TP. Circuits magnétiques
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TP. Circuits magnétiques
Université Joseph Fourier Grenoble 1 : Master Pro Ingéniérie des Systèmes Magnétiques TP. Circuits magnétiques On va retrouver quelques propriétés essentielles des circuits magnétiques. On terminera par l’application des concepts sur un cas concret : le dimensionnement d’une inductance de lissage. 1 Présentation théorique On se propose d’illustrer l’analogie entre le comportement d’un circuit électrique et le comportement d’un circuit magnétique. Le circuit électrique est constitué d’un générateur de force électromotrice ug et de différentes résistances Ri . Le circuit magnétique est constitué d’un bobinage de n spires parcouru par un courant i et de différents éléments magnétiques souvent réalisés à base de fer (cf figure). On supposera dans la suite que les éléments magnétiques sont à section constante Si et caractérisés par une longueur li. On montre que tout comme élément 2 Rm2 φ l’application d’une force électromotrice Ug entraîne la élément 1 élément 3 Ig circulation d’un courant Rm1 électrique I dans un circuit Rm3 n spires S3 électrique, la circulation d’un courant Ig dans la nIg φ bobine génère une force magnétomotrice nIg qui Rm4 élément 4 entraîne la circulation d’un Représentation équivalente Circuit magnétique flux magnétique φ à travers Figure 1 : principe de l’analogie magnétique-électrique le circuit magnétique. Le flux est canalisé dans les éléments magnétiques tout comme le courant i est canalisé dans les fils et résistances. On peut définir dans chaque élément un champ H (analogue à E) appelé champ d’excitation magnétique. H est relié à la densité de flux B -encore appelé induction magnétique- par la relation Bi = φ / Si = µi Hi (1) µi = conductivité magnétique de l’élément i, encore appelée perméabilité, analogue à la conductivité électrique σi définie par ji = I / Si = σi Ei où ji désigne la densité de courant dans l’élément i. On exprime souvent la perméabilité sous la forme µi = µ0 µri où µ0 représente la perméabilité du vide égale à 4π 10-7 u.s.i. et µri la perméabilité relative de l’élément i. C’est une caractéristique du matériau; d’autant plus grande que le matériau est bon conducteur du champ d’induction magnétique. Chaque élément est caractérisé par sa reluctance Rmi, grandeur analogue à la résistance dans les circuits électrique et donnée dans le cas de lignes de flux s’écoulant parallèlement dans l’élément par : Rmi = li / (µi Si) (2) On peut rapprocher cette expression de la formulation de la résistance d’un fil électrique de section Si; longueur li réalisé dans un matériau de conductivité électrique σi : Ri = li / (σi Si). Remarque : La reluctance d’un élément constitué par de l’air s’écrira Rm = l / (µ0 S) et prendra donc une valeur finie de sorte que le flux magnétique arrive à circuler à travers cet élément. L’air apparaît donc simplement comme un mauvais conducteur du flux magnétique. C’est là une différence importante avec les circuits électriques pour lesquels l’air a une résistivité pratiquement infinie. Avec (1) et (2) on obtient Rmi φ = Hi li = différence de potentiel magnétique appliquée à l’élément i (3) Enfin, par le jeu des reluctances équivalentes, on peut toujours se ramener à une juxtaposition d’éléments magnétiques en série. La force magnétomotrice totale appliquée par la bobine au circuit s’écrira donc en sommant les ddp sur tous les éléments de la maille : 1 Université Joseph Fourier Grenoble 1 : Master Pro Ingéniérie des Systèmes Magnétiques n Ig = ∑ Hi li (4) On retrouve ici le fameux théorème d’Ampère. On retiendra de manière synthétique : circuit électrique circuit magnétique densité de courant j champ d’induction B champ électrique E champ d’excitation H 2 conductivité σ perméabilité µ courant électrique i flux d’induction φ fem u résistance R fmm ni reluctance Rm Partie pratique Le circuit magnétique étudié est représenté ci-dessous. On dispose de deux bobines excitatrices (123 et 590 ou 855 spires suivant la maquette). On dispose de trois bobinages de mesures disposés sur le noyau (30 ou 10 spires suivant la maquettes) et sur les jambes de retour (13 spires). Une sonde à effet Hall permet; pour les manips avec entrefer; de mesurer le champ dans l’air. Dans tout le TP; on choisira d’alimenter la maquette à l’aide d’un courant de fréquence égale à 30 Hz. On prendra garde de toujours disposer le shunt de manière à ce qu’il présente un point à la masse. n3 bobine de mesure φ3 ← i Rc bobine excitatrice n1 A entrefer 21 Résistance de charge Ampli de puissance n2 Rsh e2 φ2 ← sonde à effet Hall et coffret amplificateur Figure 2 : description de la maquette A’ e a Entrefer nul Pour ces manips on prendra la précaution de maintenir les différents éléments du circuit magnétique à l’aide d’un serrejoints. On choisira d’alimenter le bobinage de 123 spires. 