Introduction à la logique.

L1 MPI
Introduction à la logique.
TD numéro 5
http ://www.depinfo.u-cerghy.fr/logiqueL1
Novembre 2011
Exercice I.
Pour chacune des formules propositionnelles suivantes :
1. Simplifier la formule.
On pourra utiliser des simplifications partielles, totales ou mixer les deux méthodes.
On pourra aussi à un moment donné repasser sur la méthode de l’arbre ou du tableau.
2. Déduire la table de vérité.
3. Vérifier la table de vérité précédemment obtenue en utilisant la méthode de l’arbre ou du tableau.
(a) P1 = (X1 ∧ X2 ) ∨ X1 =⇒ X3 ∧ (¬(X4 =⇒ X3 ))
(b) P2 = (X1 =⇒ X2 ) =⇒ (X2 =⇒ X1 )
(c) P3 = ¬ X1 =⇒ X2 =⇒ (X3 =⇒ X1 )
(d) P4 = X1 =⇒ (¬X1 ) =⇒ X2
(e) P5 = (X1 ∧ X2 ) =⇒ (X3 ∧ X2 ) ∨ X2
(f) P6 = ¬ X1 =⇒ ¬(X2 =⇒ X1 )
(g) P7 = (X1 =⇒ X2 ) ∧ (X2 =⇒ X3 ) ∧ (X3 =⇒ X1 )
(h) P8 = (X1 =⇒ X2 ) ∧ (X2 =⇒ X3 ) ∧ X3 =⇒ (¬X1 )
(i) P9 = X1 =⇒ (X2 =⇒ X1 ) =⇒ (X1 =⇒ X2 ) =⇒ X1
(j) P10 = X1 =⇒ (X2 ∧ X3 ) ∧ ¬(X1 ∧ X2 )
Exercice II.
2.1 Problème 1.
Un psychiatre pour logiciens écoute un de ses patients énumérer les sentiments qu’il ressent pour ses
deux charmantes collègues :
"J’aime Marie ou j’aime Jeanne" ;
"Si j’aime Marie, alors j’aime Jeanne".
Le psychiatre peut-il conclure que le logicien aime Marie ? Jeanne ? les deux ?
2.2 Problème 2.
Le psychiatre reçoit un autre logicien du même laboratoire, lui aussi sous le charme, et anticipe en
demandant : "Est-ce vrai que, si vous aimez Marie, alors vous aimez Jeanne ? ".
Le logicien répond :
"Si c’est vrai, alors j’aime Marie" ;
"Si j’aime Marie, alors c’est vrai."
Que peut-en conclure le psychiatre ?
2.3 Problème 3.
Le patient suivant est atteint d’une forme instable du "syndrome du crétin" qui rend la consultation
délicate : selon qu’il est en phase F ou en phase V, il mentira ou dira la vérité systématiquement, sachant
1
que cette phase ne change pas pendant une même journée.
Le patient énonce :
"J’aime Jeanne" ;
"Si j’aime Jeanne, alors j’aime Marie."
Que peut-en conclure le psychiatre ?
Exercice III.
Système complet de connecteur.
3.1 Définition.
On rappelle que l’ensemble des connecteurs de la logique booléenne défini en cours est :
C = {¬, ∧, ∨ =⇒ }.
On peut éventuellement rajouter le connecteur ⇐⇒ dont la table de vérité X ⇐⇒ Y est celle de
(X =⇒ Y ) ∨ (Y =⇒ X).
On appelle système complet de connecteurs tout sous ensemble C 0 de C tel que pour toute formule P il
existe une formule P 0 équivalente à P n’utilisant que les connecteurs de C 0 .
Voici un petit résultat intéressant :
Si C 0 est un système de connecteur complet et si C 00 est un système de connecteur tel que pour toute
formule P n’utilisant que les connecteurs de C 0 il est possible de trouver une formule P 00 équivalente à
P 0 n’utilisant que les connecteurs de C 00 alors le système de connecteur C 00 est complet.
3.2 Exercices.
1. Montrer que le système de connecteurs C 0 = {∨, ¬} est complet.
On pourra faire le lien avec le TD2 et la barre scheffer.
2. Déduire que le système de connecteurs C 0 = {∧, ¬} est complet.
3. Déduire que le système de connecteurs C 0 = { =⇒ , ¬} est complet.
4. Déduire que le système de connecteurs C 0 = { =⇒ } n’est pas complet.
3.3 Deuxième série d’exercices.
1. Le système de connecteurs C 0 = { =⇒ , ∨} est-il complet ?
2. Le système de connecteurs C 0 = { =⇒ , ∧} est-il complet ?
3. Le système de connecteurs C 0 = {∧, ∨} est-il complet ?
3.4 Troisième série d’exercices.
1. Le système de connecteurs C 0 = { ⇐⇒ } est-il complet ?
2. Montrer que le système de connecteurs C 0 = { ⇐⇒ , ¬} n’est pas complet ?
On pourra regarder ce qui se passe lorsqu’une formule utilise uniquement deux variables, émettre
une conjecture que l’on démontrera et enfin montrer que la formule X1 ∨ X2 ne peut pas être
exprimée avec les seuls connecteurs ⇐⇒ et ¬.
