2de 5 - S Devoir à la maison n°6 Corrigé On considère dans le plan

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Devoir à la maison n°6
Corrigé
On considère dans le plan un demi-cercle de diamètre [AB] tel que AB = 10 unités.
Soit x ∈ [0; 10] : on place sur le segment [AB] le point C tel que AC = x.
On dessine alors les demi-cercles de diamètre [AC] et [CB].
On obtient une partie du plan délimitée par ces trois demi-cercles qu’on appelle “arbel” (au
contour dessiné en trait épais).
La perpendiculaire à (AB) passant par C coupe le demi-cercle de diamètre [AB] en D.
D
b
b
b
A
b
C
b
B
p est la fonction qui à tout x ∈ [0; 10] associe le périmètre p(x) de l’arbel.
a est la fonction qui à tout x ∈ [0; 10] associe l’aire a(x) de l’arbel.
πx
.
2
Le diamètre du demi-cercle de diamètre [CB] est CB = 10 − x et le périmètre de ce
π(10 − x)
demi-cercle est donc
.
2
10π
= 5π.
Le périmètre du demi-cercle de diamètre [AB] est
2
Le périmètre de l’arbel est donc :
1. Le périmètre du demi-cercle de diamètre [AC] est
πx π(10 − x) 10π
+
+
= 10π
2
2
2
La fonction p est donc constante, et pour tout x ∈ [0; 10], p(x) = 10π.
d2
2. L’aire d’un demi-disque de diamètre d est donnée par π . Pour tout x ∈ [0; 10],
8
π
π
a(x) =
102 − x2 − (10 − x)2 = (10x − x2 )
8
4
(On a soustrait à l’aire du demi-disque de diamètre [AB] les aires des demi-disques de
diamètre [AC] et [CB].)
3. La fonction polynôme du second degré (x 7−→ 10x − x2 ) est croissante sur [0; 5] et
π
décroissante sur [5; 10]. Le coefficient étant positif, il en est de même pour la fonction
4
a.
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25π
unités
4. Il s’ensuit que la fonction a admet un maximum en 5 et que ce maximum vaut
4
d’aire.
h2
5. Posons h = CD : l’aire du disque de diamètre h est π .
4
Les triangles ACD et DCB sont rectangles en C : d’après le théorème de Pythagore,
AC 2 + h2 = AD 2 et CB 2 + h2 = BD2 .
Comme D est sur le demi-cercle de diamètre [AB], le triangle ADB est rectangle en D
et ainsi, AD 2 + BD2 = AB 2 = 100.
On en déduit que x2 + h2 + (10 − x)2 + h2 = 100 et h2 = 10x − x2 .
10x − x2
Ainsi, l’aire du disque de diamètre CD est π
, ce qui est bien égal à a(x).
4
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