Problèmes et corrigés

Transcription

Enseignements E.E.A.
Electronique analogique
P r o b lè m e s
e t c o r r ig é s
année 2010
par Sylvain Géronimi
Université Paul Sabatier
Electronique analogique – Problèmes et corrigés
TABLE DES PROBLEMES
Partie 1
Rappel sur la théorie des circuits
Mise en équations et théorèmes fondamentaux
Réponse d’un circuit RL
Corrélation entre temps de montée et fréquence de coupure d’un circuit RC
Sonde passive d’oscilloscope
Caractérisation d’un quadripôle
Sensibilité d’un pont de Wheatstone
3-4
5-8
9-10
11-12
13-15
16-17
Polarisation d’un transistor
Dispersion des caractéristiques d’un JFET
Polarisation d’un JBT par diverses topologies
Stabilisation par résistance d’émetteur
18-20
21-22
23-26
Caractérisation d’un étage
Etage déphaseur à JBT
Etage source commune
Etage collecteur commun chargé par un miroir de courant
Etage différentiel à JBT
Etage différentiel à JFET
27-30
31-33
34-36
37-39
40-42
Réponse en fréquence
Réponse en fréquence d’un étage émetteur commun
Réponse en fréquence d’un étage base commune
Réponse en fréquence d’un étage collecteur commun
Comparaison des performances des montages fondamentaux à JBT
Réponse en fréquence d’un étage pseudo émetteur commun
Réponse en fréquence d’un étage source commune
Réponse en fréquence d’un étage pseudo-source commune
Réponse en fréquence d’un montage cascode
Réponse en fréquence d’un montage émetteur commun collecteur commun
43-50
51-55
56-59
60
61-64
65-70
71-74
75-78
80-86
Eléments de circuits intégrés
Miroir de courant élémentaire pour polarisation d’étage
Miroir de courant élémentaire pour transfert dynamique
Source de courant simple à JFET pour polarisation d’étage
Source de courant à gain pour polarisation d’étage
Source de Wilson pour transfert dynamique
Source de Widlar en répétiteur de courant pour polarisation d’étages
Multiplicateur de VBE
Réalisation d’une opération arithmétique complexe (1 et 2)
Conception d’un buffer
Etage différentiel à charges asymétriques
Etage différentiel à charges actives (partie 1)
Etage de tension (partie 2)
Etage différentiel cascode à charges actives (miroir)
87-88
89-90
91
92-93
94-96
97-98
99-100
101-102
103-109
110-112
113-119
120-124
125-133
Partie 2
Amplificateurs idéaux
Intégrateur de tension différentielle
Convertisseurs d’impédance
Amplificateur d’instrumentation amélioré
Amplificateur d’instrumentation INA 114
Amplificateurs logarithmiques et exponentiels
Multiplicateur / diviseur
Amplificateurs à conductance de transfert
Voir aussi « Le filtrage analogique »
Sylvain Géronimi
Page 1
134
135-136
137-139
140
141-142
143-144
145-148
Tables des problèmes
Filtrage analogique
Filtre passe-bas à deux suiveurs de tension
Filtre passe-bas à contre-réaction multiple (structure de Rauch)
Filtre passe-bas à source contrôlée (structure Sallen-Key)
Conception d’un filtre passe-haut Butterworth d’ordre 4
Filtre passe-bande à contre-réaction multiple (structure de Rauch) à sensibilité améliorée
Filtre passe-bande à INIC
Filtre passe-tout (déphaseur pur) du premier ordre
Filtre passe-tout (déphaseur pur) du second ordre
Filtre réjecteur à deux amplificateurs de tension
Filtre réjecteur à variable d’état
Filtre universel
149-151
152-156
157-162
163-166
167-169
170-172
173-174
175-177
178-180
181-183
184-187
Oscillateurs sinusoïdaux
Oscillateur triphasé
Oscillateur à pont RLC
Oscillateur à pont RLC avec potentiomètre
Oscillateur à pont de Wien
Oscillateur Colpitts
Oscillateur Colpitts (variante)
Oscillateur Clapp
VCO à JFET source commune
VCO à JFET drain commun
188
189-190
191-192
193-196
197-201
202
203
204-207
208-210
Régulateurs de tension
Principe de stabilisation par diode zener
Circuits de stabilisation d’une tension par référence zener
Régulateur de tension 15 V / 2 A
211-213
214-221
222-223
Amplificateurs de puissance
Etage de puissance push-pull série avec sources de Widlar
Etage suiveur piloté par un amplificateur de tension intégré et contre-réaction
Etage de puissance push-pull série en pont
224-229
230-235
236-240
Partie 3
Quelques structures de circuits intégrés
Amplificateur de tension LM 741 simplifié
Amplificateur de tension TL071 (technologie BiFet)
Amplificateur Norton LM 359 et applications
Amplificateur à conductance de transfert LM 13600 et application
Buffer et amplificateur à conductance de transfert OPA 660 et applications
Amplificateur à contre réaction de courant LT1223 et application
Comparateur LM 139
PLL analogique NE 565 et applications
241-257
258-264
265-276
277-284
285-395
296-306
307-312
313-337
Modèles de composants associés aux différents régimes (diode, JBT, JFET)
Méthode de travail pour la caractérisation linéaire d’un étage différentiel symétrique
Méthode de travail pour la caractérisation linéaire d’un circuit complexe
Méthode de travail pour l’analyse en fréquence (approximation du pôle dominant)
Transformation de schéma par application du théorème de Miller
Bibliographie, symboles, notations
338-342
343-344
344-345
346-347
348-349
350
Annexes
Sylvain Géronimi
Page 2
Tables des problèmes
Mise en équations et théorèmes fondamentaux
Diviseur de tension
R1
VE
R2
VS
R3
Exprimez la tension VS en fonction de VE , R1, R2 , R3 .
Diviseur de courant
I
I2
R1
R2
V
R3
Exprimez le courant I 2 en fonction de I, R1, R 2 , R3 .
Application du théorème de Millman
R1
V1
I
10
V
R2
R
10 V
30
5
Evaluez le courant I.
Application du théorème de Thévenin et de superposition
R1
R3
I
V
R2
Donnez le générateur de Thévenin équivalent au dipôle.
Sylvain Géronimi
Page 3
Corrigé
Diviseur de tension
⎧VE = (R1 + R2 + R3 )I
⎨
⎩VS = R 2 I
⇒ VS =
R2
VE
R1 + R2 + R3
Diviseur de courant
V
V
V
⎧
⎪I = R + R + R
⎪
1
2
3
⎨
V
⎪I =
⎪⎩ 2 R2
1
R2
⇒ I2 =
I
1
1
1
+
+
R1 R2 R3
Application du théorème de Millman
V
R1
Calcul du potentiel de nœud : V1 =
1
1
1
+
+
R1 R2 R3
1
V1
R
=
V ( I = 0 .6 A )
⇒ I=
1
1
1
R
+
+
R1 R2 R
Application du théorème de Thévenin et de superposition
La présence des deux sources indépendantes V et I invite à utiliser le théorème de superposition
pour le calcul de la tension de Thévenin VTh (tension à vide du dipôle). Ce calcul s’effectue donc
en deux étapes :
1ère étape : extinction de la source de courant ( I = 0 , circuit ouvert) VTh1 =
R2
V.
R1 + R2
2ème étape : extinction de la source de tension ( V = 0 , court-circuit) VTh2 =
R1 R2
I.
R1 + R2
d’où la superposition VTh = VTh1 + VTh2 =
R2
R R
V+ 1 2 I.
R1 + R2
R1 + R2
La résistance du dipôle se calcule en éteignant les deux sources indépendantes, ce qui donne
R R
RTh = 1 2 + R3 .
R1 + R2
Sylvain Géronimi
Page 4
Réponse temporelle d’un circuit RL
Soit le circuit RL avec condition initiale nulle.
R
L
100
vE
100mH
Une excitation sinusoïdale d’amplitude crête VE est appliquée au circuit. Le but du problème est
d’obtenir les réponses du courant i (t ) circulant dans la maille et de la tension aux bornes de
l’inductance v L (t ) par les trois techniques suivantes :
Réponse temporelle (variable t)
1. Ecrivez l’expression analytique du courant.
2. Ecrivez l’expression analytique de la tension.
3. Démontrez que la tension est en avance de π/2 par rapport au courant en régime permanent.
Régime sinusoïdal établi (variable jω)
4. Ecrivez les expressions du module et de l’argument du courant et de la tension.
5. Comparez ces résultats à ceux obtenus précédemment en régime permanent.
Transformées de Laplace (variable p)
6. Ecrivez la fonction de transfert en tension VL ( p) VE ( p) .
7. Par transformées de Laplace, donnez l’expression de la tension.
Corrigé
Réponse temporelle
d
⎧
⎪⎪v E (t ) = R i (t ) + L dt i (t )
⎨
⎪v (t ) = L d i (t )
⎪⎩ L
dt
(posons τ =
L
)
R
1. Expression analytique du courant
Résolvons l’équation différentielle du premier ordre
c
équation homogène
d
1
di
dt
i (t ) + i (t ) = 0 ⇒
=−
dt
τ
τ
i
d
v (t )
1
d
i (t ) + i ( t ) = E
en quatre étapes :
dt
τ
L
⇒ Log
i
λ
=−
t
τ
d’où i H (t ) = λ e
−
t
τ
variation de la constante
λ ' (t ) e
Sylvain Géronimi
−
t
τ
=
VE sin(ω t ) VE
=
ℑm e jω t
L
L
[ ]
Page 5
⎡
⎤
t
⎡ ⎛⎜ 1 + j ω ⎞⎟t ⎤
⎢ e jω t ⎥
VE
VE τ
⎝τ
⎠
⎢
⎥
ℑm e
dt =
⇒ λ (t ) =
e ℑm ⎢
⎥
⎢
⎥
1
L
L
⎢
⎥
+
j
ω
⎣
⎦
⎢⎣ τ
⎦⎥
⎡
⎤
⎢ cos(ω t ) + j sin(ω t ) ⎥
1
⎡1
⎤
car ℑm ⎢
⎥=
⎢τ sin(ω t ) − ω cos(ω t )⎥ = sin(ω t − α )
1
1
2
⎦
⎢
⎥
+ jω
+ω ⎣
τ
⎣⎢
⎦⎥ τ 2
∫
en posant cos α =
e
1
et sin α = ω ⇒
τ2
+ ω 2 = 1 avec α = arctg (τ ω ) et τ = 1 + τ 2ω 2
solution particulière de l’équation complète
i P (t ) = λ (t ) e
f
1
τ
−
t
τ
d’où
VE
i P (t ) =
R + L2ω 2
2
sin(ω t − α )
solution globale
i (t ) = λ e
−
t
τ
d’où i (t ) =
avec i (0) = 0 ⇒ λ =
+ i P (t )
VE
R +L ω
2
2
2
sin α e
−
t
τ
+
VE
R + L2ω 2
2
VE
R + L2ω 2
2
sinα
sin(ω t − α )
Le premier terme correspond au régime transitoire et le second terme au régime établi ou
permanent.
2. Expression analytique de la tension
t
t
⎡
⎤
⎡
⎤
−
1 −
v L (t ) = VE ⎢− sin α e τ + ω cos(ω t − α )⎥ = VE sin α ⎢− cos α e τ + cos(ω t − α )⎥
τ
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
3. Déphasage
π
⎛
⎞
cos(ω t − α ) = sin⎜ ω t + − α ⎟
2
⎝
⎠
⇒
π
⎛π
⎞
− α ⎟ − (− α ) = +
2
2
⎝
⎠
ϕL − ϕI = ⎜
Régime transitoire (VE =1 V et f = 1 kHz)
régime transitoire
1.0V
0V
-1.0V
0s
Sylvain Géronimi
V(L)
0.5ms
V(E)
1.0ms
1.5ms
2.0ms
2.5ms
3.0ms
3.5ms
4.0ms
Time
Page 6
Régime permanent
2 2.0mA
1
1.0V
1.0mA
tension
d'entrée
(0°)
0V
0A
tension
en avance
de 9°
courant
en retard
de 81°
-1.0mA
-1.0V
>>
-2.0mA
18.0ms
1
V(L)
V(E)
2
18.5ms
I
19.0ms
19.5ms
20.0ms
Time
Régime sinusoïdal établi
⎧⎪VE = (R + jLω ) I
⎨
⎪⎩VL = jLω I
VE
⇒ I=
R + jLω
et VL =
jLω
VE
R + jLω
4. Modules et arguments
I =
VL =
VE
R +Lω
Lω
2
2
et
2
VE
R 2 + L2ω 2
ϕI = ϕ E − arctg
et
ϕL = ϕE +
Lω
R
π
2
( VE = VE e jϕE )
− arctg
Lω
R
5. Comparaison du régime établi
i (t ) =
sin(ω t + ϕI )
VE
R +L ω
2
2
2
↔
[
]
Lω
=
τR
R + L2ω 2
I ℑm e j (ω t +ϕI )
v L (t ) = VE sin α sin(ω t + ϕ L ) avec sin α = ω =
Lω
2
↔
[
VL ℑm e j (ω t +ϕL )
]
Transformées de Laplace
⎧VE ( p ) = (R + Lp ) I ( p )
⎨
⎩VL ( p ) = Lp I ( p )
6. Fonction de transfert
p
V ( p)
H ( p) = L
=
VE ( p )
Sylvain Géronimi
ωn
1+
p
ωn
avec ωn =
R 1
=
L τ
Page 7
7. Expression de la tension aux bornes de l’inductance
Tableau des transformées : sin(ω t ) →
ω
p +ω
2
2
⇒ VL ( p ) =
ω
p
2
1 2
p + p +ω
VE
τ
Décomposition en éléments simples :
p
a
bp + c
=
+
=
1 p2 + ω 2
1⎞ 2
⎛
2
+
p
⎜p + ⎟ p +ω
τ
τ⎠
⎝
(
⇒ b=−a=
)
(a + b )p 2 + ⎛⎜ b + c ⎞⎟ p + c + aω 2
τ
⎝τ
⎠
1⎞ 2
⎛
2
⎜p + ⎟ p +ω
τ⎠
⎝
(
)
τ 2ω 2
τ
c
=
,
1 + τ 2ω 2
1 + τ 2ω 2
⎡
⎤
⎢ 1 1
⎥
p
ω
1
+
+ω 2
VL ( p ) = VE
⎢−
⎥
2
2
2
2
1
τ p +ω
p +ω ⎥
⎛ 1⎞ ⎢ τ p +
2
ω + ⎜ ⎟ ⎢⎣
⎥⎦
τ
⎝τ ⎠
1
ω
p
Tableau des transformées :
→ e − at , 2
→ sin(ω t ) , 2
→ cos(ω t )
2
p+a
p +ω
p + ω2
ω
Posons cos α =
1
τ
2
et sinα = ω
⎛ 1⎞
⇒ ω 2 + ⎜ ⎟ = 1 et cos α cos(ω t ) + sin α sin(ω t ) = cos(ω t − α )
⎝τ ⎠
t
⎡
⎤
−
d’où v L (t ) = VE sin α ⎢− cos α e τ + cos(ω t − α )⎥
⎢⎣
⎥⎦
La technique dans le domaine temporel est d’une grande complexité, puisqu’elle fait apparaître des
équations intégro-différentielles dont la résolution mathématique est rapidement limitée (utilisation du
calcul numérique). La technique du calcul complexe est aisée, mais limitée uniquement à une
excitation sinusoïdale fournissant le régime permanent (pas de transitoire). L’étude par les
transformées de Laplace est la méthode la plus généraliste, pouvant fournir la réponse du circuit à
une excitation quelconque.
Sylvain Géronimi
Page 8
Corrélation entre temps de montée et fréquence de coupure d’un circuit RC
Soit le circuit RC avec condition initiale nulle.
R
vE
C
Un échelon unité de tension d’amplitude VE est appliqué au circuit. Le but du problème est d’écrire la
relation exprimant la corrélation entre temps de montée et fréquence de coupure du circuit.
1. Ecrivez la fonction de transfert en tension VC ( p ) VE ( p ) et tracez les courbes de réponse dans le
plan de Bode (module et argument).
2. Par transformées de Laplace, donnez l’expression de la tension v C (t ) .
3. Ecrivez l’expression du temps de montée t r défini par la différence des temps pour atteindre
respectivement 90% et 10% de la valeur finale en fonction de la constante de temps du circuit.
4. Ecrivez la relation entre la fréquence de coupure fh du circuit passe-bas et le temps de montée.
Corrigé
A partir de l’équation dans le domaine temporel, on écrit
v (t )
1
d
1
1
v C (t ) + v C (t ) = E
→ p VC ( p ) + VC ( p ) = VE ( p)
τ
τ
τ
τ
dt
⎧
⎛
⎞
1
⎟ I ( p)
⎪VE ( p ) = ⎜⎜ R +
C
p ⎟⎠
V ( p)
1
⎪
⎝
=
⇒ H ( p) = C
ou directement ⎨
V
(
p
)
1
+
τp
E
⎪V ( p ) = 1 I ( p )
⎪ C
Cp
⎩
En régime sinusoïdal, H ( jω ) =
1
0
1
1 + j ωτ
avec τ = RC
2
⇒ H dB = −20 log 1 + (ωτ ) , ϕ = − arctg (ωτ )
2 0d
(159.436,-3.0185)
-10
-20
-50d
(159.652,-45.089)
-30
filtre du premier ordre
τ = 1 ms
-40
Sylvain Géronimi
-100d
1.0Hz
1
DB(VC)
2
10Hz
P(VC)
100Hz
1.0KHz
10KHz
Frequency
Page 9
2. Réponse à l’échelon de tension
VC ( p ) =
VE
V
V
= E − E
1
p (1 + τ p )
p
p+
τ
avec VE ( p ) =
Tableau des transformées F ( p ) =
VE
(échelon de tension d’amplitude VE )
p
1
→ f (t ) = e − α t ⋅ u(t ) , d’où
p +α
t
⎛
−
v C (t ) = VE ⎜1 − e τ
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
L’application des théorèmes de la valeur initiale et de la valeur finale donne immédiatement la
valeur de cette fonction à l’origine et au temps infini sans qu’il soit nécessaire de calculer vC(t) :
VE
pVC ( p ) =
⇒
lim pVC ( p ) = lim v C (t ) = 0 et lim pVC ( p ) = lim v C (t ) = VE
p→∞
t →0
p→0
t →∞
1+ τ p
1.2V
vE(t)
vC(t)
0.8V
t = 3 ms
VC = 95 %
de VE
t = 1 ms
0.4V
VC = 63.2 %
de VE
0V
0s
1.0ms
2.0ms
3.0ms
4.0ms
Temps
V
⎡d
⎤
VE = 1V , τ = 1 ms , pente à l’origine ⎢ v C (t )⎥
= E , v C (τ ) ≅ 0.632 V , v C (3τ ) ≅ 0.95 V
τ
⎣ dt
⎦t =0
3. Expression de t r (τ )
⎧
⎪v C (t1 ) = 0.1VE
⎨
⎪v (t ) = 0.9V
E
⎩ C 2
→
→
10
9
t 2 = τ Ln 10
t1 = τ Ln
⇒ t r = t 2 − t1 = τ Ln 9
soit t r ≅ 2.2 τ
L’échelon est la combinaison de la variation de la tension la plus abrupte et de la plus lente
variation possible de tension.
4. Expression de t r (fh )
1
H ( p) =
1+
p
ωh
avec ωh =
1
τ
⇒ tr ≅
2 .2
ωh
ou t r ≅
0.35
fh
fh étant la fréquence de coupure haute du passe-bas du 1° ordre.
Si le système est un passe-bas à plusieurs pôles, cette relation est une approximation d’autant
meilleure que la valeur de fh est faible devant celles des autres pôles (pôle dominant).
Sylvain Géronimi
Page 10
Sonde passive d’oscilloscope
Soit le schéma de principe d’une sonde passive atténuatrice.
embout de sonde
CS
câble de mesure
entrée de l'oscilloscope
RS
vE
capacité
CC
du câble
100p
v0
CP
R0
13p
1Meg
L’amplificateur vertical de l’oscilloscope est représenté par le schéma équivalent parallèle R0 - C p aux
bornes duquel existe la tension v 0 (t ) .
1. Ecrivez la fonction de transfert V0 ( p) VE ( p) .
2. Donnez la condition pour que la fonction de transfert soit indépendante de la fréquence. Evaluez
la résistance RS pour avoir une atténuation de rapport 1/10 et déduisez la valeur de la capacité
CS0 découlant de la condition.
3. Déterminez l’impédance d’entrée de la sonde branchée sur l’oscilloscope, sous forme d’un
schéma R-C parallèle à la condition précédente.
4. Calculez et tracez les réponses temporelles de v 0 (t ) à un échelon de tension unité pour une
capacité de sonde réglée aux valeurs CS0 ± ∆CS (on supposera que CS >> ∆CS 10 et que les
bandes passantes de la sonde et de l’oscilloscope sont très larges).
Le temps de montée lu sur l’écran d’un oscilloscope est donné par t rlu ≅ t r2signal + t r2oscillo + t r2sonde . Pour
effectuer cette mesure, on dispose d’un oscilloscope associé à une sonde dont les bandes passantes
sont respectivement de 100 MHz et de 500 MHz.
5. Calculez l’erreur commise sur la mesure de signaux carrés dont le temps de montée serait de 5
ns et 50 ns.
Formulaire : t r ≅
0.35
, t r lu = t r2signal + t r2oscillo + t r2sonde .
fh
Corrigé
Posons C0 = CC + CP = 113 pF , τ 0 = R0C0 et τ S = RSCS .
H ( p) =
V0 ( p )
Z0 ( p )
=
VE ( p ) Z0 ( p ) + ZS ( p )
avec Z ( p ) =
R0
R
⇒ H ( p) =
R0 + RS
1 + RCp
2. Condition pour un régime apériodique
La fonction de transfert est indépendante de la fréquence si τ S =
Sylvain Géronimi
Page 11
1 + τS p
R0τ S + RSτ 0
1+
p
R0 + RS
R0τ S + RSτ 0
soit τ S = τ 0 .
R0 + RS
R0
1
=
R0 + RS 10
Sonde atténuatrice de rapport 1/10 → H =
⎧RS = 9R0 = 9 MΩ
⎪
⎨
C0
= 12.56 pF
⎪CSO =
9
⎩
⇒
3. Impédance d’entrée de la sonde
Z E ( p ) = ZS ( p ) + Z 0 ( p )
Au réglage optimal de la sonde → ZE ( p ) =
10 R0
RE
=
1 + R0C0 p 1 + RE CE p
soit RE = 10 R0 = 10 MΩ en
parallèle avec CE = C0 10 = 11.3 pF .
4. Réponses temporelles
CS = CS 0 ± ∆CS
τ S = τ 0 ± ∆τ
⇒
⎛
⎞
⎜
⎟
1 ⎜ 1 ∆τ
1 ⎟
±
d’où V0 ( p ) ≅
⎟
10 ⎜ p τ 0 1
+p⎟
⎜
τ0
⎝
⎠
∆τ p ⎞
1 1 + (τ 0 ± ∆τ )p
1 ⎛
⎜1 ±
⎟
≅
H ( p) =
⎜
∆τ ⎞
10
10 ⎝ 1 + τ 0 p ⎟⎠
⎛
1 + ⎜τ 0 ±
⎟p
10 ⎠
⎝
→ v 0 (t ) ≅
Transformation inverse de Laplace
t
⎛
∆CS − τ 0
1 ⎜
±
1
e
10 ⎜⎜
CS0
⎝
⎞
⎟
⎟⎟
⎠
Trois cas de réglage de la sonde apparaissent au sein de la simulation ci-dessous, à savoir la
compensation optimale (∆CS = 0), la surcompensation (∆CS > 0), la sous compensation (∆CS < 0).
200mV
surcompensation
Réponse à un signal carré d’amplitude 2 Vpp
100mV
vO(t)
sous compensation
0V
compensation
optimale
-100mV
Réglage de la sonde à ∆Cs/Cs
-200mV
0s
0.2ms
0.4ms
0.6ms
0.8ms
1.0ms
Time
5. Erreur commise sur la mesure
Instrumentation :
t r oscillo =
t rsonde =
Signal :
t rlu
0.35
10 8
0.35
= 3.5 ns (bande passante 100 MHz)
= 0.7 ns (bande passante 500 MHz)
5 10 8
≅ t rsignal (à 1 % près) pour t r signal = 50 ns
t rlu ≅ 6.14 ns , soit une erreur de 1.14 ns (23%) pour t rsignal = 5 ns .
Pour l’étude de circuits numériques, nous constatons que l’instrumentation n’est pas assez
performante.
Sylvain Géronimi
Page 12
Caractérisation d’un quadripôle
Le but de ce problème est de caractériser un quadripôle, c’est-à-dire d’évaluer ses résistance d’entrée
et de sortie et son transfert, en présence d’une source contrôlée.
i1
Rg
is
R1
k i1
ve
R2
Rch
vs
vg
1. Déterminez la résistance d’entrée Re du quadripôle chargé par Rch .
2. Déterminez les éléments RTh et vTh de Thévenin formant le dipôle de sortie du quadripôle non
chargé par Rch .
3. Dessinez le nouveau schéma équivalent du quadripôle, puis dessinez ce schéma sous la forme
modélisée d’un amplificateur de tension.
Corrigé
La difficulté de la mise en équations du système linéaire et de sa résolution vient de la présence de la
source de courant k i1 contrôlée par le courant i1 de la branche supportant la résistance R1 . Ce type
de source, symbolisée par un losange, représente une modélisation de comportement correspondant
à un transfert d’un courant de branche (branche contrôlante) vers une autre branche (branche
contrôlée) à un coefficient constant près (k). La source est donc dépendante d’une autre branche et,
de ce fait, n’a rien de commun avec une source fournissant une excitation au circuit tel que le
générateur indépendant de tension symbolisé par un cercle ( v g ).
1. Expression de la résistance d’entrée
Le quadripôle, chargé par la résistance de charge Rch , constitue un dipôle dont la résistance
équivalente Re est obtenue par l’application du théorème de Thévenin/Norton.
Par définition, la résistance d’entrée s’écrit Re =
v0
d’après le schéma à droite ci-dessous.
i1
i1
i1
i2
R1
v0
k i1
R2
→
Rch
Re
v0
La topologie du circuit se simplifie en posant Req = R2 // Rch , ce qui conduit à l’écriture d’une
maille et d’un nœud.
⎪⎧v 0 = R1 i1 + Req i 2
⎨
⎪⎩(k + 1)i1 = i 2
Sylvain Géronimi
⇒ v 0 = R1 i1 + Req (k + 1)i1 , d’où Re = R1 + (k + 1)(R2 // Rch )
Page 13
2. Expressions des éléments de Thévenin
La tension de Thévenin étant une tension à vide, la résistance de charge est donc débranchée. La
topologie présente une maille et un nœud, soit deux équations auxquelles il faut ajouter la tension
aux bornes de la résistance R 2 afin de définir vTh .
i1
Rg
i2
R1
k i1
R2
vth
vg
⎧(k + 1)i1 = i 2
⎪
⎨v g = Rg + R1 i1 + R2 i 2
⎪
⎩vTh =R2 i 2
(
⎧
⎛ Rg + R1
⎞
+ R2 ⎟⎟ i 2
⎪v g = ⎜⎜
⇒ ⎨
+
1
k
⎝
⎠
⎪
=
v
R
i
2 2
⎩ Th
)
d’où vTh =
(k + 1)R2
vg
Rg + R1 + (k + 1)R2
Le dipôle devant être passif, la source indépendante de tension v g est éteinte, mais la source de
courant contrôlée par le courant i1 est présente. La résistance du dipôle s’écrit RTh =
i1
Rg
i0
i0
i2
R1
k i1
v0
.
i0
R2
→
v0
RTh
v0
vg = 0
La topologie présente deux mailles et un nœud, donc un système de trois équations à résoudre
⎧i 0 + (k + 1)i1 = i 2
⎪
⎨v 0 =R2 i 2
⎪v = − R + R i
g
1 1
⎩ 0
(
d’où
)
⇒ i0 =
v0
v0
+ (k + 1)
R2
Rg + R1
Rg + R1
1
1
k +1
=
+
(conductance) ou encore RTh = R2 //
(résistance).
RTh R2 Rg + R1
k +1
3. Schémas équivalents du quadripôle
Le générateur ( v g , Rg ) voit à ses bornes la résistance d’entrée du quadripôle et la charge voit à
ses bornes le dipôle équivalent sous forme Thévenin.
RTh
Rg
Re
vg
Sylvain Géronimi
vs
Rch
vTh
Page 14
La modélisation du quadripôle sous la forme d’un amplificateur de tension utilise une source de
tension contrôlée par la tension v e aux bornes de la branche contrôlante supportant Re . D’autre
part, la résistance de sortie Rs du quadripôle s’identifie à RTh .
Rs
Rg
ve
vg
Sylvain Géronimi
Re
vs
Rch
Av ve
Page 15
Sensibilité d’un pont de Wheatstone
Le schéma du pont de Wheatstone est le suivant.
R1
R3
VE
1
1Vdc
VM
2
R2
R4
Le but de ce problème est de définir les conditions sur les quatre résistances afin d’obtenir une
sensibilité maximale du pont.
1. Ecrivez l’expression analytique de la tension différentielle VM aux points de mesure 1 et 2 et
déduisez la condition pour que cette tension soit nulle.
2. Déterminez la sensibilité du pont et écrivez la condition sur les résistances pour que cette
sensibilité soit maximale.
3. Pour des résistances à tolérance 1%, évaluez l’erreur maximale sur la tension VM dans le cas
d’une sensibilité maximale du pont.
Corrigé
1. Condition d’équilibre du pont
R2
⎧
⎪V1 = R + R VE
⎪
1
2
⎨
R
4
⎪V =
V
⎪⎩ 2 R3 + R4 E
⎛ R2
R4 ⎞
⎟ VE
⇒ VM = ⎜⎜
−
⎟
R
+
R
R
2
3 + R4 ⎠
⎝ 1
La condition pour que la tension différentielle VM soit nulle est R1R 4 = R2R3 .
2. Sensibilité du pont
La tension différentielle est fonction de cinq paramètres VM (R1, R2 , R3 , R 4 , VE ) et l’approche au
premier ordre donne dVM =
∂VM
∂V
∂V
∂V
∂V
dR1 + M dR2 + M dR3 + M dR4 + M dVE avec
∂R1
∂R2
∂R3
∂R4
∂VE
∂VM
R2
1
a
R1
∂VM
a
1
=−
VE = −
VE ,
VE =
VE ,
=
2
2
2
2
∂R2 (R1 + R2 )
∂R1
(a + 1) R2
(R1 + R2 )
(a + 1) R1
R3
R4
∂VM
∂VM
a
a
1
1
V =−
VE ,
V =
VE ,
=−
=
2 E
2 R
2 E
2 R
R
∂R3
∂
(R3 + R4 )
(a + 1) 3
(R3 + R4 )
(a + 1) 4
4
R
∂VM
R2
R4
R
=
−
= 0 en posant 1 = 3 = a .
∂VE R1 + R2 R3 + R4
R2 R 4
⎛ dR1 dR2 dR3 dR 4 ⎞
⎟ VE
+
−
+
d’où dVM = S ⎜⎜ −
R2
R3
R4 ⎟⎠
⎝ R1
Sylvain Géronimi
avec S =
Page 16
a
(a + 1)2
dS
=0
da
et R3 = R 4 .
La sensibilité devient maximale si
d’où la condition R1 = R2
⇒
a = 1 , Smax =
1
4
3. Erreur maximale sur la tension différentielle
∆VM = S 4
∆R
VE et pour Smax , ∆VM max = 10 mV
R
La sensibilité du détecteur de zéro doit être meilleure que l’erreur maximale. Ainsi, pour mesurer
des résistances avec une précision de 1% à partir d’une source fournissant 1 V, il faut que le
détecteur ait une sensibilité meilleure que 10 mV.
Sylvain Géronimi
Page 17
Dispersion de caractéristiques d’un JFET
L’étude porte sur la comparaison de la dispersion, en régime continu, obtenue à partir de deux
topologies de schéma (figures 1 et 2). Le constructeur donne les dispersions suivantes pour le
transistor à effet de champ de type 2N4416A :
dispersions maximales →
dispersions minimales
→
I DSS = 15 mA, VP = − 6 V
I DSS = 5 mA, VP = − 2.5 V
RD
2k
RG1
J2N4416A
RD
2k
J2N4416A
J1
VCC
J1
30 V
VCC
30 V
RS
RG2
RS1
1Meg
figure 1
figure 2
Polarisation automatique (figure 1)
La polarisation du transistor est obtenue automatiquement par la tension continue produite aux bornes
de la résistance de source. Le transistor à dispersion maximale est d’abord monté dans ce circuit, puis
remplacé par le transistor à dispersion minimale.
1. Calculez la résistance de source RS pour avoir le point de fonctionnement VGSo = − 2 V dans le
cas de dispersion maximale.
2. Evaluez la dispersion sur I Do , VDSo , VGSo .
Polarisation mixte (figure 2)
Une autre façon de polariser le transistor est employée, mettant en oeuvre la polarisation automatique
utilisée précédemment associée à un pont de grille. Dans le cas où la résistance RG1 est de valeur
infinie, le montage redevient à polarisation automatique. Les démarches analytiques restent
identiques, si ce n’est d’introduire la nouvelle valeur de la résistance de source.
3. En prenant la résistance de source RS1 = 3 RS , calculez la résistance de pont de grille RG1 pour
avoir le point de fonctionnement VGSo = − 2 V dans le cas de dispersion maximale.
4. Evaluez la dispersion sur I Do , VDSo , VGSo .
Comparaison des deux topologies
5. Concluez sur le choix de la topologie du circuit.
Sylvain Géronimi
Page 18
Corrigé
Polarisation automatique
1. Evaluation de la résistance RS
+VCC
⎧
⎛ V
⎪I D = I DSS ⎜1 − GS
⎜
VP
⎨
⎝
⎪
(
)
≅
I
I
D
⎩ S
RD
ID
IG=0
VDS
⎞
⎟⎟
⎠
2
(transistor)
⎧VCC ≅ (RD + RS )I D + VDS
⎨
⎩VGS ≅ − RS I D
VGS
RS
(circuit)
système de 3 équations à 3 inconnues ( I D , VDS , RS )
I Do
⎛ VGSo
= I DSS ⎜⎜1 −
VP
⎝
2
− VGSo
⎞
⎟ ≅ 6.67 mA , RS ≅
≅ 300 Ω , VDSo ≅ VCC − (RD + RS )I Do ≅ 14.7 V
⎟
I Do
⎠
2. Evaluation des dispersions
Le transistor à dispersion minimale est monté en place du transistor précédent. Les équations du
système à résoudre demeurent inchangées, mais les inconnues sont maintenant I D , VGS , VDS , ce
qui conduit à la résolution d’une équation du second degré.
⎛
1
2 ⎞
⎟VGS + 1 = 0 ⇒ VGS ≅ − 0.74 V telle que VP < VGS < 0 (JFET canal N)
+ ⎜⎜
−
⎟
o
0
⎝ I DSS RS VP ⎠
− VGSo
et I Do =
≅ 2.48 mA , VDSo = VCC − (RD + RS )I Do ≅ 24.3 V
RS
2
VGS
VP2
Les dispersions extrêmes donnent des écarts de position du point de repos dans le plan de sortie
∆ I D ≅ 4.2 mA , ∆VDS ≅ 9.6 V pour cette structure de circuit.
Polarisation mixte
3. Evaluation de la résistance de pont de grille RG1
Une maille d’entrée unique apparaît après application du théorème de Thévenin.
+VCC
RD
ID
RG
IG=0
VDS
VGS
VG
⎛ V
I D = I DSS ⎜⎜1 − GS
VP
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
(
)
(transistor)
⎧⎪VCC ≅ RD + RS1 I D + VDS
⎨
⎪⎩VGS ≅ VG − RS1 I D
RS1
avec VG =
Sylvain Géronimi
2
Page 19
RG2
RG1 + RG2
(circuit)
VCC , RG = RG1 // RG2
I Do ≅ 6.67 mA , VG ≅ 4 V , RG1 ≅ 6.5 MΩ , VDSo ≅ 10.7 V
4. Evaluation des dispersions
Le transistor à dispersion minimale est monté en place du transistor précédent.
2
VGS
VP2
⎛
VG
1
2 ⎞⎟
+⎜
−
= 0 ⇒ VGSo ≅ − 0.11V , I Do ≅ 4.57 mA , VDSo ≅ 16.7 V
V + 1−
⎜ I DSS RS VP ⎟ GS
I
DSS RS1
1
⎝
⎠
Les dispersions extrêmes donnent des écarts de position du point de repos dans le plan de sortie
∆ I D ≅ 2.1 mA , ∆VDS ≅ 6 V pour cette structure de circuit.
5. Conclusion
La polarisation mixte diminue le phénomène de dispersion. En effet dans le plan de sortie, les
plages des coordonnées du point de repos sont réduites de ∆I D = 4.2 mA → 2.1 mA et
∆VDS = 9.6 V → 6 V .
Sylvain Géronimi
Page 20
Polarisation d’un transistor bipolaire
L’étude porte sur diverses topologies permettant de polariser un transistor bipolaire avec un courant
de collecteur donné et se placer sensiblement au milieu de la droite de charge statique dans les
caractéristiques de sortie.
Le transistor est de type 2N1711 ( β typique = 150 ).
RB
RC
RB
VCC
RC
VCC
20 V
20 V
Q1
Q1
figure 2
figure 1
RB
RC
RB1
RC
100k
VCC
VCC
Q1
Q1
20 V
RE
RB2
180
20 V
RE
180
figure 3
figure 4
Déterminez les résistances au sein des topologies suivantes, pour un courant ICo = 10 mA et en
prenant VBEo ≅ 0.6 V .
1.
2.
3.
4.
Polarisation simple (figure 1).
Polarisation par résistance entre collecteur et base (figure 2).
Polarisation avec résistance d’émetteur (figure 3).
Polarisation avec résistance d’émetteur et pont de base (figure 4).
Corrigé
Le point de repos étant placé sensiblement au milieu de la droite de charge statique dans les
caractéristiques de sortie, la tension VCEo ≅ VCC 2 = 10 V
1. Polarisation simple
+VCC
RC
RB
IC
⎧VCC = RC IC + VCE
⎪
⎨VCC = RB I B + VBE
⎪I = β I
B
⎩C
IB
VCE
VBE
Sylvain Géronimi
⇒ RC =
VCC − VCEo
IC o
Page 21
= 1 kΩ , RB =
VCC − VBEo
IC o
β = 291 kΩ
2. Polarisation par résistance entre collecteur et base
+VCC
RC
RB
⎧VCC = RC (IC + I B ) + VCE
⎪
⎨VCE − VBE = RB I B
⎪I = β I
B
⎩C
IC
IB
VCE
VBE
⇒ RC =
VCC − VCEo
β
IC o
β +1
≅ 1 kΩ , R B =
VCEo − VBEo
IC o
β = 141 kΩ
3. Polarisation avec résistance d’émetteur
+VCC
RC
RB
IC
IB
⎧VCC = VCE + RC IC + RE I E
⎪
VCC − VCEo
⎪VCC = RB I B + VBE + RE I E
⇒ RC ≅
− RE = 820 Ω ,
⎨
IC o
⎪I E = I B + IC
⎪I = β I
B
⎩C
VCE
⎞
⎛ VCC − VBEo
RB ≅ ⎜
− RE ⎟ β ≅ 264 kΩ
⎟
⎜
IC o
⎠
⎝
VBE
RE
4. Polarisation avec résistance d’émetteur et pont de base
+VCC
⎧VB = RB I B + VBE + RE I E
⎨
⎩VCC = RC IC + VCE + RE I E
RB2
RB1 + RB2
VCC , RB = RB1 // RB2
RC
RB1
IC
VB
VB =
IB
VCE
RC ≅
VCC − VCEo
IC o
− RE = 820 Ω , RB ≅
VBE
RB2
Sylvain Géronimi
RE
VBEo + RE ICo
VCC ICo
−
β
RB1
≅ 18 kΩ ,
RB2 ≅ 22 kΩ
Page 22
Stabilité du point de repos par résistance d’émetteur
L’étude porte sur le comportement du montage de la figure ci-dessous en fonction de la température.
RB1
100k
RC
1.5k
VCC
Q1
RB2
20 V
RE
470
Le transistor, de type 2N1711 ( β typique = 150 ), possède les caractéristiques constructeur
Ptot (TA ≤ 25 °C )max = 0.8 W , TJmax = 200 °C , RthJA = 220 °C /W , RthJB = 58 °C /W
Etude du régime continu
1. En supposant IB << IC et VBE << VCE , écrivez que la puissance Pd dissipée dans le transistor,
satisfait à la condition dPd dIC = 0 et déduisez le point de repos correspondant et la valeur de la
résistance RB 2 nécessaire pour polariser correctement le transistor ( VBE0 ≅ 0.6 V ).
2. En prenant comme valeur de température ambiante TA = 25 °C , calculez la température TJ de la
jonction.
Stabilité en température
3. Dans le cas général, écrivez IC = [β (T ),VBE (T ),ICBO (T )] .
4. Déduisez les facteurs de stabilité SI = ∂IC ∂ICBO , SV = ∂IC ∂VBE , S β = ∂IC ∂β .
5. Evaluez dans le cas du montage dIC dT et dVCE dT sachant que, pour le silicium, le fabricant
indique
dVBE dT ≅ − 2.5 mV / °C ,
dβ (β dT ) ≅ 0.5 % / °C ,
dICBO (ICBO dT ) ≅ 11 % / °C
et
ICBO = 1 nA à 25 °C .
Corrigé
1. Expression de la puissance dissipée
+VCC
RC
RB1
IC
VB
IB
VCE
VBE
RB2
Sylvain Géronimi
RE
⎪
⎪VCC = RC IC + VCE + RE I E
⎨
⎪I E = I B + IC
⎪IC = α I E + ICBO
⎩
RB2
VCC , RB = RB1 // RB2
avec VB =
RB1 + RB2
Page 23
et ICBO courant de fuite de la jonction base-collecteur polarisée en inverse (dérive thermique).
Les deux jonctions présentées par le transistor produisent une résistance au passage des
courants, d’où une puissance dissipée en chaleur. La traversée du courant IC à travers la jonction
base-collecteur, aux bornes de laquelle existe la tension VCB , produit une dissipation de
puissance égale à VCB IC . De la même façon, la puissance dissipée dans la jonction baseémetteur vaut VBE I E . La puissance dissipée dans le transistor s’écrit
Pd = VBE I E + VCB IC = VBE I B + (VCB + VBE )IC = VBE I B + VCE IC ≅ VCE IC car IB << IC et VBE << VCE .
La puissance transformée en chaleur dans le transistor est presque intégralement dissipée par la
jonction base-collecteur dont le courant de fuite ICBO varie en fonction de la température.
En considérant que I E ≅ IC ( β >> 1 ) dans l’équation de la maille de sortie,
Pd ≅ IC [VCC − (RC + RE )IC ] d’où
dPd
= 0 ⇒ VCC = 2 (RC + RE )IC
dIC
cinquième équation du système linéaire dont les cinq inconnues sont I B , IC , I E , VCE , RB2 .
La puissance dissipée passe par un maximum au point de repos (fonction parabolique)
VCC
V
IC o ≅
≅ 5 mA et VCEo ≅ VCC − (RC + RE ) ICo = CC = 10 V .
2 (RC + RE )
2
Ces expressions, respectivement ordonnée et abscisse du point de repos dans le plan de sortie
du transistor, montrent une polarisation en classe A (au milieu de la droite de charge statique). En
ce point, il y a le meilleur effet de stabilisation possible du courant collecteur en fonction de la
température. En effet, à une variation de IC correspond une variation minimale de Pd (sommet
de la parabole). Il paraît donc souhaitable de polariser le transistor au milieu de la droite de
charge à condition, bien sur, de pouvoir dissiper la puissance maximale
2
VCC
Pdmax =
≅ 50 mW (<< 800 mW).
4 (RC + RE )
En considérant I E ≅ IC , la maille d’entrée s’écrit
VBE o + RE ICo
I
RB
VCC ≅ RB C + VBE + RE IC ⇒ RB ≅
≅ 18 kΩ et RB2 ≅ 22 kΩ .
RB1
β
VCC ICo
−
RB1
β
2. Calcul de la température TJ
La puissance maximale que peut dissiper un transistor, pour une température ambiante
déterminée, est une constante qui dépend des dimensions géométriques du transistor
Pd =
TJ − TA
RthJA
(approche linéaire)
avec TJ température de la jonction ( TJmax = 200 °C ), TA température ambiante ( TA = 25 °C ),
RthJA résistance thermique jonction-ambiant ( RthJA = 220 °C /W ).
A remarquer que la formule satisfait les données constructeur Ptotmax =
TJmax − TA
RthJA
≅ 0 .8 W .
La température de la jonction vaut TJ = T A + RthJA Pd = 36 °C .
Sylvain Géronimi
Page 24
Il est possible d’avoir une approche de la température du boîtier TB en considérant la résistance
thermique jonction-boîtier ( RthJB = 58 °C /W ), soit TB = TJ − RthJB Pd ≅ 33 °C .
L’utilisation d’un radiateur permettrait d’augmenter le pouvoir de dissipation du transistor,
Pd =
RthJB
TJ − TA
+ RthBR + RthRA
avec RthBR résistance thermique boîtier-radiateur, RthRA résistance thermique radiateur-ambiant.
La somme des résistances thermiques serait alors de valeur plus faible que la résistance
thermique RthJA du transistor seul.
Stabilité en température
3. Expression de IC (β ,VBE , ICBO )
⎧VB = (RB + RE )I E + VBE − RB IC
⎪
β
⎪
⎪
⇒ ⎨
I E + ICBO
β
⎨IC =
β +1
⎪
⎪IC = β + 1 I E + ICBO
⎩
⎪⎩I E = I B + IC
⇒ IC =
(RE + RB )(β + 1)ICBO + β (VB − VBE )
RB + (β + 1)RE
Le courant collecteur est fonction d’un ensemble de variables physiques dépendantes de la
température
4. Calcul des facteurs de stabilité
Ces facteurs sont les mesures de la stabilité de la polarisation du transistor. Ils sont définis
comme le rapport d’une variation ∆ IC du courant collecteur due à une variation de température, à
la variation correspondante d’une des fonctions suivantes ICBO (T ) , VBE (T ) , β (T ) , les autres
variations étant nulles, d’où ∆ IC = SI ∆ ICBO + SV ∆VBE + S β ∆ β .
Pour des variations suffisamment faibles des variables fonctions de la température, la relation au
∂IC
∂I
∂I
dICBO + C dVBE + C dβ .
premier ordre est utilisée dIC =
∂ICBO
∂VBE
∂β
Il faut souligner que cette approche mathématique par les dérivées partielles est une approche
linéaire de phénomènes fortement non linéaires. Les facteurs s’écrivent alors :
⎡ ∂I ⎤
(β + 1)(RB + RE ) , S = ⎡ ∂IC ⎤
dIC
dIC
β
,
=
=
SI = ⎢ C ⎥
=
=−
⎢
⎥
V
dICBO
RB + (β + 1)RE
dVBE
RB + (β + 1)RE
= cte
=cte
⎣ ∂VBE ⎦ IβCBO
⎣ ∂ICBO ⎦VβBE
=cte
=cte
⎡ ∂I ⎤
dI
(RB + RE ) ICo − ICBO ≅ SI I
Sβ = ⎢ C ⎥
= C =
C
cte
β
β (β + 1) o
dβ
RB + (β + 1)RE
⎣ ∂β ⎦VICBO==cte
BE
Ces trois facteurs de stabilité du montage doivent simultanément avoir des valeurs les plus faibles
possibles. Les trois expressions ayant même dénominateur, on se contentera de rendre possible
l’inégalité suivante RB << (β + 1)RE où RB représente le pont de base et (β + 1)RE l’impédance
ramenée à l’entrée par la contre-réaction.
Sylvain Géronimi
Page 25
Deux cas extrêmes peuvent être envisagés :
IC
1
, S β ≅ 2o
RE
β
-
montage base commune RB = 0 ⇒ SI = 1 , SV ≅ −
-
montage émetteur commun RE = 0 ⇒ SI = β + 1 , SV = −
β
, Sβ ≅
IC o
β
RB
Le pire cas correspond au montage émetteur commun qui est le plus souvent employé.
5. Dérive du point de repos
Ces facteurs de stabilité permettent de calculer les variations du point de polarisation quand la
température varie.
dICBO
dICBO
dVBE
dVBE
dβ
dβ
⎧ dIC
+ SV
+ Sβ β
⎪ dT = SI dT + SV dT + S β dT = SI ICBO I
dT
β dT
⎪
CBO dT
⎨
dI
dV
⎪ CE ≅ − (R + R ) C
C
E
⎪⎩ dT
dT
⎧ dIC
−9
−6
−6
⎪⎪ dT ≅ 3.45 10 + 4.24 10 + 5.16 10 ≅ 9.4 µA
d’où ⎨
⎪ dVCE ≅ − (R + R ) dIC ≅ − 19 mV / °C
C
E
⎪⎩ dT
dT
L’application numérique montre que l’influence du courant de fuite ICBO est négligeable à une
température raisonnable et que les variations sur VBE et β jouent un rôle fondamental. Sans
résistance d’émetteur, la dérive aurait été cinq fois plus importante.
En conclusion, la présence d’une résistance d’émetteur diminue la fluctuation du point de repos
dans le plan de sortie IC (VCE ) du transistor.
Sylvain Géronimi
Page 26
Etage déphaseur
L’étude porte sur la caractérisation du circuit de la figure ci-dessous. Le transistor est de type 2N1711
( β typique = 150 ). Le composant CG est un condensateur de liaison.
RB
rg
RC
1k
VCC
CG
Q1
20 V
50
vG
RE
1k
vS1
vS2
1. Calculez la valeur de la résistance RB nécessaire pour que la tension VCE 0 soit de 10 V
( VBE0 ≅ 0.6 V ).
Etude du régime dynamique faibles signaux aux fréquences moyennes
2. Dessinez le schéma et évaluez le paramètre rbe du modèle du transistor ( rce = ∞ ).
3. Calculez les gains en tension A v1 = v s1 v g et A v 2 = v s2 v g .
4. Calculez la résistance d’entrée Z e du montage.
5. Calculez les résistances de sortie Z s1 et Z s2 correspondant respectivement aux signaux de sortie
v s1 et v s2 .
6. Concluez sur la dénomination du montage.
Sylvain Géronimi
Page 27
Caractérisation d’un amplificateur linéaire
Corrigé
1. Evaluation de la résistance RB
+VCC
RB
⎧VCC = RB I B + VBE + RE I E
⎪
⎪VCC = RC IC + VCE + RE I E
⎨
⎪I E = I B + IC
⎪I = β I
B
⎩C
RC
IC
IB
Q1
VCE
VBE
RE
système de 4 équations à 4 inconnues ( I B , IC , I E , RB )
En considérant I E ≅ IC ( β >> 1 ), le système se réduit à 2 équations à 2 inconnues ( IC , RB )
IC
⎧
VCC − VBE o − RE ICo
VCC − VCEo
+ VBE + RE IC
⎪VCC ≅ RB
β
⇒ IC o ≅
β = 432 kΩ
= 5 mA et RB ≅
⎨
RC + RE
IC o
⎪V ≅ (R + R )I + V
C
E C
CE
⎩ CC
2. Schéma et évaluation du paramètre rbe
Aux fréquences moyennes, le condensateur de liaison est équivalent à un court-circuit.
rg
rbe
i
RB
rbe ≅
βi
RC
vg
RE
vs1
UT
β = 750 Ω
IC o
rce = ∞
vs2
3. Calcul des gains en tension
En constatant que rg << RB dans l’application du théorème de Thévenin, le système s’écrit :
[
]
⎧v g ≅ rg + rbe + (β + 1)RE i
⎪⎪
⎨v s1 = − β RC i
⎪
⎪⎩v s2 = (β + 1)RE i
vs
vs
(β + 1)RE
β RC
⇒ A v1 = 1 ≅ −
et A v 2 = 2 ≅
vg
rg + rbe + (β + 1)RE
vg
rg + rbe + (β + 1)RE
soit A v1 ≅ −
Sylvain Géronimi
RC
≅ − 1 et A v 2 ≅ + 1 , car (β + 1)RE >> rg + rbe .
RE
Page 28
4. Calcul de la résistance d’entrée
Le dipôle représenté est équivalent à une résistance par application du théorème de Thévenin.
Les courants dynamiques existant dans le dipôle sont générés par le courant d’excitation entrant
i 0 , issu de la source de tension v 0 .
i0
i0
i1
v0
rbe
βi
i
RB
v0
RC
ze
RE
⎧i 0 = i1 + i
v
v0
⎪
⇒ i0 = 0 +
⎨v 0 = RB i1
(
R
r
+
β
+ 1)RB
B
be
⎪v = r i + (β + 1)R i
be
B
⎩ 0
d’où Z e =
v0
= RB // [rbe + (β + 1)RE ] ≅ 112 kΩ
i0
Remarquons ici que la topologie du circuit présente des branches en parallèle, ce qui conduit à
écrire l’expression de la conductance du dipôle et non de sa résistance (topologie série). A la vue
du schéma, cela se vérifie par la présence de la résistance RB en parallèle sur la résistance du
transistor vue de sa base.
5. Calcul des résistances de sortie
Pour le calcul de la résistance vue entre collecteur et masse, le courant d’excitation i 0 ne peut
traverser la branche de résistance infinie que représente la source liée. Le circuit en amont ne
peut être excité et i = 0 ⇒ β i = 0 . La résistance du dipôle est donc Z s1 = RC .
i0
i=0
βi=0
rbe
RE
RG
RC
v0
RB
Pour le calcul de la résistance vue entre l’émetteur et la masse, la topologie du circuit présente
une mise en parallèle des branches. Trouver RE en parallèle aux autres branches apparaît
évident. De plus, RC est en série avec la résistance infinie de la source liée et, de ce fait, ne doit
pas figurer dans l’expression de Z s2 . La source indépendante v g étant éteinte dans le dipôle, le
courant d’excitation entrant i 0 peut atteindre la branche qui supporte rbe et la fraction de courant i
commande la source β i .
i0
i
i1
βi
rbe
RE
rg
Sylvain Géronimi
RB
v0
RC
Page 29
⎧i 0 = i1 − (β + 1)i
rbe + rg // RB
i
⎪
β +1
1
⇒ 0 =
d’où Z s2 = RE //
≅ 5 .3 Ω
+
⎨v 0 = RE i1
v 0 RE rbe + rg // RB
β +1
⎪v = − r + r // R i
be
g
B
⎩ 0
(
)
6. Conclusion
Les dipôles équivalents du montage sous forme Thévenin sont, d’une part en sortie collecteur,
une source de tension indépendante d’amplitude v g et de phase opposée à celle de l’entrée en
série avec une résistance Z s1 = 1 kΩ (pseudo-émetteur commun) et, d’autre part en sortie
émetteur, une source de tension indépendante d’amplitude v g et de même phase que celle de
l’entrée en série avec une résistance Z s2 ≅ 5.3 Ω (émetteur suiveur). Le montage déphaseur de
tension propose deux dipôles pour attaquer un éventuel montage suivant.
collecteur
émetteur
Zs1
Zs2
vs1
vg
vs2
vg
L’amplificateur de tension peut être représenté sous la forme d’un quadripôle faisant apparaître un
modèle utilisant une source contrôlée de tension, associée à une branche contrôlante supportant
la résistance d’entrée (voir cours « La caractérisation d’un amplificateur linéaire ».
collecteur
Zs1
1k
rg
50
ve
Ze
112k
émetteur
rg
50
vs1
ve
vg
ze
112k
vs2
vg
A v1 ve
avec v e =
zs2
5.3
A v2 ve
Ze
v g ≅ v g car Ze >> rg
Z e + rg
⇒ v s1 = A v 1v g ≅ A v 1v e ≅ − v e et v s2 = A v 2 v g ≅ A v 2 v e ≅ + v e
Sylvain Géronimi
Page 30
Etage source commune
L’étude porte sur la caractérisation du circuit de la figure ci-dessous sous la forme d’un dipôle et d’un
quadripôle. Le transistor à effet de champ possède les caractéristiques I DSS = 15 mA, VP = −6 V .
La résistance Rch représente la charge extérieure de l’étage. Les condensateurs ont une fonction de
liaison (couplage).
RD
2k
rg
CG
CL
J1
VCC
50
R
vG
100k
RS
300
Rch
8k
30 V
CS
1. Déterminez les points de fonctionnement du transistor.
2. Dessinez le schéma et évaluez le paramètre g m du modèle du transistor ( rds = ∞ ).
3. Calculez la résistance d’entrée Z e vue par le dipôle d’attaque ( v g , rg ).
4. Ecrivez les expressions des éléments du dipôle de Thévenin ( v s0 , Z s ) du montage attaquant la
charge Rch .
5. Identifiez les éléments du quadripôle représentatif de l’amplificateur de tension, attaqué par le
dipôle d’attaque et chargé par Rch .
6. Evaluez le transfert en tension v s v g .
Corrigé
1. Calcul des points de fonctionnement
En continu ( ω = 0 ), les condensateurs de liaison sont équivalents à des circuits ouverts
1
= ∞ ).
(
Cω
+VCC
RD
ID
IG=0
VDS
VGS
R
⎪
2
⎪
⎛ VGS ⎞
⎜
⎟
I
I
1
=
−
⎨D
DSS ⎜
VP ⎟⎠
⎝
⎪
⎪V ≅ − R I
S D
⎩ GS
RS
système de 3 équations à 3 inconnues ( I D , VDS , VGS )
Sylvain Géronimi
Page 31
2
VGS
VP2
⎛
1
2 ⎞
⎟VGS + 1 = 0 ⇒ VGS ≅ − 2 V et I D ≅ 6.67 mA , VDS ≅ 14.7 V .
+ ⎜⎜
−
⎟
o
o
o
I
R
V
P ⎠
⎝ DSS S
2. Schéma et évaluation du paramètre g m
Aux fréquences moyennes, les condensateurs de liaison sont équivalents à des courts-circuits.
rg
vgs
gm vgs
R
vs
RD
2
VP
(canal N)
gm = −
Rch
vg
I DSS I Do ≅ 3.33 mA / V
3. Calcul de la résistance d’entrée vue par l’attaque
i0
Le dipôle contient tout le circuit (y compris la
charge). La résistance d’entrée vue de la grille
du JFET étant de valeur énorme (jonction en
inverse), le courant d’excitation i 0 du dipôle se
dirige entièrement dans la résistance R.
Z e = R = 100 kΩ
G
v0
R
4. Dipôle de Thévenin
Calcul de Z s vue par la charge Rch
Le courant i 0 , issu de la source de tension v 0
extérieure appliquée au dipôle, est l’unique
courant d’excitation du circuit puisque v g = 0
i0
rg
vgs = 0
gm vgs
=0
RD
R
v0
vg = 0
(source éteinte). Il n’y a donc aucune possibilité
d’atteindre la partie amont du circuit et v gs = 0 .
ZS = RD = 2 kΩ
La tension à vide, appelée v s0 , se calcule en déconnectant la charge.
R
⎧
R
⎪v gs = R + r v g
vg
⇒ v s0 = − g m RD
g
⎨
R + rg
⎪v = − g v R
m gs D
⎩ s0
La tension de sortie en charge est
RD
vs
vs0
Sylvain Géronimi
Rch
vs =
Rch
R
v s0 = − g m (RD // Rch )
vg
Rch + RD
R + rg
Page 32
5. Quadripôle représentatif de l’amplificateur de tension
L’amplificateur de tension peut être représenté sous la forme d’un quadripôle faisant apparaître un
modèle utilisant une source contrôlée de tension, associée à une branche contrôlante supportant
la résistance d’entrée (voir cours « La caractérisation d’un amplificateur linéaire ».
RD
rg
ve
R
Rch
vs
vg
A v ve
La branche d’entrée s’identifie à Z e = R . Le dipôle de sortie s’identifie au dipôle de Thévenin
attaquant la charge dont les éléments sont ZS = RD et A v v e . Le transfert en tension A v est le
coefficient de proportionnalité de la variable de commande v e tel que
Av v e = Av
R
v g = v s0 ⇒ A v = − g m R D
R + rg
6. Evaluation du transfert en tension
L’expression analytique de la tension de sortie en charge est :
Rch
v
R
vs =
A v v e = − g m (RD // Rch )
v g ⇒ s ≅ − 5.33
Rch + RD
R + rg
vg
(même expression que pour le dipôle, évidemment).
Sylvain Géronimi
Page 33
Etage collecteur commun chargé par un miroir de courant
L’étude porte sur la caractérisation du circuit de la figure ci-dessous (résistance d’entrée, résistance
de sortie, transfert en tension, fréquence de coupure basse).
Les transistors sont tous identiques tels que β = 100 ( β >> 1), VBE0 = 0.6 V , rce = 100 kΩ . Le
composant C est un condensateur de liaison.
RB
C
Q1
R
VCC
ve
10 V
Q2
Q3
vs
1. Evaluez la résistance R pour que la source de courant produise I E1 = 1 mA . ainsi que la résistance
RB pour avoir VCE2 = 0.6 V .
2. Dessinez le schéma et évaluez le paramètre rbe du modèle du transistor Q1 .
3. Calculez le transfert en tension A V = v s v e . la résistance d’entrée Z e et la résistance de sortie
Zs .
Etude du régime dynamique faibles signaux aux fréquences basses
4. Evaluez la capacité de liaison afin d’obtenir une fréquence de coupure de l’ordre du hertz.
Sylvain Géronimi
Page 34
Corrigé
IR
RB
R
Q1
VCC
IB1
IE1
Q2
Q3
1. Evaluation des résistances
Les composants Q2 , Q3 et R constituent un miroir élémentaire qui reconduit le courant I R en
sortie de Q2 .
⎧⎪VCC = R I R + VBE3
⎨
⎪⎩I R ≅ I E1
⇒ R≅
VCC − VBEo
I E1
= 9 .4 k Ω
Evaluation de la résistance RB
⎧⎪VCC = RB I B1 + VBE1 + VCE2
⎨
⎪⎩I E1 ≅ IC1 = β I B1 ( β >> 1)
⇒ RB ≅
VCC − VBEo − VCE2
I E1
β = 880 kΩ
2. Schéma et évaluation du paramètre du modèle
Aux fréquences moyennes, le condensateur de liaison est équivalent à un court-circuit.
ie
i
rbe1
βi
RB
rbe1 ≅
req
vs
ve
UT
β = 2 .5 kΩ
IC1
req = rce1 // rce2 =
rce
= 50 kΩ .
2
3. Caractérisation de l’étage
Calcul du gain en tension
[
]
⎧⎪v e ≅ rbe1 + (β + 1)req i
⎨
⎪⎩v s = (β + 1)req i
Sylvain Géronimi
⇒ Av =
(β + 1)req
vs
=
≅ 1.
v e rbe1 + (β + 1)req
Page 35
Calcul de la résistance d’entrée
Le dipôle représenté est équivalent à une résistance par application du théorème de Thévenin.
Les courants dynamiques existant dans le dipôle sont générés par le courant d’excitation entrant
i 0 , issu de la source de tension v 0 .
i0
i
i0
rbe1
i1
βi
RB
v0
req
ze
v0
⎧i 0 = i1 + i
⎪
v
v0
⇒ i0 = 0 +
⎨v 0 = RB i1
(
R
r
+
β + 1)req
B
be1
⎪v = r i + (β + 1)r i
be1
eq
⎩ 0
d’où Z e =
[
]
v0
= RB // rbe + (β + 1)req ≅ 750 kΩ
i0
Calcul de la résistance de sortie
i
i0
i1
rbe1
RB
ve = 0
βi
req
v0
La source indépendante v e étant éteinte dans le dipôle, le courant d’excitation entrant i 0 peut
atteindre la branche qui supporte rbe1 et la fraction de courant i commande la source β i .
⎧i 0 = i1 − (β + 1)i
⎪⎪
rbe1
rbe
i
1
β +1
⇒ 0 =
+
d’où Z s = req //
≅ 1 = 25 Ω .
⎨v 0 = req i1
v 0 req
rbe1
β +1
β
⎪
⎩⎪v 0 = − rbe1 i
Etude du régime dynamique faibles signaux aux fréquences basses
4. Calcul de la capacité
Constatons que le montage représente une simple résistance s’identifiant à la résistance d’entrée.
C
ve
Sylvain Géronimi
Ze
fb =
1
⇒ C ≅ 212 nF avec fb = 1 Hz .
2π Z e C
Page 36
Etage différentiel à JBT
L’étude porte sur la caractérisation de l’étage différentiel de la figure ci-dessous. Les deux transistors
sont supposés technologiquement identiques avec β = 200, VA très grand .
RC
RC
VCC
15 V
S1
Q1
Q2
V1
V2
VCC
15 V
RE
1. Démontrez que les courants collecteurs des transistors sont égaux.
2. En prenant I 0 = 200 µA , évaluez la résistance RE .
3. Evaluez les paramètres rbe1 et rbe2 des modèles des transistors.
4. Exprimez la tension de sortie sous la forme v s1 = Ad (v 1 − v 2 ) + Ac (v 1 + v 2 ) 2 .
5. Evaluer RC pour avoir Ad = −100 , puis calculez le taux de réjection de mode commun TRMC .
6. Calculez la valeur de l’impédance d’entrée différentielle Z d .
7. Calculez la valeur de l’impédance d’entrée de mode commun Z c .
La résistance RE est remplacée par un miroir de courant élémentaire Q3 - Q4 avec VA = 100 V (voir
problème « miroir élémentaire pour polarisation d’étage », la polarisation étant directement
compatible.