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Correction des deux derniers exercices.
Exercice II.
Les problèmes.
2.1 Problème 1.
On note M la proposition "J’aime Marie" et J la proposition "J’aime Jeanne.".
"J ?aime Marie ou j ?aime Jeanne" se traduit donc en logique d’ordre zéro par M ∨ J est vraie.
"Si j ?aime Marie, alors j ?aime Jeanne" se traduit en M =⇒ J”estvraie.
Ainsi on en conclut que la proposition
(M ∨ J) ∧ (M =⇒ J) est VRAIE.
Il suffit alors de construire la table de vérité pour voir que cette proposition est VRAIE pour pour M
VRAIE et J VRAIE ou M FAUX et J VRAIE autrement dit on ne peut conclure qu’une chose : J est
VRAIE soit encore :
Le logicien aime Jeanne.
2.2 Problème 2.
Avec les mêmes notations.
La question posée est Q = M =⇒ J est-elle VRAIE.
Les réponses peuvent se traduire par :
"Si c’est vrai, alors j ?aime Marie" : Q =⇒ M = (M =⇒ J) =⇒ M est VRAIE.
"Si j ?aime Marie, alors c’est vrai" : M =⇒ Q = M =⇒ (M =⇒ J est VRAIE.
Encore une fois il suffit de faire la table de vérité de la formule
(M =⇒ J) =⇒ M ∧ M =⇒ (M =⇒ J
qui doit être VRAIE.
On peut remarquer que la formule M =⇒ (M =⇒ J est équivalente à M =⇒ J pour simplifier les
calculs mais cela n’est pas obligatoire.
On remarque que cette formule est VRAIE pour la seule ligne M VRAIE et J VRAIE.
On peut donc conclure que le logiciel aime Marie et Jeanne.
2.3 Problème 3.
Encore une fois avec les mêmes notations.
"J’aime Jeanne" qui peut se traduire par J.
"Si j’aime Jeanne, alors j’aime Marie" qui peut se traduire par J =⇒ M .
Soit le logicien dit la vérité et donc énonce J ∧ (J =⇒ M ) est VRAIE ;
Soit le logicien ment et donc énonce (¬J)
∧ ¬(J =⇒ M ) est VRAIE.
Pour conclure il vient que la formule J ∧ (J =⇒ M ) ∨ (¬J) ∧ ¬(J =⇒ M ) est VRAIE.
La table de vérité de la formule précédente nous indique que cette formule est VRAIE uniquement dans
le cas M est VRAIE et J est VRAIE.
Autrement dit on peut conclure que le logicien aime Jeanne et Marie.
On peut arriver à la deuxième conclusion que le logicien dit la vérité : en effet si le logicien ment alors
il énonce qu’il n’aime pas Jeanne ce qui est contradictoire.
Exercice III.
Système complet de connecteur.
3.1 Définition.
On rappelle que l’ensemble des connecteurs de la logique booléenne défini en cours est :
C = {¬, ∧, ∨ =⇒ }.
On peut éventuellement rajouter le connecteur ⇐⇒ dont la table de vérité X ⇐⇒ Y est celle de
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(X =⇒ Y ) ∨ (Y =⇒ X).
On appelle système complet de connecteurs tout sous ensemble C 0 de C tel que pour toute formule P il
existe une formule P 0 équivalente à P n’utilisant que les connecteurs de C 0 .
Voici un petit résultat intéressant :
Si C 0 est un système de connecteur complet et si C 00 est un système de connecteur tel que pour toute
formule P n’utilisant que les connecteurs de C 0 il est possible de trouver une formule P 00 équivalente à
P 0 n’utilisant que les connecteurs de C 00 alors le système de connecteur C 00 est complet.
3.2 Exercices.
1. Montrer que le système de connecteurs C 0 = {∧, ¬} est complet.
On pourra faire le lien avec le TD2 et la barre scheffer.
La définition de la barre de scheffer n’utilise que les connecteurs ∧ et ¬ et permet d’exprimer les
autres connecteurs donc le système est complet.
2. Déduire que le système de connecteurs C 0 = {∨, ¬} est complet.
Il suffit de voir qu’il est possible d’exprimer ¬ à l’aide de {∨, ¬} ce qui est évident.
De même il est possible d’exprimer ∧ à l’aide de {∨, ¬}.
Ce qui est évident car X ∧ Y est équivalent à ¬(¬X ∨ ¬Y ).
