Préparation au DNB : Fiche n°1

Préparation au DNB : Fiche n°1
Exercice 1 : 4 pts
15 min
Trouver le nombre auquel je pense.
 Je pense à un nombre.
 Je lui soustrais 10.
 J’élève le tout au carré.
 Je soustrais au résultat le carré du nombre auquel j’ai pensé.
 J’obtiens alors : -340
Exercice 1 :
Soit x un nombre entier.
Je lui soustrais 10. J’obtiens l’expression : x – 10
J’élève le tout au carré. J’obtiens l’expression : (x – 10)2
Je soustrais au résultat le carré du nombre auquel j’ai pensé.
J’obtiens l’expression : (x – 10)2 - x2
J’obtiens alors -340. J’obtiens alors l’équation : (x – 10)2 - x2 = -340
Etape 1 : je développe et réduis l’expression : (x – 10)2 - x2
(x – 10)2 - x2 = (x – 10) × (x – 10) - x2 = x × x + x × (-10) + (-10) × x + (-10) × (-10) - x2
(x – 10)2 - x2 = x2 – 10x – 10x + 100 - x2 = – 20x + 100
Etape 2 : je résous l’équation : (x – 10)2 - x2 = -340
– 20x + 100 = -340
– 20x + 100 – 100 = -340 – 100
– 20 × x = -440
– 20 × x – 440
=
– 20
– 20
x = 22
Etape 3 : je conclus :
J’ai pensé au nombre 22.
Vérification :
 Je pense à un nombre : 22
 Je lui soustrais 10 : 22 – 10 = 12
 J’élève le tout au carré : 122 = 144
 Je soustrais au résultat le carré du nombre auquel j’ai pensé : 144 - 222 = 144 – 484 = -340
 J’obtiens alors : -340
Exercice 2 : 4 pts
15 min
Pour filmer les étapes d’une course cycliste, les réalisateurs de télévision utilisent des
caméras installées sur deux motos et d’autres dans deux hélicoptères.
Un avion relais, plus haut dans le ciel, recueille les images et joue le rôle d’une antenne relais.
On considère que les deux hélicoptères se situent à la même altitude et que le peloton des
coureurs roule sur une route horizontale.
Le schéma ci-contre illustre
cette situation.
L’avion relais (point A), le premier hélicoptère (point L) et la première moto (point N) sont
alignés. De la même manière, l’avion relais (point A), le deuxième hélicoptère (point H) et la
deuxième moto (point M) sont également alignés.
On sait que : AM = AN = 1 km ; HL = 270 m et AH = AL = 720 m.
1) Relever la phrase de l’énoncé qui permet d’affirmer que les droites (LH) et (MN) sont
parallèles. 1 pt
2) Calculer la distance MN entre les deux motos. 3 pts
Exercice 2 :
Schéma de la situation :
AM = AN = 1 km = 1 000 m.
1) La phrase de l’énoncé qui permet d’affirmer que les droites (LH) et
(MN) sont parallèles est :
« On considère que les deux hélicoptères se situent à la même altitude
et que le peloton des coureurs roule sur une route horizontale. »
2) Je sais que les droites (LH) et (MN) sont parallèles et je reconnais
que les triangles AHL et AMN sont en configuration de Thalès.
AH AL HL
D’après le théorème de Thalès, on a :
=
=
AM AN MN
720
720 270
Donc
=
=
1 000 1 000 MN
D’après l’égalité des produits en croix : MN × 720 = 1 000 × 270
270 000
MN =
= 375
720
La distance entre les deux motos est de 375 mètres.
Exercice 3 : 4 pts
15 min
Un chocolatier vient de fabriquer 2 622 œufs de Pâques et 2 530 poissons en chocolat.
Il souhaite vendre des assortiments d’œufs et de poissons de façon que :
 Tous les paquets aient la même composition ;
 Après mise en paquets, il ne reste ni œufs, ni poissons.
1) Le chocolatier peut-il faire 19 paquets ? Justifier. 1,5 pts
2) Quel est le plus grand nombre de paquets qu’il peut réaliser ?
Dans ce cas, quelle sera la composition de chaque paquet ? 2,5 pts
Exercice 3 :
1) 2 622 = 138 × 19. Si le chocolatier réalise 19 paquets, chacun d’entre eux contiendra 138
œufs de Pâques. Il n’en restera pas.
2 530 = 133 × 19 + 3. Si le chocolatier réalise 19 paquets, chacun d’entre eux contiendra
133 poissons au chocolat et il en restera 3.
Or le chocolatier veut qu’il ne lui reste ni œufs, ni poissons.
Il ne peut donc pas faire 19 paquets.
2) Le chocolatier veut faire des paquets en utilisant l’intégralité des 2 622 œufs de Pâques
et en les répartissant équitablement. Je cherche donc un diviseur de 2 622.
De même, je cherche un diviseur de 2 530. Le chocolatier veut faire un nombre maximal de
paquets, je cherche donc le plus grand diviseur commun à 2 622 et à 2 530.
Méthode 1
Les diviseurs de 2 622
sont :
1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 19 ; 23 ;
38 ; 46 ; 57 ; 69 ; 114 ;
138 ; 437 ; 874 ; 1 311 ;
2 622.
Les diviseurs de 2 530
sont :
1 ; 2 ; 5 ; 10 ; 11 ; 22 ;
23 ; 46 ; 55 ; 110 ; 115 ;
230 ; 253 ; 506 ; 1 265 ;
2 530.
Les diviseurs communs
de 2 622 et de 2 530
sont :
1 ; 2 ; 23 ; 46.
Méthode 2
2 622 – 2 530 = 92
2 530 – 92 = 2 438
2 438 – 92 = 2 346
2 346 – 92 = 2 254
2 254 – 92 = 2 162
2 162 – 92 = 2 070
2 070 – 92 = 1978
1 978 – 92 = 1 886
1 886 – 92 = 1 794
1 794 – 92 = 1 702
1 702 – 92 = 1 610
1 610 – 92 = 1 518
1 518 – 92 = 1 426
1 426 – 92 = 1 334
1 334 – 92 = 1 242
Méthode 3
1 242 – 92 = 1 150 2 622 = 1 × 2 530 + 92
1 150 – 92 = 1 058 2 530 = 27 × 92 + 46
1 058 – 92 = 966
92 = 2 × 46 + 0
966 – 92 = 874
874 – 92 = 782
782 – 92 = 690
690 – 92 = 598
598 – 92 = 506
506 – 92 = 414
414 – 92 = 322
322 – 92 = 230
230 – 92 = 138
138 – 92 = 46
92 – 46 = 46
46 – 46 = 0
PGCD(2 622 ;2 530) = 46. Le chocolatier peut faire au maximum 46 paquets.
2 622 ÷ 46 = 57. Il y aura dans chaque paquet 57 œufs de Pâques.
2 530 ÷ 46 = 55. Il y aura dans chaque paquet 55 poissons au chocolat.