Statistiques industrielles Management de la production et de la qualité

MSP
Statistiques industrielles
Management de la production et de la qualité
François Kauffmann
Université de Caen Normandie
11 décembre 2016
[email protected] UCBN
MSP
11 décembre 2016
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Première partie I
MSP
Capabilité
Capabilités des processus et des
systèmes de mesures
Hypothèses
Etude de capabilité
Capabilités
Int. Confiance
Index
Capabilité des processus
Index
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MSP
Chapitre
Capabilité
Hypothèses
Etude de capabilité
Capabilités
Int. Confiance
Index
Capabilité des processus
Hypothèses
Etude de capabilité
Indices de capabilités
Intervalles de confiance
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MSP
Paragraphe
Capabilité
Hypothèses
Etude de capabilité
Capabilités
Int. Confiance
Index
Capabilité des processus
Hypothèses
Etude de capabilité
Indices de capabilités
Intervalles de confiance
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MSP
Processus stable et sous-contrôle
Capabilité
Hypothèses
Etude de capabilité
Capabilités
Int. Confiance
Index
On suppose que le processus est contrôlé par une statistique de
qualité quantitative Xt avec nt mesures pour l’échantillon t. On
suppose que les mesures individuelles doivent être toutes
comprises
I
entre une valeur maximale Ts (tolérance supérieure) ou
USL (Upper Specification Limit) et
I
une valeur minimale Ti (tolérance inférieure) ou LSL
(Lower Specification Limit).
On construit une carte aux mesures avec un risque de première
espèce α = 0.27%.
I
est stable : la loi de Xt est constante gaussienne de
moyenne µ0 et d’écart type σ0
I
est sous-contrôle toutes les statistiques sont dans entre les
limites de contrôle ∀tYt ∈ [LCLt , UCLt ]
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Paragraphe
Capabilité
Hypothèses
Etude de capabilité
Capabilités
Int. Confiance
Index
Capabilité des processus
Hypothèses
Etude de capabilité
Indices de capabilités
Intervalles de confiance
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Etude de capabilité
Capabilité
Hypothèses
Etude de capabilité
Capabilités
Int. Confiance
Index
Etude de la capabilité d’un procédé
Sous les hypothèses précédentes, c’est à dire le procédé n’est
affecté que des causes communes, toute les causes spéciales
pouvant affecter le processus ayant été éliminées. Cette
situation correspond à la meilleure performance de
fabrication possible.
I
Est ce que le processus est stable ?
I
Est ce que la distribution des mesures est une loi normale
constante ?
I
La proportion de non conformes, c’est à dire ne respectant
pas les tolérances.
I
Calcul d’indices de capabilités mesurant la capacité du
procédé à respecter les tolérances.
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Exemple
Capabilité
Hypothèses
Mesure d’une longueur d’une pièce
Etude de capabilité
Capabilités
Int. Confiance
Index
Une machine fabrique des pièces dont on mesure une
dimension. Cette axe doit respecter les spécifications suivantes
78mm ± 12. 100 échantillons de 5 mesures ont été effectuées.
Etudier la capabilité de cette machine.
Fichier :http://www.math.unicaen.fr/~kauffmann/data/msp-capabilite-etude.csv
1
2
3
4
5
6
X1
74.38
77.38
73.61
82.60
77.92
73.66
X2
74.40
76.86
73.33
77.28
74.28
83.24
X3
78.21
82.95
82.57
75.48
68.24
85.94
X4
80.01
72.82
83.99
75.28
82.82
82.30
X5
80.68
83.71
74.47
75.25
75.16
75.31
xbar
77.54
78.74
77.59
77.18
75.68
80.09
R
6.30
10.89
10.66
7.35
14.58
12.28
Table : Premiers échantillons
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Exercice
Capabilité
Hypothèses
Etude de capabilité
Capabilités
Int. Confiance
Index
1. Etudier la stabilité, la maitrise statistique du processus ?
2. Calculer l’étendue de chaque échantillon
3. Calculer la moyenne x̄ et l’étendue de chaque échantillon R.
4. Calculer la moyenne des moyennes x̄¯ et l’étendue moyenne R̄.
5. Calculer une estimation de l’écart type σ
b=s=
R̄
d2 (n=5)
6. Construire un histogramme de toutes les observations, ajouter la
densité d’une loi normale de moyenne x̄¯ et d’écart type s. Est ce
que la distribution des données est bien approximée par une loi
normale.
