Programme de mécanique

PROGRAMME DE MECANIQUE
Recommandations importantes sur le programme de mécanique extraites du
rapport général
Une épreuve commune de construction mécanique pour les T1 et les S3. Ce qui implique
l’adoption d’une même charge horaire hebdomadaire.

Pour les classes de première T1 et T2
Le contenu du programme pour ces deux classes est identique.
Le programme proposé a été adopté à l’unanimité avec les modifications et
recommandations suivantes :
- Tout le chapitre Statique graphique doit être entièrement traité pour la classe
de première T1,
- Pour ce qui est du planning, en RdM les sollicitations simples doivent être traitées
dans le premier semestre pour les deux classes T1 et T2,
- Le cours sur les torseurs doit être totalement élagué du programme de la
classe de première T2.
1. Pour les classes de terminales T1 et T2
Le contenu du programme pour ces deux classes aura beaucoup de similarités. Il est
important cependant de noter les spécificités suivantes :
- En terminale T2, la notion de déformée sera introduite et expliquée, les
formules de calcul relatives à la déformée seront données sans
démonstrations,
- Le chapitre Dynamique sera élagué pour la terminale T2.
- La Cinématique du point ne sera pas traitée par les professeurs de construction
mécanique, car elle sera traitée en amont par les professeurs de sciences physique.
Toutefois des applications (TD) seront faites pour consolider les acquis.
Programme de MECANIQUE des classes de : 1T1 et 1T2
Chapitre 1 : ELEMENTS DE GEOMETRIE VECTORIELLE
1.
DEFINITIONS ET SOMME VECTORIELLE
1.1. Définitions
1.1.1. Vecteur (caractéristiques)
1.1.2. Vecteur glissant
1.1.3. Vecteur nul
1.1.4. Vecteurs égaux
1.1.5. Vecteurs colinéaires
1.1.6. Scalaire
1.2. Somme vectorielle
1.2.1. Définition
1.2.2. Propriétés de la somme vectorielle
1.2.2.1.Associativité
1.2.2.2.Commutativité
1.2.2.3.Soustraction
1.2.2.4.Multiplication par un scalaire
1.2.3. Application
2.
PROJECTION ORTHOGONALE D'UN VECTEUR
1.1.1.Projection sur un axe (O, x)
1.1.2.Projection sur un plan (O, x, y)
1.1.3.Projection dans l’espace (O, x, y, z)
1.1.4.Applications
3.
PRODUIT SCALAIRE DE DEUX VECTEURS
3.1. Définition et expression vectorielle
3.2. Propriétés
3.2.1. Symétrie
3.2.2. Bi linéarité
3.2.3. Associativité
3.2.4. Cas de nullité
3.3. Expression Analytique
3.4. Applications
4.
PRODUIT VECTORIEL DE DEUX VECTEURS
4.1. Définition et expression vectorielle
4.2. Propriétés
4.2.1. Non-commutativité
4.2.2. Distributivité
4.2.3. Associativité
4.2.4. Cas de nullité
4.3. Expression Analytique
