Fonctions polynômes, fractions rationnelles. Applications

Chapitre 1
Fonctions polynômes, fractions rationnelles.
Applications aux calculs de primitives
Objectifs de ce chapitre
1. Faire des rappels sur la notion de fonctions polynômes avec les définitions usuelles : coefficients, coefficient dominant,
degré, addition, multiplication.
2. Introduire l’arithmétique des fonctions polynômes avec son outil fondamental : la division euclidienne. Donner alors
les notions de divisibilité, de PGCD, PPCM et d’algorithme d’Euclide.
3. Toucher du doigt la notion de base qui sera vue dans le second chapitre “algèbre linéaire”. Formule de Taylor.
4. Factorisation des polynômes sur R et sur C.
5. Introduire la notion de polynôme irréductible.
6. Faire le parallèle
Arithmétique des entiers ↔ Arithmétique des polynômes
7. Introduire la notion de fraction rationnelle et utiliser les méthodes sur les polynômes pour les décomposer en éléments
simples.
8. Applications :
1
– Calculer certaines sommes infinies comme ∑ k(k+1)(k+2)
.
– Calculer la dérivée n-ième d’une fraction rationnelle.
– Calculer les primitives ou les intégrales de fonctions du type
x 7→
1
sin t
ou t 7→
.
2
(x + 1)(1 + x )
(cos t + 1)(1 + cos 2t)
1
1.1
1.1.1
Fonctions polynômes
Définitions
Définition 1.1.1.1 (Fonction polynôme réelle). On appelle polynôme réel ou fonction polynôme réelle toute fonction de la
forme :
P : R → R
x 7→ a0 + a1 x + ... + ad xd ,
où d est un entier et a0 , ... ,ad sont des nombres réels appelés coefficients de la fonction polynomiale P.
On appelle degré de P le plus grand indice i tel que ai est non nul. On note deg P le degré de P.
Si d est le degré de P alors le coefficient ad est appelé coefficient dominant de P.
On dira qu’un polynôme est unitaire si son coefficient dominant vaut 1.
Notation 1.1.1.2. On notera R[x] l’ensemble des fonctions polynomiales à coefficients réels.
Pour tout entier n ≥ 0, on notera Rn [x] l’ensemble des polynômes à coefficients réels dont le degré est inférieur ou égal à n.
Dans la définition précédente, le fait que les coefficients soient réels ne joue aucun rôle, on peut donc immédiatement
étendre ces définitions au cadre complexe :
Définition 1.1.1.3 (Fonction polynôme complexe). On appelle polynôme complexe ou fonction polynôme complexe toute
fonction de la forme :
P : C → C
x 7→ a0 + a1 x + ... + ad xd ,
où les coefficients a0 , ... , ad sont des nombres complexes.
Notation 1.1.1.4. On notera C[x], l’ensemble des fonctions polynomiales à coefficients complexes.
Pour tout entier n ≥ 0, on notera Cn [x] l’ensemble des polynômes à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à n.
Exemple 1.1.1.5. Quelques exemples.
1. On peut voir la fonction x 7→ 1 + 3x + 5x2 à la fois comme une fonction polynomiale réelle et comme une fonction
polynomiale complexe. Ses coefficients sont 1,3 et 5. Son degré est 2, son coefficient dominant est 5.
2. Le degré de la fonction polynomiale x 7→ 1 + ix2 + 0x3 est 2, ses coefficients sont 1, 0 (vu comme coefficient de x) et i
et son coefficient dominant est i.
3. La fonction nulle x → 0 est une fonction polynomiale dont tous les coefficients sont nuls. Par convention son degré est
−∞. On convient aussi que pour tout entier n on a
−∞ < n, (−∞) + n = n + (−∞) = −∞, (−∞) + (−∞) = −∞.
Remarque 1.1.1.6. Par la suite, si le contexte réel ou complexe n’importe pas, on dira simplement fonction polynomiale ou
polynôme et nous utiliserons les notations K[x] et Kn [x].
1.1.2
Opérations
Définition 1.1.2.1. L’ensemble des fonctions polynomiales de K[x] est muni d’une addition et d’une multiplication :
P + Q : x 7→ P(x) + Q(x),
P.Q : x 7→ P(x).Q(x),
héritées de l’addition et de la multiplication sur K.
2
Remarque 1.1.2.2. Des propriétés de l’addition et de la multiplication sur K = R ou K = C on déduit facilement :
L’addition est associative :
∀P, Q, R ∈ K[x], (P + Q) + R = P + (Q + R).
L’addition est commutative :
∀P, Q ∈ K[x], P + Q = Q + P.
L’addition admet 0 comme élément neutre :
∀P ∈ K[x], P + 0 = 0 + P = P.
Tout polynôme P admet un opposé −P.
De même, la multiplication est associative, commutative et admet 1 comme élément neutre.
Enfin, on a la propriété de distributivité :
∀P, Q, R ∈ K[x], (P + Q).R = P.R + Q.R = R.(P + Q).
On dit que l’ensemble K[x] avec ses deux lois + et . a une structure d’anneau commutatif que l’on note (K[x], +, .).
Par définition du degré on obtient la proposition :
Proposition 1.1.2.3. Soit P et Q deux fonctions polynomiales.
1. La somme P + Q est une fonction polynomiale dont le degré vérifie
deg(P + Q) ≤ max(deg P, deg Q).
2. Le produit PQ est une fonction polynomiale dont le degré vérifie
deg(PQ) = deg P + deg Q.
1.1.3
Divisibilité, division euclidienne, PGCD, PPCM, théorème de Bézout et lemme de Gauss
Dans cette section nous verrons que les fonctions polynomiales partagent de nombreuses propriétés et concepts avec les
nombres entiers, en particulier, la notion de diviseur, de multiples, de division euclidienne, de PGCD, PPCM, ou algorithme
d’Euclide et celle de fonctions polynômes irréductibles analogue des nombres premiers.
Divisibilité
Définition 1.1.3.1 (Diviseurs et multiples). Soit A et B deux fonctions polynômes de K[x].
– On dit que A est un multiple de B s’il existe une fonction polynôme Q telle que A = BQ.
– On dit que B divise A si le polynôme A est un multiple de B. Notons que dans ce cas on a
deg A = deg Q + deg B ≥ deg B.
Remarque 1.1.3.2. Cette formule fournit une condition nécessaire de divisibilité sur les degrés qui n’est bien entendu pas
suffisante.
Remarque 1.1.3.3. Tout polynôme divise la fonction polynôme 0 :
0 = P.0,
et on vérifie que la propriété sur les degrés est bien vérifiée grâce aux conventions sur (−∞).
Théorème 1.1.3.4 (Division euclidienne). Soit A et B deux fonctions polynômes de K[x] avec B non nulle. Il existe un unique
couple (Q, R) de fonctions polynomiales telles que :
A = BQ + R avec R = 0 ou deg R < deg B,
Q est appelée quotient et R est appelée reste de la division euclidienne de A par B.
3
Démonstration. On prouve l’existence par récurrence sur le degré de A.
1. Cas de base :
• Si le polynôme A est nul alors l’écriture 0 = B.0 + 0 convient.
• Si le polynôme A est de degré strictement plus petit que le degré de B alors l’écriture A = B.0 + A convient.
2. Hypothèse de récurrence : on fixe un entier positif n et on suppose que pour tout polynôme A de degré inférieur à n, il
existe Q et R avec A = BQ + R et R nul ou de degré strictement plus petit que le degré de B.
