Sujets des ateliers MATh.en.JEANS 2015

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Sujets des ateliers MATh.en.JEANS 2015
Sujets des ateliers MATh.en.JEANS
2015-2016
Liceo Umberto I di Torino– Italy
– 20 élèves
Enseignants : Baderna Annalisa e Laiolo Patrizia
Chercheurs : Paolo Boggiatto / Università di Torino
Lycée d'Altitude de Briançon – France
– 51 élèves
Enseignants : Hubert PROAL et Mickael Lissonde
Chercheurs : PETIT Camille / INP à Valence et Yves Papegay / INRIA, Sophia Antipolis
Lycée Français Jean Giono de Turin – Italie
– 17 élèves
Enseignants : Vivien Douine & Nicolas Sans
Chercheur : Julyan Arbel / Collegio Carlo Alberto - 10024 Moncalieri (To), italy
Sujet 1 : LA FATTORIA
Il gioco proposto è stato progettato nella Polonia occupata durante la seconda guerra mondiale, dal
famoso matematico Karol Borsuk e da sua moglie.
In Super Farmer ogni giocatore è proprietario di una fattoria popolata da tanti animali: conigli,
pecore, maiali, mucche e cavalli. Il giocatore, durante la partita, deve far riprodurre i suoi animali.
Vince la partita il primo giocatore che riesce ad avere nella sua fattoria almeno un animale per ogni
specie.
I giocatori hanno a disposoizione 2 dadi a 12 facce sulle quali compaiono i diversi animali. Per
riempire la fattoria con i diversi animali, occorrerà scambiarne alcuni con altri, ad un "tasso di
cambio" fisso: una pecora costa 6 conigli, un maiale 2 pecore, una mucca 3 maiali, un cavallo 2
mucche. I cani (che hanno la loro utilità) costano rispettivamente una pecora (quello piccolo) ed una
mucca (quello grande). Ogni giocatore all'inizio possiede 1 coniglio. Ad ogni turno il giocatore può
scambiare animali, sia con la "banca" (cioè gli animali a disposizione nella fattoria) che con gli altri
giocatori, sempre allo stesso "tasso di cambio". Dopo la fase di scambio, il giocatore tira i due dadi
e conta il numero ed il tipo di animali usciti, sommando il risultato dei dadi con il numero di
animali che ha già nella propria fattoria. Divide questo numero per 2, arrotondando per difetto, e
questo è il numero di animali che riceve.
Si consiglia di vedere il video al link
https://www.youtube.com/watch?v=Z_2IQ5ozgqE
Ma sui dadi ci sono anche altri due animali: una volpe ed un lupo. Se in qualsiasi momento esce la
volpe, essa mangia tutti i conigli della fattoria del giocatore che ha tirato, tranne uno. Se esce un
lupo, esso mangia tutti gli animali tranne i conigli ed il cavallo (se presenti).
Per evitare questi disastri, si possono comprare i cani: quello piccolo annulla un risultato volpe, e
quello grande annulla un risultato lupo. I cani vanno scartati dopo aver assolto il loro compito, e
non contano ai fini della vittoria finale.
Il risultato del lancio dei dadi certo influisce, tuttavia un'oculata pianificazione ed uno scambio
attento permettono di vincere pure contro i colpi della malasorte.
Ipotizza le possibili strategie di gioco e prova a verificarne l'efficacia.
Sujet 2 : Triangles carrés
Vous décidez de casser votre cochon tirelire rempli de pièces toutes identiques de 5 centimes. Avant
de les donner à l'association pièces jaunes, vous vous apercevez qu'en les utilisant tous, vous
pouvez les disposer tangents sur la table en formant, au choix, un carré ou un triangle équilatéral
pleins.
Quels sont les nombres de pièces qui permettent cela ?
Sujet 3 : la géométrie sphérique
On peut faire de la géométrie à la surface d'une sphère comme on en fait dans le plan euclidien.
Cette géométrie, appelée géométrie sphérique, a toujours joué un rôle fondamental en navigation et
en astronomie. Elle fournit également un modèle de géométrie dans lequel le cinquième postulat
d'Euclide sur l'existence des parallèles n'est pas vérifié (une telle géométrie est dite noneuclidienne).
En géométrie euclidienne classique, le chemin le plus court entre deux points est le segment
joignant ces points. La droite s'obtient en prolongeant ce segment.
Qu'est-ce qu'une droite sur la Terre? Comment calculer la distance la plus courte entre deux villes?
En rapport avec la semaine des mathématiques 2016 : Maths et sport;-)
Sujet 4 : Marathon
Les records des athlètes fascinent à la fois les sportifs et les autres. A chaque nouvelle édition des
Jeux Olympiques, la pression est énorme sur les coureurs du 100m, qui savent qu'ils graveront leur
nom au Panthéon de l'athlétisme s'ils parviennent à faire tomber le record du monde.