4.4. Applications
5.
MOMENT D'UN VECTEUR GLISSANT PAR RAPPORT A UN POINT
5.1. Introduction
5.2. Définition (1)
5.3. Cas de nullité
5.4. Moment algébrique
5.5. Relation fondamentale (transfert de moment)
5.6. Applications
6.
MOMENT D'UN VECTEUR GLISSANT PAR RAPPORT A UN AXE
6.1. Théorème
6.2. Définition
6.3. Cas particulier
6.4. Application
Chapitre 2 - INTRODUCTION A LA MECANIQUE DU SOLIDE
1.
INTRODUCTION
1.1. La statique
1.2. La cinématique
1.3. R D M
1.4. La dynamique
2.
LA NOTION DE SOLIDE ET DE SYSTEME DE SOLIDES
2.1. Introduction
2.2. Le solide réel
2.2.1. Définition
2.2.2. Exemple
2.3. Le solide déformable suivant une loi
1.4.1. Définition
1.4.2. Exemple
2.4. Le solide indéformable
 Définition
 Géométriquement parfaits
 Indéformable
 Homogène
 Isotrope
Chapitre 3 ACTIONS MECANIQUES
2.
GENERALITES
1.1. Définition
1.2. Notion de force
1.2.1. Définition
1.2.2. Différents types de forces
1.2.2.1.Actions à distance (2)
1.2.2.1.1.Action massique
1.2.2.1.2.Action magnétique
1.2.2.1.3.Action électrique
1.3. Moment d’une force
1.3.1. Définition
1.3.2. Applications
1.3.2.1.par rapport à un point
1.3.2.2.par rapport à une droite
1.4.
Moment d’un système de Actions de contact force
1.4.1. Définition
1.4.2. Applications
1.4.2.1.par rapport à un point
1.4.2.2.par rapport à une droite
2.
ACTIONS DE CONTACT
2.1. Principe des actions réciproques
2.2. Types de contact
2.2.1. Contact ponctuel
2.2.1.1.Appui simple
 Exemples
2.2.2. Contact linéaire
2.2.3. Contact de surface
2.2.4. Articulation
 Exemples
2.3. Actions de contact dans un système matériel
2.3.1. Définition
2.3.2. Exemples
3.
FORCES EXTERIEURES ET FORCES INTERIEURES
3.1. Isolement
3.2. Définition
3.3. Exemples
Chapitre 4 STATIQUE
1.
PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE
2.
METHODE DE RESOLUTION D'UN PROBLEME DE STATIQUE
2.1. Objectif
2.2. Algorithme de résolution d'un problème de statique (Méthode analytique)
 Isolement
 Bilan
 Modélisation
 Application du PFS
 Résolution analytiquement
 Remarques
2.3. Exemples
2.4. Algorithme de résolution d'un problème de statique (Méthode graphique système soumis à
3 forces coplanaires)
2.4.1. méthode
 Isolement
 Bilan
 Modélisation
 Application du PFS
 Résolution graphique
2.4.2. Applications
2.4.2.1.3 forces concourantes
2.4.2.2.3 forces concourantes avec point de concours hors de la feuille
2.4.2.3.3 forces parallèles
2.4.2.4.
Chapitre 5 -
ETUDE DU FROTTEMENT
1.
MISE EN EVIDENCE DE L'ADHERENCE
2.
ANGLE DE FROTTEMENT
3.
CONE DE FROTTEMENT
4.
APPLICATION
4.1. cas de l'arc boutement
4.2. Cas du basculement

