Correction

3e
Métropole
Jérome Michaud-Bonnet — Collège Diderot – Besançon —
1. Quelle est l’image de −3 par f ?
L’image de −3 par f est 22 .
Avec un logiciel :
– on a construit un carré ABCD,
A
de côté 4 cm.
– on a placé un point M mobile
sur [AB] et construit le carré
MNPQ comme visualisé sur la
Q
copie d’écran ci-contre.
– on a représenté l’aire du carré
D
MNPQ en fonction de la longueur AM.
M
B
N
P
C
On a obtenu le graphique ci-dessous.
Aire de MNPQ (en cm2 )
17
2. Calculer f (7).
Grâce à la formule du tableur (-5*C1+7) ou en remarquant une diminution de 5 en 5 quand on augmente x de 1 en 1 :
f (7) = 7 − 5 × 7 = −28 .
3. Donner l’expression de f (x).
f (x) = −5x + 7
4. On sait que g(x) = x2 + 4. Une formule a été saisie
dans la cellule B3 et recopiée ensuite vers la droite
pour compléter la plage de cellules C3:H3. Quelle est
cette formule ?
B1*B1+4 ou B1ˆ2+4 .
16
15
http://michaudbonnet.ovh.org
[email protected]
Exercice 1
juin 2013
Exercice 3
14
Q. 2
13
Les informations suivantes concernent les salaires des
hommes et des femmes d’une même entreprise :
12
11
Q. 1
10
Salaires des femmes :
1 200e ; 1 230e ; 1 250e ; 1 310e ; 1 370e ; 1 400e ;
1 440e ; 1 500e ; 1 700e ; 2 100e
9
8
7
6
5
4
Q. 3
3
2
1
0
−1
0
1
2
3
4
5
Longueur
AM (en cm)
1. Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de AM, l’aire de
MNPQ est égale à 10 cm2 .
Pour AM = 1 cm et pour AM = 3 cm .
2. Déterminer l’aire de MNPQ lorsque AM est égale à
0,5 cm.
L’aire vaut environ 12,5 cm2 .
3. Pour quelle valeur de AM l’aire de MNPQ est-elle
minimale ? Quelle est alors cette aire ?
L’aire est minimale pour AM = 2 cm ; l’aire vaut
alors 8 cm2 .
Exercice 2
On a utilisé un tableur pour calculer les images de différentes valeurs de x par une fonction affine f et par une
autre fonction g. Une copie d’écran obtenu est donnée cidessous.
Salaires des hommes :
Effectif total : 20
Moyenne : 1 769e
Étendue : 2 400e
Médiane : 2 000e
Les salaires des hommes sont tous différents.
1. Comparer le salaire moyen des hommes et celui des
femmes.
1 200+1 230+1 250+1 310+1 370+1 400+1 440+1 500+1 700+2 100
10
14 500
= 1 450
10
Le salaire moyen des femmes est 1 450e, il est inférieur à celui des hommes (1 769e).
2. On tire au sort une personne dans l’entreprise. Quelle
est la probabilité que ce soit une femme ?
Il y a 10 femmes pour 30 salariés en tout, la proba1
10
bilité est donc de
, soit
.
30
3
3. Le plus bas salaire de l’entreprise est de 1 000e. Quel
salaire est le plus élevé ?
Le plus bas salaire pour les femmes est 1 200e,
donc c’est un homme qui a le salaire le plus bas.
Comme l’étendue de la série constituée du salaire des
hommes est égale à 2 400e, le salaire le plus élevé des
hommes est 1 000 + 2 400 = 3 400e.
Le salaire le plus élevé pour les femmes est 2 100e.
Donc le salaire le plus élevé de l’entreprise est
3 400e .
=
Jérome Michaud-Bonnet — Collège Diderot – Besançon —
http://michaudbonnet.ovh.org
[email protected]
3e
Métropole
4. Dans cette entreprise combien de personnes gagnent
plus de 2 000e ?
La médiane du salaire des hommes est 2 000e et il y
20 hommes.
On range les salaires des hommes du plus bas au
plus élevé.