211 A G prise d’information Rc générateur bf Rsh shunt → φ1 noyau ferromagnétique G φ3 ← c d Conservation du flux On va vérifier le principe de la conservation du flux. Pour mesurer le flux φi qui circule dans un élément ferromagnétique on dispose autour de cet élément un bobinage de mesure composé de ni spires et on enregistre la tension délivrée reliée au flux par la relation de Faraday ei = - ni dφi / dt (5) En fait, on se contentera de vérifier la conservation au niveau des grandeurs dérivées. 2 → φ1 φ2 ← fig. 3 : flux de fuite entre le bras central et les bras latéraux (entrefer nul) Université Joseph Fourier Grenoble 1 : Master Pro Ingéniérie des Systèmes Magnétiques On choisira d’alimenter le bobinage de 123 spires pour des courants d’amplitude max. inférieures à 0,5 A et on tracera les courbes dφ1/dt tmax = f(Imax) et d(φ2+φ3) / dt max = g(Imax). Le déficit constaté sur φ2 + φ3 par rapport à φ1 correspond au flux magnétique qui ne se reboucle pas par les bras du circuit. Il s’agit d’un flux de « fuites » dont la figure 3 donne une représentation. On donnera son importance relative. On vérifiera ensuite pour un courant donné que la conservation du flux est vérifiée de manière instantanée en comparant les courbes dφ1 / dt et d(φ2 + φ3) / dt, les signaux étant enregistrés à l’aide du logiciel wavestar avant d’être rapatriés sur ordinateurs puis dépouillés à l’aide des logiciel Kaléidagraph ou Origine. Enfin, on procédera à l’enregistrement des signaux dans un cas ou le circuit magnétique est clairement saturé et on analysera la forme des signaux obtenus. 212 Etude de l’hystérésis On va tracer le cycle d’Hystérésis du matériau, à savoir la courbe B(H) dont la pente nous donne la perméabilité en accord avec la relation (1). Pour cela, on sera amené à réaliser une intégration numérique du signal ei = - ni dφi / dt à l’aide du logiciel Origine. A l’aide des dimensions indiquées, on remontera facilement à a’ l’induction B(t). a’ = 68 mm b = 30 mm c = 10 mm d = 38 mm d φ3 ← Reste à déterminer H : En vous aidant de la conservation du flux (on négligera les fuites), montrez que l’induction B est la même en tout point du b parcours pointillé. Compte tenu du fait que on reste toujours dans le même matériau, il en va donc de même pour H. En utilisant le théorème d’Ampère sur ce contour, montrez que l’on a alors la relation : n i = 2 H (a’ + b) c → φ1 (6) A partir des enregistrements ush(t) et e1(t), on déduira la courbe B(H). On travaillera de préférence dans un cas saturé et on déduira de la courbe la perméabilité relative du fer. 213 φ2 ← Détermination de µr par la réluctance Figure 4 φ1 Le schéma ci-contre représente la situation de la figure 4. Montrez que la réluctance totale du circuit s’écrit finalement a’+b Rm = µ0 µrf cd (7) Montrer par ailleurs que l’inductance L d’un bobinage de n spires associé à un circuit magnétique de reluctance Rm s’écrit : L = n2 / Rm φ3 φ2 Rm1 Rm2 Rm3 nig (8) On vérifiera expérimentalement que la valeur de l’inductance est conforme au calcul. 22 Entrefer non nul On travaillera dans cette partie avec la bobine de 590 (ou 855) spires. Pour mesurer le flux qui circule dans l’entrefer; on ne dispose pas de la place nécéssaire à la mise en place d’une bobine de mesure. On utilise donc une sonde à effet Hall. Le coffret délivre sur la face arrière un signal proportionnel au champ d’induction B. Un champ de 1T correspond à 1V. 2 2 1 Caractérisation des fuites Comme on l’a vu plus haut, on qualifie de flux de fuite un flux qui ne traverse pas la région supposée. On va ici pousser l’analyse des fuites et analyser plus précisément la situation en présence d’un entrefer variable qui donne lieu à d’autres fuites qu’on se propose de quantifier. 