3. Montrons le résultat au rang n + 1. Considérons un polynôme A de degré égal à n + 1, notons a le coefficient dominant
de P et b le coefficient dominant de Q. Considérons le polynôme A − ba xdeg A−deg B B. Par construction le degré de ce
polynôme est strictement plus petit que le degré de A donc plus petit que n. Par hypothèse de récurrence il va donc
exister deux fonctions polynômes Q1 et R1 telles que
a
a
A − xdeg A−deg B B = B.Q1 + R1 c’est à dire A =
xdeg A−deg B + Q1 B + R1 .
b
b
avec R1 nul ou de degré strictement inférieur au degré de B. Ceci est bien une décomposition convenable.
4. Conclusion. Le théorème découle donc du principe de récurrence.
Prouvons l’unicité. Si l’on dispose de deux couples convenables (Q1 , R1 ) et (Q2 , R2 ) nous avons
A = BQ1 + R1 = BQ2 + R2 .
Nous avons donc
B(Q1 − Q2 ) = R2 − R1
donc en considérant les degrés nous obtenons
deg B + deg(Q1 − Q2 ) = deg R1 − R2 .
Or deg R1 − R2 < deg B par conséquent Q1 = Q2 (sinon deg Q1 − Q2 > 0 et l’on a une contradiction) et donc R1 = R2 .
Remarque 1.1.3.5. La preuve du théorème fournit un algorithme de calcul. Vous remarquerez par la pratique que cet algorithme de calcul est précisément celui que vous appliquez, appliquiez lors de la division d’un entier par un autre !
Exemple 1.1.3.6. La division euclidienne de x4 + x3 + x2 + x + 1 par x2 + 1 est
x4 + x3 + x2 + x + 1
x4 + x2
x3 + x + 1
x3 + x
1
x2 + 1
x2 + x
On obtient alors
x4 + x3 + x2 + x + 1 = (x2 + 1)(x2 + x) + 1.
PGCD
Définition 1.1.3.7 (Diviseurs communs). Soit A et B deux fonctions polynomiales. On dira que P est un diviseur commun
de A et B si P divise A et P divise B. Les fonctions constantes non nulles sont par exemple des diviseurs communs de A et B.
On note Div(A, B) l’ensemble des diviseurs communs de A et de B.
Définition 1.1.3.8 (PGCD). Soit A et B deux fonctions polynomiales de K[x], on appelle PGCD(A, B) le plus grand diviseur
commun unitaire de A et de B.
→ Le coefficient dominant du PGCD est 1.
4
Exemple 1.1.3.9. Si B est unitaire et multiple de A alors PGCD(A, B) = B.
Définition 1.1.3.10. On dira que deux fonctions polynomiales A et B sont premières entre elles si PGCD(A, B) = 1.
En pratique on calcule les PGCD via l’algorithme d’Euclide :
On suppose que le degré de A est plus grand que celui de B, sinon on permute.
1. On effectue la division euclidienne de A par B en notant Q1 le quotient et R1 le reste :
A = BQ1 + R1 .
avec R1 = 0 ou deg R1 < deg B.
2. Si R1 vaut 0 on s’arrête, sinon on effectue la division euclidienne de B par R1 , en notant Q2 le quotient et R2 le reste :
B = R1 Q2 + R2 ,
avec R2 = 0 ou deg R2 < deg R1 .
3. Si R2 = 0 on s’arrête sinon on fait la division euclidienne de R1 par R2 en notant le quotient Q3 et le reste R3 :
R1 = R2 Q3 + R3
avec R3 = 0 ou deg R3 < deg R2 .
4. On obtient ainsi une suite de quotients Qi et une suite de restes Ri vérifiant
Ri = Ri+1 Qi+2 + Ri+2
avec Ri+2 = 0 ou deg Ri+2 < deg Ri+1 .
5. Remarquons que la suite des degrés des restes Ri est une suite d’entiers positifs strictement décroissante. L’algorithme
s’arrête quand l’un des restes s’annule. Le polynôme PGCD(A, B) est le dernier reste non nul que l’on rend unitaire.
Démonstration. Notons Ri0 le dernier reste non nul et montrons que PGCD(A, B) est égal au polynôme Ri0 divisé par son
coefficient dominant et noté R̃i0 .
En effet, écrire A = BQ1 + R1 implique
Div(A, B) = Div(B, R1 ),
car si P divise A et B, il divise le reste R1 et si P divise B et R1 , il divise A.
Ainsi, en itérant cette remarque nous avons
Div(A, B) = Div(B, R1 ) = Div(R1 , R2 ) = ... = Div(Ri0 , 0).
Or le plus grand commun diviseur de Ri0 et 0 est R̃i0 car il est unitaire et divise 0.
Exemple 1.1.3.11. Calculons le pgcd de A(x) = x3 − x et B(x) = x2 + 3x + 2. On applique pour cela l’algorithme d’Euclide :
x3 − x = (x2 + 3x + 2)(x − 3) + 6(x + 1)
x2 + 3x + 2 =
1
6 (x + 2).6(x + 1) + 0.
Le dernier reste non nul est 6(x + 1). Le pgcd de A et de B est donc (x + 1).
PPCM
Définition 1.1.3.12 (PPCM). Soit A et B deux fonctions polynomiales de K[x], on appelle PPCM(A, B) le plus petit commun
multiple unitaire de A et de B.
Exemple 1.1.3.13. Nous verrons par la suite que
PPCM((x − 1)(x + 2)x, (x − 1)(x − 2)x) = x(x − 1)(x − 2)(x + 2).
5
Théorème de Bézout et lemme de Gauss
Théorème 1.1.3.14 (Bézout). Soit A et B deux fonctions polynomiales. Il existe deux fonctions polynomiales U et V telles
que
UA +V B = D.

Le fait d’avoir une relation du type
UA +V B = D,
n’implique pas que D soit le pgcd de A et de B. Mais implique néanmoins que D est un multiple de PGCD(A, B).
Nous verrons tout de même ci-dessous que l’on a équivalence dans le cas D constant.
Démonstration. Le théorème de Bézout est une conséquence directe de l’algorithme d’Euclide, en remontant les calculs.
Exemple 1.1.3.15. Supposons que l’on ait trois étapes, c’est à dire R3 est le dernier reste non nul. Nous obtenons donc
(A − BQ1 ) = (B − (A − BQ1 )Q2 )Q3 + R3
d’où l’on tire
(1 + Q2 Q3 )A − (Q1 + Q3 + Q1 Q2 Q3 )B = R3 .
Exemple 1.1.3.16. En reprenant l’exemple des polynômes x3 − x et x2 + 3x + 2 une décomposition de Bézout est
1 3
1
(x − x) − (x − 3)(x2 + 3x + 2) = (x + 1).
6
6
Corollaire 1.1.3.17. Soit P et Q deux fonctions polynomiales. Ces fonctions sont premières entre elles si et seulement si il
existe deux fonctions polynomiales U et V telles que
UP +V Q = 1.
Démonstration. En effet par la relation de Bézout, si P et Q sont premières entres elles alors il existe deux fonctions polynomiales U et V telles que
UP +V Q = 1.
Récriproquement, si une telle relation existe et si D divise à la fois P et Q alors D divise 1, donc D est de degré 0, c’est une
fonction constante.
Remarque 1.1.3.18. Donnons une description géométrique de l’ensemble
E = {(U,V ) ∈ K[x] | UP +V Q = 1}.
Par le théorème de Bézout cet ensemble est non vide.
Soit (U0 ,V0 ) et (U1 ,V1 ) deux couples convenables. Par différence, on obtient
(U0 −U1 )P + (V0 −V1 )Q = 0.
On en déduit que P divise le produit (V0 −V1 )Q. Or P et Q sont premiers entre eux, donc par le lemme de Gauss ci-dessous,
on en déduit que P divise V0 − V1 , il existe donc une fonction polynôme T telle que (V0 − V1 ) = PT . On obtient alors la
relation
(U0 −U1 )P + PT Q = 0,
qui induit l’égalité U0 −U1 = −QT . Ainsi : U1 = U0 + QT et V1 = V0 − PT .