8. Evaluez le nouveau taux de réjection de mode commun.
Sylvain Géronimi
Page 37
Corrigé
RC
RC
IC1
IC2
Q1
Q2
VCC
15 V
VBE1
VBE2
VCC
15 V
RE
I0
1. Relation des courants collecteurs
Equations technologiques
Equation de la maille d’entrée
VBE1
⎧
⎪I ≅ I e UT
BS
⎪B
Q1 ≡ Q2 ⇒ ⎨ 1
VBE2
⎪
⎪I B2 ≅ I BS e UT
⎩
VBE1 = VBE 2 ⇒ IC1 ≅ IC2
2. Evaluation de la résistance RE
IC1 = IC1 = ICo ≅
o
o
VCC − VBE1
I0
o
= 100 µA et RE =
≅ 72 kΩ
2
I0
vs1
RC
RC
Q1
Q2
v1
v2
RE
ie1 + ie2
3. Evaluation des paramètres des modèles rbe1 et rbe2
rbe = rbe1 = rbe2 =
UT
β = 50 kΩ
IC0
4. Expression de la tension de sortie
Méthode classique
(voir cours « Montages à plusieurs transistors »)
Sylvain Géronimi
Page 38
Méthode du demi-schéma (voir annexe sur « Méthode de travail pour la caractérisation linéaire
d’un étage différentiel »)
vs1
vs1
RC
RC
RC
RC
ie1 = ie2
ie1 = - ie2
Q1
Q1
Q2
vd / 2
RE
masse
virtuelle
Q2
vc
- vd / 2
vc
vd
+ vc
2
v
v2 = − d + vc
2
v1 =
RE
0
ie1 + ie2 = 2 ie
Pour le régime différentiel, le montage (parfaitement symétrique) se réduit au montage émetteur
commun de gauche, les tensions d’émetteur et de masse étant équipotentielles puisque la
résistance RE est traversée par un courant nul. La tension de sortie v s1 est à gauche :
v s1 = −
β RC v d
2
rbe1
Pour le régime de mode commun, le montage se réduit au montage pseudo-émetteur commun,
l’émetteur de Q1 voyant une résistance équivalente 2 RE traversée par son courant d’émetteur :
v s1 = −
rbe1
β RC
vc
+ 2 (β + 1)RE
Le théorème de superposition donne v s1 = −
On identifie Ad =
v s1
vd
=−
β RC
2 rbe1
et Ac =
v s1
vc
β RC
β RC
vd −
vc
2 rbe1
rbe1 + 2 (β + 1)RE
=−
β RC
rbe1 + 2 (β + 1)RE
5. Evaluation de la résistance RC et du taux de réjection TRMC
RC = −
2 rbe Ad
β
= 50 kΩ , TRMC =
Ad
R
1
= + (β + 1) E ≅ 289 (49.2 dB)
2
Ac
rbe1
6. Evaluation de la résistance différentielle Z d
(résistance inter-bases, vue par la tension différentielle d’entrée)
Z d = rbe1 + rbe2 = 100 kΩ
7. Evaluation de la résistance de mode commun Z c
(résistance entre base et masse, vue par la tension de mode
Z c = rbe1 + 2 (β + 1)RE ≅ 29 MΩ
commun d’entrée pour le demi-schéma)
La source v c voit à ses bornes une résistance Z c 2
8. Evaluation du nouveau taux de réjection TRMC
La charge dynamique du miroir rce3,4 ≅
VA
= 500 kΩ remplace la résistance RE = 72 kΩ , ce qui
I0
améliore les performances de l’étage différentiel ( TRMC ≅ 66 dB , Z c ≅ 201 MΩ )
Sylvain Géronimi
Page 39
Etage différentiel à JFET
L’étude porte sur la caractérisation de l’étage différentiel de la figure ci-dessous. Les deux transistors
sont supposés technologiquement identiques avec I DSS = 2 mA, VP = − 2 V .
+VCC
+VCC
RD
10k
vs
J1
RD
10k
J2
v1
v2
I0
J3
RS
500
-VCC
Etude en régime continu
1. Evaluez les courants de drain des transistors.
2. Déduisez de l’étude du régime continu, les valeurs des paramètres g mi des transistors J i .
3. Ecrivez l’expression de la résistance dynamique z0 de la source de courant I 0 vue entre le drain
et la masse. Evaluez cette dernière, le paramètre rds3 étant estimé à 100 kΩ.
4. Les paramètres rds des transistors J1 et J 2 étant négligés, écrivez puis évaluez les gains en
tension Ad =
vs
v
et Ac = s .
vd
vc
5. Déduisez le TRMC en dB.
6. Evaluez les résistances différentielle Z d , de mode commun Z c et de sortie Z s du montage.
Sylvain Géronimi
Page 40
Corrigé
+VCC
+VCC
RD
RD
10k
10k
ID2
ID1
J1
0
J2
VGS1
VGS2
0
I0
J3
VGS3
RS
500
0
-VCC
1. Evaluation des courants de drain des transistors
Equations technologiques ( J1 ≡ J 2 ≡ J 3 )
2
⎧
⎛ VGS1 ⎞
⎪I = I
⎟
⎜
DSS ⎜ 1 −
⎪ D1
Vp ⎟⎠
⎝
⎪
2
⎪
⎛ VGS2 ⎞
⎪
⎟
⎜
(mêmes I DSS , VP )
⎨I D2 = I DSS ⎜1 −
Vp ⎟⎠
⎪
⎝
⎪
2
⎛ VGS3 ⎞
⎪
⎟
⎜
⎪I D3 = I DSS ⎜1 −
Vp ⎟⎠
⎪⎩
⎝
⎧I 0 ≡ I D = I D + I D
3
1
2
⎪⎪
Equations du circuit ⎨VGS1 −VGS2 = 0
⎪
⎪⎩VGS3 = − RS I 0
I0
⎧
⎪I D1 = I D2 = 2
⎛ 2 RS
R2
1
⎪
−
d’où ⎨
2
⇒ S2 I 02 + ⎜
⎜
⎛
⎞
I DSS
Vp
⎪I = I
⎝ Vp
⎜ RS I 0 ⎟
DSS ⎜1 +
⎟
⎪0
V
p ⎠
⎝
⎩
⎞
⎟ I0 + 1 = 0
⎟
⎠
soit I 0 ≅ 1.07 mA, I D1 = I D2 ≅ 536 µA
o
o
2. Evaluation des paramètres g mi
gm = −
2
Vp
Sylvain Géronimi
I Do I DSS , g m1 = g m2 ≅ 1.035 mA / V , g m3 ≅ 1.46 mA / V
Page 41
3. Calcul de la charge dynamique
i0
⎧⎪v 0 = rds3 (i 0 − g m3 v gs ) + RS i 0
⎨
⎪⎩v gs = − RS i 0
rds3
gm vgs
i0 - gm vgs
v
0
RS
⇒ z0 =
vgs
(
)
v0
= RS + 1 + g m3 RS rds3 ≅ 173 kΩ
i0
La méthode du demi-schéma est mise en œuvre (voir annexe sur « Méthode de travail pour la
caractérisation linéaire d’un étage différentiel symétrique»).
G1
vgs2
vgs1
gm vgs1
vd / 2
vc
G2
S2
S1
z0
vd / 2
gm vgs2
D2
D1
RD
RD
vc
vs
Pour le régime différentiel, le montage se réduit au montage source commune, car la charge z0
est traversée par un courant nul et la tension de sortie v s est à droite, d’où
v
g R
⎛ v ⎞
v s = − g m RD ⎜ − d ⎟ d’où le gain différentiel Ad = s = m D ≅ 5.18 .
2
2
v
⎝
⎠
d
Pour le régime de mode commun, le montage se réduit au montage pseudo-source commune, la
source de J 2 voyant une charge équivalente 2 z0 traversée par son courant de source, d’où
vs = −
g m RD
vc
1+ 2 g m z0
d’où le gain de mode commun Ac =
vs
g m RD
=−
≅ − 29 10 −3 .
vc
1 + 2 g m z0
Le théorème de superposition donne v s = Ad v d + Ac v c .
5. Evaluation du TRMC
TRMC =
Ad
1
= + g m z0 ≅ 180 (45 dB)
Ac
2
6. Calcul des résistances différentielle, de mode commun et de sortie du montage
Z d = ∞ , Z c = ∞ , Z s = RD = 10 kΩ
Sylvain Géronimi
Page 42
Réponse en fréquence d’un étage émetteur commun
L’étude proposée porte sur le comportement en fréquence du montage de la figure ci-dessous. Le
transistor possède les caractéristiques suivantes
β = 150, ft = 70 MHz,Cbc = 20 pF , VA = ∞
Les composants CG et CE sont respectivement des condensateurs de liaison et de découplage.
rg
CG
50
10u
RB1
RC
100k
1.5k
Q1
VCC
S
20 V
vG
RB2
RE
22k
470
CE
100u
1. Déterminez le point de repos du transistor.
Etude du régime dynamique aux faibles signaux
2. Déduisez la valeur du paramètre rbe de l’étude précédente.
3. Aux fréquences moyennes, calculez le gain en tension Av o = v s v g , les résistances d’entrée et
de sortie.
4. Evaluez la fréquence de coupure basse du montage.
5. Evaluez la fréquence de coupure haute du montage.
Sylvain Géronimi
Page 43
Corrigé
RC
RB1
IC
VCC
IB
VCE
VBE
RE
RB2
IE
1. Point de repos du transistor
⎧VCC ≅ (RC + RE )IC + VCE
⎨
⎩VB = RB I B + VBE + RE I E
avec VB =
RB2
RB1 + RB2
VCC et RB = RB1 // RB2
RB ≅ 18 kΩ , IC0 ≅ 5.07 mA
Etude du régime dynamique
2. Résistance dynamique de la jonction base-émetteur
rbe ≅
UT
β ≅ 740 Ω
IC 0
3. Gain en tension aux fréquences moyennes
β ib
rg
rbe
RB
vg
RC
vs
ib
Ce schéma peut être simplifié au regard des valeurs numériques, car RB >> rg par Thévenin.
(
)
⎧⎪v g ≅ rg + rbe i b
β RC
v
≅ − 285
⇒ Av o = s ≅ −
⎨
vg
rg + rbe
⎪⎩v s = − β i b RC
soit un gain d’amplitude de 285 avec déphasage de π ou encore gain de 49 dB.
Les résistances d’entrée et de sortie s’écrivent : Z e = RB // rbe ≅ 711 Ω et Z s = RC ≅ 1.5 kΩ .
Sylvain Géronimi
Page 44
4. Fréquence de coupure basse
Schéma aux fréquences basses
CG
rbe
rg
ib
RB
β ib
RC
vg
RE
CE
La fonction de transfert en tension est du type passe-haut du second ordre par la présence des
deux condensateurs indépendants au sein du montage.
Méthode classique de mise en équations
⎛
p ⎞ P
⎜⎜1 +
⎟⎟
ω
3 ⎠ ω4
⎝
Av ( p ) = Av o
2ζ
p2
p+
1+
ωn
avec
ωn2
1
⎧
⎪ω3 = R C
E E
⎪
⎪
RB + rbe + (β + 1)RE
⎪ω 4 =
R
B rg + rbe RB + rg CG
⎪
⎨
⎪ 2 ζ = r + R // [r + (β + 1)R ] C + ⎛⎜ R // rbe + RB
g
B
be
E
G
⎜ E
⎪ ωn
β +1
⎝
⎪
RB rg + rbe RB + rg CG RE CE
1
⎪ 1
⎪ 2 =ω ω =
RB + rbe + (β + 1)RE
3 4
⎩ ωn
[
{
(
[
)]
}
)]
(
⎞
⎟⎟ CE
⎠
Le calcul du coefficient d’amortissement ζ et de la pulsation naturelle ωn du système non amorti
permet l’évaluation de la fréquence de coupure à – 3 dB (voir cours « Le filtrage analogique »).
ωc = ωn 2 ζ 2 − 1 +
( 2 ζ 2 − 1)2 + 1
soit fc ≅ 327 Hz (filtre passe-haut du second ordre).
Méthode par l’approximation du pôle dominant
Calcul du premier pôle :
Résistance RG∞ du dipôle vu par CG lorsque CE est assimilé à un court-circuit.
RG∞
rg
RB
rbe
βi
RC
i
RG∞ = rg + RB // rbe ≅ 761 Ω
Sylvain Géronimi
Page 45
Résistance RE∞ du dipôle vu par CE lorsque CG est assimilé à un court-circuit.
i0
rbe
rg
βi
βi
i
//RB
i1
i
rbe
RC
RE
RE∞
RE
⎧
v0
⎪i1 =
R
E
⎪
⎪
⎨i 0 = i1 − (β + 1)i
⎪
v0
⎪− i =
rbe + rg // RB
⎪⎩
(
⇒
RC
i0
β +1
1
=
+
v 0 RE rbe + rg // RB
(
rg //RB
d’où RE∞ =
)
v0
rg // RB + rbe
β +1
// RE ≅ 5.21 Ω
)
ce qui donne la fréquence de coupure à – 3 dB, fb ≅
1
2π
⎛ 1
1
⎜
⎜ R∞ C + R∞ C
E E
⎝ G G
⎞
⎟ ≅ 326 Hz .
⎟
⎠
Calcul du deuxième pôle :
Résistance RE0 du dipôle vu par CE lorsque CG est assimilé à un circuit ouvert.
Résistance RG0 du dipôle vu par CG lorsque CE est assimilé à un circuit ouvert.
RG0
rbe
rg
RB
RC
RE
RG0 = rg + RB // [rbe + (β + 1)RE ] ≅ 14440 Ω , RE0 = RE //
d’où f3 ≅
βi
i
RE0
RB + rbe
≅ 95.8 Ω
β +1
1
≅ 1 Hz
2π (RG0 CG + RE0 CE )
Calcul du zéro :
Le zéro est produit par la liaison entre émetteur et masse, couplage dû à CE . En effet, si
l’émetteur du transistor est en l’air, le courant dans la charge est nul, donc
RE
1
1
=∞ ⇒ p=−
≅ 3.39 Hz .
et f2 =
2π RE CE
1 + RE C E p
R E CE
Les résultats sont valables avec une excellente précision car les deux pôles sont séparés de plus
de deux décades et le zéro est à deux décades en dessous du pôle dominant. La simulation sur
Spice confirme ces chiffres.
Sylvain Géronimi
Page 46
5. Fréquence de coupure haute
Estimation de la capacité de diffusion Cbe + Cbc =
IC 0
Cbc = 20 pF , Cbe ≅ 440 pF
2π UT ft
Schéma aux fréquences hautes
Cbc
rg
Cbe
RB
v
gm v
rbe
Rc
vs
vg
La fonction de transfert en tension est du type passe-bas du second ordre par la présence des
deux capacités indépendantes au sein du montage.
Méthode classique de mise en équations
L’écriture de la fonction de transfert en tension est la suivante :
⎧
gm
⎪ω z =
⎛
C
p ⎞
bc
⎪
⎜⎜1 −
⎟
⎪⎪ 2 ζ
ωZ ⎟⎠
⎝
AV ( p ) = AVo
avec ⎨
= rg // RB // rbe Cbe + RC + (1 + g m RC ) rg // RB // rbe Cb 'c
2ζ
p2
⎪ ωn
1+
p+
⎪ 1
ωn
ωn2
⎪ 2 = rg // RB // rbe RC Cbe Cbc
⎪⎩ ω n
(
)
(
)
[
(
)]
Le calcul du coefficient d’amortissement ζ et de la pulsation naturelle ωn du système non amorti
permet l’évaluation de la fréquence de coupure à – 3 dB (voir cours « Le filtrage analogique »).
ωc = ωn 1 − 2 ζ 2 +
( 2 ζ 2 − 1)2 + 1
soit fc ≅ 477 kHz
(filtre passe-bas du second ordre).
0
Rbc
rg
v
RB
0
R be
rbe
RC
gm v
Résistance du dipôle vu par C be lorsque Cbc est assimilé à un circuit ouvert :
0
Rbe
= rg // RB // rbe ≅ 46.7 Ω
Sylvain Géronimi
Page 47
Résistance du dipôle vu par C bc lorsque Cbe est assimilé à un circuit ouvert :
0
Rbe
i0
v
gm v
RC
v0
0 i + R (i + g v )
⎧⎪v 0 = R be
0
C 0
m
⎨
0 i
⎪⎩v = R be
0
0
0
Rbc
= (1 + g m RC )Rbe
+ RC ≅ 15730 Ω
0
0
a1 = Rbe
Cbe + Rbc
Cbc ≅ 3.35 10 −7 s , fh ≅
1
≅ 475 kHz ce qui donne la fréquence de coupure
2π a1
à - 3 dB.
be du dipôle vu par C
Résistance Rbc
bc lorsque C be est assimilé à un court-circuit :
be
Rbc
be = R = 1.5 kΩ
Rbc
C
RC
v=0
gm v = 0
0 C R be C
−16 s 2 , d’où f ≅
a2 = Rbe
be bc
bc ≅ 6.17 10
2
a1
≅ 86.5 MHz .
2π a2
Calcul du zéro :
Le zéro est produit de manière telle que le courant circulant dans la charge RC est nul, couplage
dû à Cbc . En effet, le courant circulant dans la branche supportant Cbc est égal au courant fourni
par la source liée, donc
g
gm
Cbc p V ( p ) = g m V ( p ) ⇒ p = m et f3 =
≅ 1.6 GHz .
C bc
2π Cbc
Malgré que les calculs, conduisant à l’évaluation de f2 , outrepasse le domaine de validité du
modèle de comportement en fréquence du transistor ( f2 et f3 > ft ), la fréquence de coupure haute
demeure valable avec une bonne précision, car les deux pôles sont séparés de plus de deux
décades. L’hypothèse du pôle dominant est donc vérifiée à une précision inférieure à 1%.
Sur un plan purement analytique, une meilleure précision peut être atteinte en évaluant une
fréquence de coupure corrigée telle que
1 1 1
1
1 1
d’où f1 = fhcorrigée ≅ 478 kHz en prenant la valeur trouvée de
⇒
≅ 2π a1 = +
≅ −
fh
f1 f 2
f1 fh f2
f2 (valeur approchée).
Sylvain Géronimi
Page 48
Méthode par transformation de schéma par application du théorème de Miller
Le schéma H.F. fait apparaître un quadripôle ponté par la branche capacitive C bc . Le théorème
de Miller (voir « Annexes ») conduit au schéma suivant (rappelons que le circuit de sortie ne sert
que pour exprimer le transfert en tension).
rg
Cbe
RB
v
avec C1 = (1 + g m RC )Cbc
C1
et R1 =
rbe
R1
vg
RC
1 + g m RC
0
Résistance du dipôle vu par C be lorsque C1 est assimilé à un circuit ouvert : Rbe
= rg // RB // rbe .
0
+ R1 .
Résistance du dipôle vu par C1 lorsque Cbe est assimilé à un circuit ouvert : R10 = R be
[
]
0
0
Cbe + Cbc (1 + g m RC )Rbe
+ RC (même résultat que précédemment).
soit a1 = Rbe
Résistance R1be du dipôle vu par C1 lorsque Cbe est assimilé à un court-circuit : R1be = R1
0
0
Cbe R1be C1 = Rbe
Cbe RC Cbc (même résultat que précédemment).
soit a2 = Rbe
La simulation sur Spice illustre ces résultats. De plus, si la position du deuxième pôle est acceptée
( f2 > ft ), la marge de phase de l’ordre de 40° démontre une bonne stabilité de l’amplificateur.
80
(327.975, 46.058)
40
(16.853K, 49.051)
(477.173K, 46.049)
(3.4146, 12.023)
(92.289M, 20.262m)
0
(1.1307, 7.1713)
marge de phase ≅ 40°
0 dB
-40
-80
10mHz
DB(V(S))
Sylvain Géronimi
1.0Hz
100Hz
10KHz
1.0MHz
100MHz
10GHz
Frequency
Page 49
0d
(12.430K, -180.004)
(473.028K, -225.027)
-200d
(321.990, -135.004)
(80.309M, -315.194)
-400d
-600d
10mHz
P(V(S))
Sylvain Géronimi
(92.350M, -320.013)
1.0Hz
100Hz
10KHz
1.0MHz
100MHz
10GHz
Frequency
Page 50
Réponse en fréquence d’un étage base commune
Le sujet proposé porte sur l’étude en régime dynamique du montage base commune de la figure cidessous. Les paramètres du modèle en comportement linéaire du transistor sont :
β = 150, rbe = 740 Ω,Cbe = 440 pF ,Cbc = 20 pF ,VA = ∞
Les composants CG et CB sont respectivement des condensateurs de liaison et de découplage.
RB1
100k
RC
1.5k
VCC
Q
CB
10u
RB2
RE
22k
470
CG
rg
10u
50
20 V
vs
vg
Etude du régime dynamique aux fréquences moyennes
1. Dessinez le schéma.
2. Calculez le gain en tension Av 0 = v s v g , les résistances d’entrée et de sortie.
Etude du régime dynamique aux fréquences basses
4. Evaluez l’influence de chacun des condensateurs CG et CB sur la fréquence de coupure, l’autre
étant équivalent à un court-circuit. Concluez sur la fréquence fb de coupure basse du montage.
5. Evaluer la fréquence fb par la méthode de l’approximation du pôle dominant.
Etude du régime dynamique aux fréquences hautes
7. En se plaçant dans l’hypothèse d’un pôle dominant, calculez la fréquence fh de coupure haute du
montage.
8. Validez l’hypothèse du pôle dominant.
Sylvain Géronimi
Page 51
Corrigé
1. Schéma
rg
βi
i
RE
RC
rbe
vs
vg
2. Caractérisation du montage
Ce schéma peut être simplifié par Thévenin v g' =
[
]
R E rg
RE
v g et rg' =
.
R E + rg
R E + rg
'
⎧⎪v g' = − (β + 1)rg' + rbe i
vs vs vg
β RC
RE
⇒
=
=
=
≅ 26.9 (+28.6 dB)
A
⎨
v0
' v
+
+
(
1
)
//
v
β
r
R
r
R
v
⎪⎩v s = − β i RC
g
E
be
E + rg
g
g g
(
)
Les résistances d’entrée et de sortie s’écrivent : Ze = RE //
rbe
≅ 4.9 Ω et Z s = RC ≅ 1.5 kΩ .
β +1
3. Schéma
CB
RB
rbe
RC
βi
i
RE
CG
rg
vg
deux condensateurs indépendants au sein du montage. La recherche de la fréquence de coupure
basse peut être alors entreprise de deux manières :
-
constater l’influence d’un des condensateurs pris de manière indépendante, les autres étant
assimilés à des court-circuits et interpréter globalement les résultats obtenus,
appliquer la méthode d’approximation du pôle dominant, en n’oubliant pas de valider
l’hypothèse.
4. Influence de chaque condensateur pris indépendamment
Fréquence de coupure due à l’influence du condensateur CB
Sylvain Géronimi
Page 52
Le composant CG étant équivalent à un court-circuit ( f = ∞ ), le but est de calculer la constante de
temps de coupure de la maille, c’est-à-dire d’écrire l’expression de la résistance RB∞ du dipôle vu
par CB (théorème de Thévenin / Norton).
i0
RB
v0
rbe
RC
βi
i
RE // rg
v0
⎧
⎪i 0 = R + i
⇒ RB∞ = RB // rbe + (β + 1) RE // rg ≅ 5326 Ω
B
⎨
⎪v = r + (β + 1) R // r i
be
E
g
⎩ 0
[
(
[
)]
soit une fréquence de coupure fb1 =
)]
(
1
≅ 3 Hz .
2π RB∞ CB
Fréquence de coupure due à l’influence du condensateur CG
Le composant CB étant équivalent à un court-circuit ( f = ∞ ), on recherche l’expression de la
résistance RG∞ du dipôle vu par CG .
i0
βi
i1
i
rbe
RE
v0
RC
rg
⎡
⎤
⎧⎡
⎧i1 = i 0 + (β + 1)i
RE ⎤
⎢
⎥
(
)
+
+
=
1
β
1
i
i
⎪
⎪
RE
⎢
⎥1 0
rbe ⎦
⇒ v0 = ⎢
+ rg ⎥ i 0
⎨v 0 = RE i1 + rg i 0 ⇒ ⎨⎣
⎢1 + (β + 1) RE
⎥
⎪
⎪v = R i + r i
⎢
⎥
E 1
g 0
⎩rbe i = − RE i1
⎩ 0
r
be
⎣
⎦
RG∞ =
rbe
β +1
// RE + rg ≅ 54.8 Ω , soit une fréquence de coupure fb2 =
1
≅ 290 Hz .
2π RG∞ CG
L’influence de CG apparaît prépondérante vis-à-vis de CB car deux décades séparent les pôles,
ce qui entraîne une fréquence de coupure basse fb ≅ 290 Hz .
5. Méthode par l’approximation du pôle dominant
1 ⎛⎜ 1
1
fb ≅
+
2π ⎜⎝ RG∞ CG RE∞ CE
Sylvain Géronimi
⎞
⎟ = fb + fb ≅ 293 Hz ce qui donne la fréquence de coupure à –3 dB.
1
2
⎟
⎠
Page 53
Résistance R B0 du dipôle vu par CB lorsque CG est assimilé à un circuit ouvert.
Résistance RG0 du dipôle vu par CG lorsque CB est assimilé à un circuit ouvert.
RB
RB0
rbe
RC
βi
i
RE
RB0 = RB // [rbe + (β + 1)RE ] ≅ 14388 Ω , RG0 = RE //
d’où f3 ≅
RG0
rg
RB + rbe
+ rg ≅ 148 Ω
β +1
1
≅ 1.1 Hz
2π (RG0 CG + RB0 CB )
Calcul du zéro :
Le zéro est obtenu par le couplage dû à CB . En effet, si la base du transistor est en l’air, le
courant dans la charge est nul, donc
RB
1
1
et f2 =
=∞ ⇒ p=−
≅ 0.88 Hz .
1 + RBCB
RBCB
2π RB CB
Les résultats sont valables avec une excellente précision car les deux pôles sont séparés de plus
de deux décades et le zéro est à deux décades en dessous du pôle dominant. La simulation sur
Spice confirme ces chiffres.
6. Schéma
Cbc
Cbe
rbe
RC
βi
i
RE
rg
vg
deux capacités indépendantes au sein du montage. La méthode par l’approximation du pôle
dominant est appliquée.
Sylvain Géronimi
Page 54
i0
βi
i
i1
rbe
rg //RE
v0
RC
⎧i 0 + (β + 1)i = i1
v0
v
⎪
r
0
⇒ i0 =
+ (β + 1) 0 ⇒ Rbe
= rg // RE // be ≅ 4.42 Ω
⎨v 0 = − rbe i
β
+1
r
R
r
//
g
E
be
⎪v = r // R i
g
E 1
⎩ 0
(
)
0 = R = 1.5 kΩ car β i = 0 .
Rbc
C
0 C
0
−8 s , f ≅
a1 = Rbe
be + R bc C bc ≅ 3.195 10
h
1
≅ 4.98 MHz
2π a1
(fréquence de coupure à –3 dB).
bc = R 0 .
Résistance du dipôle vu par Cbe lorsque Cbc est assimilé à un court-circuit : Rbe
be
be
= RC .
Résistance du dipôle vu par C bc lorsque Cbe est assimilé à un court-circuit : Rbc
0 C
0
be
bc
−17 s 2 , d’où f ≅
⇒ a2 = Rbe
be R bc C bc = R be C be R bc C bc ≅ 5.834 10
2
a1
≅ 87.2 MHz
2π a2
Malgré que le calcul conduisant à l’évaluation de f2 outrepasse le domaine de validité du modèle
de comportement en fréquence du transistor ( f2 > ft ), la fréquence de coupure haute demeure
valable avec une bonne précision, car les deux pôles sont séparés de plus d’une décade.
L’hypothèse du pôle dominant est donc vérifiée à une précision d’environ 5%. Sur un plan
purement analytique, une meilleure précision peut être atteinte en évaluant une fréquence de
coupure corrigée telle que
1 1 1
1
1 1
≅ 2π a1 = +
d’où
≅ −
et f1 = fhcorrigée ≅ 5.28 MHz (avec f2 valeur approchée).
fh
f1 f 2
f1 fh f2
La simulation sur Spice illustre les résultats.
40
(45.243K, 28.588)
20 dB / decade
20
(5.2867M, 25.575)
(291.838, 25.575)
0
(77.787M, 2.4421)
-20
40 dB / decade
-40
10Hz
100Hz
1.0KHz
10KHz
100KHz
1.0MHz
10MHz
100MHz
1.0GHz
DB(V(S))
Frequency
Sylvain Géronimi
Page 55
Réponse en fréquence d’un étage collecteur commun
Le sujet proposé porte sur l’étude en régime dynamique du montage collecteur commun de la figure
ci-dessous. Les paramètres du modèle en comportement linéaire du transistor sont :
β = 150, rbe = 755 Ω,Cbe = 432 pF ,Cbc = 20 pF ,VA = ∞
Le composant CG est un condensateur de liaison.
RB
284k
rg
VCC
CG
Q
3k
vg
10n
20 V
RE
2k
vs
2. Calculez le gain en tension Av 0 = v s v g , les résistances d’entrée et de sortie.
4. Evaluez la fréquence fb de coupure basse du montage.
6. En se plaçant dans l’hypothèse d’un pôle dominant, calculez la fréquence fh de coupure haute du
montage.
Sylvain Géronimi
Page 56
Corrigé
1. Schéma
i
rbe
rg
βi
RB
RE
vs
vg
2. Gain en tension
Ce schéma peut être simplifié par Thévenin v g' =
[
]
RB rg
RB
v g et rg' =
≅ 2969 Ω .
RB + rg
R B + rg
⎧⎪v g' = rg' + rbe + (β + 1)RE i
v
(β + 1)RE
RB
⇒ Av 0 = s =
≅ 0.977 (- 0.2 dB)
⎨
v g rg // RB + rbe + ( β + 1) RE RB + rg
⎪⎩v s = (β + 1)i RE
Les résistances d’entrée et de sortie s’écrivent :
rg // RB + rbe
Z e = RB //[rbe + (β + 1)RE ] ≅ 146.5 kΩ et Z s =
// RE ≅ 24.4 Ω .
β +1
3. Schéma
CG
rbe
rg
ib
RB
β ib
vg
RE
La fonction de transfert en tension est du type passe-haut du premier ordre par la présence d’un
seul condensateur au sein du montage.
La constante de temps de coupure est obtenue par le calcul de la résistance Req du dipôle
(théorème de Thévenin ou Norton) vu par le condensateur.
i
i0
i1
rbe
βi
RB
v0
RE
rg
Sylvain Géronimi
Page 57
⎧i 0 = i1 + i
⎪
⎨v 0 = RB i1 + rg i 0
⎪
⎩RB i1 = [rbe + (β + 1)RE ]i
⎧
⎛
RB
⎪i 0 = ⎜⎜1 +
rbe + (β + 1)RE
⇒ ⎨
⎝
⎪v = R i + r i
B 1
g 0
⎩ 0
⎞
⎟ i1
⎟
⎠
⇒ Req = rg + RB // [rbe + (β + 1)RE ]
d’où la fréquence de coupure à –3 dB fb ≅
1
≅ 106 Hz avec Req ≅ 149.5 kΩ .
2π Req CG
5. Schéma
Cbe
rbe
i
v
rg
RB
βi
gm v
Cbc
RE
vg
deux capacités indépendantes au sein du montage.
La méthode par l’approximation du pôle dominant est appliquée
i0
i1
⎧v 0 = v
⎪
v
⎪
+ i1
⎨i 0 =
r
be
⎪
⎪v = r // R i + R (i − g v )
g
B 1
E 1
m
⎩ 0
rg//RB
v
v0
rbe
RE
(
gm v
v0
⎧
⎪i 0 = r + i1
⇒ ⎨
be
⎪v (1 + g R ) = r // R + R i
m E
g
B
E 1
⎩ 0
(
0
= rbe //
d’où Rbe
)
rg // RB + RE
1 + g m RE
⇒ i0 =
(1 + g m RE )v 0
rg // RB + RE
+
)
v0
rbe
≅ 12.3 Ω
rbe
i0
i
i1
0
Rbc
= rg // RB // [rbe + (β + 1)RE ] ≅ 2940 Ω .
βi
v0
Sylvain Géronimi
rg//RB
RE
Page 58
0 C
0
−8 s , f ≅
a1 = Rbe
be + R bc C bc ≅ 6.41 10
h
1
≅ 2.48 MHz
2π a1
ce qui donne la fréquence de
coupure à –3 dB.
Résistance du dipôle vu par C bc lorsque Cbe est assimilé à un circuit-circuit :
be
be
0 C
−16 s 2
Rbc
= rg // RB // RE ≅ 1195 Ω ⇒ a2 = Rbe
be R bc C bc ≅ 1.27
ou encore, résistance du dipôle vu par Cbe lorsque C bc est assimilé à un circuit-circuit :
i0
v
v0
rbe
bc =
Rbe
RE
rbe
β +1
// RE ≅ 4.99 Ω
gm v
bc C R 0 C
−16 s 2 , d’où f ≅
⇒ a2 = Rbe
2
be bc bc ≅ 1.27 10
a1
≅ 80 MHz
2π a2
Malgré que le calcul conduisant à l’évaluation de f2 outrepasse le domaine de validité du modèle
de comportement en fréquence du transistor ( f2 > ft ), la fréquence de coupure haute demeure
valable avec une bonne précision, car les deux pôles sont séparés de plus d’une décade.
L’hypothèse du pôle dominant est donc vérifiée à une précision d’environ 3%.
1 1 1
1
1 1
et f1 = fhcorrigée ≅ 2.56 MHz (avec f2 valeur approchée).
d’où
≅ 2π a1 = +
≅ −
fh
f1 f 2
f1 fh f2
La simulation sur Spice illustre ces résultats. Un zéro, situé à fz =
β +1
≅ 74 MHz , contre
2π rbe Cbe
l’effet du pôle f2 ≅ 80 MHz , d’où comportement du premier ordre.
10
(15.719K, -216.125m)
-0
-10
(107.303, -3.1986)
(2.5746M, -3.2344)
-20
-30
-40
1.0Hz
10Hz
100Hz
1.0KHz
10KHz
100KHz
1.0MHz
10MHz
100MHz
1.0GHz
DB(V(S))
Frequency
Sylvain Géronimi
Page 59
Comparaison des montages fondamentaux à JBT
A partir des résultats des problèmes sur les réponses en fréquence des étages émetteur commun,
base commune et collecteur commun, effectuez une comparaison des performances étudiées.
Corrigé
Report des performances dans le tableau suivant :
performances
émetteur commun
base commune
collecteur commun
polarisation ICo
5.07
5.07
5
résistance d’entrée Ze (Ω)
711
4.9
146500
Résistance de sortie Zs ( Ω)
1500
1500
24.4
gain en tension A v
- 285
26.9
0.977
coupure basse fb (Hz )
326
297
106
coupure haute fh (kHz )
475
4980
2480
deuxième pôle f2 (MHz )
86.5
87.2
80
fh (kHz ) corrigée
478
5280
2560
Commentaires :
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•
Les trois montages utilisent le même transistor ( β , ft ,VA ) parcouru par le même courant de
polarisation ICo , c’est-à-dire utilisant les mêmes valeurs des paramètres dynamiques du
modèle aux faibles signaux ( rbe , Cbe ,Cbc ), permettant ainsi une bonne comparaison des
performances.
Les valeurs de la résistance d’entrée montrent qu’un étage base commune doit être attaqué
en courant et qu’un étage collecteur commun en tension.
La valeur de la résistance de sortie de l’étage collecteur commun fait apparaître son rôle
d’abaisseur d’impédance (adaptateur basse impédance).
Les étages émetteur commun et base commune sont des amplificateurs de tension, alors que
l’étage collecteur commun recopie la tension d’entrée en sortie (suiveur de tension). Ici, le
gain de l’étage base commune est faible à cause d’un problème d’adaptation sur l’entrée
(attaque en courant).
La fréquence de coupure basse est fonction du choix des valeurs de condensateurs de liaison
et de découplage, donc indépendante du type d’étage.
Les valeurs des fréquences de coupure haute mettent en exergue le principal problème de
l’étage émetteur commun, à savoir une faible bande passante. Cette fréquence de coupure
sera d’autant plus faible que la charge sera plus importante (gain en tension demandé plus
important). La solution est l’utilisation du montage cascode.
Le deuxième pôle se situe aux environs de la fréquence de transition ft , extrême limite du
modèle de comportement du transistor en fréquence.
La fréquence de coupure haute corrigée démontre l’efficacité de la méthode du pôle
dominant.
Sylvain Géronimi
Page 60
Réponse en fréquence d’un étage pseudo-émetteur commun
L’étude proposée porte sur le comportement en fréquence du montage de la figure ci-dessous. Le
transistor possède les caractéristiques :
β = 200, ft = 400 MHz,Cbc = 0.2 pF , VA = ∞
Les composants CG et CE sont respectivement des condensateurs de liaison et de découplage.
RB1
79.8k
rg
RC
VCC
1k
Q1
CG
5V
vS
50
vG
RE1
30
RB2
VCC
5V
24k
RE2
CE
220
1. Calculez la valeur du courant IC 0 ( VBE0 ≅ 0.6 V ).
2. Evaluez le paramètre rbe du transistor.
3. Calculez le gain en tension Av 0 = v s v g .
4. Evaluez la résistance d’entrée Z e et la résistance de sortie Z s .
5. Evaluez la capacité Cbe du transistor.
On se place dans l’hypothèse où la fonction de transfert admet deux pôles réels espacés de plus
d’une décade (approximation du pôle dominant).
6. Calculez la fréquence de coupure du montage.
Sylvain Géronimi
Page 61
Corrigé
RB1
RC
VCC
IC
IB
VCE
VBE
RB2
RE1
VCC
IE
RE2
1. Evaluation du courant de collecteur
RB2
I
2VCC
= RB C + VBE + RE1 + RE 2 I E
RB1 + RB2
β
(
)
avec RB = RB1 // RB2
RB ≅ 18450 Ω , IC0 ≅ 5 mA
rg
rbe
RB
i
βi
RC
vg
vs
RE1
2. Evaluation des paramètres
U
rbe = T β ≅ 1 kΩ , rce = ∞ car VA = ∞
IC 0
3. Gain en tension
Av 0 ≅ −
β RC
≅ − 28.25 ( + 29 dB )
rg + rbe + (β + 1)RE1
( RB >> rg par théorème de Thévenin)
4. Impédances d’entrée et de sortie
Z e = RB // rbe + (β + 1)RE1 ≅ 5090 Ω (vue par le générateur d’attaque), Z s = RC = 1 kΩ
[
]
5. Estimation de la capacité de diffusion
IC 0
Cbc = 0.2 pF , Cbe ≅ 79.6 pF
Cbe + Cbc =
2π UT ft
Sylvain Géronimi
Page 62
6. Calcul de la fréquence de coupure (méthode par l’approximation du pôle dominant)
0
R bc
0
R be
rbe
v
gm v
RC
rg
RB
RE1
0
Résistance R be
du dipôle vu par Cbe lorsque Cbc est assimilé à un circuit ouvert
i0
i1
rg // RB
rbe
v
v0
i2
RC
RE1
gm v
Le circuit présente deux nœuds et deux mailles indépendantes, soit un système de 4 équations à
4 inconnues i1, i 2 , v et le couple recherché (v 0 , i 0 ) .
v
⎧
⎪i 0 = i1 + r
be
⎪
⎪i = i + g v
m
⎨1 2
⎪v = v
0
⎪
⎩⎪v 0 ≅ rg i1 + RE1 i 2
⇒
v0
⎧
⎪i1 = i 0 − r
be
⎪⎪
⇒ ⎨i 2 = i1 − g m v 0
⎪v ≅ r i + R i
g 1
E1 2
⎪ 0
⎪⎩
i0
1 1 + g m RE1
=
+
v 0 rbe
rg + RE1
0
= rbe //
d’où Rbe
RE1
rg
⎛
⎞
⇒ v 0 ⎜⎜1 +
+
+ g m RE1 ⎟⎟ ≅ rg + RE1 i 0
r
r
be
be
⎝
⎠
(
rg + RE1
1 + g m RE1
)
0
( Rbe
≅ 11.3 Ω )
0
du dipôle vu par Cbc lorsque Cbe est assimilé à un circuit ouvert
Résistance R bc
v0
i0
i1
i2
rbe
βi
rg // RB
i
RC
(β+1) i
RE1
Sylvain Géronimi
Page 63
⎧i 0 = i + i1
⎪
⎪i 0 + β i + i 2 = 0
⎨v ≅ r i − R i
g 1
C 2
⎪ 0
⎪rg i1 ≅ rbe i + ( β + 1)RE i
1
⎩
0
= RC + rg
d’où Rbc
⎧⎪v 0 ≅ rg (i 0 − i ) + RC ( i 0 + β i )
⇒ ⎨
⎪⎩rg (i 0 − i ) ≅ rbe i + ( β + 1)RE1 i
rbe + (β + 1)RE1 + β RC
rg + rbe + (β + 1)RE1
≅ 2462 Ω
0 C
0
−9 s ⇒ f ≅
a1 = Rbe
be + R bc C bc ≅ 1.392 10
h
1
≅ 114 MHz (fréquence de coupure)
2π a1
7. Validation de l’approximation du pôle dominant
a1
0
∞
∞
0
avec a2 = Rbe
f2 ≅
Cbe Rbc
Cbc ou a2 = Rbe
Cbe Rbc
Cbc
2π a2
∞
bc ) : résistance du dipôle vu par C
Rbe
(ou Rbe
be lorsque C bc est assimilé à un court-circuit
∞
be ) : résistance du dipôle vu par C
Rbc
(ou Rbc
bc lorsque C be est assimilé à un court-circuit.
i0
RE1
rg // RB
v0
RC
be apparaît plus judicieux au vu du schéma précédent, puisque la
Le choix du calcul de Rbc
résistance r be est court-circuitée et la source liée ne débite aucun courant. Le résultat est alors
∞
= rg // RB // RE1 + RC ≅ 1020 Ω .
immédiat, à savoir Rbc
d’où a2 ≅ 1.835 10 −19 s 2 et la fréquence de coupure est f2 ≅ 1.2 GHz ( f2 > ft ).
La fréquence de coupure haute évaluée par l’approximation du pôle dominant est d’une précision
de l’ordre de 10%, car les fréquences calculées sont séparées d’une décade. Il ne faut pas oublier
que le modèle de Giacoletto est toléré jusqu'à la fréquence de transition (400 MHz), ce qui signifie
que les calculs du deuxième pôle et des deux zéros ne sont pas acceptables. Cependant ces
fréquences sont, en réalité, très au-dela de la fréquence de coupure à 3 dB.
1 1 1
1
1 1
et f1 = fhcorrigée ≅ 127 MHz
d’où
≅ 2π a1 = +
≅ −
fh
f1 f 2
f1 fh f2
La simulation sur Spice illustre ce résultat.
Sylvain Géronimi
Page 64
Réponse en fréquence d’un étage source commune
L’étude porte sur la caractérisation du circuit de la figure ci-dessous. Le transistor à effet de champ
possède les caractéristiques statiques I DSS = 15 mA, VP = −6 V et les paramètres de son modèle
dynamique aux faibles signaux sont rds = ∞, Cgs = 4 pF ,Cgd = 2 pF .
Les composants CG et CS sont respectivement des condensateurs de liaison et de découplage.
RD
2k
rg
50
vG
CG
J1
VCC
30 V
10n
R
100k
RS
300
vS
CS
100u
1. Déterminez le point de repos du transistor.
2. Evaluez le paramètre g m du modèle du transistor de l’étude précédente.
3. Aux fréquences moyennes, calculez le gain en tension Av 0 = v s v g , les résistances d’entrée Ze
et de sortie Z s .
5. Evaluez la fréquence de coupure haute du montage.
Sylvain Géronimi
Page 65
Corrigé
1. Point de repos du transistor
En continu ( ω = 0 ), les condensateurs de liaison sont équivalents à des circuits ouverts
1
= ∞ ).
(
Cω
+VCC
⎪
2
⎪
⎛ VGS ⎞
⎜
⎟
⎨I D = I DSS ⎜1 −
VP ⎟⎠
⎝
⎪
⎪V ≅ − R I
S D
⎩ GS
RD
ID
IG=0
VDS
VGS
R
RS
système de 3 équations à 3 inconnues ( I D , VDS , VGS )
2
VGS
VP2
⎛
1
2 ⎞
⎟VGS + 1 = 0 ⇒ VGS ≅ − 2 V et I D ≅ 6.67 mA , VDS ≅ 14.7 V .
+ ⎜⎜
−
⎟
o
o
o
I
R
V
P ⎠
⎝ DSS S
2. Evaluation du paramètre g m
gm = −
2
VP
I DSS I Do ≅ 3.33 mA / V
3. Caractérisation aux fréquences moyennes
rg
vgs
gm vgs
R
RD
vs
vg
Dans ce domaine de fréquences, les condensateurs de liaison et de découplage sont équivalents
à des courts-circuits.
Calcul du gain
R
⎧
v
R
⎪v gs = R + r v g
⇒ v s = − g m RD
v g soit Av 0 = s ≅ − g m RD ≅ − 6.66 (16.48 dB)
g
⎨
R
+
r
v
g
g
⎪v = − g v R
m gs D
⎩ s
La résistance d’entrée (vue par le circuit d’attaque sous forme Thévenin vaut Z e = R = 100 kΩ et
la résistance de sortie ZS = RD = 2 kΩ .
Sylvain Géronimi
Page 66
Schéma aux fréquences basses
CG
rg
vgs
R
RD
gm vgs
vg
RS
CS
deux condensateurs indépendants au sein du montage. La méthode par l’approximation du pôle
dominant permet la détermination rapide de la fréquence de coupure basse (voir « Annexes »).
Résistance RG∞ du dipôle vu par CG lorsque CE est assimilé à un court-circuit.
RG∞
R
rg
vgs
gm vgs
RD
RG∞ = rg + R ≅ 100 kΩ
Résistance RS∞ du dipôle vu par CS lorsque CG est assimilé à un court-circuit.
i0
gm vgs
vgs
RS
0
RD
i
rg // R
v0
⎧v 0 = − v gs
i
1
⎪
+ gm
v gs ⇒ 0 =
⎨
v 0 RS
⎪i 0 + g m v gs +
RS
⎩
1
≅ 150 Ω
d’où RS∞ = RS //
gm
ce qui donne la fréquence de coupure à –3 dB fb ≅
1
2π
⎛ 1
1
⎜
⎜ R∞ C + R∞ C
S S
⎝ G G
⎞
⎟ ≅ 170 Hz .
⎟
⎠
Résistance RS0 du dipôle vu par CS lorsque CG est assimilé à un circuit ouvert.
Résistance RG0 du dipôle vu par CG lorsque CS est assimilé à un circuit ouvert.
Sylvain Géronimi
Page 67
RG0
vgs
gm vgs
R
rg
RD
RS0
RS
RG0 = rg + R ≅ 100 kΩ , RS0 = RS //
d’où f2 ≅
1
≅ 150 Ω
gm
1
≅ 9.95 Hz
2π (RG0 CG + RS0 CS )
Calcul du zéro :
Le zéro est produit par la liaison entre source et masse, couplage dû à CS . En effet, si la source
du transistor est en l’air, le courant dans la charge est nul, donc
RS
1
1
=∞ ⇒ p=−
et f3 =
≅ 5.3 Hz .
2π RS CS
1 + RSCS p
RS CS
Les résultats sont valables avec une précision satisfaisante car les deux pôles sont séparés d’un
peu plus d’une décade et le zéro est situé légèrement en dessous du pôle le plus bas (voir la
simulation sur Spice).
Schéma aux fréquences hautes
Cgd
rg
Cgs
R
vgs
RD
gm vgs
vs
vg
deux capacités indépendantes au sein du montage. La méthode par l’approximation du pôle
dominant est mise en œuvre.
0
Rgd
rg
Sylvain Géronimi
R
0
R gs
vgs
Page 68
RD
gm vgs
Résistance du dipôle vu par Cgs lorsque Cgd est assimilé à un circuit ouvert :
0
Rgs
= rg // R ≅ 50 Ω
Résistance du dipôle vu par Cgd lorsque Cgs est assimilé à un circuit ouvert :
0
Rgs
i0
vgs
(
0 i +R i +g v
⎧⎪v 0 = Rgs
0
D 0
m gs
⎨
0
⎪⎩v gs = Rgs i 0
gm vgs
RD
v0
0 C
0
−9 s , f ≅
a1 = Rgs
gs + R gd C gd ≅ 4.97 10
h
)
0 = (1 + g R )R 0 + R ≅ 2383 Ω
Rgd
m D
gs
D
1
≅ 32 MHz ce qui donne la fréquence de coupure
2π a1
à –3 dB.
gs
du dipôle vu par Cgd lorsque Cgs est assimilé à un court-circuit :
Résistance Rgd
gs
Rgd
RC
v=0
gs
Rgd
= R D = 2 kΩ
gm v = 0
0 C R gs C
−19 s 2 , d’où f ≅
a2 = Rgs
gs gd gd ≅ 8 10
2
a1
≅ 989 MHz
2π a2
Calcul du zéro :
Le zéro est produit de manière telle que le courant circulant dans la charge RD est nul, couplage
dû à Cgd . En effet, le courant circulant dans la branche supportant Cgd est égal au courant fourni
par la source liée, donc
Cgd p Vgs ( p ) = g m Vgs ( p ) ⇒ p =
gm
gm
≅ 265 MHz
et f3 =
Cgd
2π Cgd
La fréquence de coupure haute demeure valable avec une bonne précision, malgré la présence
du zéro qui s’intercale entre les deux pôles. Notons que le domaine de validité du modèle de
comportement en fréquence du transistor est acceptable puisqu’il n’existe pas de phénomène de
diffusion pour un JFET (modélisation de deux diodes en inverse).
Sylvain Géronimi
Page 69
La simulation sur Spice illustre ces résultats.
20
(173.235, 13.788)
(33.283M, 13.501)
(58.434K, 16.448)
pente
20 dB/décade
0
pente
- 20 dB/décade
(271.227M, 923.737m)
(13.335, -6.7119)
(949.014M, -4.2491737m)
pente
40 dB/décade
pente
- 20 dB/décade
-20
(5.1989, -17.281)
pente
20 dB/décade
-40
1.0Hz
10Hz
DB(V(S))
Sylvain Géronimi
100Hz
1.0KHz
10KHz
100KHz
1.0MHz
10MHz
100MHz
1.0GHz
10GHz
Frequency
Page 70
Réponse en fréquence d’un étage pseudo-source commune
Le sujet proposé porte sur l’étude du montage de la figure ci-dessous, représenté dans son régime
dynamique aux faibles signaux. Le paramètre rds du modèle en comportement linéaire du transistor
JFET est supposé de valeur très importante.
Le composant CG est un condensateur de liaison et la valeur de la résistance du dipôle d’attaque est
telle que rg << R .
RD
rg
CG
vS
J1
R
vg
RS
2. Ecrivez les expressions du gain en tension Av 0 = v s v g et des résistances d’entrée ze et de
sortie zs du montage.
4. Ecrivez la fréquence fb de coupure basse du montage.
On se place dans l’hypothèse où la fonction de transfert admet deux pôles réels espacés de plus
d’une décade (approximation du pôle dominant) et zéros très éloignés.
0 , résistance dynamique vue par C
6. Donnez l’expression analytique de Rgs
gs à fréquence nulle.
0 , résistance dynamique vue par C
7. Donnez l’expression analytique de Rgd
gd à fréquence nulle.
∞
gd
(ou Rgs
), résistance du dipôle vu par Cgs lorsque
8. Donnez les expressions analytiques de Rgs
∞
gs
), résistance du dipôle vu par Cgd lorsque Cgs
Cgd est assimilé à un court-circuit et Rgd
(ou Rgd
est assimilé à un court-circuit qui permettent de valider l’hypothèse du pôle dominant en
déterminant la position du deuxième pôle.
Sylvain Géronimi
Page 71
Corrigé
1. Schéma
rg
vgs
gm vgs
R
RD
vg
vs
RS
2. Gain en tension et résistance d’entrée
⎧⎪v s = − g m v gs RD
( R >> rg par théorème de Thévenin)
⎨
⎪⎩v g ≅ v gs + g m v gs RS
v
g R
⇒ Av 0 = s ≅ − m D
et ze = R (vue par le générateur d’attaque), zs = RD .
vg
1 + g m RS
3. Schéma
rg
CG
ze = R
Le condensateur voit à ses bornes un dipôle passif ( v g éteint) de résistance ze + rg , ce qui fournit
la constante de temps de coupure, donc la fréquence de coupure basse fb =
1
.
2 π ( rg + ze )CG
5. Schéma
0
Rgd
vgs
rg
0
R gs
gm vgs
RD
R
RS
Sylvain Géronimi
Page 72
La fréquence de coupure à – 3 dB s’écrit f1 ≅
1
2π a1
0
0
avec a1 = Rgs
Cgs + Rgd
Cgd (sous condition
d’un pôle dominant).
0
: résistance du dipôle vu par Cgs lorsque Cgd est assimilé à un circuit ouvert.
Rgs
0
: résistance du dipôle vu par Cgd lorsque Cgs est assimilé à un circuit ouvert.
Rgd
0
6. Ecriture analytique de la résistance R gs
i0
rg // R
vgs
i1
RD
v0
RS
gm vgs
⎧i 0 = i1 + g m v gs
⎧⎪i 0 = i1 + g m v 0
⎪⎪
⇒ ⎨
⎨v 0 = v gs
⎪⎩v 0 ≅ rg i 0 + RS i1
⎪
⎪⎩v 0 ≅ rg i 0 + RS i1
r g + RS
v
0
d’où Rgs
.
= 0 ≅
i 0 1 + g m RS
⇒ v 0 ≅ rg i 0 + RS (i 0 − g m v 0 )
0
7. Ecriture analytique de la résistance Rgd
i0
v0
i1
vgs
gm vgs
RD
rg // R
RS
⎧i 0 + g m v gs + i1 = 0
⎪⎪
⎨v 0 ≅ rg i 0 − RD i1
⎪
⎩⎪rg i 0 ≅ v gs + g m v gs RS
⎧⎪v 0 ≅ rg i 0 + RD (i 0 + g m v gs )
⇒ ⎨
⎪⎩rg i 0 ≅ v gs (1 + g m RS )
g m rg
⎛
0
≅ rg + RD ⎜⎜1 +
d’où Rgd
+
g m RS
1
⎝
Sylvain Géronimi
⇒ v 0 ≅ ( rg + R D ) i 0 +
rg g m RD
1 + g m RS
i0
⎞
⎟
⎟
⎠
Page 73
8. Pour la validation de l’approximation du pôle dominant
a1
0
∞
∞
0
avec a2 = Rgs
f2 ≅
Cgs Rgd
Cgd ou a2 = Rgs
Cgs Rgd
Cgd
2π a2
∞
gd
Rgs
(ou Rgs
) : résistance du dipôle vu par Cgs lorsque Cgd est assimilé à un court-circuit.
∞
gs
Rgd
(ou Rgd
) : résistance du dipôle vu par Cgd lorsque Cgs est assimilé à un court-circuit.
∞
Ecriture analytique de la résistance Rgd
i0
rg // R
RS
0
v0
RD
∞
apparaît plus judicieux au vu du schéma précédent, puisque la tension
Le choix du calcul de Rgd
v gs est nullee et la source liée ne débite aucun courant. Le résultat est alors immédiat, à savoir
∞
Rgd
≅ rg // RS + RD .
∞
Ecriture analytique de la résistance Rgs
i0
rg // R
RD
v0
vgs
gm vgs
RS
⎧v 0 = v gs
⎪⎪
⎨v 0 ≅ (RD // rg + RS ) i1 ⇒ v 0 = (RD // rg + RS ) (i 0 − g m v 0 )
⎪
⎪⎩i 0 = i1 + g m v gs
v
1
∞
d’où Rgs
//(RD // rg + RS ) .
= 0 =
i0
gm
Dans les deux cas, nous devons retrouver la même écriture analytique de a2 .
Sylvain Géronimi
Page 74
Réponse en fréquence d’un étage cascode
L’étude proposée porte sur le comportement en fréquence du montage de la figure ci-dessous. Les
deux transistors sont supposés identiques :
β = 100, ft = 100 MHz, Cbc = 4 pF , VA = ∞
Les composants CG , CB , CE sont respectivement des condensateurs de liaison et un condensateur de
découplage.
RB1
2.2k
RB2
Q2
1.2k
rg
vG
+
CG
RC
560
Q1
50
+
VCC
-
20 V
vS
RB3
560
RE
220
CE
CB
1. Dans l’hypothèse où l’on suppose les courants de base des transistors négligeables devant le
courant circulant dans la maille définie par RB1 , RB2 , RB3 et VCC , déterminez les points de
fonctionnement des deux transistors. Validez cette hypothèse.
2. Déduisez les paramètres rbe des transistors de l’étude précédente.
3. Aux fréquences moyennes, calculez les valeurs de la résistance d’entrée ze , de la résistance de
sortie zs et du gain en tension Av 0 = v s v g du montage.
4. Déterminez la fréquence de coupure haute.
5. Donnez les spécificités d’un tel amplificateur.
Sylvain Géronimi
Page 75
Corrigé
RB1
RC
IB2
RB2
VCE2
IC2
IC1
Q1
IB1
VCE1
VBE2
+
Q2
VCC
-
VBE1
RB3
RE
1. Points de repos
D’après l’hypothèse formulée, le courant de maille est I ≅
VCC
RB1 + RB2 + RB3
L’hypothèse de départ fait négliger deux fois 100 µA devant 5.05 mA (≅ 4%)
VCE1 ≅ VCE2 ≅ 6.1V , IC1 ≅ IC2 ≅ IC o = 10 mA
o
o
o
o
2. Résistances dynamiques des jonctions base-émetteur
U
rbe = rbe1 = rbe2 = T β ≅ 250 Ω donc g m = g m1 = g m2 ≅ 0.4 A / V
IC 0
3. Caractérisation aux fréquences moyennes
β i2
rg
i2
RB
v
vg
rbe2
rbe1
RC
vs
gm v
ze = RB // rbe ≅ 151 Ω avec RB = RB2 // RB3 , zs = RC = 560 Ω
⎧g m v = (β + 1)i 2
⎪
v
ze
ze
⎪
v g ⇒ Av 0 = s =
⎨v =
v
z
z
r
+
g
e + rg
e
g
⎪
⎪v = − R β i
C
2
⎩ s
Sylvain Géronimi
⎛
β ⎞⎛ β RC
⎜⎜ −
⎟⎟⎜⎜
⎝ β + 1 ⎠⎝ rbe
Page 76
⎞
⎟ ≅ −168 (+ 44.4 dB)
⎟
⎠
Cbe1 = Cbe2 = Cbe car Cbc1 = Cbc 2 = Cbc et même fréquence de transition
Cbe + Cbc =
IC 0
( Cbc = 4 pF , Cbe ≅ 633 pF )
2π UT ft
0
Rbc
1
RG
RB
gm v2
gm v1
v1
v2
rbe1
0
R be
1
0
Rbe
2
rbe2
RC
0
Rbc
2
Ce circuit présente trois éléments capacitifs indépendants, puisqu’une maille n’est composée que
de ce type d’éléments. Le système est donc d’ordre 3.
1
0
0
0
0
fh ≅
avec a1 = Rbe
C + Rbc
C bc1 + Rbe
C be2 + Rbc
Cbc 2
1 be1
1
2
2
2 π a1
Résistance du dipôle vu par Cbe1 lorsque les autres éléments capacitifs sont assimilés à des
0
= rg // RB // rbe1 ≅ 37.6 Ω .
circuits ouverts : Rbe
1
0
=
2
rbe2
β +1
≅ 2.48 Ω .
gm v2
v2
v0
rbe2
RC
Résistance du dipôle vu par Cbc1 lorsque les autres éléments capacitifs sont assimilés à des
0 = R 0 (1 + α ) + R 0
circuits ouverts : Rbc
be
be ≅ 77.24 Ω .
1
1
2
i0
v1
0
Rbe
1
v0
i1
gm v1
0
Rbe
2
Sylvain Géronimi
Page 77
Résistance du dipôle vu par Cbc 2 lorsque les autres éléments capacitifs sont assimilés à des
0
= RC = 560 Ω .
2
a1 ≅ 2.79 10 −8 s , fh ≅ 5.7 MHz ce qui donne la fréquence de coupure à –3 dB par l’approximation
du pôle dominant.
Les éléments capacitifs sont pris par paire (6 combinaisons) pour l’évaluation du coefficient a 2 .
f2 ≅
a1
2 π a2
avec
be1
be1
= Rbc
=
Rbe
2
1
a2 ≅ 9.53 10
rbe1
β +1
−17
be1
be1
be1
0
0
0
a2 = Rbe
C Rbc
Cbc1 + Rbe
C be1 Rbe
Cbe2 + Rbe
C Rbc
Cbc 2
1 be1
1
1 be1
2
2
1
bc1
0
+ Rbc
C bc1 Rbe
Cbe2
1
2
bc1
0
+ Rbc
C Rbc
Cbc 2
1 bc1
2
be2
0
+ R be
C be2 Rbc
Cbc 2
2
2
bc1
be1
be2
bc1
0 //
≅ 2.48 Ω , Rbc
= Rbc
= Rbc
= RC = 560 Ω , Rbe
= Rbe
2
2
2
2
1
rbe2
1
//
≅ 1 .2 Ω
g m1 β + 1
s 2 , f2 ≅ 46.6 MHz
Ce résultat montre que l’hypothèse du pôle dominant donne une fréquence de coupure à plus de
10% près, puisque un peu moins d’une décade sépare les deux pôles, le troisième pôle étant
supposé plus haut en fréquence. Les fréquences de coupure dûes aux zéros sont très hautes.
fréquence de coupure corrigée (négligeant la présence du troisième pôle) telle que
1 1 1
1
1 1
≅ 2π a1 = +
d’où
≅ −
et f1 = fhcorrigée ≅ 6.5 MHz
fh
f1 f 2
f1 fh f2
La simulation sur Spice présente le même résultat.
5. Spécificités de l’amplificateur
L’amplificateur cascode est composé de deux étages (système du 3° ordre) :
-
-
un étage émetteur commun d’amplification en courant égale à β et d’amplification en
tension inférieure à l’unité puisque la charge dynamique de cet étage est la résistance
dynamique de la jonction base-émetteur d’un transistor monté en base commune (2.5 Ω).
Cette très faible amplification en tension permet de minimiser la valeur de la capacité Cbc
ramenée à l’entrée de l’étage par l’application du théorème de Miller et, par conséquent,
d’obtenir la bande passante la plus large possible,
un étage base commune d’amplification en courant α et possédant une fréquence de
coupure de l’ordre de la fréquence de transition. Cet étage apporte une amplification en
tension importante.
L’ensemble des deux étages forme alors un amplificateur de puissance possédant une bande
passante élevée.
Sylvain Géronimi
Page 78
Réponse en fréquence d’un montage émetteur commun-collecteur commun
L’étude proposée porte sur le comportement en fréquence du montage de la figure ci-dessous. Les
transistors possèdent les caractéristiques suivantes
β = 150, ft = 70 MHz,Cbc = 13.6 pF , VA = 100 V
Les composants C1 , C2 et C3 sont respectivement des condensateurs de liaison et de découplage.
RC
RB1
R1
ie
2.2k
vg
Q2
10k
VCC
Q1
C1
C3
47µ
ve
25Vdc
10µ
RB2
82k
RE
1k
C2
100µ
R2
R3
2.2k
22k
vs
RP
1. Déterminez la valeur de la résistance de polarisation RB1 pour que le potentiel d’émetteur de Q2
soit à VCC 2 ( VBEo ≅ 0.6 V ).
Etude du régime dynamique aux faibles signaux sans contre-réaction ( RP = ∞ )
2. Déduisez, à partir des courants de polarisation, les paramètres dynamiques des modèles faibles
signaux rbe , rce , Cbe de Q1 et Q2 .
3. Aux fréquences moyennes, évaluez le gain en tension A v o = v s v g , puis caractérisez le montage
en l’absence de R1 ( A v = v s v e , Ze , Zs ).
5. Evaluez la fréquence de coupure haute du montage et démontrez que la marge de phase Φ M est
supérieure à 45°.
Etude du régime dynamique aux faibles signaux avec contre-réaction
6. Constatez que les variables de polarisation ne sont pas modifiées par la présence de RP .
7. Aux fréquences moyennes, évaluez la résistance de transfert Rt = v s i e de la chaîne directe et
dessinez le schéma équivalent du montage. Précisez le type de contre-réaction.
8. Aux fréquences moyennes, caractérisez le montage en boucle fermée et évaluez les paramètres
Rt' , Ze' , Zs' et Av' o = v s v g pour RP = 150 kΩ et 27 kΩ.
9. Déterminez la bande passante du montage pour les deux valeurs de contre-réaction.
Sylvain Géronimi
Page 79
Corrigé
25 V
1.19 mA
10k
RB1
37.6 µA
1.76 V
Q2
13.1 V
29.14 µA
7.68 µA
0.6 V
Q1
5.68 mA
1.16 V
0.6 V
82k
12.5 V
1k
21.46 µA
2.2k
1.16 mA
1. Evaluation de la résistance RB1
IC1 ≅ 1.15 mA , IC2 ≅ 5.64 mA , RB1 ≅ 798 kΩ d’où le pont de base RB = RB1 // RB2 ≅ 74.36 kΩ .
o
o
2. Paramètres dynamiques des modèles JBT
Q1 → rbe1 ≅ 3260 Ω , rce1 ≅ 87 kΩ , Cbe1 ≅ 91 pF , Cbe1 = 13.6 pF
Q2 → rbe2 ≅ 664 Ω , rce2 ≅ 17.7 kΩ , Cbe2 ≅ 500 pF , Cbe2 = 13.6 pF
3. Caractérisation du montage aux fréquences moyennes
Suivant la méthode de la caractérisation d’étages en cascade, nous déterminons l’équivalent de
Thévenin à vide du premier étage ( v s1 , Z s1 ).
