TES 2016 06 amerique du Nord_complet

Amérique du Nord Juin 2016
Exercice I
Partie A
1° arbre pondéré
issues
∩
1
0,28
G
0
∩
∩
0,75
0,52
0,25
∩
0,2
∩
D
∩
= 1 et
Données : p(G) =0,28 ; p(C) = 0,52
=0
Donnée déduite :
= 0,25
= 0,7
Donnée supplémentaire :
∩
2°
=
×
= 0,52 × 0,75 = 0,39
3° a) est la réunion de ∩
Donc
=
∩ +
∩
=
= 0,28
∩
=
b) on calcule
−
∩
, ∩
∩ +
∩
∩
−
= 0,7 − 0,28 − 0,39 = 0,03
∩
qui sont deux à deux incompatibles
0,03
= 0,15
0,2
La probabilité qu’un automobiliste empruntant la voie de droite passe le péage en moins de 10 secondes est
0,15.
=
∩
= 0,75
=
Partie B
1° suit la loi normale = 120 ! = 7,5
120 < < 130 ≈ 0,409
2° % > 138 = 0,5 − % 120 < ≤ 138 ≈ 0,008
La probabilité qu’un automobiliste soit sanctionné est 0,008
Exercice 2 (5 points) Candidats de la série ES non spécialité et candidats de la série L
Une société propose un service d’abonnement pour jeux vidéo sur téléphone mobile.
Le 1er janvier 2016, on compte 4 000 abonnés.
À partir de cette date, les dirigeants de la société ont constaté que d’un mois sur l’autre, 8% des anciens
joueurs se désabonnent mais que, par ailleurs, 8 000 nouvelles personnes s’abonnent.
1. Calculer le nombre d’abonnés à la date du 1er février 2016.
8
4000 × (1 −
) + 8000 = 11680
100
Pour la suite de l’exercice, on modélise cette situation par une suite numérique +, où +, représente le
nombre de milliers d’abonnés au bout de n mois après le 1er janvier 2016.
La suite +, est donc définie par :
+- = 4 et, pour tout entier naturel n, +,./ = 0,92+, + 8
2. On considère l’algorithme suivant :
Variables :
N est un nombre entier naturel
U est un nombre réel
Traitement :
U prend la valeur 4
N prend la valeur 0
Tant que U < 40
U prend la valeur 0,92×U +8
N prend la valeur N +1
Fin Tant que
Sortie :
Afficher N
a. Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.
Les valeurs de U seront arrondies au dixième.
11,7 18.7
25.2
31.2
36.7
41.8
Valeur de 0 4
Valeur de N 0
1
2
3
4
5
6
Condition
Vraie Vrai Vrai
Vrai
Vrai
Vrai
Faux
0 < 40
b. Valeur affichée en sortie : 6
Interprétation : selon ce modèle, c’est au bout de 6 mois, en juillet, que le nombre d’abonnés dépassera
40000
3. On considère la suite 1, définie pour tout entier naturel n par 1, = +, − 100
a. Montrer que la suite 1, est géométrique de raison 0,92 et calculer son premier terme 1- .
Pour tout 2 de
1,./ = +,./ − 100
= 0,92+, + 8 − 100
= 0,92 +, − 92
92
= 0,92 (+, −
)
100
= 0,92 +, − 100
= 0,92 1,
On en déduit que la suite 1, est géométrique de raison 3 = 0,92 et de 1er terme 1- = +- − 100 = −96
b. Donner l’expression de 1, en fonction de 2.
La suite 1, étant géométrique
1, = 1- × 3 ,
1, = −96 × 0,92,
c. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a +, = 100 − 96 × 0,92,
on a 1, = +, − 100 donc +, = 1, + 100
d’où +, = −96 × 0,92, + 100
4. En résolvant une inéquation, déterminer la date (année et mois) à partir de laquelle le nombre d’abonnés
devient supérieur à 70 000.
On résout
+, > 70
⟺ −96 × 0,92, + 100 > 70
⟺ −96 × 0,92, > −30
−30
⟺ 0,92, <
−96
⟺ 0,92, < 0.3125
⟺ ln 0,92, < ln 0,3125
⟺ 2 × ln 0,92 < ln 0,3125
ln 0,3125
⟺2>
ln 0,92
89 -,:/;<
≈ 13,94
De plus
89 -,=;
Le plus petit entier solution est 14
On en déduit que c’est au bout de 14 mois, en février 2017 que le nombre d’abonnés dépassera 70000.