7. Construire un diagramme de type ”probability plot”, doit-on
refuser l’hypothèse que les observations suivent une loi normale ?
8. Calculer P1 = Pr ([X < Ti ]), P2 = Pr ([X > Ts ]) ou
X ∼ N (x̄¯, s). En déduire la proportion moyenne de pièces
défectueuses. Si on fabrique un million de pièces quel sera le
nombre moyen de pièces défectueuses.
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Exemple
Capabilité
Hypothèses
Histogram of X.vecteur
Etude de capabilité
0.12
Capabilités
Int. Confiance
0.06
0.00
0.02
0.04
Density
0.08
0.10
Index
65
70
75
80
85
90
X.vecteur
Figure : Densité
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Exemple
Capabilité
Hypothèses
Etude de capabilité
normal probability plot
Capabilités
Int. Confiance
●
●
●
0.99
probability
Index
●
●●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
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●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.95
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.05
0.01
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
normal
mean 76.78
sd 3.66
AD 0.33
pvalue 0.51
●
●
●
65 70 75 80 85 90
x
Figure : Probability plot
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Exemple
Capabilité
Hypothèses
Etude de capabilité
Capabilités
Int. Confiance
Index
Ti
65
Ts
70
75
80
85
90
Figure : Densité
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Exemple
Capabilité
Hypothèses
xbar Chart
for X[, variables]
Etude de capabilité
82
Capabilités
UCL
Int. Confiance
●
●
80
Index
●
●
●
●
●
●
78
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
CL
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
76
●
●
●
●
● ●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●●
74
Group summary statistics
●
●
●
●
●
●
●
●
●
72
●
LCL
●
●
1
6
12
19
26
33
40
47
54
61
68
75
82
89
96
Group
Number of groups = 100
Center = 76.78358
StdDev = 3.65546
LCL = 71.87927
UCL = 81.68789
Number beyond limits = 1
Number violating runs = 3
Figure : Carte xbar
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Paragraphe
Capabilité
Hypothèses
Etude de capabilité
Capabilités
Int. Confiance
Index
Capabilité des processus
Hypothèses
Etude de capabilité
Indices de capabilités
Intervalles de confiance
[email protected] UCBN
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Indice de capabilité Cp
Capabilité
Hypothèses
Etude de capabilité
Capabilités
Int. Confiance
Index
On considère un processus stable et sous-contrôle contrôlé par
une mesure X avec un risque de première espèce de α = 0.27%
On suppose que
I
la distribution de X peut être modélisée par une normale
de moyenne µ et d’écart type σ.
I
Ces mesures doivent satisfaire les spécifications suivantes
Ti ≤ X ≤ Ts .
On appelle indice de capabilité Cp du processus contrôle par X
Cp =
Ts − Ti
6σ
Si l’écart type est inconnu, on le remplace par une estimation
cp = Ts − Ti
C
6b
σ
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Indice Cp
Capabilité
Hypothèses
Etude de capabilité
Capabilités
Int. Confiance
Index
L’indice de capabilité est le rapport entre
I la longueur Ts − Ti de l’intervalle de tolérance [Ti , Ts ].
I la longueur UCL − LCL = 6σ de l’intervalle de contrôle
[LCL, UCL] d’une carte aux mesures avec un risque de
première espèce α = 0.27%.
Ts − Ti
90 − 66
Cp =
=
=∼ 1.28
6σ
87 − 69
LCL= 69
mu= 78
UCL= 87
TI= 66
65
[email protected] UCBN
TS= 90
70
MSP
75
80
85
90
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Processus Cp -capable
Capabilité
Hypothèses
Etude de capabilité
Capabilités
Int. Confiance
Index
Définition
On dit que le processus stable et sous-contrôle ayant un indice
de capabilité Cp est Cp -capable si Cp ≥ 1, on peut le qualifier
de
2 ≤ Cp
4/3 <≤ Cp 2
1.0 ≤ Cp < 4/3
Cp < 1
très performant
bon
acceptable
inaceptable
Table : Qualification de la Cp -capabilité
Dans l’exemple précédent la capabilité Cp est de 1.28, on peut
dire que le processus est acceptable.