R1
v1
RB
rce1
rbe1
RC
vs1
gm1 v1
Z s1
vg
RB // rbe1
⎧
vg
⎪v 1 =
R1 + RB // rbe1
⎨
⎪v = − g v R // r
m1 1
C
ce1
⎩ s1
(
)
⇒ A1 =
v s1
vg
=−
β
rbe1
(RC // rce ) R R+BR// r//ber
≅ − 242
1
1
1
B
be1
zs1 = RC // rce1 ≅ 8969 Ω
Le circuit équivalent de Thévenin obtenu attaque l’étage collecteur commun.
Sylvain Géronimi
Page 80
rbe2
i2
zs1
rce2
β i2
vs2
zs 2
R2 // R3
vs1
Posons R = rce2 // R2 // R3 ≅ 1797 Ω
[
]
⎧⎪v s1 = zs1 + rbe2 + (β + 1)R i 2
vs
(β + 1)R
⇒ A2 = 2 =
≅ 0.966
⎨
(
)
=
+
v
β
1
R
i
v
z
r
+
⎪⎩ s2
2
s1
s1
be2 + (β + 1)R
ze2 = rbe2 + (β + 1)R ≅ 272 kΩ , zs2 = R //
zs1 + rbe2
Ainsi, le transfert du montage vaut Av o =
vs
= A1 A2 ≅ − 234 soit 47.4 dB
vg
β +1
≅ 61.6 Ω
La caractérisation demandée en l’absence de R1 est la suivante :
Z e = RB // rbe1 ≅ 3123 Ω , Z s = zs2 ≅ 62 Ω , A v =
(
)
vs
β
=−
RC // rce1 A2 ≅ − 399 .
ve
rbe1
Schéma
C1
C3
i2
rbe2
rbe1
R1
RB
rce1
i1
β i2
β i1
RC
rce2
R2
R3
vg
RE
C2
La fonction de transfert en tension est du type passe-haut du troisième ordre par la présence des
trois condensateurs indépendants au sein du montage. La méthode par l’approximation du pôle
dominant est utilisée pour le calcul de la fréquence de coupure.
Résistance R1∞ du dipôle vu par C1 lorsque C2 et C3 sont assimilés à des courts-circuits.
R1∞
R1
RB
rbe1
i1
Sylvain Géronimi
rce1
RC
ze2
R1∞ = R1 + RB // rbe1 ≅ 5323 Ω
β i1
Page 81
i0
rbe1
R1
rbe1
ze2
RC
RE
R2∞
RE
i1
rce1
β i1
i1
//RB
i β i1
rce1
ze2 //RC
v0
R1 //RB
Afin de simplifier le calcul analytique, nous écrivons l’expression de la résistance du dipôle en
l’absence de RE , cette dernière étant branchée en parallèle sur ce dipôle.
⎧i + (β + 1)i + i = 0
1
⎪⎪ 0
v
=
−
r
⎨ 0
be1 + R1 // RB i1
⎪
⎩⎪v 0 = − rce1 i − ze2 // RC (β i1 + i )
(
⇒
(
)
)
(
β +1
⎧
⎪i 0 = r + R // R v 0 − i
be1
B
1
⎪
⇒ ⎨
⎪v = − r + z // R i + β ze2 // RC v
ce1
e2
C
0
⎪ 0
rbe1 + R1 // RB
⎩
(
(
)
)
⎡
β ze2 // RC ⎤
i0
1
β +1
=
+ ⎢1 −
⎥
v 0 rbe1 + R1 // RB ⎢⎣ rbe1 + R1 // RB ⎦⎥ rce1 + ze2 // RC
)
d’où R2∞ =
v0
// RE ≅ 38.14 Ω
i0
R3∞
i2
rbe2
rce1
0
β i2
RC
rce2
R2
R3
La résistance R du dipôle de gauche est en série avec la résistance R3 .
rce // RC + rbe2
R= 1
// rce2 // R2 d’où R3∞ = R + R3 ≅ 22078 Ω
β +1
ce qui donne la fréquence de coupure à – 3 dB, fb ≅
1
2π
⎛ 1
1
1
⎜
+ ∞
+ ∞
⎜ R∞ C
⎝ 1 1 R 2 C 2 R3 C 3
⎞
⎟ ≅ 43 Hz
⎟
⎠
Calcul du zéro :
Le zéro est produit par la liaison entre émetteur et masse, couplage dû à C2 . En effet, si
l’émetteur du transistor est en l’air, le courant dans la charge est nul, donc
RE
1
1
et f2 =
=∞ ⇒ p=−
≅ 1.6 Hz
2π RE C2
1 + RE C 2 p
RE C 2
Cette fréquence est relativement proche de la fréquence de coupure (environ une décade et
demi), mais interfère très peu sur la fréquence de coupure basse du montage.
Sylvain Géronimi
Page 82
Schéma
0
Rbe
0
Rbc
1
2
i2
rbe2
v1
R1
β i2
gm1 v1
zs1
Ze
R
0
Rbe
1
0
Rbc
2
Ce circuit présente trois éléments capacitifs indépendants, puisqu’une maille n’est composée que
de ce type d’éléments. Le système est donc d’ordre 3. La méthode par l’approximation du pôle
dominant est utilisée.
1
0
0
0
0
avec a1 = Rbe
C + Rbc
Cbc1 + Rbe
Cbe2 + Rbc
Cbc 2
fh ≅
1 be1
1
2
2
2 π a1
0
= R1 // Z e ≅ 1291 Ω .
1
Résistance du dipôle vu par Cbc1 lorsque les autres éléments capacitifs sont assimilés à des
circuits ouverts :
v0
i0
i2
rbe2
gm1 v1
v1
β i2
zs1
0
Rbe
R
1
(
)(
0
⎧v 0 = Rbe
i + zs1 // ze2 i 0 + g m1 v 1
⎪
1 0
⎨
0
⎪⎩v 1 = R be1 i 0
)
(
)(
)
0
0
0
⇒ Rbc
= Rbe
+ zs1 // ze2 1 + g m1 Rbe
≅ 525.7 kΩ
1
1
1
circuits ouverts :
i0
i
⎧v = v
⎪ 0
⎪
v
+i
⎨i 0 =
rbe2
⎪
⎪v = z i + R i − g v
s1
m2
⎩ 0
zs1
v
v0
rbe2
R
(
gm2 v
v0
⎧
+i
⎪i 0 = r
⇒ ⎨
be2
⎪v 1 + g R = z + R i
m2
s1
⎩ 0
(
Sylvain Géronimi
) (
)
⇒ i0 =
(1 + g m R )v 0 + v 0
2
zs1 + R
Page 83
rbe2
)
0
⇒ Rbe
= rbe2 //
2
zs1 + R
1 + g m2 R
≅ 25.44 Ω
Résistance du dipôle vu par Cbc 2 lorsque les autres éléments capacitifs sont assimilés à des
0
= zs1 // ze2 ≅ 8683 Ω .
2
d’où a1 ≅ 7.40 10 −6 s , fh ≅
1
≅ 21.5 kHz ce qui donne la fréquence de coupure à –3 dB.
2π a1
Les éléments capacitifs sont pris par paire (6 combinaisons) pour l’évaluation du coefficient a2 .
a1
f2 ≅
2 π a2
avec
be1
be1
be1
0
0
0
a2 = Rbe
C Rbc
Cbc1 + Rbe
C be1 Rbe
Cbe2 + Rbe
Cbe1 Rbc
Cbc 2
1 be1
1
1
1
2
2
bc1
bc1
be2
0
0
0
+ Rbc
C bc1 Rbe
Cbe2 + Rbc
Cbc1 Rbc
Cbc 2 + R be
C be2 Rbc
Cbc 2
1
1
2
2
2
2
be1
be1
be1
be2
0
Rbc
= Rbc
= zs1 // ze2 ≅ 8683 Ω , Rbe
= Rbe
≅ 25.44 Ω , Rbc
= zs1 // R ≅ 1497 Ω ,
1
2
2
bc1
0
Rbc
= Rbe
//
1
2
2
2
1
bc1
// zs1 // ze2 ≅ 21.32 Ω , Rbe
= rbe2 //
2
g m1
0
Rbe
1
1
//
// zs1 + R
g m1
1 + g m2 R
≅ 4.44 Ω
d’où a2 ≅ 4.744 10 −14 s 2 , f2 ≅ 24.8 MHz
Calcul du zéro :
Le zéro du montage émetteur commun est produit de manière telle que le courant circulant dans
la capacité de couplage Cbc1 soit entièrement absorbé par la source liée (tension nulle sur la
charge)
Cbc1 p V1( p ) = g m1 V1( p ) ⇒ p =
g m1
Cbc1
et f z =
g m1
2π Cbc1
≅ 540 Mhz
Malgré que ce calcul outrepasse le domaine de validité du modèle de comportement en fréquence
des transistors ( ft = 70 Mhz ), les fréquences issues des pôles sont valables et séparées de trois
décades. L’hypothèse du pôle dominant est donc vérifiée à une précision de 0.1 % pour ce type
de calcul analytique.
Le produit gain
x
fréquence de coupure haute reste constant
Av o fh ≅ 5 MHz puisque le
deuxième pôle apparaît au dessous de l’axe des 0 dB, à la fréquence de 25 MHz. Le
comportement du système est donc du premier ordre et la marge de phase est nettement
supérieure à 45°, ce qui démontre une bonne stabilité de l’amplificateur.
La simulation sur Spice illustre ces résultats.
80
(42.258, 44.376)
40
(1.0000K, 47.376)
(21.527K, 44.376)
(1.2589, 19.750)
(5.0119M, -38.642m)
0
produit gain x bande
constant
-40
-80
100mHz
1.0Hz
DB(V(S))
Sylvain Géronimi
(30.824M, -17.990)
marge de phase
≅ 82°
10Hz
100Hz
1.0KHz
10KHz
100KHz
1.0MHz
10MHz
100MHz 1.0GHz
Frequency
Page 84
0d
(40.596,-135.018)
(1.0000K,-180.285)
(21.559K,-225.007)
-200d
(5.0119M,-277.848)
-400d
(34.133M,-315.031)
-600d
100mHz
1.0Hz
P(V(S))
10Hz
100Hz
1.0KHz
10KHz
100KHz
1.0MHz
10MHz
100MHz 1.0GHz
Frequency
6. Polarisation du montage en contre-réaction
Les condensateurs de liaison C1 et C2 isolent la résistance RP du continu. les paramètres des
modèles des transistors restent donc inchangés.
7. Résistance de transfert aux fréquences moyennes
RP
is
ig
R1
2.2k
ve
⎧v e = Z e i e
⎪
vs
⎨
⎪Av = v
e
⎩
v
⇒ R t = s = A v Z e ≅ − 1246 kΩ (121.9 dB)
ie
(contre-réaction tension courant)
27k
ie
Zs
62
Ze
3123
vs
vg
R t ie
8. Caractérisation du montage aux fréquences moyennes
La contre-réaction fait apparaître une topologie parallèle en entrée et en sortie. De ce fait, les
nouveaux paramètres diminuent dans un rapport 1 + Y Rt (voir cours « La contre-réaction »).
ig
R1
2.2k
Z’s
ve
Z’e
vs
vg
R’ t ig
⎧ '
Rt
⎪Rt =
1
+
Y Rt
⎪
⎪⎪ '
Ze
⎨Ze =
Y Rt
1
+
⎪
⎪ '
Zs
⎪Zs =
⎪⎩
1 + Y Rt
v
ve − vs
v ⎛ v ⎞
v
1
= − s ⎜⎜1 − e ⎟⎟ ≅ − s
car − e =
≅ 2.5 10 −3 << 1
RP
RP ⎝ v s ⎠
RP
vs
Av
quadripôle de retour est attaqué en tension ( Z s << RP ).
is =
Sylvain Géronimi
Page 85
⇒ Y =
is
1
≅−
vs
RP
et le
Pour RP = 150 kΩ , Rt' ≅ − 133.8 kΩ , Ze' ≅ 336 Ω , Zs' ≅ 6.6 Ω avec 1 + Y Rt ≅ 9.307
⎧⎪v s = Rt' i g
Rt'
⇒ Av' =
≅ − 52.8 (34.45 dB)
⎨
'
R1 + Z e'
⎪⎩v g = R1 + Z e i g
(
)
Pour RP = 27 kΩ , Rt' ≅ − 26.43 kΩ , Z e' ≅ 66.2 Ω , Z s' ≅ 1.3 Ω avec 1 + Y Rt ≅ 47.15
Av' =
Rt'
R1 + Ze'
≅ − 11.66 (21.3 dB)
La résistance d’entrée du montage est augmentée de la valeur de la résistance série R1 = 2.2 kΩ .
9. Bande passante du montage
Le produit gain fréquence de coupure haute se conserve car le circuit se comporte comme un
système du premier ordre à cause du pôle dominant.
A v o fh = A v' fh' ≅ 5.03 MHz ⇒ fh' ≅ 95.4 kHz , fh' ≅ 432 kHz respectivement pour RP = 150 kΩ et
27 kΩ.
La valeur de la fréquence de coupure basse du système contre-réactionné peut être approchée
en considérant que son comportement asymptotique est proche du premier ordre (zéro et
deuxième pôle très voisins). Le rapport gain fréquence de coupure basse est alors à peu près
conservé.
Av o
≅ 5.44 Hz −1 ⇒ fb' ≅ 9.7 Hz , fb' ≅ 2.2 Hz respectivement pour RP = 150 kΩ et 27 kΩ.
fb
Tableau récapitulatif :
RP (kΩ )
Rt' (kΩ )
Z e' (Ω)
Z s' ( Ω )
Av'
fh' (kHz )
fb' (Hz )
∞
- 1246
5323
62
- 234
21.5
43
150
- 133.8
2536
6.6
- 52.8
95.4
9.7
27
- 26.43
2266.2
1.3
- 11.7
432
2.2
Simulation
80
(42.242, 44.375)
(1.0000K,47.376)
(10.098, 31.434)
(21.534K, 44.376)
(1.0000K,34.433)
40
(95.499K, 31.434)
(436.237K, 18.312)
(1.0000K,21.313)
0
(2.2179, 18.315)
(5.0119M, -38.643m)
-40
100mHz
Sylvain Géronimi
1.0Hz
DB(V(S))
10Hz
100Hz
1.0KHz
10KHz
100KHz
1.0MHz
10MHz
100MHz
Frequency
Page 86
Miroir de courant élémentaire pour polarisation d’étage
On considère l’étage de polarisation de la figure ci-dessous dans lequel les transistors sont supposés
technologiquement identiques ( β = 200, V A = 100 V ) et les tensions d’alimentation VCC = 15 V .
+VCC
Ipol
R
IC2
Q1
Q2
-VCC
1. Sans négliger le moindre terme sur les courants, écrivez l’expression de IC 2 en fonction de I pol .
(
2. Donnez la précision du miroir par l’évaluation de l’erreur définie comme étant ε = I pol − IC2
)
IC2 .
3. Evaluez la résistance R pour obtenir IC2 = 200 µA , VBE de l’ordre de 0.6 V.
Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes)
4. Evaluez les paramètres dynamiques rbe1 , rbe2 , rce1 , rce2 des modèles des transistors.
5. Prouvez que la source est représentée par une simple résistance z0 et évaluez celle-ci.
Sylvain Géronimi
Page 87
Corrigé
1. Expression de IC2 (I pol )
Equations technologiques :
VBEi
ICi = β I Bi = β I BS e
Q1 ≡ Q2
→
UT
⎛ VCEi
⎜1 +
⎜
VA
⎝
I BS1 = I BS2
VBEi
⎞
⎟ ≅ β I BS e UT
⎟
⎠
en négligeant l’effet Early (VCEi << VA )
VBE1
⎧
⎪I ≅ β I e UT
BS
⎪ C1
= I BS , β1 = β 2 = β ⇒ ⎨
VBE2
⎪
⎪IC2 ≅ β I BS e UT
⎩
Equations du circuit :
⎧⎪VBE1 = VBE2
⇒ I B1 = I B2 et IC1 = IC2
⎨
⎪⎩I pol = I B1 + I B2 + IC2
⇒
IC2 =
β
I pol
β +2
2. Précision du miroir
ε=
I pol
IC 2
−1=
2
β
= 1%
3. Evaluation de la résistance R
R=
2VCC − VBE1 β + 2
≅ 148 kΩ
β
IC 2
(équation non linéaire car VBE1 est fonction de I BS )
La valeur de VBE1 sera approchée par une tension de 0.6 V.
4. Evaluation des paramètres dynamiques des transistors
rbe = rbe1 = rbe2 ≅
UT
V
β et rce = rce1 = rce2 ≅ A
IC 2
IC 2
o
(VCE i << VA ) , soit rbe ≅ 25 kΩ , rce ≅ 500 kΩ
o
5. Caractérisation de la charge dynamique
i0
R
rce
rbe
v
gm v
rbe
rce
gm v
v0
L’absence de source d’excitation dynamique à l’entrée du montage fait qu’aucun courant n’existe
dans la partie gauche du circuit, en particulier v = 0 entraîne g m v = 0 , d’où z0 = v 0 i 0 = rce .
Cette charge dynamique est de valeur relativement importante ( z0 ≅ 500 kΩ ).
Sylvain Géronimi
Page 88
Miroir de courant élémentaire pour transfert dynamique
On considère le transfert du courant i E (t ) = I E + i e (t ) vers la sortie, effectué par le montage de la
figure ci-dessous. Les transistors sont supposés technologiquement identiques ( β = 200, VA = 100 V ).
iS (t)
iE (t)
vE (t)
Q1
Q2
vS (t)
1. Ecrivez l’expression de IS en fonction de I E .
2. Evaluez les paramètres dynamiques rbe1 , rbe2 , rce1 , rce2
des modèles des transistors pour
IS = 200 µA .
3. Précisez les conditions d’attaque et de charge de ce quadripôle. Donnez les conditions idéales.
4. Caractérisez la source de courant dynamique telle que
⎛v ⎞
⎛v ⎞
⎛i ⎞
, Z e = ⎜⎜ e ⎟⎟
, Z s = ⎜⎜ s ⎟⎟
et dessinez le quadripôle équivalent.
Ai = ⎜⎜ s ⎟⎟
i
i
⎝ e ⎠v s =0
⎝ e ⎠v s =0
⎝ i s ⎠ i e =0
Sylvain Géronimi
Page 89
Corrigé
1. Expression de IS (I E )
IS =
β
I E ≅ I E (voir le même problème en étage de polarisation)
β +2
2. Evaluation des paramètres dynamiques des transistors
rbe = rbe1 = rbe2 ≅
UT
V
β et rce = rce1 = rce2 ≅ A , soit rbe ≅ 25 kΩ , rce ≅ 500 kΩ
IC 2
IC 2
o
o
3. Conditions d’attaque et de charge
On a affaire à un amplificateur de courant de gain unité. L’attaque en courant à l’entrée nécessite
une résistance de générateur très importante devant la résistance d’entrée du quadripôle et
l’attaque en courant à la sortie impose une résistance de sortie du quadripôle très importante
devant la résistance de charge. Les conditions idéales sont de considérer la sortie en court-circuit
et l’entrée attaquée par un générateur de courant de résistance infinie.
4. Caractérisation de la source de courant
is
ie
rce
ve
rbe
rbe
v
gm v
rce
gm v
vs
⎛i ⎞
⎛v ⎞
⎛v ⎞
r
β
=
≅ 1 , Z e = ⎜⎜ e ⎟⎟
= be ≅ 124 Ω , Z s = ⎜⎜ s ⎟⎟
= rce ≅ 500 kΩ
A i = ⎜⎜ s ⎟⎟
⎝ i e ⎠v s =0 β + 2
⎝ i e ⎠ v s =0 β + 2
⎝ i s ⎠ i e =0
Le calcul de la résistance de sortie s’effectue en éteignant la source de courant indépendante
(application du théorème de Thévenin / Norton).
Schéma du quadripôle équivalent
ie
is
Ai ie
ve
Ze
Zs
vs
On peut vérifier que si le courant dynamique d’entrée i e est nul, la source liée est telle que
Ai i e = 0 (pas de transfert de courant) et le dipôle de sortie se réduit à la présence de Z s
uniquement. On retrouve le cas d’une source pour polarisation d’étage présentant sa charge
dynamique Z s (dipôle).
Sylvain Géronimi
Page 90
Source de courant simple à JFET pour polarisation d’étage
Considérons le sous-circuit représenté ci-dessous. Le transistor possède les caractéristiques
constructeur I DSS = 2 mA, VP = − 2 V . L’alimentation a le pôle +VCC relié à la masse.
I0
J3
D
S
RS
500
-VCC
1. Evaluez le courant I 0 .
2. Evaluez le paramètre dynamique g m3 du modèle du transistor.
3. Ecrivez l’expression de la résistance dynamique z0 vue entre le drain et la masse. Evaluez cette
dernière, le paramètre rds3 étant estimé à 100 kΩ.
Corrigé
1. Evaluation de I 0
⎧VGS = −RS I 0
⎪⎪
⎛ VGS
⎨
⎪I 0 = I DSS ⎜⎜1 −
Vp
⎝
⎩⎪
2
2
⎛ R I ⎞
⎛ 2 RS
⎛R ⎞
I
1
2
−
⎞ ⇒ 0 = ⎜1 + S 0 ⎟ ⇒ ⎜ S ⎟ I 02 + ⎜
⎜
⎟
⎜ Vp
⎜
⎟
⎟
I DSS ⎝
Vp ⎠
V
I
p
DSS
⎝
⎝
⎠
⎟
⎠
En retenant la racine du polynôme de plus faible valeur, I 0 ≅ 1.072 mA .
⎞
⎟ I0 + 1 = 0
⎟
⎠
2. Evaluation de la pente du transistor g m = −
2
VP
I D I DSS ≅ 1.46 mA / V
3. Evaluation de la résistance dynamique z0
i0
(
rds
v0
gm vgs
vgs
⇒ z0 =
RS
Sylvain Géronimi
)
⎧⎪v 0 = rds i 0 − g m v gs + RS i 0
⎨
⎪⎩v gs = −RS i 0
v0
= (1 + g m RS )rds + RS ≅ (1 + g m RS )rds ≅ 173 kΩ
i0
Page 91
Source de courant à gain pour polarisation d’étage
Considérons l’étage de polarisation de la figure ci-dessous dans lequel les transistors sont supposés
technologiquement identiques ( β = 200, V A = 100 V ) et les tensions d’alimentation VCC = 15 V .
+VCC
Ipol
R
Q3
138k
IC2
Q1
Q2
1. Sans négliger le moindre terme sur les courants, écrivez l’expression de IC 2 en fonction de I pol .
(
2. Donnez la précision du miroir par l’évaluation de l’erreur définie comme étant ε = I pol − IC2
)
IC2 .
3. Evaluez les courants de collecteur des transistors.
4. Prouvez que la source est représentée par une simple résistance z0 et évaluez celle-ci.
Sylvain Géronimi
Page 92
Corrigé
1. Expression de IC2 (I pol )
VBEi
ICi = β I Bi = β I BS e
Q1 ≡ Q2
→
UT
⎛ VCEi
⎜1 +
⎜
VA
⎝
I BS1 = I BS2
VBEi
⎞
⎟ ≅ β I BS e UT
⎟
⎠
en négligeant l’effet Early (VCEi << VA )
VBE1
⎧
⎪I ≅ β I e UT
BS
⎪ C1
= I BS , β1 = β 2 = β ⇒ ⎨
VBE2
⎪
⎩
⎧VBE1 = VBE2
⎧IC1 ≅ IC2
⎧
⎞
⎛
2
⎪
⎪
⎟⎟
⎪I pol = IC2 ⎜⎜1 +
=
+
I
I
I
I B1 + I B2
⎪ pol
C1
B3
⎪
β
β
(
1
)
⎪
+
⎠
⎝
d’où ⎨I pol =
⇒ ⎨
+ IC2
⎨
β +1
VCC − 2VBE
⎪
⎪I E3 = I B1 + I B2
⎪
⎪VCC = R I pol + VBE + VBE
⎪V = R I + V
⎪⎩I pol ≅
R
3
1
pol
BE 3 + VBE1
⎩
⎩ CC
ε=
I pol
IC 2
−1=
2
β ( β + 1)
≅ 5 10 −5
3. Evaluation des courants de collecteur
I pol ≅ 100 µA
(valeur des VBE approchée par une tension de 0.6 V), IC2 ≅ 100 µA , IC3 ≅ 1 µA .
4. Caractérisation de la charge dynamique
i3
rbe3
ic2
β i3
R
rce1
v
rbe/2
rce3
gm v
avec rbe1 = rbe2 = rbe , rce1 = rce2 = rce et
rce2
gm v
rbe
<< rce3
2
L’absence de source d’excitation dynamique à l’entrée du montage fait qu’aucun courant n’existe
dans la partie gauche du circuit, en particulier v = 0 entraîne g m v = 0 , d’où z0 = v 0 i 0 = rce2 .
Cette charge dynamique est de valeur relativement importante ( z0 ≅
VA
= 1 MΩ ).
IC 2
o
Sylvain Géronimi
Page 93
Source de Wilson pour transfert dynamique
On considère le transfert du courant i E (t ) = I E + i e (t ) vers la sortie, effectué par le montage de la
figure ci-dessous. Les transistors sont supposés technologiquement identiques ( β = 200, VA = 100 V ).
iE (t)
Q3
Q1
iS (t)
Q2
-VCC
1. Sans négliger le moindre terme sur les courants, écrivez l’expression du courant d’entrée I E en
fonction de IS .
2. Donnez la précision du miroir par l’évaluation de l’erreur définie comme étant ε = I − IC 3 / IC 3 .
(
)
3. Evaluez les paramètres des modèles des transistors pour IS = 100 µA .
4. Dessinez le schéma équivalent.
5. Caractérisez la source sous la forme d’un amplificateur de courant de paramètres Z e , Z s , Ai .
Corrigé
1. Expression de IS (I E )
Q1 ≡ Q2
(I BS1 = I BS2
VBE1
⎧
⎪I = β I e UT
BS
⎪ C1
= I BS , β1 = β 2 = β ) ⇒ ⎨
VBE2
⎪
⎪IC2 = β I BS e UT
⎩
( VCEi << VA )
⎧VBE = VBE
2
⎪⎪ 1
I
I
I
=
+
⎨ E3
B1
B2 + IC2
⎪
⎩⎪I E = I B3 + IC1
d'où IS =
Sylvain Géronimi
⎧
⎛
2⎞
⎪I E3 = IC2 ⎜⎜1 + ⎟⎟
β
⎪
⎝
⎠
⇒⎨
I
E3
⎪
⎪I E = β + 1 + IC2
⎩
car IC1 = IC2
β
β +2
β ( β + 2)
IE =
IC =
IE
β + 1 3 β + 1 2 β 2 + 2β + 2
Page 94
ε=
IE
2
−1=
≅ 50 10 − 6
IS
β (β + 1)
Etude dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes)
3. Evaluation des paramètres du modèle des transistors
rbe =
UT
V
β , rce ≅ A
IC o
IC o
avec IC1 = IC2 ≅ IC3 = 100 µA
o
o
o
rbe ≅ 50 kΩ , rce ≅ 1 MΩ
4. Schéma équivalent aux fréquences moyennes
is - βi3
i3
rce
rbe
is
βi3
ie - i3 - (is + i3) β/(β+2)
ie
ve
rce
(is + i3) β/(β+2)
rbe/(β+2)
Rch
vs
5. Caractéristiques dynamiques de la source
⎛i ⎞
Calcul du transfert en courant Ai = ⎜⎜ s ⎟⎟
⎝ i e ⎠v s = 0
Ce calcul correspond à l’application du théorème de Norton (courant de court-circuit en sortie du
dipôle évalué avec une source de courant indépendante parfaite en entrée).
⎧ ⎛
β
(i s + i 3 )⎞⎟⎟ = rbe i 3 + rbe (i s + i 3 )
⎪rce ⎜⎜ i e − i 3 −
+
2
β
β +2
⎪ ⎝
⎠
⎨
⎪ rbe (i + i ) + r i − β r i = 0
ce s
ce 3
⎪β + 2 s 3
⎩
L’écriture de ces équations de mailles se simplifie en constatant que
rbe
<< rce (à 0.025% près)
β +2
et rbe << 2rce (à 2.5% près). L’approximation donne
⎧
⎛
β ⎞
β
⎟⎟ i 3 +
is
⎪i e ≅ ⎜⎜1 +
β +2⎠
β +2
⎨
⎝
⎪i ≅ β i
3
⎩s
⇒ Ai =
is
β ( β + 2)
≅
≅ 1 (à comparer avec le transfert continu)
ie β 2 + 2β + 2
⎛v
Calcul de la résistance de sortie Z s = ⎜⎜ s
⎝ is
⎞
⎟
⎟
⎠ i e =0
Ce calcul correspond à la détermination de la résistance de Norton (ou Thévenin) du dipôle
précédent, la source d’excitation de courant i e étant éteinte (circuit ouvert en place de la source).
Sylvain Géronimi
Page 95
rbe
⎧
⎪v s = rce (i s − β i 3 ) + β + 2 (i 3 + i s )
⎪
⎨
⎪ rbe (i + i ) + r i + r ⎛⎜ i + β i + β i ⎞⎟ = 0
be 3
ce ⎜ 3
3
s
⎪β + 2 3 s
β +2
β + 2 ⎟⎠
⎝
⎩
Par les mêmes approximations précédentes, on obtient
⎧v s ≅ rce i s − β rce i 3
⎛
v
β2 ⎞
β
⎪
⎟⎟ rce ≅ rce = 100 MΩ
⇒ Z s = s ≅ ⎜⎜1 +
β ⎞
β
⎨⎛
⎜
⎟
is ⎝
2( β + 1) ⎠
2
⎪⎜1 + β + 2 ⎟ i 3 ≅ − β + 2 i s
⎠
⎩⎝
⎛v
Calcul de la résistance d’entrée Z e = ⎜⎜ e
⎝ ie
⎞
⎟
⎟
⎠v s =0
Ce calcul correspond à une configuration de charge très faible (court-circuit en sortie) par rapport
à la résistance de sortie Z s du quadripôle. Il faut remarquer que la résistance rce en entrée est
en parallèle avec le dipôle qui suit, ce qui conduit au calcul de la résistance de ce dernier dans le
but d’alléger l’analytique.
β
⎧
(i 3 + i s )
⎪i = i 3 +
β +2
⎪
⎪⎪
r be
(i 3 + i s )
⎨v = r be i 3 +
β +2
⎪
⎪ r
⎪ be (i 3 + i s ) + r ce (i s − β i 3 ) = 0
⎪⎩ β + 2
Par les mêmes approximations précédentes, on obtient
2r
v
2β + 3
2r
v
avec i s ≅ β i 3
⇒ Z e ≅ // rce ≅ be = 500 Ω
= rbe 2
≅ be
β
i
i
β + 2β + 2 β + 2
Une autre méthode d’analyse plus directe peut être employée, à savoir l’application de la théorie
de la contre-réaction courant-courant (voir cours « La contre-réaction »). C’est une contre-réaction
quasi totale puisque le miroir élémentaire, représentant le quadripôle de retour, ramène le courant
de sortie à l’entrée et en opposition de phase. La précision de cette méthode dépendra des
hypothèses de simplification.
La source de Wilson est un miroir de précision très importante. Les impédances d’entrée et de
sortie respectivement basse (configuration parallèle en entrée) et très haute (configuration série
en sortie) en fait une source adaptée à la conception des amplificateurs opérationnels à
transconductance.
Sylvain Géronimi
Page 96
Source de Widlar en répétiteur de courant pour polarisation d’étages
On considère l’étage de polarisation de la figure ci-dessous dans lequel les transistors sont supposés
identiques ( β = 200, VA = 100 V ) et les tensions d’alimentation VCC = 10 V . Les courants de base
seront négligés.
+VCC
R1
38.8k
IC3
IC2
Ipol
Q2
Q1
Q3
R2
200
R3
3k
-VCC
1. Evaluez les courants IC2 et IC3 .
2. Evaluez les paramètres dynamiques des modèles des transistors.
3. Calculez les charges z2 et z3 vues respectivement entre collecteurs de Q2 et Q3 et la masse.
Corrigé
1. Evaluation des courants IC2 et IC3
VBE1
⎧
⎪IC ≅ β I BS e UT
⎪ 1
VBE2
⎪
⎪
Q1 ≡ Q2 ≡ Q3 ⇒ ⎨IC2 ≅ β I BS e UT
⎪
VBE3
⎪
UT
I
β
I
e
≅
⎪ C3
BS
⎪⎩
VBE2
R2 IC2
⎧
⎪IC ≅ β I BS e UT e UT
⎪ 1
VBE3
R3 IC3
⎪
⎪
d’où ⎨IC1 ≅ β I BS e UT e UT
⎪
⎪I = 2VCC − VBE1 ≅ I
C1
⎪ pol
R1
⎩⎪
(technologie)
⎧VBE1 ≅ VBE2 + R2 IC2
⎪
⎪VBE1 ≅ VBE3 + R3 IC3
(circuit)
⎨
⎪I pol = IC1 + I B1 + I B2 + I B3 ≅ IC1
⎪2V = R I + V
1 pol
BE1
⎩ CC
IC
⎧ R 2 IC 2
≅ Ln 1
⎪
IC 2
⎪ UT
avec deux équations transcendantes à résoudre ⎨
⎪ R3 IC3 ≅ Ln IC1
⎪ U
IC 3
⎩ T
IC1 ≅ 500 µA , IC2 ≅ 150 µA , IC3 ≅ 25 µA
o
Sylvain Géronimi
o
o
Page 97
2. Evaluation des paramètres des modèles
rbe ≅
UT
V
β , rce ≅ A
IC o
IC o
rbe1 ≅ 10 kΩ, rce1 ≅ 200 kΩ , rbe2 ≅ 33.3 kΩ, rce2 ≅ 667 kΩ , rbe3 ≅ 200 kΩ, rce3 ≅ 4 MΩ
3. Calcul des charges z2 et z3
Le montage présente entre le collecteur de Q1 et la masse, un transistor monté en diode en
parallèle avec la résistance de polarisation R1 , soit
rbe1
β +1
// rce1 // R1 ≅ 49.7 Ω << rbe2 et rbe3 .
Les bases de Q2 et Q3 peuvent être considérées à la masse au niveau dynamique, d’où
i0
[
(
z2 = R2 // rbe2 + rce2 1 + g m2 R2 // rbe2
rce2
v0
gm2 v2
v2
R2 // rbe2
⎛
β R3
de même z3 ≅ rce3 ⎜1 +
⎜ R3 + rbe
3
⎝
⎛
)] ≅ rce ⎜⎜1 + R β+Rr2
2
⎝
2
be2
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
z2 ≅ 1.46 MΩ , z3 ≅ 15.8 MΩ
Les résultats du miroir de courant élémentaire sont retrouvés en rendant nulles les valeurs des
résistances d’émetteur. Ici, la dissymétrie produit d’une part, un courant continu plus faible que le
courant de référence I pol (effet lentille) ce qui permet d’ajuster les polarisations au sein d’un
circuit intégré et d’autre part, une charge dynamique qui peut être très élevée selon la valeur de la
résistance d’émetteur.
Si l’obtention d’une charge dynamique importante est uniquement désirée, il y a intérêt à rendre
symétrique le montage (effet miroir) pour une meilleure stabilité des courants en fonction de la
température (voir problème « stabilisation par résistance d’émetteur »).
Sylvain Géronimi
Page 98
Multiplicateur de VBE
Le montage de la figure qui suit présente une source de courant alimentant un multiplicateur de VBE.
Tous les transistors sont supposés technologiquement identiques ( β = 250, VA = 100 V ) et la tension
d’alimentation VCC = 15 V .
+VCC
Q1
Q2
R1
28.8k
R2
4.5k
Q3
R3
7.5k
1. Evaluez le courant de collecteur de Q2 en prenant VEB1 et VEB2 de d’ordre de 0.6 V.
2. Dans l’hypothèse où l’on suppose que le courant de base de Q3 est négligé, calculez la tension
VCE3 en prenant VBE3 de l’ordre de 0.6 V.
3. Evaluez tous les courants parcourant le montage afin de valider l’hypothèse précédente.
4. Evaluez les paramètres rbe3 , rce3 , rce 2 des modèles des transistors.
5. Calculez l’impédance z 3 vue entre collecteur et émetteur de Q3 .
6. Concluez sur la représentation d’une source de tension au sein d’études statique et dynamique
aux faibles signaux.
Sylvain Géronimi
Page 99
Corrigé
1. Courant de collecteur de Q2
Q1 ≡ Q2
→
⇒ IC2 = IC1 ≅
I BS1 = I BS2 = I BS et β1 = β 2 = β
VCC − VEB1 β + 2
≅ 500 µA
R1
β
2. Expression de la tension VCE 3
En supposant que I B3 << I , courant circulant dans R3
⎛ R ⎞
⇒ VCE3 ≅ VBE3 ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ = 0.96 V
⎝ R3 ⎠
3. Validation de l’hypothèse
VBE3
IC − I
I=
= 80 µA et I B3 ≅ 2
≅ 1.67 µA soit une précision des calculs à environ 2%.
R3
β +1
4. Paramètres dynamiques des modèles des transistors
U
V
rbe3 ≅ T ≅ 15 kΩ, rce3 ≅ A ≅ 239 kΩ
I B3
IC 3
o
o
5. Impédance vue entre collecteur et émetteur de Q3
R2
R3
v
i1
rbe
i0
rce3
v0
gm v
⎧i 0 = i1 + g m v
i 0 1 + g m3 R
⎪
(calcul sans la présence de rce3 )
=
⎨v 0 = (R2 + R )i1 avec R = R3 // rbe3 ⇒
v
R2 + R
0
⎪v = R i
1
⎩
z3 = rce3 //
R2 + R
≅ 113 Ω
1 + g m3 R
6. Le multiplicateur de VBE est un générateur de tension continue dont l’impédance dynamique est
très faible vis-à-vis de la charge en série proposée par le miroir ( rce2 ≅ 200 kΩ ). La translation de
tension produite pourra servir de polarisation d’un étage push-pull série complémentaire. Il faut
noter que ce montage utilise une diode en direct et présente une meilleure stabilité en
température que n diodes mises en série, sans compter la précision de la tension continue
obtenue par le choix des deux résistances.
Sylvain Géronimi
Page 100
Réalisation d’une opération arithmétique complexe
On considère le circuit de la figure ci-dessous. Tous les transistors sont supposés technologiquement
identiques et β très grand (courants de base négligés).
I1
I3
Q4
Q1
Q3
I2
Q2
Q5
Etude en régime pseudo-continu
1. En considérant la maille formée par les transistors Q1 - Q2 - Q4 - Q5 , écrivez la relation de leurs
courants collecteurs.
2. En considérant la maille formée par les transistors Q2 - Q3 , écrivez la relation de leurs courants
collecteurs.
3. Ecrivez l’expression du courant I 3 en fonction des courants I1 et I 2 .
Corrigé
Les transistors étant supposés technologiquement identiques, l’équation générale utilisée est la
IC
suivante, en négligeant l’effet Early ( VA >> VCE X ) : VBE x ≅ UT Ln x pour x = 1 à 5 .
β I BS
1. Première relation de maille
VBE1 + VBE2 = VBE 4 + VBE5 ⇒ IC1 IC2 ≅ IC4 IC5
2. Deuxième relation de maille
VBE2 = VBE3 ⇒ IC2 ≅ IC3
3. Expression de I 3
⎧I1 ≅ IC + IC
1
3
⎪
I
I
I
≅
−
⎪ 2 C2 C1
⎪
⎨I 3 = IC4 ≅ IC5
⎪
⎪IC2 ≅ IC3
⎪I I ≅ I I
C 4 C5
⎩ C1 C2
Sylvain Géronimi
⎧I1 ≅ IC + IC
⎧I1 + I 2 ≅ 2 IC
1
2
2
⎪⎪
⎪⎪
⇒ ⎨I 2 ≅ IC2 − IC1 ⇒ ⎨I1 − I 2 ≅ 2 IC1 ⇒ I 3 =
⎪
⎪
⎪⎩IC1 IC2 ≅ I 32
⎪⎩IC1 IC2 ≅ I 32
Page 101
I12 − I 22
2
Réalisation d’une opération arithmétique complexe
On considère le circuit de la figure ci-dessous. Tous les transistors sont supposés technologiquement
identiques et β très grand (courants de base négligés).
I1
Q5
Q6
Q1
Q2
I2
I3
Q4
Q7
Q3
3. Ecrivez l’expression du courant I 3 en fonction des courants I1 et I 2 et concluez.
Corrigé
Les transistors étant supposés technologiquement identiques, l’équation générale utilisée est la
IC
suivante, en négligeant l’effet Early ( VA >> VCE X ) : VBE x ≅ UT Ln x pour x = 1 à 7 .
β I BS
1. Première relation de maille VBE1 + VBE2 = VBE5 + VBE7 ⇒ IC1 IC2 ≅ IC5 IC7
2. Deuxième relation de maille VBE 4 + VBE3 = VBE6 + VBE7 ⇒ IC4 IC3 ≅ IC6 IC7
3. Expression de I 3
⎧I 3 = IC + IC ≅ IC
5
6
7
⎪
⎪I1 ≅ IC1 et I 2 ≅ IC4
⎪
⎨IC1 = IC2 et IC3 = IC4
⎪
⎪IC1 IC2 ≅ IC5 IC7
⎪I I ≅ I I
C6 C7
⎩ C 4 C3
⎧I 3 = IC + IC
5
6
⎪⎪
⇒ ⎨I12 ≅ IC5 I 3
⇒ I 3 = I12 + I 22
⎪2
⎪⎩I 2 ≅ IC6 I 3
Le circuit effectue le calcul du module d’un nombre complexe à partir de ses parties réelles et
imaginaires.
Sylvain Géronimi
Page 102
Conception d’un buffer
L’étude porte sur les performances d’un buffer (circuit intégré) dont le circuit le plus simple est l’étage
collecteur commun (suiveur). Ce dernier présente des inconvénients qu’il est possible d’éviter en
modifiant la topologie de base. Cette évolution vers l’amélioration des performances en régimes
statique et dynamique s’effectuera en trois étapes.
Les transistors seront supposés technologiquement identiques ou parfaitement complémentaires et de
gain en courant β = 200 , de tension d’Early VA = 100V . L’alimentation symétrique du montage est
telle que VCC = ± 5 V .
Lors des calculs, les courants de base seront négligés ( β grand ) et VA >> VCEo .
L’étage buffer
1. Rappelez les spécificités de ce circuit en régimes continu et dynamique.
Etude de l’étage suiveur classique
+VCC
2 mA
Q1
vE
vS
R1
Rch
200
-VCC
2. Le courant collecteur de Q1 étant égal à 2 mA, précisez le potentiel de sortie VS et évaluez la
résistance R1 .
3. Discutez des inconvénients inhérents à ce montage.
4. Evaluez les paramètres rbe et rce du modèle du transistor, puis dessinez le schéma.
5. Ecrivez les expressions du transfert en tension Av = v s v e , des résistances d’entrée Z e et de
sortie Z s vue de la charge. Evaluez ces paramètres.
Sylvain Géronimi
Page 103
Etude de l’étage suiveur à transistors complémentaires
+VCC
2 mA
R2
Q1
vE
Q2
vS
R1
Rch
200
-VCC
6. Le courant collecteur de Q1 étant égal à 2 mA, précisez le potentiel de sortie VS et évaluez le
courant collecteur de Q2 dans le cas où les résistances R1 et R2 ont la même valeur.
7. Quelles améliorations apparaissent par rapport au montage précédent ?
8. Evaluez les paramètres rbe et rce du modèle des transistors et dessinez le schéma.
Etude de l’étage suiveur à transistors complémentaires et sources de courant
+VCC
2 mA
Q5
Q6
Q1
R
vE
Q2
vS
Q3
Rch
200
Q4
-VCC
Sylvain Géronimi
Page 104
10. Le courant collecteur de Q1 étant égal à 2 mA, précisez le potentiel de sortie VS et évaluez la
résistance R.
11. Quelle amélioration apporte la présence des sources de courant ?
12. Evaluez les paramètres rbe et rce du modèle des transistors et dessinez le schéma.
14. Dans le contexte dynamique, comparez les valeurs des paramètres calculés lors de ces trois
études et précisez l’amélioration obtenue.
Formulaire :
VBE
Modèle en régime continu pour des transistors appairés IC ≅ β I BS e
(courants de saturation I BS
UT
ou VBE ≅ UT Ln
IC
β I BS
des jonctions base-émetteur et gains en courant β supposés identiques,
effet Early négligé VCE << VA ).
Paramètres du modèle du transistor en régime dynamique aux faibles signaux rbe ≅
Sylvain Géronimi
Page 105
UT
V
β , rce ≅ A .
IC o
IC o
Corrigé
1. Définition d’un buffer
Un buffer (étage tampon) recopie la tension d’entrée en sortie et présente une très faible
résistance de sortie et une résistance d’entrée importante. Son rôle est d’isoler deux étages mis
en cascade pour une adaptation en tension quasi idéale.
Etude de l’étage suiveur classique
2. Evaluation de VS et R1
+5V
VS = − VBEo ≅ − 0.6 V
2 mA
Q1
0V
VCE1 = VCC − VS ≅ 5.6 V
o
5.6 V
0.6 V
- 0.6 V
3 mA
I E1 =
o
5 mA
VS + VCC VS
+
≅ IC1
o
R1
Rch
200
880
⇒ R1 ≅ 880 Ω
-5V
3. Discussion
Inconvénients du montage :
- présence d’une tension d’offset en sortie due à la jonction BE de Q1 (translation de - 0.6 V),
- jonction BE fonction de la température,
- courant de polarisation dépendant de la charge.
4. Evaluation des paramètres du modèle du transistor et schéma
i1
rbe1 ≅
rbe1
UT
V
β ≅ 2.5 kΩ , rce1 ≅ A = 50 kΩ
IC1
IC1
o
β i1
ve
o
R1 //Rch
vs
R1 // Rch ≅ 163 Ω et rce1 >> R1 // Rch .
Av =
(β + 1)(R1 // Rch ) , Z = r + (β + 1)(R // R ) , Z = R // rbe1 .
vs
=
s
1
e
be1
1
ch
v e rbe1 + (β + 1)(R1 // Rch )
β +1
d’où Av ≅ 0.929 , Z e ≅ 35.3 kΩ , Z s ≅ 12.3 Ω .
Sylvain Géronimi
Page 106
Etude de l’étage suiveur à transistors complémentaires
6. Evaluation de VS et IC2
o
+5V
VS = VEB2 − VBE1 ≅ 0 V
2 mA
o
2500
o
VCE1 = VCC − VS ≅ 5 V
Q1
o
≅5V
≅ 0.6 V
0V
≅ 5.6 V
VS + VCC VS
V
+
≅ CC ≅ IC1
o
R1
Rch
R1
I E1 =
≅0V
o
≅0A
Q2
200
⇒ R1 (= R2 ) ≅
2500
1.76 mA
VCC
= 2.5 kΩ
IC1
o
-5V
7. Discussion
L’introduction d’un second émetteur suiveur, de type complémentaire au premier, permet de
compenser le décalage de tension d’offset en sortie. Cependant, les courants de collecteur des
transistors n’étant pas les mêmes, les tensions aux bornes des jonctions BE ne sont pas tout à fait
identiques d’après l’expression mathématique du modèle pour ces transistors appairés
I
VBE ≅ UT Ln C avec VCE << VA . Le potentiel de sortie VS est « à peu près » nul.
β I BS
8. Evaluation des paramètres du modèle des transistors et schéma
i1
i2
rbe1 ≅ 2500 Ω
rce1 ≅ 50 kΩ >> R1 // Rch
rbe2 ≅ 2841 Ω
rbe1
rbe2
β i1
β i2
ve
R2
R1 //Rch
vs
rce2 ≅ 57 kΩ >> R 2
Les deux étages étant en cascade, nous caractérisons le premier étage à vide (base de Q1
déconnectée) sous la forme d’un dipôle équivalent de Thévenin ( v s1 , zs1 ) tel que
A1 =
v s1
ve
=
(β + 1)R2 ,
rbe + (β + 1)R2
1
zs1 = R2 //
rbe2
β +1
.
Ce dipôle attaque le second étage caractérisé sous la forme d’un nouveau dipôle équivalent de
Thévenin ( v s2 , zs2 ) tel que
A2 =
v s2
v s1
Sylvain Géronimi
=
zs1
(β + 1)(R1 // Rch )
,
+ rbe + (β + 1)(R1 // Rch )
zs2 = R1 //
zs1 + rbe1
1
Page 107
β +1
.
La résistance d’entrée du second étage charge le premier étage, ce qui donne
ze1 = rbe2 + (β + 1) R2 // ze2 avec ze2 = rbe1 + (β + 1)(R1 // Rch ) .
(
)
d’où Av = A1 A2 ≅ 0.931 , Z e ≡ ze1 ≅ 476 kΩ , Z s ≡ zs2 ≅ 12.4 Ω .
Remarquons une augmentation de la résistance d’entrée.
Etude de l’étage suiveur à transistors complémentaires et sources de courant
10. Evaluation de R
+5V
VBE3
⎧
⎪I ≅ β I e UT
BS
⎪C
Q3 ≡ Q4 → ⎨ 3
VBE4
⎪
⎩
⇒ IC 3 ≅ IC 4
2 mA
Q6
Q5
Q1
0.6 V
R
0V
Q2
≅ 2 mA
Q3
0V
≅ 2 mA
≅ 2 mA
0A
200
Q4
VEB5
⎧
⎪I ≅ β I e UT
BS
⎪ C5
Q5 ≡ Q6 → ⎨
VEB6
⎪
⎩
⇒ IC 5 ≅ IC 6
et VEB3 = VEB4
et VEB5 = VEB6
En négligeant les courants de base, IC1 ≅ IC2 ≅ 2 mA
-5V
IC1
⎧
⎪VBE1 ≅ UT Ln
β I BS
⎪
Q1 ≡ Q2 → ⎨
IC 2
⎪V
⎪ EB2 ≅ UT Ln β I
BS
⎩
R=
2VCC − VEB5 − VBE3
IR
⇒ VBE1 ≅ VEB2 et VS = VEB2 − VBE1 ≅ 0 .
≅ 4.4 kΩ
11. Discussion
L’introduction des sources de courant au sein du montage améliore la symétrie des courants
collecteur de Q1 et Q2 . Ce circuit intégré permet une tension d’offset négligeable en sortie et un
meilleur comportement en température.
12. Evaluation des paramètres du modèle des transistors et schéma
Tous les courant collecteur sont de l’ordre de 2 mA, donc
Sylvain Géronimi
Page 108
i1
i2
rbe ≡ rbei ≅ 2500 Ω
rbe1
rbe2
rce ≡ rcei ≅ 50 kΩ
β i1
β i2
ve
vs
rce /2
Rch //rce/2
De la même façon que précédemment, nous oboutissons aux résultats suivants.
A1 =
A2 =
v s1
ve
r
r
, zs1 = ce // be .
rce
2 β +1
rbe + (β + 1)
2
(β + 1)⎛⎜ rce // Rch ⎞⎟
zs + rbe
r
⎝ 2
⎠
, zs2 = ce // 1
.
=
2
β +1
⎛ rce
⎞
zs1 + rbe + (β + 1)⎜
// Rch ⎟
⎝ 2
⎠
=
v s2
v s1
(β + 1) rce
2
⎞
⎞
⎛r
⎛r
ze1 = rbe + (β + 1)⎜ ce // ze2 ⎟ avec ze2 = rbe + (β + 1)⎜ ce // Rch ⎟ .
⎠
⎠
⎝ 2
⎝ 2
d’où Av = A1 A2 ≅ 0.941 , Z e ≡ ze1 ≅ 3.17 MΩ , Z s ≡ zs2 ≅ 12.5 Ω .
14. Discussion
Tableau récapitulatif
n° étage
Offset en sortie (V)
Comportement en
température
Gain en tension
Résistance d’entrée (kΩ)
Résistance de sortie (Ω)
1
- 0.6
2
voisin de 0
3
0
mauvais
moyen
bon
0.929
35.3
12.3
0.931
476
12.4
0.941
3170
12.5
La résistance d’entrée subit une nette augmentation due à la présence de charges dynamiques
sur les émetteurs de Q1 et Q2 , le gain en tension et la résistance de sortie restant du même
ordre. Il ne faut pas oublier que les valeurs numériques trouvées sont liées au choix d’une charge
de 200 Ω et d’un courant de polarisation de 2 mA.
Sylvain Géronimi
Page 109
Etage différentiel à charges asymétriques
L’étude porte sur la caractérisation de l’étage différentiel de la figure ci-dessous. Les transistors sont
supposés technologiquement identiques ( β = 200 , VA = ∞ , rce = ∞ ).
R3
R4
3.6k
1.8k
out
Q1
VCC
ref
Q2
6V
vd
R5
9.6k
R1
R2
1k
1k
VCC
Q3
Q4
6V
1. Evaluez les courants IC3 ainsi que les potentiels de nœuds Vout et Vref .
2. Expliquez l’intérêt de disposer du potentiel de référence Vref .
Etude du régime dynamique différentiel (faibles signaux aux fréquences moyennes)
3. Evaluez le paramètre rbe des transistors Q1 et Q2 .
4. Calculez les valeurs du transfert Ad = v out v d , de l’impédance d’entrée Zd et de l’impédance de
sortie Zs .
Sylvain Géronimi
Page 110
Corrigé
1. Evaluation des courants et potentiels de nœuds
6V
≅ 500 µA
1.8k
3.6k
≅ 500 µA
4.2 V
Q1
Q2
1k
9.6k
4.2 V
1k
- 1.1 V
1 mA
Ipol
≅ 1 mA
- 5.4 V
Q4
Q3
-6V
L’étage différentiel Q1 - Q2 est polarisé par le courant issu du miroir élémentaire Q3 - Q4 tel que
IC 3 ≅
o
2VCC − VBE 4
R 4 + R5
= 1 mA .
IC 3
⎧⎪VBE1 + R1I E1 = VBE2 + R2 I E2
o
⇒ I E1 =I E2 =
≅ 500 µA avec R1 = R 2 et VBE1 = VBE2 ≅ 0.6 V .
⎨
o
o
2
⎪⎩ IC3 =I E1 +I E2
⎪⎧Vref ≅ VCC − R 4 IC3
⇒ Vref ≅ Vout ≅ 4.2 V .
⎨
⎪⎩Vout ≅ VCC − R3 IC2
2. Intérêt de disposer du potentiel Vref
Les deux bornes de sortie sont équipotentielles et permettent une attaque différentielle en tension
d’un montage qui suit.
Etude du régime dynamique différentiel (faibles signaux aux fréquences moyennes)
Le fait de considérer la valeur du paramètre rce3 infinie, conduit à un régime purement différentiel. Le
régime de mode commun est tel que Ac = 0 , Z c = ∞ car v c = ∞ .
3. Evaluation du paramètre rbe
rbe = rbe1 = rbe2 =
Sylvain Géronimi
UT
β ≅ 10 kΩ
I Co
Page 111
Posons R = R1 = R2 .
R3
⎧v d = [rbe + (β + 1)R ](i1 − i 2 )
⎪
⎨(β + 1)i1 + (β + 1)i 2 = 0
⎪v
⎩ out = − R3 β i1
vout
i2
i1
+
+
- vd /2
vd /2
rbe
⇒ Ad =
rbe
β i2
β i1
Zd =
R2
R1
v out
β R3
=
≅ 1.71 ,
vd
2 [rbe + (β + 1)R ]
vd
= 2 [rbe + (β + 1)R ] = 422 kΩ ,
i1
Z s = R3 = 3.6 kΩ
∞
Sylvain Géronimi
Page 112
Etage différentiel à charges actives (partie 1)
L’étude porte sur la caractérisation de l’étage différentiel de la figure ci-dessous. Les transistors sont
supposés technologiquement identiques avec β = 200 , VA = 100 V .
Q5
Q6
VCC
15 V
Q1
v1
Q2
v2
R1
294k
iS
VCC
15 V
Q3
Q4
Compréhension du schéma
1. Identifiez les parties du circuit et précisez leurs fonctions.
2. Dessinez le montage et évaluez les courants de collecteur, ainsi que le courant de sortie IS .
3. Afin d’alléger le calcul analytique, les paramètres rce des modèles aux faibles signaux des
transistors Q1 et Q2 seront négligés. Evaluez les autres paramètres rbe et rce des transistors et
caractérisez les quadripôles formés par les sources de courant. Dessinez le schéma résultant.
4. Dessinez le schéma équivalent du montage dans son régime différentiel.
5. Ecrivez les expressions de la résistance différentielle d’entrée Z d , de la résistance de sortie Z s et
du transfert i s / v d et dessinez le quadripôle issu de cette caractérisation en précisant les
conditions d’attaque et de charge pour obtenir un convertisseur tension-courant.
6. Déduisez la valeur du gain en tension Ad .
7. Dessinez le schéma équivalent du montage dans son régime de mode commun.
8. Evaluez le gain en tension Ac et déduisez la valeur du TRMC (en dB).
Etude du régime pseudo-continu
9. Ecrivez la relation du transfert IS (VD ) et tracez cette courbe.
10. Donnez l’expression de la pente au point VD = 0 . Comparez ce résultat à l’expression du transfert
trouvée en 5.
11. Evaluez la distorsion sur le courant de sortie i s (t ) pour une amplitude crête de v d (t ) égale à 25
mV.
Sylvain Géronimi
Page 113
Corrigé
1. Description
Le schéma se compose d’un étage de polarisation, d’un étage différentiel dont la charge de
collecteur est un miroir de courant.
- L’étage de polarisation est un miroir de courant élémentaire Q5 - Q6 polarisant l’étage
différentiel par le point commun des émetteurs de Q1 - Q2 . Le courant de cette source, issu de
l’alimentation totale de tension 2VCC , est réglé par la résistance R1 .
-
L’étage différentiel Q1 - Q2 est à comportement émetteur commun, attaquant dynamiquement
en courant le miroir élémentaire Q3 - Q4 . Le transfert effectué par ce miroir double le courant
de sortie par comparaison avec une charge dynamique classique sur le collecteur de Q2 .
Cet étage est un amplificateur à conductance de transfert.
2. Schéma et évaluation des courants
VEB5
VEB6
Q5
Q6
VCC
I0
15 V
VEB1
VEB2
Q1
Q2
R1
IC2
IS
VCC
IC4
Ipol
15 V
Q3
Q4
VBE3
VBE4
VBEi
Equation du modèle d’un transistor Qi
: ICi = β I Bi = β I BS e
UT
⎛
⎜1 + VCEi
⎜⎜
VA
⎝
⎞
⎟ ≅ βI e
BS
⎟⎟
⎠
VBEi
UT
en
négligeant l’effet Early ( VCEi << VA ) . Ici, tous les transistors ont mêmes β et I BS .
Etage de polarisation :
VEB5
⎧
⎪I ≅ β I e UT
BS
⎪ C5
Q5 ≡ Q6 ⇒ ⎨
VEB6
⎪
⎩
Sylvain Géronimi
et VEB5 = VEB6
⇒ IC5 ≅ IC6 ≡ I0
Page 114
⎧⎪I pol = IC5 + I B5 + I B6 ≅ I 0
et ⎨
⇒ IC6 ≅ 100 µA avec VEB5 pris à 0.6 V.
o
⎪⎩2VCC = R1 I pol + VEB5
Etage différentiel
VEB1
⎧
⎪I ≅ β I e UT
BS
⎪C
et VEB1 = VEB2
Q1 ≡ Q2 ⇒ ⎨ 1
VEB2
⎪
⎩
et I 0 = I E1 + I E 2 ⇒ IC1 ≅ IC2 ≅ 50 µA
o
⇒ IC1 ≅ IC2
o
Circuit de transfert
VBE3
⎧
⎪I ≅ β I e UT
BS
⎪C
Q3 ≡ Q4 ⇒ ⎨ 3
et VBE3 = VBE 4 ⇒ IC3 ≅ IC4
VBE4
⎪
⎩
⎧⎪IC = IC3 + I B3 + I B4 ≅ IC3
et ⎨ 1
⇒ IC3 ≅ IC4 ≅ 50 µA , ISo ≅ 0 .
o
o
⎪⎩IC2 = IC4 + IS
3. Schéma du montage
Evaluation des paramètres des transistors aux faibles signaux
rbe ≅
UT
V
β , rce ≅ A
IC 0
IC 0
⇒ rbe ≡ rbe1 ≅ rbe2 ≅ rbe3 ≅ rbe4 = 100 kΩ , rce ≡ rce3 ≅ rce4 = 2 MΩ , rce6 = 1 MΩ .
Caractérisation des sources de courants et schéma du montage
Une source de courant est modélisée sous la forme générale d’un quadripôle.
ie
is
Ai ie
ve
⎛i
avec A i = ⎜⎜ s
⎝ ie
Ze
⎛v
⎞
β
⎟
=
≅ 1 , Z e = ⎜⎜ e
⎟
⎝ ie
⎠v s =0 β + 2
Zs
vs
⎛v
⎞
r
⎟
= be , Zs = ⎜⎜ s
⎟
⎝ is
⎠v s =0 β + 2
⎞
⎟
= rce
⎟
⎠ i e =0
Dans le cas du miroir Q5 - Q6 , le circuit d’attaque est représenté par la résistance R1 branchée
entre l’entrée du quadripôle et la masse. De ce fait, le courant dynamique d’entrée i e est nul
(absence de source d’excitation), la source liée est telle que Ai i e = 0 (pas de transfert) et le dipôle
de sortie se réduit à la présence de Z s uniquement. Le courant de sortie i s parcourt une
résistance Z s = rce6 .
Sylvain Géronimi
Page 115
Dans le cas du miroir Q3 - Q4 , le courant d’entrée est le courant de collecteur de Q1 généré par la
tension v 1 et un transfert de courant a lieu ( Ai i e ≠ 0 ). La résistance de sortie Z s = rce4 est
parcourue par le courant i s − Ai i e . La résistance d’entrée vaut Ze ≅ 495 Ω .
Le schéma dynamique est alors le suivant.
rce6
v1 =
Q1
i1
Q2
i2
+
+
ic1
vd /2
v2
+
vc
Ze
v2 = −
- vd /2
ic2
+
v1
v1 − v 2 v1 + v 2 v d
+
=
+ vc
2
2
2
v
v1 − v 2 v1 + v 2
+
= − d + vc
2
2
2
vc
Ai ic1
vs
rce4
La méthode du demi-schéma sera mise en oeuvre ici malgré la dissymétrie de charge des
collecteurs de Q1 - Q2 car rce1 = rce2 = ∞ , ce qui entraîne i c1 = β i1 et i c2 = β i 2 (voir annexe
« Méthode de travail pour la caractérisation linéaire d’un étage différentiel »).
4. Schéma en régime différentiel
Q1
i1
Q2
+
vd /2
+
ic1
Ze
rce4
Ze
i2
Ai β i1
- vd /2
ic2
vs
i
i1
i2
+
Ai ic1
+
vd /2
vs
- vd /2
rbe
rce4
rbe
β i1
β i2
Calcul du courant de court-circuit et de la résistance de sortie (théorème de Norton)
⎧ vd
⎪− 2 = rbe i 2
⎪⎪
⎨i = β (Ai i1 − i 2 )
⎪v
⎪ d = rbe i1
⎩⎪ 2
⇒ i1 = − i 2 =
vd
2 rbe
et i =
La conductance de transfert s’écrit Yt ≅
Sylvain Géronimi
β
rbe
β (Ai + 1)
2 rbe
vd ≅
β
rbe
v d (car Ai ≅ 1 ).
= g m et la résistance de sortie Z s = rce4 .
Page 116
La source de tension différentielle en entrée voit une résistance Z d = 2 rbe .
B1
is
Yt vd
Zd
vd
Rch
Zs
avec Z d = 200 kΩ , Yt ≅ 2 mA / V , Z s = 2 MΩ .
B2
Un amplificateur à conductance de transfert doit être attaqué en tension ( Z d >> rg ) et sa charge
en courant ( Z s >> Rch ), d’où i s ≅ Yt v d (condition de court-circuit en sortie).
6. Evaluation du gain en tension (à vide)
v s = Z s Yt v d ≅
β rce4
rbe
v d , d’où Ad =
β rce4
vs
≅
vd
rbe
(condition de circuit ouvert en sortie).
Ce gain est surestimé par la non prise en compte de rce1 et rce2 .
B1
C2
Zs
Zd
vd
avec Z d = 200 kΩ , Ad ≅ 4000 , Z s = 2 MΩ .
vs
+
Ad vd
B2
7. Schéma en régime de mode commun
2 rce6
rce4
Ze
2 rce6
vs
Ai β i1
i
Q1
i1
Q2
+
+
+
vc
ic1
+
vc
vc
ic2
i2
i1
i2
vc
rbe
rbe
β i2
β i1
Ze
Ai ic1
rce4
vs
2 rce6
2 rce6
Calcul du gain en tension
⎧v s = β rce (Ai i1 − i 2 )
4
⎪⎪
v
r
2 rce6 (β + 1) i1
=
+
⎨ c
be
⎪
⎩⎪v c = rbe + 2 rce6 (β + 1) i 2
[
[
Sylvain Géronimi
]
]
⇒ i1 = i 2 =
rbe
β rce4 (Ai − 1)
vc
et v s =
vc
+ 2 rce6 (β + 1)
rbe + 2 rce6 (β + 1)
Page 117
d’où Ac = −
2 β rce4
(β + 2)[rbe + 2 rce (β + 1)]
≅−
6
2
β
= − 0.01 avec rbe << 2 rce6 (β + 1) et 2 rce6 = rce4 .
Ce gain est surestimé par la non prise en compte de rce1 et rce2 .
Le taux de réjection vaut donc TRMC = Ad Ac ≅ 400000 (112 dB) .
+ VCC
I0
VEB1
VEB2
Q1
Q2
VD
IC1
IC2
IS
IC3
IC4
Q3
Q4
VBE3
VBE4
- VCC
9. Ecriture du transfert IS (VD )
VEB1
⎧
⎪I ≅ β I e UT
BS
⎪C
⇒⎨ 1
VEB2
⎪
⎩
Etage différentiel Q1 ≡ Q2
⇒
IC1
IC2
≅e
−
VD
UT
et IC1 ≅
I0
1+ e
I0
, IC 2 ≅
VD
UT
1+ e
Circuit de transfert à effet miroir
Q3 − Q4
−
VD
UT
⎧⎪VD = VEB2 − VEB1
et ⎨
⎪⎩I 0 = I E1 + I E 2
.