On ecarte le cas où la médiane serait une des valeurs
de la série, car dans ce cas, cela signifie que le 9e et
le 10e salaire sont 2 000e, ce qui est en contradiction
avec l’affirmation « Les salaires des hommes sont
tous différents. »
Il y a donc exactement 10 hommes qui gagnent plus
de 2 000e. Il y a aussi exactement 1 femme qui
gagne plus de 2 000e. Donc au total, 11 personnes
gagnent plus de 2 000e.
juin 2013
L’angle à la base du triangle isocèle AOB vaut donc
(180◦ − 72◦ ) ÷ 2 = 54◦ .
Comme tous les triangles isocèles sont identiques, la med vaut 2 × 54◦ = 108◦ .
sure de l’angle ABC
Exercice 5
Pour réaliser un abri de jardin en parpaing, un
bricoleur a besoin de 300 parpaings de dimensions
50 cm × 20 cm × 10 cm pesant chacun 10 kg.
Il achète des parpaings dans un magasin situé à 10 km
de sa maison. Pour les transporter, il loue au magasin un
10 cm
fourgon.
Exercice 4
20 cm
Trois figures codées sont données ci-dessous. Elles ne
sont pas dessinées en vraie grandeur.
d
Pour chacune d’elles, déterminer la mesure de l’angle ABC.
A
Figure 1
B
?
b
b
AC = 3 cm
BC = 6 cm
b
C
Dans le triangle ABC, rectangle en A,
d = AC = 3 = 0,5.
sin(ABC)
BC
6
d = sin−1 (0,5) = 30◦ .
D’où ABC
Figure 2
C
b
A
b
?
B
O
b
Le triangle ABC est inscrit dans le cercle de diamètre [AB]
donc il est rectangle en C.
d = 90◦ − 59◦ = 31◦ .
ABC
A
Figure 3
b
b
B
b
?
E
O
b
D
C
d a pour
Dans le pentagone régulier ABCDE, l’angle AOB
◦
◦
mesure 360 ÷ 5 = 72 .
b
Information 1 : Caractéristiques du fourgon :
– 3 places assises.
– Dimensions du volume
transportable (L × ℓ × h) :
2,60 m × 1,56 m × 1,84 m.
– Charge pouvant être transportée : 1,7 tonne.
– Volume du réservoir : 80
Litres.
– Diesel (consommation : 8
Litres aux 100 km).
Information 2 : Tarifs de location du fourgon :
b
59◦
50cm
1 jour
30 km maximum
1 jour
50 km maximum
1 jour
100 km maximum
1 jour
200 km maximum
km
supplémentaire
48e
55e
61e
78e
2e
Ce prix comprend le kilométrage indiqué hors carburant.
Information 3 : un litre de carburant coûte 1,50e.
1. Expliquer pourquoi il devra effectuer deux allerretour pour transporter les 300 parpaings jusqu’à sa
maison.
Les dimensions du fourgon ne posent pas de problème :
Sur le fond, il peut poser à plat 5 parpaings dans le
sens de la longueur sur 2,50 m (5 × 0,50 m < 2,60 m)
et 7 parpaings dans le sens de la largeur du camion
(7 × 0,20 m < 1,56 m), soit 7 × 5 = 35 parpaings.
Rien que sur 10 étages, on peut mettre 10 × 35 = 350
parpaings pour atteindre la hauteur de 1 mètre, inférieure à 1,84 m.
Pour la masse :
300 × 10 = 3 000 kg
Il doit transporter 3 tonnes de parpaings, ce qui est
trop lourd pour le fourgon (1,7 tonne maximum).
Il pourra faire deux aller-retour à 1,5 tonne chacun.
Jérome Michaud-Bonnet — Collège Diderot – Besançon —
http://michaudbonnet.ovh.org
[email protected]
3e
Métropole
2. Quel sera le coût total du transport ?
Pour deux aller-retour, il va faire 2 × 20 = 40 km.
Il utilisera 8 × 40 ÷ 100 = 3,2 L de carburant.
3,2 × 1,5 = 4,8
Le carburant lui coûtera 4,80e.
