergie. Pour remédier à ce problème, on peut par
exemple considérer un maillage multigroupe suffisamment fin de manière à ce qu'à l'intérieur de
chacun de ses groupes la section ait bien une variation lente. On parle alors de maillage
multigroupe fin, qui peut comporter plusieurs milliers de groupes. Une autre façon de traiter ce
problème, consiste à déterminer des sections multigroupes sur un maillage non suffisamment fin
(voire un maillage large).
Pour mieux traiter ces deux situations, il est alors indispensable de prendre en compte
l'autoprotection des résonances, i.e. la décroissance du flux dans chaque résonance. Ce
phénomène nécessite un traitement spécifique qui sera évoqué ultérieurement.
3.1.1.2 Discrétisation des variables d'espace pour la résolution de l'équation
intégrale
Hypothèse du choc isotrope
L'intérêt de l'approche intégrale réside dans le fait que, moyennant une hypothèse pas trop
drastique, cette formulation intégrale permet de faire disparaitre des équations de la variable

angulaire  , ce que ne permet pas la forme différentielle. Cette hypothèse est l'hypothèse des
sources et des diffusions isotropes, en abrège du choc isotrope. Cette isotropie signifie que, dans
31
le système centre de masse, le vecteur vitesse du neutron après la collision a la même probabilité
de pointer dans toutes la directions de l’espace. On note que l’isotropie dans le système centre de
masse signifie une anisotropie vers l’avant dans le système du réacteur (du laboratoire) [2].
Cette hypothèse est donc raisonnable puisque les fissions émettent les neutrons de façon
effectivement isotrope et que l'anisotropie des diffusions est assez peu marquée, surtout pour les
noyaux pas trop légers. En outre, l'essentiel de l'erreur due à cette approximation peut être
facilement corrige par l'utilisation des sections efficaces de transport9.
 

L'hypothèse du choc isotrope signifie que le terme de transfert  s (r ,  '  ) , donc la
 

densité ou l’opérateur de diffusion D(r , ) , ne dépend pas de  (noter que le terme source ne

dépend pas non plus de  ). Par conséquent la somme, densité d’émission, Q de ces deux densités

est elle-même indépendante de  .
Résolution de l'équation intégrale par la méthode des probabilités de première collision
Principe et définition de la méthode des probabilités de première collision
On cherche, dans ce paragraphe, à expliciter la manière d’inversé l'opérateur du transport,
dans un groupe g, à l'aide de la méthode des probabilités de première collision. C'est la forme
intégrale de l'équation du transport qui est concernée, avec les hypothèses de source et de choc
isotropes [2] [5] [42].
Reprenons donc l'équation de transport (2.37) en se plaçant dans un groupe d’énergie

e  ( s )
 
 
.Q ( r )d 3 r avec Q(r)  s (r)(r)  S (r) et R  r  r ' .
donné :  ( r )  rD
2
4 R
En fait, on s’intéressera plutôt de comptabiliser le nombre de collisions de neutrons au



point r , soit le produit de  ( r ) par la section totale t (r ) .
9 En pratique, la prise en compte de l'anisotropie des sources et des diffusions est fait, d'une certaine façon, par la correction des sections efficaces de transfert et de diffusion
avec un terme indépendant de la variable angulaire, appelé correction de transport à l'ordre un.
32
La méthode des probabilités de première collision consiste alors à découper le volume V
sur lequel on cherche à résoudre l'équation du transport en un ensemble de sous-volumes, a priori
arbitraires, finis et disjoints, notés Vi , qui permettent de réécrire l'équation de BOLTZMANN
sans aucune approximation supplémentaire, comme :
e  ( s )

 3
 3
 3

(
r
)

(
r
)
d
r

Q
(
r
')
d
r
'


(
r
j V j
Vi t
V 4 R 2 t )d r
i
(3.5)
Si l'on note i i la moyenne de  t  sur Vi et Qj celle de Q sur Vj , on pourra écrire :
Vi  i  i   V j Q j Pji
(3.6)
j
A condition de définir les termes Pji par :
 3
 3
e  ( s )
Q
(
r
')
d
r
'


(
r
)d r
t
Vi
V 4 R 2
i
Pji 
 3
 Q(r ')d r '
(3.7)
Vj

Pji exprime
la probabilité pour un neutron émis dans le volume Vj selon la densité
d'émission Q de subir sa première collision dans le volume Vi.


e  ( s )
représente le flux au point r pour un neutron émis de façon isotrope au
2
4 R



point r ' , son produit par t (r ) représente la densité de (première) collision au point r
Le terme
pour ce même neutron.

La seconde intégrale du numérateur exprime le nombre de ces premières collisions dans
tout le volume Vi. Ce nombre représente la probabilité pour qu’un neutron émis en

r ' subisse sa première collision dans Vi.
Comme la densité d'émission Q dépend du flux qui n'est pas connu, la valeur de Pji est
33
approchée par Pji en supposant la densité d'émission, (et donc le flux), constante dans le volume
Vj (approximation plus connue sous le nom d'hypothèse de flux plat).
Ce qui vient d'être écrit est rigoureux mais n'a malheureusement pas d'intérêt pratique,
Pji
pour obtenir les flux, puisque l'expression des
qu'elles préconisent fait intervenir la densité
d'émission Q qui s'exprime elle-même en fonction du flux, c'est-à-dire précisément de la grandeur
que l'on cherche.
Pour surmonter cette difficulté, on est conduit à faire une approximation en supposant que
la densité Q peut être remplacée par une constante. C'est l'hypothèse dite du "flux plat", qui
devrait plutôt être qualifiée de "densité d'émission plate". Elle consiste à remplacer, dans le calcul
des flux, les vraies probabilités de collision Pji par les probabilités approchées Pji , définies par :
1
Pji 
Vj
e  ( s )
 3
V j d r ' V 4 R 2  t (r )d r
i
3
(3.8)
Pji est la probabilité qu'un neutron né dans Vj de façon isotrope et uniforme subisse sa première
collision dans Vi. Avec cette hypothèse le système d'équation (3.6) donnant le flux est donc
remplacé par le système approché:
Vi i i  V j Q j Pji
(3.9)
j
En outre, si le système à traiter contient N volumes Vi, il y a alors N2 valeurs de
Pji à
calculer. Donc, le nombre de Pji à calculer peut être diminué en considérant les relations de
conservation ("Tous les neutrons émis ont un choc") et de réciprocité (liée à la symétrie du
 
terme r  r ' ).
Relations de réciprocité et de conservation
Dans le cas d'un réacteur, par exemple, qui peut être considéré comme infini vis à vis du
transport des neutrons, on aura forcément, pour tout neutron émis, un choc en un point
quelconque. On a par conséquent la relation de conservation :
34
P
ji
1
(3.10)
i
e
Le terme
 
 ( r  r ' )

  2 étant par ailleurs symétrique en r ' et r , on a la relation de réciprocité :
4 r  r '
Vi i Pij  V j  j Pji
(3.11)
Grâce à ces relations, le nombre des probabilités à calculer peut être ramené de N2 à
N ( N  1)
.
2
Probabilités faisant intervenir une surface
On est très souvent amené, en pratique, à traiter un « objet » fini limité par une surface S,
par exemple une cellule élémentaire ou un assemblage d'un réseau de réacteur et, alors, à
s'intéresser aussi, d'une part, aux neutrons qui sortent de l'« objet », d'autre part, au devenir des
neutrons qui entrent dans l'« objet » voisin. C'est la raison pour laquelle il faut considérer non
seulement des probabilités volumiques Pji , mais aussi des probabilités
surface S pour un neutron émis dans
Vj
Pjs de
sortie par la
et des probabilités de première collision
Psi :
la
probabilité qu'un neutron entrant uniformément et de façon isotrope par la surface S subisse sa
première collision dans le volume Vi , et de re-sortie
Pss pour un neutron entrant uniformément et
de façon isotrope dans S traverse la matière que celle-ci contient, sans collision, avant de
l'atteindre à nouveau.
Si les neutrons peuvent sortir, les relations de complémentarité précédentes ne sont plus
correctes puisqu'il faut rajouter la probabilité de l'événement sortie :
P
ji
 Pjs  1
(3.12)
i
Il en va de même pour les probabilités concernant les neutrons entrant par une surface S :
P
si
 Pss  1
i
35
(3.13)
Enfin, on peut démontrer en explicitant les intégrales doubles qui les expriment, que les
probabilités mixtes volume/surface (et inversement) sont liées par la relation de réciprocité
supplémentaire :
Psi 
4Vi i
Pis
S
(3.14)
Pji doivent
En conséquence, il apparaît que seules les probabilités volumiques
être
calculées, toutes les autres pouvant s'en déduire.
Calcul des probabilités dans un réseau infini de cellules identiques
La structure adoptée en pratique dans les cœurs des réacteurs nucléaires est souvent
relativement régulière : à chaque élément de combustible et à sa gaine, on peut associer une partie
du volume du caloporteur et du modérateur (s'il s'agit d'un réacteur à neutrons thermiques) pour
former la « maille » élémentaire de cette structure, appelée « cellule » par les neutroniciens; en
juxtaposant ces cellules élémentaires, on obtient ce que les neutroniciens appellent un « réseau ».
Pour simplifier les calculs, on étend à l’infini le réseau en supposant une périodicité de la
géométrie et donc du flux neutronique : la situation ainsi obtenue est celle du « réseau infini
régulier », qui est devenue un paradigme » (modèle) en neutronique en ce sens qu'elle sert de
référence entre les deux étapes de calcul, celle du calcul fin (à l'échelle de la cellule) et celle du
calcul macroscopique (le calcul du cœur complet).
Au moment du calcul d'une probabilité Pji , les volumes de départ, V j , et d'arrivée, Vi ,
concernés peuvent parfaitement être situés dans différentes cellules . Le principe du calcul d'un
tel réseau consiste alors à :

distinguer les collisions ayant lieu dans un volume Vi situé au sein même de la
cellule de départ du neutron, de celles qui ont lieu dans d'autres cellules,

calculer de manière exacte les probabilités correspondant aux collisions à

l'intérieur de la cellule initiale, que l'on notera sous la forme de Pji ,

et à se contenter d'un calcul approché des autres.
36
Pour ce faire, on note que les collisions ayant lieu dans des volumes extérieurs à la cellule
initiale sont nécessairement précédées d'une sortie de cette cellule et, parfois, de la traversée de
cellules intermédiaires entre cette cellule initiale et la cellule finale. Dès lors, en sommant les
différentes éventualités offertes au neutron émis dans V j , il vient :
Pji  Pji  Pjs .Psi  Pjs .Pss .Psi  Pjs .Pss2 .Psi  ...

 
 

collision
dans
la cellule
collision
dans la cellule
adjacente
collision après
traversée d'une
cellule
(3.15)
collision après
traversée de
deux cellule
avec l’exposant ’+’ désignant les probabilités pour lesquelles le neutron ne sort pas de la cellule
considérée.
En utilisant la somme des séries géométriques représentant les Pji , (3.15) devient :

jj
Pji  P 
Pjs .Psi
(3.16)
1  Pss
Le second terme de (3.16) représentant l'interaction entre cellules correspond à l'effet Dancoff10.
Cylindrisation des cellules
Pour aller encore plus loin dans cette simplification des calculs, on introduit souvent une
approximation supplémentaire (mais non obligatoire) : la cylindrisation des cellules. A l’origine
de cette idée, on trouve la remarque que, dans beaucoup de concepts de réacteurs (REP et REB,
RNR...), la cellule élémentaire est constitué d'un combustible, d'une gaine, voire d'un canal
présentant une symétrie de révolution, seul le contour extérieur de la cellule brisant cette
symétrie : l'approximation de cylindrisation consiste à remplacer le contour prismatique de la
cellule par un contour cylindrique11 de façon à obtenir une complète symétrie de révolution et,
10
Il s’exprime avec le facteur de Dancoff : c’est la probabilité pour un neutron sortant d’un élément de
combustible, par exemple, de traverser sans choc le modérateur et donc revenir dans un autre élément de
combustible.
11
La cylindrisation ne peut être conçue que dans l’image de la cellule isolée par la pensée puisqu'on ne peut
évidemment pas paver l’espace avec des cylindres.
37
par voie de conséquence, à simplifier le calcul des probabilités Pji 12.
Dans cette opération, il est évidemment indispensable de conserver la matière; cela laisse
cependant un choix ouvert sur le rayon Rc. On peut hésiter, par exemple, entre la « cylindrisation
d'Askew » conservant la surface d'échange avec les cellules voisines donc le périmètre externe
(avec réduction de la densité du modérateur pour conserver sa masse), et la « cylindrisation de
Wigner » conservant la section droite (et la densité du modérateur). Pour les cellules dont la
section droite a la forme d'un polygone régulier (hexagone, carre ou triangle), c'est généralement
ce dernier choix qui est fait; pour les cellules a section droite rectangulaire, de cotes a et b, il est
conseille d'adopter la « cylindrisation de Lefebvre » (avec réduction de densité) qui est mieux
adaptée aux calculs « multicellules » et qui se réduit à celle de Wigner si le rectangle est un
carre :
Rc 
a+b
2 
(3.17)
Principe des calculs en géométries multicellules
Les neutroniciens peuvent, en pratique, souvent traiter des assemblages de cellules
élémentaires pas toutes identiques. La méthode que nous venons de présenter se généralise au
réseau infini régulier dont le motif élémentaire est constitue d'un ensemble de cellules de
différents types : c'est le formalisme dit « multicellule ».
Le motif peut contenir plusieurs cellules identiques par leur géométrie et leur
composition. Théoriquement, elles ne peuvent être considérées de même type (sous l'angle
neutronique) que si elles sont, en outre, identiques aussi en ce qui concerne leur environnement
(par exemple, symétriques par rapport à un plan de symétrie général du motif); pratiquement, on
peut les déclarer de même type même si ce n'est pas le cas : cela permet de réduire le nombre de
types, donc le cout du calcul, mais constitue évidemment une approximation supplémentaire dont
il faut vérifier le bien-fondé.
12
La symetrie de révolution permet de simplifier les intégrales exprimant ces probabilités.
38
3.1.1.3 Discrétisation angulaire pour la résolution de l'équation intégrodifférentielle
Selon le choix de l'inconnue discrétisée, on distingue deux types de méthodes numériques
pour la résolution de l'équation intégro-différentielle :
- La méthode des ordonnées discrètes consiste à discrétiser la variable angulaire du flux.
Elle regroupe en fait tout un ensemble de techniques consistant à discrétiser la variable angulaire
et à utiliser une formule de quadrature pour approximer l'intégrale exprimant l'opérateur de
diffusion. Nous nous limiterons ici à la présentation de celle la plus connue et la plus utilisée de
ces méthodes : la méthode SN.
- une alternative consiste à choisir pour inconnues le flux scalaire et les courants : c'est
l'approximation par les éléments mixtes duaux.
Méthodes aux ordonnées discrètes
La méthode SN13 est employée pour la résolution de l'équation du transport à l'intérieur
d'un groupe d'énergie donné. Cette équation, dans l’expression intégro-différentielle, fait
intervenir des sources de transfert et de fission s'expriment par une intégrale sur l'ensemble des
directions. La méthode SN se base sur un développement en harmoniques sphériques de ces
termes ainsi que du flux angulaire, qui conduit à rechercher les moments angulaires de ce flux,
c'est-à-dire ses projections sur les harmoniques sphériques.


L'ensemble infini des directions  est alors discrétisé en un nombre fini de directions  m
choisies de manière à permettre une bonne approximation de ces moments angulaires, notés  k ,l :

 
 
 

 k ,l (r )    (r , )Ykl ()d    m  (r , m )Ykl (m )
(3.18)
m
où les m sont des poids associés à ces directions retenues, que l'on peut définir, par exemple, par
l'intermédiaire de l'angle solide associé à chacune d'entre elles

Le variable  est un vecteur unitaire que l'on peut définir par la colatitude  (distance

angulaire entre le point représentatif de  sur la sphère unité et un « pôle nord» choisi sur cette
13
Le terme « méthode SN » est souvent associé à « méthodes aux ordonnées discrètes + schéma diamant ». On
conviendra ici de désigner par « méthode SN » seulement le traitement des variables angulaires par « méthodes
aux ordonnées discrètes ».
39

sphère) et la longitude  (angle formé par le méridien origine et celui passant par  ); les
coordonnées de ce vecteur sont :
 x  sin  cos 
 y  sin  sin 
 z  cos 

La discrétisation de la variable  dans la
méthode SN se fait par la définition d'un ensemble des
directions symétriques.
Cette discrétisation SN est obtenue en découpant la sphère en N bandes délimitées par les
parallèles de colatitude 0, π/N, 2π/N,... (N-1)π/N et π. Ce nombre N détermine l'ordre de la
méthode, il est choisit pair de sorte que "l'équateur" fait partie de ces limites. Ensuite, et pour
avoir des mailles ayant des tailles toutes du même ordre de grandeur, on découpe ces bandes à
l'aide des méridiens de longitudes 0, π/2, π, 3π/2 et des arcs de méridiens de longitudes
intermédiaires conduisant à un maillage régulier dans chaque couronne. La première bande, près
de l'équateur, est ainsi subdivisée en N/2 mailles, la suivante l'étant en [(N/2) - 1] mailles et ainsi
de suite jusqu'à la dernière de ces bandes qui ne contient qu'une seule maille.
Les directions angulaires utilisées pour la résolution de l'équation sont celles qui
correspondent aux « centres » des mailles, définies par les valeurs moyennes de la colatitude et de
la longitude sur les arrêtes correspondantes. Le nombre de mailles sur la sphère unité est donc le
nombre M de directions : M  N ( N  2) .
Ceci est en fait le nombre de directions pour des problèmes à trois dimensions. Pour ceux
à deux ou une dimension, il faut en plus tenir compte des symétries. Celles-ci réduisent encore le
nombre de directions nécessaires. En effet, pour une géométrie à deux dimensions, le nombre de
directions est divisé par 2 et par 4 pour une géométrie à une dimension. Ainsi, si d est le nombre
de dimensions, il vient :
M
2d
N ( N  2)
8
(3.19)
Ayant explicité la discrétisation de la variable angulaire et les formules de quadrature,
40
nous allons maintenant décrire la manière d'inverser l'opérateur de transport par la méthode SN.
Dans un groupe g, nous pouvons obtenir, par les formules de quadrature, la densité
d'émission Q à partir du flux de l'itération précédente. Dans ce groupe, il faut maintenant calculer
une nouvelle approximation du flux, c'est à dire inverser l'opérateur de transport. Cela revient,
pour la méthode SN, à résoudre selon le flux l'équation de Boltzmann écrite sous forme intégrodifférentielle :

 

 
 
div[. (r , )]  t (r )  (r , )  Q (r , )
(3.20)
A la suite de cette discrétisation angulaire, l'équation du transport à résoudre sur le groupe
d'énergie considéré, en utilisant la densité d'émission Q, est remplacée par un système à m

équations correspondant à la réécriture de cette équation pour chacune des directions m :

 

 
 
div[m .(r , m )]  t (r )(r , m )  Q(r , m )
(3.21)
Au moment de la résolution de ce système d'équations, le couplage des équations par le

 
biais des termes des fuites div[m .(r , m )] incitera à une résolution de proche en proche, à
partir des conditions aux limites sur les frontières du réacteur.
Figure 1.2: Représentation des maillages S4, S8, S16, et S32 sur un huitième de sphère (respectivement,
24, 80, 288, 1088 mailles, donc ordonnées discrètes).
41
3.1.1.4 Discrétisation spatiale pour la résolution de l'équation intégrodifférentielle
Nous présentons dans cette partie deux grandes classes de méthode d’approximation
spatiale pour la résolution de l’équation du transport : ce sont l’approximation aux différences
finies et les méthodes nodales.
Résolution spatiales utilisant les approximations aux différences finies
Après discrétisation de la variable angulaire, les équations aux dérivées partielles (3.21)
font ensuite l'objet d'une discrétisation spatiale. Cette dernière consiste à découper l'espace en
plusieurs mailles dont la forme est imposée par le système de coordonnées dans lequel on
travaille (par exemple un système cartésien pour des mailles rectangulaires).
Figure 1.3: Représentation des flux à l'intérieur et sur les frontières de la maille, sur les faces x et y.
L’approximation aux différences finies sert à calculer les flux moyens à l'intérieur et sur
les frontières des mailles et à approcher les dérivées du premier ordre par des différences. Nous
allons présenter, par exemple, cette méthode dans le cas simple d’une géométrie
bidimensionnelle XY (Fig. 1.3). On réécrit l’équation du transport (3.21) pour une maille de
longueur  x et de largeur  y avec les notations da la figure ci-contre (les faces entrantes (-) et

sortantes (+) suivant la direction m du neutron). On note m ,  m , x et  m , y , respectivement, les
flux à l'intérieur de la maille et à ses frontières, sur les faces x et y. On note également



(  m , x ,  m , y ) les composantes de  .
L’équation obtenue sous ces conditions, est :
42

 m, x
x
[ m , x    m , x  ] 

m, y
y
 
[m, y   m, y  ]  t m  Q(r , m )
(3.22)
Cette équation contient cinq valeurs du flux angulaire, dont deux seulement (les flux
entrant  m , x et  m , y  ) sont connues par le biais des conditions aux limites du réacteur dans le cas
d'une maille située sur cette frontière, ou par le biais des flux sortant des mailles voisines. Pour
déterminer les flux sortant  m , x et  m , y  qui nous intéressent ici, il faut deux équations
supplémentaires, on supposera alors que le flux à l'intérieur de la maille dépend des flux aux
bords de celle-ci selon les relations suivantes:
 m  a m, x   (1  a)m, x 
 m  b m , y   (1  b) m , y 
et
(3.23)
où a et b sont des paramètres à choisir ou à calculer.
Dans le cas où a=b=1/2, le flux m est le flux au centre de la maille et les flux sortant
 m , x et  m , y  sont donnés par :
m, x   2m  m, x 
et
 m , y   2 m   m , y 
(3.24)
Il s'agit du schéma dit « schéma diamant ». Cette approximation n'assure pas cependant, la
positivité de la solution car il est possible d'avoir des valeurs négatives du flux solution dues à
l'extrapolation définie par les équations (3.24). On peut montrer que ce problème de flux négatif
survient si les dimensions de la maille sont grandes par rapport au libre parcours moyen des
neutrons dans le milieu définie par   1
t , c'est-à-dire si t .x  1 et/ou t .y  1 , et si les
gradients du flux angulaire sont importants. Pour remédier à ce problème, il faudra en
conséquence que le maillage utilisé soit suffisamment raffiné à la fois en termes de mailles
spatiales qui devront être suffisamment petites, et en termes d'ordre de la méthode SN qui devra
être suffisant pour rendre compte des gradients angulaires de manière satisfaisante [1].
Ce problème de flux négatif pourrait être également être résolu en imposant des
paramètres a et b tous deux égaux à 1. Dans ce cas, les flux sortants sont égaux au flux à
l'intérieur de la maille, qui est toujours positif. Ce schéma est appelé « schéma step ». Son
inconvénient est une moins bonne précision que celle du schéma diamant. Un autre moyen pour
43
s'affranchir de cette difficulté du schéma diamant, consiste à calculer pour chaque maille les
paramètres a et b qui assurent la « positivité » du flux. C'est le schéma « thêta pondéré » [5]. On
notera que cette dernière méthode est cependant plus utilisée en pratique, malgré un surcoût en
termes de temps de calcul.
Résolution spatiales utilisant les méthodes nodales
Les méthodes nodales sont basées sur le développement du flux, à l'intérieur et sur les
frontières (surfaces) des mailles, en polynômes de LEGENDRE. Avec ces méthodes, par rapport
aux méthodes aux différences finies, utilisent des approximations spatiales du flux d'un ordre égal
ou supérieur, avec des solutions analytiques, ce qui permet de s'affranchir des conditions
supplémentaires d'extrapolations [2]. Elles sont caractérisées par un plus grand nombre
d'inconnues et d'opérations arithmétiques par maille mais leur précision supérieure permet
d'employer un maillage plus gros, par exemple un cœur de réacteur avec de grandes mailles pour
les calculs à trois dimensions.
Reprenons l’exemple d’une géométrie XY et écrivons l’équation de transport (3.21) pour
une maille de dimensions  x et  y :
 2m, x  2m, y 


 t  m ( x, y)  Qm ( x, y)

x y
 x x

(3.25)
Dans les méthodes nodales, les cinq flux  m , x ,  m , y  et m sont approchés par des
développements en polynôme de LEGENDRE. Les coefficients de ces polynômes, auxquels on
s'intéresse, sont les moments spatiaux des flux. Pour les obtenir, l'équation (3.25) est multipliée
par le produit des polynômes de LEGENDRE Pj ( x ) Pk ( y ) (où j et k sont les indices des
polynômes par rapport aux variables x et y, respectivement) et intégrée sur le volume de la
maille :
Lmjk, x  Lmjk, y  t  mjk  Qmjk
(3.26)
tel que : Lmjk, x et Lmjk, y sont les fuites transversales hors de la maille géométrique provenant du
terme de gradient et dépendant, non seulement, des moments des flux sur les surfaces de la maille
44
(  km, x ,  mj , y ) mais aussi des moments d'ordre inférieur du flux à l'intérieur (  mjk ). Qmjk est le
moment de la densité d'émission.
Afin d'exprimer les moments des flux sortant en fonction des moments des flux entrant et
des moments à l'intérieur, comme dans l'approximation des différences finies, on doit définir des
conditions supplémentaires. Dans les méthodes nodales, à la place des formules d'extrapolation
de type (3.23), on cherche des relations analytiques d'un ordre d'approximation supérieur.
Les conditions supplémentaires sont obtenues en multipliant l'équation (3.25) par le
polynôme Pj(x), par exemple, et en intégrant le long de l'axe x entre les limites de la maille. On
détermine ainsi une équation différentielle en y. Une opération analogue se fait pour l'autre
coordonnée. Cela produit deux ensembles d'équations à une dimension. Ces équations
différentielles sont ensuite intégrées afin d'exprimer les approximations polynomiales des flux sur
les surfaces de la maille en fonction des sources à l'intérieur. Les équations finales sont alors de la
forme :
  x 
 km , x    mk , x  .exp   t    Fmj, x (Qmjk  Lmjk, y )
   j
m,x 