Chapitre 6
INTRODUCTION A LA RDM
1.
OBJECTIFS
2.
DEFINITIONS HYPOTHESES
2.1. Notion de poutre
2.2. Forces de cohésion
2.3. sollicitations simples
2.4. hypothèses de la RdM
3.
TRACTION - COMPRESSION
3.1. Définition et hypothèses
3.1.1. Définition
3.1.2. Hypothèses
3.2. Essai de traction
3.2.1. Introduction
3.2.2. Etude du graphe : Interprétation graphique
3.2.2.1.Zone élastique
 Loi de Hooke
 Limite d'élasticité Re
 Module d'élasticité longitudinale
3.2.2.2.Zone des déformations permanentes
 Résistance à la rupture R
 Coefficients d'allongement A%
3.2.3. Application
3.3. Contraintes normales dans une section
3.3.1. Exemple : Fil soutenu par une charge
3.3.1.1.Equilibre du fil
 Isolement du fil
 Bilan
 Modélisation
 Application du PFS.
3.3.1.2.Calcul de la contrainte
 Isolons le tronçon ( BG )
 Hypothèses
 Remarque
3.3.1.3.Allongement correspondant
3.3.2. Application
3.4. Conditions de résistance
 Exemple 1
 Exemple 2
3.5. Concentration des contraintes
4.
CISAILLEMENT SIMPLE
4.1. Définition
4.2. Essai de cisaillement
4.2.1. Déformations
4.2.2. Courbe caractéristique de l'essai
4.2.2.1.Limite d'élasticité au glissement Reg
4.2.2.2.Limite de rupture au glissement Rrg
4.2.2.3.Contrainte moyenne de cisaillement
4.3. contraintes tangentielles
4.3.1. Bilan des actions
4.3.2. Expression de la contrainte
 PFS
 Hypothèse
4.3.3. Application
4.4. Conditions de résistance
4.5. Applications
4.5.1. Cisaillement de goupilles ajustées
4.5.2. Poinçonnage d'une tôle
Programme DE MECANIQUE des classes de : TT1
Chapitre1 : STATIQUE
1.
NOTION DE TORSEUR DES ACTIONS MECANIQUES TRANSMISSIBLES
2.
STATIQUE ANALYTIQUE (avec les torseurs)
2.1.Méthode de résolution d'un problème de statique.
2.2.Equilibre d'un solide
2.2.1.Solide soumis à des forces coplanaires parallèles.
2.2.2.Solide soumis à des forces coplanaires non parallèles.
3.
STATIQUE GRAPHIQUE
3.1.Généralités
3.2.Dynamique et funiculaire
3.2.1.Exemple: Cas de plusieurs forces coplanaires
3.2.2.Définition
3.2.3.Théorème
3.3.Résultante d'un système de forces coplanaires
3.4.Equilibre d'un solide
3.4.1.Méthode de résolution d'un problème de statique.
3.4.2.Solide soumis au plus à trois forces coplanaires non parallèles.
3.4.2.1.Solide soumis à 2 forces.
3.4.2.2.Solide soumis à 3 forces.
3.4.3.Solide soumis à des forces coplanaires parallèles.
3.4.4.Solide soumis à l'action d'au moins 4 forces coplanaires.
3.4.4.1.Cas d'une direction et de 2 modules inconnus.
Exemples
3.4.4.2.Cas de 3 modules inconnus (Toutes les directions sont connues)
3.4.5.Solide soumis à des charges réparties
Chapitre 2 : SOLLICITATIONS SIMPLES : TRACTION-COMPRESSION ET CISAILLEMENT
1.
TRACTION SIMPLE
1.1. Rappels
1.2. Applications
2.
CISAILLEMENT SIMPLE
2.1. Rappels
2.2. Applications
Chapitre 3 : MOMENT STATIQUE ET MOMENT QUADRATIQUE D'UNE SURFACE PLANE
1.
Moment statique d'une surface plane par rapport à un axe situé dans son plan.
1.1. Définition
1.2. Théorème
1.3. Exemple
2.
Moment quadratique d'une surface plane par rapport à un axe situé dans son plan.
2.1. Définition
2.2. Exemple
2.3. Théorème de Huygens
3.
Moment quadratique d'une surface plane par rapport à un axe perpendiculaire à son plan.
3.1. Définition
3.2. Théorème
3.3. Applications
3.3.1. Moment quadratique d'un rectangle par rapport à un de ses cotés.