Réciproquement, si on considère U1 et V1 écrits sous cette forme alors
U1 P +V1 Q = U0 P + PQT +V0 Q − PQT = U0 P +V0 Q = 1.
6
Nous concluons que l’ensemble des couples solutions est
E = {(U0 + QT,V0 − PT ) | T ∈ K[x]}
que l’on écrit sous la forme
E = (U0 ,V0 ) + K[x](Q, −P).
C’est ce que l’on appelle une droite affine (sur K[x]).
Lemme 1.1.3.19 (Gauss). Soit A, B, C trois fonctions polynomiales. Si A divise BC et A et B sont des fonctions polynomiales
premières entre elles alors A divise C.
Démonstration. En effet, par le théorème de Bézout, il existe U et V tels que AU + BV = 1. Par conséquent on a l’égalité
CAU +CBV = C. Or A divise BC donc il existe D tel que BC = AD donc on a l’égalité A(CU + DV ) = C ce qui montre que
A divise C.
Proposition 1.1.3.20. Soit P et Q deux fonctions polynomiales unitaires. On a la relation
PQ = PGCD(P, Q)PPCM(P, Q).
Démonstration. En effet, notons D le PGCD(P, Q). Il existe P̃ et Q̃ tel que
P = P̃D et Q = Q̃D.
Par la relation de Bézout il existe, U et V tels que
UP +V Q = D, donc U P̃ +V Q̃ = 1,
ce qui entraîne que P̃ et Q̃ sont premiers entre eux. Il faut et il suffit de montrer que PPCM(P, Q) est égal à P̃Q̃D. Cette
fonction est un multiple de P et un multiple de Q :
P̃Q̃D = P̃Q = PQ̃.
De plus, soit M un multiple commun de P et Q. Il existe A tel que
M = AP = AP̃D.
Or Q̃D égale à Q divise M, donc Q̃ divise AP̃, or Q̃ et P̃ sont premiers entre eux, donc par le lemme de Gauss, Q̃ divise A.
Donc P̃Q̃D divise M. D’où l’égalité cherchée.
1.1.4
Racines d’un polynôme
Définition 1.1.4.1. Soit P une fonction polynôme appartenant à K[x]. On appelle racine de P tout élément a appartenant à
K tel que P(a) = 0.

Comme nous le verrons ci-dessous, l’existence d’une racine dépend de manière primordiale du cadre de travail
K = R ou K = C. Par exemple la fonction polynôme x2 + 1 ne s’annule par sur R, mais s’annule en i et −i sur C.
Théorème 1.1.4.2. Soit P une fonction polynôme de K[x]. Un élément a de K est une racine de P si et seulement si P est un
multiple de x − a ou encore x − a divise P dans K[x].
Démonstration. Par division euclidienne de P par (x − a), il existe une fonction polynôme Q et un reste R de degré 0 tel que
∀x ∈ K, P(x) = (x − a)Q(x) + R(x).
Le reste est une fonction constante. Si a est une racine de P alors P(a) = 0 et par évaluation nous obtenons R = 0. Réciproquement si P est divisible par x − a alors le reste R est nul et par évaluation nous obtenons P(a) = 0.
7
Définition 1.1.4.3. Soit P une fonction polynôme de K[x] admettant une racine a appartenant à K. On dit que la racine a est
de multiplicité m si (x − a)m divise P mais pas (x − a)m+1 .
Exemple 1.1.4.4. Le polynôme P(x) = (x − 1)2 (x − 2)4 a pour racines 1 de multiplicité 2 et 2 de multiplicité 4.
Théorème 1.1.4.5. Une fonction polynôme de degré n a au plus n racines (comptées avec multiplicité) adns K.
Démonstration. En effet, si un polynôme P a n+1 racines comptées avec multiplicité, par le théorème précédent le polynôme
s’écrit sous la forme
n+1
P(x) = ∏ (x − ai )Q(x).
i=1
Par la formule du degré d’un produit, nous obtenons alors que le degré de P vaut n + 1 + deg Q. Ainsi, un polynôme de degré
n a au plus n racines comptées avec multiplicité.
1.1.5
Une première approche de la notion de “base”
La base canonique 1, x, x2 , ..., xd , ...
Une fonction polynomiale à coefficients dans K s’écrit naturellement sous la forme
f : x 7→ a0 + a1 x + ... + ad xd .
Cette écriture est elle unique ?
Supposons que l’on ait deux écritures de f :
f : x 7→ a0 + a1 x + ... + ad xd = b0 + b1 x + ...be xe .
On peut tout d’abord supposer que e et d sont égaux. En effet, si par exemple e ≥ d alors on rajoute les coefficients
ad+1 = ... = ae = 0.
On montre l’égalité de tous les coefficients par récurrence :
– Si d = 0, on a directement a0 = b0 .
– Supposons connu le résultat pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à d − 1.
– On prouve le résultat pour les polynômes de degré d : Effectuons la différence nous obtenons que pour tout x ∈ K
(a0 − b0 ) + (a1 − b1 )x + ... + (ad − bd )xd = 0.
La fonction polynôme
x → (a0 − b0 ) + (a1 − b1 )x + ... + (ad − bd )xd
est identiquement nulle en particulier 0, 1, ..., d − 1 sont racines donc on a la factorisation :
0 = (a0 − b0 ) + (a1 − b1 )x + ... + (ad − bd )xd = (ad − bd )x(x − 1)...(x − (d − 1)).
Si on évalue en d nous obtenons
0 = (ad − bd )d!
ce qui entraîne l’égalité ad = bd .
Ainsi les deux fonctions polynomiales
x 7→ a0 + a1 x + ... + ad−1 xd−1 et x 7→ b0 + b1 x + ... + bd−1 xd−1 .
sont égales donc par hypothèse de récurrence ont les mêmes coefficients. On obtient ainsi que pour tout k ∈ {0, ..., d}
on a ak = bk .
– On conclut par le théorème de récurrence.
Au chapitre suivant nous dirons que la famille infinie 1, x, x2 , ..., xd , ... est une base de l’ensemble des fonctions polynomiales
à coefficients dans K. Par ce terme nous entendrons que toute fonction polynomiale f s’écrit de manière unique sous la forme
f : x 7→ a0 + a1 x + ... + ad xd
avec ad 6= 0.
8
La base 1, (x − α), (x − α)2 , ..., (x − α)d , ....
Fixons un élément α de K.
Montrons dans cette sous section que toute fonction polynomiale
f : x 7→ a0 + a1 x + ... + ad xd
s’écrit de manière unique sous la forme
f : x 7→ b0 + b1 (x − α) + ... + bd (x − α)d .
Au chapitre suivant, nous dirons alors comme ci-dessus que la famille 1, (x − α), (x − α)2 , ..., (x − α)d , .... est une base de
K[x].
Existence. L’existence se prouve par récurrence sur le degré de la fonction polynomiale.
1. Si le degré est nul, la fonction est f : x 7→ a0 et nous avons déjà l’écriture. Autrement dit b0 = a0 .
2. Si le degré vaut 1 alors f est de la forme x 7→ a0 + a1 x. On effectue la division euclidienne de f par x − α pour obtenir :
f : x 7→ (a0 + αa1 ) + a1 (x − α).
En ce cas nous posons b1 = a1 et b0 = a0 + αa1 .