S’il prend le tarif pour 30 km maximum, il payera
pour 10 km de supplément, soit 20e. Ca fera en tout
48 + 20 = 68e. Il est plus avantageux de prendre le
tarif pour 50 km maximum (55e).
On ajoute le prix de la location : 55 + 4,80 = 59,80
Le coût total sera de 59,80e .
3. Les tarifs de location du fourgon sont-ils proportionnels à la distance maximale autorisée par jour ?
Pour 50 km maximum, le tarif de location est de
55e. Pour 100 km (le double), on ne paye pas le
double de 55e (110e), mais 61e.
Donc les tarifs de location ne sont pas proportionnels
à la distance maximale autorisée par jour.
Exercice 6
Dans les marais salants, le sel récolté est stocké sur
une surface plane comme l’illustre la photo ci-dessous. On
admet qu’un tas de sel a toujours la forme d’un cône de
révolution.
juin 2013
1×8
= 2,5 m.
3,20
La hauteur du cône est égale à 2,50 mètres .
D’où OS =
b. À l’aide de la formule Vcône
=
π × rayon2 × hauteur
, déterminer, en m3 , le
3
volume de sel contenu dans ce cône. Arrondir
le résultat au m3 près.
π × 2,52 × 2,5
≈ 16 m3
3
2. Le sel est ensuite stocké dans un entrepôt sous la
forme de cônes de volume 1 000 m3 . Par mesure de
sécurité, la hauteur d’un tel cône ne doit pas dépasser 6 mètres. Quel rayon faut-il prévoir au minimum
pour la base ? Arrondir le résultat au décimètre près.
On calcule le rayon pour un cône de 6 mètres de haut.
On le note r. Ce sera le rayon minimum pour la base.
π × r2 × 6
= 1 000
3
2 × π × r2 = 1 000
1 000
r2 =
2
r×π
1 000
r=
≈ 12,6
2×π
Il faudra au minimum 12,6 m de rayon pour la
base.
Exercice 7
1.
a. Pascal souhaite déterminer la hauteur d’un
cône de sel de diamètre 5 mètres. Il possède
un bâton de longueur 1 mètre. Il effectue des
mesures et réalise les deux schémas ci-dessous :
S
C
A
B
E
O
L
5m
3,20 m
2,30 m
Démontrer que la hauteur de ce cône de sel est
égale à 2,50 mètres.
Dans le triangle OAS, les droites (BC) et (OS)
sont parallèles et les points A, B et O, ainsi que
les points A, C et S sont alignés, donc, d’après
AB
BC
=
le théorème de Thalès :
OS
AO
1
3,20
=
OS
3,20 + 2,30 + 2,50
Affirmation 1 :
Dans un club sportif, les trois quarts des adhérents sont
mineurs et le tiers des adhérents majeurs a plus de 25 ans.
Un adhérent sur six a donc entre 18 et 25 ans.
1
des adhérents sont majeurs.
4
1
1 1
× =
3 4
12
1
des adhérents a plus de 25 ans.
12 10
9
1
1
2
1
3
=1−
=1−
1−
+
+
=
=
4 12
12 12
12
12
6
Donc c’est vrai .
Affirmation 2 :
Durant les soldes, si on baisse le prix d’un article de 30%
puis de 20%, au final le prix de l’article a baissé de 50%.
Si on baisse de 30%, il reste 70% à payer et on multiplie
le prix par 0,70.
Si on baisse de 20%, il reste 80% à payer et on multiplie
le prix par 0,80.
En tout, le prix a été multiplié par 0,80 × 0,70, soit 0,56,
soit une réduction de 44%. C’est donc faux .
Affirmation 3 :
Pour n’importe quel nombre entier n, (n + 1)2 − (n − 1)2
est un multiple de 4.
(n + 1)2 − (n − 1)2 = n2 + 2n + 1 − (n2 − 2n + 1) =
n2 + 2n + 1 − n2 + 2n − 1 = 4n
Comme n est un nombre entier, 4n est bien un multiple
de 4, c’est donc vrai .