3.3.2. Moment quadratique d'un rectangle par rapport aux axes de symétrie.
4.
Moments quadratiques à connaître
5.
Exercices
Chapitre 4 : TORSION SIMPLE
1.
Définition
2.
Déformations : angle unitaire de torsion
3.
Moment de torsion :Mt
4.
Contrainte tangentielle de torsion
•
Diagramme de répartition des contraintes
•
Expression de T
5.
Relation entre moment de torsion et angle unitaire de torsion.
6.
Relation entre contrainte T et moment de torsion Mt.
7.
Conditions de résistance
8.
Concentration de contraintes
Chapitre 5 : FLEXION
1.
FLEXION PLANE SIMPLE
1.1. Mise en évidence
1.2. Définition
1.3. Hypothèses fondamentales
 Sur les poutres
 Sur les forces
 Sur les déformations
1.4. Efforts tranchants et moments fléchissants
1.4.1. Poutre en équilibre
1.4.2. Equilibre de la poutre
1.4.3. Isolement du tronçon AG
1.4.4. Conventions et définitions
1.5. Equations et diagrammes des efforts tranchants et moments fléchissants.
1.6. Etude des contraintes
1.6.1. Contrainte normale x
1.6.1.1.Répartition des contraintes
1.6.1.2.Relation entre x et Mfz.
1.6.1.3.Contraintes normales maximales
1.6.2. Contraintes Tangentielles.
1.7. Conditions de résistance
1.8. Concentration de contraintes
1.9. Applications
1.9.1. poutre encastrée
1.9.2. charges réparties
2.
FLEXION COMPOSEE
2.8. Cas de la flexion + traction
2.8.1. Etude 1 : Traction
Equations efforts normaux
Diagrammes efforts normaux
Calcul de la contrainte normale
2.8.2. Etude 2 : Flexion
Equations des Mfz
Diagrammes des Mfz
Calcul de la contrainte maximale
2.8.3. Etude 3 : Superposition
Répartition des contraintes
Calcul de la contrainte totale
2.9. Cas de la flexion + compression
2.9.1. Etude 1 : Compression
Equations efforts normaux
Diagrammes efforts normaux
Calcul de la contrainte normale
2.9.2. Etude 2 : Flexion
Equations des Mfz
Diagrammes des Mfz
Calcul de la contrainte maximale
2.9.3. Etude 3 : Superposition
Répartition des contraintes
Calcul de la contrainte totale
Chapitre 6 CINEMATIQUE
1.
CINEMATIQUE DU POINT
1.1.Objet et but de la cinématique
1.2.Notion de point matériel
1.3.Notion de mouvement par rapport à un solide de référence.
1.4.Notion de temps, Unité.
1.5.Position d'un point, Référentiel.
1.6.Trajectoire d'un point d'un point par à un solide de référence.
1.7.Vitesse
1.7.1.
Vitesse moyenne
1.7.2.
Vitesse instantanée
1.8.Accélération
1.8.1.
Accélération moyenne
1.8.2.
Accélération instantanée
1.9.Mouvements particuliers
1.9.1.
Mouvement rectiligne uniforme / uniformément varié
1.9.1.1.Définition
1.9.1.2.Equations du mouvement
1.9.1.3.Exemples
1.9.2.
Mouvement circulaire uniforme / uniformément varié
1.9.2.1.Définition
1.9.2.2.Equations du mouvement
1.9.2.3.Exemples
2.
CINEMATIQUE DU SOLIDE
2.1.Notion de solide
2.2.Mouvement absolu, relatif et d'entraînement
2.2.1.
Repère absolu et relatif
 Repère absolu
 Repère relatif
2.2.2.
Définition
2.2.2.1.Notion de mouvement absolu
2.2.2.2.Notion de mouvement relatif
2.2.2.3.Notion de mouvement d'entraînement
2.3.Etude des mouvements particuliers
2.3.1.
Mouvement de translation
2.3.2.
Mouvement de rotation
2.3.3.
Mouvement plan
2.3.3.1.Définition
2.3.3.2.Equiprojectivité
2.3.3.3.Propriétés
2.3.3.4.Application
2.3.3.5.C.I.R
a. Définition
b. Construction
c. Application
1. composition de vitesses
2. vitesse de glissement
3. applications
Chapitre 7 DYNAMIQUE
1.1. Introduction
1.2. Mouvement en translation rectiligne