3. Supposons l’existence de la décomposition pour tout polynôme de degré au plus d − 1 et traîtons le cas d’un polynôme
f de degré d. On effectue alors la division euclidienne de f par (x − α)d que l’on écrit sous la forme
f : x 7→ ad (x − α)d + R(x)
où R est de degré inférieur à d − 1. On applique alors l’hypothèse de récurrence, la fonction polynomiale R s’écrit sous
la forme
R : x 7→ b0 + b1 (x − α) + ... + bd−1 (x − α)d−1 .
Ce qui nous donne l’écriture souhaitée pour f .
Unicité. On peut procéder comme ci-dessus. On peut aussi utiliser le théorème suivant :
Théorème 1.1.5.1 (Formule de Taylor). Soit P un polynôme à coefficients réels de degré d, pour tout α réel on a
P(x) = P(α) + P(1) (α)(x − α) + ... +
P(k) (α)
P(d) (α)
(x − α)k + ... +
(x − α)d .
k!
d!
Ainsi la décomposition de P sur la famille 1, x − α, ... est unique. On l’appelle développement de Taylor de f en α.
Démonstration. Soit P un polynôme à coefficients réels, de degré d. Par divisions euclidiennes successives on obtient une
écriture de P sous la forme
P(x) = a0 + a1 (x − α) + ... + ak (x − α)k + ... + ad (x − α)d .
(k)
Montrons l’égalité pour tout k : ak = P k!(α) .
Ecrivons P(x) = ∑di=0 ai (x − α)i . Montrons par récurrence sur l’ordre de dérivation la formule
P(k) (x) = ∑ ai (i.(i − 1)...(i − k + 1))(x − α)i−k .
i≥k
1. En dérivant la formule P(x) = ∑di=0 ai (x − α)i nous obtenons l’égalité P0 (x) = ∑di=1 iai (x − α)i−1 qui est de la forme
souhaitée.
2. On suppose la formule vraie à l’ordre k. En la dérivant on obtient la formule à l’ordre k + 1.
3. On conclut par le principe de récurrence.
Ainsi en évaluant en α nous obtenons
P(k) (α) = ak k!.
9
Remarque 1.1.5.2 (Approximation polynômiale locale d’une fonction : formule de Taylor-Young). Soit f une fonction de
classe Ck sur un intervalle ]c, d[. Soit a un point de I. Il existe un voisinage ]a − α, a + α[ et une fonction erreur
e :]a − α, a + α[→ R
telle que pour tout x ∈]a − α, a + α[ on ait
f (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +
f 00 (a)
f (k) (a)
(x − a)2 + ... +
(x − a)k + (x − a)k e(x)
2!
k!
avec limx→a e(x) = 0. Cette écriture est appellée développement limité de f en a.
On approxime ainsi la fonction f localement, au voisinage de a, par le polynôme
Pk (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +
f 00 (a)
f (k) (a)
(x − a)2 + ... +
(x − a)k ,
2!
k!
l’erreur dans l’approximation est la fonction (x − a)k e(x) qui tend plus vite vers 0 que le terme (x − a)k quand x tend vers a.
1.1.6
Factorisation des fonctions polynomiales
Factorisation dans C[x]
Lorsque vous avez construit les nombres complexes vous avez adjoint à R un nombre i dit “imaginaire” vérifiant l’identité
i2 = −1. Les nombres complexes s’écrivent sous la forme a + ib. Le polynôme x2 + 1 n’a aucune racine sur R car strictement
positive elle ne s’annule pas. Néanmoins cette fonction polynomiale a deux racines sur C qui sont i et −i.
Comme l’exprime le théorème suivant qualifié de “théorème fondamental de l’algèbre”, de manière remarquable, le fait
d’avoir rajouté i donne l’existence d’une racine pour toutes les fonctions polynomiales !
Théorème 1.1.6.1. (Théorème de D’Alembert-Gauss).
Toute fonction polynôme non constante de C[x] possède au moins une racine.
Théorème 1.1.6.2. (Factorisation des fonctions polynomiales).
1. Toute fonction polynôme non constante de C[x] est un produit de fonctions polynomiales de degré 1.
2. Toute fonction polynôme de degré n ≥ 0 de C[x] possède exactement n racines comptées avec leur ordre de multiplicité.
Démonstration. On montre la première propriété par récurrence sur le degré.
1. Si P est un polynôme de degré 1 alors P sécrit sous la forme x 7→ ax + b avec a non nul et donc admet pour racine − ab .
2. Supposons le résultat acquis pour un polynôme de degré n. Soit P un polynôme de degré n + 1. Par le théorème
fondamental de d’Alembert-Gauss, ce polynôme admet une racine α. On effectue la division euclidienne de P par
x − α et l’on obtient l’écriture P(x) = (x − α)Q(x) avec Q un polynôme de degré n. Par application de l’hypothèse de
récurrence, le polynôme Q est un produit de n polynômes de degré 1. Ce qui donne le résultat pour P.
3. Par le principe de récurrence la propriété est vraie pour tout degré.
Le second point découle du premier en regroupant les racines égales.
Grâce à ce théorème on dispose d’un accés aisé théorique au pgcd et ppcm :
Proposition 1.1.6.3. Soit P et Q deux fonctions polynômes complexes s’écrivant respectivement sous forme factorisée comme
l
l
P(x) = a ∏(x − αi )mi (P) et Q(x) = b ∏(x − αi )mi (Q)
i=1
i=1
où les mi (P) et mi (Q) sont les multiplicités de P et Q en αi si αi est racine et valent 0 sinon.
On a alors
l
l
PGCD(P, Q) = ∏(x − αi )min(mi (P),mi (Q)) et PPCM(P, Q) = ∏(x − αi )max(mi (P),mi (Q)) .
i=1
i=1
10
Par exemple, dans le cas
P(x) = (x − 1)2 (x − 2)(x − 3)4 et Q(x) = (x − 1)(x − 3)2 (x − 6)
on réécrit les polynômes comme dans l’énoncé :
P(x) = (x − 1)2 (x − 2)(x − 3)4 (x − 6)0 et Q(x) = (x − 1)(x − 2)0 (x − 3)2 (x − 6)
et on obtient alors
PGCD(P, Q) = (x − 1)(x − 3)2 et PPCM(P, Q) = (x − 1)2 (x − 2)(x − 3)4 (x − 6).
Démonstration. En effet soit D un diviseur commun à P et Q. Comme P et Q sont des multiples de D, nécessairement si a
est une racine de D alors a est une racine de P et une racine de Q et de plus la multiplicité de a dans D est plus petite que la
multiplicité de a dans P et la multiplicité de a dans Q. Ceci montre donc que le polynôme ∏li=1 (x − αi )min(mi (P),mi (Q)) est le
plus grand commun diviseur de P et Q. L’assertion sur le ppcm, découle directement de la relation
PGCD(P, Q)PPCM(P, Q) = PQ.
Factorisation dans R[x]
Le fait d’avoir l’existence d’une factorisation des fonctions polynomiales dans le cadre complexe nous donne des renseignements sur la factorisation dans le cadre réel.
Commençons par une remarque fondamentale :
Remarque 1.1.6.4. Soit P une fonction polynôme réelle
P : x 7→ a0 + a1 x + ... + ad xd .
Si α est une racine complexe de P alors le conjugué α est racine de P. En effet les coefficients étant réels nous avons
a0 + a1 α + ... + ad αd = 0 = a0 + a1 α + ... + ad αd = a0 + a1 α + ... + ad αd .
Théorème 1.1.6.5 (Factorisation d’une fonction polynomiale réelle). Toute fonction polynomiale de R[x] est un produit de
fonctions polynômes de degré 1 et de fonctions polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif.
Démonstration. La preuve de ce théorème s’effectue par récurrence sur le degré de P.
