CORRIGÉ DE L`EXERCICE 2, PLANCHE 0 On définit la suite par

CORRIGÉ DE L’EXERCICE 2, PLANCHE 0
On définit la suite par récurrence an+2 = an + an+1 , a0 = 0, a1 = 1. On définit bn =
va montrer par récurrence que pour tout n ≥ 1,
bn+2 ≤ bn si n pair
bn+2 ≥ bn si n impair
an+1
an
(n ≥ 1). On
Calculons les premiers termes de la suite. a2 = 1, a3 = 2, a4 = 3, a5 = 5, et donc
5
3
b1 = 1, b2 = 2, b3 = , b4 = .
2
3
Pour n = 1 la thèse est vraie. Supposons que la thèse est vraie pour un certain n, on va la prouver pour
n + 1. Si n = 2k − 1, donc n impair,
1
1
a2k−1
a2k+1
a2k + a2k−1
a2k+2 + a2k+1
b2k−1 ≤ b2k+1 ⇒ 1 +
≥ 1+
⇒ 1+
≥ 1+
⇒
≥
b2k−1
b2k+1
a2k
a2k+2
a2k
a2k+2
a2k+1
a2k+3
⇒
≥
⇒ b2k ≥ b2k+2
a2k
a2k+2
et donc la thèse est vraie pour n + 1 = 2k qui est pair. Le cas de n pair est similaire.
De façon similaire, on montre que b2k+1 ≤ b2k pour tout k. On a donc une suite extraite {b2k } décroissante et minorée, et une suite {b2k+1 } croissante et majorée. Les deux suites sont donc convergentes vers
des limites ` et m respectivement. Concernant la première suite,
a2k+1
a2k−1
1
1
b2k =
= 1+
= 1+
= 1+
a2k
a2k
b2k−1
1+ b 1
2k−2
et si on passe à la limite on obtient
√
1
1± 5
` = 1+
⇒`=
2
1 + 1`
√
mais comme il s’agit d’une suite à termes positifs, forcément ` = 1+2 5 . On fait pareil pour la suite
{b2k+1 } et on obtient le même résultat. Ceci implique que
√
1+ 5
bn →
lorsque n → +∞.
2
1