3. Déduire que le système de connecteurs C 0 = { =⇒ , ¬} est complet.
Même chose il suffit d’exprimer ∨ à l’aide de { =⇒ , ¬}.
On a X ∨ Y est équivalent à ¬X =⇒ Y .
4. Montrer que le système de connecteurs C 0 = { =⇒ } n’est pas complet.
Il suffit de montrer que P =⇒ Q ne peut pas être non-satisfaisable dans le cas où P et Q sont
des formules qui n’utilisent que le connecteur =⇒ .
Cela peut se faire par récurrence sur la hauteur de P =⇒ Q ou mieux par descente infinie.
Considérons pour cela une formule du type P =⇒ Q non satisfaisable de hauteur minimale
(existence est démontrée car la hauteur d’une formule est dans N et on suppose l’existence d’une
telle formule non satisfaisable).
Cette existence suppose que Q est non satisfaisable.
Le caractère minimal de P =⇒ Q impose que Q n’est pas de la forme P =⇒ Q et donc Q = Xi
qui est satisfaisable par essence.
Cela amène à une contradiction.
3.3 Deuxième série d’exercices.
1. Le système de connecteurs C 0 = { =⇒ , ∨} est-il complet ?
Il suffit de montrer que ¬X ne peut pas être simulé à l’aide su système C 0 = { =⇒ , ∨}.
Procéder par descente infinie en considérent la formule de hauteur minimale équivalente à ¬X.
Cette formule est :
(a) Soit une variable et c’est absurde.
(b) Soit de la forme P =⇒ Q et donc soit P soit Q est équivalente à ¬X ce qui est impossible
(question de minimalité de hauteur).
(c) Soit de la forme P ∨ Q et dans ce cas soit P est équivalente à ¬X soit Q est équivalente à
¬X.
Au final il est impossible de trouver une formule équivalente à ¬X.
2. Le système de connecteurs C 0 = { =⇒ , ∧} est-il complet ?
Problème symétrique au précédent en démontrant qu’il est impossible de trouver une formule
équivalente à ¬X ou non satisfaisable.
En effet :
(a) Si P =⇒ Q est équivalente à ¬X alors Q est équivalente à ¬X ou est non satisfaisable.
(b) Si P =⇒ Q est non satisfaisable alors Q est équivalente à ¬X ou est non satisfaisable.
(c) Si P ∧ Q est équivalente à ¬X et si P est satisfaisable et non équivalente à ¬X alors Q est
équivalente à ¬X ou est non satisfaisable.
Et réciproquement si Q est satisfaisable et non équivalente à ¬X.
(d) Si P ∧ Q est non satisfaisable et si P est satisfaisable et non équivalente à ¬X alors Q est
équivalente à ¬X ou est non satisfaisable.
Et réciproquement si Q est satisfaisable et non équivalente à ¬X.
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3. Le système de connecteurs C 0 = {∧, ∨} est-il complet ?
Non il suffit de montrer (comme ci-dessus par descente infinie) qu’il est impossible d’obtenir une
formule équivalente à ¬X.
Dans toutes ces questions la difficulté réside dans le fait qu’une formule équivalente à ¬X peut éventuellement contenir d’autre variables que X.
3.4 Troisième série d’exercices.
1. Le système de connecteurs C 0 = { ⇐⇒ } est-il complet ?
On montre par récurrence sur la hauteur des formules que les seules tables de vérité possibles dans
le cas de deux variables sont :
X Y 1er cas 2è cas 3è cas 4è cas
0 0 0
0
1
1
0 1 0
1
1
0
1 0 1
0
1
0
1 1 1
1
1
1
2. Montrer que le système de connecteurs C 0 = { ⇐⇒ , ¬} n’est pas complet ?
C’est un peu plus compliqué et pour cela il faut commencer par faire une remarque :
Si on considère une formule P construite à l’aides des connecteurs { ⇐⇒ , ¬}, et que l’on considère
la formule Q construite de la même manière que P sans les connecteurs ¬ deux cas se présentent
selon que le nombre de connecteurs ¬ de P est pair ou impair :
Si le nombre de connecteurs est pair alors P est équivalente à Q.
Sinon P est équivalente à ¬Q.
Or Q est construite uniquement à partir du connecteur ⇐⇒ qui nous ramène au cas précédent :
Les seules tables de vérité possibles dans le cas de deux variables sont :
X Y 1er cas 2è cas 3è cas 4è cas 5è cas 6è cas 7è cas 8è cas
0 0 0
0
1
1
1
1
0
0
0 1 0
1
1
0
1
0
0
1
Or il existe 16
1 0 1
0
1
0
0
1
0
1
1 1 1
1
1
1
0
0
0
0
cas possibles.
Le système de connecteurs C 0 = { ⇐⇒ , ¬} n’est donc pas complet.
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