⎧⎪IC1 ≅ IC3
⇒ IC3 ≅ IC4 et ⎨
⎪⎩IC2 = IC4 + IS
linéarisation
I0
0
⎛
⎜
1
1
⇒ IS ≅ I 0 ⎜
−
VD
VD
−
⎜⎜
UT
UT
1+ e
⎝ 1+ e
ou encore IS ≅ I 0 th
⎞
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
VD
2UT
IS
- I0
-200mV
-100mV
0V
100mV
200mV
VD
Sylvain Géronimi
Page 118
10. Retour au régime linéaire
I0
(régime continu). Le signal v d (t ) évolue sur la zone linéaire de la
2
caractéristique IS (Vd ) autour de VD = 0 et l’expression de la conductance de transfert du circuit
linéaire peut être retrouvée.
Pour VD = 0 , IC1 = IC2 ≅
⎡ dI S ⎤
⎢
⎥
⎣ dVD ⎦ V
≅
D =0
I0
UT
⎡
⎢
V
⎢
− D
⎢ e UT
⎢
V
⎢⎛
− D
⎢ ⎜1 + e UT
⎢ ⎜⎜
⎣⎝
⎞
⎟
⎟⎟
⎠
2
+
e
VD
UT
VD
⎛
⎜
UT
e
1
+
⎜⎜
⎝
⎤
⎥
⎥
⎥
I
= 0
2⎥
2 UT
⎞ ⎥
⎟ ⎥
⎟⎟ ⎥
⎠ ⎦ VD =0
⇒
is
β
≅
= Yt
vd
rbe
UT
β et I 0 ≅ 2 IC1 .
o
IC1
car rbe ≅
o
⎛ V ⎞
I
V
Autre démonstration, th⎜⎜ D ⎟⎟ ≅ D pour VD << 2 UT ⇒ IS ≅ 0 VD pour de faibles variations
2UT
⎝ 2 UT ⎠ 2 UT
du pseudo-continu autour de VD = 0 , ce qui revient aussi à dire que les variations de i s sont
proportionnelles aux variations de v d si ces dernières sont d’amplitude crête faible devant 50 mV.
11. Calcul de la distorsion
Par définition, d =
IS = I 0 th
A22 + A32 + A42 + ...
A1
avec An valeur efficace de l’harmonique n.
⎛ V
VD
V3
VD5
≅ I0 ⎜ D − D 3 +
⎜ 2U
2 UT
24 UT 240 UT5
T
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
car le développement limité de th x à l’ordre 6 est th x = x −
d≅
( )
x3 x5
+
+ o x6
3 15
VD2
A3
et pour VD = UT = 25 mV , d ≅ 8.33 % .
=
A1 12 UT2
Sylvain Géronimi
Page 119
Etage de tension intermédiaire (partie 2)
L’étude porte sur la caractérisation de l’étage de tension de la figure ci-dessous. Cet étage fait suite à
l’étage différentiel étudié précédemment et les transistors ont mêmes β et VA.
+VCC
Q9
Q10
R2
29.4k
C
vs
30p
Q7
Q8
ve
(VCC = 15 V)
R3
6.3k
-VCC
12. Dessinez le montage en régime statique, puis évaluez les courants de collecteur et justifiez la
valeur du courant de base de Q7 lorsque l’étage est connecté à la sortie de l’étage différentiel.
13. Dessinez le schéma équivalent du montage attaqué par l’équivalent de Thévenin de l’étage
différentiel ( v g , rg = 2 MΩ ) et évaluez les paramètres rbe et rce des transistors.
14. Caractérisez l’étage de gain en tension Q7 - Q8 ( A v' , Z e' , Z s' ), le
A v'
transfert étant défini par
= v s / v e et la charge de l’étage étant considérée comme très importante et dessinez le
quadripôle issu de cette caractérisation.
15. Calculez la fréquence de coupure haute de étage intermédiaire, les transistors étant sous leur
schéma aux fréquences moyennes. Justifiez ce résultat, puis évaluez le produit gain bande du
circuit incluant l’étage différentiel.
Sylvain Géronimi
Page 120
Corrigé
12. Polarisation
Mirroir Q9 - Q10
100 µA
miroir
1 mA
IC10 ≅ IC9 =
15 V
o
Q7
500 nA
2VCC − VEB9
R2
o
= 1 mA
⇒ IC8 = IC10 ≅ 1 mA
o
95.2 µA
I E7 =
15 V
VBE8
R3
o
Q8
5 µA
VBE 8
o
o
R3
+ I B8 ≅ IC7 ≅ 100 µA
o
o
6.3k
Lorsque cet étage de tension est connecté à la sortie de l’étage différentiel, le nœud de sortie (à
droite) de l’étage différentiel laisse fuir un courant de 500 nA vers la base de Q7 et le nœud
opposé (à gauche) laisse fuir le courant I B3 + I B4 = 2 IC3 β ≅ 500 nA . Ainsi, le choix de la
o
o
o
résistance R3 , pour une valeur donnée du courant issu du miroir, est conditionné pour symétriser
l’étage différentiel dans son régime de polarisation.
13. Schéma et valeurs des paramètres des modèles
C
rbe =
rce10
Q7
Q8
rg
d’où rbe7 ≅ 50 kΩ , rce7 ≅ 1 MΩ ,
vs
+
vg
UT
V
β , rce ≅ A
IC o
IC o
rbe8 ≅ 5 kΩ , rce8,10 ≅ 100 kΩ .
R3
14. Caractérisation de l’étage de gain
Etage collecteur commun Q7 non chargé (équivalent de Thévenin)
rbe7
i7
rce7
rg
β i7
R3
vs1
Z s1
vg
Sylvain Géronimi
Page 121
A1 =
v s1
vg
=
(β + 1) (R3 // rce )
rg + rbe + (β + 1) (R3 // rce
7
7
) ≅ 0.38 , Zs
1
7
= rce7 // R3 //
rg + rbe7
β +1
≅ 3.88 kΩ
Etage émetteur commun Q8
i8
Zs1
rce8
rbe8
rce10
Zs 2
vs2
β i8
vs1
A2 =
v s2
v s1
=−
(
β rce8 // rce10
rbe8 + Z s1
) ≅ − 1126 , Z
s2
= rce8 // rce10 ≅ 50 kΩ
Le gain en tension de la chaîne non chargée ( Rch très importante) s’écrit
v s2
vg
=
v s1 v s2
v g v s1
= A1 A2 ≅ − 428 .
Deuxième étape : calcul de la résistance d’entrée
L’émetteur commun présente la diode d’entrée de Q8 vue de sa base, soit Z e2 = rbe8
i8
Z e2
rbe8
rce8
rce10
Rch
β i8
(
)
et le collecteur commun Z e1 = rbe7 + (β + 1) rce7 // R3 // Z e2 ≅ 609 kΩ .
i7
rbe7
Z e1
β i7
rce7
R3
Ze2
d’où le schéma résumé
rg
ve
vg
Sylvain Géronimi
Zs2
Zs1
Ze1
Ze2
vs
Rch
vs2 =
A2 vs1
vs1 =
A 1 vg
Page 122
Le gain de transfert en tension A 'v aux fréquences moyennes (absence de C) doit être exprimé
en terme de source liée à la tension v e de la branche contrôlante supportant Z e1 afin de
respecter la modélisation du quadripôle (voir cours « La caractérisation d’un amplificateur
linéaire »). La caractérisation de l’étage devient alors :
Z e' = Z e1 ≅ 609 kΩ , Z s' = Z s2 ≅ 50 kΩ << Rch ,
Z’s
rg
Z’e
ve
Rch
A 'v =
A’v ve
vg
rg
v s ⎛⎜
= 1+
⎜
ve ⎝
Z e1
⎞
⎟ A1 A2 ≅ − 1834 .
⎟
⎠
15. Evaluation de la fréquence de coupure haute (fréquences hautes)
La caractérisation de l’étage de gain va permettre une approche rapide du comportement en
fréquence du circuit. Sous l’hypothèse d’obtenir la fréquence de coupure à -3 dB uniquement par
la présence du condensateur C, le schéma équivalent du système est alors du premier ordre (un
seul condensateur).
C
i0
ve
Z’s
rg
v0
Z’e
ve
Rch
A’v ve
A’v ve
vg
Z’e // rg
Z’s
Le condensateur voit à ses bornes une résistance (dipôle de Thévenin/Norton)
1
RC0 = Z s' + rg // Z e' 1 − A 'v ≅ 857 MΩ
⇒ fh =
≅ 6.2 Hz .
2 π RC0 C
(
)(
)
La constante de temps produisant la fréquence trouvée est de valeur énorme devant la somme de
toutes les constantes de temps à vide produites par les capacités parasites des transistors et
l’application de la méthode du pôle dominant donne (voir « Annexes ») :
f1 ≅
1
≅ fh
2 π a1
avec a1 = RC0 C +
15
∑
i =1
0
Rbe
Cbei +
i
15
∑R
i =1
0
bc i C bc i
≅ RC0 C
L’amplificateur de tension complet (présence d’un étage différentiel en tête) se comporte comme
Av
un circuit du premier ordre de gain en boucle ouverte G( j f ) =
avec A v ≅ 125 dB .
1 + j f fh
La faible fréquence de coupure haute permet d’atteindre un gain unité avec une pente de – 20 dB
par décade dans le plan de Bode. Cette compensation rend le circuit inconditionnellement stable.
Le produit gain en tension (en unités et non en dB) fréquence de coupure haute (propriété d’un
système du premier ordre) permet de chiffrer la fréquence de transition ft ≅ A v fh ≅ 10 MHz .
Sylvain Géronimi
Page 123
Illustration par la simulation
150
632.631m, 124.205)
(98.658K, 121.209)
100
(6.2359, 121.204)
amplificateur
non
compensé
amplificateur compensé
(C = 30 pF)
50
- 40 dB / décade
- 20 dB / décade
0
(10.6510M, 8.2797m)
-50
1.0Hz
DB(V(s))
10Hz
100Hz
1.0KHz
10KHz
100KHz
1.0MHz
10MHz
100MHz
Frequency
Si la capacité C de compensation était absente, l’influence conjuguée du montage émetteur
commun Q8 (voir le problème « Réponse en fréquence d’un émetteur commun »), et du montage
base commune Q4 cumulant sur sa forte charge de collecteur les capacités parasites du miroir et
de l’entrée de Q7 , produirait la fréquence de coupure haute. La présence de ces pôles rend le
système instable comme le montre la simulation.
Sylvain Géronimi
Page 124
Etage différentiel cascode à charges actives (miroir)
L’étude porte sur la caractérisation du circuit intégré (CI) de la figure ci-dessous alimenté sous
VCC = ± 15 V . Tous les transistors sont supposés technologiquement identiques de caractéristiques
β = 250 ( β >> 1 ), VA = 100 V (effet Early négligé VA >> VCE ) et VBE ≅ 0.6 V .
+VCC
Q7
(+)
Q1
Q8
(-)
Q2
R1
39.2k
I2
Q3
Ipol
Q4
I1
I0
iS
Q5
Q9
Q6
Q10
R2
4.53k
-VCC
Compréhension du circuit
1. Donnez une description du circuit.
2. Evaluez le courant I 0 issu de la source.
3. Ecrivez les expressions analytiques I1 et I 2 en fonction de I 0 et du gain en courant β des
transistors Q3 et Q4 .
4. Comparez l’influence de β sur les courants de collecteur de Q3 et Q4 pour ce circuit de
polarisation et pour un circuit réduit à la seule source de courant I 0 alimentant directement le
point commun des bases.
5. Evaluez les courants et potentiels des nœuds.
Etude du régime pseudo continu
6. Ecrivez les expressions des transferts IC3 (VD ) , IC4 (VD ) et IS (VD ) de l’étage différentiel. Tracez
ces fonctions.
7. En considérant la zone linéaire des courbes précédentes, écrivez l’expression de la conductance
de transfert i S (v d ) en régime linéaire.
Sylvain Géronimi
Page 125
8. Evaluez les paramètres rbe et rce des modèles des transistors (prendre rce1,2,3,4 = ∞ ).
9. Evaluez la résistance dynamique présentée par l’étage de polarisation Q9 - Q10 - R1 - R 2 ( z9 ) et les
éléments de la caractérisation des miroirs Q5 - Q6 et Q7 - Q8 ( ze , zs , Ai ). Dessinez le schéma
résultant.
10. Caractérisez l’amplificateur en régime purement différentiel ( Ad , Zd , Zs ).
11. Caractérisez l’amplificateur en régime de mode commun ( Ac , Zc ).
12. Déduisez le taux de réjection de mode commun.
13. Retrouvez l’expression de la conductance de transfert obtenue lors de l’étude en pseudo continu.
Corrigé
1. Description
Le schéma se compose d’un circuit de polarisation et d’un étage différentiel à charges actives.
- Le circuit de polarisation est une source de courant R2 - Q9 - Q10 , de type Widlar, dont le
courant de référence est ajusté à l’aide de la résistance R1 . Cette source permet d’alimenter
l’étage différentiel par les points communs des bases de Q3 - Q4 et des collecteurs de Q1 - Q2 .
Vu la polarité de ces derniers transistors, un miroir de courant Q7 - Q8 est nécessaire pour
modifier le sens du courant. La compréhension de cette topologie apparaîtra lors de l’étude du
régime continu.
- L’association de collecteurs communs Q1 et Q2 suivis de bases communes Q3 et Q4
constitue un étage différentiel cascode, permettant d’obtenir une bande passante plus élevée
que le montage traditionnel à comportement émetteur commun. Les charges actives de Q3 et
Q4 composent un miroir de courant Q5 - Q6 qui permet de doubler le courant dynamique
traversant la résistance interne de cette source, donc de doubler la valeur du gain différentiel
en tension (condition à vide). Il est à remarquer que la sortie de l’étage est alors asymétrique.
Cet étage est un amplificateur à conductance de transfert.
2. Evaluation du courant I 0
Courant de référence I pol =
Source de Widlar
2VCC − VBE10
R1
⎛I
R2
pol
IC9 ≅ Ln ⎜⎜
o
UT
⎜ IC 9
⎝ o
o
≅ 750 µA
⎞
⎟ (équation transcendante) ⇒ I = I
0
C9 o ≅ 20 µA
⎟⎟
⎠
3. Expressions analytiques I1 et I 2
Puisque le gain en courant est important ( β >> 1) et le montage symétrique (effet Early négligé),
IC1 = IC2 ≅ IC3 = IC4 .
Sylvain Géronimi
Page 126
⎧I = I + I
⎪⎪ 0 1 2
⎨I 2 ≅ IC3 + IC4
⎪
⎩⎪I1 = I B3 + I B4
⎧I 0 = I1 + I 2
I
β
⇒ ⎨
soit I 2 ≅
I 0 et I1 ≅ 0 .
I
β
I
≅
+
β
1
β
+1
1
⎩2
4. Influence de β sur IC3 et IC4 et comparaison
Pour le circuit proposé, IC3 = IC4 ≅
I
S βC3 ≅
β I0
et la sensibilité de ces courants s’écrit
β +1 2
d IC 3
1 dβ
dβ
dβ
1
car
≅
−
=
.
β +1
β β +1 β +1 β
IC 3
Dans le cas d’un circuit de polarisation réduit à la source I 0 alimentant de point commun des
bases de Q3 et Q4 , la sensibilité s’écrit
IC 3 = IC 4 = β
I0
2
I
⇒ S βC3 = 1 (sensibilité β + 1 plus importante que précédemment).
Le circuit de polarisation proposé permet donc d’alimenter l’étage différentiel par un courant
constant ( IC3 = IC4 ≅ I 0 2 ) dont la valeur n’est pratiquement pas fonction du gain β des PNP
latéraux Q3 et Q4 , gain relativement difficile contrôlable à la fabrication.
5. Evaluation des courants et potentiels de noeuds
+VCC
15 V
Q7
+VCC
Q8
Q1
≅ I2
Q2
20µ
14.4 V
Q1
Q2
10µ
10µ
≅ I2 /2
Q3
Q4
I2
≅ I2 /2
β’ I0 /2
20µ
β’ I0 /2
IS
- 1.2 V
Q3
Q4
Q5
I1
β’ I1 /2
10µ
- 14.4 V
Q5
β’ I1 /2
10µ
Q6
I0
80n
IS
80n
0
Q6
- 15 V
20µ
-VCC
I0
circuit de polarisation simple
-VCC
Remarquons que le nœud de sortie n’est pas connecté à l’étage suivant (à vide). Pour obtenir une
polarisation équilibrée de l’étage différentiel, le potentiel de ce nœud doit être à - 14.4 V et laisser
fuir vers l’étage suivant un courant de 80 nA (symétrisation du schéma).
Sylvain Géronimi
Page 127
6. Expressions des transferts
⎧
⎪
⎪Q ≡ Q
2
⎪ 1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨Q3 ≡ Q4
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪Q5 ≡ Q6
⎪
⎪
⎩
VBE1
⎧
⎪I E ≅ ( β + 1) I BS e UT
⎪
→ ⎨ 1
VBE2
⎪
⎪⎩I E2 ≅ ( β + 1) I BS e UT
VEB3
⎧
' e UT
⎪I E ≅ ( β '+1) I BS
⎪ 3
→ ⎨
VEB4
⎪
'
⎪⎩I E 4 ≅ ( β '+1) I BS e UT
VBE5
⎧
⎪ 5
→ ⎨
VBE6
⎪
⎪⎩IC6 ≅ β I BS e UT
⎧VD = VBE + VEB − VEB − VBE
1
3
4
2
⎪
⎪I E1 = I E3
⎪
⎪I E 2 = I E 4
⎪
(circuit)
⎨I 0 ≅ IC3 + IC4
⎪
⎪VBE5 = VBE6
⎪I ≅ I
C5
⎪ C3
⎪IS = IC − IC
4
6
⎩
(technologie)
+VCC
Q7
Q8
≅ I2
Q1
VD
Q2
VBE1
VBE2
I2
20µ
VEB3 VEB4
Q3
IB3
IB4
Q4
I1
IC3
IC4
IC5
IC6
Q5
Q6
VBE5
80n
IS
20µ
I0
VBE6
-VCC
A partir des quatre premières équations du circuit, on obtient :
⎧I E1 = I E3
I0
⎧
⎪
VD
⎪IC3 ≅
V
⎧I
⎪I E 2 = I E 4
I
− D
E3
C
⎪
2 UT
= 3 ≅ e 2 UT
⎪
⎪⎪
⎪
1+ e
⎛ I E1
⇒ ⎨
I E ⎞ ⇒ ⎨ I E 4 IC 4
⎨
⎜
I0
+ Ln 3 ⎟
⎪
⎪VD ≅ UT ⎜ Ln
⎪
I ≅
I E 4 ⎟⎠
VD
⎪⎩I 0 ≅ IC3 + IC4
⎪
⎪ C4
⎝ IE2
2 UT
⎪I ≅ I + I
⎪⎩
1+ e
⎩ 0 C3 C 4
et à l’aide des trois dernières
⎧⎪IC5 = IC6
I0
I0
V
⇒ IS ≅
−
= − I 0 th D
⎨
V
V
D
D
4 UT
−
⎪⎩IS ≅ IC4 − IC3
1 + e 2 UT 1 + e 2 UT
Sylvain Géronimi
Page 128
avec I 0 = 20 µA
linéarisation
du transfert
20uA
Q4 saturé
Q3 saturé
10uA
(111.0E-18, 10.013u)
0A
Q3 bloqué
Q4 bloqué
(111.0E-18, -37.759n)
-10uA
linéarisation
du transfert
-20uA
-400mV
IC(Q3)
-300mV
IC(Q4)
-200mV
IC(Q4) - IC(Q3)
-100mV
0V
100mV
200mV
300mV
400mV
VD
7. Expression du transfert
Pour une faible valeur de VD par rapport à la masse,
th
I
I
VD
V
V
≅ D et IS ≅ − I 0 D , d’où le transfert Yt = S ≅ − 0 .
4 UT
4 UT
4 UT
VD
4 UT
Cette expression correspond à la conductance de transfert de l’étage court-circuité en sortie
(adaptation en courant réalisée) dans une étude dynamique aux faibles signaux. Dans ces
conditions de charge, i s = Yt v d représente la source équivalente de Norton du montage et sa
résistance de dipôle est zs = rce6 telle que zs >> Rch avec rce3 = rce4 = ∞ .
Etude du régime dynamique (faibles signaux)
8. Paramètres des modèles
rbe =
UT
V
β , rce ≅ A
IC o
IC o
d’où rbe1,2,3,4,5,6 = rbe ≅ 625 kΩ , rce1,2,3,4 = ∞ , rce5,6 ≅ 10 MΩ ,
rbe7,8,9 ≅ 312.5 kΩ , rce7,8 ≅ 2.5 MΩ , rce9 ≅ 5 MΩ .
9. Schéma et éléments dynamiques demandés
⎛
β R2
La source de Widlar Q9 - Q10 est équivalente à une résistance z9 ≅ rce9 ⎜1 +
⎜ R2 + rbe
9
⎝
⎞
⎟ ≅ 22.9 MΩ .
⎟
⎠
Le miroir de courant est équivalent à un quadripôle de transfert en courant dont les paramètres
r
β
valent ze = be , zs = rce , Ai =
.
β +2
β +2
Pour le miroir Q5 - Q6 , z5 ≅ 2480 Ω , z6 = 10 MΩ .
Pour le miroir Q7 - Q8 , z7 ≅ 1240 Ω , z8 = 2.5 MΩ .
Sylvain Géronimi
Page 129
z7
Ai (ic1+ic2)
rce8
ic1+ic2
Q1
+
Q2
+
v2
v1
Q3
Q4
ib3+ib4
ic3
ic4
z5
Ai ic3
rce6
z9
Dans le régime différentiel, nous avons i c2 = − i c1 et i c 4 = − i c3 . La résistance z7 est donc
traversée par un courant nul et cette dernière disparaît du schéma. Le raisonnement est le même
pour le courant traversant la résistance équivalente rce8 // z9 .
Dans le régime de mode commun, nous avons i c1 = i c2 = i c3 = i c 4 . La résistance z7 est traversée
par un courant i c1 + i c 2 = 2 i c2 et le courant de collecteur de Q2 traverse une résistance
équivalente 2 z7 . Par un même raisonnement, le courant traversant la résistance équivalente
rce8 // z9 est 2 i b4 + 2 Ai i c 4 = 2 (1 + Ai β )i b4 et le courant de base de Q4 traverse une résistance
(
)
(
)
équivalente z0 = 2 (1 + Ai β ) rce8 // z9 ≅ 2 β rce8 // z9 ≅ 1127 MΩ .
2 z7
Q2
+
ic2
-vd/2
Q2
+
vc
Q4
ib4
Q4
ic4
ic4
z0
- Ai ic4
rce6
Ai ic3
vout1
rce6
(voir annexe « Méthode de travail pour la caractérisation linéaire d’un étage différentiel »).
Sylvain Géronimi
Page 130
10. Caractérisation en régime différentiel
Première étape : calcul du gain en tension et de la résistance de sortie du circuit, l’attaque étant
une source de tension −v d / 2 .
Etage collecteur commun Q2
i2
A1' =
rbe2
β i2
- vd /2
rce2
v's1
Z s' 1
v s' 1
− vd 2
=
rce2 (β + 1)
rbe2 + rce2 (β + 1)
=1
( rce2 = ∞ )
i0
i2
β i2
rbe2
v0
rbe2
⎪⎧i 0 + (β + 1)i 2 = 0
⇒ Z s' 1 =
≅ 2490 Ω
⎨
=
−
v
r
i
β +1
⎪⎩ 0
be2 2
Etage base commune Q4
β i4
Z's1
iC4
i4
z6
rbe4
Ai ic3
v's2
Z s' 2
v's1
[
]
⎧v s' = − rbe + (β + 1)Z s' i 4
⎪ 1
4
1
⎨ '
⎪⎩v s2 = z6 i c 4 − Ai i c3
A2' =
(
v s' 2
v s' 1
=
)
avec i c 4 = − i c3 = − β i 4
2 β z6
2 β z6
β z6
β +1
≅
=
= 4000 , Z s' 2 = z6 = 4 MΩ
rbe
rbe4 + (β + 1)Z s' 1 β + 2 rbe4 + rbe2
Pour évaluer Z s' 2 , les deux sources de tensions indépendantes à l’intérieur du dipôle sont éteintes
( ± v d / 2 ). Pour le demi-schéma de droite représenté ici, la source v s' 1 = A1' (− v d 2) étant égale à
zéro, le courant i 4 est inexistant et i c 4 = 0 . Un même raisonnement sur le demi-schéma de
gauche conduit à i c3 = 0 . Les sources liées β i 4 et Ai i c3 ne débitant aucun courant, le courant
i 0 , produit par la source de tension v 0 appliquée à l’entrée du dipôle, traverse intégralement la
résistance z6 .
Le montage base commune présente la diode d’entrée de Q4 vue de son émetteur, soit
Z e' 2 =
rbe4
β +1
Sylvain Géronimi
et le collecteur commun Z e' 1 = rbe2 + (β + 1)
Page 131
rbe4
β +1
= 2 rbe ≅ 1.25 MΩ .
i2
rbe2
Z e' 1
β i2
rce2
=∞
Z'e2
La résistance Z e' 1 étant vue par la source de tension v d / 2 , la résistance différentielle d’entrée
vue par la source v d est Z d = 2 Z e' 1 ≅ 4 rbe ≅ 2.5 MΩ .
11. Caractérisation du régime de mode commun
Première étape : calcul du gain en tension et de la résistance de sortie, l’attaque étant une source
de tension v c .
Pour l’étage collecteur commun, mêmes résultats avec les notations A1'' =
v s''1
vc
( ≡ A1' ) et Z s''1 ≡ Z s' 1 .
Pour l’étage pseudo-base commune
β i4
iC4
i4
Z''s1
rbe4
z6
Z s'' 2
v''s2
Ai ic3
z0
v''s1
[
]
⎧v s'' = − (β + 1)Z s'' + rbe + z0 i 4
⎪ 1
1
4
⎨ ''
⎪⎩v s1 = z6 i c 4 − Ai i c3
(
A2'' =
v s'' 2
v s''1
=
)
rbe4
avec i c3 = i c 4 = − β i 4
β z6
2z
2
≅ 6 ≅ 17.7 10 −3 , Z s''2 = z6 = 10 MΩ
''
z0
+ (β + 1)Z s1 + z0 β + 2
Le schéma du montage base commune à charges réparties est modifié par la présence de la
résistance z0 en série avec la résistance rbe4 , ce qui conduit à remplacer rbe4 par rbe4 + z0 dans
les expressions analytiques,
rbe4 + z0
soit Z e'' 2 =
et Z e''1 = rbe2 + (β + 1)Z e'' 2 = 2 rbe + z0 .
β +1
La résistance de mode commun, vue par la source de tension v c dans le contexte du demischéma, est donc Z c = Z e''1 ≅ 1128 MΩ , valeur surestimée par l’absence de rce2 .
Sylvain Géronimi
Page 132
12. Taux de réjection de mode commun
Les gains de transfert en tension valent
v s'
v s''
β z6
2 z6
A' A'
Ad = 2 = − 1 2 = −
= − 2000 , Ac = 2 = A1'' A2'' =
≅ 17.7 10 −3 .
2
2 rbe
vd
vc
z0
La tension obtenue en fin de chaîne est la somme des tensions de sortie à vide issues des deux
régimes (théorème de superposition), soit v s2 = v s' 2 + v s'' 2 = Ad v d + Ac v c et la qualité de
l’amplification différentielle par rapport à l’amplification du mode commun est exprimée par la
A
valeur du taux de réjection de mode commun TRMC = d ≅ 112700 , soit environ 100 dB.
Ac
13. Conductance de transfert
En considérant le régime purement différentiel, l’amplificateur a été représenté sous la forme d’un
dipôle de Thévenin de tension v s' 2 = Ad v d et de résistance z6 . La transformation Thévenin
Norton conduit à
v s'
i
A v
A v
β
β
is = 2 = d d = −
v d ⇒ Yt = s = d d = −
.
2 rbe
vd
z6
2 rbe
z6
z6
Or rbe =
UT
2 UT
β=
β
IC4
I0
o
⇒ Yt = −
I0
.
4 UT
L’expression de la conductance de transfert est retrouvée. L’étude dynamique fournit les
performances de l’étage en régime linéaire (gain différentiel, taux de réjection de mode commun,
résistances d’entrée et de sortie, bande passante) et l’étude pseudo-continue montre l’excursion
maximale de la tension différentielle d’entrée à ne pas dépasser afin de satisfaire un certain
niveau de distorsion de la tension de sortie.
Sylvain Géronimi
Page 133
Intégrateur de tension différentielle
L’étude proposée concerne le montage de la figure ci-dessous au sein duquel l’amplificateur de
tension, supposé idéal ( AV = ∞, Z E = ∞, ZS = 0 ), fonctionne en régime linéaire.
C1
R1
v1
vs
R2
v2
+
C2
1. Ecrivez l’expression de la tension de sortie v s en fonction de v 1 et v 2 .
2. Si R1 = R2 = R et C1 = C2 = C , concluez sur la fonction du montage.
Corrigé
1
⎧
⎪
C2 p
+
⎪V ( p ) =
V ( p)
1 2
⎪
R2 +
⎪
C2 p
⎪⎪
+
−
⎨V ( p ) = V ( p )
⎪
1
⎪
R1
C1 p
⎪ −
V ( p) +
V ( p)
⎪V ( p ) =
1 s
1 1
R1 +
R1 +
⎪
C1 p
C1 p
⎪⎩
d’où Vs ( p ) = −
⇒
R1C1p
1
1
V2 ( p ) =
Vs ( p ) +
V1( p )
R2C2 p + 1
R1C1p + 1
R1C1p + 1
1
1 R1C1p + 1
V1( p ) +
V2 ( p )
R1C1p
R1C1p R2C2 p + 1
2. Fonction du montage
Si R1 = R2 = R et C1 = C 2 = C , Vs ( p ) = −
1
[V1( p) − V2 ( p )]
RC p
Il s’agit d’un intégrateur de tension différentielle d’expression v s (t ) = −
Sylvain Géronimi
Page 134
1
RC
∫ [v (t ) − v (t )]dt .
1
2
Convertisseurs d’impédance
Les circuits proposés sont capables de simuler des selfs et des capacités. Les amplificateurs de
tension utilisés, supposés idéaux ( AV = ∞, Z E = ∞, ZS = 0 ), fonctionnent en régime linéaire.
La première étude concerne un circuit simulateur d’inductance.
R1
RS
-
i
C
RP
+
L
ve
R2
(a)
(b)
Ve ( p )
du montage de la figure a.
I ( p)
2. Ecrivez l’expression de l’impédance du montage b telle que RP >> RS .
1. Ecrivez l’expression de l’impédance d’entrée Z e ( p ) =
3. Identifiez L, RS , RP en fonction de R1 , R2 , C.
Cette étude concerne un circuit simulateur de capacité.
R2
-
U1
R1
-
i
U2
+
+
ve
C
4. Ecrivez l’expression de l’impédance d’entrée Z e ( p ) =
Ve ( p )
du montage.
I ( p)
5. Interprétez ce résultat.
Sylvain Géronimi
Page 135
Corrigé
1. Expression de l’impédance d’entrée
⎧I ( p ) = I1( p ) + I 2 ( p )
⎪
−
⎪I ( p ) = Ve ( p ) − V ( p )
⎪1
R1
⎪
⎨I 2 ( p ) = Ve ( p ) − V + ( p ) C p
⎪
R2
⎪V + ( p ) = V − ( p ) =
V ( p)
⎪
1 e
+
R
⎪
2
Cp
⎩
R1
i1
-
i
[
C
+
i2
ve
R2
[
]
⎧
⎛ 1
⎞
+
+ C p ⎟⎟
⎪I ( p ) = Ve ( p ) − V ( p ) ⎜⎜
⎪
⎝ R1
⎠
⇒ ⎨
R
C
p
⎪V + ( p ) =
2
Ve ( p )
⎪
1 + R2 C p
⎩
⇒ I( p) =
]
V ( p)
1 + R2 C p
1 1 + R1C p
= R1
Ve ( p ) d’où Z e ( p ) = e
I( p)
1 + R1C p
R1 1 + R2 C p
2. Expression de l’impédance du montage b
L
L
p
1+
p
Rs
Rs
Z( p) =
=
≅ Rs
L
L
R p + R s + L p R p + Rs
1+
p
1+
p
R p + Rs
Rp
R p (Rs + L p )
R p Rs
1+
car RP >> RS .
3. Identification
Z e ( p ) ≡ Z ( p ) ⇒ R1 = Rs , R2 C =
L
L
, R1C =
Rp
Rs
d’où
R2 R p
=
R1 Rs
et R p = R2 , L = R1 R2 C .
4. Expression de l’impédance d’entrée
L’amplificateur U1 , monté en suiveur, recopie la tension Ve ( p ) à sa sortie. L’amplificateur U 2 ,
monté en inverseur, fournit la tension de sortie Vs ( p ) = −
R2
Ve ( p ) . La loi d’Ohm aux bornes cu
R1
condensateur s’écrit alors
I ( p ) = [Ve ( p ) − Vs ( p )]C p ⇒ Z e ( p ) =
Ve ( p )
1
=
I( p)
⎛ R2 ⎞
⎜⎜1 +
⎟C p
R1 ⎟⎠
⎝
5. Interprétation
⎛ R ⎞
Le montage effectue une multiplication de la capacité C telle que Ceq = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ C .
R1 ⎠
⎝
Sylvain Géronimi
Page 136
Amplificateur d’instrumentation amélioré
L’étude proposée concerne le montage de la figure ci-dessous dans lequel l’amplificateur de tension
est supposé idéal.
R2
100k
R1
1k
R3
V1
S
+
1k
R4
V2
100k
1. Donnez l’expression de la tension de sortie en fonction des tensions d’entrée.
2. Ecrivez la condition que doivent satisfaire les résistances pour que ce montage soit un étage
différentiel.
3. Donnez les expressions des résistances d’entrée et déduisez la condition sur les résistances du
circuit pour que ces résistances d’entrée soient à peu près égales.
4. Si les résistances du circuit sont prises dans la série à 1%, évaluez le TRMC pour le pire cas.
Un étage différentiel ( U1 , U 2 ) est placé à l’entrée du montage précédent, comme le montre la figure
ci-dessous.
U2
+
V1
S1
-
R1
R2
1k
100k
R5
220k
R7
R6
2.2k
S
+
U1
220k
V2
S2
+
R3
R4
1k
100k
U3
5. Donnez l’expression du TRMC du premier étage et discutez de la dispersion des composants.
6. Donnez l’expression du TRMC du montage complet.
7. Comparez les performances ce montage à celui du problème précédent.
Sylvain Géronimi
Page 137
Corrigé
vS = −
⎛ R ⎞ R4
R2
v2
v 1 + ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟
R1 ⎠ R3 + R 4
R1
⎝
2. Condition pour avoir un étage différentiel
R1 R3
=
R2 R 4
⇒
Ad =
vS
R
=− 2
v1 − v 2
R1
3. Expressions des impédances d’entrée
Z E1 =
R1
R
≅ 1 (R3 + R 4 )
v2
R4
R3
1−
v 1 R3 + R 4
et
Z E 2 = R3 + R 4
En effet, la tension différentielle v 1 − v 2 étant très faible, v1 ≅ v 2 . On a donc intérêt à prendre
R1 = R3 pour égaliser les impédances d’entrée. Cette condition entraîne R2 = R 4 qui correspond
aussi à la compensation d’offset en sortie ( R1 // R2 = R3 // R 4 ).
4. Expression du taux de réjection de mode commun
Posons K =
R
R1
1
[v1 (1 + K ') − v 2 (1 + K )]
et K ' = 3 ⇒ v S = −
K (1 + K ' )
R2
R4
v1 − v 2 v1 + v 2
v − v 2 v1 + v 2
, v2 = − 1
+
+
2
2
2
2
1
⎡2 + K + K'
(v1 − v1 ) − (K − K ') v1 + v1 ⎤⎥
⇒ vS = −
K (1 + K ' ) ⎢⎣
2
2 ⎦
Or v 1 =
En considérant des résistances de même dispersion autour de la valeur nominale, le calcul
d’erreur donne
∆K ∆R1 ∆R2 ∆K '
∆R
avec comme pire cas K = K 0 + ∆K et K ' = K 0 − ∆K .
=
+
=
=2
K
R1
R2
K'
R
L’amplificateur étant supposé parfait, on trouve ainsi un TRMC produit uniquement par la
dispersion des composants passifs :
TRMC
1
+1
Ad
2 + K + K ' K0
=
=
≅
∆K
∆R
2 (K − K ')
2
4
K0
R
en supposant que Ad >> 1 , soit TRMC ≅ 68 dB .
Pour un amplificateur d’instrumentation, il est nécessaire de choisir un composant actif à très bon
TRMC . Cependant, le TRMC minimal calculé démontre l’utilisation de résistances ultra précises,
mais les valeurs des impédances d’entrée restent faibles.
Sylvain Géronimi
Page 138
Si un amplificateur présentant un TRMC de 80 dB est utilisé, l’erreur additionnelle sera de 1% pour
un gain différentiel de 100 ( Ac = 10 − 2 ). La tolérances des résistances étant ici de 1%, l’erreur
totale de mode commun est donc de 5%.
5. Expression du taux de réjection de mode commun du premier étage
R5
⎧
⎪v S1 = R (v 1 − v 2 ) + v 1
⎪
7
⎨
⎪v = − R 6 (v − v ) + v
1
2
2
⎪⎩ S2
R7
Ad =
v S1 − v S2
v1 − v 2
= 1+
⇒
R5 + R 6
R7
et
⎧
⎛ R5 + R 6 ⎞
⎟ (v 1 − v 2 )
⎪v S1 − v S2 = ⎜⎜1 +
R7 ⎟⎠
⎪
⎝
⎨
⎪v + v = R5 − R6 (v − v ) + (v + v )
S2
1
2
1
2
⎪ S1
R7
⎩
Ac =
v S1 + v S2
v1 + v 2
= 1+
R5 − R 6 v 1 − v 2
≅1
R7 v 1 + v 2
La tension différentielle étant très faible devant celle du mode commun, ainsi que la différence
entre les deux résistances, la dispersion des résistances joue très peu.
TRMC = 1 +
R5 + R 6
R7
6. Expression du taux de réjection de mode commun du montage complet
TRMC
R2
R1
=
∆R
4
R
⎛
2R ⎞
⎜⎜1 +
⎟
R7 ⎟⎠
⎝
avec R = R5 = R6
7. Performances
Cet amplificateur d’instrumentation présente des impédances d’entrée énormes, une impédance
de sortie très faible (contre-réaction tension-tension sur U 2 et U 3 ) et un gain en tension qui peut
être réglable par un potentiomètre en place de R7 . L’erreur de mode commun est nettement
moindre que dans le premier montage différentiel.
Sylvain Géronimi
Page 139
Amplificateur d’instrumentation (INA 114 de Burr-Brown)
Le constructeur Burr-Brown propose le circuit intégré représenté à la figure suivante (résistance RG
hors puce) dont le symbole est associé.
+
R
R
v in
-
R
vs1
RG
RG
vd
+
Ref
R
+
v
vs
vs2
-
R
+
symbole
R
in
Ref
+
1. Ecrivez l’expression de la tension de sortie v s en fonction de v d et v ref .
vd
R1
RG
+
Ref
+
i0
-
R0
2. Ecrivez l’expression du courant de sortie i 0 en fonction de v d et concluez sur la fonction du
montage.
Corrigé
R −
⎧
+
−
⎪v S1 = R v in − v in + v in
⎛
2R ⎞
⎪
G
⎟ v d + v ref
v s = − v s1 + v s2 + v ref ⇒ v s = ⎜⎜1 +
⎨
RG ⎟⎠
R
−
+
+
⎝
⎪v = −
v in − v in + v in
⎪⎩ S2
RG
(
)
(
)
2. Expression du courant de sortie
⎧v ref = R0 i 0
⎛
2R ⎞ vd
⎪
⎟
⇒ i 0 = ⎜⎜1 +
R0
⎨
R
i
v
=
RG ⎟⎠ R1
⎝
⎪ 0 0 R +R s
0
1
⎩
Il s’agit d’un convertisseur tension différentielle / courant (conductance de transfert) d’expression
⎛
2R ⎞ 1
⎟
.
Yt = ⎜⎜1 +
RG ⎟⎠ R1
⎝
Sylvain Géronimi
Page 140
Amplificateurs logarithmique et exponentiel (antilogarithmique)
L’étude proposée concerne les circuits présentés ci-dessous. Tous les transistors sont supposés
technologiquement identiques et leurs courants de base négligeables (β très grand, VA = ∞ ). Les
amplificateurs de tension sont supposés idéaux.
Vref
Q1
R2
Q2
V
U2
+
R1
-
VS
R4
VE
+
U1
R3
Figure 1
R2
R1
Vref
R4
Q1
V
Q2
-
VE
U2
R3
+
VS
-
+
U1
Figure 2
1. Ecrivez la relation VS (VE ) pour les deux montages, en constatant que Vref >> V .
2. Concluez sur le type d’amplificateur et précisez les avantages et défauts.
Sylvain Géronimi
Page 141
Corrigé
1. Expression de VS (VE )
Modèles mathématiques de JBT appairés :
VBEi
⎛ VCEi
ICi = β I Bi = β I BS e UT ⎜⎜1 +
VA
⎝
⎞
⎟ avec VA tension d’Early.
⎟
⎠
En considérant VA = ∞ , on a : (ici, VCB = 0 ⇒ VCE = VBE << VA )
Q1 ≡ Q2
→
I BS1 = I BS2
VBE1
IC1
⎧
⎧
⎪VBE1 ≅ UT Ln
⎪I ≅ β I e UT
β I BS
BS
⎪
⎪ C1
ou ⎨
= I BS , β1 = β 2 = β ⇒ ⎨
VBE2
IC 2
⎪
⎪V
⎪ BE 2 ≅ UT Ln β I
⎩
BS
⎩
Equations du circuit de la figure 1 :
⎧V = VBE 2 − VBE1 (tension différentielle très faible devant Vref )
⎪
⎪Vref = R2 I B2 + IC2 + V ≅ R2 IC2 + V ( β grand)
⎪
+
−
⎨VE = R1IC1 (V = V = 0 pour U1 )
⎪
⎛ R4 ⎞
⎪
+
−
⎪VS = ⎜⎜1 + R ⎟⎟V (V = V = V pour U 2 )
3 ⎠
⎝
⎩
(
d’où
)
⎛ R
VS ≅ − UT ⎜⎜1 + 4
R3
⎝
⇒
⎧
V
⎪IC ≅ ref
R2
⎪ 2
⎪
VE
⎪
⎨IC1 =
R1
⎪
⎪
I
⎛
⎞
⎪VS = ⎜1 + R 4 ⎟ UT Ln C2
⎜
⎟
⎪⎩
R3 ⎠
IC1
⎝
⎞
⎞ ⎛ R2
⎟
⎟ Ln ⎜
⎟ ⎜ R V VE ⎟ (amplificateur logarithmique)
⎠
⎠ ⎝ 1 ref
Equations du circuit de la figure 2 :
⎧V = VBE1 − VBE2 (tension différentielle très faible devant Vref )
⎪
⎪I = Vref − V
(V + = V − = V pour U1 )
⎪ C1
R2
⎪
VS
⎨
(V + = V − = 0 pour U 2 )
⎪IC2 = R
1
⎪
⎪
R3
VE
⎪V =
R3 + R 4
⎩
1
d’où
VS ≅
R1 Vref − UT
e
R2
R3
VE
R3 + R 4
⇒
⎧
V
⎪IC ≅ ref (Vref >> V )
1
R2
⎪
⎪
V
⎪
S
⎨IC2 =
R
1
⎪
⎪
IC1
R3
⎪UT Ln
=
VE
IC 2 R 3 + R 4
⎪⎩
(amplificateur exponentiel)
2. Conclusion
Les expressions trouvées sont indépendantes de IBS grâce à la présence des deux transistors
appairés. La dérive due à la température vient uniquement de la tension thermique UT , ce qui
pose problème.
Sylvain Géronimi
Page 142
Multiplicateur / diviseur
L’étude proposée concerne le circuit de la figure ci-dessous. Tous les transistors sont supposés
technologiquement identiques et leurs courants de base négligeables (β très grand, VA = ∞ ). Les
amplificateurs de tension sont supposés idéaux.
Q1
Q2
R2
1.8k
R1
-
100k
100k
v2
+
v1
100k
+
U1
U2
v
100k
R4
Q4
10k
Q3
R3
1.8k
-
100k
v3
100k
+
U4
+
U3
vs
10k
1. Ecrivez la relation VS (V1,V2 ,V3 ) .
2. Expliquez le fonctionnement du montage.
Sylvain Géronimi
Page 143
Corrigé
1. Expression de VS
Pour le montage log, les équations sont les suivantes :
V1
⎧
⎪IC1 = R
VBE1
⎧
1
⎪
UT
⎪
I
β
I
e
≅
⎪
BS
V2
⎪C
et Q1 ≡ Q2 ⇒ ⎨ 1
⎨IC2 =
VBE2
R2
⎪
⎪
⎪V = VBE − VBE
2
1
⎪
⎩
⎛R V ⎞
d’où V = − UT Ln⎜⎜ 2 1 ⎟⎟
⎝ R1 V2 ⎠
De même, pour le montage antilog :
V3
⎧
⎪IC3 = R
VBE3
⎧
3
⎪
U
⎪
⎪
VS
⎪IC ≅ β I BS e T
et Q3 ≡ Q4 ⇒ ⎨ 3
⎨IC4 =
VBE4
R4
⎪
⎪
UT
≅
I
β
I
e
⎪V = VBE − VBE
BS
⎩⎪ C4
3
4
⎪
⎩
ce qui donne VS =
⎛R V ⎞
d’où V = UT Ln⎜⎜ 4 3 ⎟⎟
⎝ R3 VS ⎠
R2 R 4 V1V3 V1V3
=
R1 R3 V2
10V2
2. Fonctionnement du montage
Ce multiplieur/diviseur un quadrant est basé sur un montage log ( U1 , U 2 ) pilotant un montage
antilog ( U 3 , U 4 ). Le générateur log en sortie de U1 commande la base de Q3 par une tension
proportionnelle à Ln (V1 V2 ) . Ce transistor additionne une tension proportionnelle à Ln (V3 ) et
commande le transistor antilog Q4 . Le courant collecteur de Q4 est converti en une tension de
sortie par U 4 et R 4 avec un facteur d’échelle défini par cette résistance en V1 V3 (10V2 ) pour
V1 , V2 , V3 ≥ 0 .
R1 , R2 , R3 , R 4 sont des résistances de précision (< 1%) et la relation obtenue se vérifie pourvu
que les transistors soient portés à la même température.
Sylvain Géronimi
Page 144
Amplificateurs à conductance de transfert
L’étude proposée concerne quelques applications des amplificateurs à conductance de transfert de
type LM 13600 en régime linéaire (voir problème « Amplificateur à conductance de transfert LM
13600).
Au sein des figures qui suivent, l’amplificateur se représente par un amplificateur à transconductance,
remarquable par la présence d’une flèche marquée I pol , suivi d’un buffer mis sous la forme d’un
amplificateur de tension monté en suiveur.
+
U1
is
vd
U2
+
Ipol
-
L’amplificateur à transconductance présente un transfert commandé par le courant I pol défini par la
relation Yt = i s / v d = I pol / 2UT et des impédances d’entrée et de sortie idéales ( Z E = ∞, ZS = ∞ ).
L’amplificateur de tension est supposé idéal ( AV = ∞, Z E = ∞, ZS = 0 ).
Application 1
R1
-
U1
is
vd
U2
+
+
R2
-
Ipol
R3
R
1. Ecrivez l’expression de la résistance équivalente R.
2. Commentez ce résultat.
Application 2
is1
vd1
-
ve
+
U1
is2
vd2
Ipol1
+
U2
vs
Ipol2
3. Ecrivez l’expression du gain en tension A v = v s / v e .
4. Ecrivez l’expression de la résistance de sortie du montage.
5. Commentez les résultats obtenus.
Sylvain Géronimi
Page 145
Application 3
R2
R1
-
U1
is
vd
U2
+
R1
+
Ipol
R2
ve
-
C
vs
6. Ecrivez l’expression de la fonction de transfert H ( p ) = Vs ( p ) / Ve ( p ) et déduisez la pulsation de
coupure.
7. Concluez sur le rôle de ce montage.
Application 4
R1
R2
R1
-
R2
U1
vd1
is1
+
R1
U2
R2
is2
vd2
+
R1
U4
+
+
ve
U3
Ipol
C
vs1
R2
Ipol
C
vs2
8. Ecrivez les expressions des fonctions de transfert H1( p ) = Vs1 ( p ) / Ve ( p ) et H 2 ( p ) = Vs2 ( p ) / Ve ( p )
dans le cas où R1 >> R 2 et I pol1 = I pol 2 = I pol .
9. Identifiez les paramètres ζ et ωn .
10. Concluez sur le rôle de ce montage.
Sylvain Géronimi
Page 146
Corrigé
Application 1
1. Expression de la résistance équivalente
La résistance du dipôle est définie par R =
v0
avec v 0 tension appliquée à l’entrée du dipôle et
i0
recopiée en sortie du suiveur de tension U 2 , i 0 courant entrant dans le dipôle tel que i 0 = − i s .
i s = Yt v d =
I pol ⎛
⎞
⎛
R ⎞ 2 UT
R2
⎜⎜ 0 −
v 0 ⎟⎟ ⇒ R = ⎜⎜1 + 1 ⎟⎟
2 UT ⎝
R1 + R2 ⎠
⎝ R2 ⎠ I pol
2. Commentaire
La résistance est commandée par le courant I pol et est influencée par la température ( UT ).
Application 2
3. Expression du gain en tension
⎧i s = − Yt v e
1
1
⎪⎪
⎨i s2 = − Yt2 v s
⎪
⎪⎩i s1 + i s2 = 0
⇒ Av =
Yt
I pol1
vs
=− 1 =−
ve
Yt 2
I pol 2
(amplificateur inverseur de tension)
4. Expression de la résistance de sortie
Rs =
vs
i0
(
avec i 0 = − i s1 + i s2
l’intérieur du dipôle), d’où Rs =
)
(courant entrant dans le dipôle) et v e = 0 (source éteinte à
2UT
1
=
.
Yt 2
I pol
5. Commentaires
L’amplification de tension et la résistance de sortie sont réglables par les courants de commande
I pol1 et I pol 2 sans utiliser de composants passifs, exceptées les résistances de réglage des
courants de commande. L’amplificateur peut varier continûment de 0 < A v min < 1 < A v max .
Application 3
6. Expression de la fonction de transfert et de la pulsation de coupure
⎧Is ( p ) = Yt Vd ( p )
⎪
R2
⎪
[Ve ( p) − Vs ( p)] ⇒ C pVs ( p) = Yt R2 [Ve ( p) − Vs ( p)]
⎨Vd ( p ) =
R
R
+
R1 + R2
1
2
⎪
⎪Is ( p ) = C p Vs ( p )
⎩
Sylvain Géronimi
Page 147
d’où
Vs ( p )
=
Ve ( p )
1
1
de la forme
p
⎛
R1 ⎞ C
1+
⎟⎟ p
1 + ⎜⎜1 +
ω
c
⎝ R2 ⎠ Yt
avec ωc =
I pol
⎛
R ⎞
2UT ⎜⎜1 + 1 ⎟⎟ C
⎝ R2 ⎠
7. Conclusion
Il s’agit d’un filtre passe-bas du premier ordre dont la fréquence de coupure est commandée par
I pol .
Application 4
8. Expressions des fonctions de transfert
⎧
⎡ R2
⎤
R1 // R2
Ve ( p ) −
Vs1 ( p ) + Vs2 ( p ) ⎥
⎪I s1 ( p ) = Yt1 ⎢
+
+
R
R
R
R
R
//
2
1
1
2
⎣ 1
⎦
⎪
⎪I ( p ) = C pV ( p )
⎪ s1
s1
⎨
R2
⎪I ( p ) = Y
Vs ( p )
t2
⎪ s2
R1 + R2 1
⎪
⎪⎩I s2 ( p ) = C pVs2 ( p )
(
[
)
⎧Yt1 = Yt 2 = Yt
⎪
avec ⎨ R1 // R2
R2
R2
⎪ R + R // R ≅ R + R ≅ R
1
2
1
2
1
⎩ 1
]
⎧⎪ pVs1 ( p ) ≅ α Ve ( p ) −Vs1 ( p ) − Vs2 ( p )
R
⇒ ⎨
avec α = Yt 2
R1C
⎪⎩ pVs2 ( p ) ≅ α Vs1 ( p )
p
Vs ( p )
Vs1 ( p )
1
α
≅
≅
et H 2 ( p ) = 2
d’où H1( p ) =
2
Ve ( p )
Ve ( p )
p p
p p2
1+ + 2
1+ + 2
α
α
α
α
9. Identification des paramètres
Dénominateur de la forme 1 +
2ζ
ωn
p+
p2
ωn2
⇒ ω n ≅ Yt
R2
et ζ ≅ 0.5 .
R1C
10. Conclusion
Il s’agit respectivement de filtres passe-bande et passe-bas du second ordre.
Sylvain Géronimi
Page 148
Filtre passe-bas à deux suiveurs de tension
L’étude porte sur le circuit de la figure ci-dessous. Les amplificateurs de tension sont supposés
idéaux.
Z2
Z1
U1
+
Z3
U2
+
ve
Z4
-
vs
1. Ecrivez l’expression de la fonction de transfert en tension H ( p ) = Vs ( p ) Ve ( p ) .
2. A partir de la forme de l’expression trouvée, dites quels types de filtres du second ordre sont
réalisables et précisez le type des composants.
Le but est, maintenant, de réaliser un filtre passe-bas de fréquence de coupure de 300 Hz à – 3 dB
avec un coefficient de surtension ζ = 1
2.
3. Les condensateurs étant choisis à la valeur de 47 nF, évaluez les résistances du montage.
4. Ecrivez les expressions des sensibilités des paramètres ωn et ζ en fonction des composants
passifs. Pourquoi les valeurs des sensibilités sont-elles constantes ?
5. Si tous les composants sont choisis à la tolérance de 1%, donnez les variations relatives de ces
paramètres dans le pire cas.
Sylvain Géronimi
Page 149
Filtrage analogique
Corrigé
1. Expression de la fonction de transfert
Z2 ( p)
Z1( p )
⎧ +
⎪VU1 ( p ) = Z ( p ) + Z ( p ) Ve ( p ) + Z ( p ) + Z ( p ) Vs ( p )
⎪
1
2
1
2
( U1 et U 2 montés en suiveur de tension )
⎨
Z
(
p
)
4
+ ( p)
⎪V ( p ) =
V
⎪⎩ s
Z 3 ( p ) + Z 4 ( p ) U1
⇒ Vs ( p ) =
Z 2 ( p )Ve ( p ) + Z1( p )Vs ( p )
Z 4 ( p)
Z3 ( p) + Z 4 ( p )
Z1( p ) + Z 2 ( p )
d’où H ( p ) =
Vs ( p )
Z2 ( p) Z 4 ( p)
=
Ve ( p ) Z1( p ) Z 3 ( p ) + Z 2 ( p ) Z 3 ( p ) + Z 2 ( p ) Z 4 ( p )
2. Types de filtres du second ordre
A la vue du schéma, si les éléments des ponts d’impédances Z1( p ) - Z 2 ( p ) ou Z 3 ( p ) - Z 4 ( p ) sont
de même nature (résistif ou capacitif), le transfert en tension est indépendant de la fréquence. Ces
ponts doivent être de même topologie RC pour obtenir une fonction de transfert du second ordre,
à savoir Z1( p ) - Z 3 ( p ) des résistances et Z 2 ( p ) - Z 4 ( p ) des condensateurs ou l’inverse, sinon la
fonction est du premier ordre.
Type
Z1
Z2
Z3
Z4
Passe-bas
R1
1 C2 p
R3
1 C4 p
Passe-haut
1 C1 p
R2
1 C3 p
R4
3. Calcul des résistances
H ( p) =
1
de la forme H ( p ) = H 0
1 + R3 C 4 p + R1 R3 C 2 C 4 p 2
avec H 0 = 1 , ωn =
1
R1 R3 C2 C 4
, ζ =
1
1+
2ζ
ωn
p+
p2
ωn2
1 R3 C 4
et ωc = ωn 1 − 2 ζ 2 +
2 R1C2
( 2 ζ 2 − 1)2 + 1
Le conditionnement du problème demande de disposer d’autant d’équations que d’inconnues. Un
bilan montre 3 équations ci-dessus ( H 0 connu) pour 7 inconnues R1, C2 , R3 , C 4 et ωn , ζ , ωc . Il
est donc nécessaire d’introduire 4 données afin d’évaluer tous les composants :
-
2 données issues du cahier des charges fc = 300 Hz , ζ = 1 2
2 données issues de valeurs de composants passifs prises de façon arbitraire, ici
C2 = C 4 = 47 nF .
La résolution du système linéaire conduit aux équations fc = fn =
1
2π C2 R1 R3
et R3 = 2R1 ,
donnant les valeurs R1 ≅ 8 kΩ , R3 ≅ 16 kΩ .
Sylvain Géronimi
Page 150
Filtrage analogique
4. Evaluation des sensibilités
dω n
ωn
dζ
ζ
dR3 dC 2 dC 4
1 ⎛ dR
= − ⎜⎜ 1 +
+
+
2 ⎝ R1
R3
C2
C4
=
⎞
⎟ ⇒ SRωn = SRωn = SCωn = SCωn = − 0.5
⎟
1
3
2
4
⎠
1 ⎛ dR3 dC 4 dR1 dC 2 ⎞
⎜
⎟ ⇒ SRζ = SCζ = − SRζ = − SCζ = 0.5
+
−
−
3
4
1
2
2 ⎜⎝ R3
C4
R1
C2 ⎟⎠
Les amplificateurs montés en suiveur isolent les cellules du premier ordre et il n’y a donc pas
d’interaction entre elles.
5. Etude du pire-cas
Avec des tolérances de composants identiques ( ∆R R = ∆C C = ± 1% ), les variations relatives
sont les suivantes (approche linéaire) :
∆ωn ∆ζ
1 ⎛ ∆R
∆C ⎞
=
= ⎜2
+2
⎟ = ± 2%
ωn
ζ
2⎝ R
C ⎠
La simulation du pire cas pour la valeur maximale [fonction MAX] au-dessus de la valeur nominale
[direction Hi] donne les tracés suivants.
1.05V
1.00V
nominale
(299.214, 721.600m)
0.80V
(299.214, 707.241m)
0.65V
100Hz
(305.192,707.181m)
300Hz
V(S)
400Hz
Frequency
L’écart d’amplitude le plus important (valeur maximale), recherché dans l’intervalle 290-310 Hz, se
situe à 302 Hz pour les valeurs minimales des composants passifs (valeur nominale diminuée de
1%). Les mesures donnent
∆f
305.2 − 299.2
- pour l’ordonnée – 3 dB (0.707), c ≅
≅ 0.02 (fréquence de coupure)
fc
299.2
pour l’abscisse fn ≅ 299 Hz , H ' ( jfn ) ≅ 0.722 .
-
En théorie, les valeurs des composants variant de - 1 %,
dζ
ζ
=
df
f' −f
ζ '−ζ
4
= 0 ⇒ ζ ' = ζ et n = n n = − (− 1 %) = 2 % ⇒ fn' = 1.02 fn , d’où
ζ
fn
fn
2
fc' = fn' 1 − 2 ζ ' 2 +
Sylvain Géronimi
( 2 ζ ' −1)
2
2
+1 ⇒
dfc fc' − fc
=
= 2 % , H ' ( jfn ) =
fc
fc
Page 151
1
2
≅ 0.721
2 ⎞
2
⎛
⎜1 − fn ⎟ + 4ζ ' 2 fn
⎜ f '2 ⎟
fn' 2
n ⎠
⎝
Filtrage analogique
Filtre passe-bas à contre-réaction multiple (structure de Rauch)
Le but du problème est de réaliser une cellule du second ordre à structure de Rauch, utilisant un
amplificateur de tension parfait en régime linéaire. Les caractéristiques réelles sont celles d’un filtre
passe-bas de gain unité, de coefficient d’amortissement ζ = 0.5 et de fréquence de coupure fc à – 3
dB égale à 1 kHz.
C2
R
+
+
R1
R3
10k
10k
-
ve
R4
vs
C5
1. Vérifiez par l’examen du comportement en fréquence du circuit qu’il s’agit bien d’un filtre passebas. Précisez le gain du filtre.
V ( p)
en fonction des composants passifs.
2. Ecrivez l’expression de la fonction de transfert H ( p) = s
Ve ( p)
3. Identifiez les paramètres qui caractérisent le filtre (gain H0 , pulsation propre ωn , coefficient de
surtension ζ).
4. Expliquez le fait que les valeurs de deux composants passifs soient données.
5. Evaluez les autres composants, y compris la résistance R + qui permet de minimiser l’influence
des courants de polarisation sur la composante continue de sortie des amplificateurs.
6. Evaluez le maximum K res de la fonction de transfert et la fréquence de résonance fres
correspondante.
7. Ecrivez les expressions des sensibilités des paramètres K = H 0 , ω n et ζ en fonction des
composants passifs.
8. Calculez les nouvelles valeurs de K, K res , fres et fc à partir de l’évaluation des sensibilités,
lorsque la résistance R1 augmente de 10 %. Faîtes de même pour R3 , puis pour R 4 .
Sylvain Géronimi
Page 152
Filtrage analogique
Corrigé
1. Vérification du type de filtre
Aux très basses fréquences, les condensateurs sont assimilés à des circuits ouverts et aucun
courant ne parcourt la résistance R3 . Le montage est alors un amplificateur inverseur de gain
− R 4 R1 .
Aux très hautes fréquences, les condensateurs sont assimilés à des courts-circuits et l’entrée de
l’amplificateur est amenée à la masse.
2. Ecriture de la fonction de transfert (voir cours « Filtrage analogique »)
H ( p) = −
1 1
R1 R3
⎛ 1
1
1 ⎞ 1 1
⎟+
C5 p ⎜⎜
+ C2 p +
+
R3 R 4 ⎟⎠ R3 R 4
⎝ R1
−
H ( p) =
R4
R1
⎛ 1
1
1 ⎞
⎟⎟ R3 R 4 C5 p + R3 R 4 C2 C5 p 2
1 + ⎜⎜
+
+
R
R
R
1
3
4
⎝
⎠
avec H 0 = −
R4
1 R 3 R 4 C5
= −K , ζ =
2
C2
R1
et ωc = ωn 1 − 2 ζ 2 +
⎛ 1
1
1 ⎞
⎜
⎟
⎜ R + R + R ⎟ , ωn =
3
4 ⎠
⎝ 1
1
1+
2ζ
ωn
p+
p2
ωn2
1
R3 R 4 C 2 C5
( 2 ζ 2 − 1)2 + 1
4. Présence de deux valeurs de composants
bilan montre quatre équations écrites précédemment pour neuf inconnues R1, C2 , R3 , R 4 , C5 et
K , ωn , ζ , ωc .
Il est donc nécessaire d’introduire 5 données afin d’évaluer tous les composants :
- 3 données issues du cahier des charges
ωc = 2π 1000 rad / s , ζ = 0.5 , K = 1 ,
- 2 données issues de valeurs de composants passifs prises de façon arbitraire, ici
R1 = R3 = 10 kΩ .
5. Evaluation des composants du filtre
La résolution du système linéaire fournit les valeurs R 4 = 10 kΩ , C2 ≅ 60.7 nF , C5 ≅ 6.75 nF
avec fn ≅ 786 Hz .
Afin de minimiser l’influence des courants de polarisation sur la composante continue de sortie, il
faut équilibrer les entrées par rapport à la masse. La source dynamique étant éteinte, les
condensateurs assimilés à des circuits ouverts et le potentiel de sortie souhaité à la masse, alors
la topologie montre que R + = R3 + R1 // R 4 = 15 kΩ .
Sylvain Géronimi
Page 153
Filtrage analogique
6. Evaluation de K res et fres (voir cours « Filtrage analogique »)
fres = fn 1 − 2 ζ 2 ≅ 556 Hz et K res dB = H ( jωres ) dB = −20 log ⎛⎜ 2 ζ 1 − ζ 2 ⎞⎟ ≅ 1.25 dB
⎠
⎝
Simulation
20
résonance
gain unité
(562.341,1.2482)
(15.020,1.4982m)
0
(1.0000K,-3.0272)
fréquence de cassure
-20
-40
10Hz
DB(V(s))
30Hz
100Hz
300Hz
1.0KHz
3.0KHz
10KHz
Frequency
K=
R4
dK dR 4 dR1
⇒ log K = log R 4 − log R1 ⇒
⇒ SRK4 = − SRK1 = 1
=
−
R1
K
R4
R1
ωn =
1
R3 R 4 C 2 C5
⇒
dω n
ωn
dR 4 dC2 dC5
1 ⎛ dR
= − ⎜⎜ 3 +
+
+
2 ⎝ R3
R4
C2
C5
⎞
⎟
3
4
2
5
⎠
⎛ 1
1
1 ⎞
⎜
⎟
⎜R + R + R ⎟ ⇒
3
4 ⎠
⎝ 1
1
1
1
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
R3
dR3 ⎜ 1
R1
dR1 ⎜ 1
R4
dζ
1 dC5 1 dC 2 ⎜
⎟
⎟
⎟ dR 4
=
−
−
+
−
+
−
1
1 ⎟ R1 ⎜ 2
1
1
1 ⎟ R3 ⎜ 2
1
1
1 ⎟ R4
2 C5
2 C2 ⎜ 1
ζ
+
+
+
+
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
R1 R3 R 4 ⎠
R1 R3 R 4 ⎠
⎝ R1 R3 R 4 ⎠
⎝
⎝
1
1
⇒ SCζ = − SCζ = 0.5 , SRζ = − , SRζ = SRζ = .