1.2.1.
principe fondamental
1.3. Moment d'inertie d'un système matériel
1.3.1. Définition
1.3.2. Théorème de Huygens
1.3.3. Moments d'inertie les plus courants
1.3.4. Unité
1.4. Solide en rotation par rapport à un axe fixe
Principe fondamental
1.4.1. Enoncé (le centre de gravité du solide est situé sur l'axe de rotation ).
 Remarque
 Moment d'une force par rapport à un axe
1.4.2. Exemple
1.4.3. Enoncé (le centre de gravité du solide n’est pas situé sur l'axe de rotation.
 Accélération γG
 Remarque
1.4.4. Exemple
ALLIAGES FERREUX
B) LES ACIERS DE CONSTRUCTION
Exemple de désignation symbolique :
EN-GJL-200
MECANIQUE
: E
Exemple de désignation :
Rr en Mpa Exemple de désignation :
30 Ni Cr Mo 8-6
S 235
E 335
Préfixe
Symbole du type de fonte
Symbole
* Rr = Limite à la rupture en Mpa
% de carbone
x 100
Re en Mpa
* Re = Limite minimal d’élasticité en
Mpa (N/mm²)
(N/mm²)
% des éléments d’alliage
x4 pour Cr, Co, Mn, Ni, Si, W
x10 pour Al, Be, Cu, Mo, Nb, Pb,
Ta, Ti, V, Zr
x100 pour Ce, N, P, S
x1000 pour B
C) LES ACIERS POUR TRAITEMENT
B) LES FONTES MALLEABLES
THERMIQUE ET FORGEAGE
:
Exemple de désignation symbolique :
Préfixe
: C
Exemple de désignation :
C40
EN-GJMB-450-6
Symbole des
éléments d’alliage par
teneur décroissante
Rr en Mpa
C) LES FONTES GRAPHITE SPHEROÏDAL
:
Exemple de désignation symbolique :
Préfixe
A%
Rr en Mpa
Symbole du type de fonte
IGEN / STI (mécanique)
Argent
Be
Bi
Bérylium
Bismuth
B
Cd
Bore
Cadmium
Ce
Cérium
Cr
Co
Chrome
Cobalt
Cu
Sn
Cuivre
Etain
Fe
Ga
Fer
Gallium
% de carbone
B) LES ACIERS FORTEMENT ALLIES :
x 100
(Au moins un élément d’alliage atteint 5%)
Exemple de désignation :
:
Si un acier est moulé, sa
X 5 Cr Ni 18-10
désignation est précédée de la
lettre G
Symbole
Exemples :
% de carbone
x 100
GS 235
GS 335
GC40
Symbole et Normalisation
% réel des
éléments d’alliage
Symbole des
éléments d’alliage par
teneur décroissante
Lithium
Mg
Mn
Mo
Ni
Nb
Magnésium
Manganèse
Molybdène
Nickel
Niobium
Pb
Si
Plomb
Silicium
Sr
Ti
Strontium
Titane
V
Vanadium
Zn
Zr
Zinc
Zirconium
Fiche 1
LETFPT
EN-GJS-400-18
Symbole
D) LES ACIERS NON ALLIES MOULES
après rupture
Ag
Li
A%
Symbole du type de fonte
* A% = Pourcentage d’allongement
Al
Sb
Elément
d’alliage
Aluminium
Antimoine
Symbole
SOLUTIONS CONSTRUCTIVES
:
LAMELLAIRE
ACIERS ALLIES
: S A) LES ACIERS FAIBLEMENT ALLIES :
(Aucun élément d’alliage n’atteint 5%)
Construction Mécanique
A) LES ACIERS D’USAGE GENERAL
DESIGNATION DES MATERIAUX
ACIERS NON ALLIES
A) LES FONTES A GRAPHITE
SYMBOLES CHIMIQUES DES
ELEMENTS D’ALLIAGE
COURS
ACIERS
FONTES
LETFP Thiès mai 2008
ALLIAGES NON FERREUX
Symbole du métal de
base : ALUMINIUM
er
1 élément d’addition suivi
de son pourcentage réel
pièces robustes à parois minces très complexes
Exemple de désignation :
Cu Zn 39 Pb2
avec des tolérances serrées.
Principales nuances d’alliage de Zinc :
- ZAMAK (2, 3 et 5) : Alliage de fonderie sous
Symbole du métal de
base : CUIVRE
er
pression (Carburateurs, boitiers …).
1 élément d’addition suivi
de son pourcentage réel
- KAYEM (1 et 2) : Alliage pour la fabrication par
2 élément d’addition suivi
de son pourcentage réel
e
2 élément d’addition suivi
de son pourcentage réel
e
fonderie d’outillages de presse et de moules
Exemples d’alliage d’Aluminium :
pour plastiques.
- ALPAX : Aluminium (Al) + Silicium (Si)