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Indice de capabilité Cpk
Capabilité
Hypothèses
Etude de capabilité
Avec les mêmes hypothèses que précédemment On appelle
indice de capabilité Cpk du processus contrôle par X
Capabilités
Int. Confiance
Index
Cpl =
µ − Ti
3σ
Cpk
Ts − µ
3σ
= min(Cpl , Cpu )
µ − Ti Ts − µ
= min(
)
3σ
3σ
Cpu =
Si µ, σ sont inconnus on les remplace des estimations
b − Ti Ts − µ
b
bpk = min( µ
C
)
3b
σ
3b
σ
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Processus Cpk -capable
Capabilité
Hypothèses
Etude de capabilité
Capabilités
Int. Confiance
Index
Définition
On dit que le processus stable et sous-contrôle ayant un indice
de capabilité Cpk est Cpk -capable si Cpk ≥ 1, on peut le
qualifier de
capabilité
2.5 < Cp
2 ≤ Cp < 2.5
4/3 ≤ Cp < 2
1.0 ≤ Cp < 4/3
Cp < 1
qualité
excellent
très performant
bon
acceptable
inaceptable
intervalle
±7.5σ
±6σ
±4σ
±3σ
trop de pièces défecteuses
Table : Qualification de la Cpk -capabilité
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Exemple décentrage
Capabilité
Hypothèses
Etude de capabilité
Capabilités
Int. Confiance
Index
Une spécification pour une longueur d’une monture est de
50mm ± 6mm La statistique de qualité longueur est supposée
statistiquement maitrisée et l’estimation de l’écart type est de
1.15mm. Par contre la moyenne va varier de 48.5 mm à 53 mm,
le processus n’est donc pas stable. On va voir que les indices de
capabilités peuvent nous aider à détecter ce changement.
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Capabilité
Cp= 1.74
Cpk= 1.16
Hypothèses
Etude de capabilité
Capabilités
Int. Confiance
Index
LCL= 44.6
mu= 48
TI= 44
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UCL= 51.4
TS= 56
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Paragraphe
Capabilité
Hypothèses
Etude de capabilité
Capabilités
Int. Confiance
Index
Capabilité des processus
Hypothèses
Etude de capabilité
Indices de capabilités
Intervalles de confiance
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Intervalle de confiance de Cp
Capabilité
Hypothèses
Etude de capabilité
Capabilités
Int. Confiance
Index
On considère que l’on a processus stable contrôlé par par la
statistique X Si la statistique de contrôle X peut être
modélisée par une loi normale de moyenne µ et d’écart type σ
alors un intervalle de confiance de niveau α de Cp est :
s
s
χ2(1−α)/2,n−1
χ21−(1−α)/2,n−1
cp
cp
≤ Cp ≤ C
C
n−1
n−1
ou
I
I
χ2(1−α)/2,n−1 est le quantile d’ordre (1 − α)/2 d’une loi du
χ2 à n − 1 degrés de libertés.
cp est estimé à partir de l’écart type d’échantillonage s
C
fondé sur n échantillons.
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Exemple
Capabilité
Hypothèses
Etude de capabilité
Capabilités
Int. Confiance
Index
On dispose d’une estimation du coeffient de capabilité de
cp = 1.58 calculé à partir de n = 20 échantillons. Calculer un
C
intervalle de confiance de niveau 95% de Cp .
I
1 − α = 0.05. Il faut calculer les quantiles d’ordre
(1 − α)/2 = 2.5% et 1 − (1 − α)/2 = 97.5% d’une loi du
χ2 à 19 degrés de libertés.
χ20.025,n−1 ∼ 8.9, χ20.975,n−1 ∼ 32.8
I
un
de confiance de niveau α = 95% est de
q
q intervalle
8.9
32.8
[ 19 ,
19 ] ∗ 1.58 On a donc 95 chances sur cent que le
vrai coefficient de capabilité Cp se trouve dans l’intervalle
[1.08, 2.076]
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cp
Valeurs minimales C
Capabilité
Hypothèses
Etude de capabilité
Capabilités
Int. Confiance
Index
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Cp (ref )
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
2.20
2.40
3.00
n=10
1.32
1.65
1.97
2.30
2.63
2.96
3.29
3.62
3.95
4.94
n=20
1.10
1.37
1.64
1.92
2.19
2.47
2.74
3.01
3.29
4.11
n=30
1.02
1.28
1.54
1.79
2.05
2.30
2.56
2.82
3.07
3.84
n=40
0.99
1.23
1.48
1.72
1.97
2.22
2.46
2.71
2.96
3.70
n=50
0.96
1.20
1.44
1.68
1.92
2.16
2.40
2.64
2.88
3.61
n=60
0.94
1.18
1.42
1.65
1.89
2.12
2.36
2.60
2.83
3.54
n=
0
1
1
1
1
2
2
2
2
3
cp requises pour avoir
Table : Valeurs minimales de C
H0 (Cp > Cp (ref )) avec un risque de se tromper de moins de α = 5%
en fonction du nombre d’échantillons.