S'il est une discipline qui fait couler beaucoup d'encre dans les journaux actuellement, c'est bien le
marathon. Son record du monde est régulièrement battu, presque tous les ans, d'une poignée de
secondes. Si ce record fait autant parler de lui, c'est parce qu'il se rapproche chaque fois un peu plus
de la barre fatidique des 2 heures.
Pour certains spécialistes, ce n'est qu'une question de patience, la barre des 2 heures tombera d'ici
quelques années. D'autres estiment à l'inverse que la barre des 2 heures se situe au delà des
capacités physiques humaines.
Temps
2 h 58 min 50 s
2 h 55 min 18 s
2 h 52 min 45 s
2 h 46 min 52 s
2 h 46 min 04 s
2 h 42 min 30 s
2 h 40 min 35 s
2 h 38 min 16 s
2 h 36 min 06 s
2 h 32 min 35 s
2 h 29 min 01 s
2 h 27 min 49 s
2 h 26 min 44 s
2 h 26 min 42 s
2 h 25 min 39 s
2 h 20 min 43 s
2 h 18 min 41 s
2 h 18 min 35 s
2 h 17 min 40 s
2 h 15 min 17 s
Date
10/04/96
24/07/08
01/01/09
12/02/09
08/05/09
08/05/09
31/08/09
12/05/13
31/05/13
20/08/20
13/10/25
31/03/35
03/04/35
03-11-1935
15-08-1945
19/04/47
14/06/52
13/07/53
04/10/53
26/07/54
24/08/58
Temps
2 h 15 min 17 s
2 h 15 min 16 s
2 h 14 min 28 s
2 h 13 min 55 s
2 h 12 min 12 s
2 h 12 min 00 s
2 h 09 min 37 s
2 h 08 min 34 s
2 h 08 min 18 s
2 h 08 min 05 s
2 h 07 min 12 s
2 h 06 min 50 s
2 h 06 min 05 s
Date
10/09/60
17/02/63
15/07/63
13/07/64
21/10/64
12/06/65
03/12/67
03/05/69
06/12/81
21/10/84
20/04/85
17/04/88
20/09/98
2 h 05 min 42 s
2 h 05 min 38 s
2 h 04 min 55 s
2 h 04 min 26 s
2 h 03 min 59 s
2 h 03 min 38 s
2 h 03 min 23 s
24/10/99
14/04/02
28/09/03
30/09/07
28/09/08
25/09/11
29/09/13
Peut-on trouver une fonction qui approche au mieux ces valeurs ? Cette fonction nous permettra-telle de débusquer la probabilité tant convoitée, à savoir la chance que la barre des 2 heures tombe
un jour, et si oui dans combien de temps ?
Pistes : Confrontation de modèles ? Comment quantifier le « Au mieux » ? Voir les records
féminins.
Sujet 5 : Le penalty et le poteau
Un silence de plomb vient de tomber sur le stade. Le joueur s'apprête à tirer le penalty tandis que le
gardien solidement campé sur ses jambes attend de pouvoir tenter d'intercepter le ballon … le
joueur tire … Poteau ! Tout n'est pas perdu pour le tireur car le rebond peut encore conduire le
ballon à l'intérieur des buts. Mais quelles sont ses chances ?
Dans cette étude il faudra supposer le ballon ponctuel et tiré sans effet d'aucune sorte.
Ainsi son rebond obéit à une loi classique de la physique …
Sujet 6 : Les noeuds
Les nœuds sont quasi omniprésents dans notre société (tels les lacets de chaussures, les nœuds de
cravatte, ou ceux qui nouent un tablier ou une bavette), dans la marine (nœud de cabestan, nœud de
vache, etc), dans les activités alpines (nœud de huit, nœud de chaise, etc), en bricolage…
Les maths servent à éclairer notre lanterne
pour mieux comprendre le monde… et si
les maths pouvaient nous aider à y voir
plus clair dans ce sac de nœuds ?
On cherchera à répondre à des questions
comme : Quelle différence y a-t-il entre un
nœud de huit et un nœud plat ? Comment
mesure cette différence ? Quel est le nœud
le plus simple ? Et le plus compliqué ?
Combien existe-t-il de nœuds ? Peut-on les
compter ?
Sujet 7 : Les cristaux
On modélise la croissance d'un cristal de la manière suivante :
Que pouvez-vous dire de la structure après plusieurs évolutions ?
Sujet 8 : Le disque de Poincaré
On se place dans un disque et on définit les droites comme soit des diamètres, soit des arcs de cercle
dont le centre est sur le bord du disque.
A partir de ceci il reste à voir ce que deviennent les éléments et résultats de la géométrie.