(3.27)
  y 
 mj , y    mj , y  .exp   t    Fmk, y (Qmjk  Lmjk, x )
 m, y  k


(3.28)
où les coefficients Fmj, x et Fmk, y dépendent de la direction des neutrons et des dimensions de la
maille.
Les trois équations (3.26), (3.27) et (3.28) permettent de déterminer les trois inconnus qui
sont les moments  km, x ,  mj , y et  mjk connus à partir de  km, x ,  mj , y et Qmjk connus.
45
Approximation par les éléments mixtes duaux
La méthode d'approximation mixte permet de traiter une forme légèrement plus générale
que l'équation de la diffusion : l'approximation P1 de l'équation du transport. Le flux est
développé en harmoniques sphériques à l'ordre 1, ce qui conduit à une équation scalaire
(l'équation du bilan) et à une équation vectorielle (traduisant la loi de Fick) avec pour inconnues
le flux et le courant. La forme duale de l'équation du transport est obtenue en imposant une
condition de continuité pour le courant dans chaque direction et le flux pouvant alors prendre des
valeurs discontinues. Cette méthode est à la base du solveur MINOS utilisé dans le code
CRONOS2 [6].
3.2 Phénomène de l'autoprotection
3.2.1.1 Introduction
Le calcul du comportement des neutrons dans un cœur de réacteur nucléaire nécessite la
résolution de l'équation du transport. Il s'agit là d'un calcul numérique, comportant un grand
nombre des données relatives aux propriétés nucléaires des divers constituants du cœur, et en
particulier les sections efficaces, dont les valeurs influent directement sur le résultat du calcul.
En pratique, lors des calculs, ces données sont extraites des bibliothèques constituées sur
la base de ce que l'on appelle des évaluations nucléaires, elles mêmes déduites à partir des
mesures expérimentales ou de calculs faits à l'aide des modèles physiques plus ou moins raffinés.
La constitution de telles bibliothèques est rendue délicate par l'existence d'un phénomène
particulièrement important en physique des réacteurs, le phénomène de l'autoprotection des
résonances des sections efficaces :
• Dans le domaine du ralentissement des neutrons, le produit t ( E ) ( E ) de la section
efficace totale par le flux est une fonction qui ne présente pas de grandes variations d’amplitude,
• En dehors des résonances, la section efficace totale se réduit à la section potentielle de
diffusion,  p , qui est pratiquement indépendante de l'énergie. Dans les résonances, par contre,
elle prend brutalement des valeurs très élevées en absorption et en diffusion. Dès lors, le flux, qui
doit présenter une structure à peu près inversement proportionnelle à  t , à tendance à se creuser,
46
• Plus la section efficace dans la résonance est élevée, plus la dépression du flux que celleci induit est marquée : la résonance se protège elle-même, permettant de parler d'un phénomène
d'autoprotection [1].
3.2.1.2 Traitement du phénomène de l’autoprotection
Les codes neutroniques utilisent les sections efficaces comme données d'entrée. Le flux
est calculé en fonction de celles-ci. Les sections efficaces, qui sont des fonctions continues de la
léthargie14, doivent être sous forme multigroupe. Ces sections sont définies de manière à
préserver les taux de réaction : pour tout isotope x, toute réaction  , et tout groupe g du maillage

multigroupe, on définit la section efficace multigroupe au point r par [1] [27]:

g
  ,x (r ) 


(
u
)

(
r
, u ) du
  ,x
g

  ( r , u ) du
(3.29)
g
La difficulté de cette définition réside dans le fait que par l'intermédiaire du flux, les taux
de réaction, et par conséquent les sections multigroupes, dépendent de l'espace (sauf pour un
milieu homogène infini).
En toute rigueur, on ne peut donc pas définir une fois pour toutes les sections efficaces
multigroupes des isotopes et créer des bibliothèques qui soient indépendantes de la géométrie à
traiter.
Ceci est un très lourd handicap car on ne peut se permettre, pour un problème de coût et
d'efficacité, de re-déterminer, avant chaque calcul de transport, les sections multigroupes de tous
les isotopes présents dans la situation étudiée. Pour surmonter ce handicap, on traitera
différemment les isotopes résonnants et non résonnants.
14
définie en fonction de l'énergie par : u ( E )  ln E0 avec E0 est une énergie de référence à préciser (égale à la
E
limite supérieur du domaine énergétique), afin que la léthargie soit positive. Cette variable, traditionnellement
employée en neutronique, est en effet plus adaptée au suivi du ralentissement des neutrons que l'énergie.
47
Les isotopes non résonnants ont en effet des sections efficaces qui varient lentement et de
façon régulière avec la léthargie. Leurs sections multigroupes dépendent donc peu du spectre de
pondération utilisé pour les définir et l'on peut, comme nous l'avons déjà souligné remplacer dans
cette définition le flux réel, qui dépend de l'espace, par un flux de pondération ne dépendant que
de la léthargie. On pourra utiliser par exemple un spectre de fission dans le domaine rapide, le
spectre de ralentissement dans le domaine épithermique et le spectre de Maxwell dans le domaine
thermique. Dès lors, on peut créer et stocker, pour ces isotopes non résonnants, des bibliothèques
indépendantes de la géométrie. Les sections multigroupes calculées avec un tel flux de
pondération indépendant de l'espace y figurant sont qualifiées de sections efficaces multigroupes
«non autoprotégées».
Pour les isotopes résonnants, les choses sont plus complexes et on est amené à distinguer
plusieurs domaines en énergie. En fait, le calcul des sections multigroupes est identique aux
isotopes non résonnants dans les domaines rapide et thermique car les sections y varient
lentement avec la léthargie. En revanche, la présence de résonances dans le domaine du
ralentissement (plusieurs résonances dans un groupe d'énergie) rend inapplicable l'approximation
précédente. En effet, en présence d'une résonance le flux est déprimé (il varie comme l'inverse de
la section totale). On dit que le matériau se protège lui-même en provoquant une diminution du
flux. Ceci conduit en particulier, contrairement à ce que l'on pourrait croire, à un taux de réaction
qui varie peu. Le formalisme de l'autoprotection a pour objectif d'évaluer, pour une géométrie
donnée, les sections multigroupes des isotopes résonnants appelées sections autoprotégées.
3.3 Les méthodes probabilistes
Les dites méthodes sont basées principalement sur la méthode de « Monte-Carlo » qui
résout l'équation du transport en simulant par un générateur de nombres aléatoires et selon les lois
des probabilités des différents événements (longueur du parcours, angle de déviation,...) l'histoire
d'un grand nombre de neutrons [43].
3.3.1 Principe général de la méthode de Monte-Carlo
La méthode de Monte-Carlo est très souvent utilisée en physique et l'on pourrait même
dire de plus en plus au fur et à mesure que les capacités de calcul offertes par les ordinateurs
s'accroissent. Ces méthodes sont adoptées car elles permettent de traiter les problèmes avec un
minimum d'approximations; leur inconvénient est de nécessiter un grand nombre de simulations,
48
donc d'occuper la machine pendant des durées souvent importantes, et cela d'autant plus qu'une
grande précision est recherchée puisque l'incertitude statistique d'un résultat obtenu par la
technique Monte-Carlo diminue avec le nombre N de simulations seulement comme l'inverse de
la racine carrée de ce nombre.
La principale caractéristique de la méthode de Monte-Carlo se base sur le tirage
d'évènements aléatoires. Dans toutes les applications de cette méthode en effet, on construit un
modèle stochastique dans lequel l'espérance mathématique d'une certaine variable aléatoire est
équivalente à la valeur d'une quantité physique que l'on veut déterminer.
Le modèle stochastique construit est souvent appelé « jeu ». Ce jeu est un processus
aléatoire dont la réalisation amène à attribuer une valeur X à une variable aléatoire, qualifiée de «
score ». Le jeu et le score sont choisis de sorte que l'espérance mathématique du score soit égale à
la solution cherchée au problème étudié. Dès lors, on peut obtenir une estimation de cette solution
cherchée en « jouant » un grand nombre de fois et en prenant la moyenne arithmétique des scores
obtenus, celle-ci tendant, en vertu de la loi des grands nombres, vers l'espérance mathématique de
la variable aléatoire, solution du problème. Pour la réalisation d'une telle série de tirages
indépendants, on utilise des nombres aléatoires régis par la loi de probabilité de la variable que
l'on doit estimer.
En outre, on a l’habitude de distinguer les simulations analogues quand le modèle
stochastique simule le plus exactement possible le phénomène physique étudie (cheminement
d'un neutron), des simulations non analogues quand ce n'est pas le cas (exemple: calcul d'une
intégrale).
3.3.2 Adéquation à la neutronique
3.3.2.1 Étude du transport des neutrons à l'aide de la méthode de Monte-Carlo
Tout comme les méthodes déterministes évoquées précédemment, la méthode de MonteCarlo, qui est probabiliste a pour but la détermination du comportement moyen des neutrons dans
le réacteur et celle des grandeurs, tels les taux de réaction, qui s'en déduisent. Cependant la
méthode de Monte-Carlo se distingue très nettement de ces autres méthodes par les moyens
employés pour parvenir à cette détermination. En effet, les méthodes déterministes se basent sur
la mise en équation du bilan neutronique sur un intervalle élémentaire puis la résolution,
49
nécessairement approchée de cette équation, par contre, la méthode de Monte-Carlo cherche à
simuler l'histoire d'un certain nombre de neutrons et à déduire leur comportement moyen.
3.3.2.2 Simulation analogues du transport des neutrons
Les principales étapes d'une simulation du transport neutronique par la méthode de
Monte-Carlo s'appuient sur des :
1.
tirage au hasard de l'énergie et de la direction de chaque neutron source,
dont la position est fixée ou calculée en fonction des régions fissiles (distribution
des sources de fission),
2.
tirages au sort des parcours des neutrons qui placent ces neutrons aux
positions de leurs prochaines collisions (rôle de l'opérateur de transport),
3.
tirages au sort des caractéristiques de chaque collision (rôle de l'opérateur
de collision) qui permet de déterminer par le biais de lois de probabilités : la
nature des noyaux collisionnés, le type des interactions ainsi que les directions et
les énergies des neutrons à l'issue de ces chocs.
4.
calcul de la moyenne et de la variance des grandeurs recherchées au cours
du calcul (taux de réaction, facteur de multiplication,..) à l'aide d'estimateurs, qui
s'appuient sur les évènements préalablement encaissés (c'est-à-dire comptés), au
cours des histoires précédentes.
Les étapes 2 à 4 sont répétées pour chaque nouveau neutron issu des sources, suivi
individuellement jusqu'à sa disparition finale. Les étapes 1 à 4 sont répétées jusqu'à l'obtention
d'une statistique satisfaisante (variance acceptable) sur les grandeurs que l'on recherche. La figure
1.4 montre ce que pourrait être l'organigramme de la simulation de l’histoire d'un neutron. En
pratique, les tirages de variables aléatoires et les calculs sont programmés dans un code pour
ordinateur de façon à ce qu'un grand nombre d'histoires, typiquement de quelques milliers à
quelques millions, puissent être simulées avant une exploitation statistique des résultats.
Dans la pratique, cette méthode est forcément limitée du fait de fluctuations de nature
statistique, l'échantillon simulé étant nécessairement restreint. Il s'agit du principal point faible de
la méthode: pour réduire les variances statistiques jusqu'à un niveau suffisamment faible, il faut
augmenter le nombre de particules simulées, accroissant d'autant le coût et la lourdeur des
50
calculs.
Nota : Les cercles indiquent des alternatives, les cases blanches des calculs et les cases grisées des tirages au sort de
variables aléatoires.
Figure 1.4: Simulation de l’histoire d’un neutron par la méthode de Monte-Carlo [2].
51
3.3.2.3 Caractère aléatoire de l'histoire des neutrons
Le cheminement d'un neutron dans un réacteur est constitué par une suite de segments de
droite, interrompus par des chocs sur les noyaux constituant le réacteur. Ce cheminement se
caractérise par divers aspects aléatoires. Un neutron émis par une fission en un point du réacteur,
construit en effet son cheminement jusqu'à son terme par des « tirages au hasard » successifs et
concernant:
 sa position, sa direction et sa vitesse de départ,
 la longueur de chacun de ses parcours effectués en lignes droites,
 la nature de chacun de ses collisions, tel que :
1.
dans le cas d'une diffusion, la nature de cette diffusion et l’angle de la
déviation du neutron,
2.
dans le cas d'une absorption, la nature de cette absorption,
3.
dans le cas où cette absorption est une fission, le nombre de neutrons émis.
Cet aspect aléatoire du cheminement en espace du neutron s’ajoute à un autre aspect
aléatoire concernant son cheminement en énergie: le ralentissement du neutron depuis son
énergie d'émission par fission (environ 2 MeV) jusqu'à l'énergie thermique de l'ordre de 25 meV,
obtenu par choc successifs sur les noyaux du modérateur se fait de manière tout aussi irrégulière
que son déplacement dans l'espace.
Ces deux cheminements aléatoires sont corrélés par le biais des sections efficaces qui
varient en fonction de l'énergie: le changement d'énergie qui se produit lors d'une collision (dans
le cas d'une diffusion) conditionne l'énergie après la collision et, par conséquent, la section
efficace qui régira le parcours suivant.
Finalement, ces cheminements en espace et en énergie, parfaitement irréguliers, mettent
en évidence le caractère aléatoire de l'histoire des neutrons. Ce caractère aléatoire existe pour les
deux types d'évènements qui ponctuent ces histoires, les parcours en ligne droite sans interaction
avec la matière et les collisions avec un noyau d'atome: dans le premier cas, c'est la longueur du
parcours qui est aléatoire; dans le deuxième cas, c'est la nature de la collision (type du noyau,
type d'interaction) qui l'est. Si la collision est une absorption, elle met fin au cheminement du
52
neutron ; si c'est une diffusion, les changements de direction et de vitesse du neutron sont, à
nouveau, des variables aléatoires.
Du fait de ces multiples aspects aléatoires, l'histoire particulière de chaque neutron
apparaît impossible à déterminer, et également aléatoire, aux yeux de l'observateur. Mais dans le
même temps, des lois de probabilité parfaitement définies régissent chacun de ces aspects
aléatoires :

La longueur des parcours, est ainsi régie par une loi de probabilité
exponentielle: la probabilité pour qu'un parcours mesure s à ds près est donnée par le
produit e (   s )  t ds de la probabilité e( t s ) d'un parcours de longueur s sans choc, et de celle
t
 t ds d'observer alors un choc sur ds.

Les interactions des neutrons avec la matière sont quant à elles régies par
des lois de probabilité caractérisées par les sections efficaces: la probabilité d'observer
une réaction est du type  est donnée par le rapport