5
2
1
3
4
3
6
ζ =
1 R3 R 4 C5
2
C2
9. Modification des performances
Pour une variation d’un composant passif donné, les nouvelles valeurs théoriques des fonctions
K res =
1
2
, fres = fn 1 − 2 ζ 2 et fc = fn 1 − 2 ζ 2 +
( 2ζ
2
)
2
−1 +1
2ζ 1− ζ
seront obtenues par la connaissance des nouveaux paramètres issus des sensibilités.
⎛ df
⎛ dζ ⎞
dfn fn' − fn
dK K '−K
dζ ζ '−ζ
⎛ dK ⎞
⎟⎟ ζ ,
=
⇒ K ' = ⎜1 +
⇒ ζ ' = ⎜⎜1 +
⇒ fn' = ⎜⎜1 + n
=
=
⎟K ,
ζ
ζ
ζ
K
K
K
fn
f
f
⎝
⎠
⎠
⎝
n
n
⎝
Sylvain Géronimi
Page 154
⎞
⎟⎟ fn
⎠
Filtrage analogique
Pour une augmentation de 10 % de la résistance R1 , nous obtenons
⎛ dR1 ⎞
⎛
dR1 ⎞
⎟⎟ K = 0.9 , ζ ' = ⎜⎜1 −
⎟⎟ ζ ≅ 0.4833 , fn' = fn ≅ 786 Hz
K ' = ⎜⎜1 −
3
R
R
1 ⎠
1⎠
⎝
⎝
1.2V
(11.909, 1.0001)
1.0V
R1 = 10 kΩ
(562.341, 1.1545)
(11.909, 909.192m)
R1 = 11 kΩ
0.8V
(0.9991K, 706.897m)
(578.762, 1.0718)
(1.0136K, 641.379m)
0.6V
0.5V
10Hz
V(s)
30Hz
100Hz
300Hz
1.0KHz
3.0KHz
10KHz
Frequency
R1 +10%
théorie
mesure
K
0.9
0.909
fres (Hz)
574
579
Kres
1.082
1.072
fc (Hz)
1015
1014
Pour une augmentation de 10 % de la résistance R3 , nous obtenons
⎛
⎛
dR3 ⎞
dR3 ⎞
⎟ ζ ≅ 0.5083 , fn' = ⎜1 −
⎟ fn ≅ 747 Hz
K ' = K = 1 , ζ ' = ⎜⎜1 +
⎜
⎟
⎟
6 R3 ⎠
⎝
⎝ 2 R3 ⎠
1.2V
R3 = 10 kΩ
(11.909, 1.0001)
(562.341, 1.1545)
1.0V
(520.795, 1.1419)
(0.9991K, 706.897m)
0.8V
(945.368, 706.897m)
0.6V
R3 = 11 kΩ
0.5V
10Hz
V(s)
30Hz
300Hz
1.0KHz
3.0KHz
10KHz
Frequency
R3 +10%
théorie
mesure
Sylvain Géronimi
100Hz
K
1
1
Kres
1.142
1.142
Page 155
fres (Hz)
519
520
fc (Hz)
943
945
Filtrage analogique
Pour une augmentation de 10 % de la résistance R 4 , nous obtenons
⎛ dR 4 ⎞
⎛
⎛
dR 4 ⎞
dR 4 ⎞
⎟⎟ K = 1.1 , ζ ' = ⎜⎜1 +
⎟⎟ ζ ≅ 0.5083 , fn' = ⎜⎜1 −
⎟⎟ fn ≅ 747 Hz
K ' = ⎜⎜1 +
6 R4 ⎠
R4 ⎠
⎝
⎝
⎝ 2 R4 ⎠
1.25V
(11.923, 1.1001)
(519.132, 1.2561)
R4 = 11 kΩ
(11.909, 1.0001)
(562.341, 1.1545)
1.00V
R4 = 10 kΩ
(945.111, 777.833m)
(0.9991K, 706.897m)
0.75V
0.50V
10Hz
V(s)
30Hz
100Hz
300Hz
1.0KHz
3.0KHz
fres (Hz)
519
519
fc (Hz)
943
945
10KHz
Frequency
R4 +10%
théorie
mesure
K
1.1
1.1
Kres
1.242
1.256
Rappelons que les valeurs théoriques sont issues d’une approche linéaire.
Sylvain Géronimi
Page 156
Filtrage analogique
Filtre passe-bas à source contrôlée (structure Sallen-Key)
Le but du problème est de comprendre la signification des facteurs de sensibilité sur le cas d’un filtre
passe-bas du second ordre. L’emploi d’un simulateur de circuits électriques est nécessaire pour traiter
la partie expérimentale.
Le réseau à source contrôlée avec gain K (structure de Sallen-Key) utilise un amplificateur parfait en
régime linéaire.
C1
47n
R4
1820
R3
-
1k
R1
R2
1703
1703
+
ve
C2
vs
47n
Etude théorique
1. Donnez l’écriture de la fonction de transfert H ( p) =
Vs ( p)
en fonction des composants passifs,
Ve ( p)
puis identifiez les paramètres qui caractérisent le filtre (gain K, pulsation naturelle ω n , coefficient
de surtension ζ).
2. Ecrivez les expressions des sensibilités des paramètres K , ω n et ζ en fonction des composants
passifs.
3. Evaluez les paramètres et les facteurs de sensibilité.
Etude expérimentale par simulateur
L’utilisation d’un simulateur de circuits va permettre de mesurer l’influence des variations de
composants passifs sur la courbe de réponse en fréquence du filtre. Deux réponses seront tracées au
sein d’une analyse paramétrique, l’une issue des valeurs nominales des composants et l’autre issue
de l’augmentation de la valeur d’un ou plusieurs composants. Le balayage des fréquences s’étendra
de 10 Hz à 10 kHz avec 1500 points par décade pour une bonne précision des mesures.
4. Pour la résistance R1 variant de 1703 Ω à 1788 Ω, évaluez les rapports ∆K K , ∆ζ ζ , ∆fn fn
par la mesure et déduisez les facteurs de sensibilité fonction de R1 . Comparez à la théorie.
5. Faites de même lorsque les résistances R1 et R2 varient simultanément de 1703 Ω à 1788 Ω.
6. Faites de même lorsque la résistance R 4 varie de 1820 Ω à 1911 Ω.
Formulaire :
1− 1−
ζ =
1
K 02
2
Sylvain Géronimi
avec K 0 =
fres
K res
1
, fc = fn 1 − 2ζ 2 +
, fn =
=
2
2
K
2ζ 1 − ζ
1 − 2ζ
Page 157
(1 − 2ζ )
2 2
+1
Filtrage analogique
Corrigé
Etude théorique
Les composants passifs Yi sont des admittances (conductances ou capacités).
Y2
R4
R3
Y3
Y1
+
A
vs
Y4
ve
La fonction de transfert en tension du filtre s’écrit :
VS ( p )
K Y1 Y3
=
VE ( p ) Y4 (Y1 + Y2 + Y3 ) + Y3 (Y1 + Y2 (1 − K ))
avec K = 1 +
L’identification des admittances telles que Y1( p ) =
R4
R3
1
1
, Y2 ( p ) = C1 p , Y3 ( p ) =
, Y4 ( p ) = C2 p
R1
R2
conduit aux expressions des paramètres ωn , ζ , K .
H ( p) =
K
1 + [R1C1 (1 − K ) + (R1 + R2 )C2 ] p + R1 R2 C1 C2 p 2
1
avec ωn =
R1R2C1C2
, ζ =
R1C1(1 − K ) + (R1 + R2 )C2
2 R1R2C1C2
H0
de la forme H ( p ) =
1+
2ζ
ωn
p+
p2
ωn2
, H0 = K
2. Calcul des sensibilités
Les expressions précédentes montrent que la pulsation naturelle ωn est influencée par les
composants R1 , R2 , C1 , C2 , le coefficient d’amortissement ζ par R1 , R2 , C1 , C2 , R3 , R 4
puisque ces deux derniers composants ont une action sur le gain K .
ωn =
ζ =
1
R1R2C1C2
⇒
dω n
ωn
dR2 dC1 dC 2 ⎞
1 ⎛ dR
⎟
= − ⎜⎜ 1 +
+
+
2 ⎝ R1
R2
C1
C2 ⎟⎠
⇒ SRωn = SRωn = SCωn = SCωn = − 0.5
1
2
1
2
R1C1(1 − K ) + (R1 + R2 )C2
2 R1R2C1C2
⇒ log ζ = log[R1C1(1 − K ) + (R1 + R2 )C2 ] − log 2 −
Sylvain Géronimi
1
[log R1 + log R2 + logC1 + logC2 ] ⇒
2
Page 158
Filtrage analogique
dζ
C1 (1 − K ) + C2
R1 (1 − K )
C2
dR1 +
dC1 +
dR 2
R1C1 (1 − K ) + (R1 + R2 )C2
R1C1 (1 − K ) + (R1 + R2 )C2
R1C1 (1 − K ) + (R1 + R2 )C2
=
ζ
+
or
R1 + R2
R1C1
dR2 dC1 dC2 ⎞
1 ⎛ dR
⎟
dC2 −
dK − ⎜⎜ 1 +
+
+
R1C1 (1 − K ) + (R1 + R2 )C2
R1C1 (1 − K ) + (R1 + R2 )C2
2 ⎝ R1
R2
C1
C2 ⎟⎠
ω
1
= n
R1C1(1 − K ) + (R1 + R2 )C2 2ζ
SRζ = −
2
⇒ SRζ = −
1
1 R1 [C1 (1 − K ) + C2 ]ωn
+
,
2
2ζ
RC ω K
1 R2 C2 ωn
1 R C (1 − K )ωn
1 (R + R2 )C2 ωn
, SCζ = − + 1 1
, SCζ = − + 1
, SKζ = − 1 1 n
+
1
2
2
2ζ
2
2ζ
2
2ζ
2ζ
Comme le gain K est fonction R3 et R 4 , nous pouvons calculer les sensibilités de ces résistances
sur les paramètres K et ζ.
R4
1
R
R32
R3
K −1
dK
dR3 ⇒ SRK4 = − SRK3 =
K = 1+ 4 ⇒
=
dR 4 −
R4
R4
K
R3
K
1+
1+
R3
R3
et SRζ = SRK3 SKζ =
3
R1C1ωn (K − 1)
= − SRζ
4
2ζ
3. Evaluation des paramètres et facteur de sensibilité
En posant R1 = R2 = R et C1 = C2 = C , les expressions s’écrivent
ωn =
R
1
3−K
, ζ =
, K = 1+ 4
R3
RC
2
SRζ = −
1
1 2−K
1
1
1 1− K
K −1
1 1
, SRζ = − +
, SCζ = − +
, SCζ = − + , SRζ = − SRζ =
+
2
1
2
3
4
2 ζ
2
2ζ
2 2ζ
2
2ζ
2ζ
SRfn = SRfn = SCfn = SCfn = − 0.5 , SRK3 = − SRK4 =
1
2
1
2
1− K
K
L’application numérique donne
fn ≅ 1988 Hz , ζ ≅ 0.09 , K ≅ 2.82
ωn
⇒ K res ≅ 15.73 , fres ≅ 1972 Hz , fc ≅ 3071 Hz
SR ≅ − 5.06 , SR = − 0.5 , SR ≅ 5.06 , SRωn = − 0.5 , SCζ ≅ − 10.6 , SCωn = − 0.5 , SCζ ≅ 10.6 ,
ζ
1
ζ
1
ωn
ζ
SC = − 0.5 , SR ≅ 10.1 ,
3
2
2
SRK3
2
1
ζ
≅ − 0.645 , SR ≅ − 10.1 ,
4
SRK4
1
2
≅ 0.645
Etude par simulateur
4. Influence de la résistance R1
La simulation présente les tracés relatifs à la valeur nominale (1703 Ω) de la résistance et à la
valeur augmentée d’environ 5 % (1788 Ω). Les fréquences de résonance et de coupure diminuent
(fréquence naturelle diminue) faiblement ( SRfn = − 0.5 ), la surtension augmente (coefficient
1
d’amortissement diminue) de façon importante ( SRζ = − 5.056 ), le gain K du plateau demeure
1
inchangé
Sylvain Géronimi
( SRK1
= 0 ) avec l’augmentation de la valeur de la résistance.
Page 159
Filtrage analogique
30V
(1.9292K, 20.855)
R1 = 1788 Ω
20V
(1.9709K, 15.752)
10V
(3.0023K, 1.9942)
(18.535, 2.8202)
(3.0685K, 1.9945)
R1 = 1703 Ω
0V
10Hz
V(S)
30Hz
100Hz
300Hz
1.0KHz
3.0KHz
10KHz
Frequency
Tableau des mesures :
R1 (Ω)
K (Veff )
K res (Veff )
fres (Hz )
fc (Hz )
1703
2.820
15.75
1971
3069
1788
2.820
20.85
1929
3002
R1 (Ω)
ζ
fn (Hz )
1703
0.08989
1987
1788
0.06777
1938
Traitement des mesures :
1− 1−
en utilisant les formules ζ =
1
K 02
2
avec K 0 =
fres
K res
1
.
, fn =
=
2
K
2ζ 1 − ζ
1 − 2ζ 2
∆R1 1788 − 1703
∆ζ
0.06777 − 0.08989
=
≅ 4.99 % ,
=
≅ − 0.246 ,
0.08989
ζ
R1
1703
∆fn 1938 − 1987
=
≅ − 0.0247
1987
fn
Comparaison :
sensibilité
théorique
pratique
SRζ
- 5.05
- 4.93
SRfn
- 0.5
- 0.49
SRK1
0
0
1
1
Sylvain Géronimi
Page 160
Filtrage analogique
5. Influence simultanée des résistances R1 et R2
La simulation présente les tracés relatifs à la valeur nominale (1703 Ω) des résistances et à la
valeur augmentée d’environ 5 % (1788 Ω). Les fréquences de résonance et de coupure diminuent
(fréquence naturelle diminue deux fois plus que précédemment) ( SRfn = SRfn = − 0.5 ), la surtension
1
2
(coefficient d’amortissement) demeure inchangé car les effets s’annulent ( SRζ = − SRζ ), le gain K
1
du plateau demeure inchangé
( SRK1
=
SRK2
2
= 0 ) avec l’augmentation de la valeur des résistances.
20V
(1.8765K,15.751)
(1.9709K,15.752)
15V
R1 = 1788 Ω
R1 = 1703 Ω
10V
5V
0V
10Hz
(18.535,2.8202)
(3.0685K,1.9945)
(2.9230K,1.9940)
V(S)
30Hz
100Hz
300Hz
1.0KHz
3.0KHz
10KHz
Frequency
R1, R2 ( Ω)
K (Veff )
K res (Veff )
fres (Hz )
fc (Hz )
1703
2.820
15.75
1971
3069
1788
2.820
15.75
1877
2923
R1, R2 (Ω)
ζ
fn (Hz )
1703
0.08989
1987
1788
0.08989
1892
∆R1
∆f
∆K
∆ζ
1892 − 1987
≅ 4.99 % ,
= 0,
=0, n =
≅ − 0.0478
ζ
R1
K
1987
fn
Comparaison :
sensibilité
théorique
pratique
0
0
SRfn + SRfn
-1
- 0.958
SRK1 + SRK2
0
0
ζ
ζ
SR + SR
1
1
Sylvain Géronimi
2
2
Page 161
Filtrage analogique
6. Influence de la résistance R 4
La simulation présente les tracés relatifs à la valeur nominale (1820 Ω) de la résistance et à la
valeur augmentée d’environ 5 % (1911 Ω). Les fréquences de résonance et de coupure
augmentent très légèrement (fréquence naturelle inchangée) ( SRfn = 0 ), la surtension (coefficient
4
ζ
d’amortissement diminue fortement) augmente fortement ( SR ≅ − 10.1 ), le gain K du plateau
4
augmente légèrement
( SRK4
≅ 0.645 ) avec l’augmentation de la valeur des résistances.
40V
(1.9831K, 32.798)
R4 = 1911 Ω
30V
20V
(1.9709K, 15.752)
(10.798, 2.8201)
(3.0819K, 2.0582)
10V
(10.798, 2.9111)
(3.0685K, 1.9945)
R4 = 1820 Ω
0V
10Hz
V(S)
30Hz
100Hz
300Hz
1.0KHz
3.0KHz
10KHz
Frequency
R 4 (Ω)
K (Veff )
K res (Veff )
fres (Hz )
fc (Hz )
1820
2.820
15.75
1971
3069
1911
2.911
32.80
1983
3082
R 4 (Ω)
ζ
fn (Hz )
1820
0.08989
1987
1911
0.04442
1987
∆R1
∆f
∆K 2.911 − 2.82
∆ζ
0.04442 − 0.08989
≅ 4.99 % ,
=
≅ 0.0323 ,
=
≅ − 0.5058 , n = 0
K
2.82
0.08989
ζ
R1
fn
Comparaison :
sensibilité
théorique
pratique
- 10.1
- 10.1
SRfn
0
0
SRK4
0.645
0.647
ζ
SR
4
4
Sylvain Géronimi
Page 162
Filtrage analogique
Conception d’un filtre passe-haut Butterworth d’ordre 4
Le but du problème est de concevoir un filtre de Butterworth d’ordre 4. Les caractéristiques réelles
sont celles d’un filtre passe-haut de gain unité et de bande passante à – 3 dB égale à 300 Hz. La
structure à contre-réaction multiple (structure de Rauch) est choisie pour la réalisation des cellules
d’ordre 2.
Réponse de Butterworth
1. Trouvez l’expression du polynôme de Butterworth à partir du calcul des pôles de la fonction de
transfert générale, pôles vérifiant les conditions de stabilité.
2. Ecrivez la fonction de transfert dénormalisée du filtre passe-bas de pulsation de coupure ωc .
Déduisez alors l’expression du filtre passe-haut par transformation conforme.
3. Identifiez les paramètres ω n et ζ de chaque cellule à la forme canonique.
Structure à contre-réaction multiple
C4
C1
R5
C3
-
ve
R2
+
R
+
vs
Vs ( p)
en fonction des composants passifs
Ve ( p)
pour la réalisation d’une cellule passe-haut utilisant un amplificateur parfait en régime linéaire.
5. Identifiez les paramètres qui caractérisent le filtre (gain H0 , pulsation naturelle ω n , coefficient de
surtension ζ).
6. Ecrivez les expressions des sensibilités des paramètres K = H 0 , ω n et ζ en fonction des
composants passifs.
7. En supposant que les condensateurs possèdent la même valeur et si tous les composants sont
choisis à la tolérance de 1%, donnez les variations relatives de ces paramètres dans le pire cas.
Réalisation du circuit
8. Discutez de l’interaction des cellules et de la stabilité du montage.
9. En considérant les données du problème, pouvez-vous évaluer tous les composants passifs d’une
cellule ?
10. Les condensateurs C1 et C3 étant choisis à la valeur de 47 nF, évaluez les composants restants,
y compris les résistances R + qui permettent de minimiser l’influence des courants de polarisation
sur la composante continue de sortie des amplificateurs.
Sylvain Géronimi
Page 163
Filtrage analogique
Corrigé
Réponse de Butterworth
1. Expression du polynôme de Butterworth
La fonction de transfert en p s’écrit H ( p )
2
=
1
1 + (− 1) p 2n
n
.
k=2
Le carré du module étant pair ( H ( p ) = H ( − p ) ), les pôles le sont
aussi. Pour n = 4, les pôles de la fonction sont issus de l’équation
1
π⎞
⎛π
j ⎜ +k ⎟
4⎠
⎝8
=
π⎞
π⎞
⎛π
⎛π
cos⎜ + k ⎟ + j sin⎜ + k ⎟
4⎠
4⎠
⎝8
⎝8
répartis sur le cercle de rayon unité (constellation).
1 + p 8 = 0 , soit p = (− 1) 8 = e
k=1
k=3
k=0
k=7
k=4
k=5
k=6
La stabilité impose de retenir les pôles à partie réelle négative, donc situés à gauche de l’axe
imaginaire, c’est-à-dire
⎛ 5π ⎞
⎛ 5π ⎞
k = 2, 5 → p = cos⎜
⎟ ± j sin⎜
⎟ ≅ − 0.383 ± j 0.924
⎝ 8 ⎠
⎝ 8 ⎠
d’où (p 2 + 0.766 p + 1)(p 2 + 1.848 p + 1)
⎛ 7π ⎞
⎛ 7π ⎞
k = 3, 4 → p = cos⎜
⎟ ± j sin⎜
⎟ ≅ − 0.924 ± j 0.383
⎝ 8 ⎠
⎝ 8 ⎠
2. Ecriture du filtre passe-bas dénormalisé
La dénormalisation s’effectue par rapport à la pulsation de coupure à – 3 dB du filtre du 4° ordre :
1
1
2
2
(p + 0.766 p + 1) (p + 1.848 p + 1)
p→
p
⎯⎯ ⎯⎯→
Transformation passe-bas en passe-haut :
1
1
⎛
⎞
0.766
⎜⎜
+
p + 1⎟⎟
2
ω
ω
c
⎝ c
⎠
p2
⎛
⎞
1.848
⎜⎜
+
p + 1⎟⎟
2
ω
ω
c
⎝ c
⎠
p2
ωc
p
ωc
p2
→
p2
ωc
ωc2
ωc2
p
⎞
⎛ p 2 0.766
⎜⎜
p + 1⎟⎟
+
2
ω
ω
c
⎠
⎝ c
⎞
⎛ p 2 1.848
⎜⎜
p + 1⎟⎟
+
2
ω
ω
c
⎠
⎝ c
cellule 1 : ωn ≡ ωc ,
2ζ
0.766
, soit ωn = 2π 300 rad / s , ζ = 0.383
ωn
ωc
2ζ 1.848
cellule 2 : ωn ≡ ωc ,
≡
, soit ωn = 2π 300 rad / s , ζ = 0.924
ωn
ωc
≡
Structure à contre-réaction multiple
H ( p) = −
C1 C3 p 2
1
R5
Sylvain Géronimi
⎛
⎞
1
⎜⎜ C1 p +
+ C3 p + C 4 p ⎟⎟ + C3 C 4 p 2
R
2
⎝
⎠
=−
Page 164
R2 R5 C1 C3 p 2
1 + R2 (C1 + C3 + C 4 ) p + R2 R5 C3 C 4 p 2
Filtrage analogique
p2
H ( p) = −
p2
R 2 R5 C3 C 4
C1
C 4 1 + R2 (C1 + C3 + C 4 ) p + R2 R5 C3 C 4 p 2
avec H 0 = −
C1
, ωn =
C4
1
R 2 R 5 C3 C 4
, ζ =
ωn2
2ζ
p2
1+
p+
ωn
ωn2
C1 + C3 + C 4
R2
2
R 5 C3 C 4
K=
C1
dK dC1 dC 4
⇒ log K = logC1 − logC 4 ⇒
⇒ SCK1 = − SCK4 = 1
=
−
C4
K
C1
C4
1
ωn =
R 2 R5 C 3 C 4
dω n
ωn
dR5 dC3 dC 4
1 ⎛ dR
= − ⎜⎜ 2 +
+
+
2 ⎝ R2
R5
C3
C4
⎞
⎟
2
5
3
4
⎠
C1 + C3 + C 4
R2
2
R 5 C3 C 4
ζ =
⇒
⇒
dζ
=
ζ
⎛
C3
C4
1 ⎞ dC 4 ⎛
1⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜C +C +C − 2⎟ + C ⎜C +C +C − 2⎟
3
4
4 ⎝ 1
3
4
⎝ 1
⎠
⎠
C3
C4
1
1
=
− , SCζ =
−
4
C1 + C3 + C 4 2
C1 + C3 + C 4 2
dC3
C1
1 dR 2 1 dR5 dC1
−
+
+
2 R 2 2 R5
C1 C1 + C3 + C 4
C3
⇒ SRζ = − SRζ = 0.5 , SCζ =
2
5
1
C1
, SCζ
3
C1 + C3 + C 4
Les condensateurs C1 et C 4 sont les seuls composants passifs à influencer le gain K. Les
sensibilités sur les paramètres ω n et ζ sont inférieures à l’unité, ce qui est une bonne chose.
7. Etude du pire cas
Avec des condensateurs de même valeur et des tolérances de composants identiques
∆R ∆C
(
=
= ± 1% ), les variations relatives sont les suivantes (approche linéaire) :
R
C
∆ωn 1 ⎛ ∆R
∆C ⎞
∆K ∆C1 ∆C 4
∆C
∆ζ
∆R 2 ∆C
= ⎜2
+2
=
+
=2
= ± 2% ,
=
+
= ± 1.67%
⎟ = ± 2% ,
ζ
R
3 C
2⎝ R
K
C1
C4
C
ωn
C ⎠
Réalisation du circuit
8. Discussion
La fonction de transfert en tension du filtre du 4° ordre est égale au produit des fonctions de
transfert des cellules sous la condition d’adaptation en tension (pas d’atténuation de tension entre
cellules). Cette condition est réalisée par la présence, sur l’amplificateur, d’une contre-réaction
tension courant qui réduit fortement la résistance de sortie de la cellule (topologie parallèle en
sortie de montage).
La stabilité est satisfaisante puisque les coefficients d’amortissement sont positifs. Cela avait déjà
été conditionné par le choix des racines à partie réelle négative du polynôme de Butterworth,
racines complexes conjuguées de la forme − ζω n ± jωn 1 − ζ 2 avec la normalisation ω n = 1 ,
d’où des valeurs de 0.383 et 0.924 pour ζ.
Sylvain Géronimi
Page 165
Filtrage analogique
9. Conditionnement du problème
bilan montre 3 équations écrites précédemment pour 8 inconnues C1, R2 , C3 , C 4 , R5 et H 0 , ωn , ζ .
Il est donc nécessaire d’introduire 5 données afin d’évaluer tous les composants d’une cellule :
- 3 données issues du cahier des charges
ωn = 2π 300 rad / s , ζ = 0.383 ou ζ = 0.924 , K = H 0 = 1 ,
-
2 données issues de valeurs de composants passifs prises de façon arbitraire.
10. Calcul des résistances
Ici, les valeurs de composants passifs prises de façon arbitraire sont C1 = C3 = 47 nF . La
résolution du système linéaire fournit les valeurs
cellule 1 : C 4 = 47 nF , R2 = 2.88 kΩ , R5 = 44.2 kΩ
cellule 2 : C 4 = 47 nF , R2 = 6.95 kΩ , R5 = 18.3 kΩ
Afin de minimiser l’influence des courants de polarisation sur la composante continue de sortie, il
faut équilibrer les entrées par rapport à la masse. La source dynamique étant éteinte, les
condensateurs assimilés à des circuits ouverts et le potentiel de sortie souhaité à la masse, alors
la topologie montre que R + = R5 .
Simulation
10
(300.454, -3.0038)
0
cellule 1 : ζ = 0.383
gain unité
(215.444, -3.0547)
cellule 2 : ζ = 0.924
(419.008, -2.9918)
-10
-20
filtre complet
-30
-40
100Hz
DB(V(S1))
DB(V(S2))
300Hz
DB(V(S))
1.0KHz
3.0KHz
10KHz
Frequency
Les deux cellules possèdent le même diagramme asymptotique car mêmes pulsations naturelles
ωn et leurs fréquences de coupure à – 3 dB est fournie par la relation
fc = f n 2 ζ 2 − 1 +
Sylvain Géronimi
( 2 ζ 2 − 1)2 + 1 , soit
fc1 ≅ 216 Hz et fc2 ≅ 417 Hz .
Page 166
Filtrage analogique
Filtre passe-bande à contre-réaction multiple (structure de Rauch) à sensibilité
améliorée
L’étude porte sur le filtre représenté ci-dessous, utilisant deux amplificateurs de tension parfaits en
régime linéaire.
C
R3
1u
100k
R1
C
80k
1u
R2
ve
+
15.9
R4
U1
vs1
100k
135k
4.7k
+
R
10k
U2
vs2
-
αR
1. Ecrivez l’expression de la fonction de transfert H1( p ) =
Vs1 ( p )
.
Ve ( p )
2. Vu l’expression trouvée, précisez le type de filtre. Vérifiez par l’examen du comportement en
fréquence du circuit.
3. Ecrivez les expressions des paramètres qui caractérisent le filtre (gain H10 , pulsation naturelle
ωn , bande passante à -3 dB ∆ω , coefficient de qualité Q). Commentez ces résultats.
4. Effectuez la même démarche pour la fonction de transfert H 2 ( p ) =
Vs2 ( p )
Ve ( p )
et commentez.
5. Discutez de la stabilité du montage suivant la valeur de α.
6. Si l’on prend α = 1 et en constatant que la résistance R 2 possède une valeur très faible devant
celles des autres résistances, évaluez les paramètres du filtre.
7. Si R 4 → ∞ , quelle topologie connue retrouvez-vous ? Comparez ses performances aux
performances générales précédemment obtenues.
Sylvain Géronimi
Page 167
Filtrage analogique
Corrigé
1. Expression de la fonction de transfert H1( p )
Soit A le nœud commun à R2 , R 4 , C.
⎧Vs2 ( p ) = − α Vs1 ( p ) (inverseur U 2 )
⎪
Vs ( p )
Ve ( p )
⎪
+ CpVs1 ( p ) + 2
⎪
R1
R4
⎪VA ( p ) =
Ve ( p ) ⎛
α ⎞
1
1
1
⎪
⎟Vs ( p )
+ ⎜⎜ Cp −
+
+
+ 2Cp
⎪⎪
Vs1 ( p )
R1
R 4 ⎟⎠ 1
R1 R2 R 4
⎝
⇒ −
=
⎨
1
1
1
R3C p
Vs1 ( p )
⎪
+
+
+ 2Cp
CpVA ( p ) +
R
R
R
⎪
1
2
4
R3
−
⎪V ( p ) =
1
⎪
Cp +
⎪
R3
⎪
⎪⎩V + ( p ) = V − ( p ) = 0
Vs1 ( p )
Ve ( p )
=−
R3C p
1
R1 1
R ⎞
1
1 ⎛
+
+
+ ⎜ 2 − α 3 ⎟⎟ C p + R3C 2 p 2
R1 R2 R 4 ⎜⎝
R4 ⎠
⎛
R ⎞
⎜⎜ 2 − α 3 ⎟⎟ C
R4 ⎠
⎝
p
1
1
1
+
+
R3
R1 R2 R 4
H1( p ) = −
⎛
⎛
R ⎞
R ⎞
⎜⎜ 2 − α 3 ⎟⎟ R1
⎜⎜ 2 − α 3 ⎟⎟ C
R
R
R3C 2
4 ⎠
4 ⎠
⎝
1+ ⎝
p+
p2
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
R1 R2 R 4
R1 R2 R 4
2. Identification du type de filtre
Le type de filtre est un passe-bande. Aux très basses fréquences, les condensateurs sont
assimilés à des circuits ouverts et v s1 = 0 . Aux très hautes fréquences, les condensateurs sont
assimilés à des courts-circuits et v s1 = v + = 0 .
3. Paramètres du filtre
H 01 = −
R3
⎛
R ⎞
⎜⎜ 2 − α 3 ⎟⎟ R1
R
4 ⎠
⎝
1
, ωn =
C
R3
1
1
1
+
+
R1 R2 R 4
ω
,Q= n =
∆ω
⎛ 1
1
1 ⎞
R
⎟⎟
R3 ⎜⎜
+
+
2 −α 3
R
R
R
R4
2
4 ⎠
⎝ 1
, ∆ω =
R3
R3 C
2 −α
R4
La résistance R2 règle la fréquence centrale fn indépendamment du gain H 01 et de la largeur de
bande ∆f à – 3 dB.
Sylvain Géronimi
Page 168
Filtrage analogique
4. Fonction de transfert H 2 ( p )
H 2 ( p) =
Vs2 ( p )
Ve ( p )
=
Vs2 ( p ) Vs1 ( p )
Vs1 ( p ) Ve ( p )
= − α H1( p )
Le gain à l’accord est multiplié par α et il n’y a pas d’inversion de phase entrée/sortie
α R3
H 02 =
⎛
R ⎞
⎜⎜ 2 − α 3 ⎟⎟ R1
R
4 ⎠
⎝
5. Stabilité du montage
Stabilité pour 2 − α
R3
2R 4
> 0 , soit α <
= 2 .7
R4
R3
Pour α = 1 et R2 << R1 et R 4 , alors ωn ≅
1
C R 2 R3
fn ≅ 126 Hz , ∆f ≅ 2 Hz , H 02 = − H 01 ≅ 1 , Q ≅ 63
7. Discussion sur les performances
Si R 4 → ∞ , la topologie devient une structure de Rauch classique, suivie d’un inverseur de gain
unité. La fréquence centrale demeure inchangée, mais les autres paramètres deviennent figés
alors que les performances précédentes montrent, entre autre, une bande passante très étroite ou
une forte surtension suivant la valeur de α , grâce au bouclage du second amplificateur.
20
(125.512, 10.456)
(125.837, 7.4388)
(125.244, 7.4701)
(125.512, -83.762m)
0
(125.512, -4.0932)
(126.512, -2.9835)
(124.573, -2.9929)
α = 2.2, K = 3.33, Q = 213
α = 1, K = 1, Q = 65
R4 = ∞, K = 0.624, Q = 40
-20
(127.124, -7.0963)
(123.981, -7.0837)
-30
100Hz
Sylvain Géronimi
DB(V(S1))
160Hz
Frequency
Page 169
Filtrage analogique
Filtre passe-bande à INIC
Une première étude porte sur le montage représenté ci-dessous, utilisant un amplificateur de tension
parfait en régime linéaire.
αR
i0
-
v0
+
R
Z
1. Ecrivez l’expression de l’impédance d’entrée Z 0 = v 0 / i 0 et concluez sur l’intérêt du montage.
Le montage précédent est intégré au sein du circuit de la figure suivante.
R1
C1
+
-
ve
+
αR
R
R2
C2
-
U2
vs
U1
Vs ( p)
.
Ve ( p)
Vu l’expression trouvée, identifiez le type de filtre. Vérifiez par l’examen du comportement en
fréquence du circuit.
Ecrivez les expressions des paramètres qui caractérisent le filtre (gain H0 , pulsation naturelle ω n ,
coefficient de qualité Q, bande passante à -3 dB ∆ω ). Commentez ces résultats.
En choisissant R1 = R2 = R et C1 = C2 = C , discutez de la stabilité du montage suivant la valeur
de α.
Expliquez la présence de l’amplificateur U 2 .
2. Ecrivez l’expression de la fonction de transfert H ( p) =
3.
4.
5.
6.
7. Evaluez les paramètres K = H 0 et Q pour α = 1 et 1.95 .
Sylvain Géronimi
Page 170
Filtrage analogique
Corrigé
1. Expression de l’impédance d’entrée Z 0
V0 ( p ) − Vs ( p )
⎧
⎪I 0 ( p ) =
αR
⎪⎪
+
−
⎨V ( p ) = V ( p ) = V0 ( p )
⎪
Z( p)
⎪V + ( p ) =
Vs ( p )
Z( p) + R
⎩⎪
⇒ I0 ( p) =
V0 ( p ) ⎡ Z ( p ) + R ⎤
1−
⎥
α R ⎢⎣
Z( p) ⎦
⇒ Z0 ( p) =
V0 ( p )
= − α Z( p)
I0 ( p)
Ce montage ramène l’impédance Z en entrée, changée de signe et proportionnelle à α
(convertisseur d’impédance négative).
2. Expression de la fonction de transfert H (p )
L’amplificateur U 2 , monté en suiveur, présente une haute impédance d’entrée. Le transfert en
tension est produit par un pont d’impédances Z1( p ) = R1 +
− α R2
1
, − α Z2 ( p) =
.
C1 p
1 + R2 C2 p
Vs ( p )
− α Z2 ( p)
− α R2C1 p
=
=
Ve ( p ) Z1( p ) − α Z 2 ( p ) (1 + R1C1 p )(1 + R2C2 p ) − α R2C1 p
H ( p) =
− α R2C1 p
1 + (R1C1 + R2C2 − α R2C1 )p + R1R2C1C2 p 2
1 p
Q ωn
.
La fonction de transfert en tension est de la forme H (p ) = 2
p
1 p
+
+1
ωn2 Q ωn
Le type de filtre est un passe-bande. Aux très basses fréquences, les condensateurs sont
assimilés à des circuits ouverts et rien ne passe à l’entrée de l’amplificateur U1 . Aux très hautes
fréquences, les condensateurs sont assimilés à des courts-circuits et l’entrée de l’amplificateur
U 2 est à la masse.
4. Expressions des paramètres du filtre
H ( p) =
(R1C1 + R2C2 − α R2C1 )p
− α R2C1
R1C1 + R2C2 − α R2C1 1 + (R1C1 + R2C2 − α R2C1 )p + R1R2C1C2 p 2
H0 =
R1R2C1C2
− α R2C1
1
, ωn =
,Q=
,
R1C1 + R2C2 − α R2C1
R
C
+
R1R2C1C 2
1 1 R 2C 2 − α R 2C1
∆ω =
R1C1 + R2C2 − α R2C1
R1R2C1C2
Si la résistance α R est ajustable, celle-ci modifie tous les paramètres, excepté la pulsation
centrale ωn du filtre.
Sylvain Géronimi
Page 171
Filtrage analogique
5. Stabilité du montage
R1 = R2 = R , C1 = C2 = C ⇒ H ( p ) =
1
− α RC p
avec 2ζ = = 2 − α (α ≥ 0)
Q
1 + (2 − α )RC p + R 2C 2 p 2
Le système est stable pour ζ > 0 , soit 0 ≤ α < 2 ; oscillateur pour ζ = 0 , soit α = 2 ; instable
pour ζ < 0 , soit α > 2 .
6. Présence de l’amplificateur U 2
L’amplificateur U 2 , monté en suiveur, sert de buffer (résistance d’entrée très élevée et résistance
de sortie très faible par la contre-réaction tension-tension totale). Ainsi, la sortie du filtre est
adaptée en tension et indépendante de la fréquence.
7. Evaluation de paramètres du filtre
40
(1.0574K, 31.700)
(1.0841K, 28.748)
(1.0311K, 28.748)
R1 = R2 = 15 kΩ
20
C1 = C2 = 10 nF
α = 1.95, K = 39, ∆f = 53 Hz
(1.0579K, 9.529)
K = α /(2-α)
α = 1.5, K = 3, ∆f = 531 Hz
0
(1.0539K, -9.868m)
(1.7120K, -3.0148)
(654.992, -3.0167)
-20
α = 1, K = 1, ∆f = 1057 Hz
-40
100Hz
Sylvain Géronimi
DB(V(s))
300Hz
1.0KHz
3.0KHz
10KHz
Frequency
Page 172
Filtrage analogique
Filtre passe-tout (déphaseur pur) du premier ordre
Le montage représenté ci-dessous, utilise un amplificateur de tension parfait en régime linéaire.
R
10k
R
-
10k
s
R
ve
+
10k
vs
C
Vs ( p)
.
Ve ( p)
2. Tracez le module H ( jω ) et l’argument ϕ = arg[H ( jω )] en fonction de log(ω ) .
3. Ecrivez l’expression du retard (temps de propagation) de groupe τ = −
dϕ
et tracez sa variation
dω
en fonction de log(ω ) .
4. Evaluez le composant C tel que τ = 1 ms et donnez la plage de fréquences correspondante.
Formulaire :
d
f '(x)
arctg [f ( x )] =
dx
1 + f ( x )2
Corrigé
1
⎧ +
⎪V ( p ) = 1 + RCp Ve ( p )
⎪
⎪ +
−
⎨V ( p ) = V ( p )
⎪
V ( p ) + Vs ( p )
⎪V − ( p ) = e
2
⎪⎩
V ( p ) 1 − RCp
=
⇒ s
Ve ( p ) 1 + RCp
1−
d’où H ( p ) =
1+
p
ωn
p
avec ωn =
1
RC
ωn
2. Tracés du module et de l’argument ( p = jω )
ω
ωn
H ( jω ) =
ω
1+ j
ωn
1+
1− j
⇒ H ( jω ) =
ω → 0 ⇒ ϕ → 0 , ω = ωn ⇒ ϕ = −
1+
π
2
ω2
ω n2
2
ω
ω n2
⎛ ω
= 1 (0 dB ) et ϕ = arg[H ( jω )] = − 2 arctg ⎜⎜
⎝ ωn
⎞
⎟⎟
⎠
, ω → ∞ ⇒ ϕ → − π (voir tracés)
3. Retard
Sylvain Géronimi
Page 173
Filtrage analogique
τ =2
d ⎛
ω
⎜ arctg
dω ⎜⎝
ωn
⎞
2
1
⎟⎟ =
ω
ω2
n
⎠
1+ 2
ωn
ω → 0 ⇒τ →
2
ωn
, ω = ωn ⇒ τ =
1
ωn
, ω → ∞ ⇒τ → 0
(voir tracé)
4. Evaluation de C
τ =
2
ωn
= 2 R C ⇒ C = 50 nF et fn ≅ 318 Hz
Le retard est à peu près constant pour f ∈ [0, 100 Hz ] (voir tracé)
2.0
(318.339, -263.144u)
0
-2.0
0d
DB(V(s))
(318.339, -90.013)
-90d
-180d
2.0ms
arg (V(s))
(318.339, 500.078u)
1.0ms
0s
1.0Hz
τ (V(s))
Sylvain Géronimi
10Hz
100Hz
1.0KHz
10KHz
100KHz
Frequency
Page 174
Filtrage analogique
Filtre passe-tout (déphaseur pur) du second ordre
Le montage représenté ci-dessous, utilise un amplificateur de tension parfait en régime linéaire.
R2
C2
10k
C1
R1
-
10k
Ra
+
vs
ve
Rb
10k
Vs ( p)
en posant K = Ra Rb .
Ve ( p)
2. Déterminez l’expression de K telle que le montage soit un déphaseur pur de fonction de transfert
2ζ
p2
1−
p+ 2
ωn
ωn
1
H ( p) =
.
1+ K
2ζ
p2
1+
p+ 2
ωn
ωn
3. Ecrivez les expressions des paramètres ωn et ζ .
4. Tracez le module H ( jω ) et l’argument ϕ = arg[H ( jω )] en fonction de log(ω ) .
5. Ecrivez l’expression du retard (temps de propagation) de groupe τ = −
dϕ
.
dω
Un retard sensiblement constant est souhaité sur une plage de fréquences donnée.
6. En prenant comme condition τ (ωn ) = τ (0) 2 , évaluez le paramètre ζ puis déduisez les valeurs
des composants passifs C1 , C2 et Ra tel que τ = 1 ms .
7. Tracez la variation du retard en fonction de log f et donnez la plage de fréquences correspondant
à un retard à peu près constant.
Formulaire :
d
f '(x)
arctg [f ( x )] =
dx
1 + f ( x )2
Sylvain Géronimi
Page 175
Filtrage analogique
Corrigé
Soit A le nœud commun à R1 , R2 , C1
1
⎧ +
⎪V ( p ) = 1 + K Ve ( p )
⎪
VA ( p )
⎪
+ C2 pVs ( p )
⎪ −
R1
⎪V ( p ) =
1
⎪
+ C2 p
⎪
R1
⎨
⎪V + ( p ) = V − ( p )
⎪
⎪
V ( p) V − ( p)
+
C1pVe ( p ) + s
⎪
R2
R1
⎪VA ( p ) =
1
1
⎪
C1p +
+
⎪
R2 R1
⎩
⇒
Vs ( p )
1 1 + [(R1 + R2 )C2 − K R2C1 ] p + R1R2C1C 2 p 2
=
Ve ( p ) 1 + K
1 + (R1 + R2 )C2 p + R1R2C1C2 p 2
2. Expression de K
Déphaseur pur si (R1 + R2 )C2 − K R2C1 = − (R1 + R2 )C2 ⇒ K =
2 (R1 + R2 )C2
R2C1
3. Expression des paramètres
ωn =
1
R1 R2 C1C2
, ζ =
C2
R1 + R2
R1 R2 C1
2
4. Tracés du module et de l’argument ( p = jω )
H ( p) =
1
1+ K
1−
1+
2ζ
ωn
p+
p2
ωn2
2
2ζ
p
p+ 2
ωn
ωn
⎛
⎜ 2ζ ω
⎜
ωn
1
⇒ H ( jω ) =
(constant) et ϕ = arg[H ( jω )] = − 2 arctg ⎜
2
1+ K
⎜ 1− ω
⎜
ωn2
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
ω → 0 ⇒ ϕ → 0 , ω = ωn ⇒ ϕ = − π , ω → ∞ ⇒ ϕ → − 2 π (voir tracés)
5. Retard
⎛
⎜ 2ζ ω
⎜
ωn
d
τ =2
arctg ⎜
2
dω
ω
⎜ 1−
⎜
ω n2
⎝
ω → 0 ⇒τ →
Sylvain Géronimi
4ζ
ωn
⎞
⎟
⎟ 4ζ
⎟=
⎟ ωn
⎟
⎠
1+
ω2
ωn2
2
2
⎛ ω2 ⎞
⎜1 −
⎟ + 4ζ 2 ω
⎜ ω2 ⎟
ωn2
n ⎠
⎝
, ω = ωn ⇒ τ =
2
ζ ωn
, ω → ∞ ⇒τ → 0
Page 176
(voir tracé)
Filtrage analogique
6. Evaluation de ζ et des composants
Condition τ (ωn ) =
τ (0 )
2
⇒
2
ζ ωn
En posant R = R1 = R 2 , ωn =
⎧
τ2
⎪C1C2 =
⎪
4ζ 2R 2
d’où ⎨
⎪C = C2
⎪ 1
2
⎩
4ζ
=
2 ωn
1
R C1C2
d’où ζ ≅ 0.841 .
avec τ =
4ζ
ωn
, ζ =
C2
4 C 2 Ra
et K =
=
C1
C1
Rb
⇒ C1 ≅ 35.4 nF , C2 = 25 nF
et K ≅ 2.83 (- 11.6 dB), Ra ≅ 28.3 kΩ ( fn ≅ 535 Hz )
7. Tracé du retard
-10
(534.963, -11.632)
-11
-12
-13
0d
DB (V(s))
(534.963, -180.001)
-180d
-360d
2.0ms
arg (V(s))
(301.834, 965.935u)
(534.963,706.750u)
1.0ms
0s
1.0Hz
τ (V(s))
10Hz
100Hz
1.0KHz
10KHz
100KHz
Frequency
Le retard est à peu près constant sur une plage de 0 à 300 Hz.
Sylvain Géronimi
Page 177
Filtrage analogique
Filtre coupe-bande (réjecteur) à deux amplificateurs de tension
L’étude porte sur le filtre présenté ci-dessous, utilisant deux amplificateurs de tension idéaux en
régime linéaire.
R3
100k
R2
-
100k
R1
ve
+
100k
C1
68n
-
+
Zeq
R4
33k
vs
U1
U2
C2
68n
R5
68k
1. Ecrivez l’expression de l’impédance équivalente Z eq constituée par les éléments C1, C2, R4, R5,
U2.
2. Montrez que l’impédance trouvée est de la forme Z eq = R + Lp +
3. Ecrivez l’expression de la fonction de transfert H ( p ) =
1
.
Cp
Vs ( p )
.
Ve ( p )
4. En constatant que R1 = R 2 = R3 ≅ R , identifiez le type de filtre et évaluez ses caractéristiques
principales.
5. Tracez la réponse en fréquence de la fonction dans le plan de Bode (module et argument).
Sylvain Géronimi
Page 178
Filtrage analogique
Corrigé
1. Expression de l’impédance équivalente
L’amplificateur U 2 est monté en suiveur. Le condensateur C1 étant en série avec l’entrée du
montage, le calcul porte sur l’impédance d’entrée vue par la tension v + .
⎧ 1
I ( p ) = R 4 I e ( p ) car V + ( p ) = V − ( p )
⎪
⎨C2 p
⎪V + ( p ) = R I ( p ) + R [I ( p ) + I ( p )]
4 e
5 e
⎩
C1
ie
+
U2
⇒
R4
ve
C2
i
R5
V + ( p)
= R 4 + R5 + R 4 R5 C 2 p
Ie ( p)
d’où Z eq =
1
+ R 4 + R5 + R 4 R5 C 2 p
C1 p
2. Identification des éléments
R = R 4 + R5 , L = R 4 R5 C2 et C = C1
R3
⎧
⎪ +
−
⎪V ( p ) = V ( p )
⎪⎪
Z eq ( p )
Ve ( p )
⎨V + ( p ) =
Z
eq ( p ) + R1
⎪
⎪
R3
R2
⎪V − ( p ) =
Vs ( p )
Ve ( p ) +
R 2 + R3
R 2 + R3
⎩⎪
100k
R2
-
100k
R1
ve
+
100k
vs
U1
Zeq
⇒ H ( p) =
Vs ( p )
=
Ve ( p )
R1 R3
R2
Z eq ( p ) + R1
Z eq ( p ) −
⎛
R R ⎞
LC1 p 2 + ⎜⎜ R − 1 3 ⎟⎟ C1 p + 1
R2 ⎠
⎝
d’où H ( p ) =
LC1 p 2 + (R + R1 )C1 p + 1
ω2
ω
+j
ω02
ω1
H ( jω ) =
ω2
ω
1− 2 + j
ω0
ω2
1−
Sylvain Géronimi
avec ω0 =
1
LC1
, ω1 =
1
⎛
R R
⎜⎜ R − 1 3
R2
⎝
Page 179
⎞
⎟⎟C1
⎠
et ω2 =
1
(R + R1 )C1
Filtrage analogique
R1 R3
R2
<1
R + R1
R−
Pour ω << ω0 et ω >> ω0 , H ( jω ) → 1 , pour ω = ω0 , H ( jω0 ) =
C’est donc un filtre réjecteur symétrique de gain unité, centré sur ωrej = ω0 et de largeur relative
de bande de réjection
∆ω
ω0
C1
(R1 + R4 + R5 ) . L’évaluation des caractéristiques donnent :
R 4 R5 C 2
=
frej = 49.4 Hz avec atténuation de 1 201 soit – 46 dB, ∆f = 209.6 Hz , Q = 0.236 .
5. Tracés dans le plan de Bode
2
H ( jω ) =
⎛ ω2 ⎞
ω2
⎜1 −
⎟
⎜ ω2 ⎟ + ω2
0 ⎠
1
⎝
2
⎛ ω2 ⎞
ω2
⎜1 −
⎟
⎜ ω2 ⎟ + ω2
0 ⎠
2
⎝
ω
ω
ω2
ω2
− arctg
et arg[H ( jω )] = arctg
ω2
ω2
1− 2
1− 2
ω0
ω0
100d
(49.4 Hz,0 d)
f0 = 49.4 Hz
0d
-100d
Arg(V(s))
0
∆f = 209,6 Hz
-25
(11.1 Hz,-3 dB)
(220.7 Hz,-3 dB)
f0 = 49.4 Hz
(49.4 Hz,-46 dB)
Q = 0.236
-50
1.0Hz
DB(V(s))
3.0Hz
10Hz
30Hz
100Hz
300Hz
1.0KHz
Frequency
Sylvain Géronimi
Page 180
Filtrage analogique
Filtre réjecteur à variable d’état
L’étude porte sur le filtre représenté ci-dessous, utilisant trois amplificateurs de tension parfaits en
régime linéaire.
C
R
S2
C
+
U2
R
R
R1
C
E
R1
-
ve
R2
S1
+
U1
R3
-
S3
R2
+
U3
L’étude de ce filtre s’effectuera en deux étapes : étude du sous-circuit encadré en pointillé, puis étude
du circuit complet.
Etude du sous-circuit
1. Donnez l’écriture de la fonction de transfert H1( p ) =
VS1 ( p )
VE ( p )
2. Vu l’expression trouvée, précisez le type de filtre et écrivez les expressions des paramètres qui le
caractérisent.
Etude du circuit complet
3. Donnez l’écriture de la fonction de transfert H ( p ) =
VS3 ( p )
VE ( p )
4. Précisez le type de filtre obtenu et écrivez les expressions des paramètres qui le caractérisent.
Commentez ces résultats.
5. Citez les données manquantes que réclame le conditionnement du problème. Combien de valeurs
arbitraires de composants passifs faut-il prendre si les caractéristiques réelles du filtre sont
données (gain, …).
Sylvain Géronimi
Page 181
Filtrage analogique
Corrigé
Etude du sous-circuit
1. Expression de la fonction de transfert H1( p )
Le théorème de Millman appliqué aux nœuds A d’entrée des AOI donne :
⎧
⎛
Ve ( p )
1 ⎞ Vs2 ( p )
⎟⎟ +
+ Vs1 ( p ) ⎜⎜ Cp +
⎪
R
R
R
1
1⎠
⎝
⎪0 =
⎪
2
1
+ + Cp
⎪⎪
R1 R
⎨
Vs1 ( p )
⎪
⎪Vs ( p )Cp
2
R
⎪
=
1
⎪ 1 + Cp
+ Cp
⎪⎩ R
R
Vs1 ( p )
Ve ( p )
⎧Ve ( p )
⎛
1 ⎞ Vs2 ( p )
⎟+
+ Vs1 ( p ) ⎜⎜ C p +
=0
⎪
R1 ⎟⎠
R
⎪ R1
⎝
⇒ ⎨
Vs1 ( p )
⎪
⎪Vs2 ( p ) = RC p
⎩
R 2C
p
R1
=−
1+
R 2C
p + R 2C 2 p 2
R1
2. Type et paramètres du filtre
Le type de filtre est un passe-bande de la forme H1( p ) = H 01
avec H 01 = − 1 , ωn =
2ζ
p
ωn
2ζ
p2
1+
p+ 2
ωn
ωn
ω
R
1
1
1
,Q=
= n = 1 ⇒ ∆ω =
RC
2ζ
∆ω R
R1C
Etude du circuit complet
3. Expression de la fonction de transfert H ( p ) =
VS3 ( p )
VE ( p )
Le montage sommateur inverseur donne : Vs3 ( p ) = −
Vs3 ( p )
Ve ( p )
=−
R3
R2
[
]
R3
R
Ve ( p ) + Vs1 ( p ) = − 3 [1 + H1( p )]Ve ( p )
R2
R2
1 + R 2C 2 p 2
1+
R 2C
p + R 2C 2 p 2
R1
4. Type et paramètres du filtre
1+
Le type de filtre est un passe-bande coupe-bande de la forme H ( p ) = H 0
1+
Sylvain Géronimi
Page 182
2ζ
ωn
p2
ωn2
p+
p2
ω n2
Filtrage analogique
avec H 0 = −
R3
1
1
, ωn =
≡ ωrej , ∆ω =
R2
RC
R1C
Le réglage de la fréquence de réjection et de la largeur de bande à – 3 dB peut être réalisé de
façon indépendante par l’action sur l’ensemble des résistances R et R1 respectivement., la valeur
du gain étant indépendante de ces paramètres.
5. Conditionnement du problème
bilan montre 3 équations écrites précédemment pour 8 inconnues R1, R2 , R3 , R, C et H 0 , ωn , ∆ω .
Il est donc nécessaire d’introduire 5 données afin d’évaluer tous les composants du filtre.
Si les caractéristiques réelles du filtre sont données ( H 0 , ω n , ∆ω ), alors 2 valeurs de composants
passifs seront prises de façon arbitraire.
Simulation
20
(47.556, 16.999)
(52.565, 16.999)
(52.557, -3.0002)
(47.564, -3.0002)
-0
-20
-40
R2 = 10 kΩ
(50.004, -32.100)
(77.545, -23.009)
C = 1 µF
arbitraire
-60
10Hz
DB(V(S3))
Sylvain Géronimi
DB(V(S1))
30Hz
DB(V(S2))
100Hz
300Hz
Frequency
Page 183
Filtrage analogique
Filtre universel
A partir du schéma de principe, on étudiera le filtre universel à quatre sorties qui met en œuvre un
additionneur soustracteur, un additionneur et deux intégrateurs.
Le but est de réaliser un filtre réjecteur symétrique de gain unité, de fréquence de réjection 50 Hz, de
largeur de bande 2.5 Hz à -3 dB et un filtre passe-bande de gain unité.
Schéma de principe
S1
-K1
E
-K4
+
K2
-K3
S4
+
-ω1/p
-K5
S2
-ω2/p
S3
1. Ecrivez les équations issues du schéma.
2. Identifiez les fonctions de transfert écrites sous la forme canonique du second ordre et donnez les
expressions de ζ et ωn .
Réalisation du filtre
R6
R5
R7
U1
10k
R1
10k
U2
-
Ve
C1
R2
C2
100n
U3
-
-
S1
+
S3
S2
+
100n
+
+
R4
R9
R3
R10
R8
U4
-
10k
S4
+
3. Identifiez les éléments du montage à ceux du schéma de principe.
4. Les deux intégrateurs étant identiques et l’influence des courants de polarisation sur la
composante continue du signal de sortie de U1 étant minimisée, calculez les valeurs manquantes
de résistances.
Sylvain Géronimi
Page 184
Filtrage analogique
Corrigé
Schéma de principe
1. Equations issues du schéma
VS1 ( p ) = −K1 VE ( p ) + K 2 VS2 ( p ) − K 3 VS3 ( p ) , VS2 ( p ) = −
ω1
p
VS1 ( p ) , VS3 ( p ) = −
ω2
p
VS2 ( p ) ,
VS4 ( p ) = −K 4 VS1 ( p ) − K 5 VS3 ( p )
2. Identification des fonctions de transfert
2ζ
p
VS2 ( p ) K1
ωn2
ωn
(filtre passe-haut),
(filtre passe-bande)
= −K1 2
=
p
2ζ
VE ( p )
VE ( p ) K 2 p 2 2 ζ
+
p +1
+
p +1
ωn2 ωn
ω n2 ωn
p2
VS1 ( p )
p2
VS3 ( p )
K
=− 1 2
VE ( p )
K3 p
ωn2
1
2ζ
+
ωn
avec ωn = K 3 ω1 ω2
(filtre passe-bas),
p +1
ζ =
et
K2
2
VS4 ( p )
VE ( p )
= K1 K 4
K5
K3 K 4
(filtre réjecteur)
p2 2ζ
+
p +1
ωn2
ω n2
+
ωn
ω1
K 3 ω2
Réalisation du filtre
3. Identification des éléments
Intégrateurs : (montage inverseur)
R1
VS2 ( p )
C1
S1
VS1 ( p )
U2
=−
VS2 ( p) = −
-
S2
+
Z( p)
R1
1
VS ( p )
R1C1 p 1
Identification → ω1 =
(idem pour U 3 )
1
1
, ω2 =
R1 C1
R2 C2
Additionneur : (montage inverseur et théorème de superposition)
R9
R10
VS4 ( p ) = −
S3
R8
S1
R10
R
VS ( p ) − 10 VS3 ( p )
R8 1
R9
U4
-
S4
Identification → K 4 =
R10
R
, K 5 = 10
R8
R9
+
Sylvain Géronimi
Page 185
Filtrage analogique
Additionneur soustracteur : (théorème de superposition avec montage additionneur)
R6
R5
S3
R7
E
v S2 = 0 ⇒ VS1 ( p ) = −
U1
-
S1
+
R4
S2
R3
⎛
R
R
VS1 ( p ) = ⎜⎜1 + 5 + 5
⎝ R 6 R7
R5
R
VE ( p ) − 5 VS3 ( p )
R7
R6
⇒
v S3 = v E = 0
R3
⎧ +
⎪V ( p ) = R + R VS2 ( p )
3
4
⎪⎪
+ ( p) = V − ( p)
V
⎨
⎪
R 6 // R 7
⎪V − ( p ) =
VS ( p )
R 6 // R 7 + R 5 1
⎪⎩
⎞ R3
⎟
⎟ R + R VS2 ( p )
4
⎠ 3
⎛
R
R ⎞ R3
R
R
VS2 ( p ) − 5 VE ( p ) − 5 VS3 ( p )
soit VS1 ( p ) = ⎜⎜1 + 5 + 5 ⎟⎟
R
R
R
R
R
+
R6
6
7 ⎠ 3
4
7
⎝
Identification → K1 =
⎛ R
R
R5
, K 2 = ⎜⎜1 + 5 + 5
R7
⎝ R 6 R7
⎞ R3
R5
⎟
⎟ R + R , K3 = R
4
6
⎠ 3
4. Calcul des composants
bilan montre 9 équations écrites précédemment pour 21 inconnues
R1, R2 , R3 , R 4 , R5 , R6 , R7 , R8 , R9 , R10 , C1, C2 et ωn , ζ , ω1, ω2 , K1, K 2 , K 3 , K 4 , K 5 .
Il est donc nécessaire d’introduire 12 données.
a. 5 données sont issues du cahier des charges
filtre réjecteur symétrique K 5 = K 3 K 4 , de gain unité K1 K 4 = 1 , de fréquence de réjection
ωrej = ωn = 100 π rad/s et de largeur de bande relative à –3 dB 2ζ = ∆ω ωn = 0.05 ,
filtre passe-bande de gain unité K1 = K 2 ,
b. 2 données issues de relations entre composants passifs lors de la réalisation
intégrateurs identiques ω1 = ω2 ou R1C1 = R2 C2 ,
équilibrage statique de l’additionneur soustracteur R 5 // R 6 // R 7 = R 3 // R 4 ,
c. 5 données issues de valeurs de composants passifs prises de façon arbitraire
R5 = R6 = R8 = 10 kΩ , C1 = C2 = 100 nF
La résolution du système linéaire fournit les valeurs
R1 = R2 ( K 3 = 1 ), R7 = 20 R5 ( K1 = K 2 = 0.05 ), R3 // R 4 = 10 3 0.205 , 40 R3 = R 4 ,
R8 = R9 , R10 = 20 R8 ( K 4 = K 5 = 20 )
soit R1 = R2 = 31831 Ω , R3 = 5 kΩ , R 4 = R7 = R10 = 200 kΩ , R9 = 10 kΩ .
Ce filtre est utilisé en réjecteur de la fréquence parasite issue du secteur, mais la norme EDF donne
50 ± 0.5 Hz (amenée ici à ± 1.25 Hz). Si ces fluctuations amènent une atténuation insuffisante
autour de la réjection, un filtre suiveur en fréquence, intégrant une boucle à verrouillage de phase,
asservira la fréquence de réjection à la variation de la fréquence du secteur (voir cours « Boucles à
verrouillage de phase »).
Sylvain Géronimi
Page 186
Filtrage analogique
Pour une réalisation optimale, un circuit intégré quad (4 amplificateurs dans un même boîtier) doit être
utilisé.
20
frej = 50 Hz, ∆f = 2.5 Hz
(49.977, 37.030m)
-0
(48.781, -3.0535)
(51.337, -3.0113)
-20
-40
(50.004, -47.457)
-60
10Hz
DB(V(S1))
DB(V(S2))
DB(V(S3))
30Hz
DB(V(S4))
100Hz
260Hz
Frequency
Remarques :
-
Les filtres passe-bande et réjecteur possèdent un gain unité, les filtres passe-haut et passe-bas
un gain de 0.05 (- 26 dB).
Les quatre cellules composant le filtre présentent chacune une contre-réaction tension-courant qui
justifie une très faible résistance de sortie (topologie parallèle), assurant ainsi une adaptation en
tension (fonction de transfert globale égale au produit des fonctions de transfert élémentaires).
La lecture du schéma électrique peut s’effectuer par le raisonnement suivant : les deux
intégrateurs multiplient la fonction de transfert VS1 ( p ) VE ( p ) (sortie de U1 ) par 1 p (sortie de U 2 ),
puis par 1 p (sortie de U 3 ), ce qui implique respectivement que S1 est un passe-haut, S2 passebande, S3 passe-bas ; la somme des passe-haut et passe-bas produit le coupe-bande (sortie de
U 4 ).
Sylvain Géronimi
Page 187
Filtrage analogique
Oscillateur sinusoïdal triphasé
L’étude proposée concerne le circuit de la figure ci-dessous, utilisant des amplificateurs de tension
supposés idéaux en régime dynamique faibles signaux.
C1
C1
10n
C1
10n
10n
R1
R2
R1
-
R2
R1
-
R2
S1
+
S2
S3
+
+
1. Ecrivez l’expression de la fonction de transfert en boucle ouverte.
2. En boucle fermée et en régime sinusoïdal, déterminez la pulsation ωosc des oscillations et la
condition d’entretien de celles-ci.
3. Evaluez les résistances pour que le système oscille à la fréquence de 1021 Hz.
Corrigé
1. Expression de la fonction de transfert en boucle ouverte G( p ) B' ( p )
Les trois étages sont des montages inverseurs Gi ( p ) = −
3
⎛ R ⎞
1
d’où G( p ) B' ( p ) = ⎜⎜ − 1 ⎟⎟
⎝ R2 ⎠ ⎛
p
⎜⎜1 +
ω
0
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
3
avec ω0 =
R1
Z( p)
avec Z ( p ) =
1 + R1 C1 p
R2
1
et B' ( p ) = 1 (retour unitaire)
R1 C1
relation valable car les conditions d’adaptation en tension entre blocs sont respectées. En effet, la
résistance de sortie du montage inverseur est très faible par rapport à sa résistance d’entrée
(contre-réaction tension-courant).
2. Conditions d’oscillations
La boucle étant fermée et en régime établi, G( jω )B' ( jω ) = 1 .
⎛ R1 ⎞
⎜⎜ −
⎟⎟
⎝ R2 ⎠
3
1
1− 3
ω2
ω ⎛⎜
ω2 ⎞
+j
3 − 2 ⎟⎟
2
⎜
ω0
ω0 ⎝
ω0 ⎠
3. Evaluation des résistances R1 =
Sylvain Géronimi
=1
⎧⎪ω
⎧Im[G ( jω )B' ( jω )] = 0
= ω0 3
→ ⎨
⇒ ⎨ osc
[
(
)
(
)
]
Re
G
j
ω
B
j
ω
'
=
1
⎪⎩R1 = 2 R2
⎩
3
= 27 kΩ , R 2 = 13.5 kΩ .
