INTEGRATION NUMERIQUE

1ère année - ISITV
Analyse Numérique
INTEGRATION NUMERIQUE
1. Introduction
Les méthodes d’intégration numérique sont en général utilisées soit pour intégrer une
fonction analytique mais dont on ne peut pas connaître la primitive, soit pour intégrer une
fonction connue uniquement sous forme discrète (issue de mesures expérimentales par
exemple).
Les techniques d’intégration numérique sont souvent basées sur la propriété d’égalité
entre la valeur de l’intégrale et l’aire (signée) sous la courbe.
y= f(x)
I+
x
I−
2. Méthode des trapèzes
2.1. Formule classique
On considère une fonction f(x) définie sur un intervalle [a, b] et dont on veut calculer
b
l’intégrale I = ∫ f ( x)dx sur ce même intervalle. La méthode des trapèzes consiste à diviser
a
l’intervalle [a, b] en une série d’intervalles [xi −1 , xi ] , à remplacer la courbe y = f (x) par un
segment de droite, et à calculer l’aire du trapèze ainsi obtenu :
y = f(x)
f (xi )
∫xi −1 f ( x)dx ≈ f (xi −1 )∆xi + 2 [ f (xi ) − f (xi −1 )]∆xi
f (xi−1)
≈
x
xi−1
Chap. 3
1
xi
xi
f ( xi −1 ) + f ( xi )
∆xi
2
avec ∆x i = x i − x i −1
35
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Si l’intervalle d’intégration est divisé en n intervalles ( x0 = a, x1, K xn −1, xn = b ), on
somme les aires de tous les trapèzes :
b
I = ∫ f ( x)dx ≈
a
1 n
∑ ( f i −1 + f i )∆xi
2 i =1
en notant
f i = f (xi )
En supposant que tous les intervalles sont égaux ( ∆xi = ∆x =
I=
b−a
), on obtient :
n
∆x
[( f 0 + f1 ) + ( f1 + f 2 ) + K + ( f n−2 + f n−1 ) + ( f n−1 + f n )]
2
Toutes les valeurs fi sont répétées deux fois, sauf la première et la dernière. La formule
d’intégration par la méthode des trapèzes est donc :
b
∫a
f ( x)dx ≈
n −1 
∆x 
+
+
f
f
2
 0
∑ fi 
n
2 
i =1 
2.2. Formule avec correction aux extrémités
En utilisant un développement de Taylor au premier ordre, on peut montrer que la
formule des trapèzes est en fait :
n −1 
d2 f
(
∆x )2
∆x 
4
(
)
∫a f ( x)dx = 2  f 0 + f n + 2 ∑ f i  − 12 b − a dx 2 (x ) + o(∆x )
i =1 

b
où x ∈ [a, b ]
En estimant la dérivée seconde par :
df
df
(b) − (a )
d f
dx
(x ) ≈ dx
2
b
a
−
dx
2
on obtient la formule des trapèzes avec correction aux extrémités :
b
∫a
f ( x)dx ≈
n −1 
(∆x )2
∆x 
 f0 + f n + 2∑ fi  −
2 
12
i =1 
df
 df

 dx (b) − dx (a)


Cette estimation de l’intégrale devient une méthode d’ordre 4 (premier ordre négligé)
alors que la formule classique était une méthode d’ordre 2. Par contre, elle nécessite la
connaissance des dérivées aux bornes de l’intégrale (si la fonction est dérivable en ces points).
Si on n’a que des valeurs numériques discrètes, il faudra estimer les dérivées par des
différences finies (vues dans un autre cours).
Chap. 3
36
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3. Méthode de Simpson
La méthode de Simpson consiste à remplacer la courbe y = f (x ) par un arc de parabole
sur l’intervalle [xi −1 , xi +1 ] , puis à intégrer la fonction ainsi obtenue sur l’intégrale :
y
f (xi )
f (xi+1)
y= f(x)
f (xi−1)
y=ax2+bx+c
x
xi−1
xi
xi+1
x 
x 
x 
L’arc de parabole passant par les trois points M i −1  i −1  , M i  i  et M i +1  i +1  , on peut
 f i −1 
 fi 
 f i +1 
calculer son équation et l’intégrer facilement sur l’intervalle [xi −1 , xi +1 ] puisque c’est un
polynôme d’ordre 2. En prenant un intervalle constant en x ( ∆x = xi +1 − xi = xi − xi −1 ), on
obtient :
Ii = ∫
xi +1
xi −1
f ( x)dx ≈
∆x
( f i −1 + 4 f i + f i +1 )
3
(démonstration en T.D.)
Pour un intervalle [a, b] (tel que x0 = a, x1, K xn −1, xn = b ), l’intégrale sera :
b
x2
a
x0
I = ∫ f ( x)dx = ∫
f ( x)dx + ∫
x4
x2
f ( x)dx + K + ∫
xn
xn − 2
f ( x)dx ≈ I1 + I 2 + K + I n −1
Puisque les intégrales prennent en compte deux intervalles à la fois, il faudra obligatoirement
que le nombre total d’intervalle n soit pair. L’évaluation de l’intégrale sera :
I≈
∆x
[( f0 + 4 f1 + f 2 ) + ( f 2 + 4 f3 + f4 ) + K + ( f n−2 + 4 f n−1 + f n )]
3


n−2
n −1

∆x 
I≈
 f (a) + f (b) + 4 ∑ f (x i )+ 2 ∑ f ( x i )
3 

i =2
i =1

i pair 
i impair
Chap. 3
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n −1
n −1