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Intervalle de confiance de Cpk
Capabilité
Hypothèses
Etude de capabilité
Capabilités
Int. Confiance
Index
Soit un processus stable contrôlé par par la statistique X qui
être modélisée par r
une loi normale de moyenne µ et d’écart type
1
1
+ 2(n−1)
alors une approximation
σ. En posant A =
d
2
9nCpk
qui de devient de plus en plus précise quand n devient
grand de l’ intervalle de confiance de niveau α de Cpk est
d
d
C
pk (1 − z1−(1−α)/2 A) ≤ Cpk ≤ Cpk (1 + z1−(1−α)/2 A)
I
I
z1−(1−α)/2 est le quantile d’ordre 1 − (1 − α)/2 d’une loi
normale centrée réduite
cp est estimé à partir de l’écart type d’échantillonage s
C
fondé sur n échantillons.
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Exemple
Capabilité
Hypothèses
Etude de capabilité
Capabilités
Int. Confiance
Index
On dispose d’une estimation du coeffient de capabilité de
d
C
pk = 1.58 calculé à partir de n = 20 échantillons. Les
tolérances sont [740, 760], calculer un intervalle de confiance de
niveau 95% de Cpk .
I
1 − α = 0.05. Il faut calculer le quantile d’ordre
1 − (1 − α)/2 = 97.5% d’une loi du normale centrée
réduite z0.975 ∼ 1.98.
I
A ∼ 0.169
I
un intervalle de confiance de niveau α = 95% est de
[1 − 1.98 ∗ 0.169, 1 + 1.98 ∗ 0.169] ∗ 1.58 = On a donc 95
chances sur cent que le vrai coefficient de capabilité Cpk se
trouve dans l’intervalle
[1.03, 2.06]
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Capabilité
Hypothèses
Etude de capabilité
Capabilités
Int. Confiance
Index
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Cpk(ref)
0.80
1.00
1.21
1.40
1.60
1.80
2.00
1.34
2.50
3.00
4.00
n10
1.36
1.68
2.00
2.32
2.64
2.97
3.29
2.21
4.10
4.92
6.55
n20
1.13
1.40
1.66
1.93
2.20
2.48
2.75
1.84
3.43
4.11
5.47
n50
0.99
1.22
1.46
1.70
1.93
2.17
2.41
1.62
3.01
3.61
4.81
n100
0.93
1.15
1.37
1.60
1.82
2.05
2.28
1.52
2.84
3.41
4.54
n250
0.88
1.09
1.31
1.52
1.74
1.95
2.17
1.45
2.71
3.25
4.33
n500
0.86
1.07
1.28
1.49
1.70
1.91
2.12
1.42
2.64
3.17
4.23
n1000
0.84
1.05
1.25
1.46
1.67
1.88
2.08
1.39
2.60
3.12
4.16
d
Table : Valeurs minimales requises pour l’indice C
pk permettant
d’affirmer que le processus est Cpk -capable selon l’indice souhaité
dans 95% des cas
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Capabilité
6
Hypothèses
Etude de capabilité
Capabilités
Cpk.chap
1
2
3
4
5
Int. Confiance
Index
n10
n20
n50
n100
n250
n500
n1000
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
Cpk
d
Figure : C
pk minimale dans 95% des cas
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Chapitre
Capabilité
Hypothèses
Etude de capabilité
Index
Capabilités
Int. Confiance
Index
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Index I
Capabilité
Hypothèses
Etude de capabilité
Capabilités
Int. Confiance
Index
Capabilité
risque α, 5
sous contrôle, 5
stabilité, 5
Tolérance, 5
inférieure, LSL , Ti, 5
supérieure, USL,Ts, 5
Indice de capabilité
Cp
Cp capable, 17
définition, 16
exemple, 20
intervalle de confiance, 23
Intervalle de confiance Cp > Cp (ref ), 25
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Index II
Capabilité
Hypothèses
Etude de capabilité
Capabilités
Int. Confiance
Index
Cpk
Cpk capable, 19
définition, 18
Intervalle de confiance, 26
Intervalle de confiance Cpk > Cpk (ref ), 28
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