t
de la section efficace partielle
  à la section efficace totale t .
Le comportement d'ensemble de la population neutronique est dès lors, de la même
manière, régi par des lois de probabilités parfaitement définies et qu'il est possible (au moins en
principe) de déduire de celles concernant les évènements élémentaires. Et la méthode de MonteCarlo apparaît comme idéale pour analyser ce type de comportement.
3.3.2.4 Utilisation de la méthode de Monte Carlo dans les calculs de criticité
Dans le cas d’un milieu multiplicateur, et pour le calcul de criticité, le facteur de
multiplication effectif k eff est la valeur d’intérêt fondamental. Par le calcul Monte-Carlo, il est
évalué à chaque « génération » (ou cycle) par :
keff (n) 
Nombre de neutrons émis à la génération 'n+1'
Nombre de neutrons émis à la génération 'n'
(3.30)
Ce nombre fluctue et évolue en fonction de n, à cause, d’une part des erreurs statistiques,
et d’autre part de la distribution des sources (convergence lente vers la distribution exacte). Le
facteur de multiplication effectif est évalué en prenant la moyenne des facteurs de multiplication
53
déduits pour un nombre de générations (cycles) grand. Ainsi, pour donner une bonne estimation,
un nombre suffisant de cycles de k eff est alors nécessaire. En plus lors des premiers cycles, la
distribution spatiale des sources risque de ne pas converger vers la distribution exacte; ces cycles
doivent alors être éliminés. Ces cycles sont des cycles inactifs et sont ignorés pour l’estimation
du k eff [7].
54
Outils et codes de calcul utilisés
Chapitre II : Outils et codes de calcul utilisés
55
1 Outils de calcul
1.1 Evaluation nucléaire
Les données nucléaires concernant les interactions des neutrons avec la matière sont, pour
l'essentiel, des sections efficaces, mais également des rendements (nombre de neutrons
secondaires issus d'une réaction, probabilités d'obtenir les divers fragments de fission . . .), des
données de décroissance radioactive, etc. L'élaboration de l'ensemble de ces données nucléaires
représente un travail considérable.
A la base se trouvent les mesures des sections efficaces microscopiques en fonction de
l'énergie pour les différents noyaux cible et les différents types d'interaction, obtenues à l'aide de
diverses techniques expérimentales. Des modèles nucléaires sont cependant nécessaires pour
compléter la connaissance des sections efficaces: en effet, certains domaines d'énergie (neutrons
rapides) ou certaines réactions nucléaires (diffusion inélastique pour des niveaux excités
d'énergie élevée, par exemple) sont plus difficiles à explorer. Il convient de préciser également
que les sections efficaces de par leur structure résonnante dépendent fortement de la température
des noyaux. Les mesures expérimentales ne pouvant être effectuées à toutes les températures, des
modèles nucléaires permettent de représenter les résonances des sections efficaces en tenant
compte de l'élargissement DOPPLER.
A un second niveau, se situe ce qu'on appelle l'évaluation : consistant à recueillir et à
pondérer les différents résultats de mesures et, s'il y a lieu, à les compléter grâce à des calculs
complémentaires.
L'ensemble des données nucléaires constitue un volume considérable de valeurs
numériques: il convient donc de structurer ces informations selon un format parfaitement défini,
tel le format ENDF (Evaluated Nuclear Data File) [3][8].
Les principales évaluations existant à l'heure actuelle sont les suivantes :
-
en Europe : JEF-1, JEF-2 et JEFF-3;
-
au Japon : JENDL;
-
aux Etats Unis : ENDFB-IV, ENDF/B-V, ENDF/B-VI;
-
en Russie : BROND;
-
en Chine : CENDL.
56
Nous nous intéressons ici aux deux premières évaluations : JEFF (JEF) et JENDL.
1.1.1 Evaluation JEF2.2
Depuis le début les années 80, le projet européen JEF [Joint European File] [9] développé
par l'ensemble des acteurs européens des données nucléaires, s'est fixé comme objectif, la
production régulière des fichiers des données nucléaires, cohérents et des hautes qualités,
utilisables pour l'ensemble des applications nucléaires.
Les données qui y sont inclues, y sont qualifiées suivant une démarche originale, garante
de qualité, qui tente de faire la synthèse de l'information microscopique (les données nucléaires
elles-mêmes et leurs incertitudes) et macroscopiques (des mesures intégrales et les incertitudes
associées). Une combinaison de ces informations aboutit en effet à une estimation de la qualité
des données et à des tendances quant à leur amélioration éventuelle.
La révision JEF2 a été décidée dès 1986 de telle sorte que le format ENDF-B/VI soit
adopté par toute la communauté scientifique et que l'accent soit mis sur l'évaluation des
matériaux de structure et des données d'activation.
L'évaluation JEF2.2 est une évaluation complète, dans le sens où elle contient, pour un
isotope donné, toutes les sections efficaces partielles pour une énergie du neutron incident variant
continûment de 10-5 eV à 20 MeV. Les valeurs données par cette évaluation sont basées sur des
mesures expérimentales complétées par des calculs effectués à partir des modèles théoriques.
Pour un isotope donné, l'évaluation contient l'ensemble des paramètres caractérisant
neutroniquement l'isotope: les différentes sections efficaces partielles à zéro Kelvin, les lois de
distribution en énergie ainsi qu'en angle des neutrons secondaires, le nombre de neutrons émis
par fission, les différents spectres des neutrons retardés, les bilans énergétiques de différentes
réactions, etc.
1.1.2 Evaluation JENDL 3.3
La bibliothèque JENDL (Japanese Evaluated Nuclear Data Library) est développée par le
Centre de Donnée Nucléaire JAERI (Japan Atomic Energy Research Institute) et le Comité
Japonais des Données Nucléaires (Japanese Nuclear Data Committee). Ces derniers se sont fixé
comme objectif, la production des fichiers des données utilisables pour l'ensemble des
applications nucléaires.
57
Cette bibliothèque contient des données numériques de divers types de réactions
nucléaires pour des énergies des neutrons incidents de 0.01 meV à 20 MeV. Après la libération
de la première version de JENDL-1 en 1977, l’évaluation JENDL a été révisée à plusieurs
reprises. La dernière version de JENDL-3.2, ayant vue le jour en 1994, regroupe les données
neutroniques pour 340 nucléides, couvrant presque tous les nucléides nécessaires pour les
réacteurs de recherche, de fission et de fusion.
En Mars 2002, une évaluation et compilation des données de la bibliothèque donne
naissance à la version JENDL-3.3. Cette dernière contient, pour 337 isotopes donnés, toutes les
sections efficaces partielles pour une énergie du neutron incident variant de 10-5 eV à 20 MeV.
[10]. L’évaluation JENDL-3.3 a été compilée dans le format ENDF-6 ajoutant 19 noyaux :
162.164.166.167.168.170
Er, 196.198.199.200.201.202.204Hg, 235Np, 237.244.246Pu, 240Cm, et 247Bk.
1.2 Bibliothèque CEA 93
La bibliothèque CEA93 est une bibliothèque de sections efficaces et de sections effectives
à 99 et 172 groupes d'énergie des neutrons. Elle a été élaborée à partir de l’évaluation JEF2.2 par
le système NJOY-THEMIS15.
Cette bibliothèque bénéficie des études de qualification menées dans le cadre de la
physique des réacteurs ainsi que des travaux réalisés dans le cadre du groupe de travail JEF. Cette
bibliothèque est étendue aux besoins spécifiques pour les neutroniciens et intègre l’ensemble des
isotopes nécessaires aux calculs de réacteur notamment les produits de fission et les actinides
majeurs et mineurs.
La bibliothèque CEA93 pour APOLLO2 est une bibliothèque dont le contenu ne se limite
pas qu'aux sections efficaces, et qu'aux matrices de transfert. Elle intègre des données
supplémentaires nécessaires aux calculs d'évolution et au calcul d'autoprotection.
15
Système (code) de traitement de données nucléaires utilisé au CEA .Bâti sur la base du système américain NJOY,
complété par différents modules spécifiques.
58
2 Codes de calcul neutronique
2.1 Codes déterministes en transport
Ce sont des codes dits de transport multi-groupes à 2 ou 3 dimensions ; ils résolvent, dans
une géométrie donnée, l’équation de Boltzmann en multi-groupes pour le transport des neutrons.
Plusieurs méthodes peuvent être employées, en voici les principales : méthode des Pij, méthode
SN.
2.1.1 Code APOLLO
2.1.1.1 Généralités
Le code APOLLO2, développé au CEA/DEN/DM2S/SERMA, permet de représenter le
comportement neutronique d'une cellule unitaire, d'un assemblage ou d'une portion
bidimensionnelle d'un cœur de réacteur nucléaire [11]. APOLLO2 permet de résoudre l'équation
de Boltzmann soit sous sa forme intégrale, par la méthode des probabilités de collision (Pij), soit
sous forme intégro-différentielle, par la méthode aux ordonnées discrètes (SN). Il permet
également d'utiliser des bibliothèques comportent les développements des sections de transfert en
polynôme de Legendre à un ordre quelconque. Ces développements ne sont utiles qu'à l'ordre 1
pour les calculs Pij mais peuvent être exploités en SN ou Monte-Carlo.
Une différence importante par rapport au code APOLLO1 se situe dans les modélisations
utilisées dans les calculs d'autoprotection. Dans APOLLO1, l'équivalence homogène-hétérogène
est réalisée sur un seul macrogroupe avec l'approximation résonance étroite.
Dans APOLLO2, on dispose de plusieurs modèles de ralentissement : le modèle
résonance étroite (celui disponible dans APOLLO1), le modèle résonance large et le modèle
statistique. A partir des données nucléaires lues et interpolées dans la bibliothèque CEA93, il
réalise :
1.
des calculs d'autoprotection des résonances (méthode classique d'équivalence ou
méthode de sous-groupes),
2.
des calculs de flux directs et adjoints pour différents types de géométries à 1 ou 2
dimensions avec prise en compte des fuites neutroniques par un modèle de mode
fondamental (basé sur les équations B1 homogène),
3.
des calculs d'évolution isotopique,
59
4.
des homogénéisations spatiales et des condensations en énergie des constantes
nucléaires permettant le calcul de taux de réaction,
5.
des calculs d'équivalence transport/transport ou transport/diffusion,
6.
des bibliothèques de données nucléaires lisibles par le code d'évolution du cœur
CRONOS2 ou par le code Monte-Carlo TRiPOLi4,
7.
calculs de perturbations standards et généralisées.
2.1.1.2 Calcul de transport par le code APOLLO2
Pour une meilleure compréhension du travail que nous venons de traiter et comme une
introduction à ce qui suit, il est intéressant de rappeler les grandes étapes d'un calcul de transport
par APOLLO2 [12]. Elles sont résumées de façon simplifiée, tel que :
1ère étape: Description des différents milieux et de la géométrie
Définition d'une géométrie représentative des caractéristiques (nature et positionnement
des matériaux) de la cellule étudiée.
2ème étape: Création de la bibliothèque interne
Génération d'une bibliothèque de sections efficaces macroscopiques multigroupes à partir
des données propres à la géométrie de la cellule et des bibliothèques de section efficaces
microscopiques. La procédure BIBLIO_CEA93_V616 d'APROC17 a été utilisée pour générer la
bibliothèque des sections efficaces macroscopiques des isotopes dans la recommandation
CEA93. Le module BIBINT permet de créer une bibliothèque dite interne. Elle contient les
sections efficaces multigroupes ( g , g g ' ) des isotopes uniquement présents dans la géométrie et
à la température souhaitée.
3ème étape: Calcul d’autoprotection
Prise en compte des effets d'interférences entre les résonances des sections efficaces des
éléments lourds par un calcul d'autoprotection. Les plus importants éléments lourds présentent
des résonances, sont: l’235U et l’238U dans le combustible neuf; le 239Pu, 240Pu, 241Pu et 242Pu, qui
vont apparaître dans le combustible au cours de l'irradiation; et le Zr naturel contenu dans les
16
Procédure générant l'ensemble des objets Isotope conseillés par la procédure CEA93. Ses isotopes sont
regroupes dans une table indicée par le nom des isotopes.
17
bibliothèque de procédures pour APOLLO2
60
gaines. Chaque isotope résonant est autoprotégé dans le module d'autoprotection par un calcul
élémentaire, on se basant sur le principe général: « les isotopes résonnants les plus importants
doivent être autoprotégés les premiers ». Le module AUTOP Permet d'effectuer le calcul
d’autoprotection et les résultats obtenus fournissent les sections efficaces multigroupes
autoprotégées des isotopes traités.
4ème étape: Création de la bibliothèque macroscopique
Cette étape permet, via le module MACROLIB, de créer à partir de la bibliothèque interne
et de la composition des différents milieux, la bibliothèque de sections efficaces macroscopiques
(g , g g ' ) nécessaires à la résolution de l'équation du transport.
5ème étape: Calcul du flux
Consiste à résoudre l'équation de transport par deux méthodes différentes (SN et Pij),
calculer les flux (par groupe et région) et calculer les nouvelles sources de fission (par région
thermique et isotope). Le module FLUXIEXT: utilise la méthode des probabilités de collision et
le module SNFLUX: la méthode SN.
6ème étape: Edition des taux de réaction
L'association des modules (CONDENSE, PONDFLUX, et EDITAUX) permet à partir de
la bibliothèque interne et de la bibliothèque macroscopique d'éditer les taux de réactions des
différents milieux et sur n'importe quel domaine énergétique.
Les bibliothèques macroscopiques (des sections efficaces macroscopiques  g  g ' ) sont
créées lors de chaque calcul à partir des APOLIB (bibliothèque des sections de transfert
microscopiques  g  g ' ). Dans la version actuelle du code APOLLO, ces bibliothèques
macroscopiques ont le même format que les APOLIB.
2.1.2 Code CRONOS
Le code CRONOS est fait partie du système SAPHYR dédiée au calcul des cœurs de
réacteurs à l'aide de la théorie de la diffusion, du transport simplifié SPN et du transport SN [6].
Ce code est organisé selon un principe modulaire. Chaque fonction élémentaire est réalisée par
une partie du code qui lui est dédiée, chaque partie définie ainsi s'appelle un module. L'utilisateur
61
du code doit indiquer lui-même l'enchaînement des modules qu'il souhaite réaliser en fonction de
ses besoins. Cette organisation modulaire permet par sa souplesse de traiter la plus grande partie
des problèmes liés à la physique des cœurs des réacteurs nucléaires. Cet ensemble de modules est
couplé au code FLICA qui traite les aspects thermohydrauliques et au code APOLLO qui traite
les aspects liés au transport hétérogène dans les réseaux permettant l'obtention des données
nucléaires nécessaires à CRONOS. Les codes APOLLO et FLICA font également partie du
système SAPHYR et sont également organisés selon un principe modulaire.
Le code CRONOS, également développé au CEA/DEN/DM25/SERMA, est un code de
calcul neutronique de cœur à trois dimensions dont les principales fonctionnalités sont les
suivantes :
1.
calculs du flux direct et adjoint,
2.
calculs d'évolution,
3.
calculs de cinétique ponctuelle et spatiale,
4.
édition de taux de réactions,
5.
optimisation du pilotage,
6.
repositionnement des assemblages,
7.
calculs de perturbations standards et généralisées.
2.1.2.2 Organisation des données
Le langage de données et de commandes commun à tous les modules du système
SAPHYR est le langage GIBIANE. Ce langage contrôle l'exécution des programmes décomposés
en modules indépendants dialoguant entre eux par l'intermédiaire de structures qui sont des
entités nommées et typées. Il gère le dialogue entre le code et les utilisateurs. L'ensemble des
modules communs aux trois codes du système SAPHYR (APOLLO, CRONOS, FLICA) est
regroupé dans une bibliothèque appelée SAPHTOOL.
La structure modulaire des codes APOLLO et CRONOS offre par le biais du langage
utilisateur GIBIANE une très grande souplesse d'organisation et l'enchaînement des différents
modules pour constituer des schémas de calcul spécifiques [13] [14]. Cette souplesse au niveau
du développeur du schéma de calcul a une contrepartie qui se traduit par une grande complexité
des jeux de données, source d'erreur et nécessairement rebutante pour l'utilisateur "industriel".
62
Pour concilier les deux approches, il est possible de regrouper un ensemble d'instructions
à l'intérieur de procédures de calcul GIBIANE qui vont constituer en quelque sorte des "supermodules" réalisant des fonctions complexes (création de la géométrie, calcul du flux à fuites
critiques, équivalence transport/diffusion, calcul de distributions de puissance et taux de réaction,
générations de SAPHYB . . . ) [15].
2.1.2.3 Langage de programmation et exécution du code
Le langage de programmation des modules de SAPHYR est le FORTRAN77. Une sur
couche de ce langage a été développée pour permettre la gestion dynamique de la mémoire vive
et de la mémoire disque : c'est le langage ESOPE. Les sources écrites en ESOPE sont traduites en
FORTRAN77 par un pré-processeur. La gestion dynamique de la mémoire rend possible le
traitement des problèmes nécessitant une place mémoire supérieure à la mémoire vive
physiquement disponible sur tous les types de machine. La limitation en taille des problèmes à
résoudre n'est liée qu'à la mémoire disponible sur la machine d'exécution.
Le code CRONOS est implanté sur CRAY, sous UNIX, sur les stations de type IBM, HP,
SUN, MIPS, SGI, DEC et sur les PC sous UNIX (SUN, Linux).
2.1.2.4 Principaux domaines d’application de CRONOS
Le code résout les équations de la neutronique au niveau du cœur du réacteur. Tous les
types de réacteurs peuvent être a priori calculés par le code (REP, RNR, VVER, RBMK,..). La
seule restriction réside dans le choix des maillages disponibles pour modéliser la géométrie.
Le code ne contient pas, dans son écriture, de limitation au nombre de mailles, au nombre
de groupes d'énergie, au nombre d'isotopes et au nombre de paramètres de tabulation pour les
sections efficaces.
Le problème de base est de calculer le flux neutronique et le facteur de multiplication
effectif des neutrons (Keff).
Ce problème peut se décliner dans CRONOS selon les variations suivantes :
1-
Equation statique de la diffusion,
2-
Equation statique du transport simplifié SPN,
3-
Equation statique du transport SN,
63
4-
Equation de la cinétique en diffusion et SPN,
5-
Evolution des concentrations isotopiques,
6-
Evolution des taux de combustion,
7-
Contres réactions thermohydrauliques,
8-
Problèmes à sources en diffusion et SPN,
9-
Optimisation de la nappe de puissance,
10-
Reconstruction locale de puissance,
11-
Calculs directs ou adjoints,
12-
Théorie des perturbations.
2.1.2.5 Procédures CPROC
La structuration de CRONOS est telle que les principales possibilités numériques sont
applicables pour tous les problèmes physiques pouvant être résolus. L'utilisateur doit donc, dans
l'absolu, définir les meilleurs méthodes et schémas pour résoudre son problème. Le nombre de
configurations possibles est incalculable et pour simplifier la tâche de l'utilisateur, un certain
nombre de schémas sont proposés dans le cadre d'une utilisation dite "classique".
Ces schémas sont pré-écrits dans des procédures GIBIANE accessibles à l'utilisateur.
Elles forment la bibliothèque CPROC à laquelle est associée une documentation.
2.1.2.6 Description schématique d'un calcul CRONOS stationnaire
1ère étape : Acquisition des données neutroniques
La présente étape consiste à acquérir les données neutroniques caractérisant la
composition du milieu auquel elles appartiennent. Ces données proviennent généralement de
bibliothèques de sections efficaces issues du code APOLLO. Elles sont également organisées
sous une forme informatique propre à CRONOS dans des structures du type COMPO.
Usuellement, c'est sous ce nom de COMPO que l'on désigne ces objets dans CRONOS.
Les sections sont paramétrées en fonctions des variables qui définissent l'état du système. Ces
variables ou paramètres d'état sont par exemple le taux de combustion, la température du
combustible, la densité du modérateur et les concentrations isotopiques. Ces paramètres
64
permettent de caractériser la composition de domaine d'étude du point de vue de la neutronique.
A chaque zone particulière du domaine d'étude sera associée une structure de données
particulière de type COMPO.
2ème étape : Description de la géométrie physique
On définit un maillage et on affecte le nom d'une COMPO à chaque maille.
3ème étape : Etat du système
Il faut affecter des valeurs aux paramètres d'état et aux concentrations des isotopes pour
pouvoir déterminer les sections efficaces de chaque milieu. La structure contenant ces
informations est de type PARAM. Usuellement, cet objet est nommé TCOMP par les utilisateurs
dans leurs jeux de données GIBIANE.
4ème étape : Calcul des sections efficaces macroscopiques
Ce sont ces sections efficaces qui constituent les coefficients des équations traitées.
5ème étape : Choix d'une méthode numérique
Cette étape est souvent la plus difficile pour un nouvel utilisateur car il doit faire un choix
judicieux parmi tous les algorithmes de résolution liés aux différentes méthodes numériques
proposées par le code. L'utilisateur pourra utiliser les procédures de CPROC18 qui contiennent les
enchaînements de modules correspondants aux méthodes choisies. Deux familles générales de
méthodes se distinguent dans CRONOS : PRIAM et MINOS.
Notons que les deux méthodes MINOS et PRIAM produisent des résultats identiques en
ce qui concerne le Keff et le flux moyen par maille physique si on utilise une intégration de
Gauss. En outre, certaines configurations particulières sont difficilement converger avec une
méthode alors qu'une autre convient tout à fait. Ces comportements ne sont pas identifiables
automatiquement par le code. L'utilisateur réalisant des études originales doit donc rester vigilant.
6ème étape : Calcul du flux stationnaire
Ce calcul est effectué par la résolution de l'équation de la diffusion.
7ème étape : Calcul de la puissance
18
Bibliothèque des schémas des procédures GIBIANE accessible à l’utilisateur dont le but est de simplifier
l’utilisation du code en proposant des enchainements des modules standardisés.
65
8ème étape : Modification de l'état du domaine d'étude
2.1.3 Code SRAC
Le code SRAC est un système de code de calcul qui peut être employé pour l'analyse du
comportement neutronique de divers types de réacteurs nucléaires. Depuis la publication de la
deuxième version du manuel d'utilisateurs (JAERI-1305) en 1986 pour le système SRAC, un
certain nombre d'additions et de modifications aux fonctions et aux données de bibliothèque ont
été faites pour établir un système complet d’un code de neutronique [16]. Il inclut plusieurs
bibliothèques nucléaires multi-groupes basée sur les principales évaluations nucléaires, à savoir :
JENDL-3.3, JENDL-3.2, ENDF/B-VI, JEF-2.2, etc.
Le système ‘SRAC’ signifie habituellement non seulement le code, mais également le
système entier comprenant les bibliothèques des données nucléaire et les codes de calcul
auxiliaires. Ci-après, nous appelons le code en tant que ‘code de SRAC’ pour distinguer du
système [17].
Le code SRAC intègre trois codes de transports et deux codes de diffusion de neutron,
respectivement : PIJ, ANISN, TWOTRAN, TUD et CITATION.
1-
Le code PIJ, basé sur la méthode de probabilité de collision couvrant 16
géométries différentes,
2-
Les codes de calcul de transport ANISN et TWOTRAN permettent de résoudre
l'équation de Boltzmann à 1 ou 2 dimensions, respectivement, par la méthode aux ordonnées
discrètes (SN),
3-
Le code unidimensionnel de diffusion TUD, s'est développé à MERL, qui couvre
la géométrie de la plaque (x), du cylindre (r), et des géométries de sphère (R),
4-
et le code de diffusion multidimensionnel CITATION.
Le système inclut également deux codes auxiliaires pour le calcul du burn-up : le code
d'ASMBURN pour le calcul d’assemblage et le code COREBN pour le calcul multidimensionnel
(cœur du réacteur) [18].
66
1- Le code ASMBURN est un code auxiliaire de calcul d’évolution (the burn-up)
d’assemblage. Il emploie les routines de probabilité de collision identiques à ceux du PIJ
dans le code SRAC pour le calcul de flux, alors que le calcul d’évolution est basé sur
l'interpolation des sections efficaces macroscopiques. Ces sections macroscopiques sont
générées par SRAC par un calcul d’évolution de la cellule unitaire de l’assemblage et
utilisées par ASMBURN qui exécute le calcul d’évolution avec des sections efficaces
macroscopiques homogénéisées et condensées. Par conséquent, réduire le cout du calcul
dans des géométries compliquées par rapport à celui du code de SRAC. Notons que les
sections efficaces issues du code ASMBURN peuvent être réutilisées par le code SRAC,
ASMBURN lui-même ou le code COREBN.
2- Le code auxiliaire COREBN est un code multidimensionnel de calcul d’évolution du
cœur, y comprend le code CITATION, en utilisant la méthode de différence finie et la
fonction d’interpolation des sections efficaces macroscopiques. Il utilise les tableaux de
sections efficaces générées par SRAC ou ASMBURN. Bien que le code original de
CITATION exécute le calcul d’évolution avec des sections efficaces microscopiques, il
ne peut pas être appliquer aux réacteurs thermiques avec une forte hétérogénéité dans les
éléments combustibles. D’où, l’adoption da la méthode d'interpolation des sections
efficaces macroscopiques tabulées.
Le code COREBN peut être utilisé pour les gestions du burn-up et du combustible dans
les réacteurs recherches, et également pour les études des nouveaux concepts des
réacteurs innovateurs à l'avenir.
2.1.3.2 Principales fonctions du code SRAC
Le système SRAC est conçu pour permettre le calcul neutronique pour différents types de
réacteurs thermiques. Le système permet également de produire les sections efficaces
microscopiques et macroscopiques, et de représenter le comportement neutronique d'une cellule
unitaire, d'un assemblage ou d'une portion d'un cœur de réacteur nucléaire faisant le calcul du
burn-up. Il permet également de fournir les principaux paramètres exigés dans les études
théoriques et expérimentales du réacteur nucléaire. Les principales caractéristiques du SRAC
sont :
67
1) utilisation des données nucléaires (sections efficaces,…), pour plus de 300 nuclides,
basant sur les principales évaluations nucléaires, à savoir : de JENDL, d'ENDF/B et de JEF.
2) utilisation du code PIJ applicable à 16 types de géométries de cellules couvrant la
plupart des réacteurs existants.
3) l'utilisateur peut concevoir son propre arrangement de calcul en choisissant et en
combinant des codes appropriés ou des fonctions facultatives dans le système. Par exemple, une
variété des codes de transport sont disponible pour des calculs de cellules (code PIJ, codes 1D
(ANISN) et 2D (TWOTRAN) de SN). Pour les calculs du cœur, les codes de diffusion de 1D, 2D
et 3D sont également disponibles. Notant que l'interface des données et des sections efficaces
entre les codes se fait d’une manière automatique.
4) trois options pour le calcul d'absorption de résonance sont disponibles dans la gamme
d'énergie de résonance dominante. Les sections efficaces effectives obtenues, par la méthode
conventionnelle de look-up, sont basée sur l'approximation de la résonance étroite (NR) qui peut
être remplacée par ceux basés sur l'approximation de la résonance intermédiaire (IR). D'ailleurs
une méthode rigoureuse est également fournie par la routine PEACO qui résout un problème de
cellules multi-région par la méthode de probabilité de collision en utilisant une structure continue
en énergie (hyperfine) pour la gamme d'énergie de résonance.
5) le système SRAC peut être exécuté sur la plupart d'ordinateurs avec le logiciel
d'exploitation d'UNIX ou ses semblables comme Linux ou FreeBSD.
2.1.3.3 Schéma de calcul dans le code SRAC
Les étapes suivantes résument de façon simplifiée la procédure d'un calcul de transport
par SRAC95.
1 ère étape : lire le nom de cas
Lire le nom du problème traité dans le fichier de donnée.
2éme étape : lire les options de commande
Lire les données d'entrée pour lancer du code et commencer le calcul.
3éme étape : lire la commande de dossier PDS
Lire les données d'entrée sur les dossiers PDS et la structure des groupes d’énergies.
68
4éme étape : préparer les bibliothèques d'utilisateur rapides et thermiques
5éme étape : lire la géométrie pour le code Pij
6éme étape : lire la composition matérielle
Lire les caractéristiques du milieu de calcul telles que la composition des isotopes et la
température du milieu.
7éme étape : composer la bibliothèque utilisateur
Composer les bibliothèques d'utilisateur rapides et thermiques en extrayant et en
compilant les sections efficaces nécessaire des bibliothèques publiques rapides et thermiques.
8éme étape : PIJ
Calculer la probabilité de collision dans la gamme d'énergie rapide, puis calculer la
distribution du flux de neutron rapide sur la R-Région. Le flux obtenu est stocké dans le dossier
FLUX.
9éme étape : appel PEACO
Entrer dans le processus de PEACO
10éme étape : composer la bibliothèque utilisateur MCROSS.¶
Composer la bibliothèque utilisateur MCROSS pour les nuclides requis et les
températures à partir de la bibliothèque public MCROSS.
11éme étape : calcul de flux Hyperfin
Calculer les spectres de neutron hyperfins dans la cellule multi-région composée par RRégions dans la gamme d'énergie de résonance.
12éme étape : appeler le module MIX X-SECTION
Homogénéiser les sections macroscopiques sur la X-Région.
13éme étape : PIJ
Calculer la probabilité de collision dans la gamme d'énergie thermique, puis calculer la
distribution du flux de neutron thermique sur la T-Région.
14éme étape : appeler le module HOMOSP
69
Résoudre l’équation du transport dans le cœur pour toute la gamme d'énergie utilisant
l'approximation P1 ou B1 en considérant l'effet de fuite. Les facteurs de multiplications infinies et
effectives ainsi que le spectre homogénéisé sont obtenus et le spectre est ensuite stocké dans le
dossier FLUX.
15éme étape : appeler le module CONDENSE
Il s’agit de condenser les sections efficaces macroscopiques utilisant le spectre obtenu par
le calcul de cellule ci-dessus. Les sections efficaces obtenues sont stockées dans le dossier
MACRO.
16éme étape : appeler le module MICREF
Permet d’imprimer la distribution de la puissance et du facteur de conversion.
2.2 Code Monte-Carlo : MCNP
2.2.1 Généralités
Le code Monte-Carlo N-Particle transport (MCNP) est actuellement l’un des codes de
calcul de transport de particules et d’interaction avec la matière les plus utilisés dans le monde,
fondé sur la méthode de Monte Carlo. Ses domaines d’application sont très vastes et variés, que
ce soit pour la radioprotection, la dosimétrie, l’imagerie médicale, les calculs de réacteurs ou
toute autre installation nucléaire. Il est développé par le Los Alamos National Laboratory qui en
est propriétaire [19].
Dans notre travail, nous avons utilisé le code MCNP comme code de référence ou
"étalon" permettant de valider les calculs effectués avec les codes déterministes reposant sur les
modélisations et les résultats obtenus par le calcul MCNP. En effet, la démarche habituelle en
neutronique consiste à quantifier les écarts obtenus, par les calculs déterministes, par rapport à un
calcul de « référence » qui comporte moins d'approximations [7].
2.2.2 Description de la géométrie
Dans le code MCNP, un élément géométrique (cellule) est défini en trois dimensions, et il
est constitué par l’union ou l’intersection d’un nombre quelconque de surfaces qui les délimitent.
Ces dernières sont décrites par des équations de premier, deuxième degré (plan, cylindre,
70
sphère..), ou du quatrième degré. Elles sont combinées par des opérateurs booléens. Cette
définition de la géométrie nous permet de traiter des cas très généraux.
Il faut signaler que MCNP traite les éléments géométriques dans un système cartésien.
Les équations définissant les surfaces reconnues par ce code sont présentées dans le tableau 2.1
(pour définir une surface, il suffit de fournir les coefficients de l’équation de cette surface).
2.2.3 Description de la source
Dans le code MCNP, les sources sont définies par l’utilisateur. Ces sources peuvent être
des distributions de probabilité ayant comme variables : énergie, temps, position et direction. On
définit aussi la position de départ de la source. La distribution spatiale peut être factorisée
indépendamment sur les trois directions (x, y, z). Pour chaque direction, on peut définir la densité
de particules émises, analytiquement ou bien numériquement. La densité totale est le produit des
trois composants. Des variables de la source peuvent dépendre d’autres variables (par exemple;
l’énergie comme fonction de l’angle…). L’utilisateur peut aussi biaiser toutes les distributions
d’entrée.
Afin d’introduire des distributions continues de probabilité pour les variables de source, le
code MNCP donne la possibilité de choisir les coefficients des distributions les plus connues
telles que, les spectres de Watt, Maxwell, Gauss…etc.
2.2.4 Description des données nucléaires.
Dans MCNP, les sections efficaces sont représentées, soit en mode continu ou/en mode
multigroupe. Les sources primaires de ces données sont issues des différentes évaluations
(ENDF, JEF, ENDL, JENDL, ACTL…etc.). Des tables de données nucléaires existent pour les
interactions des neutrons, des photons, des électrons ainsi que la dosimétrie, ou l’activation
neutronique. Elles existent aussi pour les paramètres de la diffusion thermique S (α,β). Pour les
photons et les électrons, les données sont plutôt atomiques et non pas nucléaires.
Chaque table de données de sections efficaces utilisées par MCNP, doit être indiquée dans
un fichier appelé « XSDIR ». L’utilisateur peut sélectionner la donnée de la bibliothèque choisie
à partir d’un identificateur d’élément «ZAID » qui contient le numéro atomique Z, la masse
atomique A ainsi que l’indicateur de type de bibliothèque ID.
71
Quant aux tables des données de diffusion thermiques, elles concernent pour les fonctions
de transfert S (α, β). Les données concernent les effets des liaisons chimiques et cristallines qui
deviennent importants pour des énergies suffisamment faibles. Des données à différentes
températures doivent être fournies pour les différents modérateurs usuels tels que l’eau légère,
l’eau lourde, Béryllium, l’oxyde de Béryllium, polyéthylène, le graphite, benzène, Zirconium et
l’hydrogène dans l’hydrure de Zirconium.
2.2.5 Sorties de MCNP
Les résultats obtenus par le code MCNP sont divers; on peut avoir par exemples: le
courant surfacique, la fluence19 surfacique ou volumique. Toutes ces «tallies20» ne peuvent être
obtenues pour chacun des trois types de particules. Par exemple le dépôt d’énergie de fission
n’est calculable que dans le cas de neutrons incidents. Par ailleurs, il est également possible à
partir des tallies précédentes d’obtenir les résultats sous forme de taux de réaction. Ceci est
particulièrement intéressant dans le cas des calculs de rendement de détection des neutrons, et
surtout dans le calcul du coefficient de multiplication effectif.
2.2.6 Simulation du transport des neutrons par MCNP
Son utilisation repose sur une «programmation », nécessitant les principales données
suivantes:
1- Description géométrique du dispositif en 3 dimensions.
2- Type de transport (mode neutron, photon, électron, ou tout mode mixte).
3- Définition de la source (nature, énergie, direction, probabilité d’émission des
particules, source ponctuelle, surfacique ou volumique… etc.)
4- Description des matériaux (nature de sections efficaces des réactions utilisées)
5- Définition du type de résultat souhaité appeler « tally » dans le code.
Donc pour générer un fichier d’entrées de MCNP, il est nécessaire de définir les cellules,
les surfaces, les matériaux, les paramètres de la simulation et le type de réponses souhaitées.
19
t
La fluence ( s 
 (t ')dt ' ) est un nombre de neutrons par unité de surface. En pratique, on l'exprime souvent en
0
21
2
neutrons par kilobarn : 1n/kb=10 neutrons par cm .
20
Sont des observables définies dans le code MCNP.
72
Tableau 2-1: Equations des différentes formes géométriques utilisées dans MCNP.
73
Description des benchmarks et calcul neutronique
Chapitre III : Description des benchmarks et calcul
neutronique
74
1 Présentation des benchmarks
Il s’agit de deux concepts des réacteurs nucléaires innovants à eau bouillante BWR-PB
(Boiling Water Reactor with Pebble Bed coated particles) et AFPR-100 (Atoms For Peace
Reactor at a power of 100 MWe), de longue durée de vie et à faible et à moyenne puissance,
dont l’objectif final est de vérifier qu’ils ont une longue durée de vie [43].
La particularité de ces deux présents réacteurs nucléaires réside dans l’utilisation d’un
combustible sphérique de type TRISO semblable à celui du réacteur HTR (High Temperature
Reactor) [23]. Le combustible est sous forme d'une microsphère, d’un diamètre de l'ordre du
millimètre, composée d'un noyau de matière fissile enrobé de différentes couches de
matériaux réfractaires. Le tout est immergé dans l’eau comme modérateur et caloporteur.
2 Description du combustible utilisé : TRISO
Le combustible utilisé est à base de dioxyde d'uranium (UO2) enrichi en U235,
confiné dans une structure compacte, appelée microsphère, de type TRISO (Tri-ISOtropic),
recouverte de multiples couches superposées successivement. La figure 3.1 illustre la
microsphère du combustible enrobée par la couche de mixture d’eau-vapeur qui joue le rôle
modérateur. La première couche est une couche du carbone poreux, a pour rôle du réservoir
des gaz de fission relâchés par le noyau durant la combustion. Puis deux couches du carbone
pyrolytiques denses (PyC), contribuant à la tenue mécanique de la particule, suivie par une
couche du carbure de silicium (SiC) qui joue le rôle de barrière à la diffusion des produits de
fission solides [33]. Ensemble, ces diverses couches constituent une barrière très résistante à
la corrosion et surtout étanche vis-à-vis des produits de fission gazeux et métalliques. Le
tableau 3.1 montre les dimensions des différentes compositions de la microsphère.
75
Figure 3.1: La microsphère du combustible, TRISO, enrobée par une couche de mixture d’eau-vapeur.
Les microsphères, MFEs, d’un diamètre généralement compris entre 0.5 et 2 mm, sont
composées d’un cœur fissile couvert de plusieurs couches :
 Carbone poreux :
Cette première couche du carbone poreux a trois rôles principaux:
i.
Atténuer le recul des produits de fission. C’est à dire ralentir les produits de
fission ayant des énergies très grandes résultantes de la fission de l’uranium.
Cependant, la gamme de recul des produits de fissions est très longue dans une
matière à basse densité comme le carbone poreux (1g/cm3), pour cela
l’épaisseur de cette couche est comparable au parcours de recul.
ii.
Garantir un espace vide pour les produits de fission gazeux. La couche poreuse
assure un espace pour la rétention des gaz générés et bien contrôler la pression
interne du grain.
iii.
Elle a la faculté de se déformer pour compenser le gonflement des grains du
combustible.
 Carbone pyrolytique dense (PyC) :
La couche du carbone pyrolytique est plus dense que celle du carbone poreux, elle a
plusieurs fonctions :
i.
Elle protège le grain du combustible du chlore (sous la forme du chlorure
d’hydrogène HCl) libéré pendant la disposition de la couche du carbure de
silicium SiC au cours de la fabrication. Sans la couche PyC, le chlore
76
émigrerait facilement à travers la couche poreuse vers le grain et réagirait avec
l’uranium produisant le chlorure volatil qui pourrait transporter l’uranium hors
du grain et contaminer les couches.
ii.
Elle fournit une surface bien lisse pour la disposition de la couche du SiC.
iii.
Elle retarde le transport des produits de fission. En fait, la couche du carbone
pyrolytique retient efficacement les produits de fission gazeux et ce qui n’est
pas le cas pour les métaux. Elle contribue également à la tenue mécanique de la
particule.
 Carbure de silicium (SiC) :
La couche du carbure de silicium joue le rôle d’une barrière à la diffusion des produits
de fission solides, c’est une innovation majeure apportée par la microsphère TRISO au niveau
de la haute performance de la rétention des produits de fission. Elle a deux fonctions
principales :
i.
Fournir un support structural pour adapter la pression du gaz interne,
ii.
Jouer le rôle d’une barrière fondamentale des produits de fission gazeux et
solides.
Il y a lieu de noter cependant que des études [20] [33] ont montré le problème
d’intégrité du combustible TRISO, pendant l’irradiation, dans la mixture de l’eauvapeur aux températures extrêmes (à environ inférieure de 260°C et plus que
1600°C) dû notamment à l’effet de la corrosion et de l’érosion du SiC dans l’eau.
Tableau 3.1: Structure de la microsphère du combustible.
Composant
Matière fissile
Carbone poreux
Carbone pyrolytique
dense
Carbure de silicium
U
238
U
16
O
12
C
12
C
Température, K
0.065
573
0.077
573
0.0775
573
0.09
573
0.1067
568
28
Si
C
1
H
16
O
12
Mixture eau-vapeur
Rayon externe, cm
235
77
3 Conception du réacteur BWR-PB
3.1 Description des assemblages étudiés
Nous avons réalisé l’étude d’assemblage du réacteur BWR-PB dans le cadre du
benchmark proposé par E. Grishanin [21]. Cette étude a fait l’objet de deux articles, l’un écrit
pour la conférence Research Reactor Fuel Management (RRFM) (2010) [22] et l’autre écrit
pour le journal Nuclear Engineering and Design (2009) [23]. Elle a fait également l’objet de
deux rapports préparés pour le CRP (Coordinate Research Project) [24] [38].
Sur la figure 3.2 nous présentons l’unité d’assemblage de BWR-PB adoptée dans cette
étude. Cet assemblage ne représente qu’une portion très limitée du cœur. Il est considéré une
juxtaposition des cellules carrées identiques (décrite au paragraphe suivante cf. 1.2.2) dont le
combustible est une mixture de dioxyde d’uranium (UO2) modérée par l’eau bouillante. La
modération au long de l’unité d’assemblage suit une distribution axiale non uniforme. Les
figures 3.2 et 3.3 présentent, respectivement, des sections transversale et longitudinale de
l’unité d’assemblage BWR-PB.
Figure 3.2: Section transversale de l’unité d’assemblage BWR-PB.
78
Figure 3.3: Section longitudinale de l’unité d’assemblage BWR-PB.
3.2 Description des cellules étudiés
La cellule unitaire du BWR-PB considérée est formée de trois régions, décrites dans la
figure 3.4, de l’extérieur vers le centre, elles sont : le combustible, la gaine et le caloporteur
(H2O). Avec un combustible à base de dioxyde d’uranium UO2 enrichi à 9% en U235, la
cellule du BWR-PB est composée de microsphère (MFE) de type TRISO submergées dans
une matrice de mixture d’eau-vapeur. L’ensemble est centré par un canal en Zircaloy (ZrNb),
79
par lequel passe l’eau comme caloporteur. Le tableau 3.2 montre les compositions de chaque
région de la cellule unitaire adoptée.
Figure 3.4: Géométrie de la cellule unitaire du BWR-PB.
Tableau 3.2: Composition de la cellule unitaire du BWR-PB.
Région
Combustible
Caloporteur
Gaine
Composition
MFE+ Eau-vapeur
Eau
Zircaloy (Zr (nat.) +Nb93)
3.3 Condition du calcul
Le calcul d’assemblage est réalisé pour différents états. Chaque état est représenté par
les températures des trois milieux de la cellule (combustible, caloporteur et gaine), par les
caractéristiques du modérateur (distribution axiale non uniforme au long de l’assemblage), par
la concentration des produits de fission (135Xe, 149Sm) et par le laplacien géométrique. Dans
ce travail, le calcul effectué est un calcul dit à laplacien nul, c'est-à-dire un calcul où la
géométrie est présentée par un réseau infini régulier constitué par la juxtaposition jusqu'à
l'infini des cellules identiques à la cellule décrite (Fig. 3.4); on parle aussi de calcul "sans
fuite". L'action des produits de fission sur le facteur de multiplication sera mise en évidence
dans des paragraphes ultérieurs.
Les premiers calculs sont obtenus sur la cellule carré cylindrisée à l’aide du code de
calcul APOLLO2 en se basant sur la bibliothèque de section efficace à 172 groupes
d’énergies disponibles dans JEF2.2. L’équation de Boltzmann est résolue sous sa forme
intégrale par la méthode des probabilités de collision (calcul des PIJ) et le calcul des matrices
de collision pour les cellules se fait avec l'approximation de cylindrisation.
Deux types des géométries du calcul ont été retenus : le premier est un milieu
homogène infini où toutes les compositions de la cellule sont homogénéisées ; alors la cellule
80
forme une pâte homogène. Le deuxième est un milieu hétérogène où nous avons retenu une
géométrie hétérogène simple décrite comme un réseau de cellule composées d’une gaine en
Zircaloy entouré d’un combustible divisée en quatre couronnes (Fig. 3.5). Ce découpage
spatial est défini par trois rayons :
R1  R comb  50
100
R 2  R comb  80
100
R 3  R comb 
100
95
(3.1)
dont le quatrième rayon R4 est le rayon total du combustible est égale au rayon de la cellule
utilisée dans l’approximation de cylindrisation de Wigner : chaque cellule est remplacée par
2

