Démonstration de l`Inégalité de Cauchy

Démonstration de l’Inégalité de Cauchy-Schwarz
Jill-Jênn VIE
November 12, 2005
Inégalité de Cauchy-Schwarz.
Soient a1 , . . . , an et b1 , . . . , bn deux suites de nombres réels. Alors :
(a21 + . . . + a2n )(b21 + . . . + b2n ) ≥ (a1 b1 + . . . + an bn )2 .
Démonstration.
Soient a1 , . . . , an et b1 , . . . , bn deux suites telles que ∀n ≥ 1, an , bn sont réels.
On note :
n
X
P (x) =
(ak + xbk )2
k=1
Ainsi l’équation P (x) = 0 admet une unique racine simple :
x=−
Le quotient
ak
bk
ak
bk
étant constant ∀k ∈ {1, n}. Sinon, il n’y a pas de racines.
D’autre part,
P (x) =
=
n
X
(a2k + 2xak bk + x2 b2k )
k=1
n
X
!
b2k
2
x +2
k=1
n
X
n
X
!
ak bk x +
k=1
a2k
k=1
Ainsi, en posant P (x) = 0,
∆ = 4
n
X
!2
ak bk
−4
k=1
n
X
k=1
1
!
a2k
n
X
k=1
!
b2k
Or, on a montré que l’équation P (x) = 0 n’admettait qu’une racine
simple, donc :
∆ ≤ 0
4
n
X
!2
ak bk
k=1
−4
n
X
!
a2k
k=1
n
X
!
b2k
≤ 0
k=1
n
X
!2
ak bk
≤
n
X
k=1
k=1
Ce qui conclut.
2
!
a2k
n
X
k=1
!
b2k