2π fosc C1
Page 188
Oscillateur à pont RLC
L’étude proposée concerne le circuit de la figure ci-dessous, utilisant un amplificateur de tension
supposé idéal en régime dynamique faibles signaux.
R3
+
R
L
C
-
100n
R1
vs
R2
1. Ecrivez la fonction de transfert B ' ( p ) en tension du réseau passif.
2. Ecrivez le gain de l’amplificateur G.
3. En boucle fermée et en régime sinusoïdal, déterminez l’expression de la pulsation ω osc des
oscillations du signal de sortie, ainsi que la condition sur les résistances.
4. La résistance R représentant les imperfections de l’inductance ( R >> R3 ), donnez le type de
comportement du bloc amplificateur.
5. Donnez la valeur de l’inductance L pour obtenir un signal de sortie à la fréquence de 16 kHz.
6. Evaluez la résistance R3 de telle manière que ζ = 0.5 pour la fonction B ' ( p ) .
7. Comment devez-vous faire varier R1 pour démarrer les oscillations ?
Corrigé
1. Fonction de transfert B ' ( p ) en tension du réseau passif
L’ensemble des éléments mis en parallèle conduit à une impédance
1
Lp
Lp
Z ( p ) = R //
// Lp = R //
=
.
L
Cp
LCp 2 + 1
2
LCp + p + 1
R
La fonction de transfert en tension est fournie par le pont
L
p
R3
Z( p)
B' ( p ) =
=
Z ( p ) + R3
⎛1
1 ⎞
⎟⎟ p + 1
LCp 2 + L ⎜⎜ +
R
R
3 ⎠
⎝
Sylvain Géronimi
Page 189
2. Gain de l’amplificateur
L’amplificateur de tension étant idéal, sa bande passante est considérée comme infinie.
G( p ) = 1 +
R1
= G (amplificateur non inverseur de gain réel)
R2
La boucle étant fermée et en régime établi, G B' ( jω ) = 1 , relation valable car les conditions
d’adaptation en tension entre blocs sont respectées. En effet, la résistance d’entrée est infinie et
résistance de sortie est nulle pour le bloc amplificateur idéal. Si l’amplificateur est réel, la contreréaction tension-tension conduit à des résultats voisins.
Lω
⎛
R3
R1 ⎞
⎟⎟
G B' ( jω ) = ⎜⎜1 +
=1
⎝ R2 ⎠ Lω ⎛⎜ 1 + 1 ⎞⎟ + j LCω 2 − 1
⎜R R ⎟
3 ⎠
⎝
(
)
1
⎧
⎪ωosc =
⎧Im[G B' ( jω )] = 0
LC
⎪
→ ⎨
⇒ ⎨
⎩Re[G B' ( jω )] = 1
⎪1 + R1 = 1 + R3
⎪⎩ R2
R
4. Comportement du bloc amplificateur
Puisque R >> R3 → G = 1 +
R1
≅ 1.
R2
L’amplificateur se comporte comme un suiveur de tension ( R 2 >> R1 ).
5. Evaluation de l’inductance
L=
1
(2π fosc )2 C
≅ 0.99 mH
6. Evaluation de la résistance R3
L
p
R3
2ζ
1
L
Pour R >> R3 , B' ( p ) ≅
est obtenue en
. La relation nécessaire
=
=
L
Q
R
ω
ω
n
n
3
LCp 2 +
p +1
R3
identifiant à la forme canonique du filtre passe-bande du second ordre, d’où R3 ≅ 99.5 Ω .
7. Démarrage des oscillations
Il faut établir la condition G B' ( p ) > 1 avec G = 1 +
R1
= 1 + ε , c’est-à-dire donner à la résistance
R2
R1 une valeur relativement plus élevée que la valeur nominale, puis diminuer cette valeur jusqu’à
l’obtention du régime sinusoïdal établi.
Ce montage est utilisé pour détecter la présence de matériaux magnétiques ou amagnétiques.
Sylvain Géronimi
Page 190
Oscillateur à pont RLC avec potentiomètre
L’étude proposée concerne le circuit de la figure ci-dessous, utilisant un amplificateur de tension
supposé idéal en régime dynamique faibles signaux.
R2
100k
R1
5k
+
(1-α)R
αR
C
10n
R
10k
L
10mH
1. Ecrivez les fonctions de transfert en tension du réseau passif B' ( p ) et de l’amplificateur G.
2. Ecrivez les conditions d’oscillation.
3. Calculez la fréquence des oscillations et la position α du potentiomètre pour laquelle le circuit
oscille.
Corrigé
1. Fonction de transfert B' ( p ) en tension du réseau passif
L’ensemble des éléments mis en parallèle conduit à une impédance
Lp
Lp
1
Z ( p ) = α R //
// Lp = α R //
=
.
L
Cp
LCp 2 + 1
LCp 2 +
p +1
αR
La fonction de transfert en tension est fournie par le pont
L
p
Z( p)
(
1 − α )R
B' ( p ) =
=
L
Z ( p ) + (1 − α )R
LCp 2 +
p +1
α (1 − α )R
L’amplificateur de tension étant idéal, sa bande passante est considérée comme infinie.
G( p ) = 1 +
Sylvain Géronimi
R2
= G (amplificateur non inverseur de gain réel)
R1
Page 191
La boucle étant fermée et en régime établi, G B' ( jω ) = 1 , relation valable car les conditions
d’adaptation en tension entre blocs sont respectées. En effet, la résistance d’entrée est infinie et
résistance de sortie est nulle pour le bloc amplificateur idéal. Si l’amplificateur est réel, la contreréaction tension-tension amène à des résultats voisins.
Lω
⎛ R ⎞
G B' ( jω ) = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟
R1 ⎠
⎝
fosc
(1 − α )R
(
)
Lω
+ j LCω 2 − 1
α (1 − α )R
R1
1
,α=
=
R1 + R2
2π LC
=1
⎧LCω 2 − 1 = 0
⎪
⎧Im[G B' ( jω )] = 0
→ ⎨
⇒ ⎨ ⎛ R2 ⎞
⎟ =1
⎩Re[G B' ( jω )] = 1
⎪α ⎜⎜1 +
R1 ⎟⎠
⎩ ⎝
3. Application numérique
fosc ≅ 15.9 kHz , α = 0.0476
Sylvain Géronimi
Page 192
Oscillateur à pont de Wien
L’étude proposée concerne le circuit de la figure suivante, utilisant un amplificateur linéaire de tension
supposé idéal.
+
R3
C1
10k
15n
S
-
R4
R2
10k
C2
15n
10k
R1
Condition d’entretien des oscillations
1.
2.
3.
4.
Ecrivez la fonction de transfert en boucle ouverte.
En boucle fermée, exprimez les conditions d’entretien d’oscillations sinusoïdales.
Donnez les règles de démarrage de l’oscillateur.
Calculez les valeurs de la fréquence fosc des oscillations et de la résistance R1 .
Stabilisation de l’amplitude des oscillations par thermistance
La résistance R2 s’identifie à une thermistance à coefficient de température négatif telle que
2
2
R2 = R0 − a v eff
avec R0 = 11 kΩ, a = 10 3 Ω / V 2 et v eff
la valeur quadratique moyenne de la tension
aux bornes de R2 .
5. Vérifiez que la condition de démarrage est assurée.
6. Evaluez l’amplitude de la tension de sortie v s en Vpp .
Stabilisation de l’amplitude des oscillations par résistance variable
R3
U1
10k
+
C1
15n
uA741
S
-
R2
37.5k
R6
R4
10k
C2
15n
D1
J1
J2N4416A
G
R5
100k
C3
100u
D1N4148
La résistance variable est constituée d’un JFET travaillant dans sa zone ohmique et commandé en
tension par un détecteur de crête, Dans ces conditions, la tension v ds ne peut dépasser quelques
Sylvain Géronimi
Page 193
dizaines de mVpp , ce qui explique la présence de la résistance série R6 sur le schéma électrique. Le
transistor possède les caractéristiques IDSS = 14 mA, VP = − 4 V .
7. Donnez l’expression de la résistance RDS du transistor.
8. Ecrivez l’expression de R2 en fonction de RDS , v s et v ds , puis l’expression de R6 .
9. La diode possédant une tension de seuil V0 , écrivez l’expression de VGS en fonction de V0 , v ds
et R2 .
10. Evaluez RON , VGS , v s , RDS et R6 en prenant v ds = 80 mVpp et V0 = 0.6 V .
11. Vérifiez que la condition de démarrage est assurée.
Corrigé
Condition d’entretien des oscillations
1. Fonction de transfert en boucle ouverte
Amplificateur non inverseur : G (p ) = 1 +
Réseau sélectif : B' (p ) =
R2
(gain constant car amplificateur idéal)
R1
RC p
avec R = R3 = R 4 et C = C1 = C2
R 2 C 2 p 2 + 3 RC p + 1
2ζ
p
ω
filtre de type passe-bande de la forme B0' 2 n
et de caractéristiques
p
2ζ
+
p +1
ω n2 ωn
B0' =
⎛ R ⎞
1
∆ω
1
1
, ωn =
,
=
= 2ζ = 3 , d’où G(p )B' (p ) = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟
R1 ⎠
3
RC ωn Q
⎝
1
.
p ωn
3+
+
ωn
p
relation valable car les conditions d’adaptation en tension entre blocs sont respectées. En effet, la
résistance d’entrée est infinie et résistance de sortie est nulle pour le bloc amplificateur idéal. Si
l’amplificateur est réel, la contre-réaction tension-tension conduit à des résultats voisins.
Cependant, le gain peut ne plus être considéré comme constant si la fréquence de l’oscillateur
n’est pas faible par rapport à la bande passante de l’amplificateur.
⎛
R ⎞
1
En boucle fermée et en régime établi, G ( jω )B' ( jω ) = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟
R1 ⎠
⎛ω
ω
⎝
3 − j ⎜⎜ n −
ω
ω
n
⎝
=
ω
ω
(
)
(
)
⎧
[
]
⎧Im G jω B' jω = 0
osc
n
Conditions de Barkhausen → ⎨
⇒ ⎨
[
(
)
(
)
]
=
=
Re
G
j
ω
B
'
j
ω
1
R
2R
⎩
1
⎩ 2
⎞
⎟⎟
⎠
=1
3. Condition de démarrage
1+
R2
>3
R1
Sylvain Géronimi
soit R2 supérieure à sa valeur nominale ou R1 inférieure à sa valeur nominale.
Page 194
4. Application fosc =
1
≅ 1061 Hz , R1 = 5 kΩ
2π RC
Stabilisation de l’amplitude des oscillations par thermistance
R0
> 3 avec l’alimentation éteinte. Une fois l’alimentation
R1
allumée, la tension aux bornes de la thermistance augmente jusqu’à ce que sa valeur ohmique
diminue et se stabilise à R 2 = 2R1 .
Le démarrage est assuré car 1 +
6. Amplitude de la tension de sortie
R0 − R2
= 1Veff
a
v eff =
⇒
v s = 3 2 v eff ≅ 4.24 Vpp
Stabilisation de l’amplitude des oscillations par résistance variable
7. Expression de la résistance dynamique du JFET
RDS ≅
RON
V
1 − GS
VP
avec RON ≅
−VP
(à partir d’une caractéristique de transfert « stylisée » du JFET)
I DSS
8. Expressions des résistances R2 et R3
Condition d’oscillations : R 2 = 2 (R 6 + RDS ) car R 6 + R DS s’identifie à R1 des études précédentes
Pont de résistances : v ds =
d’où R2 =
2 RDS v s
3 v ds
RDS
et R6 =
RDS
vs
+ R6 + R2
R2
− RDS
2
9. Expression de la tension de grille
Le redressement de l’alternance négative du signal sinusoïdal de sortie s’effectue en détection
crête puisque R5 C3 >> Tosc , d’où v s pp = 2 (V0 − VGS ) en tenant compte du seuil de conduction de
la diode.
VGS = −
1 − α V0
1
α−
VP
avec α =
4 RON
3 R2 v ds
(tension continue négative de commande du JFET canal N).
10. Application
RON ≅ 286 Ω , VGS ≅ − 2.45 V , v s ≅ 6.1Vpp , RDS ≅ 738 Ω et R6 ≅ 18 kΩ .
Sylvain Géronimi
Page 195
R2
> 3 avec l’alimentation éteinte ( VGS = 0 ). A la mise
R6 + RON
sous tension du montage, la valeur de RDS augmente et se stabilise pour vérifier l’égalité
R 2 = 2 (R 6 + RDS ) .
Le démarrage est assuré car 1 +
Simulation du circuit
Démarrage de l’oscillateur
4.0V
0V
-4.0V
0s
0.5s
V(S)
1.0s
1.5s
V(G)
Time
Régime permanent
4.0V
fosc = 1055 Hz
vs = 6 Vpp
v+ = 2 Vpp
v ds = 80 mVpp
0V
VGS = -2.39 V
-4.0V
1.3500s
V(S)
1.3505s
V(G)
V(U1:+)
1.3510s
V(J1:d)
1.3515s
1.3520s
1.3525s
Time
Sylvain Géronimi
Page 196
Oscillateur Colpitts
L’étude proposée concerne le circuit de la figure ci-dessous, le transistor JFET possédant les
caractéristiques constructeur I DSS = 8 mA, VP = − 4 V .
VCC
20 V
RD
2.2k
+
-
L
CG
J1
J2N3819
100 n
R
68p
RS
10M
C1
C2
CS
480
100 n
1. Déterminez les variables de polarisation.
2. Déduisez le paramètre g m de l’étude précédente ( rds = ∞ , Cgs , Cgd négligées).
3. En boucle ouverte, écrivez l’expression de la fonction de transfert en tension.
4. En boucle fermée et en régime sinusoïdal, écrivez les équations donnant les conditions d’entretien
des oscillations.
5. Calculez les valeurs manquantes des composants du filtre afin de générer un signal sinusoïdal à
la fréquence de 3 MHz.
6. Effectuez l’étude de la fonction de transfert en tension du circuit en boucle ouverte. Tracez la
réponse en fréquence dans le plan de Bode et interprétez les résultats.
Corrigé
1. Etude statique
⎧VCC = (RD + RS )I D + VDS
⎛ V
et I D = I DSS ⎜⎜1 − GS
⎨
VP
⎩VGS = − RS I D
⎝
VGS0 = − 1.5 V ( VP < VGS0 < 0 ), I D0 =
− VGS0
RS
⎞
⎟⎟
⎠
2
⇒
2
VGS
VP2
⎛
1
2 ⎞
⎟VGS + 1 = 0
+ ⎜⎜
−
⎟
⎝ I DSS RS VP ⎠
= 3.125 mA , VDS0 = VCC − (RD + RS )I D0 ≅ 11.6 V
2
VP
3. Etude en boucle ouverte
2. Pente du JFET g m = −
Sylvain Géronimi
I D0 I DSS ≅ 2.5 mA / V
Page 197
Les condensateurs de liaison et de découplage CG et CS sont assimilés à des court-circuits à la
fréquence de travail de l’oscillateur.
⎡
ZC2 Z L + ZC1 ⎤
Vs ( p ) = − g m Vgs ( p ) RD // ZC2 // Z L + ZC1 = − g m Vgs ( p ) ⎢RD //
⎥
ZC2 + Z L + ZC1 ⎥⎦
⎢⎣
1
1
avec ZC1 =
, ZC2 =
, Z L = Lp
C1 p
C2 p
[
(
)]
(
(
)
ZC2 Z L + ZC1
Vs ( p )
= − g m RD
Vgs ( p )
RD ZC2 + Z L + ZC1 + ZC2 ZL + ZC1
)
ZC1 ZC2
V ( p)
= − g m RD
Vgs ( p )
RD ZC2 + Z L + ZC1 + ZC2 ZL + ZC1
)
(
(
)
)
(
(
et
)
ZC1
V ( p)
=
Vs ( p ) Z L + ZC1
4. Etude en boucle fermée et en régime établi ( p = jω )
En refermant la boucle, le filtre charge sur la résistance R de valeur très importante devant celle
1
de la réactance du condensateur C1 à la fréquence d’oscillation (
<< 10 MΩ ). Ainsi,
C1ω osc
V ( p ) = Vgs ( p ) et − g m RD
ZC1 ZC2
(
)
(
RD ZC2 + Z L + ZC1 + ZC2 Z L + ZC1
(
) = 1.
)
(
)
L’équation complexe − g m RD ZC1 ZC2 = RD ZC2 + Z L + ZC1 + ZC2 Z L + ZC1 présentant des termes
imaginaires purs (réactances ZC1 =
1
1
, ZC2 =
, Z L = jLω ), se décompose en deux
jC1ω
jC2 ω
équations
C1
⎧
⎧ g m RD
1 ⎛
1 ⎞
⎪g m RD = C
2
⎟⎟ (partie réelle)
⎜⎜ Lω −
=
⎧
⎪
+
=
g
R
1
LC
ω
2
2
1
m D
⎪⎪
C2 ω ⎝
C1 ω ⎠
⎪ C1C 2 ω
⎪
1
soit ⎨ 2
ou ⎨
⎨
1
1
ω=
1
1 ⎞
⎪
⎪ ⎛⎜
⎪Lω = C + C
CC
1
2
⎩
⎪
⎪RD ⎜ Lω − C ω − C ω ⎟⎟ = 0 (partie imaginaire )
L 1 2
1
2
⎠
⎩ ⎝
C1 + C2
⎩⎪
5. Evaluation des composants de l’oscillateur
Le système d’équations à deux inconnues conduit aux conditions d’oscillations. Dans le cas
présent, les inconnues sont L et C1 .
C1 = g m RD C 2 ≅ 374 pF et L =
1 ⎛ 1
1 ⎞
⎜
⎟ ≅ 49 µH .
+
C2 ⎟⎠
ω 2 ⎜⎝ C1
Notons que la fréquence des oscillations s’écrit fosc =
1
2π LC
avec
1
1
1
(mise en série).
=
+
C C1 C2
Ainsi, la self voit à ses bornes un condensateur équivalent, ce qui conduit à l’expression de la
fréquence fosc .
A partir de l’interprétation d’un circuit LC parfait, initialement condensateur chargé et courant dans
la boucle nul, la décharge du condensateur induit un courant dans le circuit magnétisant alors la
self. L’énergie électrostatique du condensateur est convertie en énergie magnétique dans la self.
Sylvain Géronimi
Page 198
La self magnétisée et le condensateur déchargé, le courant s’inverse et l’échange d’énergie a lieu
dans l’autre sens pour revenir à l’état initial. La pulsation d’oscillation est ωosc = 1 LC .
L
i
v1
i
C2
C1
v2
Si la capacité C est équivalente à deux capacités dont le point
commun est la masse, un même courant circule alternativement de C1
vers C2 , chargeant un condensateur et déchargeant l’autre, et
inversement. Les tensions aux bornes des condensateurs sont donc
en opposition de phase et le rapport des tensions est égal à l’inverse
du rapport des capacités, soit
v
C
1
1
v1 = −
i et v 2 =
i ⇒ 2 =− 2 .
jωosc C2
jωosc C1
v1
C1
En pratique, le réseau LC entre en résonance à sa fréquence propre fosc , alimenté par un
amplificateur inverseur de gain en tension Av = − C1 C 2 pour satisfaire les conditions de
Barkhausen respectivement arg [G ( jω )] + arg [B' ( jω )] = 0 + 2k π et G ( jω )B' ( jω ) = 1 .
6. Etude de tracés dans le diagramme de Bode en boucle ouverte
L
i
J1
ve
vs1
RD
C1
C2
vs2
R
Une tension sinusoïdale v e est appliquée à la grille du JFET. Le transistor est une source de
courant commandée par la tension d’entrée et d’expression i = g m v e . Il n’est pas nécessaire de
charger la sortie du réseau LC par l’impédance d’entrée de l’amplificateur puisque cette dernière
est de valeur très élevée (R = 10 MΩ).
60
(2.9969M, 14.819)
40
(2.9969M, 79.345m)
(10.000K, 14.792)
(1.1749M, -0.8643)
0
transfert en boucle ouverte
-40
(1.1749M, -58.469)
(2.9969M, -14.725)
-60
10KHz
30KHz
DB(V(S1)/V(E))
DB(V(S2)/V(E))
100KHz
DB(V(S2)/V(S1))
300KHz
1.0MHz
3.0MHz
10MHz
Frequency
Sylvain Géronimi
Page 199
Les tracés des modules montrent qu’à la fréquence d’oscillation prévue (3 MHz), le gain de la
boucle ouverte est de 1 (0 dB), ce qui est prouvé par le gain de l’amplificateur et l’atténuation du
réseau LC de valeurs respectives
v s1 v e = − Av ≅ − 5.5 (14.8 dB) et v s2 v s1 = − C2 C1 = − 1 Av ≅ − 0.1818 (- 14.8 dB).
Le diagramme de Bode de la phase en boucle ouverte montre une phase nulle à la fréquence
d’oscillation prévue, puisque v s2 v e = 1 .
180d
(1.1749M, 90.012)
100d
0d
(2.9974M,-13.767f)
-100d
30KHz
10KHz
arg(V(S2)/V(E))
100KHz
300KHz
1.0MHz
3.0MHz
10MHz
Frequency
Une simulation avec un JFET 2N3819 montre l’analyse transitoire de l’oscillateur en régime
permanent vérifiant que les deux tensions en entrée et sortie du réseau LC sont en opposition de
phase et que l’atténuation du pont est toujours 3.72 20.46 ≅ 0.1818 .
10V
fréquence
des oscillations
gain en tension
-5.5
20V
2.97 MHz
VDSo=13 V
v ds = 20.46 Vpp
v gs = 3.72 Vpp
0V
18.4u
18.6us
18.8us
19.0us
19.2us
Time
Le réseau sélectif permet d’obtenir un déphasage de 180°. Si l’amplificateur compense
l’atténuation introduite par le réseau passif et induit lui-même un déphasage de -180°
(amplificateur inverseur), le gain en boucle ouverte vérifiera les conditions d’oscillations.
Sylvain Géronimi
Page 200
Interprétation analytique
L’impédance en parallèle sur la résistance RD et les transferts en tension s’écrivent
⎛
1 ⎞ 1
⎜⎜ jLω +
⎟⎟
jC
1ω ⎠ jC 2ω
⎝
Z ( jω ) =
1
1
jLω +
+
jC1ω jC 2ω
Vs1 ( jω )
Ve ( jω )
= − g m (RD // Z ( jω )) ,
Pour ω → 0 , Z ( jω ) → ∞ ,
1
Pour ω =
Vs1 ( jω )
Ve ( jω )
LC1
=0,
Vs1 ( jω )
Ve ( jω )
Vs1 ( jω )
Vs1 ( jω )
Ve ( jω )
1
jC1ω
=
jLω +
,
1
jC1ω
→ − g m RD ,
Vs2 ( jω )
Ve ( jω )
Vs2 ( jω )
Vs1 ( jω )
→ 1,
=
Vs2 ( jω ) Vs1 ( jω )
Vs1 ( jω ) Ve ( jω )
Vs2 ( jω )
Ve ( jω )
→ − g m RD ( + 14.8 dB, 180° )
( f ≅ 1.175 MHz ) ⇒ Z ( jω ) = 0 ,
Vs2 ( jω )
Vs1 ( jω )
Pour ω = ωosc =
Vs2 ( jω )
→∞,
Vs2 ( jω )
Ve ( jω )
= j gm
L
≅ j 0.905 ( − 0.864 dB, 90° )
C1
1⎛ 1
1 ⎞
⎟ ( f ≅ 3 MHz ) ⇒ Z ( jω ) → ∞ ,
⎜⎜
+
L ⎝ C1 C2 ⎟⎠
= − g m RD ,
Vs2 ( jω )
Vs1 ( jω )
=−
C2 Vs2 ( jω )
,
= 1 ( 0 dB, 0° )
C1 Ve ( jω )
1
Vs2 ( jω )
Vs1 ( jω )
Vs ( jω )
jC1ω
gm
1
,
Pour ω → ∞ , Z ( jω ) →
→0,
→
≅ 0, 2
→−j
≅0
Vs1 ( jω )
jLω
jC2ω Ve ( jω )
Ve ( jω )
LC1C2 ω 3
( − ∞ dB, − 90° )
Démarrage de l’oscillateur
25V
20V
V(J1:d)
10V
V(J1:g)
0V
-5V
0s
5us
10us
15us
20us
25us
Time
Sylvain Géronimi
Page 201
Oscillateur Colpitts (variante)
Une étude dynamique aux faibles signaux est proposée ici, concernant le circuit de la figure cidessous. Les paramètres du modèle transistor JFET sont g m = 2.5 mA / V , rds , Cgs et Cgd
négligeables.
C3
RD
2.2k
VCC +
20 V -
L
S
CG
1n
J1
J2N3819
1u
RG
RS
10M
480
C2
22p
C1
CS
1u
1. Ecrivez les équations donnant les conditions d’entretien des oscillations.
2. Evaluez les autres composants ( C1, L ) du filtre afin de générer un signal sinusoïdal à la fréquence
de 1 MHz.
3. Quel est l’intérêt de ce montage par rapport au montage Colpitts classique ?
Corrigé
1. Conditions d’entretien des oscillations
C1
⎧
⎪g m RD = C
2
⎪
⎪
1
⎨ω =
⎪
⎛
CC ⎞
⎪
L ⎜⎜ C3 + 1 2 ⎟⎟
C1 + C2 ⎠
⎪⎩
⎝
Ici aussi, la self voit à ses bornes un condensateur équivalent de
capacité C égale à C3 en parallèle sur C1 en série avec C2 , ce
qui conduit à l’expression de la fréquence fosc . Le rapport des
tensions sur le réseau LC est encore − C2 C1 , ce qui nécessite un
gain de l’amplificateur Av = − C1 C2 pour satisfaire les conditions
de Barkhausen.
C1 = g m RD C2 ≅ 121 pF et L =
1
⎛
ω 2 ⎜⎜ C3 +
⎝
C1C2
C1 + C2
⎞
⎟⎟
⎠
≅
1
ω C3
2
≅ 25 µH .
3. Intérêt du montage
La relation donnant la pulsation des oscillations laisse apparaître au niveau numérique que
CC
C3 >> 1 2 , ce qui implique que ωosc peut varier uniquement en fonction de C3 .
C1 + C2
Sylvain Géronimi
Page 202
Oscillateur Clapp
Une étude dynamique aux faibles signaux est proposée ici, concernant le circuit de la figure cidessous. Les paramètres du modèle transistor JFET sont g m = 2.5 mA / V , rds , Cgs et Cgd
négligeables.
RD
2.2k
VCC +
20 V -
L
S
CG
J1
RG
10M
10p
J2N3819
1u
RS
480
C3
C2
1n
C1
CS
1u
1. Ecrivez les équations donnant les conditions d’entretien des oscillations.
2. Evaluez les autres composants ( C3 , L ) du filtre afin de générer un signal sinusoïdal à la
fréquence de 5 MHz.
3. Quel est l’intérêt de ce montage ?
Corrigé
C1
⎧
⎪g m RD = C
2
⎪
⎪
1
⎨ω =
L
⎪
⎪
1
1
1
+
+
⎪
C
C
C
1
2
3
⎩
Ici aussi, la self voit à ses bornes un condensateur équivalent de
capacité C égale à C1 , C2 et C3 en série, ce qui conduit à
l’expression de la fréquence fosc . Le rapport des tensions sur le
réseau LC est encore − C2 C1 , ce qui nécessite un gain de
l’amplificateur Av = − C1 C2 pour satisfaire les conditions de
Barkhausen.
1
1
1
1
1
C1 = g m RD C2 ≅ 5.5 nF et L ≅ 2
≅ 100 µH car
et ωosc ≅
+
+
≅
C
C
C
C
ω C3
1
2
3
3
1
.
L C3
3. Intérêt du montage
La relation donnant la pulsation des oscillations laisse apparaître au niveau numérique que C1 et
C2 >> C3 , ce qui implique que ωosc peut varier uniquement en fonction de C3 . De cette façon, la
fréquence des oscillations est très peu dépendante des impédances d’entrée (
de sortie (
Sylvain Géronimi
1
C2 ωosc
1
C1 ωosc
<< RG ) et
<< RD ) de l’amplificateur, surtout avec un bipolaire.
Page 203
Oscillateur Colpitts contrôlé en tension (VCO) à JFET source commune
La capacité CV de la diode varicap est comprise entre 2 et 10 pF pour une tension de polarisation de
0.5 à 5 V.
Vcc
B
RD
B
20V
2.2k
J1
B
CD
CL
B
Lchoc
B
B
10u
10u
C2
Vcom
B
68p
B
L
CV
B
22uH
R
10Meg
C1
B
RS
480
B
CS
10u
B
1. Donnez une description précise du circuit.
Etude en régime continu
2. Dessinez le schéma et évaluez les variables de polarisation. Expliquez le fonctionnement de la
commande de la diode varicap.
3. Déduisez la valeur du paramètre g m du modèle du transistor ( rds , Cgs Cgd étant négligés).
4. En boucle ouverte, écrivez l’expression de la fonction de transfert en tension.
5. En boucle fermée et en régime sinusoïdal, écrivez les équations donnant les conditions d’entretien
des oscillations.
6. Evaluez la capacité C1 du filtre, puis le domaine des fréquences d’oscillation possibles par l’action
de la tension continue Vcom .
7. Evaluez le facteur de conversion tension-fréquence défini par K 0 = ∆f ∆Vcom en supposant un
transfert linéaire.
Sylvain Géronimi
Page 204
Corrigé
1. Description du circuit
La résistance RS fixe le courant de polarisation du JFET et la capacité CS découple sa source
(montage source commune pour les signaux HF). L’impédance de charge du transistor est
constituée par la résistance RD (supposée de faible valeur par rapport à la charge extérieure du
circuit). La capacité CD est une capacité de liaison permettant de sauvegarder le potentiel continu
de drain. Une diode varicap est utilisée pour commander l’oscillateur. Connectée en parallèle avec
le circuit L − C1 − C2 (topologie Colpitts) du point de vue dynamique, elle est polarisée en inverse
par la tension continue Vcom de commande par le biais d’une inductance de très grande
impédance en HF (circuit ouvert en HF et court-circuit en continu). La connexion de la diode avec
le circuit L − C1 − C2 est réalisée par une capacité de liaison CL (court-circuit en HF et circuit
ouvert en continu).
2. Schéma et variables de polarisation
VCC
20 V
⎧VCC = (RD + RS )I D + VDS
⎛ V
⎨
VP
⎝
⎩VGS = − RS I D
RD
2.2k
B
B
⇒
D1
B
B
2
VGS
VP2
Vcom
B
⎛
1
2
+ ⎜⎜
−
⎝ I DSS RS VP
⎞
⎟⎟
⎠
2
⎞
⎟VGS + 1 = 0
⎟
⎠
J1
B
R
10Meg
VGS0 = − 1.5 V ( VP < VGS0 < 0 ), I D0 =
RS
480
B
VDS0 = VCC − (RD + RS )I D0 ≅ 11.6 V
− VGS0
RS
= 3.125 mA ,
La diode varicap est traversée par un courant inverse très faible et le courant de grille du JFET est
insignifiant (ordre du pA). La chute de tension aux bornes de la résistance R peut être négligée,
ce qui signifie que l’anode de la diode est à la masse. De ce fait, la tension de commande Vcom
est aux bornes de la diode varicap et modifie la valeur de sa capacité CV .
3. Paramètre g m = −
2
VP
I D0 I DSS ≅ 2.5 mA / V
4. Etude en boucle ouverte
Les condensateurs de liaison CS , CD et CL sont assimilés à des courts-circuits à la fréquence de
travail de l’oscillateur.
CV
L
J1
R
Sylvain Géronimi
RD
vs
C2
C1
v
vgs
Page 205
[
(
)]
⎡
Z L ZC V + ZC1 Z L + ZC V
Vs ( p ) = − g m Vgs ( p ) RD // ZC2 // Z L // ZC V + ZC1 = − g m Vgs ( p ) ⎢RD // ZC2 //
Z L + ZC V
⎢⎣
(
[
(
)]
(
⎡
Z L ZC V + ZC1 Z L + ZC V ZC2
Vs ( p ) = − g m Vgs ( p ) ⎢RD //
Z L ZC V + ZC1 Z L + ZC V + ZC2 Z L + ZC V
⎢⎣
1
1
1
avec ZC1 =
, ZC 2 =
, ZC V =
, Z L = Lp
C1 p
C2 p
CV p
(
[
)
(
)]
et
(
)
(
ZC1 Z L + ZC V
V ( p)
=
Vs ( p ) Z L ZC V + ZC1 Z L + ZC V
d’où
(
)]
[
⎥⎦
⎤
⎥
⎥⎦
)
Z L ZC V + ZC1 Z L + ZC V ZC2
Vs ( p )
= − g m RD
Vgs ( p )
Z L ZC V + ZC1 Z L + ZC V ZC2 + RD Z L ZC V + ZC1 + ZC2 Z L + ZC V
[
)⎤⎥
)(
(
)]
)
(
)
ZC1 ZC2 Z L + ZC V
V ( p)
= − g m RD
Vgs ( p )
Z L ZC V + ZC1 Z L + ZC V ZC2 + RD Z L ZC V + ZC1 + ZC2 Z L + ZC V
[
)]
(
[
)(
(
)]
5. Etude en boucle fermée et en régime établi ( p = jω )
En refermant la boucle, le filtre charge sur la résistance R de valeur très importante devant celle
1
<< 10 MΩ ). Ainsi,
de la réactance du condensateur C1 à la fréquence d’oscillation (
C1ωosc
(
ZC1 ZC2 Z L + ZC V
L
⇒ − g m RD ZC1 ZC2
)
[Z Z + Z (Z + Z )]Z + R [Z Z + (Z + Z ) (Z + Z )] = 1 .
(Z + Z ) = [Z Z + Z (Z + Z )]Z + R [Z Z + (Z + Z ) (Z + Z )]
V ( p ) = Vgs ( p ) et − g m RD
L
CV
CV
C1
L
L
CV
C1
CV
C2
L
CV
D
C2
L
CV
D
C1
L
CV
C2
C1
L
CV
C2
L
CV
équation présentant des termes imaginaires purs qui se décompose en deux équations avec
1
1
1
ZC1 =
, ZC 2 =
, ZC V =
, Z L = jLω :
jC1ω
jC2 ω
jCV ω
⎧
⎡ L ⎛
1 ⎞⎟ ⎛ 1
1 ⎞⎤
⎜⎜
⎟⎥ (partie réelle)
⎪0 = RD ⎢
+
+ ⎜L −
2
⎜
CV ω ⎟⎠ ⎝ C1 C 2 ⎟⎠⎦⎥
⎣⎢ CV ⎝
⎪⎪
⎨
⎪ g m RD ⎛
1 ⎞
1 ⎡ L ⎛⎜
1 ⎞⎟ 1 ⎤
⎜ Lω −
⎟⎟ = −
+ L−
⎢
⎥
⎪
2 ⎜
⎜
CV ω ⎠
C2 ω ⎢⎣ CV ⎝
CV ω 2 ⎟⎠ C1 ⎥⎦
⎩⎪C1C 2 ω ⎝
⎧ 2⎛ 1
1
1 ⎞
1 ⎛ 1
1 ⎞
⎟⎟ =
⎜⎜
⎟⎟
+
+
+
⎪Lω ⎜⎜
⎝ CV C1 C2 ⎠ CV ⎝ C1 C2 ⎠
⎪
soit ⎨
LC1ω 2
⎪
+
=
g
R
1
m
D
⎪
1 − LCV ω 2
⎩
Sylvain Géronimi
ou
(partie imaginaire )
C1
⎧
⎪g m RD = C
2
⎪
⎪
1
=
⎪ω =
1
1
1
⎨
+
+
⎪
C
C1 C2
L V
⎪
1 ⎛ 1
1 ⎞
⎪
⎜⎜ +
⎟⎟
⎪
C
C
C
2 ⎠
V ⎝ 1
⎩
Page 206
1
⎛ CC
L ⎜⎜ 1 2 + CV
⎝ C1 + C2
⎞
⎟⎟
⎠
La self voit à ses bornes un condensateur équivalent de capacité C égale à CV en parallèle sur
C1 en série avec C2 , ce qui conduit à l’expression de la fréquence fosc . Le rapport des tensions
sur le réseau LC est encore − C2 C1 , ce qui nécessite un gain de l’amplificateur Av = − C1 C2
(ou Av = − g m RD ) pour satisfaire les conditions de Barkhausen.
6. Evaluation de C1 et du domaine des fréquences d’oscillation
1
C1 = AV C2 = 374 pF et fosc =
2π
⎛
CC ⎞
L ⎜⎜ CV + 1 2 ⎟⎟
C1 + C2 ⎠
⎝
.
Pour CV = 2 pF , foscmax = 4397542 Hz et pour CV = 10 pF , foscmin = 4128889 Hz .
7. Evaluation de K 0
L’excursion de fréquence ∆f est d’environ 269 kHz pour une tension de commande passant de
0.5 à 5 V, ce qui donne un transfert (supposé linéaire) du VCO
∆f
K0 =
≅ 59.7 kHz / V .
∆Vcom
Sylvain Géronimi
Page 207
Oscillateur Colpitts contrôlé en tension (VCO) à JFET drain commun
La capacité CV de la diode Varicap est comprise entre 2 et 10 pF pour une tension de polarisation de
0.5 à 5 V.
Vcc
B
10V
CL
Lchoc
B
B
J1
B
10u
C1
Vcom
B
B
L
D1
B
22uH
C2
B
RS
B
100p
vs
B
480
2. Dessinez le schéma et déterminez les variables de polarisation du JFET.
3. Déduisez la valeur du paramètre g m du modèle du transistor ( rds , Cgs Cgd étant négligés).
5. En régime sinusoïdal établi, écrivez les équations donnant les conditions d’entretien des
oscillations.
6. Evaluez la capacité C1 du filtre, puis les limites du domaine des fréquences d’oscillation possibles
par l’action de la tension continue Vcom .
7. Déduisez la valeur du facteur de conversion tension-fréquence défini par K 0 = ∆f ∆Vcom en
supposant un transfert linéaire.
Sylvain Géronimi
Page 208
Corrigé
1. Description du circuit
La résistance RS fixe le courant de polarisation du JFET et constitue l’impédance de charge du
transistor (supposée de faible valeur par rapport à la charge extérieure du circuit). Une diode
varicap est utilisée pour commander l’oscillateur. Connectée en parallèle avec le circuit
L − C1 − C2 (topologie Colpitts) du point de vue dynamique, elle est polarisée en inverse par la
tension continue Vcom de commande par le biais d’une inductance de très grande impédance en
HF (circuit ouvert en HF et court-circuit en continu). La connexion de la diode avec le circuit
L − C1 − C2 est réalisée par une capacité de liaison CL (court-circuit en HF et circuit ouvert en
continu). Le système est bouclé entre source et grille (montage drain commun du JFET).
2. Schéma et variables de polarisation
⎧VCC = RS I D + VDS
⎛ V
⎨
VP
⎩VGS = − RS I D
⎝
VCC
⎞
⎟⎟
⎠
2
B
2
VGS
⇒
VP2
J1
⎛
1
2 ⎞
⎟VGS + 1 = 0
+ ⎜⎜
−
⎟
I
R
V
P ⎠
⎝ DSS S
B
Vcom
B
D1
B
B
VGS0 = −1.5 V ( VP < VGS0 < 0 ), I D0 =
RS
480
B
− VGS0
RS
= 3.125 mA ,
VDS0 = VCC − RS I D0 ≅ 8.5 V
La tension de commande Vcom est appliquée diectement aux bornes de la diode varicap car le
condensateur CL est équivalent à un circuit ouvert. La self, équivalente à un court-circuit, relie la
grille du JFET à la masse.
3. Pente du JFET
gm = −
2
VP
I D0 I DSS ≅ 2.5 mA / V
4. Schéma
C1
B
avec Z1( p ) =
i
Z2
B
vgs
B
gm vgs
B
Z1
B
B
RS
Lp
et Z 2 ( p ) =
1 + RSC2 p
1 + LCV p 2
B
( CV : capacité de la diode Varicap)
Le condensateur de liaison CL est assimilé à un court-circuit à la fréquence de travail de
l’oscillateur.
Sylvain Géronimi
Page 209
⎧⎪g m Vgs ( p ) + C1 pVgs ( p ) + I ( p ) = 0
⎡ Z ( p) ⎤
1
⇒ gm +
+⎢ 2
+ 1⎥ C1 p = 0
⎨
Z1( p ) ⎣ Z1( p ) ⎦
⎪⎩Z1( p )I ( p ) = Vgs ( p ) + Z 2 ( p )C1 pVgs ( p )
soit 1 + g m RS + RS (C1 + C2 ) p +
En régime sinusoïdal, p = jω
d’où
LC1 p 2
1 + LCV p 2
(1 + RSC2 p ) = 0
⇒ 1 + g m RS +
⎛
LC1C 2 ω 2 ⎞⎟
⎜
+
+
+
=0
ω
j
R
C
C
S⎜ 1
2
LCV ω 2 − 1 ⎟⎠
LCV ω 2 − 1
⎝
LC1ω 2
⎧
LC1ω 2
= 0 (partie réelle)
⎪1 + g m RS +
LCV ω 2 − 1
⎪
⎨
LC1C2 ω 2
⎪
⎪C1 + C2 + LC ω 2 − 1 = 0 (partie imaginaire )
V
⎩
C1
⎧
⎪g m RS = C
2
⎪
⎪
1
⇒ ⎨ω
=
⎪ osc
⎛
CC ⎞
⎪
L ⎜⎜ CV + 1 2 ⎟⎟
C
⎪⎩
1 + C2 ⎠
⎝
Ici aussi, la self voit à ses bornes un condensateur équivalent de capacité C égale à CV en
parallèle sur C1 en série avec C2 , ce qui conduit à l’expression de la fréquence fosc . Le rapport
des tensions sur le réseau LC est C2 C1 , ce qui nécessite un gain de l’amplificateur Av = C1 C2
(ou Av = g m RS ) pour satisfaire les conditions de Barkhausen.
6. Evaluation de C1 et du domaine des fréquences d’oscillation
C1 = g m RS C2 = 120 pF .
Fréquences extrêmes : foscmax = 4512424 Hz ( CV = 2 pF ), foscmin = 4223534 Hz ( CV = 10 pF ).
7. Evaluation de K 0
L’excursion de fréquence ∆f est d’environ 289 kHz pour une tension de commande passant de
0.5 à 5 V, ce qui donne un transfert (supposé linéaire) du VCO
∆f
K0 =
≅ 64.2 kHz / V .
∆Vcom
Sylvain Géronimi
Page 210
Stabilisation d’une tension par diode zener
L’étude porte sur le circuit à diode zener suivant.
R
D
vE
Rch
vS
La tension v E (t ) = VEo + v e (t ) , v e (t ) étant l’ondulation résiduelle issue du filtrage, est appliquée à
l’entrée du circuit. Une tension v S (t ) = VSo + v s (t ) est recueillie sur la charge.
Les résistances statique RZ et dynamique rz de la diode zener sont de valeur négligeable devant la
résistance R.
1. Donnez l’expression de la tension VSo aux bornes de la charge.
2. Ecrivez la condition pour que la stabilisation ait bien lieu (polarisation de la diode dans sa zone
d’avalanche).
3. Ecrivez la condition pour que la puissance dissipée en régime permanent soit inférieure à la
puissance maximale (données constructeur).
4. Donnez l’expression de la tension v s (t ) aux bornes de la charge.
5. En supposant que Rch >> rz , discutez de la stabilité en dehors des problèmes liés à la
température et au vieillissement de la diode. On rappelle qu’une tension est stabilisée (et non
régulée) quelle que soit la variation de la source (stabilisation amont) et quelle que soit la variation
de la charge (stabilisation aval).
Sylvain Géronimi
Page 211
Corrigé
1. Expression de la tension aux bornes de la charge
R
Rth
RZ
VEo
Rch
Rch
VSo
Vth
VZo
avec
⇒
Vth = VEo
VSo = Vth
RZ
R
+ VZo
RZ + R
R + RZ
et Rth = R // R Z
Rch
Rch
R
⎛
⎞
≅
⎜VE Z + VZo ⎟
Rch + Rth Rch + RZ ⎝ o R
⎠
avec R >> R Z
2. Condition sur la réalisation de la stabilité
Pour que la stabilisation ait bien lieu, le point de fonctionnement de la diode doit se situer à
l’intersection de la droite de charge et de la partie pratiquement verticale de sa caractéristique. Le
circuit équivalent vu par la diode conduit à l’expression de cette droite de charge.
ID
R
VEo
avec Vth' = VEo
R’th
Rch
D
V’th
D
VD
Rch
V'
V
' = R // R , d’où la droite de charge I = − D − th
et Rth
ch
D
'
'
Rch + R
Rth
Rth
La condition s’écrit Vth' > VZo ou encore VEo
Rch
> VZo .
Rch + R
3. Condition sur la puissance dissipée dans la diode
La puissance dissipée dans la diode doit être nettement inférieure à la puissance maximale en
régime permanent, soit VSo I Z << PZmax = VSo I Zmax (à partir des données constructeur).
4. Expression de la tension aux bornes de la charge
Sylvain Géronimi
Page 212
R
ve
rth
rz
avec v th = v e
Puisque
Rch
vth
Rch
vs
Rch
rz
et rth = R // rz ⇒ v s = v th
rz + R
Rch + rth
rz << R ⇒
vs ≅
Rch rz
ve .
Rch + rz R
5. Stabilité de la tension
En considérant de très faibles variations de v e et Rch par rapport aux valeurs nominales, on
déduit les variations de v s au premier ordre par
dv s =
∂v s
∂v s
dv e +
dRch
∂v e
∂Rch
avec
dv s ⎡ ∂v s ⎤
Rch rz
=
=⎢
⎥
dv e ⎣ ∂v e ⎦ R =cte Rch + rz R
ch
⇒ dv s ≅
dRch
rz
r
dv e + z v s
R
Rch
Rch
Si dv e = 0 (stabilisation aval) →
et
⎡ ∂v ⎤
dv s
rz
rz
=
ve
=⎢ s ⎥
2
dRch ⎣ ∂Rch ⎦ v =cte (Rch + rz ) R
e
( Rch >> rz ).
dv s
r dRch
≅ z
vs
Rch Rch
Si dRch = 0 (stabilisation amont) → dv s ≅
rz
dv e
R
soit
dv s
dRch
<<
car rz << Rch
vs
Rch
soit dv s << dv e car rz << R
En conclusion, la stabilisation est d’autant meilleure que la variation v e (t ) de la source v E (t ) est
faible (bon filtrage), la résistance dynamique rz de la diode zener est faible (caractéristique
verticale), la résistance R de polarisation est grande (source de courant).
Remarquons que la tension zener est considérée comme parfaite dans ce problème ( ∆VZ = 0 ).
Toutefois, pour être complet, il faudrait tenir compte du coefficient de température et de
vieillissement de la diode ( ∆VZ relativement faible) (voir cours « Les régulateurs de tension »).
Sylvain Géronimi
Page 213
Circuits de stabilisation d’une tension par référence zener
Dans ce problème, les variations dues à la température et au vieillissement des composants ne seront
pas prises en compte. Le dispositif de stabilisation en tension est représenté sous la forme du
quadripôle suivant :
RE
iS (t)
Stabilisation
vS (t)
vE (t)
Rch
en tension
La tension de sortie VS dépend donc des variations de la tension VE et du courant continu soutiré IS ,
soit VS = f (VE , IS ) et pour de faibles variations autour du point de fonctionnement, on peut écrire
⎡ ∂V ⎤
⎡ ∂V ⎤
dVS = ⎢ S ⎥
dVE + ⎢ S ⎥
dI S
∂
V
⎣ E ⎦ IS =ISo
⎣ ∂IS ⎦VE =VEo
avec v s (t ) = dVS , v e (t ) = dVE , i s (t ) = dI S les variations dans le régime dynamique aux faibles signaux
respectivement aux points de fonctionnement VSo , VEo , ISo .
⎡v ⎤
facteur de
Du régime dynamique v s (t ) = SV v e (t ) − R0 i s (t ) , on définit les performances SV = ⎢ s ⎥
⎣ v e ⎦ i s =0
⎡v ⎤
régulation (stabilité en amont), R0 = − ⎢ s ⎥
résistance de sortie (stabilité en aval), à partir du
⎣ i s ⎦ v e =0
schéma suivant
R0
is
vs
SV ve
Rch
Trois dispositifs de stabilisation en tension, utilisant une référence de tension délivrée par une diode
zener, sont proposés ici et conduisent à trois problèmes indépendants. Chacun des problèmes
demande une étude du régime continu et une étude du régime dynamique aux faibles signaux en vue
de déterminer SV et R0 .
Sylvain Géronimi
Page 214
Stabilisation par diode zener
RE
R'
20
80
vE
Rch
D
→
Diode zener D
100
RZ ≅ 0 Ω, VZo = 9 V
⎪⎧statique
, R = RE + R ' .
⎨
⎪⎩dynamique rZ = 5 Ω
2. Déterminez le point de fonctionnement ( I Zo , VZo ) de la diode en fonction de VE , R, VZo , Rch .
3. Evaluez I Zo pour VE = 20 V , ainsi que la puissance dissipée PZ dans la diode zener.
4. Expliquez en quelques mots la présence de la résistance R’.
6. Ecrivez l’expression de la tension aux bornes de la résistance Rch en fonction du courant qui la
traverse et de la tension d’entrée v e .
7. Déduisez les expressions des coefficients SV et R0 , puis évaluez ces derniers.
Stabilisation par transistor
Q
RE
20
R
vE
Rch
100
D
Transistor Q
→
β = 100, VBE ≅ 0.6 V
( β >> 1 )
9. Le point de fonctionnement de la diode demeurant inchangé, déterminez les valeurs de la tension
VS et du courant IS en sortie.
10. Donnez l’expression de la résistance R et évaluez cette dernière pour VE = 20 V .
12. Evaluez le paramètre rbe du modèle du transistor.
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Page 215
Stabilisation par contre-réaction
Q
RE
20
R
R1
10k
+
vE
100
D
Amplificateur opérationnel →
Rch
-
R2
20k
Ad = 10 5 , Re = ∞, Rs = 0 Ω
16. Le point de fonctionnement de la diode demeurant toujours inchangé, calculez la tension de sortie
VS , le courant traversant le pont R1 − R2 étant de valeur négligeable devant IS .
17. Donnez l’expression de la résistance R et évaluez cette dernière pour VE = 20 V .
19. Evaluez le paramètre rbe du modèle du transistor.
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Page 216
Corrigé
Stabilisation par diode zener
1. Schéma
R
RZ ≅0
VE
Rch
VS
( R = RE + R ' )
VZo
2. Détermination du point de fonctionnement de la diode
Pour que la stabilisation ait bien lieu, le point de fonctionnement de la diode doit se situer à
l’intersection de la droite de charge et de la partie pratiquement verticale de sa caractéristique. Le
circuit équivalent vu par la diode conduit à l’expression de cette droite de charge.
ID
R
VE
avec Vth = VE
Rth
Rch
D
D
Vth
VD
Rch
V
V
et Rth = R // Rch , d’où la droite de charge I D = − D − th .
Rch + R
Rth Rth
Les coordonnées du point de repos sont alors VDo = − VZo , I Do =
VZo − Vth
Rth
.
3. Evaluation des variables statiques
I Zo = − I Do = 20 mA et la puissance dissipée dans la diode est PZ = VZo I Zo = 180 mW .
4. Présence de la résistance R’
En l’absence de la résistance R’ ( R = RE ), le courant I Zo traversant la diode serait de 460 mA et
la puissance dissipée de 4.14 W, valeur excessive conduisant à la destruction du composant.
Sylvain Géronimi
Page 217
5. Schéma
is
R
ve
rz
Rch
vs
6. Relation de v s (v e , i s )
is
avec v th = v e
rth
Rch
vth
rz
et rth = R // rz
rz + R
vs
⇒ vs =
rz
R rz
ve −
is
R + rz
R + rz
7. Evaluation des coefficients SV et R0
SV =
rz
R rz
≅ 48 10 −3 , R0 =
≅ 4.76 Ω .
R + rz
R + rz
Stabilisation par transistor
8. Schéma
RE
β IB
Q
VBE
R
IZo + IB
VE
IS
IB
Rch
VS
IZo
VZo
9. Evaluation de IS et VS
Le point de fonctionnement de la diode est inchangé ( VZo = 9 V , I Zo = 20 mA ).
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Page 218
(
) (
)
⎧VE = RE β I B + I Zo + I B + R I Zo + I B + VZo
⎪
⎪VZ = VBE + VS
Circuit → ⎨ o
(système à 4 inconnues I B , IS , VS , R)
⎪VS = Rch IS
⎪I = (β + 1)I
B
⎩S
Des trois dernières équations, on tire
V
I
VS = VZo − VBEo ≅ 8.4 V , IS = S ≅ 84 mA , I Bo ≅ S ≅ 0.84 mA .
β
Rch
La première équation du système donne R =
(
VE − VZo − RE I Zo + IS
I Zo + I Bo
) ≅ 428 Ω .
11. Schéma
β ib
RE
R
iz + ib
rbe
ib
ve
is
Rch
vs
iz
rz
rbe =
UT
≅ 30 Ω .
I Bo
⎧v e = RE (i z + i s ) + R (i z + i b ) + rz i z
⎪
Circuit → ⎨v s = rz i z − rbe i b
(système à 3 inconnues i b , i z , v s ( i s ,v e ) )
⎪i = (β + 1)i
b
⎩s
En éliminant successivement i b et i z , on obtient la relation souhaitée.
⎧
⎛
R ⎞
⎟ is
⎪v e = (RE + R + rz )i z + ⎜⎜ RE +
⎡r
⎤
β
+ 1 ⎟⎠
⎛
rz
rz
R⎞
⎪
⎝
⇒ vs ≅
v e − ⎢ be + ⎜⎜ RE + ⎟⎟
⎨
⎥ is
β ⎠ RE + R + rz ⎦
RE + R + r z
⎣ β ⎝
⎪v = r i − rbe i
z z
s
⎪ s
β +1
⎩
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Page 219
SV =
⎛
r
rz
rz
R⎞
≅ 0.57 Ω .
≅ 11 10 −3 , R0 ≅ be + ⎜⎜ RE + ⎟⎟
β ⎝
β ⎠ RE + R + r z
RE + R + r z
Stabilisation par contre-réaction
15. Schéma
RE
Q
β IB
IS
IP
R
VBE
R1
0
IB
+
IZo
Rch
VE
VS
V’S
VZo
-
R2
0
16. Evaluation de IS et VS
Le point de fonctionnement de la diode est inchangé ( VZo = 9 V , I Zo = 20 mA ).
⎧V + = VZ
o
⎪
R2
⎪ −
⎧VE ≅ RE IS + I Zo + R I Zo + VZo
⎪V = R + R VS
⎪
1
2
⎪
⎞
R2
⎪ ⎛
⎪
Circuit → ⎨VE = RE β I B + I Zo + R I Zo + VZo ⇒ ⎨ Ad ⎜⎜VZo −
VS ⎟⎟ = VBE + VS
R1 + R2
⎠
⎪ ⎝
⎪ '
+
−
⎪V = R I
⎪VS = Ad V − V = VBE + VS
S
ch
S
⎩
⎪V = R I
ch S
⎪ S
⎩⎪IS = (β + 1)I B + I P
(
(
(
)
)
La deuxième équation donne VS =
Le courant de polarisation I Bo ≅
Ad VZo − VBEo
R2
1 + Ad
R1 + R2
IS
β
≅ 1.35 mA .
La première équation donne R ≅
⎛
R ⎞
≅ VZo ⎜⎜1 + 1 ⎟⎟ ≅ 13.5 V .
R
2 ⎠
⎝
VS
≅ 135 mA .
Rch
La troisième équation donne IS =
Sylvain Géronimi
)
(
VE − VZo − RE IS + I Zo
I Zo
Page 220
) ≅ 395 Ω .
18. Schéma
β ib
RE
is
ib
ip
R
ve
R1
rbe
0
iz
+
rz
-
Rch
v’s
vs
R2
0
rbe =
UT
≅ 18.5 Ω .
I Bo
⎧v e = RE (i z + β i b ) + (R + rz ) i z
⎪
⎞
⎛
R2
⎪
v s ⎟⎟
Circuit → ⎨v s' = rbe i b + v s = Ad ⎜⎜ rz i z −
R1 + R2 ⎠
⎝
⎪
⎪i ≅ (β + 1)i ≅ β i
b
b
⎩s
En éliminant successivement i b et i z , on obtient la relation souhaitée.
⎧v e ≅ RE i s + (RE + R + rz ) i z
⎪
⎛
⎞ ou encore
R2
⎨ rbe
⎪ β i s + v s ≅ Ad ⎜⎜ rz i z − R + R v s ⎟⎟
1
2
⎝
⎠
⎩
ve
RE
⎧
⎪i z ≅ R + R + r − R + R + r i s
E
z
E
z
⎪
⎨
⎛
⎞
r
R2
⎪v ⎜1 + A
⎟⎟ ≅ Ad rz i z − be i s
d
⎪ s ⎜⎝
R
R
+
β
1
2 ⎠
⎩
⎛r
⎛
R2 ⎞
rz
r z RE
⎟⎟ ≅ Ad
v e − ⎜⎜ be + Ad
⇒ v s ⎜⎜1 + Ad
R1 + R2 ⎠
RE + R + r z
RE + R + r z
⎝ β
⎝
⎞
⎟⎟ i s
⎠
SV =
R0 =
⎛
rz
R ⎞
rz
≅ ⎜1 + 1 ⎟
≅ 17.8 10 −3
R2
RE + R + rz ⎜⎝ R2 ⎟⎠ RE + R + rz
1 + Ad
R1 + R2
Ad
⎛ rbe
r z RE
⎜
⎜ β A +R + R + r
R2
d
E
z
⎝
1 + Ad
R1 + R2
Sylvain Géronimi
Ad
⎞ ⎛
R ⎞
rz RE
⎟ ≅ ⎜1 + 1 ⎟
⎟ ⎜ R ⎟ R + R + r ≅ 0.36 Ω .
2 ⎠ E
z
⎠ ⎝
Page 221
Régulateur de tension 15 V / 2 A
L’alimentation régulée de la figure ci-dessous doit répondre au cahier des charges suivant :
VS = 15 V , IS ≤ 2 A
La tension d’entrée v E (t ) non régulée présente une valeur moyenne VE = 25 V . Les transistors sont
caractérisés par β1 = 100 , β 2 = 50 , β 3 = 20 . L’amplificateur différentiel de tension U1 est supposé
idéal.
Q3
D1
R2
IS
Q2
IP << IS
R3
2mA
Q1
+
VE
U1
R4
VS
R1
D2
R5
2mA
L’étude de ce montage s’effectue en régime continu
1. Sachant que l’amplificateur différentiel de tension peut fournir un courant de sortie maximum de
20 mA, démontez l’obligation d’utiliser un ballast Darlington (on ne tiendra pas compte ici du
courant dans la résistance R3 ).
2. Evaluez la puissance critique dissipée par Q3 (court-circuit en sortie).
3. Evaluez la résistance R3 suivant le critère de déviation du 1/10ème du courant maximum de base
de Q3 .
4. La tension de référence est obtenue par un montage utilisant deux diodes zener polarisées
chacune par un courant de 2 mA et telles que VZ1 = 10 V et VZ2 = 5 V . Evaluez les résistances
R1 et R 2 .
5. Déterminez les valeurs des résistances R 4 et R5 du pont pour satisfaire le cahier des charges
(prendre I P = 1 mA ).
Sylvain Géronimi
Page 222
Corrigé
1. Utilisation d’un ballast Darlington
Il n’est pas nécessaire de tenir compte du courant dérivé par la résistance R3 puisqu’un ordre de
grandeur du courant de base de Q2 est recherché lorsque IS max est demandé.
I B3 max ≅
I B2 max ≅
IS max
= 100 mA , valeur de courant que ne peut produire U1 (20 mA maximum)
β3
I B3 max
= 2 mA , valeur inférieure à 20 mA.
β2
2. Puissance critique dissipée par Q3
Le transistor Q3 dissipe une puissance maximale PQ3 ≅ VCE3 IC3 ≅ (VE − VS )ISmax = 20 W , sans
compter les conditions de court-circuit en sortie qui entraîne VCE3
max
= 25 V . Si Q3 doit
fonctionner en toute sécurité, la puissance dissipée en continu dans le pire cas doit être faible
devant sa puissance totale maximale (donnée constructeur), ce qui à employer un transistor dont
le gain en courant β min est de l’ordre de 20. Un montage Darlington est alors nécessaire.
3. Evaluation de la résistance R3
VBE3 ≅ R3
I B3
max
10
⇒ R3 ≅ 60 Ω
4. Evaluation des résistances R1 et R2
R1 =
VE − VZ1
I1
≅ 7.5 kΩ ( IB1 << 2 mA ) et R2 =
VZ1 − VEB1
I E1
≅ 4.7 kΩ ( I + = 0, β1 >> 1 )
5. Evaluation des résistances R 4 et R5
R5
⎧
VS
⎪VZ2 =
R 4 + R5
⎨
⎪V = (R + R )I
4
5 P
⎩ S
Sylvain Géronimi
(V
+
VZ2
⎧
= 5 kΩ
⎪R5 =
=V )
IP
⎪
⇒ ⎨
⎪R = VS − VZ2 = 10 kΩ
⎪ 4
IP
⎩
−
Page 223
Etage de puissance push-pull série avec sources de Widlar
L’étude porte sur le régime pseudo-continu de l’étage terminal de puissance de la figure ci-dessous, le
but étant d’évaluer le rendement maximal. Une étude complémentaire détermine les caractéristiques
du montage aux faibles signaux.
Les paires Q1 - Q2 de gain en courant β = 100 , et Q3 - Q4 de gain en courant β ' = 250 , sont des
transistors supposés technologiquement parfaitement complémentaires dont l’effet d’Early est négligé
( VA = ∞ ). Les diodes D1 - D2 et D3 - D4 - D5 - D6 sont identiques. La valeur de la tension aux bornes
d’une diode ou d’une jonction base-émetteur de transistor sera de l’ordre de 0.6 V, quelque soit le
courant qui traverse le composant (même si ce courant est très faible). L’alimentation symétrique
fournit des tensions VCC = ± 15 V et le montage fonctionne en classe AB tel que IC1 = IC2 = 10 mA .
o
o
+VCC
D3
R1
400
D4
Q3
Q1
R3
120k
RE1
2.2
D1
iS(t)
vE(t)
RE2
2.2
D2
Rch
100
vS(t)
Q2
Q4
D5
R2
400
D6
-VCC
1. Donnez une brève description du circuit et expliquez, en quelques mots, son fonctionnement lors
d’une attaque par un signal sinusoïdal.
3. Déterminez les potentiels de nœuds et les courants circulant dans les branches du montage et
rapportez ces valeurs sur le schéma.
4. Evaluez la puissance fournie par les alimentations.
Sylvain Géronimi
Page 224
Etude du régime pseudo- continu
La tension d’attaque du montage est augmentée jusqu’à une valeur telle que la tension de sortie
approche la limite de l’écrêtage.
6. Evaluez la tension et le courant de sortie dans le cas où le transistor Q3 est voisin de la saturation
( VEC3 ≅ 0.2 V ).
7. Déterminez les potentiels de nœuds et les courants circulant dans les branches du montage.
8. Dans un contexte sinusoïdal de l’attaque, tracez les variations en fonction du temps de la tension
VCE des transistors Q3 ou Q4 , du courant traversant les diodes D1 ou D2 , du courant de base
des transistors Q1 ou Q2 et du courant de sortie.
9. Evaluez le rendement maximum du montage.
10. Dessinez le schéma dans le cas d’une variation de tension positive de v e (t ) en tenant compte de
la présence des résistances rd des diodes et z0 des sources de courant.
Le montage est attaqué par un générateur de résistance rg = 100 Ω . Les influences des résistances
des diodes et des sources sont négligées ( rd = 0 , z0 = ∞ ) et le paramètre rbe1 est évalué à 80 Ω.
11. Evaluez la résistance d’entrée Re , le gain en tension A v = v s v e et la résistance de sortie Rs
vue par la charge.
Corrigé
1. Description
Le schéma se compose d’un circuit de polarisation qui alimente un étage push-pull série débitant un
courant dans la charge.
- L’étage push-pull, constitué des transistors complémentaires Q1 et Q2 montés chacun en
émetteur suiveur, doit fournir une grande excursion de tension en sortie et avoir une faible
résistance de sortie vis-à-vis de la charge Rch (attaque en tension). Les résistances RE1 et RE 2
-
servent à améliorer la stabilité thermique du montage et leur valeur doit rester faible par rapport à
la valeur de la charge. La tension de polarisation entre les bases déterminera la classe de
fonctionnement.
La polarisation s’effectue grâce aux sources de courant de type Widlar réglées par les résistances
R1 et R2 . Au repos, la majorité du courant issu de ces sources parcourt la paire de diodes D1 et
D2 connectées en série, produisant une translation de tension continue d’environ 1.2 V et le faible
courant restant constitue le courant de base de Q1 et Q2 (caractéristiques des jonctions des
diodes et transistors différentes). La distorsion de croisement est pratiquement éliminée en
concédant une légère conduction des transistors de sortie au repos. La classe de fonctionnement
est AB.
Lorsque le signal d’entrée devient positif, Q1 se comporte comme une source de courant alimentant la
charge et Q2 se bloque et inversement pour un signal d’entrée négatif. Pour un signal sinusoïdal,
chaque transistor ne conduit donc que durant à peu près une demi période.
Sylvain Géronimi
Page 225
2. Schéma
+ 15 V
400
10 mA
1.5 mA
224 µA
14.4 V
13.8 V
Q3
6 µA
100 µA
0.6 V
Q1
1.4 mA
120k
2.2
0A
0V
0V
230 µA
VE
2.2
100
1.4 mA
100 µA
- 0.6 V
Q2
6 µA
-13.8 V
Q4
- 14.4 V
10 mA
1.5 mA
400
224 µA
- 15 V
3. Calcul des courants et tensions
Aucune source dynamique n’étant appliquée à l’entrée du circuit, VE = 0 .
