Sujets des ateliers MATh.en.JEANS 2015
Transcription
Sujets des ateliers MATh.en.JEANS 2015
Sujets des ateliers MATh.en.JEANS 2015-2016 Liceo Umberto I di Torino– Italy – 20 élèves Enseignants : Baderna Annalisa e Laiolo Patrizia Chercheurs : Paolo Boggiatto / Università di Torino Lycée d'Altitude de Briançon – France – 51 élèves Enseignants : Hubert PROAL et Mickael Lissonde Chercheurs : PETIT Camille / INP à Valence et Yves Papegay / INRIA, Sophia Antipolis Lycée Français Jean Giono de Turin – Italie – 17 élèves Enseignants : Vivien Douine & Nicolas Sans Chercheur : Julyan Arbel / Collegio Carlo Alberto - 10024 Moncalieri (To), italy Sujet 1 : LA FATTORIA Il gioco proposto è stato progettato nella Polonia occupata durante la seconda guerra mondiale, dal famoso matematico Karol Borsuk e da sua moglie. In Super Farmer ogni giocatore è proprietario di una fattoria popolata da tanti animali: conigli, pecore, maiali, mucche e cavalli. Il giocatore, durante la partita, deve far riprodurre i suoi animali. Vince la partita il primo giocatore che riesce ad avere nella sua fattoria almeno un animale per ogni specie. I giocatori hanno a disposoizione 2 dadi a 12 facce sulle quali compaiono i diversi animali. Per riempire la fattoria con i diversi animali, occorrerà scambiarne alcuni con altri, ad un "tasso di cambio" fisso: una pecora costa 6 conigli, un maiale 2 pecore, una mucca 3 maiali, un cavallo 2 mucche. I cani (che hanno la loro utilità) costano rispettivamente una pecora (quello piccolo) ed una mucca (quello grande). Ogni giocatore all'inizio possiede 1 coniglio. Ad ogni turno il giocatore può scambiare animali, sia con la "banca" (cioè gli animali a disposizione nella fattoria) che con gli altri giocatori, sempre allo stesso "tasso di cambio". Dopo la fase di scambio, il giocatore tira i due dadi e conta il numero ed il tipo di animali usciti, sommando il risultato dei dadi con il numero di animali che ha già nella propria fattoria. Divide questo numero per 2, arrotondando per difetto, e questo è il numero di animali che riceve. Si consiglia di vedere il video al link https://www.youtube.com/watch?v=Z_2IQ5ozgqE Ma sui dadi ci sono anche altri due animali: una volpe ed un lupo. Se in qualsiasi momento esce la volpe, essa mangia tutti i conigli della fattoria del giocatore che ha tirato, tranne uno. Se esce un lupo, esso mangia tutti gli animali tranne i conigli ed il cavallo (se presenti). Per evitare questi disastri, si possono comprare i cani: quello piccolo annulla un risultato volpe, e quello grande annulla un risultato lupo. I cani vanno scartati dopo aver assolto il loro compito, e non contano ai fini della vittoria finale. Il risultato del lancio dei dadi certo influisce, tuttavia un'oculata pianificazione ed uno scambio attento permettono di vincere pure contro i colpi della malasorte. Ipotizza le possibili strategie di gioco e prova a verificarne l'efficacia. Sujet 2 : Triangles carrés Vous décidez de casser votre cochon tirelire rempli de pièces toutes identiques de 5 centimes. Avant de les donner à l'association pièces jaunes, vous vous apercevez qu'en les utilisant tous, vous pouvez les disposer tangents sur la table en formant, au choix, un carré ou un triangle équilatéral pleins. Quels sont les nombres de pièces qui permettent cela ? Sujet 3 : la géométrie sphérique On peut faire de la géométrie à la surface d'une sphère comme on en fait dans le plan euclidien. Cette géométrie, appelée géométrie sphérique, a toujours joué un rôle fondamental en navigation et en astronomie. Elle fournit également un modèle de géométrie dans lequel le cinquième postulat d'Euclide sur l'existence des parallèles n'est pas vérifié (une telle géométrie est dite noneuclidienne). En géométrie euclidienne classique, le chemin le plus court entre deux points est le segment joignant ces points. La droite s'obtient en prolongeant ce segment. Qu'est-ce qu'une droite sur la Terre? Comment calculer la distance la plus courte entre deux villes? En