Exercice 3
1. On choisit au hasard un nombre réel dans l’intervalle [10 ; 50]. La probabilité que ce nombre appartienne
à l’intervalle [15 ; 20] est :
<
>
>
>
a. <b. ?
c. @A
d. B
la variable aléatoire N désignant le nombre obtenu suit la loi uniforme sur [10 ; 50] ( choix au hasard)
20 − 15
5
1
15 ≤ F ≤ 20 =
=
=
50 − 10 40 8
Réponse b
2. Le prix d’un produit est passé de 200 € à 100 €.
Cette évolution correspond à deux baisses successives et identiques d’environ :
a. 50% b. 25% c. 29% d. 71%
on teste les réponses
50 ;
200 × (1 −
) = 50 ≠ 100
100
200 × 1 − 0,25 ; = 112,5 ≠ 100
200 × 1 − 0,29 ; = 100,82 ≈ 100
Réponse c
3. le signe de H donne les variations de toutes ses primitives
0
2
18
I
−
0
+
H I
Toutes les primitives sont croissantes sur [2 ; 18], donc aussi sur [10 ; 12]
Réponse d
4° L’intervalle de confiance donné a une amplitude de 0,1
On sait que l’amplitude est
;
√,
pour un échantillon de taille 2
On teste les réponses
2
2
≈ 0,31
= 0,1
√40
√400
Réponse b
Exercice 4 (6 points) Commun à tous les candidats
Partie A : Étude d’une fonction
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0; 1,5E par
H I
9I ; 1 2 ln I
10
La courbe représentative de f est donnée ci-dessous :
1. a. Dérivée :
Pour I ∈ E0; 1,5E
HL I
18I
1
2 ln I
18I 36I ln I
36I ln I
( 2
18I
1
)
I
9I ;
0
b. Étudier le signe de f ′(x) sur l’intervalle E0; 1,5E.
0
1
I
0
36I
||
0
+
ln I
H′ I
||
1,5
0
c. Déduire de la question précédente les variations de la fonction f sur l’intervalle E0; 1,5E.
On en déduit que la fonction H est croissante sur E0; 1E et décroissante sur C1; 1,5E
2. On admet que H LL I
36 ln I 36 où f ′′ désigne la dérivée seconde de la fonction f sur l’intervalle
E0; 1,5E.
Montrer que la courbe représentative de la fonction f admet un point d’inflexion dont l’abscisse est N/
On étudie le signe de H′′ I
N/
36 ln I 36 0 ⟺ 36 ln I 36 ⟺ ln I
1⟺I
36 ln I
I
H′′ I
36 & 0 ⟺
0
||
36 ln I & 36 ⟺ ln I "
On en déduit :
H′′ I s’annule et change de signe en
N/
1⟺I"
N/
1,5
0
N/
, donc le point OP
N/
;H
N/
Q est un point d’inflexion de
R
3. Soit F la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; 1,5] par
S I = 10I + 5I : − 6I : ln I
a. Montrer que F est une primitive de la fonction f sur ]0 ; 1,5].
Pour tout I ∈] 0 ; 1,5]
1
S L I = 10 + 15I ; − 18I ; × ln I + × −6I :
I
= 10 + 15I ; − 18I ; ln I − 6I ;
= 10 + 9I ; − 18I ; ln I
= 10 + 9I ; 1 − 2 ln I
=H I
Ainsi la fonction S est une primitive de H sur ]0 ; 1,5]
/.<
b. Calculer T/ H I UI
/.<
On donnera le résultat arrondi au centième.
V H I UI = S 1,5 − S 1
/
= 15 + 5 × 1,5: − 6 × 1,5: ln 1,5 − 10 + 5 − 0
= 16,875 − 20,25 ln 1,5
≈ 8,67
Partie B : Application économique
Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.
Une société est cotée en bourse depuis un an et demi.
Le prix de l’action depuis un an et demi est modélisé par la fonction f définie dans la partie A, où x
représente le nombre d’années écoulées depuis l’introduction en bourse et f (x) représente le prix de l’action,
exprimé en euros.
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la
réponse.
Proposition 1 :
« Sur la période des six derniers mois, l’action a perdu plus d’un quart de sa valeur. »
H 1 = 19 H 1,5 ≈ 13,829
13,829 − 19
× 100 ≈ −27,2
19
L’action a perdu 27%
De sa valeur donc plus du quart.
Affirmation vraie
Proposition 2 :
« Sur la période des six derniers mois, la valeur moyenne de l’action a été inférieure à 17 €. »
/.<
W
1
1
=
× V H I UI =
× 8,67 ≈ 17,33 > 17
1,5 − 1
0,5
/
Affirmation fausse