ROC : dérivée d`une fonction composée

ROC : dérivée d’une fonction composée
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ROC : dérivée d’une fonction composée
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, soit f dérivable sur u(I). Soit a dans
I, b = u(a) et soit g = f ◦ u (c’est-à-dire g(x) = f (u(x))). Le but est de calculer la
dérivée g 0 (a).
Pour tout h tel que a + h ∈ I, on pose k = u(a + h) − u(a).
Avec les taux d’accroissement
1. Démontrer que l’accroissement de g entre a et a + h est égal à l’accroissement de f
entre b et b + k, où k est l’accroissement de u entre a et a + h
k est défini par : k = u(a + h) − u(a) = u(a + h) − b. Donc b + k = u(a + h).
Donc l’accroissement de g entre a et a+h est g(a+h)−g(a) = f (u(a+h))−f (u(a)) =
f (b + k) − f (b). C’est bien l’accroissement de f entre b et b + k.
2. Démontrer que le taux d’accroissement de g entre a et a + h est le produit du taux
d’accroissement de f entre b et b + k par le taux d’accroissement de u entre a et a + h
(lorsque ces taux existent, c’est-à-dire pour h=0
/ et u(a)=u(a
/
+ h))
f (b + k) − f (b)
f (b + k) − f (b) k
g(a + h) − g(a)
=
=
× =
h
h
k
h
f (b + k) − f (b) u(a + h) − u(a)
×
.
k
h
3. On suppose de plus ici que qu’on a toujours u(x)=u(a)
/
pour x=a.
/
Démontrer que g est dérivable en a et que g 0 (a) = f 0 (u(a)) × u0 (a)
g(a + h) − g(a)
Il faut calculer la limite du taux d’accroissement
lorsque h tend
h
vers 0 (en restant différent de 0). D’après la propriété précédente :
g(a + h) − g(a)
f (b + k) − f (b) u(a + h) − u(a)
=
×
h
k
h
Toute fonction dérivable est continue, donc lorsque h tend vers 0, u(a + h) tend
vers u(a). Donc k tend vers 0 (car k = u(a + h) − u(a)). De plus u(a + h)=u(a)
/
pour h=0,
/ donc k =0
/ pour h=0.
/
Donc d’après la définition d’une dérivée comme limite du taux d’accroissement, et la
propriété de composition des limites, la limite lorsque h tend vers 0 est f 0 (b)×u0 (a).
Donc (f ◦ u)0 (a) = g 0 (a) = f 0 (b) × u0 (a) = f 0 (u(a)) × u0 (a)
Avec les tangentes
4. Démontrer que le coefficient directeur de la composée t ◦ s de deux fonctions affines t
et s est le produit des coefficients directeurs de ces deux fonctions
soit t(x) = mx + n (coefficient directeur : m)
et s(x) = px + q (coefficient directeur : p) .
Alors t(s(x)) = m(px + q) + n = mpx + mq + n : le coefficient directeur est mp.
5. Soit y = s(x) l’équation de la tangente à la courbe de u en a et y = t(x) l’équation
de la tangente à la courbe de f en u(a). En admettant que l’équation de la tangente
à la courbe de f ◦ u en a est y = t(s(x)), déterminer (f ◦ u)0 (a)
La tangente à la courbe de u en a a pour coefficient directeur u0 (a). C’est le coefficient directeur de la fonction affine s.
La tangente à la courbe de f en u(a) a pour coefficient directeur f 0 (u(a)). C’est le
coefficient directeur de la fonction affine t.
Donc, d’après la propriété de la composée des fonctions affines s et t, le coefficient
directeur de t ◦ s est le produit f 0 (u(a)) × u0 (a). On admet ici que c’est le coefficient
directeur de la tangente à la courbe de f ◦ u en a, c’est-à-dire (f ◦ u)0 (a).
Donc (f ◦ u)0 (a) = f 0 (u(a)) × u0 (a) .
Cas général
Les démonstrations précédentes comportaient quelques restrictions (u(x)=u(a)
/
pour
x=a)
/ ou des propriétés admises (la tangente à la courbe d’une composée est la composée
des fonctions affines tangentes). On peut donner une démonstration sans ces restrictions.
En voici l’idée générale :
D’après une définition de la dérivée, on peut écrire :
k = u(a + h) − u(a) = hu0 (a) + hα(h), où lim α(h) = 0
h→0
De même : g(a + h) − g(a) = f (b + k) − f (b) = kf 0 (b) + kβ(k), où lim β(k) = 0
k→0
Donc le taux d’accroissement de g entre a et a + h est :
k
g(a + h) − g(a)
= (f 0 (b) + β(k)) = (u0 (a) + α(h))(f 0 (b) + β(k)).
h
h
Lorsque h tend vers 0, k aussi, et α(h) et β(k) aussi.
Donc la limite (qui est par définition g 0 (a)) est f 0 (b)u0 (a)