rapport avec la semaine des mathématiques 2016 : Maths et sport;-) Sujet 4 : Marathon Les records des athlètes fascinent à la fois les sportifs et les autres. A chaque nouvelle édition des Jeux Olympiques, la pression est énorme sur les coureurs du 100m, qui savent qu'ils graveront leur nom au Panthéon de l'athlétisme s'ils parviennent à faire tomber le record du monde. S'il est une discipline qui fait couler beaucoup d'encre dans les journaux actuellement, c'est bien le marathon. Son record du monde est régulièrement battu, presque tous les ans, d'une poignée de secondes. Si ce record fait autant parler de lui, c'est parce qu'il se rapproche chaque fois un peu plus de la barre fatidique des 2 heures. Pour certains spécialistes, ce n'est qu'une question de patience, la barre des 2 heures tombera d'ici quelques années. D'autres estiment à l'inverse que la barre des 2 heures se situe au delà des capacités physiques humaines. Temps 2 h 58 min 50 s 2 h 55 min 18 s 2 h 52 min 45 s 2 h 46 min 52 s 2 h 46 min 04 s 2 h 42 min 30 s 2 h 40 min 35 s 2 h 38 min 16 s 2 h 36 min 06 s 2 h 32 min 35 s 2 h 29 min 01 s 2 h 27 min 49 s 2 h 26 min 44 s 2 h 26 min 42 s 2 h 25 min 39 s 2 h 20 min 43 s 2 h 18 min 41 s 2 h 18 min 35 s 2 h 17 min 40 s 2 h 15 min 17 s Date 10/04/96 24/07/08 01/01/09 12/02/09 08/05/09 08/05/09 31/08/09 12/05/13 31/05/13 20/08/20 13/10/25 31/03/35 03/04/35 03-11-1935 15-08-1945 19/04/47 14/06/52 13/07/53 04/10/53 26/07/54 24/08/58 Temps 2 h 15 min 17 s 2 h 15 min 16 s 2 h 14 min 28 s 2 h 13 min 55 s 2 h 12 min 12 s 2 h 12 min 00 s 2 h 09 min 37 s 2 h 08 min 34 s 2 h 08 min 18 s 2 h 08 min 05 s 2 h 07 min 12 s 2 h 06 min 50 s 2 h 06 min 05 s Date 10/09/60 17/02/63 15/07/63 13/07/64 21/10/64 12/06/65 03/12/67 03/05/69 06/12/81 21/10/84 20/04/85 17/04/88 20/09/98 2 h 05 min 42 s 2 h 05 min 38 s 2 h 04 min 55 s 2 h 04 min 26 s 2 h 03 min 59 s 2 h 03 min 38 s 2 h 03 min 23 s 24/10/99 14/04/02 28/09/03 30/09/07 28/09/08 25/09/11 29/09/13 Peut-on trouver une fonction qui approche au mieux ces valeurs ? Cette fonction nous permettra-telle de débusquer la probabilité tant convoitée, à savoir la chance que la barre des 2 heures tombe un jour, et si oui dans combien de temps ? Pistes : Confrontation de modèles ? Comment quantifier le « Au mieux » ? Voir les records féminins. Sujet 5 : Le penalty et le poteau Un silence de plomb vient de tomber sur le stade. Le joueur s'apprête à tirer le penalty tandis que le gardien solidement campé sur ses jambes attend de pouvoir tenter d'intercepter le ballon … le joueur tire … Poteau ! Tout n'est pas perdu pour le tireur car le rebond peut encore conduire le ballon à l'intérieur des buts. Mais quelles sont ses chances ? Dans cette étude il faudra supposer le ballon ponctuel et tiré sans effet d'aucune sorte. Ainsi son rebond obéit à une loi classique de la physique … Sujet 6 : Les noeuds Les nœuds sont quasi omniprésents dans notre société (tels les lacets de chaussures, les nœuds de cravatte, ou ceux qui nouent un tablier ou une bavette), dans la marine (nœud de cabestan, nœud de vache, etc), dans les activités alpines (nœud de huit, nœud de chaise, etc), en bricolage… Les maths servent à éclairer notre lanterne pour mieux comprendre le monde… et si les maths pouvaient nous aider à y voir plus clair dans ce sac de nœuds ? On cherchera à répondre à des questions comme : Quelle différence y a-t-il entre un nœud de huit et un nœud plat ? Comment mesure cette différence ? Quel est le nœud le plus simple ? Et le plus compliqué ? Combien existe-t-il de nœuds ? Peut-on les compter ? Sujet 7 : Les cristaux On modélise la croissance d'un cristal de la manière suivante : Que pouvez-vous dire de la structure après plusieurs évolutions ? Sujet 8 : Le disque de Poincaré On se place dans un disque et on définit les droites comme soit des diamètres, soit des arcs de cercle dont le centre est sur le bord du disque. A partir de ceci il reste à voir ce que deviennent les éléments et résultats de la géométrie.