un cylindre (cellule cylindrisée) de rayon R 2 c  Rcomb
volume de la cellule
qui a donc le

même volume que la cellule initiale mais une surface Sc  2 Rc plus petite que la surface
réelle de la cellule [25]. Généralement, le choix des rayons R1, R2 et R3 est effectué afin de
mieux représenter la dépression de flux thermique à la périphérie du combustible [26].
Figure 3.5: Nombre de régions du calcul d’une cellule BWR-PB.
Le calcul d'autoprotection est effectué sur la géométrie de calcul à 2D exact. Quatre
zones sont autoprotégées et les isotopes résonnants sont également autoprotégés sur tout le
domaine d'énergie. En effet, le but du module d'autoprotection est d'évaluer, pour une
géométrie donnée, les sections efficaces multigroupes des isotopes résonnants pour des
groupes du maillage multigroupe correspondant au domaine des résonances. Cependant, le
flux réel étant inconnu et on ne peut pas calculer directement les taux de réaction à préserver.
Le module d'autoprotection consiste donc à les évaluer en effectuant une équivalence
81
hétérogène/homogène avec un milieu homogène infini. Une fois les taux de réactions réels
connus (puissance connue), le module d'autoprotection effectue une deuxième équivalence
appelée « équivalence multigroupe» qui donne les sections multigroupes qui préservent les
taux de réaction [27].
En effet, le combustible utilisé dans les cellules, à base de dioxyde d'uranium, contient
des isotopes résonnants. Les plus importants, ce sont : l’U238 et l’U235 dans le combustible
neuf ; le Pu239, Pu240, Pu241 et Pu242 qui vont apparaître dans le combustible au cours
d'irradiation ; et le Zr (nat.) contenu dans la gaine (et plus tard sera également contenu dans la
région combustible pour le concept du combustible de type CERMET). Chaque isotope
résonant est autoprotégé dans le module d'autoprotection par un calcul élémentaire. Les effets
d'interaction résonnante entre les isotopes autoprotégés peuvent être pris en compte, soit en
imposant un ordre dans ces calculs, soit en itérant plusieurs fois l'ensemble des calculs. Dans
cette étude, on utilise la première méthode : on impose l'ordre d'autoprotection des isotopes
utilisant le principe général « les isotopes résonnants les plus importants doivent être
autoprotégés les premiers », on les autoprotége dans l'ordre suivant : U238, U236, U235,
Pu239, Pu240, Pu241, Pu242 et Zr(nat.).
Pour le maillage énergétique, nous avons adopté deux maillages de condensation : à 2
et à 172 groupes d'énergie. Le premier maillage est fait pour déterminer les sections efficaces
macroscopiques et le flux thermique et rapide pour chaque pas d’évolution. Le deuxième
maillage a été adopté pour la détermination du flux neutronique et également nous a
essentiellement servi lors des calculs employant la méthode PIJ, souvent réalisés en amont des
calculs du cœur complet.
3.4 Schéma du calcul d’assemblage BWR-PB
L’étude de l’unité d’assemblage a commencé par un calcul 2D, dont il convient de
préciser les conditions aux limites, à l’aide du code de calcul APOLLO2 utilisant l’unité de
cellule considérée. Comme condition aux limites, nous avons pris la condition du miroir sur
chaque face de l’assemblage, c'est-à-dire une réflexion totale des neutrons.
Le calcul d'évolution est effectué également moyennant le code APOLLO2 en utilisant
des cellules génératrices21 et cellules physiques22 pour décrire la géométrie réelle du motif à
21
La cellule génératrice est caractéristique du milieu combustible évoluant. Elle se définit par la géométrie, la
composition, les sections efficaces et la chaîne d'évolution.
82
traiter. Les bibliothèques de section efficace utilisées sont à 172 groupes d’énergie disponibles
dans JEF2.2. A chaque pas d'évolution, APOLLO2 calcule pour chaque groupe énergétique
les sections efficaces de toutes les réactions définies dans la bibliothèque (fission, absorption,
diffusion élastique, diffusion inélastique, N-2N, N-3N, ...) pour chacun des isotopes contenus
dans les cellules génératrices. Au cours de l’évolution, les effets d'interférences entre les
résonances des sections efficaces des éléments lourds sont pris en compte par un calcul
d'autoprotection suivant les recommandations de CEA93.
Les sections efficaces homogénéisées (en espace), condensées (en énergie) et
autoprotégées générées par le code APOLLO2 sont ensuite stockés par l’intermédiaire du
fichier SAPHYB pour un calcul 3D de l’unité d’assemblage moyennant le code du calcul du
cœur CRONOS2. Avec l’utilisation de ces sections efficaces (générées par APOLLO2), les
calculs de diffusion et de l’évolution sont réalisés par la méthode MINOS de CRONOS2 :
Approximation par des éléments finis mixtes duaux. Notant que la méthode MINOS fait appel
à la théorie des perturbations généralisée23 [28]. La puissance thermique utilisée dans le calcul
d’assemblage est de 6.138 MW.
3.5 Présentation des paramètres neutroniques à calculer
L’étude neutronique de ces deux benchmarks (BWR-PB et AFPR-100) portera ici sur
l’évaluation des certains paramètres neutroniques, à savoir : le facteur de multiplication infini,
l’indice de spectre, le rapport de conversion instantanée, le spectre neutronique, l’effets des
produits de fission sur la réactivité, la composition isotopique, la variation de sections
efficaces macroscopiques durant le burnup, etc.
1) Facteur de multiplication infini
Le facteur de multiplication (Kinf), d’un milieu infini de composition donnée ou d’un
réseau se répétant à l’infini, est défini pratiquement comme étant le nombre moyen de
nouveaux neutrons générés par un neutron initial lorsqu’il n’y a pas de fuite, ou si le milieu
est infini. Il s’écrit :
K inf 
nombre de neutrons à l'instant t
dans
nombre de neutrons à l'instant t-1
22
un calcul sans fuite.
La cellule physique est caractéristique de la géométrie sur laquelle vont s'opérer les calculs des Pij par
l'approximation des courants d'interface. Elle caractérise la région de calcul du flux, elle peut être aussi bien de
type combustible ou cellule absorbante, trous d'eau et lame d'eau, etc . . .
23
Les calculs de perturbations permettent d’obtenir une estimation de la variation de certaines quantités
physiques appelées réponses ou observables en fonction de la variation de données neutroniques due à
l’évolution des caractéristiques neutroniques du cœur, comme la position d’une barre de contrôle ou la
concentration du bore soluble.
83
2) Indice du spectre
On peut le définir comme le rapport du flux rapide sur le flux thermique par unité de
léthargie. Il nous permet d’évaluer la dureté du spectre et d’avoir une idée sur le sens du
déplacement du spectre neutronique au cours du burnup. Il s’écrit :
Indice.du.Spectre 
rp urp
th uth
(3.2)
tel que urp  ucut of  umax et uth  umin  ucut of

uth
 0.5007812
urp
E

 ucut of  ln  0 E
 =16.58810
cut  of 

Ecut-of = 0.625eV, l’énergie de coupure, et E0 = 19.64MeV, l’énergie de référence.
 umax=0 : la léthargie correspondant à la limite supérieure des énergies du
groupe rapide.
 umin=25.90811 : la léthargie correspondant à la limite inférieure des énergies
du groupe thermique Emin = 0.11.10-03 eV.
84
3) Rapport de conversion instantanée
C’est un paramètre qui caractérise la variation de la quantité de matière fissile
existante dans le combustible au cours de l’évolution. Il a pour rôle principal d’évaluer la
capacité du réacteur à régénérer la matière fissile. Il est défini par le rapport entre le nombre
de noyaux fissiles créés et le nombre de noyaux fissiles disparus au cours du burnup. Il s’écrit
[29][16]:


i
i
i
i i
i


N
(
t
)



(
t
)



N
 dV

x ( i ), g
g
 g iSpecified

I .C.R (t ) 
(3.3)


j
j
j
j j
j


N
(
t
)



(
t
)



N
dV


x ( j ), g
g
 g iSpecified





tel que :
i, j
: les nucléides sélectionnés à partir de la bibliothèque de la chaine d’évolution,
,
: facteurs arbitraire défini par l’utilisateur, considérant le rapport de
branchement,
 N i  : densité atomique de nucléide i,
 xi (i )
: section efficace microscopique du nucléide i pour le type de réaction x,

: constante de désintégration de chaque nucléide dont la valeur est définie dans
la bibliothèque de la chaine d’évolution.
4) Composition isotopique
Il s’agit de la détermination des concentrations des éléments présents dans le combustible au
début et à la fin du burnup, à savoir :
235
244
U, 236U, 238U, 237Np, 238Pu, 239Pu, 240Pu, 241Pu, 242Pu, 241Am, 242mAm, 243Am, 242Cm, 243Cm et
Cm.
5) Spectre neutronique
C’est la distribution du flux des neutrons multi-groupes en fonction de leurs énergies,
sur la géométrie étudiée. Ce flux est déterminé lors de la résolution de l’équation de transport
par la méthode des probabilités de collision (calcul des Pij).
85
3.6 Résultats obtenus et commentaires
3.6.1 Spectre neutronique
Le premier paramètre à étudier est bien entendu le spectre neutronique : c’est la
distribution des neutrons en énergie. L’évolution du flux de neutron, pour 172 groupes
d’énergies des neutrons, au début et à la fin du cycle de combustion est illustrée sur les figures
3.6 et 3.7, respectivement. Ce spectre est obtenu par la résolution de l’équation de transport
par la méthode des PIJ à l’aide du code APOLLO2.
Figure 3.6: Spectre neutronique au début du cycle de combustion (BOC).
86
Figure 3.7: Spectre neutronique à la fin du cycle de combustion (EOC).
Les spectres obtenus pour les trois plans de l’assemblage BWR-PB (Fig.3.3) montrent
un écart d’un plan à l’autre au BOC et EOC. La variation du spectre est en bonne accord avec
la distribution de la densité du modérateur dans l’assemblage. Le spectre le plus dur
correspond au PLAN 1. Le tableau 3.3 présente la densité du modérateur en fonction de la
hauteur de l’assemblage. En effet, la diminution de la densité du modérateur a pour
conséquence immédiate de diminuer la thermalisation des neutrons. Le spectre est donc
directement modifié : quand la densité du modérateur diminue, la proportion de neutrons
thermiques diminue car pour parvenir aux énergies thermiques ils doivent subir des chocs sur
des atomes légers (atomes d'Hydrogène) dont la densité diminue lorsque la densité de
modérateur diminue [25]. D’où le phénomène de durcissement du spectre.
Tableau 3.3: Densité et température du modérateur dans chaque plan d’assemblage.
PLAN 1
PLAN 2
PLAN 3
Hauteur, cm Densité de modérateur, g/cc Température de modérateur, K
260-420
3.80 E-01
568
140-260
6.37 E-01
568
0-140
7.46 E-01
560
En outre, pour le combustible neuf (au début du cycle), on constate que le flux dans le
domaine thermique est sensiblement identique qu’on soit à faible ou à haute modération. En
87
revanche le flux de neutrons à grande énergie (domaine rapide) est nettement plus important
pour le PLAN 1. En effet, la grande majorité des fissions se font sur l’U235 qui présente une
section de fission beaucoup plus importante pour les neutrons thermiques.
A la fin de cycle de combustion (EOC), on observe de la même manière un flux rapide
plus important pour le PLAN 1, de faible modération. Par contre le flux thermique est plus
important pour le PLAN 3 cela est peut être dû à la différence de composition. Avec l’usure
du combustible c’est à dire avec la disparition de la matière fissile (l'U235 est plus consommé
et la formation du Plutonium est plus faible : Fig. 3.8 et 3.10), les sections efficaces
macroscopiques de fission diminuent ce qui entraine une augmentation du niveau du flux
neutronique. Notons que cette dernière est une des conséquences directes du fait qu’on a
supposé que la puissance nominale reste constante durant tout le cycle de combustion.
En conclusion, la variation du spectre neutronique engendrée par la diminution de la
densité du modérateur au long de l’assemblage entraîne :
- une diminution des fissions sur l'U235 et donc de sa consommation ;
- une augmentation de la production de Plutonium car le spectre est plus dur qui
favorise le taux de captures sur l'U238 ;
- une proportion de fissions sur l'U238 plus importante.
3.6.2 L’évolution isotopique
L'évolution isotopique d'APOLLO2 se fait en fonction du flux moyen dans chaque
milieu évoluant (flux intégré en espace pour toutes les régions occupées par le milieu). Les
modules d'évolution prennent en compte les isotopes dits saturables (établissement rapide de
l'équilibre isotopique) aussi bien que des paramètres de contrôle (changements de
températures de la concentration du bore soluble . . .). Chaque section est pondérée par le flux
multigroupe puis condensée en 4 groupes énergétiques et elle est tabulée en fonction du taux
d'irradiation du milieu correspondant.
Le calcul d'évolution CRONOS2 s'effectue par une série de calcul de flux
multigroupes à des pas d'évolution progressifs en temps. La longueur des pas est paramétrée
en burn-up par sous domaine [15].
88
La variation des concentrations isotopiques est donnée par l'équation de Bateman :
N
 MN
t
(3.4)
en considérant M la matrice d'évolution suivante :