1. Si le degré de P vaut 1, le polynôme P est déja sous la forme voulue.
2. Si le degré de P vaut 2, il y a deux cas à considérer ou bien le discriminant est positif ou nul et en ce cas le polynôme
P se factorise en produit de deux polynômes de degré 1 ou bien le discriminant est négatif et en ce cas le polynôme
est sous la forme voulue.
3. Supposons le résultat vrai pour tout polynôme de degré au plus n. Considérons P un polynôme de degré n + 1. Par
application du théorème de d’Alembert-Gauss, le polynôme P admet une racine α.
(a) Si cette racine est réelle alors par division euclidienne on a l’écriture
P(x) = (x − α)Q(x).
Et on applique l’hypothèse de récurrence sur Q.
(b) Si cette racine est complexe alors par la remarque précédente, le conjugué α est racine. Le polynôme
(x − α)(x − α) = (x − 2ℜ(α) + |α|2 )
est un polynôme réel à discriminant strictement négatif. Par division euclidienne on obtient l’écriture
P(x) = (x − 2ℜ(α) + |α|2 )Q(x).
On applique alors l’hypothèse de récurrence à Q.
11
4. On obtient alors le résultat pour tout degré par application du principe de récurrence.
Corollaire 1.1.6.6. Toute fonction polynomiale de degré impair de R[x] possède au moins une racine réelle.
Remarque 1.1.6.7. Ce corollaire est aussi une conséquence du théorème des valeurs intermédiaires. En effet une fonction
polynomiale est continue, son degré étant impair, ses limites en +∞ et −∞ sont opposées, ainsi par le théorème des valeurs
intermédiaires, cette fonction admet un zéro réel.
Remarque 1.1.6.8. L’analogue de la proposition 1.1.6.3 existe dans le cadre réel, on pourra l’énoncer et la démontrer à titre
d’exercice !
1.1.7
Fonctions polynômes irréductibles
Définition 1.1.7.1. Une fonction polynomiale P de K[x] est dite irréductible si ses diviseurs sont les fonctions constantes ou
les multiples de P par une constante non nulle.
→ La notion de polynôme irréductible est l’analogue de la notion de nombre premier.
Exemple 1.1.7.2. Quelques exemples et contre-exemples :
1. La fonction (x − 1)(x − 2) n’est irréductible ni sur R ni sur C.
2. La fonction 3(x − 1) est irréductible sur R et sur C.
3. La fonction x2 + 1 est irréductible sur R mais réductible sur C car égale à (x − i)(x + i).
√
√
4. La fonction x4 + 1 bien que sans racine réelle est réductible car égale au produit (x2 − 2x + 1)(x2 + 2x + 1).
Théorème 1.1.7.3. Les théorèmes de factorisation 1.1.6.2 et 1.1.6.5 sur C et R montrent que
1. sur C[x], les fonctions polynômes irréductibles sont les fonctions x → λ(x − a), avec λ et a complexes.
2. sur R[x], les fonctions polynômes irréductibles sont les fonctions x → λ(x − a), avec λ et a réels et les fonctions
polynômes réelles du type x → ax2 + bx + c avec b2 − 4ac < 0.
Ainsi toute fonction polynomiale est produit de fonctions polynomiales irréductibles tout comme tout nombre entier est
produit de nombres premiers. L’écriture est unique à l’ordre près des termes.
12
1.2
Fractions rationnelles
Rappelons que K désigne les nombres réels R ou les nombres complexes C.
1.2.1
Définitions
Définition 1.2.1.1 (Fractions rationnelles). On appellera fraction rationnelle toute fonction du type
f : x 7→
P(x)
,
Q(x)
où P et Q sont deux fonctions polynômes à coefficients dans K.
Définition 1.2.1.2 (Forme irréductible). Soit f = QP une fraction rationnelle. Si D est le PGCD(P, Q), il existe deux polynômes
P̃ et Q̃ tels que P = P̃D et Q = Q̃D, en ce cas la fonction s’écrit aussi
f : x 7→
P̃(x)
.
Q̃(x)
On dira que f est mise sous forme irréductible.
Les polynômes P̃ et Q̃ étant premiers entre eux, le domaine de définition D f de f est
D f = {x ∈ K | Q̃(x) 6= 0}.
Remarque 1.2.1.3. Grâce à l’algorithme d’Euclide, nous savons calculer le pgcd de deux polynômes. Puis par application
de la division euclidienne nous savons factoriser. Par conséquent, de manière effective, nous savons mettre uen fraction
rationnelle sous forme irréductible.
Exemple 1.2.1.4. Par exemple
f : x 7→
x2 − 2x + 1
x−1
=
4
x −1
(x + 1)(x2 + 1)
a pour domaine de définition R \ {−1} si on travaille sur R et C \ {−1, i, −i} si on travaille sur C.

Dans toute la suite on supposera toujours que la fraction rationnelle est écrite sous forme irréductible
1.2.2
Décomposition en éléments simples
Commençons par deux cas particuliers d’usage courant :
Proposition 1.2.2.1. Si f est une fraction rationnelle de la forme f : x 7→
unique famille (ai )i∈{1,..,n} d’éléments de K, telle que
P(x)
(x−b)n
alors il existe un unique polynôme E et une
n
ak
.
(x
−
b)k
k=1
f : x 7→ E(x) + ∑
Démonstration. Prouvons l’existence. On suppose que la fraction rationnelle f est écrite sous forme irréductible sinon on
s’y ramène en divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. On commence par faire la division euclidienne de P
par (x − b)n . On note E le quotient et R le reste. Ce reste est de degré inférieur ou égal à n − 1. La fraction rationnelle s’écrit
alors sous la forme
R(x)
f : x 7→ E(x) +
.
(x − b)n
On écrit alors R(x) dans la base 1, x − b,...,(x − b)n−1 :
n
R(x) =
∑ ak (x − b)n−k .
k=1
13
On en déduit le résultat.
Prouvons l’unicité. On suppose E et la suite (ak ) construits, on réduit au même dénominateur pour obtenir
E(x)(x − b)n + ∑nk=1 ak (x − b)n−k
(x − b)n
f : x 7→
En notant R(x) le polynôme ∑nk=1 ak (x − b)n−k , l’écriture P = E(x − b)n + R est la division euclidienne de P par (x − b)n .
L’unicité de E et de R est donnée par le théorème de la division euclidienne. Par la partie 1.1.5, la décomposition de R sur la
base 1, x − b,...,(x − b)n−1 est unique. Ce qui donne l’unicité de la suite (ak ).
x3 +1
.
(x−1)2
3
x + 1 par
Exemple 1.2.2.2. On considère f (x) =
On effectue la division euclidienne de
(x − 1)2 nous obtenons
x3 + 1 = (x − 1)2 (x + 2) + 3x − 1.
Donc,
f (x) = x + 2 +
3x − 1
.
(x − 1)2
On décompose le polynôme 3x − 1 dans la base 1, x − 1, (x − 1)2 ,... :
3x − 1 = 2 + 3(x − 1)
et on obtient
f (x) = x + 2 +
2
3
+
.
2
(x − 1)
(x − 1)
Remarque 1.2.2.3. Cet énoncé est à comparer avec les développements décimaux. Par exemple, le nombre 145, 31415
correspond à
4
1
5
3
1
145, 31415 = 1.102 + 4.10 + 5 + + 2 + 3 + 4 + 5 .
10 10
10
10
10
P(x)
Proposition 1.2.2.4. Si f est une fraction rationnelle de la forme f : x 7→ (x2 +bx+c)
n alors il existe un unique polynôme E et
deux uniques familles (ai )i∈{1,..,n} et (bi )i∈{1,..,n} d’éléments de K telle que
n
f =E+∑
k=1
ak + bk x
.
