Seconde - Simulations et Algorithmique - ´Enoncé 0 1

Dès que le palet rencontre un clou, il a autant de chances d’aller à droite (D) qu’à gauche (G) de ce clou.
Seconde - Simulations et Algorithmique - Énoncé
Un exemple de trajet possible est GGDG et le palet tombe dans la case ≪ 0 e ≫.
a) Montrer qu’il y a 16 trajets possibles. On pourra s’aider d’un arbre des possibles.
Première partie du jeu
b) Le joueur lance un palet. Calculer la probabilité des évènements suivants :
La première partie d’un jeu consiste à lancer deux fois de suite une pièce bien équilibrée.
G0 : ≪ Le joueur ne gagne rien ≫
Sur l’une des deux faces de cette pièce figure le chiffre 0 et sur l’autre, le chiffre 1.
0
G50 : ≪ Le joueur gagne 50 euro ≫
G100 : ≪ Le joueur gagne 100 e ≫
c) Décrire par une phrase chacun des évènements suivants et calculer leur probabilité.
1
P 1 ∩ G0
P1 ∩ G50
Le joueur lance deux fois une telle pièce puis gagne un nombre de palets 1 égal à la somme des chiffres
P1 ∩ G100
Simulation et probabilité
qu’il a obtenus.
a) Écrire un algorithme qui simule 1 000 parties de ce jeu (le lancer des deux pièces suivi du lâcher de
a) Combien de palets le joueur peut-il gagner ?
palet sur la planche s’il y a lieu).
b) Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
– Simuler le lancer de deux pièces et calculer le nombre N de palets gagnés.
P0 : Le joueur ne gagne aucun palet
≪
P1 : Le joueur gagne un palet
≫
≪
≫
P2 : ≪ Le joueur gagne deux palets ≫
Deuxième partie du jeu
– Créer une variable S associée au gain total remporté par le joueur à l’issue du lancer de palet.
– Créer une variable E associée au nombre de fois que le joueur ne gagne rien à l’issue du lancer de
tous les palets.
– Créer une variable P qui représente l’abscisse du palet (initialiser cette variable à 0).
La deuxième partie du jeu consiste à lâcher un par un chacun des palets gagnés à la partie précédente
À chaque clou rencontré, cette abscisse augmente ou diminue d’une unité.
(s’il y a lieu) du haut d’une planche verticale cloutée. À l’issue de sa chute, le palet tombe dans une des
P : −4 −3 −2 −1 0
1
2
3
4
b
cinq cases à laquelle correspond une somme d’argent.
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
100 e
b
b
0e
50 e
1/2
50 e
0e
100 e
Répéter le lâcher d’un palet autant de fois que nécessaire.
b
0e
0e
À la fin de son trajet, la valeur de P permet de calculer la somme d’argent qui a été gagnée.
b
b
1. Petit disque de bois
B. CAILHOL pour Statistix (www.statistix.fr)
100 e
b
100 e
– Afficher le nombre de parties (sur les 1 000 simulées) à l’issue desquelles le joueur n’a rien gagné.
9
b) On admet que la probabilité de ne rien gagner à l’issue d’une partie complète de ce jeu est de .
16
La fréquence obtenue par la simulation est-elle dans l’intervalle de fluctuation ?
2/2
Seconde - Simulations et Algorithmique - Corrigé
Deuxième partie du jeu
a)
G 100 e
Inspiré du jeu télévisé ≪ Le juste prix ≫, la planche du Fakir. Version simplifiée.
G
D 0e
G
G
0e
D
D 50 e
G
G
0e
G
D 50 e
D
G
50 e
D
D 0e
Première partie du jeu
G
0e
G
a) Le joueur peut gagner 0, 1 ou 2 palets.
D 50 e
G
b)
G
0, 5
0
0
D 0e
D
0, 5
0, 5
50 e
D
G
1
50 e
G
D 0e
D
G
0e
D
0, 5
0, 5
0
0, 5
1
D 100 e
1
Les issues :
Simulation et probabilité
• (1, 1) permet de gagner deux palets ;
• (0, 1) et (1, 0) permettent de gagner un palet ;
• (0, 0) ne permet pas de gagner de palet.
On déduit p (P1 ) = 0, 5 puis p (P2 ) = 0, 25 et p (P0 ) = 0, 25.
Ainsi, le joueur a une chance sur quatre de gagner deux palets.
B. CAILHOL pour Statistix (www.statistix.fr)
8
2
= 0, 5 puis p (G50 ) = 0, 375 et p (G100 ) =
= 0, 125.
16
16
c) p (P1 ∩ G0 ) = 0, 5 × 0, 5 = 0, 25 ; p (P1 ∩ G50 ) = 0, 1875 et p (P1 ∩ G100 ) = 0, 0625
b) D’après l’arbre des possibles, p (G0 ) =
1/2
Sur 1 000 simulations, 571 correspondent à un gain nul, soit une fréquence de 0, 571. La probabilité de
9
ne rien gagner étant de , il y a 95 % de chance que toute fréquence simulée soit dans l’intervalle de
16
#
"
1
1
; 0, 5625 + √
⊂ [0, 53 ; 0, 60] en particulier supérieure à 0,5.
fluctuation 0, 5625 − √
1000
1000
La fréquence obtenue par la simulation est dans cet intervalle.
2/2