I R3 =
2VCC − 4VD
≅ 230 µA avec VD ≅ 0.6 V .
R3
I R1 =
VD
≅ 1.5 mA avec VEB ≅ 0.6 V (de même I R2 ≅ 1.5 mA ).
R1
Les sources de courant produisent I 0 ≅ 1.5 mA car IC3 ≅ I R1 et IC4 ≅ I R2 .
o
I D3D4 ≅ I R3 −
IC 3
o
β'
o
≅ 224 µA
Les valeurs des potentiels et courants sont indiqués sur le schéma ci-dessus.
4. Calcul de la puissance fournie
Par symétrie, chacune des alimentations fournit au montage le même courant
+ =I
−
ICC
C1 + I R1 + I D3D4 ≅ 11.7 mA (ou ICC = IC2 + I R2 + I D5D6 )
o
+ + I − ) ≅ 352 mW
Pfournie = 2VCC (ICC
CC
Sylvain Géronimi
o
Page 226
En considérant la valeur crête Vemax de l’alternance positive de la tension sinusoïdale v E (t ) , le
transistor Q2 est bloqué et la tension crête de sortie VS est maximale (limite de l’écrêtage).
5. Schéma
+ 15 V
400
133 mA
1.5 mA
224 µA
14.4 V
13.8 V
Q3
6 µA
1.33 mA
14.2 V
Q1
170 µA
120k
13.6 V
2.2
133 mA
13.6 V
13.3 V
230 µA
VE
1.5 mA
100
13 V
6 µA
-13.8 V
Q4
- 14.4 V
1.5 mA
400
224 µA
- 15 V
6. Calcul des valeurs maximales des tension et courant de sortie
Le transistor Q3 est au voisin de la saturation,
(
)
⎧⎪VCC ≅ VD + VEC3 sat + VBE1 + RE1 + Rch ISmax
⇒ ISmax ≅ 133 mA et VSmax ≅ 13.3 V
⎨
⎪⎩VSmax = Rch ISmax
Il faut noter que Q3 ne délivrera un courant I 0 constant (effet Early négligé) que si la tension
VEC3 est supérieure ou voisine de VECsat .
7. Calcul des courants et tensions
I B1 max ≅
ISmax
β
≅ 1.33 mA , I D1 = I 0 − I B1max ≅ 170 µA .
Les valeurs des potentiels et courants sont indiqués ci-dessus.
Le courant traversant la diode D1 étant relativement faible, la tension à ses bornes est surestimée
par l’hypothèse du problème ( 0.5 V < VD1 < 0.6 V ). Il serait peut-être concevable d’augmenter la
valeur de I 0 afin d’obtenir une polarisation plus correcte des diodes D1 et D2 au détriment du
rendement.
Sylvain Géronimi
Page 227
Il est aussi à remarquer que la tension − VCC fournit uniquement les courants d’alimentation de la
source de Wildar Q4 - R2 et qu’une tension de 0.3 V est perdue aux bornes de la résistance RE1
( VEmax ≅ 13.6 V ). Le gain en tension du montage est donc VSmax VEmax ≅ 0.98 .
8. Détermination des variations sinusoïdales
L’étude de la polarisation fournit les valeurs à t = 0, T 2 , T . L’étude précédente apporte les
valeurs maximales obtenues à t = T 4 ainsi qu’à t = 3T 4 par la symétrie complémentaire du
montage, lorsque le signal sinusoïdal d’attaque passe respectivement par les valeurs crête
maximale et minimale.
Au sein des chronogrammes, le signal sinusoïdal est de fréquence 1 kHz (période 1 ms).
30V
20V
(0, 13.8)
vEC3(t)
(745u, 27.4)
10V
(245u, 200m)
0V
20V
(245u, 13.6)
vE(t)
0V
(1.25m, 13.3)
(1.75m, -13.3)
vS(t)
(745u ,-13.6)
-20V
0s
0.2ms
0.4ms
0.6ms
0.8ms
1.0ms
1.2ms
1.4ms
1.6ms
1.8ms
2.0ms
Time
La tension v EC (t ) de Q3 varie de 0.2 V ( ≥ VECsat ) à 27.4 V en valeurs extrêmes, de valeur
moyenne VECo = 13.8 V et d’amplitude crête Vec = 13.6 V . Les tensions maximales d’entrée et de
sortie diffèrent de 0.3 V (présence des résistances de stabilisation en température) puisque ces
calculs ont été obtenus en supposant que les jonctions de composants présentaient 0.6 V malgré
des courants et caractéristiques différentes. En continu, le potentiel de sortie est nul par le fait que
les composants du circuit sont parfaitement complémentaires et identiques.
2.0mA
I0(t)
(245u, 1.33m)
(1.36m, 1.5m)
iD1(t)
1.0mA
(245u, 170u)
iB1(t)
(1.5m, 100u)
(757u, 29n)
0A
200mA
(0, 10 m)
iC1(t)
(1.5m, 10m)
(245u, 133m)
0A
iC2(t)
(1.5m, -10m)
(745u, -133m)
-200mA
200mA
(245u, 133m)
0A
iS(t)
(745u, -133m)
(1.5m, 34n)
-200mA
0s
0.2ms
0.4ms
0.6ms
0.8ms
1.0ms
1.2ms
1.4ms
1.6ms
1.8ms
2.0ms
Time
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Page 228
Quant aux variations des courants, les courants collecteurs de Q1 ou Q2 , à l’image de leurs
courants de base, correspondent à un signal monoalterné dû à la classe AB. Sur un faible temps
par rapport à la période, l’angle de conduction est supérieur à π et la distorsion de croisement
n’apparaît aucunement dans l’évolution de i S (t ) , les caractéristiques non linéaires de Q1 et Q2
étant identiques. L’évolution du courant dans la diode D1 est à l’inverse de l’évolution du courant
de base de Q1 puisque leur somme est pratiquement constante à I 0 .
9. Calcul du rendement maximum
Le calcul s’effectue pour une dynamique maximale aux bornes de la charge. La puissance utile
est alors Putile max
(V
=
2
s max
)
2
Rch
≅ 0.885 W (efficace).
L’alimentation + VCC fournit le faible courant parcourant les diodes D3 - D4 , le courant d’émetteur
de Q3 (courants constants sur la période) et la valeur moyenne du courant monoalterné de
collecteur de Q1 d’amplitude crête I s (courant variable existant uniquement sur la première demipériode),
I
1 π
+
I s sinθ dθ = s ( θ = ωt , I s = ISmax )
= I D3D4 + I 0 + IC1moyen ≅ 44.06 mA avec IC1moyen ≅
soit ICC
2π 0
π
∫
Vu la symétrie du montage, l’alimentation − VCC fournit la même quantité de courant, soit
(
)
−
+
−
ICC
= I D5D6 + I 0 + IC2 moyen , d’où Pfournie max = VCC ICC
+ ICC
≅ 1.32 W ⇒ η max =
Putile max
Pfournie max
≅ 0.67 .
Ce rendement parait très honorable pour cette structure. Il est à noter un point de détail dans le
calcul de la valeur moyenne des courants de collecteur des transistors de sortie, effectué plus
haut entre 0 et π. En effet, ce calcul sous-estime très légèrement la valeur moyenne du vrai signal
d’angle de conduction supérieur à π (propre à la classe AB).
10. Schéma
rbe
rd
ve
rd + z0
i
βi
RE1
Rch
vs
z0
11. Evaluation des caractéristiques
Résistance d’entrée
Re = rbe + (β + 1) RE1 + Rch ≅ 10.4 kΩ
(
rbe
Rg
+
ve
i
βi
RE1
vs
Rch
vg
)
Gain en tension
(β + 1)Rch
v
Av = s =
≅ 0.97
v e rbe + (β + 1) RE1 + Rch
(
)
Résistance de sortie vue par la charge
rg + rbe
Rs =
+ RE1 ≅ 4 Ω .
β +1
(performances d’un étage collecteur commun)
Sylvain Géronimi
Page 229
Push-pull série piloté par amplificateur de tension intégré et contre-réaction
L’étude porte sur l’amplificateur de puissance représenté à la figure ci-dessous. Cette étude est
effectuée en régime dynamique aux faibles signaux en tenant compte des paramètres suivants :
→ R d = 1 MΩ , Rs = 100 Ω et fonction de transfert
U1
β = 100 , rbe = 80 Ω , rce = ∞ , Cbe , Cbc de valeurs négligeables
Q1, Q2
→
D1, D2
→ rd ≅ 0 Ω
I1, I2
Ad
1
avec Ad = 10 5 et fh =
= 10 Hz
1+ τ p
2π τ
→ z0 très grand
R4
9k
+15V
I1
Q1
U1
D1
+
R1
2.2
V
vE
R2
-
D2
Rch
2.2
vS
100
R3
1k
I2
Q2
C1
10u
-15V
Compréhension du montage
1. Expliquez brièvement ce montage et préciser le type de contre-réaction et la classe de
fonctionnement.
2. Dessinez le montage sous forme de schémas-blocs faisant apparaître la chaîne directe G(p) et la
chaîne de retour B(p ) .
3. Caractérisez la chaîne directe ( Ze , Zs vue par la charge, Av ) et de la chaîne de retour.
4. Caractérisez le montage en boucle fermée ( Ze' , Zs' vue par la charge, A'v ) en vérifiant les
conditions d’adaptation d’impédances.
5. Si un signal parasite v p de 1 Vpp s’ajoute au signal v issu de l’amplificateur U1 , exprimez la
tension de sortie v s en fonction des tensions v e et v p . Interprétez ce résultat.
Sylvain Géronimi
Page 230
Etude du régime dynamique aux fréquences hautes et basses
6. Calculez la fréquence de coupure haute.
7. Dessinez le schéma équivalent aux basses fréquences et calculez la fréquence de coupure
basse.
8. Tracez la réponse en fréquence du gain en tension dans le plan de Bode.
9. Déterminez les expressions des impédances d’entrée et de sortie en fonction de la fréquence et
interprétez les résultats.
10. Pour un signal d’entrée en forme d’échelon, déterminez le temps de montée du signal de sortie,
temps défini entre 10 et 90 %.
Corrigé
Compréhension du montage
1. Explication
Le circuit est un système asservi tel que la chaîne directe se compose d’un amplificateur différentiel
de tension U1 pilotant un étage push-pull série et la chaîne de retour d’un atténuateur résistif. La
configuration étant série/parallèle, le circuit subit une contre-réaction tension/tension.
- L’étage push-pull, suiveur de tension, présente une translation de tension entre les bases des
transistors Q1 et Q2 , produite par deux diodes D1 et D2 montées en série. Cette translation
définit un fonctionnement en classe B/AB. Les sources de courant doivent, potentiellement,
fournir les courants de polarisation des diodes et les courants de base permettant d’atteindre le
niveau de saturation de la tension de sortie. Les résistances R1 et R2 améliore le comportement
thermique de l’étage de puissance (stabilisation par résistance d’émetteur).
- Le circuit de retour fixe le gain en tension de l’ensemble contre-réactionné car la chaîne directe
possède un fort gain en tension par le biais de l’amplificateur U1 .
-
La contre-réaction est totale en régime continu. En effet, le condensateur C1 étant assimilé à un
circuit ouvert et l’entrée du montage étant connectée à la masse, l’asservissement maintient le
potentiel continu de sortie à 0 V. En régime dynamique, la contre-réaction est partielle, fixée par
le pont résistif car le condensateur est assimilé à un court-circuit dans le domaine des
fréquences de travail.
2. Schéma
G(p)
+
étage suiveur
U1
vd
ve
Rch
vs
R4
R3
vr
C1
B(p)
Sylvain Géronimi
Page 231
L’adaptation sur la charge étant supposée réalisée (ici condition de circuit ouvert en sortie ou encore
Rch → ∞ ), nous caractérisons chaque bloc de façon indépendante, puis le montage contre-réactionné
en validant les conditions d’adaptation des blocs (voir cours « La contre-réaction »).
3. Caractérisation des chaînes directe et de retour
(+)
rbe
Rs
+
vd
Rd
Ad vd
i
βi
R1
z0 / 2
vs
Rch
(-)
Pour la chaîne directe, l’entrée (-) de l’amplificateur différentiel de tension U1 est à la masse, les
deux sources de courant sont en parallèle ( z0 2 >> Rs ) et Rch → ∞ .
A d (β + 1)Rch
⎧⎪ A d v d ≅ (Rs + rbe )i + (β + 1)(R1 + Rch )i
v
⇒ Av = s ≅
≅ A d = 10 5
⎨
v d Rs + rbe + (β + 1)(R1 + Rch )
⎪⎩v s = (β + 1)Rch i
Le calcul de la résistance de sortie du dipôle se fait en éteignant la tension d’entrée ( v d = 0 )
⎧i 0 + (β + 1)i = 0
v
R +r
⇒ Z s = 0 ≅ R1 + s be ≅ 4 Ω et Z e = Rd = 1 MΩ
⎨
(
)
(
)
β
1
v
≅
−
R
+
r
i
−
+
R
i
i
β +1
s
be
1
0
⎩ 0
La chaîne de retour est un quadripôle résistif supposé attaqué en tension v s , non chargé, et de
tension de sortie v r , le condensateur C1 étant assimilé à un court-circuit, soit
R3
vr
=
=λ.
v s R3 + R 4
4. Caractérisation du montage en boucle fermée
La théorie de la contre-réaction réclame la connaissance du facteur 1 + G( p ) B( p ) , soit, aux
fréquences moyennes, 1 + Ad λ ≅ 10 4 avec G ≡ A v ≅ A d et B ≡ λ .
Le gain est alors A 'v = Ad (1 + Ad λ ) ≅ 10 , la résistance d’entrée est Z e' = Z e (1 + Ad λ ) ≅ 1010 Ω
(topologie série) et la résistance de sortie Z 's = Z s (1 + Ad λ ) ≅ 0.4 mΩ (topologie parallèle).
+
ve
Zs
Ze
vd
Rch
vs
Av vd
R4
vr
+
⇒
ve
Z’s
Z’e
Rch
vs
A’v ve
R3
Le quadripôle de retour est attaqué tel que Z s << R3 + R 4 et Z e >> R3 // (R 4 + Z s ) ne charge pas
la sortie ( Z s << Rch ). Les conditions d’adaptation en tension sont donc satisfaites.
Sylvain Géronimi
Page 232
Rch
A 'v v e ≅ A 'v v e puisque Z 's << Rch , ce qui
Rch + Z s'
correspond bien à une attaque en tension de la charge (condition de circuit ouvert en sortie).
La tension de sortie en charge est alors v s =
5. Influence d’un signal parasite
Le signal parasite v p s’ajoute au signal v issu de l’amplificateur U1 .
vp
ve
+
v
Ad
+
vs
+1
-
λ
vp
⎧⎪v s = v p + v
Ad
v
1
+ e
⇒ vs =
vp +
v e , mais Ad λ >> 1 ⇒ v s ≅
⎨
Ad λ λ
1 + Ad λ
1 + Ad λ
⎪⎩v = Ad (v e − λ v s )
En sortie, la composante issue de la perturbation est divisée par le gain Ad de l’amplificateur
différentiel par rapport à la composante du signal d’entrée. Pour v p = 1 Vpp , 100 µV viennent
s’ajouter au transfert de tension.
Etude du régime dynamique aux fréquences hautes et basses
6. Calcul de la fréquence de coupure haute
Le système en boucle fermée s’écrit H ( jω ) =
qui donne H ( jω ) =
Ad
1 + Ad λ
1
ω
1+ j
ω h'
G( jω )
avec G( jω ) =
1 + G( jω ) B( jω )
Ad
ω
1+ j
ωh
et B = λ , ce
avec ωh' = (1 + Ad λ )ωh (voir cours « La contre-réaction »).
La contre-réaction augmente la fréquence de coupure haute fh' ≅ 100 kHz ( fh = 10 Hz ).
7. Calcul de la fréquence de coupure basse
Zs
(+)
ve = 0
+
Ze
vd
Rch
vs
Av vd
(-)
R4
R3
C1
Sylvain Géronimi
Page 233
Le système est du premier ordre puisque le circuit comporte un seul condensateur. Le pôle de la
fonction de transfert est trouvé à partir de la constante de temps C1 Req , avec Req résistance
équivalente du dipôle vue aux bornes du condensateur.
Pour ce calcul, remarquons que la branche composée de la source liée et de la résistance R 4
possède la tension v d à ses bornes après avoir constaté que Z s << Rch (Thévenin).
R3
i0
v d ≅ − Av v d + R 4 i
i
Ze
vd
v0
⇒
R4
+
d’où Req =
Av vd
La fréquence de coupure basse est fb ≅
vd
R4
≅
i
1 + Av
v0
R4
≅ R3 + Z e //
≅ R3 .
i0
1 + Av
1
≅ 15.9 Hz , valeur très acceptable puisque le
2π R3 C1
gain en tension de la chaîne directe, fonction de la fréquence, n’a pratiquement pas varié ( ≅ 10 5 ).
La fonction de transfert en tension peut s’annuler par la présence du même condensateur. En
effet, si la tension de sortie v s est nulle, C1 voit à ses bornes les résistances R3 et R 4 // Z e en
série et la valeur de la fréquence de coupure relative au zéro est fz ≅
La fonction de transfert est de la forme H (p ) =
Pour ω → ∞ ⇒ H ( jω ) ≅
1+
1+
p
ωz
p
ωc
=
1
≅ 1.59 Hz .
2π (R3 + R 4 )C1
1 + (R3 + R 4 )C1 p
( p = jω ).
1 + R3 C1 p
R3 + R 4
= 10 ( 20 dB )
R3
Pour ω → 0 ⇒ H ( jω ) ≅ 1 ( 0 dB )
8. Tracé du gain en tension
30
contre-réaction dynamique
(15.849, 17.015)
20
(104.713K, 17.012)
pôle
10
pôle
(1.6046, 3.0025)
pente
20 dB/décade
zéro
contre-réaction
statique
pente
- 20 dB/décade
0
gain unité
-10
100mHz
10mHz
DB(V(S))
1.0Hz
10Hz
100Hz
1.0KHz
10KHz
100KHz
1.0MHz
Frequency
Sylvain Géronimi
Page 234
9. Expressions et tracés des impédances
En négligeant l’effet dû au condensateur C1 (effet aux basses fréquences),
⎛
Ad λ
Z e' ( jω ) = Z e ⎜⎜1 +
⎝ 1 + jωτ
⎞
⎟⎟ = Z e (1 + Ad λ )
⎠
1 + jω
τ
1 + Ad λ
= Z e'
1 + jω τ
ω
ωh'
ω
1+ j
ωh
1+ j
ω → 0, Ze' ≅ 1010 Ω (200 dB, boucle fermée), ω → ∞, Z e' ≅ 10 6 Ω (120 dB, boucle ouverte)
ω
1+ j
Zs
Zs
ωh
1 + jω τ
'
'
Z s (p ) =
=
≅ Zs
τ
ω
Ad λ
1 + Ad λ
1 + jω
1+ j '
1+
1 + Ad λ
1 + jωτ
ωh
ω → 0, Z s' ≅ 0.4 mΩ (- 68 dB, boucle fermée), ω → ∞, Z e' ≅ 4 Ω (12 dB, boucle ouverte)
Les pôles et zéros sont positionnés aux valeurs 10 Hz et 100 kHz. Ces résultats indiquent que les
impédances évoluent rapidement à partir de la fréquence de coupure de la chaîne directe.
10. Evaluation du temps de montée
La réponse d’un système du premier ordre à un échelon de tension d’amplitude V s’écrit
t
⎛
− ⎞
v S (t ) = V ⎜1 − e τ ⎟ avec τ constante de temps du système aux faibles signaux.
⎜
⎟
⎝
⎠
10
⎧
⎪v S (t1 ) = 0.1 V → t1 = τ Ln
⇒ t r = t 2 − t1 = τ Ln 9
9
⎨
⎪v (t ) = 0.9 V → t = τ Ln 10
2
⎩ S 2
soit t r ≅ 2.2 τ ou t r ≅
2 .2
ωh
ou encore t r ≅
0.35
( fh fréquence de coupure haute).
fh
Ici, le passe-bas du premier ordre présente une fréquence de coupure haute fh' ≅ 100 kHz et le
temps de montée s’écrit t r' ≅
0.35
fh'
=
t
0.35
≅ r et s’évalue à 3.5 µs ( t r temps de montée
(1 + λ Ad )fh λ Ad
de la chaîne directe).
Ainsi, en réponse à un échelon de tension en entrée, le temps de montée est amélioré par la
contre-réaction d’autant mieux que λ est grand ou encore le gain en boucle fermée A 'v ≅ 1 λ est
faible.
Sylvain Géronimi
Page 235
Etage de puissance push-pull série en pont
L’étude porte sur l’étage amplificateur de puissance ponté en pont dont le schéma de principe est
représenté à la figure ci-dessous.
Les transistors de sortie ( Q1 , Q2 , Q5 , Q6 ) possèdent un gain β de 50 et les précédents
( Q3 , Q4 , Q7 , Q8 ) un gain β’ de 100. Les sources de courant I 0 sont constituées par des miroirs
élémentaires dont les transistors ont un gain en courant très élevé devant l’unité. Dans chacune de
ces trois catégories, les transistors sont supposés technologiquement parfaitement identiques ou
complémentaires. Les amplificateurs de tension ( U1 , U 2 ) sont supposés idéaux et les diodes
identiques.
La valeur de la tension aux bornes d’une diode ou d’une jonction base-émetteur de transistor sera de
l’ordre de 0.6 V, quelque soit le courant qui traverse le composant (même si ce courant est
relativement faible). Les courants traversant les résistances de 100 Ω seront négligés dans les
calculs.
L’alimentation fournit une tension VCC = 12 V et la charge Rch est de valeur 4 Ω.
+ 12 V
I0
10k
Q3
100
+
1µ vF(t)
100k
100
vE(t)
200k
10k
0.33
0.33
vS(t)
100
-
Rch
Q2
Q4
Q5
0.33
vA(t)
-
100k
Q7
Q1
U1
100k
I0
vB(t)
0.33
U2
+
100
Q6
Q8
10µ
I0
I0
2. Dessinez le schéma et indiquez les potentiels de nœuds en considérant la polarisation des étages
de puissance en classe B.
Sylvain Géronimi
Page 236
Une tension sinusoïdale v E (t ) est appliquée en entrée. Sa valeur crête est réglée de façon à obtenir
une dynamique de sortie maximale correspondant à la limite de l’écrêtage. Dans cette situation, le
courant minimum de polarisation des diodes est pris à la valeur d’environ 600 µA et les transistors des
sources I 0 sont au voisinage de la saturation ( VCEsat ≅ 0.2 V ).
4. Calculez les valeurs crête des signaux v S (t ) , v A (t ) , v B (t ) , v E (t ) et tracez les chronogrammes.
5. Evaluez le rendement maximum du montage.
Chaque étage de puissance possède un gain en tension voisin de l’unité, une résistance d’entrée
importante devant la résistance de sortie de l’amplificateur intégré et une résistance de sortie faible
devant la charge.
7. Evaluez le transfert en tension Av = v s v e du montage.
Corrigé
1. Description
Le condensateur de liaison (1 µF) isole l’entrée du continu et le condensateur de découplage (10
µF) permet la connexion de l’entrée non inverseuse de U1 à la masse dans le domaine des
fréquences de travail (découplage du pont 10 kΩ/10 kΩ). Ainsi U1 est monté en amplificateur
inverseur et U 2 en amplificateur non inverseur. Ces amplificateurs pilotent chacun un étage
suiveur push-pull série à Darlington simples dont les sorties sont connectées à la charge.
L’ensemble constitue un montage de puissance monté en pont (structure en H) alimenté par une
tension unique de 12 V. Le diviseur de tension 10 kΩ/10 kΩ impose un point de repos des
amplificateurs de tension et de puissance à la moitié de la tension d’alimentation de manière à
profiter du maximum d’excursion de la tension de sortie sur la charge.
Quatre diodes compensent les seuils de conduction des jonctions des transistors et définissent
une classe B/AB. Les résistances de 0.33 Ω, valeur faible devant celle de la charge, servent à la
stabilité en température des transistors de sortie. Les résistances de 100 Ω améliorent également
cette stabilité par dérivation du courant de fuite des Darlington. Les sources de courant I 0
fourniront le courant de polarisation des diodes et le courant maximum de base des Darlington
nécessaire à l’obtention de la dynamique maximale en sortie.
2. Schéma avec valeurs des potentiels de noeuds
Les amplificateurs de tension étant supposés parfaits, aucun courant ne circule dans la résistance
de 100 kΩ connectée à la borne non inverseuse de U 2 . De ce fait, les potentiels d’entrée des
deux amplificateurs sont au même niveau. Aucun courant ne circule dans la résistance de 100 kΩ
connectée à la borne non inverseuse de U1 puisque la différence de potentiels aux bornes de
celle-ci est nulle. Ainsi, il n’y a pas de courant traversant les résistances de retour de U1 (200 kΩ)
Sylvain Géronimi
Page 237
et U 2 (100 kΩ). Le pont de résistances de 10 kΩ fixe les potentiels d’entrée des amplificateurs de
tension à la moitié de la tension d’alimentation, soit 6 V. Les potentiels VA et VB étant aussi à 6 V,
VS = 0 . Les diodes et les jonctions en direct des transistors produisent une translation de tension
de 0.6 V.
0
+ 12 V
I0
7.2 V
10k
Q3
U1
100k
-
0.33
200k
0
0
6V
6V
0V
6V
U2
+
0.33
Q2
Q6
Q4
4.8 V
100k
0.33
Rch
6V
0
10k
Q5
0.33
+
6V
7.2 V
Q7
Q1
6V
100k
I0
Q8
4.8 V
I0
I0
Considérons la demi période pendant laquelle les transistors
Q1 , Q3 , Q6 , Q8
conduisent,
Q2 , Q5 , Q4 , Q7 étant à l’état bloqué. Le schéma est alors le suivant.
3. Schéma
+ 12 V
I0
I0
Q3
11.8 V
ID min
100k
IB max
Q1
10.6 V
100k
VS
6V
U1
100k
VF
0.33
+
10.6 V
2.05 V
9.95 V
VA
-
Rch
IS max
6V
-
VB
U2
1.4 V
0.33
+
VF
1.4 V
200k
ID min
Q6
Q8
I0
Sylvain Géronimi
0.2 V
IB max
I0
Page 238
4. Calcul des valeurs crête maximales des tensions et tracés
Les transistors des miroirs de courant sont au voisinage de la saturation et délivreront un courant
I 0 constant (effet Early négligé) tant que leur tension VCE > VCEsat .
VCC = VEC sat ( PNP ) + VBE3 + VBE1 + (2 RE + Rch )ISmax + VEB6 + VEB8 + VCE sat ( NPN ) ⇒ ISmax ≅ 1.974 A .
VSmax = Rch ISmax ≅ 7.9 V valeur maximale autour de la tension au repos 0 V, soit Vs ≅ 7.9 Vcrête .
VAmax = VCC − VEC sat ( PNP ) − VBE3 − VBE1 + RE ISmax ≅ 9.95 V ,
VBmax = VCE sat ( NPN ) + VEB6 − VEB8 + RE ISmax ≅ 2.05 V
écarts maximaux par rapport à la tension au repos 6 V, soit Va = Vb ≅ 3.95 Vcrête .
Les courants circulant dans les branches de contre-réaction des amplificateurs de tension sont de
valeurs négligeables devant celui traversant la charge, mais importants comparés aux courants
d’entrée de ces amplificateurs (supposés nuls).
2
1
Pour U1 , V + = V − = VF + VA = 6 V ⇒ VF = 4.025 V
3
3
1
Pour U 2 , VF = V − = (VB + 6 ) = 4.025 V
2
écart maximum par rapport à la tension au repos 6 V, soit Vf = 1.975 Vcrête .
La présence du condensateur de liaison en entrée translate ce signal autour de 0 V (isolation du
continu), soit VEmax = VF − 6 = − 1.975 V . Ve ≅ 1.975 Vcrête est donc la valeur de l’amplitude de la
tension sinusoïdale d’entrée à ne pas dépasser avant écrêtage du signal de sortie.
Ce montage en pont présente un transfert en tension VSmax VEmax = − 4 , ce qui quadruple la
puissance en sortie par rapport au montage traditionnel.
10V
(250u, 9.95)
(750u, 9.95)
(1m, 6.0)
(250u, 7.975)
5V
(750u, 4.025)
vA (t)
vF (t)
vB (t)
(250u, 2.05)
0V
10V
vS (t)
(250u, 1.975)
vE (t)
(750u, 7.9)
0V
(250u, - 7.9)
(750u, - 1.975)
-10V
0s
0.2ms
0.4ms
0.6ms
0.8ms
1.0ms
1.2ms
1.4ms
1.6ms
Time
Au sein des chronogrammes, le signal sinusoïdal est de fréquence 1 kHz (période 1 ms).
Sylvain Géronimi
Page 239
5. Calcul du rendement maximum
Puissance maximale en sortie
Putilemax
(V
=
2
s
)
2
Rch
≅ 7.8 W avec Vs amplitude crête maximale.
Puissance fournie par l’alimentation sur une période
L’alimentation fournit les courants de polarisation des miroirs du haut du schéma (chacun des
transistors d’un miroir consomme un courant constant I 0 ), ainsi que les courants de collecteur de
Q1 , Q3 , Q5 et Q7 , de forme sinusoïdale mono alternée dont les valeurs moyennes s’écrivent
IC1 moy = IC5 moy ≅
Is
π
≅ 628 mA et IC3 moy = IC7 moy ≅
Is
πβ
≅ 12.6 mA ( I s amplitude crête maximale),
d’où ICC = 2 I 0 ( miroir ) + 2 I 0 ( miroir ) + IC1 moy + IC3 moy + IC5 moy + IC7 moy .
Le courant constant I 0 doit être supérieur au courant de base maximum de Q3 de façon à
polariser les diodes dans ce cas extrême. Pour cela, l’hypothèse propose I Dmin ≅ 0.6 mA et donc
I0 = IDmin + I B3 max ≅ 1 mA avec I B3 max ≅ 0.4 mA .
Pfourniemax = ICC VCC ≅ 15.42 W , ηmax ≅ 0.506 .
Ce calcul correspond au rendement de l’étage terminal. Le montage proposé montre une
consommation supplémentaire de courants due au pont de polarisation générale 10 kΩ/10 kΩ (0.6
mA) et aux amplificateurs de tension. La consommation est essentiellement définie par le courant
moyen des transistors de puissance Q1 , Q2 , Q5 , Q6 .
Régime dynamique aux faibles signaux
6. Schéma
+
va
U1
+1
100k
ve
Rch
+
vb
U2
+1
ve
-
vs
100k
200k
100k
7. Evaluation du gain en tension
Les adaptations en tension étant réalisées, les tensions à vide ( Rch = ∞ ), en sortie des montages
inverseur et non inverseur, sont respectivement v a ≅ − 2 v e et v b ≅ 2 v e . Les contre-réactions
tension/courant et tension/tension produisent une très faible résistance de sortie (topologies
parallèles), ce qui permet d’écrire v s = v a − v b ≅ − 4 v e . Ce résultat est évidemment identique à
celui trouvé dans l’étude du régime pseudo-continu.
Sylvain Géronimi
Page 240
Amplificateur de tension (inspiré du LM741 de National Semiconductor)
On considère le circuit intégré de la figure ci-dessous. Le but est de caractériser l’amplificateur de
tension, puis d’évaluer le produit gain bande passante au sein d’une étude aux faibles signaux.
Tous les transistors de type NPN sont supposés identiques ( β = 250 , VANPN = 100V ). Pour les
transistors de type PNP, Q3 , Q4 identiques ( β ' = 5 , VAPNP très grand), Q10 , Q11, Q15 identiques
( β = 250 , VAPNP = 50V ). L’alimentation symétrique du montage est telle que VCC = 15 V
et la
résistance de charge se situe hors puce.
+VCC
Q1
Q2
Q11
v1
Q10
v2
Q14
R4
Q3
Q4
R1
57.6k
C
4.5k
30p
Q7
Q9
R5
Rch
7.5k
Q6
Q13
Q8
Q12
vS
Q15
Q5
R3
R2
9.78k
20k
-VCC
2. Déterminez les courants de collecteur de Q10 et Q13 .
3. Evaluez la tension entre les bases de Q14 et Q15 , puis concluez sur la classe de fonctionnement
du dernier étage.
4. Dessinez le montage dans son régime.
5. Calculez les courants de collecteur de Q1, Q2 ,Q3 , Q4 , Q5 , Q6 , Q7 , Q8 et Q9 .
6. Evaluez les paramètres rbe et rce des modèles des transistors.
7. Evaluez les résistances dynamiques présentées par les étages de polarisation Q10 - Q11 - R1 - Q12 Q13 - R2 ( z10 , z13 ), par l’ensemble Q9 - R4 - R5 entre bases de Q14 - Q15 ( z9 ), ainsi que les
éléments de la caractérisation de l’ensemble Q5 - Q6 ( ze , zs , Ai ).
8. Dessinez le montage dans son régime.
9. Caractérisez le montage en régime purement différentiel ( Ad , Zd , Zs ).
10. Caractérisez le montage en régime de mode commun ( Ac , Zc ).
11. Déduisez le taux de réjection de mode commun.
12. Caractérisez l’étage de gain en tension Q7 - Q8 ( A v , Z e' , Z s' ).
Sylvain Géronimi
Page 241
Circuits intégrés
Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences hautes)
13. Calculez la fréquence de coupure haute du montage, les transistors étant sous leur schéma aux
fréquences moyennes. Justifiez ce résultat, puis évaluez le produit gain bande du circuit.
14. Ecrivez les expressions des transferts IC3 (VD ) , IC4 (VD ) et I (VD ) de l’étage différentiel avec I
courant de court-circuit en sortie de l’étage. Tracez ces fonctions.
15. Démontrez qu’en considérant la zone linéaire des transferts, on retrouve l’expression du transfert
en tension à vide de l’étage différentiel obtenu lors de l’étude en régime dynamique aux faibles
signaux. Ecrivez l’expression de la conductance de transfert i (v d ) .
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Circuits intégrés
Corrigé
1. Description
Le schéma se compose d’un circuit de polarisation, d’un amplificateur différentiel, d’un étage de gain
en tension et d’un étage de sortie push-pull.
- Le circuit de polarisation est composé d’une source de Widlar Q12 - Q13 - R2 et d’un miroir de
courant élémentaire Q10 - Q11 polarisant respectivement l’étage différentiel par le point commun
des bases de Q3 - Q4 et l’émetteur commun Q8 . Les courants de ces sources sont réglés par la
résistance R1 .
-
-
-
-
-
L’étage différentiel est un amplificateur cascode, permettant d’obtenir une bande passante plus
élevée que le montage traditionnel à comportement émetteur commun. Les collecteurs communs
Q1 et Q2 sont suivis de bases communes Q3 et Q4 dont la charge dynamique du point
commun des bases est la source de Widlar et la charge dynamique des collecteurs est un miroir
de courant Q5 - Q6 . Le choix de la source de Widlar est, d’une part, de polariser l’étage d’entrée
à très faible courant (effet lentille au lieu d’un effet miroir) et, d’autre part, de présenter une
charge dynamique très importante en vue de minimiser au mieux l’amplification de mode
commun. La présence du miroir permet de doubler le courant dynamique traversant la résistance
interne de cette source, donc de doubler la valeur du gain différentiel en tension (condition à
vide). Il est à remarquer que la sortie de l’étage est alors asymétrique.
L’étage de gain en tension, nécessaire pour obtenir un gain global de quelques centaines de
mille, est composé d’un collecteur commun Q7 suivi par un émetteur commun Q8 dont la forte
charge dynamique est le miroir de courant Q10 - Q11 . Le rôle du collecteur commun est
d’améliorer le transfert en tension entre l’étage différentiel de forte résistance de sortie
(amplificateur à conductance de transfert) et l’étage émetteur commun de relativement faible
résistance d’entrée.
L’étage de sortie est un étage push-pull série à émetteur suiveur complémentaire, car Q14 et
Q15 sont des transistors de type opposé et montés en collecteur commun. Le rôle de cet étage
en régime dynamique est d’abaisser la résistance dynamique en sortie du circuit afin de
satisfaire l’adaptation en tension vis-à-vis de la charge, tout en produisant un courant notoire
dans cette dernière. De plus, cette structure permet une dynamique maximale en sortie par
rapport aux tensions d’alimentation. En régime continu, le point commun de sortie des émetteurs
doit être au potentiel 0 V en absence de dynamique, ainsi pas de courant traversant la charge,
donc décalage de tension nul (réalisable par une contre-réaction totale tension-tension statique).
La structure Q9 - R4 - R5 est un multiplicateur de VBE polarisé par le courant du miroir Q10 - Q11 .
Son rôle consiste à produire une translation de tension continue entre les bases de Q14 et Q15
dont la valeur définit la classe de fonctionnement de l’étage push-pull (A, AB, B). Pour ce type de
circuit intégré, la classe B est recommandée afin de dissiper un minimum d’énergie au repos
d’une part, et d’autre part, de minimiser la distorsion de croisement que produirait l’étage de
sortie sans cette translation. La distorsion restante sera fortement réduite par l’effet de contreréaction dû à la présence d’éléments extérieurs au circuit.
La capacité intégrée C est une capacité de compensation par effet Miller sur l’étage de gain,
requise pour rétrécir la bande passante de l’amplificateur afin que ce dernier soit
inconditionnellement stable. De ce fait, les applications de ce circuit intégré appartiennent au
domaine de l’amplification linéaire basses fréquences, donc non utilisable en fonctionnement en
commutation par manque de rapidité dû au phénomène de triangulation (slew rate).
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Circuits intégrés
2. Courants issus des sources
+VCC
VEB11
Q11
Q10
R1
IC10
Ipol
IC13
Q13
R2
I pol
Courant
de
2VCC − VEB11 − VBE12
o
o
=
≅ 500 µA
R1
Miroir de courant IC10 ≅ I pol ≅ 500 µA
o
⎞
⎛ I
R2
pol ⎟
IC13 ≅ Ln ⎜⎜
o
UT
⎜ IC13 ⎟⎟
o ⎠
⎝
(équation transcendante)
Source de Widlar
Q12
VBE12
-VCC
référence
d’où IC13 ≅ 10 µA
o
3. Multiplicateur de VBE
⎛ R ⎞
VCE9 = VBE 9 ⎜⎜1 + 4 ⎟⎟ ≅ 0.96 V
R5 ⎠
⎝
La valeur numérique trouvée permet de préciser la classe du push-pull série, ici classe B. En effet,
cette tension compense les seuils de conduction des deux jonctions base-émetteur des transistors
Q14 et Q15 (deux fois 0.5 V) et les valeurs de leurs courants de base ne sont pas significatifs
(absence de l’étage push-pull au sein du schéma en régime continu).
4. Schéma
Q1
Q2
IC10o
500 µA
30 µA
30 µA
Q3
Q4
25 µA
25 µA
32 µA
VCE9
128 nA
Q7
Q5
Q6
IC13o
10 µA
15 V
0A
translateur
de tension
0.96 V
2 µA
miroir
Q8
0A
source de
30 µA
Widlar
15 V
R3
20k
Les sources dynamiques sont éteintes ( v 1 = v 2 = 0 ). Les étages de polarisation sont remplacés
par leur équivalent statique, à savoir des sources de courant ( IC10 , IC13 ) et de tension VCE9 . Les
o
o
o
deux alimentations continues VCC sont évidemment présentes. Attention, le miroir de courant Q5 Q6 , représenté sous sa forme originelle, reconduit le courant issu du collecteur de Q3 à sa sortie,
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Page 244
Circuits intégrés
mais n’est pas, pour autant, un étage de polarisation. L’étude du pseudo-continu permettra de
mieux saisir son rôle.
5. Calcul des courants collecteurs
Pour l’étage différentiel
⎧VBE1 − VBE 2 = VEB4 − VEB3
⎪
⎪I E = I E3
équations du circuit ⎨ 1
⎪I E2 = I E 4
⎪I
⎩ C13 = I B3 + I B4
+VCC
Q1
Q2
VEB3 VEB4
VBE1
VBE2
Q3
⎧
⎪Q ≡ Q
2
⎪ 1
⎪
équations technologiques ⎨
⎪
⎪Q3 ≡ Q4
⎪⎩
Q4
IC13
⇒
I E1
I E2
=
IE4
I E3
⇒ I E1 = I E 2 et I E3 = I E 4 , d’où IC3 = IC4 =
o
Pour l’étage de gain
o
o
o
o
o
IC8 = IC10 ≅ 500 µA et I E7 =
o
o
o
Pour le multiplicateur de VBE , IC10 = IC9 + I B9 +
o
o
o
VBE9
o
R5
VBE8
o
R3
β'
2
I E1
→
IE2
I E3
→
IE4
VBE1 −VBE2
≅e
UT
VEB3 −VEB4
≅e
UT
IC13 = 25 µA , IC1 = IC2 ≅ 30 µA
o
o
o
+ I B8 ≅ IC7 ≅ 32 µA
o
⇒ IC 9 =
o
o
β ⎛⎜
β + 1⎜
⎝
IC10 −
o
VBE9 ⎞
o ⎟
≅ 418 µA
R5 ⎟
⎠
Pour la charge de l’étage différentiel :
équations technologiques Q5 ≡ Q6 ⇒ IC5 ≅ IC6 car VBE5 = VBE6 en négligeant l’effet Early.
⎧⎪IC3 = I B5 + I B6 + IC5
équations des nœuds ⎨
⎪⎩IC4 = I B7 + IC6
I B5 + I B6 << IC5 et I B7 << IC6 ⇒ IC5 = IC6 ≅ IC4 = 25 µA
o
o
o
Un équilibrage de l’étage peut être nécessaire car I B5 + I B6 ≠ I B7 (voir la structure du 741).
o
o
o
6. Paramètres des modèles
rbe =
UT
V
β , rce ≅ A
IC o
IC o
d’où rbe1,2 ≅ 209 kΩ , rce1,2 ≅ 3.34 MΩ , rbe3,4 ≅ 5 kΩ , rce3,4 ≅ ∞ ,
rbe5,6 ≅ 250 kΩ , rce5,6 ≅ 4 MΩ , rbe7 ≅ 196 kΩ , rce7 ≅ 3.14 MΩ , rbe8 ≅ 12.5 kΩ , rce8 ≅ 200 kΩ ,
rbe9 ≅ 15 kΩ , rce9 ≅ 239 kΩ , rce10 ≅ 100 kΩ , rbe13 ≅ 625 kΩ , rce13 ≅ 10 MΩ
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7. Eléments dynamiques demandés
Les étages de polarisation sont équivalents à des charges dynamiques
⎛
β R2 ⎞⎟
z10 = rce10 = 100 kΩ (miroir élémentaire), z13 ≅ rce13 ⎜1 +
≅ 48.5 MΩ (Widlar)
⎜ R2 + rbe ⎟
13 ⎠
⎝
Le miroir de courant, chargeant l’étage différentiel, est équivalent à un quadripôle de transfert en
courant dont les paramètres valent
rbe5
β
≅ 992 Ω , zs = rce6 = 4 MΩ , Ai =
≅ 0.992
ze =
β +2
β +2
Le translateur de tension est équivalent à une résistance z9 de valeur négligeable devant la
charge z10 mise en série au niveau du collecteur de Q8 .
z9 ≅
R 4 + R5 // rbe9
1 + g m9 (R5 // rbe9 )
≅ 112 Ω
8. Schéma en régime dynamique
Q1
Q2
z10
v1
miroir
v2
Q3
Q4
Q14
z9
C
Q7
ic3
translateur
de tension
Rch
Q8
ze
zs
Ai ic3
z13
source de
Widlar
Q15
vs
R3
Les résistances dynamiques des sources d’alimentations sont négligeables (voir cours « Les
régulateurs de tension »). La résistance dynamique produite par le translateur de tension continu
est négligeable devant la charge équivalente du miroir mise en série z9 << z10 et les potentiels
des bases de Q14 , Q15 sont quasiment identiques. Le miroir de courant Q5 - Q6 sera représenté
par un quadripôle de transfert en courant, puisque le courant dynamique issu du collecteur de Q3
est reconduit en sortie à la précision du miroir. Le condensateur C aura un rôle à jouer
uniquement lors de l’étude aux fréquences hautes.
L’étude met en oeuvre deux étapes, à savoir le calcul du transfert en tension à vide et la
résistance de sortie du circuit, puis le calcul de la résistance d’entrée du circuit comprenant cinq
étages par l’application du théorème de Thévenin (voir annexe « Méthode de travail pour la
caractérisation d’un circuit complexe »).
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Circuits intégrés
RG
Zs5
Zs2
Zs1
Ze1
vs
Ze5
Ze2
Rch
vg
vs2=A2 vs1
vs1= A1 vg
vs5=A5 vs4
L’étage différentiel étant de structure relativement complexe, la méthode du demi-schéma est
utilisée (voir annexe « Méthode de travail pour la caractérisation linéaire d’un étage différentiel »).
Le circuit étant linéaire, deux régimes sont étudiés séparément par application du théorème de
superposition en effectuant deux étapes :
c l’étude du régime différentiel issu d’une attaque symétrique ( ± v d 2 ), les sources de mode
commun étant éteintes ( v c = 0 ), permettant de caractériser les performances Ad , Zd , Zs ,
d l’étude du régime de mode commun issu d’une attaque parallèle ( +v c ), les sources
différentielles étant éteintes ( v d = 0 ), permettant de caractériser les performances Ac , Zc .
ib1
ib2
Q1
+
Q2
+
- vd /2
vd /2
+
+
vc
vc
Q3
Q4
v
v1 − v 2 v1 + v 2
+
= − d + vc
2
2
2
ic4
Ai ic3
ze
v1 − v 2 v1 + v 2 v d
+
=
+ vc
2
2
2
v2 = −
ib3+ib4
ic3
v1 =
zs
vs2
z13
Les transistors Q1 , Q2 d’une part et Q3 , Q4 d’autre part, étant supposés technologiquement
identiques, les courants d’entrées se retrouvent, à une même proportionnalité près, sommés dans
la résistance commune de base z13 . Si les courants sont issus d’une attaque en tension
symétrique ( i b1 = −i b2 ), il ne passe aucun courant dans z13 et les bases de Q3 et Q4 sont à la
masse. Si les courants sont issus d’une attaque en tension parallèle ( i b1 = i b2 ), le courant dans
z13 est égal à 2 i b , en posant i b3 = i b4 = i b , et la résistance vue par le courant de base de Q3 ou
Q4 est 2 z13 .
Pour chacune des études, le choix du demi-schéma de droite s’impose, puisqu’il propose la sortie
vers l’étage de gain.
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Page 247
Circuits intégrés
Q1
+
Q2
Q1
+
vd /2
vd /2
Q2
+
vc
vc
+
Q3
Q3
Q4
Q4
2 z13
ic3
2 z13
ic3
ic4
ic3 = - ic4
ic4
ic3 = ic4
ze
zs
ze
v’s2
zs
Ai ic3
v’’s2
Ai ic3
9. Caractérisation en régime différentiel
Première étape : calcul du gain en tension et de la résistance de sortie du circuit, l’attaque étant
une source de tension −v d / 2 .
i2
rbe2
β i2
- vd /2
A1' =
v s' 1
− vd 2
=
rce2 (β + 1)
rbe2 + rce2 (β + 1)
i0
i2
rbe2
i1
β i2
rce2
v0
rce2
Z s' 1
v's1
≅1
⎧i + (β + 1)i = i
2
1
⎪⎪ 0
rbe2
rbe2
v
r
i
⇒ Z s' 1 = rce2 //
≅
≅ 833 Ω
=
−
⎨ 0
be2 2
β +1 β +1
⎪
⎩⎪v 0 = rce2 i1
β' i4
Z's1
iC4
i4
zs
rbe4
Ai ic3
v's2
Z s' 2
v's1
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Page 248
Circuits intégrés
[
]
⎧v s' = − rbe + (β '+1)Z s' i 4
⎪ 1
4
1
⎨ '
⎪⎩v s2 = zs i c 4 − Ai i c3 avec i c 4 = − i c3 = − β ' i 4
(
A2' =
v s' 2
v s' 1
=
)
2 β ' zs
2 β ' zs
β +1
≅
≅ 3985 , Z s' 2 = zs = 4 MΩ
'
+ (β '+1)Z s1 β + 2 rbe4 + (β '+1)Z s' 1
rbe4
Pour évaluer Z s' 2 , les deux sources de tensions indépendantes à l’intérieur du dipôle sont éteintes
( ± v d / 2 ). Pour le demi-schéma de droite représenté ici, la source v s' 1 = A1' (− v d 2) étant égale à
zéro, le courant i 4 est inexistant et i c 4 = 0 . Un même raisonnement sur le demi-schéma de
gauche conduit à i c3 = 0 . Les sources liées β ' i 4 et Ai i c3 ne débitant aucun courant, le courant
i 0 , produit par la source de tension v 0 appliquée à l’entrée du dipôle, traverse intégralement la
résistance zs .
Pour l’étage de gain en tension, l’attaque est produite par l’équivalent de Thévenin de l’étage
différentiel.
rbe7
i7
Z's2
rce7
R3
v's3
Z s' 3
β i7
v's2
A3' =
v s' 3
v s' 2
=
(β + 1) (R3 // rce )
+ rbe + (β + 1) (R3 // rce
7
Z s' 2
7
7
)
≅ 0.543 , Z s' 3 = rce7 // R3 //
Z s' 2 + rbe7
β +1
≅ 9080 Ω
i8
Z's3
rce8
rbe8
z10
β i8
v's4
Z s' 4
v's3
A4' =
v s' 4
v s' 3
=−
(
β rce8 // z10
rbe8 +
Z s' 3
) ≅ − 772 , Z '
s4
= rce8 // z10 ≅ 66.7 kΩ
Pour l’étage push-pull série, les transistors, montés en collecteur commun, travaillent à forts
signaux alternativement pendant une demi période, Q14 amplifiant le signal positif pendant que
Q15 est bloqué, puis inversement. Pour l’étude dynamique, on utilisera la caractéristique linéaire
par morceaux de la diode base-émetteur à la place de la fonction exponentielle afin d’obtenir une
valeur approchée de r be14 et rbe15 (valeur relativement faible). Chaque transistor produit un gain en
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Page 249
Circuits intégrés
courant égal à -(β+1) pendant sa durée de conduction. Le transfert en tension et la résistance de
sortie sont évalués sans la charge, toujours étage non chargé.
(β + 1)rce14
v s' 5
⎧
≅1
⎪ A5' = ' = '
v s4
Z s4 + rbe7 + (β + 1)rce14
⎪
(ou Q15 ) → ⎨
Z s' 4 + rbe7
Z s' 4
⎪ '
⎪Z s5 = rce14 // β + 1 ≅ β + 1 ≅ 266 Ω
⎩
Le gain en tension de la chaîne non chargée par Rch s’écrit
v s' 5
− vd 2
=
v s' 5 v s' 4 v s' 3 v s' 2
v s' 1
v s' 4 v s' 3 v s' 2 v s' 1 − v d 2
= A5' A4' A3' A2' A1'
Le gain différentiel en tension et la résistance de sortie du circuit intégré sont définis par
v s'
A' A' A' A' A'
Ad = 5 = − 1 2 3 4 5 ≅ 835000 (118.4 dB), Z s = Z s' 5 ≅ 266 Ω .
vd
2
Pour l’étage push-pull série, la résistance d’entrée Z e' 5 ≅ β Rch ≅ 2.5 MΩ est très importante.
i14
rbe14
β i14
Z e' 5
rce14
Rcharge
Pour l’étage de gain en tension, l’émetteur commun présente la diode d’entrée de Q8 vue de sa
base, soit Z e' 4 = rbe8
i8
Z e' 4
rbe8
rce8
z10
Z'e5
β i8
(
)
et le collecteur commun Z e' 3 = rbe7 + (β + 1) rce7 // R3 // Z e' 4 ≅ 2.12 MΩ .
i7
rbe7
Z e' 3
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β i7
Page 250
rce7
R3
Z'e4
Circuits intégrés
Pour l’étage cascode, le base commune présente la diode d’entrée de Q4 vue de son émetteur,
soit Z e' 2 =
rbe4
β '+1
≅ 833 Ω .
iC4
β' i4
i4
Z e' 2
zs
rbe4
Z'e3
Ai ic3 = 0
rbe4 ⎞
r
⎛
⎟ ≅ rbe + (β + 1) be4 ≅ 418 kΩ .
et le collecteur commun Z e' 1 = rbe2 + (β + 1)⎜⎜ rce2 //
2
⎟
β ' +1 ⎠
β '+1
⎝
i2
rbe2
Z e' 1
β i2
rce2
Z'e2
La résistance Z e' 1 étant vue par la source de tension v d / 2 , la résistance différentielle d’entrée
vue par la source v d est
Z d = 2 Z e' 1 ≅ 4 rbe2 ≅ 836 kΩ
car (β + 1)
rbe4
β '+1
=
U
U
U
β + 1 UT
= ( β + 1) T = ( β + 1) T = T = rbe2
β ' +1 I B 4
IE4
I E2
I B2
0
0
0
0
La représentation de l’amplificateur intégré de tension dans son régime purement différentiel est
une source de tension contrôlée par la tension différentielle appliquée sur la branche contrôlante
supportant Z d .
(+)
B1
Zs
Zd
vd
(-)
v’s
Rch
Ad v d
B2
En constatant l’orientation de la tension v d et la valeur algébrique du transfert ( Ad > 0 ), il en
découle que les entrées en base de Q1 et de Q2 correspondent respectivement aux bornes non
inverseuse et inverseuse de l’amplificateur. Enfin, la tension en charge v s découle de l’adaptation
en tension, c’est-à-dire
vs =
Rch
Ad v d ≅ Ad v d car Z s << Rch
Z s + Rch
10. Caractérisation en régime de mode commun
Première étape : calcul du gain en tension et de la résistance de sortie, l’attaque étant une source
de tension v c .
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Page 251
Circuits intégrés
Pour l’étage collecteur commun, mêmes résultats avec les notations A1'' =
v s''1
vc
( ≡ A1' ) et Z s''1 ≡ Z s' 1
Pour l’étage pseudo-base commune
β' i4
Z''s1
iC4
i4
zs
rbe4
Ai ic3
v''s2
Z s'' 2
v''s1
2 z13
[
]
⎧v s'' = − (β '+1)Z s'' + rbe + 2 z13 i 4
⎪ 1
1
4
⎨ ''
v
z
i
A
i
i c3 = i c 4 = − β ' i 4
=
−
avec
⎪⎩ s1
s c4
i c3
v s''
β ' zs
β ' zs
2
A2'' = 2 =
≅
≅ 1.64 10 −3 , Z s''2 = zs = 4 MΩ
v s''1 rbe4 + (β '+1)Z s''1 + 2 z13 β + 2 (β + 2) z13
(
)
Pour l’étage de gain en tension et l’étage push-pull, les résultats analytiques sont identiques à ceux
v s''
trouvés lors de l’étude du régime différentiel avec les notations Ai'' = '' i ≡ Ai' et Z s''i pour i =3 à 5.
v si −1
Le gain s’écrit
v s'' 5
vc
= A5'' A4'' A3'' A2'' A1'' = Ac ≅ − 0.69 , gain en tension en régime de mode commun et
la résistance de sortie du montage est Z s = Z s''5 ≡ Z s' 5 .
Pour les étages push-pull et gain en tension, les résistances d’entrée demeurent inchangées
Z e''5 ≡ Z e' 5 , Z e'' 4 ≡ Z e' 4 , Z e'' 3 ≡ Z e' 3 .
Pour l’étage cascode, le schéma du base commune à charges réparties est modifié par la
présence de la résistance 2 z13 en série avec la résistance rbe4 , ce qui conduit à remplacer rbe4
par rbe4 + 2 z13 dans les expressions analytiques
rbe4 + 2 z13
rbe + 2 z13 ⎞
⎛
⎟.
et Z e''1 = rbe2 + (β + 1)⎜⎜ rce2 // 4
β '+1
β '+1 ⎟⎠
⎝
La résistance de mode commun, vue par la source de tension v c dans le contexte du demischéma, est donc Z c = Z e''1 ≅ 688 MΩ .
soit Z e'' 2 =
La représentation de l’amplificateur intégré de tension dans son régime de mode commun est une
source de tension contrôlée par la tension de mode commun appliquée sur la branche contrôlante
supportant Z c , schéma vu des bases de Q1 ou Q2 .
Sylvain Géronimi
Page 252
Circuits intégrés
B1 ou B2
Zs
Zc
vc
v’’s
Rch
Ac v c
11. Taux de réjection de mode commun
Les gains de transfert en tension sont Ad =
v s' 5
vd
=−
v s''
A1' A2' A3' A4' A5'
et Ac = 5 = A1'' A2'' A3'' A4'' A5'' .
vc
2
La tension obtenue en fin de chaîne est la somme des tensions de sortie à vide issues des deux
régimes (théorème de superposition), soit v s5 = v s' 5 + v s'' 5 = Ad v d + Ac v c et la qualité de
l’amplification différentielle par rapport à l’amplification du mode commun est exprimée par la
valeur du taux de réjection de mode commun TRMC =
Ad
A2'
=
, soit 122 dB. Il est évident que
Ac
2 A2''
ce TRMC est produit par l’étage différentiel, comme le prouve son expression analytique.
La valeur trouvée est trop élevée pour un amplificateur de ce type. Le fait d’avoir négligé le
paramètre rce des modèles de Q3 et Q4 augmente la valeur de Ad et diminue celle de Ac , ce
qui explique cette performance.
12. Caractérisation de l’étage de gain
On considère le quadripôle caractérisant l’étage de gain en tension Q7 ,Q8 , attaqué par
l’équivalent de Thévenin de l’étage différentiel et chargé par la résistance d’entrée de l’étage
push-pull Z e' 5 étant très importante devant Z s' 4 .
Z’s2
v’s2
Z’s4
Z’s3
Z’e3
Z’e5
Z’e4
v’s4=
A’4 v’s3
v’s3=
A’3 v’s2
Le gain de transfert en tension Av aux fréquences moyennes (absence de C) doit être exprimé en
terme de source liée à la tension v de la branche contrôlante supportant Z e' 3 afin de respecter la
modélisation du quadripôle (voir cours « La caractérisation d’un amplificateur linéaire »). La
caractérisation de l’étage devient alors :
⎛
Zs' ⎞
Z e' = Z e' 3 ≅ 2.12 MΩ , Z s' = Z s' 4 ≅ 66.7 kΩ << Z e' 5 ≅ 2.5 MΩ , A v = ⎜1 + ' 2 ⎟ A3' A4' ≅ − 1209
⎜
Z e3 ⎟⎠
⎝
13. Evaluation de la fréquence de coupure haute (fréquences hautes)
La caractérisation de l’étage de gain va permettre une approche rapide du comportement en
fréquence du circuit. Sous l’hypothèse d’obtenir la fréquence de coupure à -3 dB uniquement par
la présence du condensateur C, le schéma équivalent du système est alors du premier ordre (un
seul condensateur).
Sylvain Géronimi
Page 253
Circuits intégrés
C
i0
v
Z’s
Z’s2
v0
Z’e
v
Z’e5
Av v
Av v
v’s2
Z’e // Z’s2
Z’s
Le condensateur voit à ses bornes une résistance (dipôle de Thévenin)
1
⇒ fh =
≅ 3.16 Hz
RC0 = Z s' + Z s' 2 // Z e' 1 − A v ≅ 1680 MΩ
2 π RC0 C
(
)(
)
La constante de temps produisant la fréquence trouvée est de valeur énorme devant la somme de
toutes les constantes de temps à vide produites par les capacités parasites des transistors et
l’application de la méthode du pôle dominant donne (voir « Annexes ») :
f1 ≅
1
≅ fh
2 π a1
avec a1 = RC0 C +
15
∑
i =1
0
Rbe
Cbei +
i
15
∑R
i =1
0
bc i C bc i
≅ RC0 C
L’amplificateur de tension différentielle se comporte comme un circuit du premier ordre de gain en
Ad
boucle ouverte G( p ) =
avec Ad ≅ 118 dB et fh ≅ 3.16 Hz .
f
1+ j
fh
La faible fréquence de coupure haute permet d’atteindre un gain unité avec une pente de –20 dB
par décade dans le plan de Bode. Cette compensation rend le circuit inconditionnellement stable.
Le produit gain en tension (en unités et non en dB) fréquence de coupure haute (propriété d’un
système du premier ordre) permet de chiffrer la fréquence de transition ft = Ad fh ≅ 2.64 MHz .
150
232.631m, 118.205)
(42.658K, 115.209)
100
(3.2359, 115.204)
amplificateur
non compensé
amplificateur compensé
(C = 30 pF)
50
- 40 dB / décade
- 20 dB / décade
0
(2.6510M, 8.2797m)
-50
100mHz
1.0Hz
DB(V(s))
10Hz
100Hz
1.0KHz
10KHz
100KHz
1.0MHz
10MHz
100MHz
Frequency
Si la capacité C de compensation était absente, l’influence conjuguée du montage émetteur
commun Q8 (voir le problème « Réponse en fréquence d’un émetteur commun »), et du montage
base commune Q4 cumulant sur sa forte charge de collecteur les capacités parasites du miroir et
de l’entrée de Q7 , produirait la fréquence de coupure haute. La présence de ces pôles rend le
système instable comme le montre la simulation.
Sylvain Géronimi
Page 254
Circuits intégrés
Etude du régime pseudo continu
+VCC
Q1
VD
Q2
VBE1
VBE2
VEB3 VEB4
Q3
IB4
IB3
Q4
IC4
IC3
I
IC5
IC6
Q5
Q6
VBE5
IC13o
10µ
VBE6
-VCC
14. Expressions des transferts courant / tension
⎧
⎪
⎪Q ≡ Q
2
⎪ 1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨Q3 ≡ Q4
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪Q5 ≡ Q6
⎪
⎪
⎩
→
→
→
VBE1
⎧
⎪I E ≅ ( β + 1) I BS e UT
⎪ 1
⎨
VBE2
⎪
UT
≅
+
I
β
I
e
(
1
)
BS
⎩⎪ E2
⎧
⎪I E
⎪ 3
⎨
⎪
⎪⎩I E 4
⎧
⎪IC
⎪ 5
⎨
⎪
⎪⎩IC6
' e
≅ ( β '+1) I BS
' e
≅ ( β '+1) I BS
≅ β I BS e
≅ β I BS e
VEB3
UT
VEB4
(technologie)
UT
VBE5
UT
⎧VD = VBE + VEB − VEB − VBE
1
3
4
2
⎪
⎪I E1 = I E3
⎪
⎪I E 2 = I E 4
⎪
(circuit)
⎨IC13o = I B3 + I B4
⎪
⎪VBE5 = VBE6
⎪
⎪IC3 ≅ IC5
⎪I = I − I
C4
C6
⎩
VBE6
UT
A partir des quatre premières équations du circuit, on obtient :
⎧I E1 = I E3
⎪
⎪I E 2 = I E 4
⎪
⎛ I E1
I E3
⎨
⎜
⎪VD = UT ⎜ Ln I + Ln I
E2
E4
⎝
⎪
⎪β ' I
=
+
I
I
C3
C4
⎩ C13o
β ' IC13
⎧
o
⎪IC3 ≅
VD
⎧ IE
VD
I
C
−
3
3
⎪
⎪
= e 2 UT =
1 + e 2 UT
⎞ ⇒ ⎪⎨ I E 4
IC4 ⇒ ⎪⎨
⎟
β ' IC13
⎪
⎪β ' I
o
⎟
⎪⎩ C13o = IC3 + IC4
⎠
⎪IC4 ≅
VD
⎪⎩
1 + e 2 UT
et à l’aide des trois dernières
β ' IC13
β ' IC13
V
⎪⎧IC5 = IC6
o
o
⇒ I≅
−
= − β ' IC13 th D
⎨
VD
VD
o
≅
−
I
I
I
4
UT
−
⎪⎩
C4
C3
1 + e 2 UT 1 + e 2 UT
Sylvain Géronimi
Page 255
avec β ' IC13 = 50 µA
o
Circuits intégrés
linéarisation
du transfert
50uA
Q4 saturé
Q3 saturé
25uA
(111.0E-18, 24.913u)
0A
Q3 bloqué
Q4 bloqué
(111.0E-18, -37.759n)
-25uA
linéarisation
du transfert
-50uA
-400mV
IC(Q3)
-300mV
IC(Q4)
-200mV
-100mV
IC(Q4) - IC(Q3)
0V
100mV
200mV
300mV
400mV
VD
15. Retour à l’étude dynamique aux faibles signaux
Expression de v s' 2 v d (tension à vide)
La polarisation est obtenue pour VD = 0 , soit IC3 = IC4 =
β ' IC13
o
.
2
Les pentes des transfert au point de polarisation sont telles que
V
⎤
⎡
− D
⎥
⎢
e 2 UT
⎥
⎢
β ' IC13
β ' IC13
iC
iC4
⎡ dIC3 ⎤
2
U
o
o
T
⎥
=
= 3 et
= ⎢ β ' IC13
=−
.
⎥
⎢
2
o
⎥
⎢
8
U
v
v
8
U
V
⎢⎣ dVD ⎥⎦ V =0
D
T
d
d
T
⎞
⎛
−
D
⎢
⎜1 + e 2 UT ⎟ ⎥
⎢
⎟ ⎥
⎜
⎠ ⎦⎥ VD =0
⎝
⎣⎢
o
i C3 = − i C 4 =
β ' IC13
o
8UT
vd =
IC 4
o
4UT
vd =
o
'
gm
vd
4
Le transfert en tension de l’étage différentiel v s' 2 v d à vide s’écrit
iC4
rce6
v's2
v s' 2 = rce6 ( i c 4 − Ai i c3 ) ≅ 2 rce6 i c 4 ⇒
Ai ic3 ≅ ic3
v s' 2
vd
=−
'
gm
rce6
2
La relation obtenue dans l’étude du régime dynamique purement différentiel aux faibles signaux
est rapportée ci-dessous
v s' 2
vd
=−
A1' A2'
≅−
2
Sylvain Géronimi
β ' rce6
rbe4 + (β '+1)
rbe2
avec
rbe2
β +1
=
β +1
Page 256
rbe4
UT
U
U
UT
= T = T =
=
IE2
IE4
( β + 1) I B2
( β '+1) I B4
( β '+1)
o
o
o
o
Circuits intégrés
ce qui conduit au même résultat.