3 Université Joseph Fourier Grenoble 1 : Master Pro Ingéniérie des Systèmes Magnétiques On appelle souvent « flux utile » le flux canalisé dans la région dont l’extension latérale coïncide avec la surface des éléments ferromagnétiques en vis-à-vis. On donnera une estimation de l’amplitude du flux φu canalisé par cette région et on comparera au flux φ2 obtenu dans la même branche à l’aide du bobinage. Le déficit correspond à la portion de flux qui n’est pas confinée dans cette région et qui transite en débordant de l’entrefer comme indiqué sur la figure ci-dessous. Elle constitue elle aussi un flux de fuite et sera notée φσ. On mettra en évidence son existence à l’aide de la sonde à effet Hall. La détermination analytique de ces fuites est un exercice délicat. On comparera pour différentes valeurs d’entrefer et un courant de 1 A sur le bobinage de 590 spires la mesure à l’expression approchée : pe φσ / φu = 1,7 S a a+e a = 27 mm c = 10 mm d = 38 mm 222 Détermination de la réluctance Rmiu 1 + φσ/φu → φ1 φ2 ← Fig. 6 (10) φ1 On établira à l’aide de (10) l’expression de Rm1 et Rm2 = Rm3 en fonction des grandeurs a, c, d. On passera alors à l’application numérique en exprimant toutes les longueurs en mm et on vérifiera l’expression de la reluctance totale 1 1 Rm = Rm1 + Rm2 / 2 ≈ 7,35 106 e ( 27 + 8e + 27 + 12,6e ) φ3 φ2 Rm1 Rm2 (11) ( e en mm ) Etude d’une inductance de lissage i L ug On veut réaliser une inductance L destinée à lisser un courant ondulé: On se propose d’illustrer la fonction de lissage en étudiant le courant qui traverse une charge - représentée ici par une résistance Rc = 12 Ωdans la situation suivante : Rm3 nig Vérification expérimentale : on tracera la courbe Rm = n ig / φ1 pour 1 < e < 3 mm et on comparera à la courbe théorique. 223 d φ3 ← c On va déterminer la réluctance du circuit de la figure 6. Les arcs de cercle figurent les flux de fuite associés aux entrefers. On considère dans un premier temps que la perméabilité du fer est suffisamment grande pour que l’on puisse négliger la réluctance des noyaux de fer devant celle des régions entrefer. Le circuit étudié se représente alors sous la forme ci-dessous où Rm1, Rm2 et Rm3 représentent les réluctances associées aux différents entrefers. En remarquant que chaque réluctance se présente comme la mise en parallèle de deux reluctances Rmiσ (correspondant aux fuites) et Rmiu (flux canalisé dans l’entrefer); on établira l’expression : Rmi = e a p = périmètre du bras = 2 (c+d) S = section du bras = cd (9) Rc Figure 7 : illustration de la fonction de lissage La tension d’alimentation est de type continue avec une composante sinusoïdale « parasite » u = U0 + ∆U cos2πft f = 30 Hz U0 = 12 V Cette tension provoque la circulation d’un courant continu I0 superposé à une composante alternative parasite d’amplitude ∆IL. On veut minimiser cette ondulation. Quelle valeur d’inductance faut-il pour obtenir ∆IL/∆I = 12 %, ∆I désignant l’amplitude de l’ondulation en l’absence de L ? Réalisation de l’inductance A partir de la géométrie de la figure 2 on envisage différentes solutions techniques : * Inductance à noyau de fer sans entrefer 4 Université Joseph Fourier Grenoble 1 : Master Pro Ingéniérie des Systèmes Magnétiques Etudiez les performances de la self obtenue avec le bobinage de 123 spires et le circuit sans entrefer sur une onde alternative sur laquelle on a superposé un courant continu. Conclure sur les limites de cette solution. * Inductance à noyau de fer avec entrefer On envisage maintenant de réaliser notre inductance en ménageant un entrefer de longueur e dans le circuit. Comme on l’a vu, la présence de cet entrefer conduit à une forte augmentation de la réluctance du circuit ce qui conduit à augmenter le nombre de spires du bobinage pour réaliser la valeur de L désirée. Cette contrainte est largement compensée par le fait que cette augmentation de Rm conduit à une forte diminution du flux qui circule sous l’action du courant continu I0 de sorte que le matériau magnétique travaille à un niveau d’induction B0 en deça du coude de saturation, donc avec une perméabilité bien définie. Reste à dimensionner l’inductance, c’est-à-dire à choisir les valeurs de n et e les mieux adaptées pour obtenir la valeur de L recherchée. N étant fixé (590 spires), c’est donc e qu’on fera varier pour obtenir la self désirée. Le réglage se fera de manière expérimentale sur une onde de tension alternative. Etudiez les performances de la self obtenue sur une onde alternative sur laquelle on a superposé un courant continu. Conclure sur l’intérêt de cette solution. 5