EN AB-44 200 [Al Si 12]
Bonne moulabilité
- DURALIUM : Aluminium (Al) + Cuivre (Cu)
Exemples d’alliage de Cuivre :
- ZA (8 et 27) : Alliage pour moulage coquille ou
sous pression. Bonnes caractéristiques
mécaniques et bonne résistance au frottement.
EN AW-2017 [Al Cu 4 Mg Si]
- BRONZE : Cuivre (Cu) + Etain (Sn)
Cu Sn 8
Matériau de frottement (Bague, douille, segments)
- LAITON : Cuivre (Cu) + Zinc (Zn)
Bonne usinabilité
SOLUTIONS CONSTRUCTIVES
EN AB-21 000 [Al Cu4 Mg]
en fonderie. Il est possible de réaliser des
Construction Mécanique
Désignation symbolique
éventuellement
DESIGNATION DES MATERIAUX
ALLIAGES DE CUIVRE
La mise en œuvre des alliages de zinc est facile Bons conducteurs électriques.
Exemple de désignation :
Code numérique
ALLIAGES DE ZINC MOULES
COURS
ALLIAGES D’ALUMINIUM
Cu Zn 15
Bonne usinabilité (robinetterie, pompe)
- DURALINOX : Aluminium (Al) + Magnésium (Mg)
EN AW-5086 [Al Mg 4]
- CUIVRE AU BERYLIUM :Cuivre (Cu) + Bérylium (Be)
Cu Be 2
tuyauterie)
Ressorts, rondelles onduflex, connecteurs
IGEN / STI (mécanique)
Symbole et Normalisation
Fiche 2
LETFP
T
Bonne soudabilité (Pièces chaudronnées :Citernes,
LETFP Thiès mai 2008
Séminaire Atelier de partage : - convention en Rdm
- Utilisation des torseurs
- Normes et Symboles normalisés
1. Convention en Résistance des Matériaux
(Extrait sujet de baccalauréat sénégalais 1991)
c
y
b
YE
YA
a
ME
x
YD
YO
Y O = 877 N
Y A = 5585 N
a = 0,016 m
b = 0,035 m
c=
0,067 m
Y D = 6891 N
Y E = 2183 N
M A = 100 mN
M E = 100 mN
•
Equations
- Tronçon 1 :
y
y
G
YO
IGEN / STI (mécanique)
2008
Convention en Rdm- Les torseurs
LETFP Thiès mai
1
T1y + Y0 = 0
T1y = - Y0 = - 877 N
Mf1z - Y0 . x = 0 Mf1z = + Y0 . x = 877 . x (m.N)
-
Tronçon 2
y
YA
y
G
x
YO
T2y + Y0 - YA = 0
T2y = - Y0 + YA = + 4708 N
Mf2z - Y0 . x + YA( x-a) = 0 Mf1z = (Y0-YA) . x + a YA
= -4708.x + 94,94
(m.N)
- Tronçon 3 :
y
MA
YO
T3y + Y0 - YA + YD = 0
YA
x
YD
T2y = - Y0 + YA - YD = - 2183 N
Mf3z - Y0 . x + YA( x-a) –YD (x-b) = 0 Mf3z = (Y0-YA +YD) . x + a YA -YD.b
- Tronçon 3’ :
y
y
YE
x
G
IGEN / STI (mécanique)
2008
Convention en Rdm- Les torseurs
LETFP Thiès mai
2
T’3y = + YE = T3y = - YE = - 2183 N
T’3y - YE = 0
Mf’3z - YE .(c- x) = 0 Mf’3z = + YE .(c- x) Mf3z = - YE .(c- x)
= 2183x – 146,26 (m.N)
Moment de Torsion
y
G
Mtx + MA = 0
•
Mtx
=
x
- MA = -100 m.N
Effort tranchant
y
x
•
Moment fléchissant
y
x
•
Torsion
y
x
IGEN / STI (mécanique)
2008
Convention en Rdm- Les torseurs
LETFP Thiès mai
3
En isolant le tronçon de droite, nous obtenons les mêmes résultats si nous considérons la
même convention :
-
la normale à la section droite dirigée vers l’extérieure
le même sens positif que précédemment, c'est-à-dire le sens trigonométrique.
le repère (G, x , y , z ) est directe
Ainsi :
YE
YA
YD
YO
y
2. Introduction des Torseurs
Définition : Un torseur est défini comme un ensemble de deux vecteurs de l’espace vectoriel
: une résultante ( R ) et un moment M liés par la relation de transfert de moment, en tout
point de l’espace affine. Si on désigne ce torseur par {τ}, alors on a:
M B (τ ) = M A (τ ) + BA Λ R
(entre les points A et B)
M P (τ ) = M Q (τ ) + PQ Λ R
(entre les points P et Q)
M O (τ ) = M N (τ ) + ON Λ R
(entre les points O et N)
M : moment du torseur
R : résultante du torseur
Les différents points (A, B, P, Q ….) sont les points de réduction.
Notation :