M  r , t   ij    ij  E   r , E , t  dE
0
(3.5)
où ij est la constante de décroissance radioactive de l'isotope j sur l'isotope i et  ij la section
microscopique de la réaction (n, j)=(i,γ) .
3.6.3 Usure du combustible et composition isotopique
Au cours du burnup le combustible s'use ; il y a simultanément la production
d'isotopes du Plutonium (par captures sur l'U238 et les isotopes du Plutonium). Ainsi il y a
production de Pu239 et Pu241 qui sont des isotopes fissiles et dont il faut tenir compte lors du
bilan neutronique, en particulier en fin d'irradiation quand ils atteignent leur concentration
maximale et que la concentration en U235 a fortement diminué. Le tableau 3.4 montre les
concentrations des isotopes du plutonium présents dans le combustible à la fin du cycle après
un taux d’irradiation de 52000 MWd/t. Les concentrations des actinides24 mineurs figurent
également dans le même tableau. L’Am243 et le Cm244 sont les plus abondants des actinides
mineurs présents dans le combustible à la fin du cycle. Le Cm244 se désintègre en Pu240
tandis que l’Am243 se désintègre en Pu239. Le Cm244 se produit généralement par la capture
neutronique de l’Am243 et suivant la décroissance de l’Am244. L’Am243 se forme par
capture neutronique du Pu242 et suivant la désintégration du Pu243.
24
Des noyaux lourds formés par captures successives de neutrons à partir de noyaux du combustible.
Dénommés actinides mineurs en raison de leur abondances moindre que celle de l’uranium et le plutonium
qualifiés d’actinides majeurs.
89
Tableau 3.4: Concentration des actinides à un taux d’irradiation de 52000 MWd/t dans les différents
plans d’assemblage.
Eléments
PLAN1
PLAN2
PLAN3
U235
U238
Pu239
Pu240
Pu241
Pu242
Am241
Am242m
Am243
Cm242
Cm243
Cm244
1.846E-04
4.233E-03
5.372E-05
1.967E-05
1.533E-05
4.6123E-06
8.7429E-09
2.4999E-10
1.3180E-06
5.6562E-09
2.3387E-10
7.1198E-07
1.773E-04
4.274E-03
3.961E-05
1.424E-05
1.139E-05
4.7161E-06
6.0779E-09
1.2699E-10
1.1367E-06
4.4771E-09
1.3964E-10
5.0201E-07
1.745E-04
4.285E-03
3.621E-05
1.310E-05
1.022E-05
4.6514E-06
5.3593E-09
1.0132E-10
1.0437E-06
4.0606E-09
1.1550E-10
4.2321E-07
Les figures ci-dessous, Fig. 3.8, 3.9, 3.10, 3.11 et 3.12, illustrent les variations des
concentrations en isotopes du Pu et d’U durant le burnup. Elles montrent que jusqu’à la fin de
combustion il y a consommation d’U235 et production de Pu239 et Pu241. Par ailleurs,
compte tenu des différences du niveau du flux en fonction de la densité du modérateur, la
cinétique de production du Plutonium n'est pas la même dans les trois plans d’assemblage.
1- Taux de combustion de l’U235
Le combustible perd un atome d’U235 chaque fois qu’un noyau d’U235 absorbe un
neutron. Le taux d’absorption diminue à mesure que la concentration d’U235 baisse et cela
produit une baisse exponentielle caractéristique de l’uranium 235, tel qu’indiqué aux figures
3.8 et 3.13. Le taux d’élimination et d’usure (pente de la courbe) est plus élevé lorsqu’il y a
beaucoup d’U235 (début de cycle), et diminue à mesure que la concentration en U235
diminue. Le tableau 3.5 présente les concentrations en U235 dans le combustible au début et à
la fin du cycle après un taux d’irradiation de 52000 MWd/t.
Tableau 3.5: Concentration en U235 au BOC et EOC dans les différents plans d’assemblage.
U235/U
Concentration (BOC) (/cm3)
Concentration (EOC) (/cm3)
PLAN 1
9.00E-02
4.18E-02
PLAN 2
9.00E-02
3.98E-02
PLAN 3
9.00E-02
3.91E-02
2- Taux d’accumulation du Pu239
Chaque capture de neutron dans un noyau d’U238 produit un noyau de Pu239. Le
changement de la concentration en U238 est très faible avec un taux d’usure assez faible, tel
90
qu’indiqué à la figure 3.10. La perte d’une petite quantité d’U238 n’a aucun effet notable sur
la réactivité, mais par contre, la production d’une petite quantité de Pu239 fissile, qui
s’accumule dés le début de la combustion, a de grands effets sur la réactivité.
L’absorption des neutrons par le Pu239 donne lieu soit à une fission du Pu239 ou à
une capture produisant du Pu240. Nous pouvons ignorer la disparition du Pu239 par
désintégration alpha parce que sa période est très longue (plus de 24000 ans). Après un certain
temps, au delà de 52000 MWd/t, le Pu239 s’accumulera jusqu’à une concentration d’équilibre
qui de l’ordre de 5.372E-05, 3.961E-05 et 3.621E-05 dans les plans 1, 2 et 3, respectivement.
3- Accumulation du Pu240 et du Pu241
Comme nous l’avons indiqué précédemment, certaines absorptions des neutrons dans
le Pu239 produisent du Pu240, qui est non fissile et qui possède une grande section efficace
d’absorption des neutrons thermiques (290 barns). Comme des quantités importantes de
Pu239 commencent à s’accumuler dans le combustible (Fig. 3.10), le Pu240 commence
également à apparaître. La figure 3.11 montre la variation des concentrations en Pu240 en
fonction du burnup pour les trois plans d’assemblage.
Le Pu240 possède une caractéristique utile; la capture des neutrons dans le Pu240
donne naissance à du Pu241 fissile, qui possède des propriétés semblables à celles du Pu239.
Cela ne constitue qu’une compensation inadéquate pour la perte de réactivité globale parce
que seule une petite quantité du Pu241 est produite durant tout le burnup du combustible, tel
qu’indiqué dans le tableau 3.4.
91
Figure 3.8: Variation des concentrations en U235 en fonction du burnup pour les trois plans
d’assemblage.
Figure 3.9: Variation des concentrations en U238 en fonction du burnup pour les trois plans
d’assemblage.
92
Figure 3.10: Variation des concentrations en Pu239 en fonction du burnup pour les trois plans
d’assemblage.
d’assemblage.
93
d’assemblage.
Figure 3.13 : Variation des sections efficaces macroscopiques d’absorption d’U235 en fonction du
burnup pour les trois plans d’assemblage.
3.6.4 Facteur de multiplication infini
94
La figure 3.14 présente la variation du Kinf de l’unité d’assemblage de BWR-PB en
fonction du burnup et du rapport de modération. Elle montre que la variation du rapport de
modération a une influence sur le Kinf. En effet, tant que le rapport de modération est
important le Kinf est grand (PLAN 3). Ainsi, une différence est observée sur les valeurs du
Kinf pour les trois plans durant le burnup. Cette différence s’explique principalement par la
distribution axiale non uniforme du modérateur au long de l’assemblage. Le tableau 3.6
présente le rapport de modération en fonction de la hauteur de l’assemblage.
Figure 3.14: Variation du Kinf pour chaque plan de l’unité d’assemblage du BWR-PB en fonction
Burnup.
Hauteur, cm
PLAN 1
PLAN 2
PLAN 3
260-420
140-260
0-140
Rapport de modération
(NH2O /NUO2)
2.4
3.6
4.2
Température de
modérateur, K
568
568
560
La figure 3.15 présente la variation du Kinf pour chaque plan en fonction Burnup
jusqu’à un taux 20000 MWd/t montrant le phénomène de saturation des absorbants (Xe135 et
Sm149). Au début d’irradiation, une chute rapide de Kinf est constatée pour les trois plans.
95
C’est la phase de saturation des produits de fission25 de très courte période qui se termine à
environ 1000 MWd/t. Ce phénomène concerne les produits de fission de courte période (la
période du Xénon 135 est de 9h) pour lesquels la disparition par désintégration et/ou par
capture est aussi importante que la production. La saturation des produits de fission entraîne
une augmentation de l’absorption pour les neutrons thermiques ; cela a pour conséquence de
diminuer la proportion de fissions sur l’U235 et donc d’augmenter celles provenant de l’U238
afin que l'on conserve un nombre de fissions suffisant pour que l'assemblage dégage une
puissance constante.
Figure 3.15: Variation du Kinf pour chaque plan de l’unité d’assemblage du BWR-PB en fonction
Burnup jusqu’à 20000 MWd/t.
La figure 3.16 montre la variation du Kinf en fonction du burnup pour l’unité
d’assemblage de BWR-PB considérée. L’assemblage montre une brusque descente de Kinf
jusqu’à 900 MWd/t qui se traduit par l’apparition du Xénon et du Samarium connus par leur
affinité aux neutrons thermiques, suivie d’une légère augmentation de la pente au moment où
le Xénon atteint son point d’équilibre contrairement au Samarium qui continue à s’accumuler
jusqu'à la fin du cycle. La variation du Kinf montre que l’unité d’assemblage peut présenter
25
On rappelle que parmi les produits de fission on distingue les produits de fissions saturés, qui atteignent
rapidement leur concentration asymptotique laquelle dépend du niveau de puissance du réacteur, et les
produits de fission non saturés, possédant une durée de vie plus longue, dont la concentration augmente tout
au long de l'évolution de façon plus ou moins linéaire en fonction du taux de combustion.
96
une durée de vie assez longue et qu’elle atteint la criticité à un taux de combustion du 48000
MWd/t, qui correspond à environ 10.4 ans, sans chargement ou changement du combustible
[23].
Figure 3.16: Facteur de multiplication infini de l’unité d’assemblage de BWR-PB vs. Burnup.
3.6.5 Rapport de conversion instantanée
C’est un paramètre permettant d’évaluer la capacité du réacteur à régénérer la matière
fissile. Il a pour rôle principal de caractériser la variation de la matière fissile existante dans le
combustible au cours du burnup. En effet, la matière fissile se consomme soit par capture d’un
neutron soit par fission et la matière fertile se transforme en matière fissile par capture
neutronique. Le rapport de conversion instantanée (I.C.R.) est un paramètre important
considérer quand on parle de la notion de surgénérateur et de sousgénérateur. En effet, cet
I.C.R est supérieur à l’unité pour un réacteur surgénérateur (c'est-à-dire il produit plus des
matières fissiles qu’il n’en consomme) et inférieur à 1 pour un sousgénérateur. La figure 3.17
illustre la variation du rapport de conversion en fonction du burnup pour les trois plans
d’assemblage. À partir du début de cycle de combustion, les trois plans présentent une
augmentation de l’I.C.R. correspondant à l’épuisement de la matière fissile. Cette
augmentation est semblable pour les trois plans d’assemblage avec une différence due
notamment à la densité de modération et par conséquence à la thermalisation des neutrons
dans chaque plan.
97
Le PLAN 1 montre un spectre plus dur que les autres plans ce qui favorise le taux de
capture de U238 et ce qui permet d’améliorer la conversion. En effet, le rapport de conversion
instantanée des plans 1, 2 et 3 atteint à la fin de cycle (52000 MWd/t) les valeurs 0.93, 0.77,
0.73, respectivement. Donc, la forte croissance de l’I.C.R au cours du burnup révèle la
contribution de la matière fertile introduite dans la prolongation de la durée de vie de
l’assemblage.
Figure 3.17: Rapport de Conversion Instantanée de chaque plan de l’unité d’assemblage.
3.6.6 Indice du spectre
Comme nous avons indiqué, ce paramètre permet de caractériser la dureté du spectre
neutronique et de quantifier le sens de son déplacement au cours de l’évolution.
La figure 3.18 présente la variation de l’indice du spectre au cours du burnup.
L’évaluation de la variation de l’indice du spectre permet de distinguer la dureté du spectre
des différents plans. Les PLANS 2 et 3 montrent une stabilité de l’indice du spectre (le
rapport
Max (Indice du Spectre)
 1.05 ) résultante de la compensation entre le flux rapide et
Min (Indice du Spectre)
celui thermique au cours de l’évolution. En revanche, on observe, pour le PLAN 1, une
augmentation de l’indice du spectre, donc une forte diminution du flux thermique, au fur et à
mesure que le combustible s’use. Cela est dû notamment à la composition du PLAN 1 qui
98
assure un rapport de conversion légèrement égale à l’unité (égale à 0.93), ce qui permettra de
produire autant de matière fissile qu’il en consomme. Donc un spectre plus dur.
Figure 3.18: Variation de l’Indice du Spectre de chaque plan de l’unité d’assemblage en fonction du
burnup.
3.7 Calcul du cœur BWR-PB
3.7.1 Configuration du cœur BWR-PB
Le calcul du cœur effectué est un calcul sans fuite où la géométrie est un réseau
régulier constitué en juxtaposant 145 des unités d’assemblage identiques à l’assemblage
étudié auparavant. Ces assemblages se distinguent en deux types : avec et sans barre de
contrôle : « Guiding Tube ». Les deux types d’assemblage présentent des structures et des
arrangements de cellules semblables et composés de mêmes matériaux.
En effet, le combustible utilisé est de dioxyde d’uranium enrichi à 9% en U235. Les
éléments combustibles sont des microsphères de type TRISO. La figure 3.19 présente une
section transversale du cœur modélisé par le code CRONOS2. La puissance thermique totale
utilisée dans le calcul du cœur est de 890 MW.
99
Figure 3.19: Section transversale du cœur de réacteur BWR-PB (modélisation CRONOS2).
3.7.2 Schéma de calcul du cœur BWR-PB
Maintenant que nous connaissons les paramètres de chaque cellule homogénéisée dans
chacun des assemblages du cœur, il devient possible de faire un calcul complet du cœur. En
effet, le calcul du cœur est divisé en deux étapes :
1) Calcul d’assemblage : nous commençons par un calcul 2D, dont il convient de
décrire la géométrie et la composition des assemblages du cœur, à l’aide du code
de calcul APOLLO2. On obtient alors les sections efficaces multi-groupes
homogénéisées, condensées et autoprotégées et les matrices de transfert à partir
des bibliothèques des sections efficaces stockées par l’intermédiaire du fichier
SAPHYB.
2) Calcul de cœur : est effectué moyennant le code du calcul CRONOS2 en décrivant
la géométrie de tout le cœur en le subdivisant en plusieurs régions homogènes qui
correspondent aux assemblages calculées à l’étape précédente. On obtient donc
toutes les grandeurs d’intérêt nécessaires à l’analyse du cœur en utilisant les
100
sections efficaces issues du calcul d’assemblage. Dans ce calcul, nous avons utilisé
le solveur MINOS qui utilise les méthodes aux éléments finis mixtes duaux et les
méthodes nodales permettant de résoudre l'équation de la diffusion et celle du
transport SPN. La méthode SPN (calcul de transport PN simplifie) permet
d'effectuer des calculs de réacteur de puissance en 3D avec des coûts et temps de
calcul très acceptables.
3.7.3 Facteur de multiplication infini du cœur BWR-PB
La figure 3.20 présente la variation de Kinf du cœur de réacteur BWR-PB jusqu’à un
taux d’irradiation correspond à 50000 MWd/t. En début de cycle, la réactivité du cœur est
d’environ 28755 pcm (correspond à Kinf =1.40361). Jusqu’à 40000 MWd/t, la réactivité varie
dans une plage limitée de 3605 pcm, puis elle diminue sensiblement et le cœur devient souscritique en fin de cycle. Donc, la durée de vie du cœur peut s’étendre jusqu’à un taux de
combustion de 48000 MWd/t, qui correspond à environ 10 ans, sans chargement ou
changement du combustible.
Figure 3.20: Facteur de Multiplication Infini du cœur de BWR-PB vs. Burnup [ MWd/t].
101
3.8 Influence du poison neutronique consommable : Gadolinium
3.8.1 Introduction
En vue d’accroitre le taux de combustion à décharge du combustible et/ou les
longueurs de cycle de fonctionnement, il est indispensable pour une telle évolution de
disposer d’une anti-réactivité neutronique améliorée. Pour cela, l’une des voies
traditionnellement adoptées consiste à ajouter directement avec les éléments combustibles un
poison consommable. Ce dernier est défini comme étant élément doté d'un pouvoir élevé de
capture des neutrons utilisés pour compenser, du moins en partie, l'excédent de réactivité des
milieux fissiles. Quatre éléments naturels sont particulièrement neutrophages : le bore (grâce à
son isotope B10), le cadmium, le hafnium et le gadolinium (grâce à ses isotopes Gd155 et
Gd157). Certains sont dits "consommables" car ils disparaissent progressivement au cours de
la combustion en réacteur.
En effet, ces poisons ont la particularité de posséder une très forte section d'absorption
dans le domaine thermique (domaine énergétique où se produisent la grande majorité des
réactions de fission). Les poisons consommables introduits ont pour conséquence de diminuer
l'excédent de réactivité des assemblages neufs. La concentration des isotopes absorbants du
poison diminue au cours du burnup pour devenir négligeable vers la fin du cycle de
combustion. Cette disparition progressive du poison consommable, combinée à l'usure du
combustible permet de réduire la variation de la réactivité de l'assemblage au cours de son
évolution et facilite ainsi le contrôle du cœur.
Dans notre étude, nous avons utilisé le gadolinium comme poison consommable. Il est
associé sous forme d’oxyde (Gd2O3) à l’oxyde d’uranium dans certain éléments du
combustible. Le tableau 3.7 récapitule les concentrations d’oxyde du gadolinium dans les
différents plans de l’assemblage.
Afin de mesurer l’impact d’oxyde du gadolinium à différents moments de l’évolution
du combustible, nous avons effectué des études de l’unité d’assemblage BWR-PB à 2D dans
APOLLO2 et 3D dans CRONOS2. Cela nous a permis de quantifier l’impact de l’ajout de ce
poison sur des grandeurs physiques, ainsi précédemment définis, comme Kinf, I.C.R., Indice
du spectre, Spectre neutronique, les évolutions des concentrations, etc.
102
Tableau 3.7: Concentration en Gadolinium dans les différents plans de l’assemblage au BOC.
Fraction des grains du Gadolinium, réelle
unité
0
1/30
1/30
1/30
0
Hauteur, cm
PLAN 1
PLAN 2
PLAN 3
PLAN 4
PLAN 5
380-400
260-380
140-260
10-140
0-10
3.8.2 Description des assemblages avec la présence du poison
Afin d’atteindre notre but et d’étudier l’effet du poison consommable, l’oxyde du
gadolinium, nous avons utilisé la description de l’unité d’assemblage donné dans la figure
3.21. Il s’agit d’un assemblage comportant cinq plans axiaux dont 3 plans empoisonnés. La
figure 3.21 présente la section longitudinale de l’unité d’assemblage adoptée. Le combustible
utilisé dans ces trois plans est une mixture de dioxyde dùranium (UO2) et d'oxyde du
gadolinium (Gd2O3) modère par l’eau bouillante. L’oxyde du gadolinium utilisé a la même
géométrie que les éléments combustibles, ce sont des microsphères de type TRISO dont la
matière fissile est remplacée par l’oxyde du gadolinium. Les figures 3.22 et 3.23 montrent une
comparaison de la géométrie et de la structure entre la microsphère du combustible et celle du
poison. Le schéma de calcul suivi et les conditions de calcul prises en considération sont les
même que le calcul effectué précédemment sans présence du poison consommable.
103
Figure 3.21: Section longitudinale de l’unité d’assemblage en présence de l’oxyde du gadolinium.
104
Figure 3.22: Géométrie et structure de la microsphère du combustible.
Figure 3.23: Géométrie et structure de la microsphère du poison consommable.
L’évaluation du spectre neutronique au début et à la fin du cycle calculé pour 172
groupes d’énergies (Fig. 3.24, 3.25), montre que la variation du flux au cours de la
combustion est en bon accord avec la variation du rapport de modération tout au long de
l’assemblage. En effet, la diminution de la densité du modérateur dans l’assemblage du bas
vers le haut (Tab. 3.8) et la disparition de la matière fissile au cours de la combustion, peuvent
105
expliquer le phénomène de durcissement du spectre pour tous les plans de l’unité
d’assemblage.
Hauteur, cm
PLAN 1
PLAN 2
PLAN 3
PLAN 4
PLAN 5
420-440
320-420
160-280
20-160
0-20
Rapport de
modération
(NH2O /NUO2)
2.4
2.4
3.6
4.2
4.2
Densité de
modérateur, g/cc
Température de
modérateur, K
3.80 E-01
3.80 E-01
6.37 E-01
7.46 E-01
7.46 E-01
568
568
568
560
566
On observe des variations des flux similaires à celles du cas précédent ; cependant le
flux thermique est nettement plus important quand la densité de modérateur est élevée
puisqu'il y a plus de noyaux thermaliseurs. D’autre part, les plans empoisonnés 2 et 4, ayant le
même rapport de modération que les plans non empoisonnés 1 et 5 respectivement, montrent
un spectre moins thermalisé. Ceci est dû notamment à l’absorption des neutrons par le
gadolinium caractérisé par une forte section efficace d'absorption dans le domaine thermique.
A la fin de combustion et avec l’usure d’oxyde de gadolinium, on constate que le
spectre neutronique est similaire à ceux du cas précédent, sans présence du poison
consommable. Ainsi, les isotopes absorbants du Gadolinium ont disparu à la fin de cycle mais
la consommation de l'U235 et la formation des isotopes du Plutonium sont notablement
différentes de celles d'un l’assemblage non empoisonné (cf. Tab3.9).
Lors de la disparition du Gadolinium, la consommation de l'U235 est très faible et la
production du Plutonium est accrue (atteignant la concentration maximale) car le spectre est
dur. Les résonances des isotopes absorbants du Gadolinium protègent les résonances du
Plutonium. En conséquence à la fin de l'usure du Gadolinium, l’assemblage présente une
concentration importante en U235 et en Plutonium (cf. figures 3.26 et 3.27), lequel est
faiblement dégradé, il constitue donc un point chaud, d'autant plus que les produits de fission
sont absents du bilan matière [25]. Enfin, la description fine de la disparition du Gadolinium
est importante pour les exploitants afin de déterminer les caractéristiques exactes de ce point
chaud.
106
Figure 3.24: Spectre neutronique de chaque plan de l’unité d’assemblage au BOC.
Figure 3.25: Spectre neutronique de chaque plan de l’unité d’assemblage à l’EOC.
3.9.2 Usure du combustible et composition isotopique
Formation du Plutonium et consommation d’Uranium
107
Au cours de l'évolution le combustible s'use ; il y a simultanément production
d'isotopes fissiles et fertiles dont il faut tenir compte lors du bilan neutronique. Le tableau 3.9
montre les concentrations des actinides à la fin de cycle dans les différents plans
d’assemblage. Cependant, et en particulier en fin de cycle de combustion, la concentration en
U235 a fortement diminué et les isotopes du Plutonium ont atteigne leur concentration
maximale. Ainsi, il y a production des isotopes de produits de fission fortement absorbants
dont leurs concentrations initiales sont quasiment nul. Les figures 3.26 et 3.27 montrent la
variation des concentrations en U235 et en P239, respectivement, en fonction du burnup dans
les différents plans d’assemblage.
Tableau 3.9: Concentration des actinides à la fin de cycle (60000 MWd/t) dans les différents plans
d’assemblage empoisonné.
Eléments
PLAN 1
PLAN 2
PLAN 3
PLAN 4
PLAN 5
U235
U236
U238
PU238
PU239
PU240
PU241
PU242
AM241
AM242M
AM243
CM242
CM243
CM244
1.6078E-04
1.0650E-04
4.1963E-03
2.9506E-07
5.9809E-05
2.3746E-05
1.8859E-05
3.1027E-06
6.0576E-09
1.5977E-10
7.7096E-07
3.1701E-09
1.0986E-10
3.3610E-07
1.5969E-04
1.0430E-04
4.0482E-03
2.9061E-07
5.9498E-05
2.3766E-05
1.9232E-05
3.1877E-06
6.1969E-09
1.6671E-10
8.0409E-07
3.3114E-09
1.1628E-10
3.5822E-07
1.5742E-04
1.0090E-04
4.0851E-03
2.0095E-07
4.5684E-05
1.7999E-05
1.5343E-05
3.3051E-06
5.0087E-09
1.0451E-10
7.0553E-07
2.8972E-09
7.7929E-11
2.5954E-07
1.5373E-04
9.9751E-05
4.0996E-03
1.6809E-07
4.1098E-05
1.6443E-05
1.3674E-05
3.2022E-06
4.4398E-09
8.4148E-11
6.3053E-07
2.5890E-09
6.3093E-11
2.1147E-07
1.4818E-04
1.0143E-04
4.2571E-03
1.5661E-07
3.8789E-05
1.5606E-05
1.2503E-05
2.9329E-06
3.8589E-09
7.0286E-11
5.5222E-07
2.1881E-09
5.1178E-11
1.7549E-07
Ainsi, les figures 3.28 et 3.29 illustrent la variation des sections efficaces
macroscopiques d’absorption d’U235 et du Pu239 durant le burnup pour les différents plans.
La section efficace d’absorption d’U235, quelque soit le rapport de modération, diminue
fortement lors de la phase de disparition du Gadolinium entre le BOC et 20000 MWd/t (voir
Fig. 3.30). A partir de 20000 MWd/t où le gadolinium est totalement brûlé, la section efficace
d’absorption d’U235 est plus importante du bas vers le haut au long de l’assemblage.
La figure 3.29 montre que lorsque la modération est faible, la formation du plutonium
étant plus importante et donc les absorptions des neutrons thermiques sur les isotopes du
plutonium sont dominants. D’où l’augmentation de la section efficace d'absorption de Pu. À
partir d'un certain taux de combustion, la concentration en plutonium tend à se saturer; les
108
phénomènes liés au durcissement du spectre (la diminution progressive de l’uranium)
l'emportent donc et la section efficace d'absorption diminue légèrement (la pente diminue).
Le bilan isotopique du combustible usé, dans les PLAN 1, 2, 4 et 5 de l’assemblage
empoisonné BWR-PB, après un taux de combustion de 60000 MWd/t, est synthétisé dans les
tableaux 3.10 et 3.11. Les plans empoisonnés 2 et 4, ont le même rapport de modération que
les plans 1 et 5 non empoisonnés, respectivement. La comparaison de ces résultats met en
évidence que l’enrichissement en U235 a diminué de 9% à 3.6% pour PLAN 1, à 3.7% pour
le PLAN 2, à 3.5% pour PLAN 4 et d’environ 3.3% pour PLAN 5. Ainsi, la composition
isotopique en plutonium est légèrement différente dans les deux groupes des plans.
Tableau 3.10: Bilan isotopique du combustible usé dans les PLAN 1, PLAN 2 à la fin de cycle.
PLAN
PLAN 1
PLAN 2
Pu/(U+Pu)
2.32E-02
2.40E-02
U235/U
3.60E-02
3.70E-02
Pu239/Pu
5.65E-01
5.61E-01
Pu240/Pu
2.24E-01
2.24E-01
Pu241/Pu
1.78E-01
1.81E-01
Pu242/Pu
2.93E-02
3.01E-02
Tableau 3.11: Bilan isotopique du combustible usé dans les PLAN 4, PLAN 5 à la fin de cycle.
PLAN
PLAN 4
PLAN 5
Pu/(U+Pu)
1.68E-02
1.53E-02
U235/U
3.53E-02
3.29E-02
Pu239/Pu
3.66E-01
3.15E-01
Pu240/Pu
1.47E-01
1.27E-01
Pu241/Pu
1.22E-01
1.02E-01
Pu242/Pu
2.85E-02
2.38E-02
Figure 3.26: Variation des concentrations en U235 en fonction du burnup dans les différents plans
d’assemblage.
109
Figure 3.27: Variation des concentrations en Pu239 en fonction du burnup dans les différents plans
d’assemblage.
Figure 3.28: Section efficace macroscopique d’absorption d’U235 en fonction du burnup.
110
Figure 3.29: Section efficace macroscopique d’absorption du Pu239 en fonction du burnup.
Disparition du Gadolinium
Comme nous avons pu le souligner, le Gadolinium a été introduit en tant que poison
neutronique consommable afin de disposer d’une anti-réactivité au début du cycle et de
réduire l'excèdent de réactivité des assemblages neufs. Il possède une très forte section
d'absorption pour les neutrons thermiques ce qui modifier le spectre neutronique.
L'usure du Gadolinium (des isotopes absorbants Gd155 et Gd157) commence dès le
début du cycle de combustion et la consommation est considérée complète à environ 20000
MWd/t. La figure 3.30 montre la variation de concentration en gadolinium dans les plans
empoisonnés en fonction du burnup. Il faut remarquer que la consommation est plus rapide
avec un taux de modération important(consommation plus élevée au PLAN 4 qu’au PLAN 2).
Ainsi, la disparition progressive du gadolinium a des conséquences importantes sur la
réactivité, le niveau de flux, le spectre et les compositions isotopiques. Une exposition de
l’ensemble des résultats de l’influence du gadolinium sur les dits paramètres est évoquée dans
les paragraphes suivants.
111
Figure 3.30: Concentration en oxyde de gadolinium dans les plans 2, 3 et 4 de l’unité d’assemblage.
La figure 3.31 illustre la variation du facteur de multiplication infini en fonction du
burnup pour l’unité d’assemblage BWR-PB avec et sans la présence d’oxyde de gadolinium
Gd2O3. Le vecteur du gadolinium est composé de trois isotopes Gd155, Gd156 et Gd157
(Tab.3.12). D’après la figure 3.31, on observe trois phases importantes au cours de la
combustion.
La première phase correspond au début de cycle de combustion. Cette phase est
caractérisée par une saturation rapide des produits de fission de courte période qui entraîne
une baisse de la réactivité. Le phénomène de saturation se termine à environ 5000 MWd/t.
112
Figure 3.31: Facteur de multiplication infini de l’unité d’assemblage de BWR-PB.
La deuxième phase est correspond à la diminution progressive de la concentration en
gadolinium. Ceci a des conséquences opposées à celles de la saturation des produits de