2
(x + bx + c)k
Démonstration. Prouvons l’existence et l’unicité.
1. Existence. On peut supposer la fraction rationnelle f écrite sous forme irréductible. On effectue la division euclidienne
de P par le polynôme (x2 + bx + c)n , on note E le quotient et R le reste. Le degré du reste est strictement inférieur à
2n. La fraction rationnelle f s’écrit alors sous la forme
f : x 7→ E(x) +
R(x)
(x2 + bx + c)n
.
On effectue alors les divisions euclidiennes successives en suivant l’algorithme suivant
R(x)
Q0 (x)
..
.
=
=
Q0 (x)(x2 + bx + c) + R0 (x)
Q1 (x)(x2 + bx + c) + R1 (x)
Qn−2 (x) = Qn−1 (x)(x2 + bx + c) + Rn−1 (x)
Notons qu’à chaque étape le reste Ri est de la forme ai + bi x. Notons aussi que la suite des degrés des polynômes Qi
décroit de deux à chaque étape. Remontant l’algorithme on obtient l’écriture suivante :
R(x) = R0 (x) + R1 (x)(x2 + bx + c) + R2 (x)(x2 + bx + c)2 + ... + Rn−1 (x)(x2 + bx + c)n−1 ,
qui induit l’existence de la décomposition de la proposition.
14
2. Unicité. Si l’on dispose d’une telle écriture alors Rn−1 est le quotient dans la division euclidienne de R par le polynôme
(x2 + bx + c)n−1 . Il est donc unique. De même, à partir de l’écriture
R(x) − Rn−1 (x)(x2 + bx + c)n−1 = R0 (x) + R1 (x)(x2 + bx + c) + R2 (x)(x2 + bx + c)2 + ... + Rn−2 (x)(x2 + bx + c)n−2 ,
le même raisonnement prouve que le polynôme Rn−2 est unique comme quotient de R(x) − Rn−1 (x)(x2 + bx + c)n−1
par le polynôme (x2 + bx + c)n−2 . En itérant on obtient alors l’unicité de tous les Ri .
Exemple 1.2.2.5. Considérons
x6 + 4x4 + x3 + 5x2 + 3x + 3
.
(x2 + 1)3
Par division euclidienne du numérateur par le dénominateur, on obtient
f (x) =
f (x) = 1 +
x4 + x3 + 2x2 + 3x + 2
.
(x2 + 1)3
On effectue alors la division euclidienne de x4 + x3 + 2x2 + 3x + 2 par x2 + 1 :
x4 + x3 + 2x2 + 3x + 2 = (x2 + 1)(x2 + x + 1) + 2x + 1,
on obtient alors
f (x) = 1 +
c’est à dire
f (x) = 1 +
x2 + x + 1
2x + 1
+
,
(x2 + 1)3 (x2 + 1)2
2x + 1
x
1
+ 2
+ 2
.
2
3
2
(x + 1)
(x + 1)
x +1
Le théorème de décomposition en élément simples suivant résulte des deux cas particuliers précédents et du lemme de
découpage :
Lemme 1.2.2.6 (Lemme de découpage). Soit f une fraction rationnelle de la forme f = B1AB2 avec B1 et B2 premier entre
eux et deg A < deg B1 + deg B2 . Il existe un couple (A1 , A2 ) de polynômes tel que F = BA11 + AB22 .
De plus ce couple est unique avec la condition deg A1 < deg B1 et deg A2 < deg B2 .
Démonstration. Existence. Les polynômes B1 et B2 sont premiers entre eux donc par le théorème de Bézout, il existe deux
polynômes U et V tels que
B1U + B2V = 1.
Par conséquent nous avons l’écriture :
A(B1U + B2V ) AV AU
=
+
.
B1 B2
B1
B2
On effectue la division euclidienne de AV par B1 et AU par B2 , en notant Q1 et Q2 les quotients et A1 et A2 les restes :
f=
AV = B1 Q1 + A1 et AU = B2 Q2 + A2 .
On obtient donc l’écriture
A1 A2
+ .
B1 B2
Nécessairement la somme Q1 + Q2 vaut 0 car f n’a pas de partie entière sinon cela contredirait l’hypothèse
f = Q1 + Q2 +
deg A < deg B1 + deg B2 .
Ceci fournit donc l’existence de l’expression souhaitée.
Unicité. Supposons que l’on ait deux décompositions convenables :
f=
A1 A2 A01 A02
+
=
+ .
B1 B2 B1 B2
15
On obtient alors l’égalité
B2 (A1 + A01 ) = B1 (A2 + A02 ).
Par application du lemme de Gauss on obtient que B2 divise A2 − A02 et B1 divise A1 − A01 . Les inégalités sur les degrés
deg B2 > deg A2 − A02 et deg B1 > deg A1 − A01
impliquent alors que A2 = A02 et A1 = A01 . En effet si un polynôme P divise un polynôme Q alors deg P ≤ deg Q sauf si Q est
nul.
Exemple 1.2.2.7. On considère
f (x) =
2x
.
(x + 1)(x2 + 1)
Montrons que les polynômes x + 1 et x2 + 1 sont premiers entre eux. On utilise pour cela l’algorithme d’Euclide :
x2 + 1 = x(x + 1) − x + 1
x + 1 = −(−x + 1) + 2 .
−x + 1 = 12 (−x + 1).2 + 0
Le dernier reste non nul est donc 2. Le pgcd de x2 +1 et x+1 est donc 1. On remonte les calculs pour obtenir la décomposition
de Bézout. Pour cela on note A(x) = x2 + 1 et B(x) = x + 1. Nous avons :
A(x) = xB(x) − x + 1
.
B(x) = −(−x + 1) + 2
et nous en déduisons
1=
donc
1 2
(x + 1) − (x − 1)(x + 1)
2
2x. 21 (x2 + 1) − (x − 1)(x + 1)
f (x) =
(x + 1)(x2 + 1)
c’est à dire
f (x) =
c’est à dire
f (x) =
x
x(x − 1)
− 2
,
x+1
x +1
x + 1 − 1 x2 + 1 − x − 1
−
x+1
x2 + 1
donc
f (x) = −
1
x+1
+ 2
.
x+1 x +1
Théorème 1.2.2.8 (Décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle). Soit f = BA une fraction rationnelle
écrite sous forme irréductible. On suppose que le degré de B est plus grand que 1. On suppose B écrit sous forme de produit
de facteurs irréductibles : B = λBα1 1 ...Bαn n avec λ 6= 0 et αi ≥ 1 pour i ∈ {1, ..., n}. Il existe une unique famille de polynômes
E et Ci, j telle que
!
αi
n
Ci, j
Ci, j
< 0.
f = E + ∑ ∑ j , avec deg
Bi
i=1 j=1 Bi
Démonstration. Rappelons tout d’abord que si l’on travaille sur C, les facteurs irréductibles de B sont de la forme (x − b) et
si l’on travaille sur R ils sont de la forme (x2 + bx + c) avec b2 − 4c < 0.
Donnons alors les idées de la preuve de l’existence :
1. Si deg A ≥ deg B alors on effectue la division euclidienne de A par B : A = B.E + R avec deg R ≥ deg B. On obtient
alors l’écriture
R
f =E+ .
B
16
2. Par application du lemme de découpage, il existe une unique famille de polynômes (Ri )i∈{1,...,n} telle que
n
Ri
αi .
i=1 Bi
f =E+∑
3. On applique alors les deux cas particuliers précédents pour obtenir le résultat.
L’unicité de l’écriture résulte des unicités dans les propositions et le lemme qui précèdent.