 R


 =

M A (V ) A M A (V ) A
{τ (F )} = R
A
IGEN / STI (mécanique)
2008
Convention en Rdm- Les torseurs
LETFP Thiès mai
4
Torseurs particuliers :
Torseur d’une action mécanique extérieur au système isolé
•
Torseur associé à une force
{τ (F )}
A
•
0

0

0 A
A : centre de réduction du torseur
Torseur associé à un couple
{τ (C )}
A
•
 Fx
 F 

=   =  Fy
0  A 
 Fz
0 0 
0 


=   = 0 0  ( C =Cz z , couple porté par l’axe A z ,)
C  A 

0 C z  A
Torseur d’une action mécanique transmissible par les liaisons
Introduire ces torseurs par l’utilisation du tableau des degrés de liberté.
Exemple d’une liaison rotule en un point N
Tableau des degrés de liberté
0 Rx 
0 Ry 


0 Rz 
Forme du torseur
X

Y

Z
0

0

0
C'est-à-dire :
{τ ( N )}N
 X N 0
 X 2 /1 0 
 Rn 




=   = YN 0  = Y2 / 1 0 
0  N 



 Z N 0  N  Z 2 / 1 0 N
Exemple d’une liaison pivot en un point M ,d’axe y
Tableau des degrés de liberté
0 0 
0 Ry


0 0 
IGEN / STI (mécanique)
2008
Forme du torseur
X

Y

Z
Convention en Rdm- Les torseurs
L

0 

N
LETFP Thiès mai
5
C'est-à-dire :
{τ ( M )}M
 X 2 / 1 L 2/1 
X M LM 
 R 




=
 = YM 0  = Y2 / 1 0 
M M  M Z



 M N M  M Z 2 / 1 L 2/1  M
REMARQUE :
•
Introduction des torseurs en terminale
o Définition
o Addition
o Transfert
o Applications (torseurs des efforts transmissibles dans les liaisons élémentaires)
________________________________
Exercices d’application
Exercice 1 : Arbre de transmission
L’arbre représenté tourne à une vitesse constante .Il est muni en D d’une poulie et en F d’une
roue dentée. L’action au point d’engrènement à 3 composantes Ft = 1600 N ; Fr = 3000 N ; Fa
= 8400 N.
Calculer les valeurs de la tension T et des actions en A et B.
Données : AD = 40 mm ; AB = 180 mm ; BF = 50 mm ; FG = 300 mm ;
Le diamètre de la poulie = 400 mm.
y
z
Ft
G
E
A
D
Fr Fa x
F
B
T
•
Eléments de réduction des torseurs au centre des liaisons
0
0

{τ ( E ) } =  0 0
 −T 0

E
IGEN / STI (mécanique)
2008
 0 0
{τ ( A) } =  YA 0 
Z

 A 0 A
X B 0 
{τ ( B) } =  YB 0 
 Z 0
 B B
Convention en Rdm- Les torseurs
 Fa 0 
{τ (G ) } =  Ft 0 
 − F 0
r

G
LETFP Thiès mai
6
•
Eléments de réduction des torseurs en B (où il y’a le plus d’inconnues)
Transfert des moments en B
M B (τ ( A ) ) = M A (τ ( A ) ) + BA Λ R A
=0 +
[( − 180 x ) Λ ( + Y
A
y + Z A z)
M B (τ ( E ) = M E (τ ( E ) ) + BE Λ − T z
[
= 0 + ( BD + DE ) Λ (-Tz)
]
]
=
180Z
A
y − 180 Y A z
= (-220x − 200 y)Λ (-Tz) = + 200 T x − 220T y
M B (τ ( G ) = M G (τ ( G ) ) + ( BF + FG ) Λ ( Fa x + Ft y − Fr z )
=0 +
•
[(50 x + 300 z ) Λ ( Fa x + Ft y − Fr z ) ]
= - 30 0Ft x + ( 50 Fr + 300F a ) y + 50F t z
PFS
{τ } + {τ } + {τ } + {τ } = {o}
(E) B
( A) B
( B) B
(G ) B

  X B 0   Fa - 300Ft
0 200T   0 0
0 0

 
 
 



 0 - 220 T  +  YA 180 ZA  +  YB 0  +  Ft 50 Fr + 300 Fa  =  0 0
 − T 0   Z - 180Y   Z
 




B  A
A B
 B 0 B  - Fr 50Ft
 B  0 0
•
Calculs et Résultats
=0
X B + Fa
Y + Y + F
=0
B
t
 A
 − T + ZA + ZB - Fr
=0

=0
200T− 300Ft
- 220T + 180Z A + 50 Fr + 300Fa = 0

- 180YA + 50Ft
=0
IGEN / STI (mécanique)
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X B = -8400 N
Y
 B = - 2044 N
 ZB = 17300 N

