Sujet A 1 La fonction ALEA sous Excel 2 Simulation

IUT Ponsan
GEA 2ème année (module Test d’hypothèses)
TP de mathématiques
Sujet A
-Nommez votre fichier par les 2 noms de familles de votre binôme (ou votre nom si vous êtes seul).
-Sauvegardez très régulièrement votre travail.
-Envoyez moi par mail votre fichier à la fin de la séance avec comme sujet ”TP info nom 1, nom 2 .”
-Vous pouvez rajouter des commentaires (si nécessaire) dans votre fichier.
-Pour comprendre le fonctionnement et la syntaxe des fonctions d’excel utiles et citées dans le sujet, consulter
l’aide.
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La fonction ALEA sous Excel
Exercice 1
Excel contient une fonction aléatoire appelé ALEA. Cet exercice propose de s’interesser à cette variable aléatoire
ainsi qu’à sa loi.
1. Taper dans quelques cellules = ALEA(). Dans quel intervalle cette v.a semble appartenir ?
2. Estimer sa moyenne naı̈vement (approche fréquentiste) à l’aide de 10 tirages ? De 30 tirages ?
3. En utilisant une formule de la variance qui l’a fait apparaı̂tre comme une moyenne, estimer la variance en
vous basant sur un échantillon de taille 10, puis de taille 30.
4. Comparer les résultats de 2 et 3 avec respectivement :
Z 1
Z 1
1
x dx et
(x − )2 dx.
2
0
0
5. Effectuer 100 tirages de cette variable aléatoire et regrouper par classe d’amplitude 0,2 sur l’intervalle
[0; 1] les effectifs correspondants. Calculer les fréquences et fréquences cumulées croissantes. (On utilisera
la fonction FREQUENCE d’excel, attention à sa validation par ctrl+ shift + entrée !)
6. Representer graphiquement l’histogramme des fréquences puis sur un autre graphe l’histogramme des
fréquences cumulées croissantes. Refaire (sur un repère différent) le graphe correspondant aux mêmes
données mais avec le type de graphique ligne .
7. Reprendre les questions 5 et 6 avec des classes d’amplitude 0,1 puis 0,05
Remarque : En prenant des classes d’amplitude de plus en plus petite, les courbes des graphes précédents
tendent respectivement vers le graphe de deux fonctions. Comment nomme t’on ces deux fonctions ?
8. Quelle est à votre avis la fonction de densité f de la v.a ALEA() ? et la fonction de répartition ?
9. Soit λ ∈ [0; 1] . En Revenant aux histogrammes (regroupement par classes) et à l’aide d’une approche
fréquentiste, exprimer P(ALEA < λ) à l’aide de f.
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Simulation
Exercice 2
On considère le jeu suivant : 2 joueurs A et B lancent chacun 10 fois un dès (équilibré). On note respectivement
XA et XB , les v.a représentant la somme des chiffres des faces supérieures obtenues. Le joueur obtenant la plus
grande somme gagne. Simuler une partie de ce jeu sous Excel sous la forme suivante :
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Chaque case doit contenir le tirage du joueur correspondant et la cellule inférieure fusionnée doit automatiquement indiquer le joueur vainqueur.
(On utilisera la fonction SI d’excel)
Exercice 3
Deux personnes A et B jouent chacun au pile ou face. A joue avec une pièce équilibrée tandis que B joue avec
une pièce biaisée. La pièce de B tombe sur pile avec probabilité 0,7. Chacun lance 100 fois la pièce.
1. Simuler cette première étape pour les 2 joueurs.
2. Compter dans chaque cas le nombre de piles obtenus à l’aide de la fonction NB.SI()
3. Calculer le rapport, nombre de piles obtenus/nombre total de lancers. Conclusion ? Est ce que cela vous
surprend ?
4. Désormais on ne s’intéresse plus qu’au joueur de type B. On considère 108 joueurs B1 , ..., B108 jouant
chacun 100 fois avec la pièce biaisée. Simuler les 100 lancers des 108 joueurs et faire apparaı̂tre le nombre
de piles obtenus pour chaque joueur.
5. Regrouper par classe d’amplitude 10 à partir de 0 et jusqu’à 100 les effectifs des nombres de piles obtenus.
[On utilisera la fonction fréquence d’excel, que l’on valide par ctrl+ shift+ entrée, voir l’aide]
6. Tracer l’histogramme des fréquences du nombre de piles obtenus.
7. Soit X une v.a suivant une loi Binomiale(100 ; 0, 7). A l’aide de la fonction loi.BINOMIALE, calculer
P[ 10k < X 6 10(k + 1) ] pour k = 0...9 puis tracer l’histogramme correspondant. Comparer avec
l’histogramme obtenu à la question 5.
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