1.2.3
Applications : calculs de sommes infinies et de dérivées successives
Outre le calcul de primitives de fractions rationnelles que nous verrons dans la section suivante, le fait de pouvoir
décomposer en éléments simples des fractions rationnelles, permet de :
1. Calculer certaines sommes infinies :
1
Notons Sn = ∑nk=2 k(k−1)(k+1)
. Quelle est la limite de Sn lorsque n tend vers l’infini ?
On décompose en élément simples :
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
=− +
−
=
−
−
−
.
k(k − 1)(k + 1)
k 2(k − 1) 2(k + 1) 2 k − 1 k
2 k k+1
1
On note alors uk = 12 k−1
− 1k de sorte que
n
1 1
Sn = ∑ uk − uk+1 = u2 − un+1 = −
4 2
k=2
1
1
−
n n+1
→
n→∞
1
.
4
1
2. Calculer des dérivées n-ièmes : Considérons la fonction x 7→ x(x−1)(x+1)
et calculons sa dérivée n-ième. On décompose
en éléments simples
1
1
1
1
=− +
−
.
x(x − 1)(x + 1)
x 2(x − 1) 2(x + 1)
On ramène alors le calcul à celui de la dérivée n-ième d’une fonction
Ainsi
1
x(x − 1)(x + 1)
(n)
1
x−a
(n)
=
= (−1) n! −
n
1
x−a
qui est plus facile :
(−1)n n!
.
(x − a)n+1
1
1
1
+
−
n+1
n+1
(x − a)
2(x − 1)
2(x + 1)n+1
.
Remarque 1.2.3.1. Savoir calculer les dérivées n-ièmes d’une fonction, permet par exemple d’approximer localement cette
fonction par une fonction polynômiale tout en contrôlant l’erreur. C’est la notion de développement limité confère remarque
1.1.5.2.
17
1.3
1.3.1
Rappels sur les intégrales et primitives d’une fonction continue, cas des fractions
rationnelles
Primitives et intégrales d’une fonction continue
Définition 1.3.1.1. Soit f une fonction continue d’une variable réelle définie sur un intervalle I et à valeurs dans R ou C.
On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable dont la dérivée est f .
Remarque 1.3.1.2. Si F est une primitive de f alors toute fonction de la forme x 7→ F(x) + C avec C une constante réelle
est une primitive de f . Réciproquement si on considère deux primitives de f , F1 et F2 , leur différence est de dérivée nulle
(F1 − F2 )0 = 0. Comme on travaille sur un intervalle, ceci entraîne (théorème des accroissements finis par exemple) qu’il
existe une constante C telle que F2 = F1 +C.
Théorème 1.3.1.3. Soit f une fonction continue sur un intervalle I, soit a un point de I.
1. La fonction
Z
x
x 7→
f (t)dt
a
est l’unique primitive de f qui s’annule en a.
2. Pour toute primitive F de f sur I on a
Z
x
f (t)dt = F(x) − F(a).
a
Rx
Démonstration.
1. Notons Φ : x ∈ I 7→ a f (t)dt. Remarquons que Φ(a) = 0. Nous voulons montrer que Φ est dérivable
en tout point x0 de I de dérivée f (x0 ). Par définition il s’agit donc de montrer que
Φ(x0 + h) − Φ(x0 )
= f (x0 ),
h→0
h
lim
ou encore
lim [Φ(x0 + h) − Φ(x0 )] − h f (x0 ) = 0.
h→0
Fixons h réel, par la relation de Chasles nous avons
[Φ(x0 + h) − Φ(x0 )] − h f (x0 ) =
Z x0 +h
x0
f (t)dt − h f (x0 ) =
Z x0 +h
x0
[ f (t) − f (x0 )] dt.
On souhaite montrer que cette intégrale tend vers 0 quand h tend vers 0. Ceci provient de la continuité de f en x0 :
Pour ε > 0 fixé, il existe η avec 1 > η > 0 tel que pour tout t ∈ [x0 − η, x0 + η] ∩ I on ait | f (t) − f (x0 )| ≤ ε.
Par conséquent pour |h| ≤ η nous obtenons
Z x +h
Z x0 +h
0
[Φ(x0 + h) − Φ(x0 )] − h f (x0 ) =
| f (t) − f (x0 )| dt ≤ εη ≤ ε.
f (t)dt − h f (x0 ) ≤
x0
x0
On obtient ainsi le résultat par définition de la limite.
Soit F est une autre primitive de f qui s’annule en a. Comme on travaille sur un intervalle I, il existe une constante C
tel que F = Φ +C. En évaluant en a nous obtenons C = 0. La fonction Φ est donc l’unique primitive de f qui s’annule
en a.
2. Soit F une primitive de f . Par l’argument précédent il existe une unique constante C telle que F = Φ +C. En évaluant
en a on obtient C = F(a). Ceci montre que pour tout x ∈ I
Z x
F(x) = F(a) +
f (t)dt.
a
→ Par conséquent le calcul de l’intégrale d’une fonction continue se ramène à la détermination d’une primitive de cette
fonction :
Z
b
a
f (t)dt = F(b) − F(a) = [F(t)]ba .
18
1.3.2
Calculs de primitives
Rappelons les primitives usuelles :
intervalle
R∗+
fonction
6= −1
xm , m
primitive
xm+1
m+1 +C
R∗+ , R∗−
1
x
ln |x| +C
R
eλx , λ 6= 0
1 λx
λ e +C
R
ax , a > 0 et a 6= 1
1 x
ln a a +C
R
cos ax, a 6= 0
1
a sin ax +C
R
sin ax, a 6= 0
− a1 cos ax +C
] − π2 + kπ, π2 + kπ[, k ∈ Z
tan x
− ln |cos x| +C
] − π2 + kπ, π2 + kπ[, k ∈ Z
1
cos 2 x
= 1 + tan2 x
tan x +C
]0 + kπ, π + kπ[, k ∈ Z
1
sin 2 x
− tan1 x +C
R
ch ax, a 6= 0
1
a sh ax +C
R
sh ax, a 6= 0
1
a ch ax +C
R
th x
ln ch x +C
R
1
ch 2 x
= 1 − th 2 x
th x +C
R∗− , R∗+
1
sh 2 x
− th1x +C
R
1
x2 +1
arctan x +C
] − 1, 1[
1
1−x2
argth x +C = 21 ln x+1
x−1
] − 1, 1[
√ 1
1−x2
arcsin x +C
]1, +∞[
√ 1
x2 −1
argch x +C
R
√ 1
x2 +1
argsh x +C
19
1.3.3
Intégration par parties
Théorème 1.3.3.1 (Intégration par parties). Soit u et v deux fonctions de classe C1 sur [a, b]. Pour tout x ∈ [a, b] on a l’égalité
Z x
a
u0 (t)v(t)dt = [u(t)v(t)]xa −
Z x
u(t)v0 (t)dt.
a
Démonstration. En effet u et v étant dérivables, le produit uv est dérivable avec (uv)0 = u0 v + uv0 . La formule d’intégration
par parties découle de l’intégration de cette formule : pour tout x ∈ [a, b]
[u(t)v(t)]xa =
Z x
(uv)0 (t)dt =
Z x
a
u0 (t)v(t)dt +
Z x
a
u(t)v0 (t)dt.
a
Exemple 1.3.3.2. Calculons la primitive de x 7→ ln x qui s’annule en 1. Toutes les autres primitives s’en déduiront par ajout
d’une constante. On procède par intégration par parties : Pour x ∈ ]0, +∞[ on a
Z x
Z x
lntdt =
1. lntdt =
1
1
[t lnt]x1 −
Z x
1dt = x ln x − x + 1.
1
Les primitives de x 7→ ln x sont donc les fonctions x 7→ x ln x − x +C où C est une constante réelle.