fission. Après la fin du phénomène de la saturation, le phénomène de disparition du
Gadolinium est prépondérant. En effet, l’augmentation de la réactivité (Kinf) est marquée par
la disparition du gadolinium. Ainsi le spectre devient moins dur i.e. moins d'absorptions dans
le domaine thermique, ce qui entraîne une diminution de la contribution des fissions
provenant de l'U238, d'où augmentation du Kinf dans cette phase.
Jusqu’à la fin du cycle de combustion, il y a consommation d’U235 et production de
Pu239 et Pu241. Ces deux phénomènes n’ont pas la même cinétique. Il en résulte donc une
perte de réactivité (Kinf).
113
Tableau 3.12: Concentration en Gadolinium et la réactivité de chaque plan d’assemblage au BOC.
Hauteur,
cm
PLAN 1
380-400
Fraction des grains du
Gadolinium, réelle
unité
0
PLAN 2
260-380
1/30
PLAN 3
140-260
1/30
PLAN 4
10-140
1/30
PLAN 5
0-10
0
Concentration en
Gadolinium, 1/barn
155Gd
156Gd
157Gd
155Gd
156Gd
157Gd
155Gd
156Gd
157Gd
1.4215E-05
1.9753E-05
1.5131E-05
3.3614E-05
4.6713E-05
3.5782E-05
3.3614E-05
4.6713E-05
3.5782E-05
-
Réactivité au début
de cycle, pcm
23214.5
-24622.5
-65050.8
-74131.7
29088.1
Figure 3.32: Facteur de multiplication infini de chaque plan de l’unité d’assemblage de BWR-PB.
La figure 3.32 montre la variation du Kinf pour chaque plan de l’unité d’assemblage
durant le cycle de combustion. On constate une variation semblable du Kinf pour les trois
plans empoisonnés 2, 3 et 4. La disparition progressive du gadolinium au cours de la
combustion a pour effet de réduire l’absorption des neutrons thermiques. Par conséquent,
l’anti-réactivité initiale apportée par le gadolinium a diminuée rapidement à partir du début du
cycle. Et cette diminution est proportionnelle à la teneur initiale du gadolinium dans chaque
plan (Tab. 3.12). A partir de 20000 MWd/t (à environ 4.2 ans) où le gadolinium est totalement
114
consommé, le Kinf pour les cinq plans diminue de la même façon avec un écart dû notamment
à la distribution non uniforme du modérateur tout au long de l’unité d’assemblage.
Pour conclure sur ce point, on soulignera que la saturation des produits de fission
entraine une baisse de la réactivité, la disparition progressive du Gadolinium a pour effet de
réduire les absorptions de neutrons thermiques donc augmenter le Kinf pendant cette période,
et l'usure du combustible avec la diminution de la teneur en isotopes fissiles est ensuite à
l'origine de la baisse du Kinf jusqu'à la fin de cycle de combustion.
L’utilisation du poison consommable peut garantir une anti-réactivité au démarrage
mais avec une pénalité de 1.2 ans sur la durée de vie de l’unité d’assemblage qui atteint la
criticité à un taux de combustion d’environ 44000 MWd/t qui correspond à environ 9.2 ans.
3.9.4 Rapport de Conversion Instantanée
Le dit rapport, comme nous avons pu le définir, permet d’évaluer la régénération de la
matière fissile dans l’assemblage au cours de la combustion. Dés le démarrage, les plans
empoisonnés 2, 3 et 4 présentent des grandes valeurs du rapport de conversion instantanée
(I.C.R) correspond à la présence du gadolinium qui compense l’épuisement de la matière
fissile (Fig. 3.33). Au fur et à mesure que le poison se brûle, l’I.C.R diminue en fonction du
burnup à partir de 20000 MWd/t où il coïncide avec l’I.C.R des plans 1 et 5 non empoisonnés.
Au-delà de la disparition du poison, l’I.C.R augmente linéairement avec une pente assez forte
avec le burnup ce qui révèle une quasi compensation entre la matière fissile brûlée et celle
produite. Ce qui nous qualifier de dire que la matière fertile contribue dans la prolongation de
la durée de vie de l’assemblage. Ainsi, le rapport de conversion instantanée des plans 1, 2, 3,
4 et 5 atteint à la fin de cycle (60000 MWd/t) les valeurs 0.906, 0.899, 0.739, 0.692, 0.701
respectivement [23].
115
Figure 3.33: Rapport de Conversion Instantanée de chaque plan de l’unité d’assemblage de BWR-PB.
3.9.5 Indice du spectre
La variation d’indice du spectre pour les différents plans d’assemblage en fonction du
burnup est illustrée dans la figure 3.34. Au début de cycle l’indice du spectre des plans non
empoisonnés 1 et 5 commence à des valeurs différentes : 13.72 et 7.03, respectivement. Cette
différence est due notamment à la différence de thermalisation des neutrons dans ces deux
plans.
La présence du poison, ayant pour conséquence de durcir le spectre, donne également
des grands indices de spectre à 0 burnup. Au cours de l’évolution, l’indice du spectre décroit
rapidement pour les plans empoisonnés au fur et à mesure que le poison consommable
disparaisse dans l’assemblage. Ce phénomène s’explique par le fait que plus le poison s’use
plus le spectre s’est thermalisé (c'est-à-dire moins d'absorption dans le domaine thermique).
Dès que le poison est complètement usé, à 20000 MWd/t, l’indice du spectre des plans
empoisonnés 2, 3 et 4 convergent vers ceux sans poison consommable.
116
Figure 3.34: Indice du spectre de chaque plan de l’unité d’assemblage de BWR-PB.
3.10 Comparaison avec le code MCNP
Nous allons débuter par étudier les écarts observables sur les grandeurs associées à
l’assemblage BWR-PB. Les principaux résultats, relatifs au calcul d’assemblage avec et sans
poison, sont donnés dans les tableaux 3.13 et 3.14, respectivement, pour le code MCNP5
d’une part et les codes APOLLO2 et CRONOS2 d’autre part. En fait, nous avons étudié cet
assemblage à chaud soit à des températures de combustible de 573 K et de modérateur de 553
K. Nous serons amené à étudier ce même assemblage à burnup nul à froid (300 K pour le
combustible et le modérateur) pour pouvoir comparer nos résultats avec ceux du code MonteCarlo MCNP5.
Le calcul MCNP est effectué afin de valider les différentes démarches et les
approximations prisent en considération par les codes déterministes, lors de la résolution de
l’équation de transport, pour le calcul d’assemblage et/ou du cœur. Comme nous l'avons
expliqué précédemment (cf. paragraphe 2.2), un code probabiliste peut être considéré comme
un code de référence. La comparaison avec une référence ne concerne que le calcul du Kinf
au début de cycle et à une température de 300 K (calcul à froid). Par ailleurs, le critère que
nous nous somme fixés pour cette validation, est que l’écart relatif des résultats des calculs
déterministes (APOLLO2, CRONOS2 et SRAC95) par rapport aux résultats MCNP5 soient
inferieur à 10%. Il faut noter que pour la qualification d'un code de calcul de diffusion l’écart
117
relatif est de 1000 pcm par rapport à une référence [44], ce qui n’est pas notre cas pour une
comparaison code à code.
Pour cette étude à froid (de validation), nous utiliserons les mêmes concentrations et
les mêmes dimensions qu’à chaud. Notre assemblage ne sera donc pas “réaliste” dans ces
conditions, mais il s’agit ici uniquement de faire des comparaisons code à code.
Si on s’en tient au Kinf, on remarque que les résultats des calculs semblent assez
proches du code MCNP5. En effet, l’écart sur les Kinfs d’assemblage avec et sans poison est
inférieur à 10%Δk/k. Néanmoins, il faut garder à l’esprit que les bibliothèques que nous
utilisons ne sont pas rigoureusement identiques pour les deux codes et que des écarts
importants sur les Kinf pourraient en être la conséquence. Les figures 3.35 et 3.36 présentent,
respectivement, la section longitudinale et transversale de l’unité d’assemblage BWR-PB avec
et sans poison consommable modélisée par MCNP5.
Tableau 3.13: Comparaison des Kinf entre APOLLO2 et MCNP5 de chaque plan d’assemblage de
BWR-PB.
APOLLO226 APOLLO2
MCNP5
T=300°C
T=20°C
T=20°C
1.42981 1.51258±0.00011
ASSEMBLAGE 1.404504
1.305528
1.33082 1.42567±0.00011
PLAN 1
1.389316
1.41496 1.47507±0.00010
PLAN 2
1.413955
1.43968 1.48917±0.00010
PLAN 3
26
K inf(apol) K inf(mcnp) / K inf(apol)
T=20°C
5789
7127
4248
3438
Le calcul d’assemblage est effectué à l’aide du code APOLLO2.5 pour un calcul 2D et du code CRONOS2.5
pour 3D. L’erreur relatif sur les résultats de calcul déterministe du Kinf de l’assemblage par rapport au code
MCNP est correspond au calcul APOLLO2.5 et CRONOS2.5.
118
Tableau 3.14: Comparaison des Kinf entre APOLLO2 et MCNP5 des différents plans d’assemblage
empoisonné de BWR-PB.
APOLLO2 APOLLO2
MCNP5
T=300°C
T=20°C
T=20°C
1.05185 1.07690±0,00004
ASSEMBLAGE 1.01651
1.305528
1.33082 1.42567±0.00011
PLAN 1
0.80216
0.7998
0.65431±0.00006
PLAN 2
0.60557
0.60092 0.49318±0.00005
PLAN 3
0,57386
0,56805 0.47074±0,00006
PLAN 4
1.413955
1.43968 1.48917±0.00010
PLAN 5
119
K inf(apol) K inf(mcnp) / K inf(apol)
T=20°C
2382
7127
-18191
-17929
-17131
3438
Figure 3.35: Section longitudinale de l’unité d’assemblage BWR-PB avec (à gauche) et sans poison
consommable (à droite) modélisée par MCNP5.
120
Figure 3.36: Section transversale de l’unité d’assemblage BWR-PB (modélisation MCNP5).
4 Conception du réacteur AFPR-100
4.1 Introduction
Ce paragraphe présente l’ensemble des résultats du calcul neutronique pour le nouveau
concept du réacteur nucléaire refroidi à eau légère (LWR : Light Water Reactor), de longue
durée de vie et à faible et à moyenne puissance, intitulé AFPR-100 : Atoms For Peace Reactor
(AFPR) et 100 correspond à sa puissance électrique de 100 MWe.
Le réacteur AFPR-100 a été conçu en fixant plusieurs objectifs à atteindre :
fonctionnement pour une longue durée de vie (plus de 20 ans) sans changement et
rechargement du combustible, résister à la prolifération de la matière fissile, passivement sûre
et économique pour le déploiement potentiel aux pays avec des économies émergentes [30].
Ce concept a été développé par le laboratoire américain the Pacific Northwest National
Laboratory (PNNL). Il est basé sur le même combustible, utilisé dans BWR-PB, de type
TRISO enrobé par des matériaux réfractaires capables de retenir les produits de fission au sein
du réacteur. Une description du réacteur AFPR-100 est présentée dans la figure 3.37. Les
différentes spécifications du cœur AFPR-100 et les conditions de calcul sont résumées dans le
tableau 3.15.
121
Tableau 3.15: Spécifications du cœur AFPR-100.
Paramètres du cœur
Valeurs
Puissance thermique, MW
Hauteur du cœur, m
Diamètre du cœur, m
Volume du cœur, m
Enrichissement en Uranium, %
Porosité
Zones du combustible
Barre de control, nombre
Barre de control, matériel
Caloporteur
Température moyenne du caloporteur, °C
Densité moyenne du caloporteur, g/cm3
300
3.00
3.06
21.1
14
0.35
4
128
B4 C
Eau
266
0.774
Figure 3.37: Description du réacteur AFPR-100.
4.2 Description du cœur d’AFPR-100
On se propose d’étudier quelques paramètres neutroniques du cœur du réacteur AFPR100. Le huitième du cœur est représenté dans la figure 3.38. Il est subdivisé en quatre régions
122
de combustible (Fuel Region) séparée par une couche d’acier. Chaque région est divisée à son
tour en quatre couronnes, permettant de distinguer la composition de chaque région. La région
combustible se compose d’un combustible sphérique de type TRISO (cf. Fig. 3.1), à base de
dioxyde d’uranium UO2 enrichi à 14% en U235, submergé dans une mixture d’eau-vapeur
avec une porosité de 35%. Les barres de contrôles (de diamètre intérieur de 5.2 cm) ont été
incluses dans seulement deux régions de combustible, mais elles n’ont pas été modélisées en
les remplissant avec l’eau de refroidissement. Le tableau 3.16 présente les dimensions radiales
de chaque région du cœur. Le cœur est gainé par une couche d’acier d’épaisseur de 5 cm. La
puissance thermique utilisée dans le calcul du cœur est de 300 MWth.
Figure 3.38: Le 1/8 du cœur de réacteur AFPR-100 étudié.
Tableau 3.16: Dimension radiale de chaque région du cœur AFPR-100.
Région
Rayon externe, cm
fuel 1-1
fuel 1-2
fuel 1-3
fuel 1-4
wall
fuel 2-1
fuel 2-2
fuel 2-3
fuel 2-4
23.00
37.00
51.00
67.25
67.75
76.00
82.00
88.00
94.00
123
94.50
103.75
108.50
113.25
120.25
120.75
130.00
138.00
145.50
153.00
153.50
158.00
163.00
168.00
wall
fuel 3-1
fuel 3-2
fuel 3-3
fuel l 3-4
wall
fuel 4-1
fuel 4-2
fuel 4-3
fuel 4-4
wall
water
wall
water
4.3 Schéma de calcul du cœur
Le calcul 2D du cœur du réacteur AFPR-100 est effectué moyennant le code PIJ du
système SRAC95 basé sur la méthode des probabilités de collision. Les bibliothèques de
sections efficaces utilisées sont à 107 groupes d’énergie disponibles dans JENDL3.2. Les
sections efficaces multi-groupes, à 107 groupes d’énergie, générées par le code PIJ-SRAC95
sont condensées à la fin du calcul à 10 groupes (5 thermique et 5 rapide) [31]. Elles sont
stockées par l’intermédiaire du fichier PDS (Partitioned data Set) dans les dossiers
MACROWRK et MICREF. Ces sections macroscopiques sont par la suite utilisées par le
code auxiliaire du calcul d’assemblage ASMBURN qui exécute le calcul d’évolution. Le
calcul effectué est un calcul dit à laplacien nul (calcul sans fuite) et la condition aux limites
prise en considération est la condition du miroir c'est-à-dire une réflexion totale des neutrons.
La figure 3.39 présente la section transversale du cœur AFPR-100 modélisée par le
code PIJ-SRAC95. Pour réaliser le calcul du cœur AFPR-100, nous avons choisi le code PIJSRAC95 au lieu du code APOLLO2. En effet, la géométrie du cœur est assez hétérogène pour
que le calcul par APOLLO2 soit adéquat. Le code PIJ-SRAC95 offre 16 différentes
géométries dont la géométrie du cœur AFPR-100 y appartient.
124
Figure 3.39 : Section transversale du cœur AFPR-100 (modélisation SRAC95).
4.4 Condition du calcul
Le calcul du cœur AFPR-100 par SRAC95 est effectué en géométrie générale, saisie
grâce aux 16 types de géométries offertes par le module PIJ couvrant la plupart des réacteurs
existants. Les premiers calculs 2D sont obtenus sur le cœur tout entier utilisant la méthode des
probabilités de collision pour la géométrie générale proposé par JAERI (Japan Atomic Energy
Research Institute). Un seul type de géométrie du calcul a été retenu, il s’agit d’une géométrie
hétérogène. Elle est décrite comme un milieu composé d’un combustible divisée en quatre
régions dont chacune est divisée à son tour en quatre couronnes (Fig. 3.38 et 3.39) gainés
d’une gaine en Acier et entourés par l’eau. Au cours de l’évolution, les effets d'interférences
entre les résonances des sections efficaces des éléments lourds ne sont pas pris en compte par
PIJ-SRAC95. En effet, le calcul d’autoprotection des isotopes résonants n’est pas disponible
sur le code SRAC95.
125
Le calcul du cœur est réalisé pour trois états représenté par les températures des trois
régions (combustible, caloporteur et gaine), par le laplacien géométrique (calcul sans fuite
avec laplacien nul) et par la composition isotopique de chaque région.
La variation du flux neutronique (en 107 groupes d’énergies) dans le cœur AFPR-100
est donnée dans la figure 3.40. La figure montre que le spectre garde la même allure au début
et à la fin de cycle de combustion. Ainsi, elle montre un durcissement du flux neutronique au
BOC et à l’EOC. Ceci pourrait être dû au fait que AFPR-100 est caractérisé par une qualité de
vapeur très élevé (plus de vapeur) et une faible densité de la mixture eau-vapeur [32] [33]. En
effet, on peut dire que le spectre d’AFPR-100 est dur. Cependant, avec l’usure du combustible
les sections efficaces macroscopiques de fission diminuent ce qui entraine l’augmentation du
niveau du flux neutronique ce qui permet d’expliquer l’importance du flux à la fin qu’au
début du cycle. En autre, cette augmentation du flux à la fin de cycle est une des
conséquences directes du fait qu’on a supposé que la puissance nominale reste constante
durant tout le cycle de combustion.
Figure 3.40: Spectre neutronique du cœur AFPR-100 au BOC et EOC.
126
4.5.2 Usure du combustible et formation du plutonium
Le tableau 3.17 récapitule les concentrations des actinides produits dans le
combustible à la fin du cycle (66000 MWd/t). Après un taux d’irradiation de 66000 MWd/t, la
densité de l’U235 décroît, tel que l’enrichissement en U235 diminue de 14% à 7.6%. Il
disparaît par fission et il se transforme également en U236 par capture neutronique. L’U238 le
plus abondant (environ 86% de la masse de l’uranium initial), comporte des résonances
importantes dans le domaine épi-thermique. S’il absorbe un neutron il se transforme en U239.
Très rapidement (quelques jours), ce dernier se transforme en matière fissile : le plutonium
Pu239. S’il capture un neutron, ce dernier donne le Pu240. Ainsi, en fin de cycle de
combustion la concentration en U235 a fortement diminué et les isotopes du Plutonium
atteignent leur concentration maximale d’ordre 6.95E-05 at. /b-cm (Fig. 3.42 et Tab. 3.17).
Les figures 3.41 et 3.42 présentent la variation des concentrations en U235 et en P239
en fonction du burnup, respectivement. Elles montrent que les concentrations en ces deux
éléments évoluent légèrement dés le début du cycle à cause de la saturation des produits de
fission. Cette saturation entraîne une augmentation de l’absorption pour les neutrons
thermiques et une diminution de la proportion de fissions sur l’U235. Cependant, dés la fin de
l’effet des produits de fission rapidement saturants, la diminution progressive de la
concentration en uranium ajoutée à la production de plutonium, qui s’accumule dés le début
de combustion, ont des grands effets sur la réactivité et pour effet de durcir le spectre.
127
Figure 3.41: Variation des concentrations en U235 en fonction du burnup.
Figure 3.42: Variation des concentrations en P239 en fonction du burnup.
128
Tableau 3.17: Concentration des actinides à la fin de cycle (66 GWd/t) dans le combustible d’AFPR100.
Eléments
Concentration, (/cm3)
U235
U236
U238
PU238
PU239
PU240
PU241
PU242
AM241
AM242M
AM243
CM242
CM243
CM244
3.65E-04
7.60E-05
4.37E-03
2.89E-06
6.95E-05
1.32E-05
9.78E-06
1.82E-06
3.22E-06
6.59E-08
3.39E-07
1.03E-07
2.30E-09
8.04E-08
La figure 3.43 présente la variation de Kinf du cœur AFPR-100 jusqu’à un taux de
combustion de 69000 MWd/t. Au début de cycle, la saturation des produits de fissions de
courte période entraîne une baisse rapide de la réactivité du cœur à cause de l’effet Xénon et
Samarium (soit 348 pcm). Cette décroissante est liée à l’apparition des produits de fission
rapidement saturants, en particulier 135Xe et 149Sm. Ainsi, la figure montre que le cœur
AFPR-100 a réactivité initiale vaut 22736 pcm (correspond à Kinf = 1.2943) et une durée de
vie assez longue qui est de l’ordre de 26.2 ans, sans chargement du combustible. Il atteint la
sous-criticité à un taux de combustion de 66000 MWd/t.
129
Figure 3.43: Facteur de multiplication infini du cœur AFPR-100.
4.5.4 Rapport de conversion instantanée
Comme nous avons déjà eu l’occasion d’évoquer, le dit rapport nous permet d’évaluer
la capacité du réacteur à régénérer la matière fissile. Les valeurs du rapport de conversion ont
été calculées à 34 pas d’évolution. La figure 3.44 illustre la variation du rapport de conversion
en fonction du burnup.
À partir du début de cycle de combustion, le cœur AFPR-100 présente une
augmentation de l’I.C.R. due à l’épuisement de la matière fissile. Ainsi, le durcissement du
spectre favorise le taux de capture de l’U238 ce qui permet d’améliorer la conversion. En
effet, l’augmentation de l’I.C.R. avec le burnup révèle la non compensation entre la matière
fissile brûlée et produite en atteignant la valeur de 0.481 à la fin de cycle (à 66000 MWd/t).
Ce qui nous permet de dire que le concept d’AFPR-100 est sousgénérateur.
130
Figure 3.44: Rapport de Conversion Instantanée du cœur AFPR-100.
Les résultats du Kinf, relatifs au calcul du cœur d’AFPR-100 pour le combustible
TRISO, sont donnés dans le tableau 3.18, pour le code MCNP5 d’une part et le code SRAC95
d’autre part. En fait, nous avons étudié ledit cœur à chaud et nous serons amenés à l’étudier à
burnup nul à froid pour pouvoir valider nos résultats en les comparant avec ceux du code
Monte-Carlo MCNP5. Pour cette étude à froid, nous avons utilisé les mêmes concentrations et
les mêmes dimensions qu’à chaud.
La comparaison avec le code de calcul MCNP5 concerne seulement le Kinf au début
de cycle (0MWj/t). On remarque que le résultat de calcul MCNP5 semble en très bon accord
avec celui obtenu avec le code SRAC95 avec un écart d’environ 8756 pcm. Ce qui est très
intéressant car la structure du cœur APFR-100 est très hétérogène.
Tableau 3.18 : Comparaison du Kinf entre SRAC95 et MCNP5 du cœur AFPR-100.
Cœur-TRISO
SRAC95
SRAC95
T=300°C
1.29426
T=20°C
1.30672
MCNP5
[kinf(srac)-kinf(mcnp)]/kinf(srac)
T=20°C
T=20°C
1.42113±0.00006
8756
131
Comparaison neutroniques des concepts du combustible CERMET et TRISO
Chapitre IV : Comparaison neutroniques des concepts du
combustible CERMET et TRISO.
132
1 Introduction
Dans ce paragraphe sont synthétisées les études ayant conduit à la comparaison des
résultats de calcul neutronique des concepts des réacteurs BWR-PB et AFPR-100 utilisant le
combustible TRISO décrit auparavant et un nouveau concept du combustible de type
« CERMET ».
En effet, dans le travail antérieur, nous avons pu étudier des paramètres neutroniques
des dits réacteurs utilisant le combustible de type TRISO. Cependant, à basse température
(environ 260°C), K. Geelhood et al. (2006) [34] montrent que ce type du combustible
présente pendant l’irradiation un gonflement inacceptable dans la couche externe de carbure
de silicium (SiC), qui joue le rôle de barrière à la diffusion des produits de fission solides, dû
notamment aux accumulations des énergies, sous l’irradiation, faisant déplacer des atomes du
carbone dans la structure du graphite (Wigner Energy). Cette couche de SiC montre
également une faible résistance à la corrosion dans l’eau. Ainsi, un nouveau concept du
combustible était proposé : le combustible sphérique du CERMET (Spherical Cermet Fuel).
Dj. Senior, et al (2007) [35] ont montré que le combustible CERMET (SCF) est intéressant
que le combustible TRISO. Il constitue une barrière supplémentaire potentielle contre le
relâchement des gaz de fission et possède une excellente conductivité thermique (c’est-à-dire
un combustible froid). Le combustible du CERMET considéré est à base du zirconium. Ce
dernier a été choisi comme le principal candidat pour jouer le rôle d’une matrice et une
couche de couverture externe. Le zirconium est donc tenu de résister au mieux aux différentes
contraintes en service telles que la corrosion due à l’eau, à la température de fonctionnement
relativement élevée et aux effets de l’irradiation neutronique [37]. Ainsi, il est caractérisé par
une très faible section efficace d'absorption des neutrons thermiques et une bonne stabilité à
haut taux de combustion.
2 Description du combustible utilisé : CERMET
Afin de pouvoir comparer les résultats de calcul des paramètres neutroniques issus des
deux concepts utilisés, il est nécessaire de faire une description du nouvel concept du
combustible adopté.
Le nouveau concept du combustible considéré est à base de cermet. Il se compose de
microsphère (diamètre 500 µm), de dioxyde d’uranium enrichi, gainée d’une couche en
zirconium. La microsphère est émergée dans une matrice en zirconium pour produire une
133
macrosphére enrobée à son tour par une couche en zirconium de 300 µm d’épaisseur. Ces
macrosphères ont un diamètre d’environ 1.44 mm. La figure 4.1 montre la structure et les
dimensions de l’élément combustible du CERMET (SCF : Spherical Cermet Fuel).
Figure 4.1: Structure et dimensions de la macrosphére du SCF.
3 Comparaison neutroniques des concepts TRISO et CERMET
3.1 Cas du réacteur BWR-PB
3.1.1 Calcul de cellule
Nous allons débuter par étudier les écarts observables sur les différents paramètres
neutroniques associés à la cellule BWR-PB. La géométrie de la cellule unitaire considérée est
la même que celle décrite antérieurement (Fig. 3.4, cf. paragraphe 3.2). La figure 4.2 montre
la géométrie de la cellule adoptée pour le concept BWR-PB modélisée par le code PIJSRAC95. D’ailleurs, les calculs de cellule, à base du combustible de type TRISO, sont
réalisés par le code APOLLO2 dans le cadre de l’obtention du Diplôme de Etudes Supérieur
Approfondie en 2006 et ils sont ainsi fait l’objet d’une communication et un article pour la
conférence PHYTRA (2007) [39] [40]. Afin de bien faire une comparaison entre les deux
concepts du combustible, les présents résultats de calcul de cellule et d’assemblage (soit pour
TRISO ou pour CERMET) ont été obtenus à l’aide du code PIJ-SRAC95.
134
Figure 4.2 : Cellule adoptée pour le calcul neutronique du concept BWR-PB (modélisation SRAC95).
Le premier paramètre à comparer est le Kinf. La comparaison de l’évolution du Kinf
de l’unité de cellule du BWR-PB, en fonction du burnup, utilisant le concept TRISO et celui
de CERMET est illustrée dans la figure 4.3. Les Kinf calculés pour le CERMET sont toujours
inférieures à ceux de TRISO avec un écart de l’ordre de 3997 pcm à 0 burnup et qui tend à
augmenter par la suite atteignant 5535 pcm à la fin de cycle (correspond à 85000 MWd/t)
pour le concept TRISO. Ceci se comprend dans la mesure où le concept TRISO avec la
matrice en graphite présente un effet de modération, de thermalisation, plus important que
celui de CERMET. La comparaison des spectres neutroniques, au BOC et EOC calculé pour
107 groupes d’énergies de neutron, est illustrée dans les figures 4.4 et 4.5, respectivement. La
comparaison permet de mettre en évidence que les spectres des deux concepts sont très
similaires avec un écart assez petit pour le CERMET à l’EOC.
135
Figure 4.3 : Facteur de multiplication infini de la cellule BWR-PB.
Figure 4.4 : Spectre neutronique de la cellule BWR-PB au BOC.
136
Figure 4.5 : Spectre neutronique de la cellule BWR-PB à l’EOC.
La figure 4.6 illustre la variation du rapport de conversion instantanée en fonction du
burnup. Les deux courbes montrent que la croissance est plus rapide pour les deux concepts et
que l’I.C.R. du concept CERMET présent des valeurs supérieures car la production de la
matière fissile est plus importante par rapport au concept TRISO. Cette différence est due
notamment à la diminution de la modération et donc la thermalisation des neutrons au
CERMET, permettant d’augmenter le flux neutronique rapide. Augmentation qui provoque la
croissance des sections efficaces macroscopiques de capture par rapport à celle du TRISO. Le
rapport de conversion instantanée des concepts TRISO et CERMET atteint à la fin de cycle
les valeurs 0.557 et 0.601, respectivement.
137
Figure 4.6 : Rapport de Conversion Instantanée de la cellule BWR-PB.
3.1.2 Calcul d’assemblage
Le calcul d’assemblage BWR-PB, utilisant les deux concepts du combustible : TRISO
et CERMET, est effectué par le code de calcul SRAC95. Il nous faut donc étudier les écarts
observables sur les différents paramètres neutroniques associés à cet assemblage. L’étude
commence à comparer bien entendu la variation du Kinf en fonction du burnup. L’évolution
du Kinf pour chaque plan d’assemblage utilisant les dits concepts du combustible est donnée
sur la figure 4.7. Pour plus de lisibilité, nous avons donné dans la figure 4.8 l’écart relatif sur
le Kinf entre les deux concepts durant la combustion. Les Kinf calculés pour le combustible
TRISO sont toujours supérieurs par rapport à ceux calculés pour le CERMET. L’écart relatif
présente une valeur maximale au début de cycle (0 MWd/t). Cet écart tend à diminuer par la
suite atteignant 3511, 3227 et 3077 pcm pour le PLAN 1, 2 et 3, respectivement. Ceci
s’explique dans la mesure où le concept TRISO avec la matrice en graphite présente un effet
de modération plus important que celui de CERMET. En outre, l’examen des courbes des
figures 4.9 (a et b) et 4.10 (a et b) montre que le flux neutronique dans le domaine thermique
pour le TRISO est plus grande qui celui du CERMET. Le spectre neutronique est en générale
faiblement influencé par le changement du concept du combustible et qu’il garde la même
allure pour les deux combustibles. Ce qui nécessite une étude relativement fine.
138