2
2
∆x 
ou I ≈
f (a) + f (b) + 4 ∑ f ( x 2k +1 ) + 2 ∑ f ( x 2k )

3 
k =0
k =1


La méthode de Simpson est une méthode d’ordre 4, et elle est exacte pour l’intégration
de polynômes jusqu’à l’ordre 3.
4. Méthode de Romberg
4.1. Principe de la méthode
La méthode de Romberg est basée sur le fait que l’intégrale d’une fonction f(x) peut
s’écrire sous la forme :
b
I = ∫ f ( x)dx = T (∆x ) + c 2 (∆x )2 + c 4 (∆x )4 + K
a
où T (∆x ) =
n −1

∆x 
 f (a) + f (b) + 2 ∑ f (a + i∆x) est l’évaluation de l’intégrale par la méthode
2 

i =1
des trapèzes et les coefficients ci dépendent de la fonction et de ses dérivées.
Si on divise l’intervalle ∆x par 2, on obtient pour l’intégrale I :
2
4
 ∆x 
 ∆x 
 ∆x 
I = T   + c2   + c4   + K
 2 
 2 
 2 
d’ou :
T (∆x ) = I − c (∆x )2 − c (∆x )4 − K
2
4

2
  ∆x 
(
(
∆x )
∆x )4
− c4
−K
T   = I − c 2
4
16
  2 
Si on multiplie par 4 la deuxième équation et qu’on retranche la première, on élimine le terme
d’ordre 2 et on obtient :
I=
 1
1   ∆x 
4T   − T (∆x ) − c4 (∆x )4 − L

3  2 
 4

1   ∆x 
4T   − T (∆x ) est donc une approximation de l’intégrale au 4ème ordre

3  2 

(premier ordre négligé).
La valeur T ' =
4.2. Procédure
On va noter les approximations de la méthode des trapèze T p, q où p désigne le rang de
Chap. 3
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l’évaluation (à partir d’autres T) et 2 q −1 désigne le nombre d’intervalles (après q divisions).
On aura :
m


∆x 
T1,q =
 f (a ) + f (b) + 2∑ f (a + i∆x )
2 


i =1

b−a
∆x = q −1
2

m = 2 q −1 − 1


et
T1,1 =
pour q ≥ 2
b−a
[ f (a) + f (b)]
2
Pour économiser du calcul, on a la formule de récurrence :
1
b−a m 
b − a
T1, q +1 = T1, q +
f a + (2i + 1)
∑

2
2q i =0 
2q 
ce qui revient en gros à rajouter les calculs effectués sur les points intermédiaires.
Les valeurs de T pour p ≥ 2 sont déduites des valeurs à p − 1 par la formule généralisée
(déduite de T ' ) :
T p,q =
1
4
p −1
−1
(4 p−1T p−1,q+1 − T p−1,q )
On a alors le schéma de calcul suivant :
T1,1
T1,2
T2,1
T2,2
T1,3
T1,n
T 3,1
Tn,1
On s’arrête lorsque deux valeurs Tn −1,1 et Tn,1 sont suffisamment proches l’une de
l’autre. La valeur Tn,1 sera l’approximation de l’intégrale I.
5. Intégration sur un pas quelconque
Les valeurs numériques d’une fonction que l’on veut intégrer ne sont pas toujours
Chap. 3
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connus en des points régulièrement espacés. C’est souvent le cas lorsque ces valeurs sont
issus de données expérimentales. Les méthodes classiques d’intégration numérique ne sont
alors plus applicables, et il faut utiliser une méthode prenant en compte des points
quelconques.
5.1. Principe de la méthode
On a vu que pour les méthodes des trapèzes et de Simpson, on pouvait exprimer
l’intégrale dans un petit intervalle ( [xi −1 , xi ] ou [xi −1 , xi +1 ] ) en fonction d’une combinaison
des valeurs de la fonction f ( x) aux points considérés. La méthode d’intégration sur un pas
quelconque utilise cette particularité. Elle consiste à approcher la fonction par un polynôme
de degré n sur un intervalle [x 0 , x n ] ⊂ [a, b] ( n + 1 points xi ), puis à estimer l’intégrale par
une combinaison des f ( xi ) .
y
y= f(x)
IN
I1
Ii
x
x0 x1
a
xn
b
On écrit alors :
xn
∫x0 f ( x)dx ≈ a 0 f 0 + a1 f1 + K + a n f n
Le calcul de l’intégrale n’est qu’approché pour une fonction f ( x) quelconque, mais il doit
être exact pour un polynôme de degré inférieur ou égal à n. Notamment, on doit avoir :
 f ( x) = 1