1.3.4
Changements de variables
Théorème 1.3.4.1 (Changements de variables). Soit f une fonction continue sur un intervalle I et ϕ une fonction de classe
C1 sur un intervalle [a, b] à valeurs dans I. On a
Z b
Z ϕ(b)
0
f (ϕ(x))ϕ (x)dx =
f (t)dt.
a
ϕ(a)
Démonstration. Soit F une primitive de f . On consière la fonction g = F ◦ ϕ. Cette fonction est dérivable, sa dérivée est
continue et vérifie
g0 (x) = F 0 (ϕ(x))ϕ0 (x) = f (ϕ(x))ϕ0 (x).
On a d’une part
g(b) − g(a) = F(ϕ(b)) − F(ϕ(a)) =
Z ϕ(b)
f (t)dt,
ϕ(a)
et d’autre part
g(b) − g(a) =
Z b
Z b
0
g (t)dt =
a
f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt.
a
Ce qui donne la formule.
Exemple 1.3.4.2. Calculer l’intégrale
On pose pour cela
R π/2
0
(sin 3 (x) + 1)cos xdx.
t = ϕ(x) = sin x
fonction de classe C1 sur [0, π/2]. Nous avons
dt = ϕ0 (x)dx = cos xdx
et ϕ(0) = ϕ(π/2) = 1.
Par la formule de changement de variables nous obtenons l’égalité
Z π/2
3
Z 1
(sin x + 1)cos xdx =
0
0
t4
(t + 1)dt =
+t
4
20
3
1
5
= .
4
0
1.3.5
Primitives des fractions rationnelles
Le théorème de décomposition en éléments simples 1.2.2.8 permet de ramener le calcul d’une primitive d’une fraction
1
ax+b
rationnelle compliquée à des calculs de primitives de fractions rationnelles plus simple du type x 7→ (x−a)
n ou x 7→ (x2 +px+q)n
avec p2 − 4q < 0.
1. Soit a dans R.
(a) La primitive de x 7→
1
x−a
est de la forme x 7→ ln(|x − a|) +C avec C ∈ R.
(b) Pour tout n ≥ 1, la primitive de x 7→
1
(x−a)n
1
1
.
est x 7→ − n−1
(x−a)n−1
2. Soit a, b, p et q avec p2 − 4q < 0. Soit n ≥ 1. Donnons une méthode pour calculer une primitive de
x 7→
ax + b
(x2 + px + q)n
.
(a) On commence par faire apparaître la dérivée de x2 + px + q au numérateur :
b − ap
a
2x + p
ax + b
2
=
+
.
(x2 + px + q)n 2 (x2 + px + q)n (x2 + px + q)n
La première partie s’intègre facilement car elle est de la forme
u0
un
qui s’intègre en
1
.
(x2 +px+q)n
2
2
2
(x + p/2) + r avec r =
1
.
(1−n)un−1
(b) Il reste donc à calculer des primitives de fonctions de la forme x 7→
Pour cela on écrit x2 + px + q sous forme canonique
Par conséquent nous avons les égalités
x 7→
Z x
0
1
1
dt = 2n
2
n
(t + pt + q)
r
Z x
0
dt
2
n =
x+p/2
r
+1
en utilisant la formule de changement de variables pour u =
x+p/2
r .
1
r2n−1
q − (p/2)2 > 0.
Z
x+p/2
r
p
2r
du
,
(1 + u2 )n
du
(c) Il reste donc à savoir calculer les intégrales du type (1+u
2 )n .
Ces intégrales se calculent par récurrence en intégrant par partie :
Pour tout n ≥ 1 notons
Z x
du
Jn : x 7→
.
2 n
0 (1 + u )
R
Nous avons
x
Jn (x) = 2
+ 2n
(x + 1)n
Z x
0
u2
x
du = 2
+ 2n(Jn+1 (x) − Jn (x)).
(1 + u2 )n+1
(x + 1)n
Sachant que J0 (x) = x et J1 (x) = arctan x. On peut calculer par récurrence Jn .
Exemple 1.3.5.1. Calculons l’intégrale
Z 1
0
1
dx
(x + 1)(1 + x2 )
On commence par décomposer en éléments simples la fraction rationnelle :
1
1
1−x
=
+
.
2
(x + 1)(1 + x ) 2(x + 1) 2(1 + x2 )
Par conséquent
Z 1
0
1
1
1
1
1
1
π
2
=
ln(x + 1) + arctan(x) − ln(1 + x ) = ln(2) + .
2
(x + 1)(1 + x )
2
2
4
4
8
0
21
1.3.6
Applications aux intégrales trigonométriques
Définition 1.3.6.1. On appelle fonction polynôme en deux variables toute fonction de la forme
(x, y) ∈ R 7→ a0 + a1,0 x + a0,1 y + ... + ak,l xk yl + ... + an,m xn ym .
Définition 1.3.6.2. On appelle fraction rationnelle en deux variables R(x, y) toute fonction de la forme
(x, y) 7→ R(x, y) =
P(x, y)
.
Q(x, y)
En substituant x par cos t et y par sin t on obtient une fonction
f : t 7→ R(cos t, sin t)
que l’on appelle fraction rationnelle en cos t, sin t.
Théorème 1.3.6.3 (Règles de Bioche). Soit f une fraction rationnelle en sin t et cos t.
1. Si pour tout t ∈ R, on a f (π − t) = − f (t) alors le changement de variable u = sin t conduit à la recherche d’une
primitive de fraction rationnelle.
2. Si pour tout t ∈ R, on a f (−t) = − f (t) alors le changement de variable u = cost conduit à la recherche d’une primitive
de fraction rationnelle.
3. Si pour tout t ∈ R, on a f (π + t) = f (t) alors le changement de variable u = tant pour t ∈] − π2 + nπ, π2 + nπ[ conduit
à la recherche d’une primitive de fraction rationnelle.
4. Dans tous les autres cas le changement de variable u = tan 2t , pour t ∈](2n − 1)π, (2n + 1)π[ conduit à la recherche
d’une primitive de fraction rationnelle.
Exemple 1.3.6.4. Calculons l’intégrale
Z π/2
0
La fonction f (t) =
C1
sin t
(cos t+1)(1+cos 2 t)
sin t
dt.
(cos t + 1)(1 + cos 2t)
vérifie f (−t) = − f (t), on effectue le changement de variable x = cos t qui est de classe
de [0, π/2] vers [0, 1]. Par la formule de changement de variables nous avons
Z π/2
0
sin t
dt =
(cos t + 1)(1 + cos 2t)
Z 1
0
22
1
π
1
= ln(2) + .
2
(x + 1)(1 + x ) 4
8
1.4
Objectifs pédagogiques
1. Savoir calculer les racines carrées d’un nombre complexe.
2. Savoir effectuer une division euclidienne.
3. Avoir le réflexe de chercher des racines évidentes pour factoriser.
4. Savoir décomposer un polynôme dans la base 1, x − α, (x − α)2 , .... par divisions euclidiennes successives ou via la
formule de Taylor.
5. Savoir décomposer un polynôme suivant la famille 1, (ax2 + bx + c), (ax2 + bx + c)2 , ... par divisions euclidiennes
successives
6. Savoir calculer le pgcd de deux polynômes par l’algorithme d’Euclide ou par une décomposition en facteurs irréductibles.
7. Savoir calculer une décomposition de Bézout.
8. Savoir décomposer une fraction rationnelle en éléments simples.
9. Lors d’un calcul de somme infinie ou de dérivées successives faisant intervenir une fraction rationnelle avoir le réflexe
de faire une décomposition en éléments simples.
10. Savoir calculer les primitives d’une fraction rationnelle.
11. Savoir calculer les primitives et les intégrales de fractions rationnelles trigonométriques.
23