Figure 4.7 : Variation du Kinf pour chaque plan de l’unité d’assemblage de BWR-PB en fonction
Burnup.
Figure 4.8 : Ecart relatif sur le Kinf pour chaque plan de l’unité d’assemblage de BWR-PB.
139
Figure 4.9-a : Spectre neutronique au début du cycle de combustion (BOC).
Figure 4.9-b : Variation du flux neutronique thermique au début du cycle de combustion (BOC).
140
Figure 4.10-a : Spectre neutronique à la fin du cycle de combustion (EOC).
Figure 4.10-b : Variation du flux neutronique thermique à la fin du cycle de combustion (EOC).
On peut également comparer les concentrations en Uranium et en Plutonium en fin de
cycle (48 GWd/t). Ces résultats sont présentés dans les tableaux 4.1, 4.2 et 4.3 pour les plans
1, 2 et 3, respectivement. On remarque que les concentrations en uranium sont légèrement
141
similaires entre les deux concepts. L’écart maximal en uranium étant de l’ordre de 80 pcm
enregistré dans le PLAN 3 pour le CERMET. Les concentrations en isotopes du plutonium
présentent, cependant, des écarts relatifs significatifs. Néanmoins, il faut garder à l’esprit que
les concentrations du plutonium en BOC sont très faibles et que la distribution axiale de
modération au long de l’unité d’assemblage est non uniforme. On obtient tout de même un
écart maximal, qui correspond principalement au Pu239, de l’ordre de 600 pcm en fin de
cycle au PLAN 1, 450 pcm au PLAN 2 et 375 pcm au PLAN 3 pour le concept du CERMET.
La différence de la concentration en plutonium entre TRISO et CERMET correspond
notamment à la faible thermalisation des neutrons dans le CERMET qui favorise la
production du Pu239 par capture neutronique sur l’U238.
La figure 4.11 illustre la variation du rapport de conversion en fonction du taux de
combustion. Les courbes montrent que la croissance de l’I.C.R. est plus rapide pour les deux
concepts avec un faible écart pour le CERMET car la production de la matière fissile est
sensiblement importante par rapport au TRISO. Le tableau 4.4 présente l’I.C.R. de chaque
plan de l’unité d’assemblage pour les deux concepts du combustible après un taux de
combustion de 48000 MWd/t.
Tableau 4.1 : Bilan isotopique du combustible usé dans le PLAN 1 après un taux de combustion de
48000 MWd/t.
Concept
TRISO
CERMET
Pu/(U+Pu)
2.26E-02
2.31E-02
U235/U Pu239/Pu
4.85E-02 7.52E-01
4.89E-02 7.58E-01
Pu240/Pu
1.17E-01
1.16E-01
Pu241/Pu
1.00E-01
9.44E-02
Pu242/Pu
1.36E-02
1.25E-02
48000 MWd/t.
Concept
TRISO
CERMET
Pu/(U+Pu)
1.70E-02
1.75E-02
U235/U Pu239/Pu
4.71E-02 5.38E-01
4.79E-02 5.42E-01
Pu240/Pu
1.05E-01
1.03E-01
Pu241/Pu
8.62E-02
8.40E-02
Pu242/Pu
1.44E-02
1.37E-02
48000 MWd/t.
Concept
TRISO
CERMET
Pu/(U+Pu)
1.56E-02
1.60E-02
U235/U Pu239/Pu
4.66E-02 4.86E-01
4.74E-02 4.90E-01
Pu240/Pu
1.02E-01
9.92E-02
Pu241/Pu
8.03E-02
7.88E-02
Pu242/Pu
1.42E-02
1.36E-02
142
Tableau 4.4 : Rapport de Conversion Instantanée de chaque plan pour les deux concepts du
combustible après un taux de combustion de 48000 MWd/t.
I.C.R.
TRISO
CERMET
PLAN1
0.697
0.695
PLAN2
0.589
0.593
PLAN3
0.556
0.560
Figure 4.11 : Rapport de Conversion Instantanée de chaque plan de l’unité d’assemblage.
3.2 Cas du réacteur AFPR-100
3.2.1 Calcul de cellule
Pour compléter notre comparaison et conclure l’impact de l’adoption du concept
CERMET, nous nous sommes intéressés au calcul de la cellule et du cœur de réacteur AFPR100. L’étude de ce réacteur est intéressante sur plusieurs points. Le cœur d’AFPR-100 a une
géométrie complexe qui s’était traitée par le code SRAC95 moyennant le module PIJ sans
faire appel à des modules du code de calcul ASMBURN. Ce dernier utilise les mêmes
modalités que le code CITATION. De plus, le calcul du cœur que nous traitons ici a fait
l’objet d’un rapport préparé par le laboratoire PNNL (2007) [35] dont il discute la faisabilité
d’utiliser le concept du combustible CERMET et son influence sur la durée de vie du réacteur
AFPR-100.
143
Nous allons commencer, alors, par étudier la variation du Kinf, associées à la cellule
d’AFPR-100, en fonction du burnup. Les résultats du calcul de cellule sont obtenus à l’aide du
code PIJ-SRAC95.
La figure 4.12 nous montre la variation du Kinf pour le CERMET et le TRISO. Elle
montre que l’écart entre le CERMET et le TRISO est de 4833 pcm à 0 MWd/t et de 5346 pcm
en fin de cycle après un taux de combustion de 90000 MWd/t. Ainsi, les Kinf calculés en
utilisant le combustible TRISO sont toujours supérieur à ceux calculés pour le CERMET.
Cette tendance est confirmée par l’I.C.R. présenté dans la figure 4.13. Sa variation en fonction
du burnup montre que les valeurs d’I.C.R. pour le CERMET sont surestimées par rapport à
celles du TRISO car la production de la matière fissile est moins importante par rapport au
CERMET. Le rapport de conversion instantanée des concepts TRISO et CERMET atteint à la
fin du cycle les valeurs 0.543 et 0.580, respectivement.
Les spectres neutroniques en BOC et EOC, menés avec les mêmes groupes d’énergies,
calculés pour les deux concepts sont illustrés dans les figures 4.14 et 4.15, respectivement. Ils
montrent que le spectre neutronique peut être considéré hors l’influence du concept du
combustible utilisé. Il montre un durcissement pour les deux concepts. Le tableau 4.5 présente
les concentrations en U235 dans les combustibles TRISO et CERMET après un taux de
combustion de 90000 MWd/t. Les concentrations des actinides mineurs figurent également
dans le même tableau dont ils sont plus abondants dans le CERMET que dans le TRISO. Le
bilan isotopique du combustible usé, dans la cellule AFPR-100, après un taux de combustion
de 90000 MWd/t est synthétisé dans le tableau 4.6. La comparaison des résultats nous montre
que les concentrations en isotopes du plutonium sont similaires dans les deux concepts.
144
Figure 4.12 : Facteur de multiplication infini de la cellule d’AFPR-100.
Figure 4.13 : Rapport de Conversion Instantanée de la cellule d’AFPR-100.
145
Figure 4.14 : Spectre neutronique de la cellule d’AFPR-100 au BOC.
Figure 4.15 : Spectre neutronique de la cellule AFPR-100 à EOC.
146
Tableau 4.5 : Concentration des actinides à un taux de combustion de 90000 MWd/t dans l’unité de
cellule d’AFPR-100.
Eléments
Concentration (TRISO) (/cm3)
Concentration (CERMET) (/cm3)
U235
U236
U238
PU238
PU239
PU240
PU241
PU242
AM241
AM242M
AM243
CM242
CM243
CM244
2.82E-04
8.95E-05
4.31E-03
5.31E-06
7.51E-05
1.67E-05
1.52E-05
3.62E-06
3.51E-06
7.96E-08
8.62E-07
2.00E-07
5.87E-09
2.99E-07
2.84E-04
9.85E-05
4.81E-03
6.98E-06
8.93E-05
1.99E-05
1.73E-05
4.19E-06
4.41E-06
1.06E-07
1.09E-06
2.36E-07
7.78E-09
4.20E-07
Tableau 4.6 : Bilan isotopique du combustible usé après un taux de combustion de 90000 MWd/t.
Concept
TRISO
CERMET
Pu/(U+Pu)
2.42E-02
2.58E-02
Pu239/Pu
6.48E-01
6.48E-01
Pu240/Pu
1.44E-01
1.45E-01
Pu241/Pu
1.31E-01
1.26E-01
Pu242/Pu
3.12E-02
3.05E-02
3.2.2 Calcul du cœur
Dans ce paragraphe, nous allons effectuer la même étude que celle menée plus haut,
dans le cas du calcul de la cellule. La première grandeur à comparer est bien entendu le Kinf
du cœur AFPR-100. L’évolution du Kinf du cœur pour les deux concepts est donnée sur la
figure 4.16. Les Kinf calculés pour le CERMET sont inférieur à ceux du TRISO avec un écart
de l’ordre de 4425 pcm à 0 burnup et qui tend à augmenter par la suite atteignant 4823 pcm
après un taux de combustion de 54000 MWd/t pour le concept TRISO. Ceci se comprend
dans la mesure où le concept TRISO, avec la matrice en graphite, présente un effet de
modération plus important que celui de CERMET. Ainsi, l’adoption du concept CERMET
cause une pénalité maximale de 12000 MWd/t (environ 2.4 ans) sur la durée de vie du cœur
du réacteur AFPR-100. Ce dernier avec le combustible CERMET atteint la criticité à un taux
de combustion de 54000 MWd/t qui correspond à environ 23.8 ans et de 66000 MWd/t pour
le TRISO qui correspond à environ 26.2 ans. Concernant l’I.C.R., sa variation en fonction du
burnup est présentée dans la figure 4.17. Elle montre que les valeurs d’I.C.R. pour le
147
CERMET sont surestimées par rapport à celles du TRISO et atteignent, à la fin de cycle, les
valeurs 0.472 et 0.466 pour les concepts TRISO et CERMET, respectivement.
Les comparaisons des spectres neutroniques, au BOC et EOC calculés pour les deux
concepts, sont illustrés dans les figures 4.18 et 4.19, respectivement. Les courbes montrent la
même tendance que celle de la cellule. En effet, les spectres des deux concepts sont très
similaires avec un écart positif pour le CERMET dans le domaine rapide. Le bilan isotopique
du combustible usé, dans le cœur AFPR-100, après un taux de combustion de 54000 MWd/t
est synthétisé dans le tableau 4.7. La comparaison de ces résultats montre que
l’enrichissement en U235 diminue de 14% à 8.3% pour CERMET et d’environ 7.6% pour
TRISO.
Figure 4.16 : Facteur de multiplication infini du cœur AFPR-100.
148
Figure 4.17 : Rapport de Conversion Instantanée du cœur AFPR-100.
Figure 4.18 : Spectre neutronique du cœur AFPR-100 au BOC.
149
Figure 4.19 : Spectre neutronique du cœur AFPR-100 à EOC.
Tableau 4.7 : Bilan isotopique du combustible usé après un taux de combustion de 54000 MWd/t.
Concept
TRISO
CERMET
Pu/(U+Pu)
1.98E-02
1.71E-02
U235/U Pu239/Pu
7.58E-02 7.15E-01
8.27E-02 7.65E-01
Pu240/Pu
1.36E-01
1.22E-01
Pu241/Pu
1.01E-01
8.29E-02
Pu242/Pu
1.88E-02
1.13E-02
Les principaux résultats, relatifs au calcul du cœur BWR-PB et d’AFPR-100 soit pour
le combustible CERMET ou TRISO, sont donnés dans les tableaux 4.8 et 4.9, respectivement,
pour le code MCNP5 d’une part et le code SRAC95 d’autre part. Nous avons étudié les dits
benchmarks à chaud et nous serons amenés à les étudier à burnup nul à froid pour pouvoir
comparer nos résultats avec ceux du code de référence MCNP5. Les résultats de comparaison
avec ce dernier semblent en très bon accord avec ceux obtenus avec le code SRAC95.
150
Tableau 4.8 : Comparaison des Kinf entre SRAC95 et MCNP5 de l’assemblage et du cœur BWR-PB.
Combustible
Assemblage
Plan 1
Plan 2
Plan 3
TRISO
CERMET
TRISO
CERMET
TRISO
CERMET
TRISO
CERMET
SRAC95 SRAC95
T=300°C T=20°C
1.406763
1.371171
1.31133
1.251868
1.400583
1.353199
1.426674
1.383072
1.432133
1.395754
1.33663
1.28885
1.425975
1.38638
1.452003
1.41508
MCNP5
T=20°C
1.51258±0.00011
1.49654±0.00010
1.42567±0.00011
1.40387±0.00011
1.47507±0.00010
1.45528±0.00011
1.48917±0.00010
1.47047±0.00011
T=20°C
5617
7221
6662
8924
3443
4970
2560
3914
Tableau 4.9 : Comparaison des Kinf entre SRAC95 et MCNP5 du cœur AFPR-100.
Combustible
Cœur
TRISO
CERMET
SRAC95 SRAC95
MCNP5
T=300°C T=20°C
T=20°C
1.294261 1.30672 1.42113±0.00006
1.250011 1.26162 1.38045±0.00004
T=20°C
8756
9419
151
Figure 4.20 : Section transversale du cœur d’AFPR-100 (modélisation MCNP5).
152
Figure 4.21 : Section longitudinale du cœur d’AFPR-100 (modélisation MCNP5).
153
CONCLUSION
Conclusion
L'originalité de ce travail de recherche était d’examiner et d’étudier la capacité de
deux réacteurs nucléaires innovants, BWR-PB et AFPR-100 basés sur les nouveaux concepts
du combustible (CERMET et TRISO), de fonctionner pour une période raisonnablement
longue sans rechargement ou changement du combustible. Nos études avaient pour objectif
d’évaluer certain paramètres neutroniques, en l’occurrence : le facteur de multiplication infini,
le spectre neutronique, l’indice de spectre, le rapport de conversion instantanée, les effets des
produits de fission sur la réactivité, l’influence neutronique du poison consommable, la
composition isotopique (en fin de cycle) et la variation des sections efficaces macroscopiques
durant le burnup.
Trois codes déterministes ont été utilisés : APOLLO2, CRONOS2 et SRAC95. Ils
nous ont permis de générer un ensemble de résultats ayant conduit à étudier le comportement
et l’évolution des dits paramètres au cours du burnup pour deux réacteurs, allant du calcul
d’assemblage au calcul du cœur. Le code probabiliste MCNP5 a été également utilisé comme
étant un code référence afin de valider les différentes démarches et les approximations prises
en considération par les codes déterministes pour le calcul d’assemblage et/ou du cœur. Cette
validation ne concerne que le facteur de multiplication infini (à burnup nul et à froid).
La première partie de ce mémoire concerne des calculs déterministes de l’unité
d’assemblage du réacteur BWR-PB. Le calcul effectué à l’aide des codes APOLLO2 et
CRONIS2 permet de mettre en évidence le durcissement du spectre neutronique dans les
différents plans d’assemblage. Ce durcissement est inversement proportionnel à la distribution
non uniforme du modérateur au long de l’assemblage. La même tendance est confirmée par le
rapport de conversion instantanée qui présente une augmentation pour les différents plans ce
qui révèle la contribution de la matière fertile dans la prolongation de la durée de vie de
l’assemblage. La variation du facteur de multiplication infini montre que le combustible de
l’unité d’assemblage BWR-PB nécessitera un rechargement après un taux de 48 GWd/t
(d’environ 10.4 ans). Ainsi, le calcul du cœur BWR-PB montre que la réactivité de démarrage
garantit une longue durée de vie qui peut s’étendre jusqu’à un taux de combustion de 48
GWd/t, qui correspond à environ 10 ans de fonctionnement, sans chargement ou changement
du combustible. Par ailleurs, le cœur BWR-PB est constitué d’une juxtaposition de 145 unités
d’assemblages et d’après les résultats obtenus, une étude approfondie de l’unité d’assemblage
154
CONCLUSION
nous permettra de prévoir la criticité du cœur tout entier, voire son comportement
neutronique.
Afin de disposer d’une anti-réactivité neutronique au début de cycle, de réduire
l’excédent de réactivité des assemblages neufs de BWR-PB et d’augmenter les longueurs de
cycle de fonctionnement, un poison consommable est utilisé. Il s’agit d’Oxyde de
Gadolinium. Un deuxième calcul de l’unité d’assemblage BWR-PB nous permettra de
quantifier l’impact de l’ajout du poison sur les différents paramètres neutroniques. L’usure du
poison commence dés le début du cycle de combustion et a des conséquences directes sur la
réactivité. En effet, l’utilisation du poison consommable peut garantir une anti-réactivité au
démarrage (de l’ordre de 39% Δk/k) avec une pénalité de 1.2 ans (d’environ 4 GWd/t) sur la
durée de vie de l’assemblage. Ce dernier atteint la criticité après un taux de combustion de 44
GWd/t, d’environ 9.2 ans de fonctionnement, sans chargement ou changement du
combustible. En outre, la présence du poison ayant pour conséquence de durcir le spectre et
de donner également des grands indices de spectre au début du cycle. A la fin de combustion
et avec la disparition d’oxyde de gadolinium, les différents paramètres calculés pour
l’assemblage empoisonné sont similaires à ceux du cas sans présence du poison
consommable. Ainsi, la consommation de l'U235 et la formation des isotopes du Plutonium
sont notablement différentes de celles d'un assemblage non empoisonné.
La deuxième partie est relative au calcul 2D du cœur AFPR-100 moyennant le code
PIJ du système SRAC95 basé sur la méthode des probabilités de collision. Les résultats
montrent le durcissement du flux neutronique dû au fait que l’AFPR-100 est caractérisé par
une qualité de vapeur très élevée et une faible densité de la mixture eau-vapeur. Ainsi, la
durée de vie du réacteur peut s’étendre pour une période raisonnablement longue de l’ordre de
26.2 ans, sans rechargement du combustible, avec une réactivité initiale correspondant à un
Kinf de 1.2943. L’évaluation du rapport de conversion instantanée indique que la matière
fissile régénérée dans le cœur AFPR-100 est moindre de ce qu’il en consomme.
Le troisième volet porte sur la comparaison des résultats de calcul utilisant deux
concepts de combustible CERMET et TRISO dans les deux réacteurs. Le nouveau concept de
CERMET a été proposé afin d’éliminer le problème d’intégrité de la microsphère TRISO. Ce
problème est relatif au gonflement de la couche externe du carbure de silicium de la
microsphère sous l’irradiation à basse température, faisant déplacer des atomes de graphite
(Wigner Energy). Les résultats de comparaison montrent que les Kinf calculés pour le
CERMET sont toujours inférieures à ceux du TRISO. L’adoption du concept CERMET
155
CONCLUSION
engendre une pénalité de 2.4 ans (relatif à 12 GWd/t) sur la durée de vie d’AFPR-100. Cette
pénalité pourra être corrigée par une réévaluation de l’enrichissement. Le rapport de
conversion instantanée pour le CERMET est surestimé par rapport au TRISO confirmant la
variation du Kinf. Cependant, le flux neutronique thermique pour le TRISO, avec la matrice
en graphite qui présente un effet de modération assez important, est plus grand que celui du
CERMET. Néanmoins, le spectre neutronique est en générale faiblement influencé par le
changement du concept du combustible et qu’il garde la même allure pour les deux
combustibles. Ce qui nécessite une étude relativement fine. Le bilan isotopique du
combustible usé dans le cœur AFPR-100 montre que l’enrichissement en U235 diminue de
14% à 8.3% pour CERMET et d’environ 7.6% pour TRISO. Or, les concentrations en
uranium, dans les différents plans d’assemblage de BWR-PB, sont légèrement similaires entre
les deux concepts du combustible. En revanche, les concentrations en isotopes du plutonium
présentent des écarts relatifs assez significatifs.
Au terme de ce travail, nous pouvons dire que nous avons réussi à réaliser la majorité
des objectifs que nous avons fixés auparavant. Néanmoins, cette étude soulève également
plusieurs points qui pourraient être développés pour compléter les résultats obtenus. Nous
pourrions ainsi définir cinq points à approfondir :
 Evaluation du deuxième régime de fonctionnement du réacteur BWR-PB
permettant de prolonger sa durée de vie plus que 20 ans en rechargeant du
combustible frais sans ouvrir le couvercle du réacteur par l'utilisation de
conteneurs spéciaux avec des équipements pour le transport hydraulique (tous les
10 ans).
 Evaluation de l’effet des barres de contrôles dans le cœur AFPR-100 et
optimisation de leurs concentrations en B4C en assurant une anti-réactivité initiale
et une pénalité minimale sur la durée de fonctionnement.
 Quantification de l’impact du Gallium et/ou de l’Europium, introduit comme étant
des microsphères de poisons consommables, sur les différents paramètres
neutroniques pour les deux réacteurs utilisant le combustible CERMET.
 Evaluation de l’effet du double hétérogénéité, qui se manifeste dans la structure
granulaire du combustible, sur la réactivité. En effet, un calcul de cellule des dits
réacteurs a montré un effet positif de la double hétérogénéité sur le facteur de
multiplication infini.
156
CONCLUSION
 Après l’explosion de la centrale de Fukushima Daiichi du Japan (11.03.2011) sur
l’hypothèse de l’hydrogène, plusieurs questions devraient être posées sur le
concept de CERMET. En effet, selon les informations officielles, le niveau du
liquide de refroidissement a effectivement trop baissé et le haut du cœur du
réacteur s’est retrouvé hors d’eau (sur 3 m). Dans pareille situation, la chaleur
monte et les gaines (en alliages de zirconium – zircaloy) des barres d’oxyde
d’uranium commencent à fondre. De ce fait, des réactions chimiques entre vapeur
d’eau et zirconium produisent de l’hydrogène, hautement explosif. Donc, une
étude du concept de CERMET dans des situations semblables que Fukushima est
indispensable.
157
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160
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grade de Docteur de l'université Paris XI – Orsay , Soutenue le : 25 novembre 2009. ....... 42
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January 2007. pp 110-119 .................................................................................................... 85
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DRAGON et DONJON. pp 55. Mémoire présentée en vue de l’obtention du Diplôme de
Maîtrise Es Sciences Appliquées (Génie Énergétique). Ecole Polytechniques de Montréal.
Août 2007........................................................................................................................... 128
161
LISTE DES TABLEAUX
Liste des tableaux
Tableau 2-1: Equations des différentes formes géométriques utilisées dans MCNP............... 73
Tableau 3-1: Structure de la microsphère du combustible. ...................................................... 77
Tableau 3-2: Composition de la cellule unitaire du BWR-PB. ................................................ 80
Tableau 3-3: Densité et température du modérateur dans chaque plan d’assemblage............. 87
Tableau 3-4: Concentration des actinides à un taux d’irradiation de 52000 MWd/t dans les
différents plans d’assemblage. ................................................................................................. 90
Tableau 3-5: Concentration en U235 au BOC et EOC dans les différents plans d’assemblage.
.................................................................................................................................................. 90
Tableau 3-6: Densité et température du modérateur dans chaque plan d’assemblage............. 95
Tableau 3-7: Concentration en Gadolinium dans les différents plans de l’assemblage au BOC.
................................................................................................................................................ 103
Tableau 3-8: Densité et température du modérateur dans chaque plan d’assemblage........... 106
Tableau 3-9: Concentration des actinides à la fin de cycle (60000 MWd/t) dans les différents
plans d’assemblage empoisonné. ........................................................................................... 108
Tableau 3-10: Bilan isotopique du combustible usé dans les PLAN 1, PLAN 2 à la fin de
cycle. ...................................................................................................................................... 109
Tableau 3-11: Bilan isotopique du combustible usé dans les PLAN 4, PLAN 5 à la fin de
cycle. .................................................................................................................................... 1095
Tableau 3-12: Concentration en Gadolinium et la réactivité de chaque plan d’assemblage au
BOC........................................................................................................................................ 114
Tableau 3-13: Comparaison des Kinf entre APOLLO2 et MCNP5 de chaque plan
d’assemblage de BWR-PB. .................................................................................................... 118
Tableau 3-14: Comparaison des Kinf entre APOLLO2 et MCNP5 des différents plans
d’assemblage empoisonné de BWR-PB................................................................................. 119
Tableau 3-15: Spécifications du cœur AFPR-100.................................................................. 122
Tableau 3-16: Dimension radiale de chaque région du cœur AFPR-100............................... 123
Tableau 3-17: Concentration des actinides à la fin de cycle (66 GWd/t) dans le combustible
d’AFPR-100. .......................................................................................................................... 129
Tableau 3-18 : Comparaison du Kinf entre SRAC95 et MCNP5 du cœur AFPR-100. ......... 131
Tableau 4-1: Bilan isotopique du combustible usé dans le PLAN 1 après un taux de
combustion de 48000 MWd/t. ................................................................................................ 145
Tableau 4-4: Rapport de Conversion Instantanée de chaque plan pour les deux concepts du
combustible après un taux de combustion de 48000 MWd/t. ................................................ 146
Tableau 4-5: Concentration des actinides à un taux de combustion de 90000 MWd/t dans
l’unité de cellule d’AFPR-100.. ............................................................................................. 151
Tableau 4-6: Bilan isotopique du combustible usé après un taux de combustion de 90000
MWd/t. ................................................................................................................................... 152
Tableau 4-7: Bilan isotopique du combustible usé après un taux de combustion de 54000
MWd/t. ................................................................................................................................... 155
162
LISTE DES TABLEAUX
Tableau 4-8: Comparaison des Kinf entre SRAC95 et MCNP5 de l’assemblage et du cœur
BWR-PB................................................................................................................................. 156
Tableau 4-9: Comparaison des Kinf entre SRAC95 et MCNP5 du cœur AFPR-100............ 156
163
LISTE DES FIGURES
Liste des figures
Figure 1-1: Les principales réactions induites par les neutrons dans les réacteurs nucléaires. 19
Figure 1-2: Représentation des maillages S4, S8, S16, et S32 sur un huitième de sphère
(respectivement, 24, 80, 288, 1088 mailles, donc ordonnées discrètes). ................................. 46
Figure 1-3: Représentation des flux à l'intérieur et sur les frontières de la maille, sur les faces
x et y.. ....................................................................................................................................... 47
Figure 1-4: Simulation de l’histoire d’un neutron par la méthode de Monte-Carlo ................ 85
Figure 3-1: La microsphère du combustible, TRISO, enrobée par une couche de mixture
d’eau-vapeur............................................................................................................................. 88
Figure 3-2: Section transversale de l’unité d’assemblage BWR-PB........................................ 90
Figure 3-3: Section longitudinale de l’unité d’assemblage BWR-PB...................................... 91
Figure 3-4: Géométrie de la cellule unitaire du BWR-PB. ...................................................... 92
Figure 3-5: Nombre de régions du calcul d’une cellule BWR-PB........................................... 93
Figure 3-6: Spectre neutronique au début du cycle de combustion (BOC). ............................ 98
Figure 3-7: Spectre neutronique à la fin du cycle de combustion (EOC). ............................... 99
Figure 3-8: Variation des concentrations en U235 en fonction du burnup pour les trois plans
d’assemblage. ......................................................................................................................... 103
Figure 3-9: Variation des concentrations en U238 en fonction du burnup pour les trois plans
d’assemblage. ......................................................................................................................... 104
Figure 3-10: Variation des concentrations en Pu239 en fonction du burnup pour les trois plans
d’assemblage. ......................................................................................................................... 105
d’assemblage. ......................................................................................................................... 105
d’assemblage. ......................................................................................................................... 106
Figure 3-13: Variation des sections efficaces macroscopiques d’absorption d’U235 en
fonction du burnup pour les trois plans d’assemblage. .......................................................... 106
Figure 3-14: Variation du Kinf pour chaque plan de l’unité d’assemblage du BWR-PB en
fonction Burnup...................................................................................................................... 107
Figure 3-15: Variation du Kinf pour chaque plan de l’unité d’assemblage du BWR-PB en
fonction Burnup jusqu’à 20000 MWd/t. ................................................................................ 109
Figure 3-16: Facteur de multiplication infini de l’unité d’assemblage de BWR-PB vs. Burnup.