= 444 N
YA
 ZA = - 11900 N

T
= 2400 N
Exercice 2 : Porte-tôles
Les molettes du porte tôles sont en liaison pivot d’axe (B, z) et (B’,z) avec le flasque.
Elles serrent la tôle sous l’action mécanique de deux biellettes. Le porte tôles est
accroché à un câble grâce à l’étrier.
Toutes les liaisons, sauf entre la tôle et les galets sont supposées sans frottement.
Les masses des pièces sont négligeables devant la masse de la tôle.
1. Graphe des liaisons
Etrier
Pivot
Pivot
Biellette D’
Biellette D
Pivot
Pivot
Molette A’
Molette A
Ponctuelle
Ponctuelle
Tôle
Pivot
Pivot
Flasque
IGEN / STI (mécanique)
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2. Données
3. Travail demandé (sur feuille de copie)
Il est demandé d’utiliser la méthode analytique. Pour chaque question donner
d’abord le torseur des actions mécaniques extérieures au système considéré, avant
tout calcul. Le but de l’exercice est de déterminer l’action des molettes sur la tôle,
puis le coefficient de frottement nécessaire.
3.1. Déterminer les actions exercées sur l’étrier
3.2. Déterminer les actions exercées sur chacune des molettes
3.3. L’action exercée par chacune des molettes sur la tôle.
3.4. le coefficient de frottement nécessaire pour assurer l’équilibre entre la tôle et les
molettes.
IGEN / STI (mécanique)
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-
3.1. ISOLONS
L’ENSEMBLE PORTE
TOLE
1
E
o L’ensemble est soumise à 2 actions
Action du crochet sur l’étrier
3
2
2’
Action de la pesanteur
5
G
4’
4
5
-
ISOLONS L’ETRIER 1
J
J
On a
E
a
D
= 89.7
D’
DH = 102 -15 =87
α
C
H
H
o Inventaire des actions mécaniques extérieures
Torseurs de l’action mécanique du crochet sur l’étrier 1
Torseurs des actions mécaniques des biellettes 2 sur 1
IGEN / STI (mécanique)
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Torseurs des actions mécaniques des biellettes 2’ sur 1
On remarquera d’après la symétrie que les modules
et
sont égales
o Réduction des torseurs des actions mécaniques au point de concours J
o Application du P.F.S et détermination des inconnues
+
+
=
+
=>
et
AN :
IGEN / STI (mécanique)
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- 3.1’. ISOLONS LA TOLE
k
A A’
φ
o Inventaire des actions mécaniques extérieures
D’après la symétrie du problème les modules
sont égaux. On
obtient ainsi :
L’action de contact du galet 4 sur la tôle 5
L’action de contact du galet 4’ sur la tôle 5
L’action de la pesanteur
o Réductions des torseurs d’actions mécanique au point de concours K
IGEN / STI (mécanique)
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o Application du P.F.S et calcul des inconnus statiques
=>
(1)
D’ où A4/5 = mg/2 sin ϕ
- 3.2- ISOLONS LE GALET 4
C
A
φ
o Inventaire des torseurs d’actions mécaniques extérieures sur 4
IGEN / STI (mécanique)
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o Réduction des torseurs au point B ( point correspondant aux maximum
d’inconnues)
Transfert des moments au point B
On obtient ainsi :
o
Application du P.F.S. et calcul des inconnues statiques
+
=>
=
(2)
(3)
IGEN / STI (mécanique)
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(4)
On dispose de ‘ équations à 4 inconnues (
On trouve après calcul
A.N : µ
φ = 16.85°
0
A.N.
=
3450.09
-3176N
4. Normes et Représentations
4.1. Représentation des liaisons mécaniques :
Le changement porte sur la liaison pivot et la liaison hélicoïdale.
Ancienne symbolisation
Nouvelle symbolisation
Liaison
Pivot
Liaison
Hélicoïdale
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4.2. Les états de surface :
Ancien
symbole
général
Nouveau
symbole
général
Surface à
usinée
Surface où
l’enlèvement de
matière est
interdit
L’état de surface
est le même pour
toutes les
surfaces de la
pièce
Surface avec
indications
complémentaires
to
Ra 1 ,6
FG
Chromé
Ra 1 ,6
Positions des symboles :
Remarque :
Les symboles de base ou les lignes de repère sont tracés du coté libre de matière. Les
inscriptions doivent être orientées pour être lues depuis le bas ou depuis la gauche.
4.2. Le cadre de travail :
Le cadre de travail est réduit de 10mm du coté gauche pour une reluire éventuelle.
Les coordonnées sont inscrites dans un espace de 5mm.
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5. Désignation des matériaux : (voir pages suivantes)
IGEN / STI (mécanique)
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