 f ( x) = x

M

 f ( x) = x n

⇒
xn
∫x0 1dx = x n − x 0 = a 0 + a1 + K + a n
x n2 − x 02
⇒ ∫ xdx =
= a 0 x 0 + a1 x1 + K + a n x n
x0
2
xn
⇒
xn n
x dx
x0
∫
=
x nn +1 − x 0n +1
n +1
= a 0 x 0n + a1 x1n + K + a n x nn
On obtient alors un système linéaire de rang n + 1 , dont les inconnues sont les ai :
Chap. 3
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1
x
 0
 M
 n
 x0
x n − x0

L 1  a0  
2
2


xn − x0
K x n   a1  

2
 =


O M  M 
M


n
+
1
n
+
1
 
L x nn  a n   x n − x 0

( n +1) 

1
x1
M
x1n
(
)
(
)
Une fois le système résolu, on peut calculer l’intégrale dans l’intervalle [x0 , x n ]. En
collant les intervalles, et donc en additionnant les intégrales, on obtient l’intégrale totale sur
l’intervalle [a, b] . Il faudra faire attention que le nombre total d’intervalles soit divisible par le
nombre d’intervalles n utilisé dans la méthode. De façon générale, il ne faut pas utiliser un
nombre n trop grand.
5.2. Méthode de Simpson à pas quelconque
Dans la méthode de Simpson à pas quelconque, on utilise un polynôme d’ordre 2 pour
l’équation de la parabole passant par 3 points ( xi −1 , xi et xi +1 ). On aura le système suivant à
résoudre :
 1

 xi −1
x 2
 i −1
1
xi
xi2
1 

xi +1 
xi2+1 


a 0   xi +1 − xi −1 
2
2
 a  =  xi +1 − xi −1 
2
 1 

a 2   xi3+1 − xi3−1 
3 

(
(
)
)
En résolvant ce système, on trouve les coefficients a0 , a1 et a 2 . On peux ensuite exprimer
l’estimation de l’intégrale :

(h + hi +1 )2
h + hi +1 
h
f ( x)dx ≈ i
f i + i (2hi +1 − hi ) f i +1 
(2hi − hi +1 ) f i −1 + i
6hi
hi +1
hi +1


xi +1
∫xi −1
hi = xi − xi −1 et hi +1 = x i +1 − xi
où
Dans le cas d’un pas constant ( hi = hi +1 = ∆x ), on retrouve l’expression de la méthode
de Simpson classique, vue au chapitre précédent.
6. Problèmes des limites infinies
6.1. Intégration sur un domaine infini
Un problème surgit lorsque l’on veut calculer numériquement une intégrale dont une
borne est infinie, par exemple :
I =∫
+∞
a
Chap. 3
f ( x)dx
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en s’étant bien sûr assuré au préalable que l’intégrale est convergente. La technique classique
consiste à séparer l’intégrale en deux parties :
b
+∞
a
b
I = ∫ f ( x)dx + ∫
f ( x)dx
la première partie étant calculée numériquement grâce à une des méthodes exposées
précédemment. Il faut choisir la borne b suffisamment grande de telle sorte que la deuxième
partie de l’intégrale soit négligeable devant la première, de façon à avoir :
b
I ≈ ∫ f ( x)dx
a
Pour savoir si la valeur de b est suffisamment grande, on peut calculer l’intégrale :
∆I = ∫
2b
b
f ( x)dx
et comparer ∆I à I. Après plusieurs valeurs de b, lorsque
∆I
≈ 0 on peut négliger le second
I
terme.
y
y= f(x)
I
a
(∆I )(1)
(0)
(∆I )(2)
2b
b
x
3b
I (1) = I (0) + (∆I )(1)
I ( 2) = I (1) + (∆I )(0)
6.2 Singularités dans l’intégrande
On considère une fonction f ( x) présentant une singularité dans l’intervalle [a, b] où on
veut l’intégrer, par exemple en c ∈ [a, b] . Malgré la présence de cette singularité, la fonction
est intégrable sur l’intervalle donné.
La meilleure méthode consiste à traiter algébriquement la singularité en l’éliminant par
une technique de calcul (intégration par parties, changement de variables, …). Si ce n’est pas
possible, on intègre numérique en excluant une zone autour de la singularité :
Chap. 3
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b
ε1
a
a
I = ∫ f ( x)dx ≈ ∫
f ( x)dx + ∫
b
ε2
f ( x)dx
où c ∈ ]ε1, ε 2 [ et ε1 ≈ c ≈ ε 2 . Il faudra choisir ε1 et ε 2 ‘’suffisamment’’ proches de c pour
que la valeur de l’intégrale calculée soit proche de la réalité. On peut utiliser des techniques
similaires à celle utilisée pour les domaines infinis.
Chap. 3
43