................................................................................................................................................ 109
Figure 3-17: Rapport de Conversion Instantanée de chaque plan de l’unité d’assemblage... 110
Figure 3-18: Variation de l’Indice du Spectre de chaque plan de l’unité d’assemblage en
fonction du burnup. ................................................................................................................ 111
Figure 3-19: Section transversale du cœur de réacteur BWR-PB (modélisation CRONOS2).
................................................................................................................................................ 112
Figure 3-20: Facteur de Multiplication Infini du cœur de BWR-PB vs. Burnup [ MWd/t]... 113
Figure 3-21: Section longitudinale de l’unité d’assemblage en présence de l’oxyde du
gadolinium.............................................................................................................................. 121
Figure 3-22: Géométrie et structure de la microsphère du combustible. ............................... 122
Figure 3-23: Géométrie et structure de la microsphère du poison consommable.. ................ 122
Figure 3-24: Spectre neutronique de chaque plan de l’unité d’assemblage au BOC. ............ 123
Figure 3-25: Spectre neutronique de chaque plan de l’unité d’assemblage à l’EOC............. 124
164
LISTE DES FIGURES
Figure 3-26: Variation des concentrations en U235 en fonction du burnup dans les différents
plans d’assemblage................................................................................................................. 126
Figure 3-27: Variation des concentrations en Pu239 en fonction du burnup dans les différents
plans d’assemblage................................................................................................................. 126
Figure 3-28: Section efficace macroscopique d’absorption d’U235 en fonction du burnup. 127
Figure 3-29: Section efficace macroscopique d’absorption du Pu239 en fonction du burnup.
................................................................................................................................................ 127
Figure 3-30: Concentration en oxyde de gadolinium dans les plans 2, 3 et 4 de l’unité
d’assemblage. ......................................................................................................................... 128
Figure 3-31: Facteur de multiplication infini de l’unité d’assemblage de BWR-PB. ............ 129
Figure 3-32: Facteur de multiplication infini de chaque plan de l’unité d’assemblage de BWRPB. .......................................................................................................................................... 130
Figure 3-33: Rapport de Conversion Instantanée de chaque plan de l’unité d’assemblage de
BWR-PB................................................................................................................................. 131
Figure 3-34: Indice du spectre de chaque plan de l’unité d’assemblage de BWR-PB........... 132
Figure 3-35: Section longitudinale de l’unité d’assemblage BWR-PB avec (à gauche) et sans
poison consommable (à droite) modélisée par MCNP5......................................................... 132
Figure 3-36: Section transversale de l’unité d’assemblage BWR-PB (modélisation MCNP5).
................................................................................................................................................ 133
Figure 3-37: Description du réacteur AFPR-100. .................................................................. 134
Figure 3-38: Le 1/8 du cœur de réacteur AFPR-100 étudié. .................................................. 135
Figure 3-39: Section transversale du cœur AFPR-100 (modélisation SRAC95)................... 136
Figure 3-40: Spectre neutronique du cœur AFPR-100 au BOC et EOC................................ 137
Figure 3-41: Variation des concentrations en U235 en fonction du burnup. ......................... 138
Figure 3-42: Variation des concentrations en P239 en fonction du burnup........................... 139
Figure 3-43: Facteur de multiplication infini du cœur AFPR-100......................................... 140
Figure 3-44: Rapport de Conversion Instantanée du cœur AFPR-100. ................................. 141
Figure 4-1: Structure et dimensions de la macrosphére du SCF. ........................................... 143
Figure 4-2: Cellule adoptée pour le calcul neutronique du concept BWR-PB (modélisation
SRAC95). ............................................................................................................................... 145
Figure 4-3: Facteur de multiplication infini de la cellule BWR-PB. ..................................... 146
Figure 4-4: Spectre neutronique de la cellule BWR-PB au BOC. ......................................... 146
Figure 4-5: Spectre neutronique de la cellule BWR-PB à l’EOC. ......................................... 147
Figure 4-6: Rapport de Conversion Instantanée de la cellule BWR-PB. ............................... 148
Figure 4-7: Variation du Kinf pour chaque plan de l’unité d’assemblage de BWR-PB en
fonction Burnup...................................................................................................................... 149
Figure 4-8: Ecart relatif sur le Kinf pour chaque plan de l’unité d’assemblage de BWR-PB.
................................................................................................................................................ 149
Figure 4-9-a : Spectre neutronique au début du cycle de combustion (BOC). ..................... 150
Figure 4-9-b : Variation du flux neutronique thermique au début du cycle de combustion
(BOC). .................................................................................................................................... 150
Figure 4-10-a: Spectre neutronique à la fin du cycle de combustion (EOC). ........................ 151
Figure 4-10-b: Variation du flux neutronique thermique à la fin du cycle de combustion
(EOC). .................................................................................................................................... 151
Figure 4-11: Rapport de Conversion Instantanée de chaque plan de l’unité d’assemblage... 153
Figure 4-12: Facteur de multiplication infini de la cellule d’AFPR-100. .............................. 155
Figure 4-13 : Rapport de Conversion Instantanée de la cellule d’AFPR-100........................ 155
Figure 4-14: Spectre neutronique de la cellule d’AFPR-100 au BOC. .................................. 156
165
LISTE DES FIGURES
Figure 4-15: Spectre neutronique de la cellule AFPR-100 à EOC......................................... 156
Figure 4-16: Facteur de multiplication infini du cœur AFPR-100......................................... 158
Figure 4-17: Rapport de Conversion Instantanée du cœur AFPR-100. ................................. 159
Figure 4-18: Spectre neutronique du cœur AFPR-100 au BOC............................................. 159
Figure 4-19: Spectre neutronique du cœur AFPR-100 à EOC............................................... 160
Figure 4-20: Section transversale du cœur d’AFPR (modélisation MCNP5). ....................... 161
Figure 4-21: Section longitudinale du cœur d’AFPR (modélisation MCNP5). ..................... 162
166
Liste des publications et des communications
Journal
1. Abdelfettah Benchrif, Abdelouahed Chetaine, Hamid Amsil. “Benchmark Results for
the “BWR-Pb” Fuel Assembly Based on Pebble-Bed Coated Particles with Uranium
Dioxide and Gadolinia Poison”. Nuclear Engineering and Design 239 (2009) 1148–
1154. 6 February 2009.
Proceeding
1. A.Benchrif, A.Chetaine, H.Amsil, M.Bounakhla. “A Neutronic Assessment of the New
Spherical Cermets Fuel Concept for the BWR-Pb Reactor”. 14th annual topical
meeting on Research Reactor Fuel Management (RRFM). RRFM 2010 Transactions
pp 77-81, refers to ISBN 978-92-95064-10-2. 21 -25 March 2010, Marrakech,
Morocco.
2. T.Hirayama, Y.Shimazu (Hokkaido University, Japan), L.Erradi, A.Chetaine,
without On-Site Refuelling”. Proceeding vol. II, pp 6-13. First Conference on Physics
and Technology of Reactors and Applications (PHYTRA1), Marrakech (Morocco).
Mars 2007.
Communication
1. A.Benchrif, A.Chetaine, H.Amsil.” A neutronic assessment of the BWR-PB reactor
based on the spherical cermets fuel concept”. Conf. Second Conference on Physics
and Technology of Reactors and Applications (PHYTRA2), Fez (Morocco). 26-28
September 2011.
2. A.Benchrif, A.Chetaine, H.Amsil, M.Bounakhla. “A Neutronic Assessment of The
New Spherical Cermets Fuel Concept for the BWR-Pb Reactor”. 14th annual topical
meeting on Research Reactor Fuel Management (RRFM). 21 -25 March 2010,
Marrakech, Morocco.
3. A. Benchrif, A.Chetaine, H. Amsil. “Calcul des paramètres neutroniques de réacteur
nucléaire innovants « BWR-PB» avec et sans poison consommable.” 4ème Journée
Nationale de Physique des Réacteurs Nucléaire (JNPR4), Faculté des sciences Ain
Chock, Université Hassan II. 27-28 Mai 2008.
4. H. Amsil, A. Benchrif, A.Chetaine. “ Analyses des concepts de réacteurs innovants
PFPWR50 et FBNR, utilisant les codes APOLLO et CRONOS”. 4ème Journée
Nationale de Physique des Réacteurs Nucléaire (JNPR4), Faculté des sciences Ain
Chock, Université Hassan II Casablanca. 27-28 Mai 2008.
5. A.Chetaine, A. Benchrif, H. Amsil. “Study of BWR-Pb with TRISO and Cermet micro
fuel elements”. Research Coordination Meeting on Small Reactors Without On-site
Refuelling (SRWOR) Vienna, November 3-6, 2008.
167
6. A.Chetaine, A. Benchrif, H. Amsil. “Results for PFPWR50 with Cermet and Triso
fuel”. Research Coordination Meeting on Small Reactors Without On-site Refuelling
(SRWOR) Vienna, November 3-6, 2008.
7. T.Hirayama, Y.Shimazu (Hokkaido University, Japan), L.Erradi, A.Chetaine,
without On-site Refuelling”. Conf. First Conference on Physics and Technology of
Reactors and Applications (PHYTRA1), Marrakech (Morocco). Mars 2007.
168
Nuclear Engineering and Design 239 (2009) 1148–1154
Contents lists available at ScienceDirect
Nuclear Engineering and Design
journal homepage: www.elsevier.com/locate/nucengdes
Benchmark results for the “BWR-PB” fuel assembly based on pebble-bed coated
particles with uranium dioxide and gadolinia poison
Abdelfettah Benchrif ∗ , Abdelouahed Chetaine, Hamid Amsil
Physic Reactors Group, Department of Physics, Faculty of Sciences, University Mohamed V Agdal, 4 Avenue Ibn Battouta POB 1014, Rabat, Morocco
a r t i c l e
i n f o
Article history:
Received 26 September 2008
Received in revised form 29 January 2009
Accepted 6 February 2009
a b s t r a c t
This paper presents an innovative concept for a long life, boiling water reactor with pebble-bed coated
particles (BWR-PB), small nuclear reactor without open-vessel refuelling.
Small nuclear reactors without the need for on-site refuelling have a greater simplicity, better compliance with passive safety systems and are more adequate for countries with small electric grids and
limited investment capabilities. Besides, it will help the developing countries to develop their economy,
but at the same time these reactors must not lead to the proliferation of a nuclear material, which could
be used to fabricate weapons.
This study contributes to the evaluation of some neutronic parameters with the aim of predicting both
their static and dynamic behaviour before starting on concrete processes, an optimization of fuel assembly
parameters for fuel cycle characteristics improvement and a possibility of assembly lifetime extension.
In this work, all the parameters as well as infinite multiplication factor, spectrum index, neutron spectra
and instantaneous conversion ratio were calculated for the fuel assembly with gadolinia poison and
without any poison. The evaluation of this parameters shows that the fuel assembly life time can be
extended for a reasonably period without outside refuelling. So, the aim of BWR-PB concept was verified.
© 2009 Elsevier B.V. All rights reserved.
1. Introduction
To draw more attention to the small and medium sized reactors (SMRs) which use the coated particle fuel, the first Research
Coordination Meeting of the International Atomic Energy Agency’s
Coordinated Research Project (CRP) on “Small Reactors without Onsite Refuelling” was held from 21st to 25th November 2005 at the
Agency’s Headquarters in Vienna. The small reactors without onsite refuelling are defined as reactors which have a capability to
operate without refuelling for a reasonably long period (of 8–30
years), and with any fresh and spent fuel being stored at the site
outside the reactor during its service life.
In the BWR-PB reactor core calculation, the calculation of an
assembly average effective cross-section is required because it is
used commonly in core design (Tsuyoshi et al., 2002). The proposed concept of an innovative boiling water reactor (BWR-PB)
uses a microfuel particle. The latter is a set of small pebble-bed
coated particles type TRISO which was originally used in hightemperature gas-cooled reactors (HTGR), and is directly cooled by
boiling light water. The microfuel particles are spherical UO2 kernels surrounded by graphite coating layers needed to provide a
∗ Corresponding author. Tel.: +212 6 62 24 71 43.
E-mail address: [email protected] (A. Benchrif).
0029-5493/$ – see front matter © 2009 Elsevier B.V. All rights reserved.
doi:10.1016/j.nucengdes.2009.02.001
fission product containment, and the anti-corrosion barrier to keep
water out of the fuel kernel (Senor et al., 2007). The coated part of
graphite is selected for a moderation effect. The graphite is helpful
to reduce the fuel temperature rise by its large heat capacity in case
of a coolant loss accident (Tanihira and Shimazu, 2007).
The main advantage of this concept is that the excess reactivity is
suppressed during the burn-up cycle by the distribution of burnable
poison in the fuel. The burnable poison is a set of gadolinium oxide
particles (Gd2 O3 ) similar to microfuel ones.
In this work, a neutronic study is performed to assess the possibility of an extended life time assembly, and evaluate the fuel
assembly parameters during the improvement of the fuel cycle
characteristics.
2. Reactor design description and methodology used
2.1. Core design description
The core design of BWR-PB reactor is shown in Fig. 1. Distinctive
features of the present core are the following:
• Internal reservoir for fresh microfuel particles in upper part of
reactor vessel.
• Internal repository for spent microfuel particles is mounted upon
the vessel bottom.
A. Benchrif et al. / Nuclear Engineering and Design 239 (2009) 1148–1154
1149
Fig. 1. Vertical cross-section of the BWR-PB reactor core.
• Equipment for microfuel particles transition is inside the reactor
vessel.
The transversal cross-section of the core is given in Fig. 2, where
the square cross-section of the fuel assembly unit, with and without
guiding tubes, and its distribution can be observed.
2.2. Unit assembly design description
Fig. 3 presents a cross-section of the unit assembly proposed; it
is a square form with 6.25 cm pitch. The BWR-PB fuel assembly is
composed of a fuel kernel of uranium dioxide enriched with 235 U
of 9% and gadolinium oxide (Gd2 O3 ). Gadolinium oxide particles
are distributed in the pebble-bed of fuel micro-balls. The single fuel
assembly adopted uses pebble-bed coated particles similar to TRISO
fuel with an outer diameter of 0.09 cm. They consist of uranium
dioxide spheres coated with three layers. The inner and second layers are respectively porous and dense pyrolitic carbide and the outer
layer is silicon carbide (Fig. 4). In the fuel region, the coated particles
are dispersed in steam water. The volume fraction of fuel particles
to the fuel region is 60.0%.
Fig. 2. Transversal cross-section of the BWR-PB reactor core (C–C section).
1150
Table 1
Gadolinia oxide parameters in axial direction.
Plane 1
Plane 2
Plane 3
Plane 4
Plane 5
Height, cm
Fraction of poison balls, real units
Density of Gd2 O3 , g/cm3
Outer diameter of Gd2 O3 , mm
380–400
260–380
140–260
10–140
0–10
0
1/30
1/30
1/30
0
–
3.75
7.5
7.5
–
–
0.65
0.65
0.7
–
Fig. 5. Structure of gadolinia poison composition (gadolinium oxide particles with
surrounding layer of steam-water).
Fig. 3. Cross-section of BWR-PB fuel assembly with uranium dioxide fuel and
gadolinia poison.
The poison balls adopted has a TRISO form but with changing the uranium dioxide by the gadolinium oxide. The Structure
of gadolinium particles is shown in Fig. 5. Gadolinium is selected
as the burnable poison to obtain neutron absorption by its large
absorption cross-section (Tanihira and Shimazu, 2007). It has a nonuniformed distribution in the axial direction of the fuel assembly.
Fig. 4. Structure of fuel–water composition (TRISO coated particles with surrounding layer of steam-water).
The gadolinia vector used in the calculation is 155Gd, 156Gd and
157Gd. The parameters of gadolinia poison in axial direction are
listed in Table 1.
The main feature of BWR-PB fuel assembly concept is that the
excess reactivity is suppressed throughout a cycle by an initially
burnable poison in the fuel. Fig. 6 shows the longitudinal section
of BWR-PB fuel assembly with uranium dioxide fuel and gadolinia
poison. It is characterized by three principal axial parts with different coolant conditions. The coated particles in the fuel assembly
are directly cooled by a cross-flow of a steam water mixture, which
have non-uniformed density in the axial direction. In the lower zone
(planes 4 and 5) the boiling of coolant water is absent; its density
has a maximum value. Nevertheless, the upper zone (planes 1 and
2) has 12.5% steam quantity. Eight guiding tubes of control rods are
uniformly accommodate between coolant collectors.
2.3. Methodology used
The analysis of the assembly physics parameters started with
the APOLLO code by using the proposed unit cell. The APOLLO
(Beller et al., 2000) code was developed by CEA/DEN/SACLAY, as
a part of the French reactor calculations system SAPHYR. It uses
the CEA-93 cross-sections library based on the European JEF2.2
nuclear data file, containing the most recent and reliable evaluations available. The APOLLO code has the capability of taking into
account the real structure of the fuel with coated particles by calculating the flux inside the particles using the Pij method (probability
collision method). The resonance self-shielding and burn-up calculations in the microparticles are possible with the APOLLO code,
because each micro particle is explicitly represented. In this paper
the homogenization modeling has been used in the calculation. We
have adopted the following three regions: (1) fuel kernel, steamwater mixture and graphite coating layers as a fuel region, (2)
cladding region and (3) water coolant region. The double heterogeneity effect was not taken into account. The reflective condition
was used at the external boundary of the cell. To take into account
the resonance in the various cross-sections of the different nuclides
present in the fuel, the self-shielding calculations have been used,
1151
Fig. 8. Variation of gadolinia isotopes in upper, middle and upper regions of fuel
assembly.
3. Calculation results
3.1. Infinite multiplication factor
Fig. 6. Cross-section of BWR-PB fuel assembly with uranium dioxide fuel and
gadolinia poison.
and since the APOLLO code has several options, we have used the
recommended ones.
As a next step, the fuel assembly calculation is calculated by
CRONOS (Akherraz et al., 2002) code using the above cell constants,
and also the cross-sections generated by APOLLO code. The burnup characteristic is calculated by one CRONOS code. The latter was
designed to provide all the computation means necessary for the
calculations of the nuclear reactor core. The CRONOS code is based
on a modular structure that allows a great flexibility to the user.
It solves a diffusion equation for all available geometries (Cartesian, hexagonal and cylindrical) based on diffusion, transport SN
and simplified transport SPN theories.
The value of the thermal power of the fuel assembly used is equal
to 6.138 MW, which is averaged power level of 145 fuel assemblies
in core of BWR-PB reactor with total thermal power of 890 MW.
Fig. 7. Infinite multiplication factor in BWR-PB assembly.
Results of the infinite multiplication factor (kinf) predictions for
the modeled fuel assembly configuration versus the fuel assembly operation time (in MWd/t), and the comparison of kinf of the
fuel assembly with gadolinia poison and without any poison balls
are given in Fig. 7. The fuel assembly studied is subcritical at the
beginning of the cycle because of the presence of gadolinium poison. While the excess reactivity had to be kept as flat as possible
during the core life, it was found necessary to combine fuel assemblies with different concentrations of the gadolinia poison. For this
purpose, an evaluation of the fuel assembly parameters during the
improvement of the fuel cycle characteristics should have been
done.
The kinf of the fuel assembly with gadolinia has a hollow at the
beginning of cycle (BOC). The variations of gadolinia concentration
are shown in Fig. 8. At 20,000 MWd/t when the gadolinia entirely
burns, the kinf for both assemblies with and without gadolinia
converge to the same value. As seen in Fig. 7, the assembly, with
gadolinia poison, attains a critical lifetime at 48,000 MWd/t, of
approximately 10 equiv. full power years (EFPY). So, we can make
out that the excess reactivity at the beginning of cycle was well
suppressed. In addition, the lifetime was decreased, of about 1.2
EFPY, because of burnable penalty (Kim et al., 2007). The reason of
Fig. 9. Infinite multiplication factor for each fuel assembly’s axial part.
1152
Table 2
Hydrogen-to-heavy atoms ratio.
Height, cm
Hydrogen-to-heavy atoms ratio, real units
380–400
260–380
140–260
10–140
0–10
2.4
2.4
3.6
4.2
4.2
the burn-up steps. As gadolinia was burnt at 20,000 MWd/t (Fig. 8),
the spectrum index values for the planes with gadolinia converged
to those without gadolinia poison.
3.3. The instantaneous conversion ratio
Fig. 10. Spectrum index.
this penalty was that the initial concentration of fissile matter was
different in each fuel assembly (i.e. in the fuel assembly with and
without gadolinia poison).
Fig. 9 shows the variation of the infinite multiplication factor for
each fuel assembly’s axial part.
The graphs shows clearly, when excluding the part from the BOC
to 20,000 MWd/t burn up, that all the fuel assembly parts keeps the
same kinf gradient till the end. Table 2 shows hydrogen to heavy
atoms ratio in axial direction. So, the difference in kinf is due to the
non-uniformed moderation effect (Grishanin, 2007).
3.2. Spectrum index
The variation of spectrum index in function of the burn-up steps
is shown in Fig. 10. We define the spectrum index as a ratio between
fast and thermal fluxes. It can evaluate the moving degree of the
neutron spectrum to a thermal domain.
The graph illustrates the spectrum indexes for the assembly’s
planes 2–4 with gadolinia and the planes 1 and 5 without, started
at the BOC with different values. This difference is due to nonuniformed distribution of moderator in the axial direction (Table 2).
From the beginning of the cycle, the spectrum index for the planes
2–4 decreases steadily until 20,000 MWd/t burn-up. This decrease
can be explained by the augmentation of the thermal flux during
The instantaneous conversion ratio (I.C.R.) is calculated from the
BOC to the EOC during burn-up steps for each plane of BWR-PB
assembly. It evaluates the regeneration of the combustible during
the burn-up. On the other hand, it is defined as the ratio between
the neutron capture of fertile matter and the neutron absorption of
fissile matter.
Fig. 11 shows the instantaneous conversion ratio versus the
burn-up steps. Until 20,000 MWd/t, the assembly’s planes 2–4 with
poison balls has the same I.C.R. gradient. The I.C.R. values decrease
with the burn-up, and then increase until the EOC. This decrease
and increase in the I.C.R. values are due to the gadolinia burn with
the burn-up steps. From 20,000 MWd/t to the EOC, the I.C.R. rises
for each one of the planes with poison balls with different gradients. The I.C.Rs. of both planes, with and without poison, get slightly
closer to each other. The I.C.R. values of the planes 1–5 at the EOC
are, respectively, 0.906, 0.899, 0.739, 0.692, and 0.701. So, the fuel
fertile matter is more exploited from the bottom to the top.
3.4. Neutron spectrum
Figs. 12 and 13 compare the neutron spectra of all the assembly’s planes at the BOC and the EOC, and also show the spectrum
changes during a fuel burn up. The spectra were calculated for 172
energy groups. The figures demonstrate hard neutron spectra of
all planes at the BOC and the EOC. The plane 1 has the hardest
spectrum. The spectra differ according to the planes they belong
to. The non-uniformed moderation effect maybe leads to differ-
Fig. 11. Instantaneous conversion ratio.
1153
Fig. 12. Flux/lethargy vs. neutron energy in different parts of representative assembly at BOC.
Fig. 13. Flux/lethargy vs. neutron energy in different parts of representative assembly at EOC.
ent spectra of fuel assemblies’ planes. On the other hand, at the
lower zone, the coolant density has a maximum value, hydrogento-heavy metal ratio is equal to 4.2 and neutron energy spectrum
is the most thermal. At the middle zone, hydrogen-to-heavy metal
ratio is equal to 3.6 due to decreasing of coolant density, which
hardens the neutron spectrum. At the upper zone of fuel assembly,
hydrogen-to-heavy metal ratio is equal to 2.4 and neutron spectrum
is nearly epithermal.
excess reactivity is suppressed using gadolinia poison with penalty
of 1.2 EFPY.
We are going to continue our study of the benchmark problem
using a new fuel design (Spherical Cermet Fuel), and also evaluate
the fuel cycle characteristics of the BWR-PB core.
4. Conclusion
Akherraz, B., Baudron, A.M., Lautard, J.J., Magnaud, C., Moreau, F., Schneider, D.,
2002. CRONOS 2.5: le Guide de l’utilisateur. Rapport DM2S, SERMA/LENR/RT/023133/A, CEA, August 02, 2002 (in French).
Beller, P., Coste, M., Magnaud, C., Stankcvski, Z., Buiron, L., Hebert, A., Nicolas, A.,
Zmijarevic, I., 2000. APOLLO2: Manuel de Référence de la Version 2.5. Rapport
DMT, SERMA/LENR/RT/99-2718/A, CEA. Juin 13, 2000 (in French).
Grishanin, E., 2007. Depletion Benchmark for a 2D BWR-PB Fuel Assembly Model.
VNIIAM, Russian Federation, March 19, 2007.
The evaluation of fuel assembly neutronic parameters reveals a
good agreement with the goal of BWR-PB concept. It is found out
that the fuel assembly lifetime can be extended to a reasonably long
period without being refueled, approximately up to 10 EFPY. The
References
1154
Kim, Y., Cho, C., Venneri, F., 2007. Long-cycle and high-burnup fuel assembly for the
VHTR. Journal of Nuclear Science and Technology 44 (3), 294–302.
Senor, D., Cuta, J., Painter, C., Adkins, H., Geelhood, K., Matson, D., Wootan, D., Abrego,
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Prepared for the U.S. Department of Energy under Contract DE-AC05-76RL01830,
December 2007.
Tanihira, I., Shimazu, Y., 2007. Small PWR using coated particle fuel of thorium and plutonium. Journal of Nuclear Science and Technology 44 (8),
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Tsuyoshi, A., Hideaki, H., Toshikazu, T., 2002. Effect of radial void distribution within
fuel assembly on assembly neutronic characteristics. Journal of Nuclear Science
and Technology 39 (January (1)), 904–1000.

P - Toubkal

Transcription

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