Expression de i v d (courant de court-circuit)
I ≅ − β ' IC13 th
o
VD
pour v d (t ) << 4 UT
4 UT
i
rce6
Sylvain Géronimi
v's2
⎛ v
⇒ th⎜⎜ d
⎝ 4 UT
⎞
v
⎟⎟ ≅ d
⎠ 4 UT
β ' IC13
g'
i
o
=−
= − m (ou encore i ≅ iC4 − iC3 )
4UT
2
vd
Page 257
Circuits intégrés
Amplificateur de tension TL071 (technologie BiFet)
La figure 1 représente le schéma électrique simplifié du circuit intégré TL071 de Texas Instruments.
Les étages de polarisation sont présentés sur la forme de sources de courant I1 et I 2 dont la
conception est détaillée à la figure 2. Les types de transistors sont supposés technologiquement
identiques et possèdent les caractéristiques (effet Early négligé)
β = 250 ( >> 1) , VBE0 ≅ 0.6 V (JBT) et I DSS = 200 µA , VP = 3 V (JFET).
L’étude porte ici sur le régime continu.
Compréhension du schéma (figure 1)
1. Donnez une description précise du circuit. Prouvez que ce dernier est bien un amplificateur de
tension.
2. Montrez que les bornes « in + » et « in - » correspondent respectivement aux entrées non
inverseuse et inverseuse du circuit.
Conception du circuit de polarisation (figure 2)
3. Evaluez les résistances R6 et R7 afin d’obtenir les courants I1 et I 2 de l’ordre de 160 µA et de
250 µA respectivement.
4. Trouvez la relation donnant la valeur minimale des tensions d’alimentation VCC en fonction de la
tension de pincement VP du JFET et de la tension zener VZ de la diode D1 , ceci en maintenant le
courant de drain de J 3 inchangé.
Le circuit est alimenté par deux sources symétriques de tension VCC = ± 15 V et les entrées sont
connectées à la masse. L’étage push-pull consomme alors des courants IC8 = IC9 = 25 µA .
5. Dessinez le schéma et indiquez dessus toutes les variables de polarisation. Constatez que le
choix de la topologie du miroir chargeant valeur l’étage différentiel, conduit à un meilleur
équilibrage de la polarisation de ce dernier.
6. Evaluez le courant continu d’alimentation ICC du circuit sans charge ( Vout = 0 ) et déduisez la
puissance dissipée.
Une tension continue est appliquée à l’entrée de l’amplificateur telle que Vin + = VD et Vin − = 0
(masse), la sortie étant chargée par une résistance Rch = 2 kΩ .
7. Déterminez le domaine des valeurs de VD produisant un courant maximal de drain pour l’étage
différentiel.
8. Pour VD = ± 5 V , évaluez les courants et potentiels de nœuds du schéma en précisant l’état des
transistors.
Sylvain Géronimi
Page 258
Circuits intégrés
+ VCC
I2
I1
Q8
in -
J1
J2
R4
64
Q7
out
in +
Q6
R5
64
R3
10k
Q9
Q3
Q4
Q1
Q2
Q5
R2
50k
R1
50k
- VCC
Figure 1
+ VCC
R6
Q11
Q12
Q10
I1
I2
J3
Q13
D1
R7
5.6V
- VCC
Figure 2
Sylvain Géronimi
Page 259
Circuits intégrés
Corrigé
1. Description
Le schéma se compose d’un circuit de polarisation, d’un étage différentiel associé à un transfert
dynamique de courant et d’un étage de tension.
- Le circuit de polarisation doit produire les courants I1 et I 2 alimentant respectivement un
étage différentiel et un étage de tension. Sa conception (figure 2) fait apparaître un répétiteur
de courant, association d’une source de Widlar Q10 - Q12 - R6 et d’un miroir de courant
élémentaire Q11 - Q12 , dont le courant de référence est fourni par le circuit Q13 - R7 - D1 - J 3
(explication plus loin).
- L’étage différentiel J1 - J 2 est à comportement source commune (canal P), attaquant en
-
courant un miroir Q1 - Q2 - Q3 - R1 à transistors NPN. L’effet miroir a pour but de doubler le
transfert en courant de l’étage en régime dynamique aux faibles signaux.
L’étage de tension utilise un montage émetteur commun Q5 , adapté par le montage
collecteur commun Q4 en amont pour un meilleur transfert de tension et par un étage pushpull série Q8 - Q9 en aval pour une sortie à amplitude optimale et
basse résistance (montage suiveur complémentaire). Les
résistances R 4 et R5 , de faible valeur, limitent le courant de
sortie.
- L’étage push-pull est polarisé en classe B/AB par le translateur
Q7
de tension Q6 - Q7 - R3 . Ce translateur est constitué d’une paire
VBE7
Q6
de Darlington avec le premier transistor monté en diode et d’une
VBE6
résistance déviant une partie du courant de base du second
R3
transistor. L’intérêt par rapport à deux transistors montés en
diode réside dans une occupation de surface moindre pour la
paire Darlington. Le décalage en tension est de l’ordre de 2VBE .
Nous sommes donc en présence d’un amplificateur de tension de résistance d’entrée différentielle
très importante (JFET) et de faible résistance de sortie.
2. Entrées non inverseuse et inverseuse
Appliquons une tension alternative à l’entrée de l’étage différentiel, la grille de J1 étant à la masse
et intéressons-nous à la phase du signal recueilli en sortie des étages successifs. L’étage source
commune J 2 inverse la phase, l’étage collecteur commun Q4 la conserve, l’étage émetteur
commun Q5 inverse à nouveau la phase et l’étage push-pull suiveur Q8 - Q9 la conserve. La
tension de sortie est donc en phase avec la tension d’entrée et la borne non inverseuse est bien la
grille de J 2 .
Conception du circuit de polarisation
3. Evaluation des résistances R6 et R7
Le répétiteur de courant utilise un effet miroir ( Q11 - Q12 ) tel que I 2 ≅ IC13 , ainsi qu’un effet lentille
( Q10 - Q12 - R 6 ) tel que IC13 ≅ I1 e
Sylvain Géronimi
R6 I1
UT
(voir cours).
Page 260
Circuits intégrés
Or I E13 =
VZ − VBE13
R7
≅ IC13 ⇒ R7 ≅
VZ − VBE13
I2
= 20 kΩ et R6 ≅
UT
I
Ln 2 ≅ 70 Ω .
I1
I1
4. Valeur minimale de la tension VCC
⎛ V
Le modèle de comportement des JFET canal P est donné par l’équation I D = I DSS ⎜⎜1 − GS
VP
⎝
les tensions VGS et VP > 0 et telles que 0 ≤ VGS ≤ VP .
2
⎞
⎟⎟ avec
⎠
Puisque VGS3 = 0 , alors I D3 = I DSS , courant de polarisation de la diode zener. Le transistor J 3
fournit ce courant à condition de se situer dans sa zone de saturation, c’est-à-dire − VDS3 ≥ VP . Or
2VCC = VZ − VDS3
⇒ 2VCC − VZ ≥ VP d’où VCC ≥
VP + VZ
.
2
L’intérêt de ce système est de proposer un choix de l’alimentation symétrique ± VCC tout en
conservant la même polarisation du circuit intégré à condition que VCC ≥ 4.3 V .
+ 15 V
R6
70
25 µ
Q11
14.4 V
Q10
13 µ
160 µ
Q12
250 µ
100 n
Q8
- 1.1 V
J1
J2
R4
Q7
250 µ
≅ 1.2 V
80 µ
50 n
100 n
52 n
Q3
Q1
Q4
- 13.8 V
320 n 320 n
Q9
250 µ
200 µ
Q5
12 µ
R1
R2
50k
50k
- 9.4 V
Q13
- 10 V
1µ
- 14.4 V
Q2
12 µ
R5
R3
12.6 µ
- 13.8 V
J3
Q6
80 µ
+ 15 V
25 µ
R7
D1
5.6 V
20k
- 15 V
5. Evaluation des variables de polarisation
Pour l’étage différentiel ( J1 ≡ J 2 ),
Sylvain Géronimi
Page 261
Circuits intégrés
2
⎧
⎛ V
⎞
⎪I D = I DSS ⎜1 − GS1 ⎟
⎜
⎪⎪ 1
VP ⎟⎠
⎝
J1 ≡ J 2 → ⎨
et VGS1 − VGS2 = 0 (topologie)
2
⎪
⎛ VGS2 ⎞
⎟
⎪I D2 = I DSS ⎜⎜1 −
VP ⎟⎠
⎪⎩
⎝
⎛
I D1,2 ⎞⎟
I
⇒ I D1 = I D2 = 1 = 80 µA et VGS1 = VGS2 = VP ⎜⎜1 −
≅ 1 .1 V .
I DSS ⎟⎟
2
⎜
⎠
⎝
VBE1
⎧
⎪I ≅ β I e UT
BS
⎪C
Q1 ≡ Q2 → ⎨ 1
et VBE1 − VBE 2 = 0 (topologie) ⇒ I B1 = I B2 et IC1 = IC2 avec leurs
VBE2
⎪
⎩
potentiels de collecteur à 2VBE au dessus de − VCC , soit – 13.8 V.
L’équilibrage statique de l’étage impose alors que I B3 = I B4 avec des transistors supposés
identiques ( β >> 1 ), puisque I D1 = IC1 + I B3 et I D2 = IC2 + I B4 .
La topologie du miroir permet d’approcher cet équilibre puisque
VBE 5
VBE1 I1 VBE1
I
et I E 4 = 2 +
avec R = R1 = R2 .
I E3 = I B1 + I B2 +
≅ +
β
R
R1
β
R
Comme
I1
β
et
I2
β
<<
VBE
≅ 12 µA ⇒ I E3 ≅ I E 4 , donc I B3 ≅ I B4 .
R
6. Calcul de la consommation du circuit
+
L’alimentation au dessus de la masse fournit ICC
= IE10 + IC4 + IC11 + IC8 + I E12 + I D1 ≅ 898 µA . De
−
même, l’alimentation sous la masse fournit ICC
= I E1 + I E 2 + I R1 + I R2 + I E5 + IC9 + I E13 + I Z ≅ 909 µA .
+
−
+ ICC
≅ 1.8 mA et Pcontinue = 2VCC ICC ≅ 54 mW .
d’où ICC = ICC
7. Détermination du domaine de VD
I1
VGS1
⎧VD = VGS2 − VGS1
⎪
⎛
⎪⎪
I D1,2
⎜
⎨VGS1,2 = VP ⎜1 −
I DSS
⎜
⎪
⎝
⎪
⎪⎩I1 = I D1 + I D2
VGS2
J1
ID1
J2
ID2
VD
⎞
⎟
⎟⎟
⎠
Le courant de drain d’un transistor est maximal lorsque l’autre transistor ne produit aucun courant.
⎛
I1 ⎞⎟
Si J1 est bloqué, I D1 = 0 pour VGS1 ≥ VP et I D2 = I1 avec VGS2 = VP ⎜1 −
≅ 0.32 V tel que
⎜
I DSS ⎟⎠
⎝
0 ≤ VGS2 < VP , d’où VD ≤ − VP
Sylvain Géronimi
I1
I DSS
.
Page 262
Circuits intégrés
⎛
I1
Si J 2 est bloqué, I D2 = 0 pour VGS2 ≥ VP et I D1 = I1 avec VGS1 = VP ⎜1 −
⎜
I DSS
⎝
I1
0 ≤ VGS1 < VP , d’où VD ≥ VP
I DSS
⎞
⎟ ≅ 0.32 V tel que
⎟
⎠
.
Le domaine des tensions est donc VD ≥ 2.68 V .
8. Evaluation des courants et potentiels de nœuds pour VD = ± 5 V
Comme VD > 2.68 V , l’étage différentiel présente un transistor JFET bloqué, l’autre transistor
fournissant un courant de drain de 160 µA associé à une tension grille-source de 0.32 V (voir
l’étude précédente).
Premier cas : VD = − 5 V
+ 15 V
R6
70
Q11
14.4 V
Q10
160 µ
Q12
250 µ
40 m
- 13.8 V
- 5.32 V
J1
250 µ
J2
Q7
-5V
- 14.4 V
160 µ
+ 15 V
0
Q6
- 13.4 V
Q3
0
Q1
0
28 µ
160 µ
Q4
0
0
Q9
278 µ
R7
200 µ
2k
Q5
16 µ
R1
R2
50k
50k
- 9.4 V
Q13
- 10 V
≅ 40 m
- 14.2 V
Q2
≅ -15 V
J3
R5
64
R3
0
7m
-14 V
≅7m
R7
D1
20k
40.3 m
- 15 V
J1 est bloqué ( I D1 = 0 ), J 2 conduit ( I D2 = 160 µA , VGS2 ≅ 0.32 V ) et VGS1 = VGS2 − VD ≅ 5.32 V .
Le miroir Q1 - Q2 - Q3 - R1 renvoyant un courant nul, le courant de base de Q4 est égal à 160 µA et
son courant de collecteur est de l’ordre de 40 mA. En constatant que le courant circulant dans la
résistance R 2 est de faible valeur devant le courant émetteur de Q4 , I B5 ≅ 40 mA et, de ce fait,
Q5 est saturé ( VCE5 très faible). L’étage push-pull est tel que Q8 est bloqué et Q9 conduit. La
maille de sortie s’écrit alors VCC = VCE5
sat
+ VEB9 + (R5 + R7 )I E9 et Vout = − R7 I E9 , d’où IE9 ≅ 7 mA
et Vout ≅ − 14 V . La sortie est à l’état de saturation négative.
Puisque I B9 ≅ 28 µA , IC5 = IC11 + I B9 ≅ 278 µA . Constatons alors que le rapport IC5 I B5 ≅ 7 10 −3
est différent de β. Cette très faible valeur de β forcé conduit à VCE5 ≅ 0 V , ce qui corrobore l’état de
saturation de Q5 .
Sylvain Géronimi
Page 263
Circuits intégrés
Deuxième cas : VD = 5 V
+ 15 V
R6
≅7m
70
Q11
14.4 V
Q10
≅ 160 µ
Q12
28 µ
0
28 µ
≅ 15 V
Q8
0
0
- 0.32 V
J1
J2
5V
≅ 160 µ
14 V
0
+ 15 V
Q6
≅ 160 µ
0
Q2
200 µ
0
Q5
0
R1
R2
50k
50k
- 9.4 V
- 10 V
0
- 15 V
Q1
J3
R7
Q13
Q4
0
-14.4 V
7m
2k
R3
- 15 V
Q3
250 µ
R4
64
Q7
R7
D1
20k
- 15 V
J 2 est bloqué ( I D2 = 0 ), J1 conduit ( I D1 = 160 µA , VGS1 ≅ 0.32 V ) et VGS2 = VGS1 + VD ≅ 5.32 V .
Or, la loi du nœud de sortie de l’étage différentiel impose que I B4 = I D2 − IC2 ≅ − IC2 . Le sens des
courants de Q2 et Q4 est incompatible pour des transistors de type NPN car I B4 doit se diriger
vers la base de Q4 , d’où I B4 ≅ 0 et IC2 ≅ 0 . L’ensemble Q1 - Q2 - Q3 - R1 ne travaille plus en effet
miroir et Q4 est bloqué. Aucun courant ne circulant dans R2 , Q5 est aussi bloqué et le
translateur de tension n’est plus alimenté. Le courant de collecteur de Q11 s’identifie alors au
courant de base de Q8 . L’étage push-pull est tel que Q8 conduit et Q9 est bloqué. La maille de
sortie s’écrit alors VCC = VEC11 + VBE8 + (R 4 + R7 )I E8 et Vout = R7 I E8 , d’où I E8 ≅ 7 mA et
sat
Vout ≅ 14 V . La sortie est à l’état de saturation positive.
Constatons que I B8 ≅ 28 µA et IC11 ≅ I B8 . Q11 ne fournit plus le courant I 2 et son état de
saturation conduit à un β forcé = IC11 I B11 < β , c’est-à-dire à un courant de base nettement plus
important. Le courant de référence du répétiteur distribue les courants suivant la loi du nœud
IC13 = IC12 + I B12 + I B11 + I B10 = 250 µA . L’augmentation de I B11 a pour conséquence une diminution
des autres courants, en particulier celle du courant de polarisation I1 de l’étage différentiel. Cette
modification ne change en rien le niveau de tension en sortie puisque Q4 est toujours bloqué.
Ainsi, la tension de sortie de l’amplificateur en boucle ouverte est Vout = ± Vsat avec Vsat = 14 V
dans une condition de charge de 2 kΩ et pour toute tension d’entrée telle que VD ≥ 2.68 V .
Sylvain Géronimi
Page 264
Circuits intégrés
Amplificateur intégré de type Norton (LM359 de National Semiconductor)
On considère le circuit intégré (CI) de la figure ci-dessous. Tous les transistors sont supposés
technologiquement identiques de caractéristiques β = 200, VA = 100 V , VBEo ≅ 0.6 V .
Au sein des calculs, le paramètre β est considéré comme grand (courants de base négligés).
La notation suivante est utilisée pour les variables entrée/sortie (superposition des régimes continu et
dynamique), à savoir i + (t ) = I1 + i1(t ) , i − (t ) = I 2 + i 2 (t ) , v out (t ) = VS + v s (t ) .
+VCC
12 V
Q10
Q12
Q11
R1
Q5
5.7k
Q6
Q4
out
Q7
i-
(-)
(+)
vout
+VCC
Q3
i
R2
Q8
19k
+
Q14
Q1
Q2
Q9
Q13
Q15
Compréhension du circuit
3. Calculez les valeurs des courants de collecteur de Q10 , Q11 , Q13 , Q14 , Q3 , Q4 , des potentiels de
nœuds d’entrées (+), (-) de la base et de l’émetteur de Q4 .
On modélise le CI à l’image du schéma qui suit.
(-)
I2
IB3
VBE3
out
I1
VS
(+)
I1
VBE1
Sylvain Géronimi
Page 265
Circuits intégrés
4. Expliquez la présence des éléments de cette modélisation.
5. Evaluez les paramètres rbe , rce des modèles des transistors Q3 , Q4 , Q5 , Q6 et rbe7 , rbe8 , rbe9 ,
rce10 , rce11 , rce13 , rce14 des transistors associés.
6. Prouvez par le calcul que la résistance dynamique vue entre base de Q4 et la masse est de
valeur négligeable devant rbe4 .
7. Dessinez le schéma du circuit.
8. Ecrivez les expressions du transfert Rt = v s (i1 − i 2 ) et de la résistance de sortie du montage non
chargé.
On modélise le CI à l’image du schéma qui suit.
i2
(-)
out
Ze2
vi1
Zs
vs
Av v -
i1
(+)
v+
Ze1
9. Identifiez les éléments Z e1, Z e2 , Z s , Av du modèle et évaluez Z e2 , Z s , Av .
Sylvain Géronimi
Page 266
Circuits intégrés
Corrigé
1. Description
Le schéma se compose de deux étages de polarisation, d’un étage cascode attaqué par un courant
différentiel obtenu par un miroir de courant et d’un étage darlington en sortie.
- Les circuits de polarisation, répétiteurs de courant, sont l’association de deux miroirs de courant
élémentaires. Le répétiteur Q10 - Q11 - Q12 fournit deux courants sortants (transistors PNP) réglés
par la résistance R1 . Le courant issu de Q10 impose les courants de collecteur des transistors
Q3 , Q4 et le courant issu de Q11 polarise trois transistors montés en diode ( Q7 , Q8 , Q9 ) et mis
en série, produisant une translation des potentiels continus de la base de Q4 à 3VBE et du
collecteur de Q3 à 2VBE par rapport à la masse. Le répétiteur Q13 - Q14 - Q15 fournit deux
courants entrants (transistors NPN) réglés par la résistance R2 . Les courants issus de Q13 et
Q14 polarisent respectivement les étages collecteur commun Q5 et Q6 .
-
Le miroir de courant Q1 - Q2 , inversant le sens de son courant d’entrée, permet de constituer un
courant différentiel à partir des courants issus des bornes d’entrée du CI.
L’association des étages émetteur commun Q3 et base commune Q4 chargé par la source de
courant réalise un montage cascode à impédance de sortie élevée. Les étages collecteur
commun Q5 et Q6 se comportent en suiveur par la présence des charges dynamiques
d’émetteur et en abaisseur d’impédance. La sortie du CI est alors adaptée en tension.
La tension de sortie est proportionnelle à la différence des courants des entrées. Le CI est donc un
amplificateur à résistance de transfert, appelé aussi amplificateur de Norton.
2. Schéma
+VCC
2 mA
IC10
2 mA
IC11
Q5
Q6
1.8 V
Q4
out
1.2 V
2 mA
(-)
(+)
I2
Q7
0.6 V
Q3
VS
Q8
I1
IC13
Q1
Sylvain Géronimi
Q2
Q9
Page 267
0.6 mA
IC14
0.6 mA
Circuits intégrés
3. Evaluation des courants et potentiels de noeuds
Répétiteur de courant PNP (effet miroir) :
VCC − VEB12
o
I R1 =
= 2 mA et IC10 ≅ IC11 = IC4 ≅ IC3 ≅ 2 mA
o
o
o
o
R1
Répétiteur de courant NPN (effet miroir) :
VCC − VBE15
o
I R2 =
= 0.6 mA et IC13 ≅ IC5 ≅ IC14 ≅ IC6 ≅ 0.6 mA
o
o
o
o
R2
Potentiels de nœuds :
V + = VBE1 ≅ 0.6 V , V − = VBE3 ≅ 0.6 V , VB4 = 3VBE o ≅ 1.8 V , VC3 = 2VBEo ≅ 1.2 V
o
o
avec VBEo = VBE7 = VBE8 = VBE9 .
o
o
o
4. Explication des éléments du modèle
L’entrée (+) présente le transistor Q1 monté en diode en parallèle sur la jonction base-émetteur
de Q2 , ce qui est toujours l’équivalent statique d’une diode passante avec une tension de 0.6 V à
ses bornes. Entre l’entrée (-) et la masse, la sortie du miroir de courant Q1 - Q2 est équivalente à
une source de courant continue inversant le courant d’entrée I1 . Cette source est en parallèle sur
la jonction base-émetteur de Q3 . Notons que ce miroir est indépendant de l’effet Early puisque
VBC2 ≅ 0 V , donc VCE1 = VCE 2 ≅ 0.6 V .
Le potentiel de sortie VS dépendra du montage externe et sera généralement amené à la moitié
de la tension d’alimentation, c’est-à-dire VS ≅ VCC 2 , permettant aussi une dynamique de sortie
optimale (voir « applications de l’amplificateur Norton »).
rbe ≅
UT
V
β , rce ≅ A
IC o
IC o
d’où r be3 ≅ r be4 ≅ 2.5 kΩ , rce3 ≅ rce4 ≅ 50 kΩ ,
' ≅ 2.5 kΩ
rbe5 = rbe6 ≅ 8.33 kΩ , rce5 = rce6 ≅ 167 kΩ , rbe7 = rbe8 = rbe9 = rbe
et posons z10 = rce10 ≅ 50 kΩ , z11 = rce11 ≅ 50 kΩ , z13 = rce13 ≅ 167 kΩ , z14 = rce14 ≅ 167 kΩ .
6. Transistor Q4 en base commune
Les trois transistors Q7 , Q8 , Q9 , montés en diode et mis en série, composent une résistance
dynamique équivalente à 3
'
U
rbe
≅ 37.5 Ω (ou 3 T ). La résistance vue entre base de Q4 et la
IC11
β +1
o
r'
masse s’écrit z 4 = 3 be // rce11 , valeur très faible devant la résistance de jonction rbe4 située en
β +1
série ( 2.5 kΩ >> 37.5 Ω ). La base du transistor Q4 étant, pour ainsi dire, connectée à la masse,
l’étage correspond à un montage base commune.
Sylvain Géronimi
Page 268
Circuits intégrés
7. Schéma
z10
Q5
Q4
Q6
i2
(-)
z13
Q3
z14
vs
i1
(+)
Q1
Q2
8. Expressions du transfert et de la résistance de sortie
Afin de trouver l’équivalent du dipôle de sortie du montage sous la forme Thévenin (ici résistance
de transfert), rappelons qu’une méthode de travail consiste à représenter la sortie d’un étage
élémentaire non chargé sous la forme équivalente d’un dipôle de Thévenin ( v s , Z s ) ou de Norton
( i s , Z s ) suivant le cas, étude effectuée du premier étage au dernier. A chaque étape, le dipôle
obtenu attaque l’étage élémentaire suivant. Les étapes successives étudient un miroir de courant,
un étage émetteur commun, un étage base commune et deux étages collecteur commun.
Miroir de courant élémentaire Q1 - Q2
i1
rce2
rbe / (β+2)
≅ i1
Zs1
⇒
Zs2
is1
C’est un amplificateur de courant de dipôle de sortie (Norton) caractérisé par le courant de courtcircuit i s1 = i1 et la résistance de sortie Z s1 = rce2 . L’écriture de la résistance d’entrée est donnée
telle que r be1 = r be2 = r be .
i2
i3
Zs1
i1
Sylvain Géronimi
rce3
rbe3
β i3
Page 269
vs2
Zs2
Circuits intégrés
⎧⎪v s2 = − β i 3 rce3
⎨
⎪⎩i 3 = i 2 − i1
⇒ v s2 = β rce3 (i1 − i 2 ) et Z s2 = rce3
( rce2 >> rbe3 )
β i4
(β+1) i4
Zs2
i4
z10
Zs3
vs3
rbe4
vs2
z4
⎧⎪v s3 = − β i 4 z10
⎨
⎪⎩v s2 = − (β + 1)Z s2 + rbe4 i 4
[
v s3
⇒
]
v s2
≅
z
z
β z10
≅ 10 = 10
( β + 1)Z s2
Z s2
rce3
et Z s3 = z10 .
Si nous tenons compte de la présence de rce4 dans ces calculs, les résultats obtenus demeurent
toujours valables (erreur de l’ordre de 0.5%). En effet, un montage base commune présente, en
sortie, une jonction polarisée en inverse, donc une résistance dynamique très importante devant
la charge z10 .
Etages collecteur commun Q5 et Q6
rbe5
i5
Zs3
rce5
β i5
z13
vs4
Zs4
vs3
(
[
)
(
)
⎧⎪v s4 = rce5 // z13 (β + 1)i 5
(β + 1) rce5 // z13
v s4
⇒
≅
≅ +1
⎨
(
)
=
+
+
+
v
Z
r
r
//
z
β
1
i
v
Z
+
r
⎪⎩ s3
s3
be5
ce5
13
5
s3
s3
be5 + (β + 1) rce5 // z13
Zs 4 = rce5 // z13 //
(
Z s3 + rbe5
(β + 1)
]
)
≅
Z s3 + rbe5
(β + 1)
(
)
≅ 290 Ω
La topologie étant identiques pour les deux étages, on obtient
v s5
v s4
≅ +1 , Z s5 ≅
Sylvain Géronimi
Z s 4 + rbe6
(β + 1)
≅ 43 Ω
Page 270
Circuits intégrés
L’expression de la résistance de transfert est égale au produit des transferts élémentaires puisque
ces derniers tiennent compte de l’interaction inter-étages par la présence de la résistance de
Thévenin / Norton.
Rt =
v s v s v s v s2
vs
= 5 4 3
≅ β z10 = 10 MΩ (140 dB)
i 1 − i 2 v s 4 v s3 v s 2 i 1 − i 2
avec v s = v s5 et Z s = Z s5 .
9. Identification des éléments du modèle
Z e1 =
rbe
, Z e2 = rbe3 = 2.5 kΩ , Z s ≅ 43 Ω
β +2
⎧⎪v s = Rt (i1 − i 2 ) = − Av v −
⎨ −
⎪⎩v = (i 2 − i1 )Z e2
Sylvain Géronimi
⇒ Av =
Rt
= + 4000 (72 dB)
Z e2
Page 271
Circuits intégrés
Applications de l’amplificateur Norton
Nous proposons deux applications de l’amplificateur. Dans les schémas apparaît le montage de
l’étude précédente sous l’image symbolique suivante.
+ VCC
i
-
i+
symbole
de l’amplificateur Norton
Application n°1
R2
10k
C
R1
-
1k
ve
+
vs
R3
+VCC
12 V
2. Evaluez la résistance R3 afin que le potentiel de sortie VS soit de l’ordre de VCC 2 ( VBE ≅ 0.6 V
et I B3 << I1 et I 2 ).
Etude dynamique aux fréquences moyennes
4. Déterminez le gain en tension défini par v s v e et concluez sur le type d’amplificateur.
Application n°2
R2
10k
C
R1
+
1k
vs
R3
ve
+VCC
12 V
Sylvain Géronimi
Page 272
Circuits intégrés
6. Evaluez la résistance R2 afin que le potentiel de sortie VS soit à VCC 2 ( VBE ≅ 0.6 V et
I B3 << I1 et I 2 ), puis déduisez la valeur du courant I1 .
8. Déterminez le gain en tension défini par v s v e et concluez sur le type d’amplificateur.
Sylvain Géronimi
Page 273
Circuits intégrés
Corrigé
Application n°1
1. Schéma
R2
I2
IB3
VS
VBE
I1
R3
I1
+ VCC
VBE
2. Evaluation de la résistance
⎧I B3 << I1
⎪
VCC
⎪
= R2 I1 + I B3 + VBE
⎨VS =
2
⎪
⎪VCC = R3 I1 + VBE
⎩
(
)
⇒ R3 ≅ 2R2
VCC − VBE
≅ 21.1 kΩ
VCC − 2VBE
3. Schéma
R1
i’
i
Ze2
v-
ve
0
i2
R2
Zs ≅ 0
vs
Av v -
i1 = 0
R3
Ze1
4. Gain en tension
⎧v s ≅ − A v v −
⎪
⎪i ' = v e − v −
⎧v s ≅ − A v v −
⎪⎪
R1
⎪
⇒ ⎨ v−
ve vs ⎛ 1
⎨
1 ⎞ −
−
−
v
v
⎪i = s
⎪ Z = R + R − ⎜⎜ R + R ⎟⎟ v
1
2
2 ⎠
⎝ 1
⎩ e2
⎪
R2
⎪
−
'
⎩⎪v = (i + i )Z e2
Sylvain Géronimi
Page 274
1
vs
R1
≅−
≅ − 9.965
⇒
ve
1 ⎛⎜ 1
1 ⎞⎟ 1
+
+
A v ⎜⎝ Z e2 R1 ⎟⎠ R2
Circuits intégrés
En acceptant une approche numérique à quelques %,
vs
R
≅− 2 .
ve
R1
C’est un amplificateur inverseur de gain 20 dB. L’intérêt du montage est l’absence de mode
commun puisque les entrées (+) et (-) voient de faibles impédances (résistances de diode
passante).
Application n°2
5. Schéma
R2
I2
IB3
VBE
VS
I1
R3
+ VCC
I1
VBE
6. Evaluation de la résistance et du courant
La topologie étant la même que précédemment, les résultats sont identiques.
⎛V
⎞ 1
R3 ≅ 21.1 kΩ et I1 ≅ ⎜ CC − VBE ⎟
= 540 µA .
⎝ 2
⎠ R3
IC
Le courant de base de Q3 vaut IB3 = 3 = 10 µA , courant négligeable devant I1 , validant ainsi
β
l’hypothèse de départ.
7. Schéma
i2
Ze2
v-
R2
Zs ≅ 0
vs
i1
Av v R1
ve
Sylvain Géronimi
i1
R3
Ze1
Page 275
Circuits intégrés
8. Gain en tension
⎧v s ≅ − A v v −
⎪
⎪
vs − v −
⎧v s ≅ − A v v −
⎪i 2 =
⎪⎪
R2
⎪
⇒ ⎨⎛ 1
⎨
ve
1 ⎞⎟ − v s
⎜
ve
+
v =
−
⎪i ≅
⎪⎜
⎟
Z
R
R
R
1
2 ⎠
2
1 + Z e1
⎪
⎩⎪⎝ e2
R1 + Z e1
⎪
⎪v − = (i 2 − i1 )Z e
2
⎩
avec Z e1 =
rbe1
β +1
≅
⇒
1
R1 + Z e1
vs
≅−
≅ + 9.55
ve
1 ⎛⎜ 1
1 ⎞⎟ 1
+
+
A v ⎜⎝ Z e2 R2 ⎟⎠ R2
UT UT
=
≅ 46.3 Ω , valeur faible devant R3 ( R3 // Z e1 ≅ Z e1 ).
I E1
I1
En acceptant une approche numérique à quelques %,
v s R2
≅
= 10 .
v e R1
C’est un amplificateur non inverseur de gain 20 dB.
Sylvain Géronimi
Page 276
Circuits intégrés
Amplificateur à conductance de transfert (LM13600 de National Semiconductor)
On considère le circuit intégré de la figure ci-dessous où R est un élément hors puce. Le but est de
caractériser la conductance de transfert en sortie de S1 sur une impédance de charge Z ch . Tous les
transistors sont supposés identiques ou parfaitement complémentaires ( β >> 1 ).
+VCC
Q8
Q11
Q7
Q16
Q10
Q17
Q12
Q9
Q1
E2
S2
Q2
S1
(+)
Is
vD
(-)
Q15
Ipol
R
Q5
Q6
Q3
V
Q13
Q4
Q14
-VCC
2. Ecrivez l’expression du courant de sortie IS en fonction de la tension différentielle d’entrée VD et
tracez ce transfert.
3. Faîtes apparaître dans l’expression trouvée les termes V et R . Commentez ce résultat.
4. Donnez les courants de polarisation du montage.
Etude du régime dynamique purement différentiel (faibles signaux aux fréquences moyennes)
5. Rappelez la caractérisation du quadripôle défini par la source de Wilson ( ze , zs , A i ).
6. Ecrivez l’expression du courant i s en fonction de v d en discutant des conditions aux impédances
sur les divers transferts en courant.
7. Démontrez qu’en considérant la zone linéaire du transfert IS (VD ) obtenu lors de l’étude en régime
pseudo-continu, on retrouve le résultat précédent.
8. La sortie S1 étant chargée par une impédance Z ch , caractérisez l’amplificateur sous forme de
quadripôle ( Y t , Z e , Z s1 ).
9. La sortie S1 , chargée par Z ch , est reliée à la base de Q16 et une résistance Rch est branchée
entre S2 et la masse, précisez le type d’amplificateur obtenu.
Sylvain Géronimi
Page 277
Circuits intégrés
Corrigé
1. Description
Le schéma se compose d’un étage de polarisation, d’un étage différentiel associé à un transfert
dynamique de courant et d’un étage darlington indépendant.
- Le circuit de polarisation, répétiteur de courant, est l’association d’une source de Wilson Q3 - Q4 -
-
-
Q5 et d’un miroir de courant élémentaire Q4 - Q6 polarisant respectivement l’étage différentiel par
le point commun des émetteurs de Q1 - Q2 et l’étage collecteur commun Q16 . Les courants de ces
sources sont réglés par la résistance R et la tension de polarisation V (éléments hors puce).
L’étage différentiel est à comportement émetteur commun, attaquant en courant des miroirs de
haute précision de type Wilson à transistors PNP. La présence de la source de Wilson utilisant
des transistors NPN permet d’inverser le sens du courant afin de reconduire la différence des
courants issus des collecteurs de l’étage différentiel à la sortie S1 . Ce point de sortie doit être au
potentiel 0 V en absence de dynamique (décalage de tension nul).
Une deuxième sortie S2 est proposée par le biais des deux montages émetteur suiveur Q16 - Q17 ,
constituant un buffer, isolant la charge au point S1 et recopiant la tension aux bornes de celle-ci
en sortie S2 . La charge d’émetteur de Q17 peut alors être attaquée en tension. Au niveau du
continu, le potentiel de sortie est abaissé de 2VBE .
Ce circuit intégré peut donc être utilisé en amplificateur différentiel à conductance de transfert, associé
à un buffer.
Les transistors sont identiques et β >> 1 . La source de Wilson étant un miroir de précision, les
courants d’entrée de chacune d’elles sont reconduits en sortie et inversés, c’est-à-dire
I pol ≅ IC5 (courant constant) et IC1 ≅ IC9 ≅ IC15 , IC2 ≅ IC12 .
o
équations du circuit
⎧VD = VBE1 − VBE 2
⎪
⎪V = R I pol + VBE5 + VBE 4 − VCC
→ ⎨
⎪IC5o = I E1 + I E2
⎪I = I − I
C15
C12
⎩S
VBE1
⎧
⎪I ≅ β I e UT
BS
⎪ C1
équations technologiques Q1 ≡ Q2 → ⎨
VBE2
⎪
⎩
VD
IC 5
IC 5
⎛ V
o
o
⇒ IC1 ≅ IC2 e UT d’où IC1 ≅
, IC 2 ≅
, IS ≅ IC1 − IC2 ≅ I pol th⎜⎜ D
VD
VD
−
⎝ 2 UT
1 + e UT
1 + e UT
3. Commentaire
V − VBE5 − VBE 4 + VCC
I pol =
R
⎞
⎟⎟
⎠
V − 2VBE + VCC ⎛ VD ⎞
⎟⎟
th⎜⎜
R
⎝ 2UT ⎠
Le transfert sera modifiable en retouchant la tension V et/ou la résistance R extérieure.
Sylvain Géronimi
⇒
IS ≅
Page 278
Circuits intégrés
Si VD >> 2 UT ⇒ IS ≅ ± I pol
500uA
Ipol
tangente
au point
de polarisation
(VD = 0)
0A
zone
linéaire
- Ipol
-500uA
-200mV
IS
-150mV
-100mV
-50mV
-0mV
50mV
100mV
150mV
200mV
VD
4. Courants de polarisation
Aucune source dynamique n’étant appliquée à l’entrée du circuit, les bases des transistors Q1 et
Q2 sont à la masse. Dans l’étude du régime pseudo-continu, cela revient à poser VD = 0 . Il s’en
suit
I pol
, IS ≅ IC1 − IC2 ≅ 0
IC1 = IC2 ≅
o
o
o
o
2
Etude du régime dynamique purement différentiel (faibles signaux aux fréquences moyennes)
5. Caractérisation du miroir (voir problème « Source de Wilson pour transfert dynamique »)
is
ie
ig
ze
rg
ie
β rce
, zs ≅
, Ai ≅ 1
β
2
avec les conditions rg >> ze , zs >> Rch
ze ≅
zs
Rch
2 rbe
IC1
⎧
I pol
β vd
o
⎪i c1 ≅
vd ≅
=
vd
r
U
I pol
2 T
4 UT
⎪
be1 2
⇒ i s ≅ i c1 − i c2 ≅
vd
⎨
2 UT
I pol
β vd
⎪
≅−
vd
⎪i c 2 ≅ − r
4 UT
be2 2
⎩
car attaque en courant en sortie de l’étage différentiel rce1 et rce2 >> ze et de même entre miroirs
zs >> ze (pour la sortie sur Rch , voir plus loin).
Sylvain Géronimi
Page 279
Circuits intégrés
7. Linéarisation du transfert
On peut calculer la pente à l’origine telle que
dI S ⎤
⎥
dVD ⎦V
D =0
v d (t ) << 2 UT
⎛ v
⇒ th⎜⎜ d
⎝ 2 UT
⎞
v
⎟⎟ ≅ d
2
UT
⎠
=
I pol
2 UT
=
is
vd
ou encore considérer
(voir le tracé, excursion très faible !)
8. Caractérisation du montage en sortie S1
La résistance différentielle d’entrée, située entre les bases des transistors Q1 et Q2 , s’écrit
rbe1 + rbe2 . La résistance de sortie, vue entre le nœud S1 et la masse, est produite par deux
miroirs en parallèle, soit zs // zs =
β rce
, haute impédance due à l’emploi de sources de Wilson
4
bien mieux adapté qu’un autre type de miroir. Ceci montre que si les conditions d’adaptation
suivantes sont respectées, attaque en tension en entrée ( rbe1 + rbe2 >> rg ) et attaque de la charge
en courant ( β rce 4 >> Z ch ), le quadripôle obtenu représente un amplificateur différentiel à
conductance de transfert.
is
Ze
vd
Zs1
Zch
vs1
Yt vd
⎛i
Yt = ⎜⎜ s
⎝ vd
I pol
⎞
⎛v
⎟
≅
, Z e = ⎜⎜ d
⎟
⎠v s1 =0 2UT
⎝ ie
⎛ vs
⎞
⎟
= 2 rbe , Z s1 = ⎜⎜ 1
⎟
⎠v s1 =0
⎝ is
⎞
β rce
⎟
=
⎟
4
⎠v d = 0
9. Caractérisation du montage en sortie S2
Les transistors, Q16 alimenté par le miroir de courant Q6 - Q4 , et Q17 connecté à la charge, sont
montés en collecteur commun. L’étage darlington présente une très importante résistance
d’entrée ( ≅ β 2 Rch ) et une résistance de sortie très diminuée ( ≅ ZS1 β 2 << Rch ) permettant
d’attaquer la charge en tension. C’est alors un amplificateur de tension.
Zs2
vd
Ze
Rch
A v vd
Le constructeur permet à l’utilisateur de recopier la tension nodale S1 aux bornes de la charge par
le biais de l’adaptation en tension, à un décalage d’offset près de 2VBE vers la masse. Le
darlington est donc un buffer.
Sylvain Géronimi
Page 280
Circuits intégrés
Application de l’amplificateur à conductance de transfert
Dans le schéma apparaît le montage de l’étude précédente sous l’image symbolique suivante.
buffer
+VCC
OTA
+
-
-VCC
Ipol
L’étude porte sur l’association en boucle de deux amplificateurs à conductance de transfert (OTA)
avec leur buffer. L’alimentation symétrique du montage est VCC = 15 V et la tension Vcom est la
variable de commande du montage.
+VCC
+VCC
OTA1
OTA2
+
+
-
-VCC
Ipol1
R1
30k
Vcom
R2
10k
C
200p
-VCC
Ipol2
R3
25k
-VCC
+VCC
R4
5k
R5
10k
vOUT
-VCC
1. Expliquez le fonctionnement du montage sachant que les deux OTA travaillent ici à forts signaux
d’entrée.
2. Tracez les évolutions des potentiels nodaux des entrées de l’OTA2.
3. Ecrivez l’expression de la période des oscillations.
4. Dans la considération d’un oscillateur contrôlé par la tension de commande Vcom (VCO), écrivez
les expressions de la fréquence libre f0 et le facteur de sensibilité K 0 , répondant à la relation
fVCO = K 0 Vcom + f0 , en fonction des composants passifs et des tensions appliquées au circuit.
Evaluez ces paramètres.
5. Discutez de l’influence des valeurs des composants passifs R1 , R3 , R 4 et C sur les
performances de l’oscillateur.
Sylvain Géronimi
Page 281
Circuits intégrés
Corrigé
1. Fonctionnement de l’oscillateur
Les OTA travaillant à forts signaux, le courant de sortie en fonction du temps est de la forme
⎛ v (t ) ⎞
i S (t ) = I pol th ⎜⎜ D ⎟⎟ ≅ ± I pol , car v D (t ) >> 2 UT .
⎝ 2 UT ⎠
En régime permanent, le signal sur la résistance de charge R 4 de OTA2 est un signal carré de
niveau ± R 4 I pol 2 par rapport à la masse. Ce signal est appliqué à l’entrée (+) de OTA1 et comparé
à la masse et le condensateur C en sortie, chargé (ou déchargé) à courant constant, produit à ses
bornes un signal triangulaire. Ce signal est recopié à la sortie du buffer de OTA1, à la translation
2VBE près, et comparé au signal carré à l’entrée de l’OTA2. Il y a basculement lorsque les
niveaux des signaux sont quasiment égaux ( v D (t ) ≅ 0 ). Ainsi, la tension aux bornes du
condensateur croît ou décroît linéairement suivant que le signal carré est sur son front haut ou
son front bas et ceci de façon périodique.
Le circuit est donc un oscillateur produisant deux signaux synchrones de forme carrée et
triangulaire. Le signal carré v OUT (t ) est disponible en sortie de buffer sous faible impédance pour
une attaque en tension. Si la tension Vcom est variable (modulation) , la fréquence de l’oscillateur
est modifiée (VCO).
2. Chronogrammes
+ R 4 I pol 2
+
v OTA
2
−
v OTA
2
0
t2
t1
t
− R 4 I pol 2
+
−
(t ) − v OTA
(t ) ≅ 0 , c’est-à-dire que les tensions
Les basculements ont lieu lorsque v D (t ) = v OTA
2
2
+
−
= ± R 4 I pol 2 et v OTA
= v C (t ) − 2VBE sont à peu près égales.
nodales v OTA
2
2
3. Période des oscillations
En prenant pour origine des temps, le basculement − R 4 I pol 2 → + R 4 I pol 2 de la tension de sortie
de OTA2, calculons les instants t1 et t 2 des basculements suivants.
A partir de l’instant t = 0 , v C (t ) =
d’où v C (t ) =
Sylvain Géronimi
I pol1
C
I pol1
C
t + cte avec cte = v C (0) = − R 4 I pol 2 + 2VBE
t − R 4 I pol 2 + 2VBE pour t ∈ [0, t1 ]
Page 282
Circuits intégrés
A l’instant t1 du basculement suivant + R 4 I pol 2 → − R 4 I pol 2 ,
v C (t1 ) = R 4 I pol 2 + 2VBE =
I pol1
C
t1 − R 4 I pol 2 + 2VBE ⇒ t1 =
A partir de l’instant t1 , VC (t ) = −
d’où v C (t ) = −
I pol1
C
I pol1
C
2 C R 4 I pol 2
I pol1
t + cte avec cte = VC (t1 ) +
I pol1
C
t1 = 3 R 4 I pol 2 + 2VBE
t + 3 R 4 I pol 2 + 2VBE pour t ∈ [t1,t 2 ]
A l’instant t 2 du basculement suivant − R 4 I pol 2 → + R 4 I pol 2 ,
v C (t 2 ) = − R 4 I pol 2 + 2VBE = −
Ainsi, t 2 = 2 t1 =
4 C R 4 I pol 2
I pol1
I pol1
C
t 2 + 3 R 4 I pol 2 + 2VBE ⇒ t 2 =
4 C R 4 I pol 2
I pol1
= T (période des signaux)
4. Caractéristique du VCO
fVCO ≅
I pol1
avec I pol1 =
4 C R 4 I pol 2
de la forme fVCO = K 0 Vcom + f0
2VCC − 2VBE
Vcom − 2VBE + VCC
et I pol 2 =
R1
R3
avec f0 ≅
R3
VCC − 2VBE
4 C R1 R 4 2VCC − 2VBE
et K 0 ≅
VCC
f0
− 2VBE
L’application numérique donne f0 ≅ 100 kHz et K 0 ≅ 7.23 kHz / V .
5. Discussion
Les résistances R3 et R 4 réglent l’amplitude du signal carré. Le choix de la fréquence centrale f0
du VCO est fixée par la valeur de C et R1 avec la condition Vcom = 0V , tension correspondant au
centrage de la plage des fréquences possibles.
200K
150K
K0 ≅ 6.89 kHz/V
(15.000, 195.371K)
(20.548m, 96.440K)
100K
(-12.000, 12.280K)
50K
0
-12
Sylvain Géronimi
1/ Period(V(OUT))
-8
-4
0
4
8
12
15
Vcom
Page 283
Circuits intégrés
Vcom = 0 V
10V
(32.318u, 5.6410)
fosc ≅ 96.8 kHz
2VBE
0
pente ≅ 2.21 V/µs
-10V
28us
(36.671u, -7.2086)
30us
V(OTA2:+) - V(OTA2:-)
V(OTA2:+)
32us
V(OTA2-)
V(OUT)
V(C)
34us
36us
(37.706u, -5.8083)
38us
40us
Time
La simulation montre des résultats en accord avec l’étude à la précision près des valeurs de VBE (0.6
à 0.7 V) et de la transition de IS = ± I pol en fonction de VD lors des basculements.
Pente du signal triangulaire
I pol1
C
≅ 2.3 V / µs et amplitude crête du signal carré R 4 I pol 2 ≅ 5.76 V avec
VBE = 0.6 V .
Sylvain Géronimi
Page 284
Circuits intégrés
Buffer et amplificateur à conductance de transfert (OPA660 de Burr-Brown)
Le circuit à étudier intègre deux fonctions, un buffer et un amplificateur à conductance de transfert.
Tous les transistors sont supposés technologiquement identiques ou parfaitement complémentaires et
de gain en courant β = 200 , de tension d’Early VA = 100V . L’alimentation symétrique du montage
est telle que VCC = ± 5 V . Les résistances R pol et Rch sont hors puce et la tension VE est appliquée
à l’entrée du circuit.
Etude du buffer de tension (Diamond Buffer)
+VCC
Q4
Q3
Q8
Q6
Rpol
17.6k
vE
Q7
Q5
Ipol
Q1
Rch
1k
vS
Q2
-VCC
2. Ecrivez la relation de la tension VS en fonction de VE et I pol , Rch .
4. Evaluez les paramètres rbe et rce des modèles des transistors.
6. Ecrivez l’expression du transfert en tension Av = v s v e . Comparez au résultat obtenu lors de
l’étude en régime pseudo-continu.
7. Ecrivez les expressions des résistances d’entrée Z e et de sortie Z s vue de la charge.
8. Evaluez les paramètres Z e , Z s , A v qui caractérisent l’amplificateur de tension en précisant les
conditions d’adaptation à respecter.
Sylvain Géronimi
Page 285
Circuits intégrés
Etude de l’amplificateur à conductance de transfert (Diamond Transistor)
+VCC
Q4
Q3
Q11
Q12
Q8
Q6
iS
Rpol
17.6k
vE
Q7
Q5
vS
Ipol
Q1
Q2
Q9
Rch
1k
Q10
-VCC
10. Ecrivez la relation de la tension IS en fonction de VE et I pol .
12. Evaluez les paramètres rbe et rce des modèles des transistors, ainsi que les éléments de la
caractérisation des miroirs Q9 - Q10 et Q11 - Q12 ( ze , zs , Ai ).
14. Ecrivez l’expression du transfert en tension Yt = i s v e . Comparez au résultat obtenu lors de
l’étude en régime pseudo-continu.
15. Ecrivez les expressions des résistances d’entrée Z e et de sortie Z s du montage.
16. Evaluez les paramètres Z e , Z s , Y t qui caractérisent l’amplificateur à conductance de transfert en
précisant les conditions d’adaptation à respecter.
Rappel de la notation : v E (t ) = VE + v e (t ) , … (superposition des régimes continu et dynamique).
Sylvain Géronimi
Page 286
Circuits intégrés
Corrigé
1. Description
Le schéma se compose d’un étage de polarisation et de quatre étages collecteur commun. Une
symétrie par rapport à la masse, due aux transistors complémentaires fait apparaître une topologie
parallèle de l’ensemble.
- Le circuit de polarisation est composé de deux miroirs de courant élémentaire Q1 - Q2 et Q3 - Q4
polarisant respectivement les transistors Q6 et Q5 . Les courants de ces sources sont fixés par le
choix de la résistance R pol . Nous démontrerons que l’association des transistors parfaitement
complémentaires Q5 - Q8 et Q6 - Q7 produit ici les mêmes courants de polarisation.
-
Les étages collecteur commun Q5 et Q6 , chargés en partie par une source de courant,
présentent un niveau de résistance d’entrée relativement élevé, permettant une attaque en
tension du montage. Les étages collecteur commun Q7 et Q8 assurent une faible résistance de
sortie, permettant une attaque en tension de la charge. L’association de ces émetteurs suiveurs
conduit à un gain en tension unité. Ici, l’intérêt de cette topologie réside dans l’association en
cascade de deux émetteurs suiveurs complémentaires ( Q5 - Q8 ou Q6 - Q7 ) qui compensent leurs
tensions base-émetteur en mode actif (ni saturés ou bloqués), donc pas de translation de tension
continue entre entrée et sortie ( VS ≅ VE ) et amélioration de la stabilité thermique (structure
Diamond).
Cette partie du circuit intégré est appelé Diamond Buffer.
Les courants de saturation I BS des jonctions base-émetteur et les gains en courant β des
transistors sont supposés identiques, l’effet Early est négligé.
2. Relation VS (VE )
Pour les étages de polarisation :
VBE1
⎧
⎪
Q1 ≡ Q2 → ⎨ 1
(technologie)
VBE2
⎪
UT
⎩⎪IC2 ≅ β I BS e
VEB3
⎧
⎪
Q3 ≡ Q4 → ⎨ 3
(technologie)
VEB4
⎪
VBE1 = VBE 2 (circuit)
⇒ IC1 ≅ IC2 ≅ I pol
VEB3 = VEB4 (circuit)
⇒ IC3 ≅ IC4 ≅ I pol
Pour les étages émetteurs suiveurs
VEB5
⎧
VE −VS
⎪ 5
Q5 ≡ Q8 → ⎨
(technologie) VE = −VEB5 + VBE8 + VS (circuit) ⇒ IC8 ≅ I pol e UT
VBE8
⎪
Sylvain Géronimi
Page 287
Circuits intégrés
VBE6
⎧
⎪ 6
Q6 ≡ Q7 → ⎨
(technologie)
VEB7
⎪
UT
⎩⎪IC7 ≅ β I BS e
VE = VBE6 − VEB7 + VS (circuit) ⇒ IC7 ≅ I pol e
−
VE −VS
UT
Pour définir la tension de sortie
(
VS ≅ Rch IC8 − IC7
)
V −V
⎛ VE −VS
− E S
⇒ VS ≅ Rch I pol ⎜ e UT − e UT
⎜
⎝
⎞
⎟ = 2 R I sh VE − VS
ch pol
⎟
UT
⎠
Comme il a été dit lors de la discussion, VS ≅ VE ou VE − VS << UT
d’où VS ≅
⎛ V − VS
⇒ sh⎜⎜ E
⎝ UT
⎞ VE − VS
⎟⎟ ≅
UT
⎠
1
VE ≅ VE tant que les transistors travaillent en mode actif.
UT
1+
2 I pol Rch
Aucune source dynamique n’étant appliquée à l’entrée du circuit, les bases des transistors Q5 et
Q6 sont à la masse. Dans l’étude du régime pseudo-continu, cela revient à poser VE = 0 . Il s’en
suit que tous les courants de collecteur sont égaux à I pol et la tension de sortie VS ≅ 0 .
2VCC = VEB3 + R pol I pol + VBE1 (circuit) ⇒ I pol ≅ 500 µA avec VBEo ≅ 0.6 V .
4. Evaluation des paramètres des modèles des transistors
rbe ≅
UT
V
β et rce ≅ A ( VCEi << VA ) , soit rbe ≅ 10 kΩ , rce ≅ 200 kΩ
I pol
I pol
5. Schéma
rce
Q8
Q5
Q6
ve
vs
Rch
Q7
rce
Sylvain Géronimi
Page 288
Circuits intégrés
6. Expression du transfert en tension
Etages collecteur commun Q5 ou Q6
i
rbe
βi
rce /2
ve
Z s1
vs1
rce
⎧
rce
(β + 1)
⎪⎪v e = rbe i + 2 (β + 1)i
v s1
2
⇒
=
≅1
⎨
rce
ve
⎪v = rce (β + 1)i
(β + 1)
rbe +
⎪⎩ s1 2
2
i0
i
i1
βi
rbe
rce /2
v0
⎧i 0 + (β + 1)i = i1
⎪
r
r
r
rce
⎪
⇒ Z s1 = ce // be ≅ be
i1
⎨v 0 =
2 β +1 β +1
2
⎪
⎪⎩v 0 = − rbe i
i
Zs1 + rbe
βi
rce
βi
rce
vs1
i
Zs1 + rbe
vs1
(
)
vs
⎧⎪v s1 = Zs1 + rbe i + 2 (β + 1)(rce // rce // Rch )i
⇒ 1 ≅1
⎨
vs
⎪⎩v s = 2 (β + 1)(rce // rce // Rch )i
Le transfert en tension global est donc
Rch
vs
Zs
(avec charge équivalente rce // rce // Rch )
v s1 v s
≅ 1 ou v s ≅ v e , ce qui est la même expression que
v e v s1
pour le transfert en régime pseudo-continu.
7. Résistances d’entrée et de sortie du montage
Calcul de la résistance d’entrée
Les étages collecteur commun Q7 ou Q8 présentent chacun la résistance d’entrée
Z e2 = rbe + 2 (β + 1)(rce // rce // Rch ) . La résistance d’entrée du montage est donc celles des étages
collecteur commun Q5 ou Q6 mis en parallèle, chargés chacun par Z e2 , soit
Sylvain Géronimi
Page 289
Circuits intégrés
Ze =
1⎡
⎛ rce
⎞⎤ β ⎡ r
// Ze2 ⎟⎥ ≅ ⎢ ce
⎢rbe + (β + 1)⎜
2⎣
⎝ 2
⎠⎦ 2 ⎢⎣ 2
⎛ ⎛r
⎞ ⎞⎤
// ⎜⎜ 2 β ⎜ ce // Rch ⎟ ⎟⎟⎥
⎠ ⎠⎥⎦
⎝ ⎝ 2
La résistance de sortie, vue par la charge extérieure, est produite par les deux étages collecteur
rbe + Z s1 ⎞ rbe
1⎛
⎟≅
.
commun Q7 et Q8 en parallèle, soit Z s = ⎜⎜ rce //
2⎝
β + 1 ⎟⎠ 2 β
L’association de cette résistance Z s en série avec une source de tension indépendante v s
constitue le dipôle équivalent de Thévenin pouvant attaquer la charge du montage.
8. Caractérisation du buffer
Les conditions d’adaptation à respecter pour ce type d’amplificateur en tension sont une attaque
en tension en entrée ( Z e >> RG ) et en sortie ( Z s << Rch ).
Zs
RG
ve
Ze
Rch
A v ve
vg
avec les valeurs Av ≅ 1 , Ze ≅ 8 MΩ , Zs ≅ 25 Ω .
5.0V
pente de 0.983 V/V
VS (VE)
saturation
et blocage
des
transistors
0V
fonctionnement en mode actif
des transistors
saturation
et blocage
des
transistors
-5.0V
-5.0V
0V
5.0V
Nous constatons que le domaine de linéarité est très étendu, puisque la tension d’entrée maximale
possible est voisine de la tension d’alimentation ±VCC .
Sylvain Géronimi
Page 290
Circuits intégrés
9. Description
Le schéma est conçu sur la même idée que le buffer étudié précédemment (structure Diamond). Il
vient s’ajouter un transfert statique et dynamique de courant vers la nouvelle sortie. La symétrie par
rapport à la masse de l’ensemble, due aux transistors complémentaires, fait toujours apparaître une
topologie parallèle.
- Les étages émetteur suiveur Q7 et Q8 reconduisent leur courant de collecteur vers la sortie par le
biais des miroirs Q9 - Q10 et Q11 - Q12 . Cet ensemble étant complémentaire par rapport à la masse,
le courant de sortie i S est la différence de leurs courants de collecteur.
-
Les deux miroirs en parallèle produisent en sortie une résistance dynamique relativement
importante pour attaquer une charge en courant.
Ce circuit intégré peut donc être utilisé en amplificateur à conductance de transfert.
10. Relation IS (VE )
Pour définir la tension de sortie du buffer (émetteurs suiveurs en mode actif)
Rch
VS ≅ Rch IC8 − IC7 ou VS ≅
VE ≅ VE .
U
Rch + T
2 I pol
(
)
Pour les étages de transfert de courant
VBE9
⎧
⎪ 9
Q9 ≡ Q10 → ⎨
(technologie)
VBE10
⎪
Q11 ≡ Q12
VEB11
⎧
⎪
→ ⎨ 11
(technologie)
VEB12
⎪
VBE9 = VBE10 (circuit)
⇒ IC9 ≅ IC10
VEB11 = VEB12 (circuit)
⇒ IC11 ≅ IC12
Pour définir le courant de sortie
⎧IS = IC − IC
12
10
VS
VE
V
1
⎪⎪
≅ E
ou encore IS ≅
⎨IC12 ≅ IC11 ≅ IC8 ⇒ IS ≅ IC8 − IC7 ≅
U
Rch Rch
Rch
T
⎪
1+
⎪⎩IC10 ≅ IC9 ≅ IC7
2 I pol Rch
tant que les transistors travaillent en mode actif.
Tous les courants de collecteur sont égaux à I pol et le courant de sortie IS ≅ 0 .
Sylvain Géronimi
Page 291
Circuits intégrés
12. Evaluation des paramètres des modèles des transistors et des quadripôles de transfert de courant
rbe ≅ 10 kΩ , rce ≅ 200 kΩ et ze =
rbe
β
≅ 50 Ω , zs = rce ≅ 200 kΩ , Ai =
≅1
β +2
β +2
13. Schéma
≅ i1
ze
rce
zs
i1
Q8
Q5
ve
is
in
Q6
vs
Rch
Q7
i2
rce
zs
ze
≅ i2
14. Expression de la conductance de transfert
Etages collecteur commun Q5 ou Q6 (inchangé)
Les schémas des deux étages étant identiques, chacun débite un même courant constituant le
courant i n traversant la charge.
i
in /2
in /2
Zs1 + rbe
βi
rce
vs1
Rch
(
)
⎧v s1 = Z s1 + rbe i + rce (i1 + β i ) + ze i1
⎪
⎨rce (i1 + β i ) + ze i1 = Rch i n
⎪i = 2 (i − i )
1
⎩n
vs
β i + i1
i1
ze
(
)
⎧⎪v s = Z s1 + rbe + β rce i + (rce + ze )i1
⇒ ⎨ 1
⎪⎩(rce + ze + 2 Rch )i1 = (2 Rch − β rce )i
soit
i1
1
≅−
v s1
2 Rch
(
)
⎡
⎤
r + ze + 2 Rch
+ rce + ze ⎥ i1
⇒ v s1 = ⎢ Z s1 + rbe + β rce ce
R
r
−
2
β
ch
ce
⎣
⎦
avec rce >> ze , β rce >> 2 Rch et Z s1 + rbe .
Etages de transfert en courant
i s ≅ − (i1 + i 2 ) = − 2 i1
⇒ i s ≅ − (i1 + i 2 ) = − 2 i1 ≅
ve
Rch
(courant de court-circuit à l’image du
théorème de Norton)
Sylvain Géronimi
Page 292
Circuits intégrés
soit Yt =
is
1
≅
v e Rch
(même expression que pour le transfert en régime pseudo-continu).
15. Résistances d’entrée et de sortie du montage
La résistance d’entrée du montage est inchangée (voir l’étude du buffer).
rce
.
2
L’association de cette résistance Z s en parallèle avec une source de courant indépendante i s
constitue le dipôle équivalent de Norton pouvant attaquer la charge du montage.
La résistance de sortie est produite par deux miroirs en parallèle, soit Zs = rce10 // rce12 =
16. Caractérisation de l’amplificateur à conductance de transfert
Les conditions d’adaptation à respecter pour ce type d’amplificateur sont une attaque en tension
en entrée ( Z e >> RG ) et une attaque de la charge en courant ( Z s >> Rch ).
is
ve
Ze
vs
Zs
Rch
Yt ve
avec les valeurs Yt ≅ 1 mA / V , Z e ≅ 8 MΩ , Z s ≅ 100 kΩ .
5.0mA
IS (VE)
saturation
et blocage
pente de 0.973 mA/V
0A
fonctionnement en mode actif
des transistors
saturation
et blocage
-5.0mA
-5.0V
0V
5.0V
Nous constatons que le domaine de linéarité est très étendu, puisque la tension d’entrée maximale
possible est voisine de la tension d’alimentation ± VCC .
De plus, les transferts en tension et en courant ont même expression en régime pseudo-continu et en
régime dynamique à condition de rester dans le mode actif des transistors. Par contre, l’étude du
régime pseudo-continu est la seule étude à délimiter les domaines de linéarité.
Sylvain Géronimi
Page 293
Circuits intégrés
Applications de l’amplificateur à conductance de transfert
L’amplificateur à conductance de transfert peut être vu comme un « transistor auto-polarisé », puisque
par définition, c’est une source de courant commandée par une tension. Ce quasi-transistor possède
trois bornes : une entrée à haute impédance (base), une entrée/sortie à basse impédance (émetteur)
et une sortie de courant (collecteur).
Nous proposons trois applications de base de l’amplificateur qui démontrent une équivalence de
comportement avec les montages fondamentaux traditionnels. Dans les schémas apparaît le montage
de l’étude précédente sous l’image symbolique suivante.
C
B
E
Application n°1
Application n°2
Application n°3
iS
iS
C
Rch
C
vOUT
E
vIN
C
B
B
E
vIN
vOUT
E
iS
iS
RE
Rch
B
vE
Rch
vOUT
RE
vIN
1. Déterminez le transfert en tension des montages suivants.
2. Comparez avec les caractéristiques des montages fondamentaux.
Corrigé
Application n°1
1. Transfert en tension
Régime pseudo-continu
V
R
VE
V
1
1
VE ≅
VIN ≅ VIN , IS ≅
≅ E , VOUT = Rch IS ⇒ OUT ≅ ch
UT
UT
RE RE
VIN
RE
1+
1+
2 I pol RE
2 I pol RE
Régime continu
VE ≅ VIN = 0 (base à la masse), IS ≅ 0 ⇒ VOUT ≅ 0
v
R
r
v
v e ≅ v in , v out ≅ Rch i s ≅ Rch in ⇒ out ≅ ch , Z s ≅ ce // Rch ≅ Rch
2
RE
v in
RE
Sylvain Géronimi
Page 294
Circuits intégrés
2. Comparaison
Le montage est un amplificateur non inverseur, comparable à un montage pseudo-émetteur
commun (inverseur) sans translation de l’ordre 0.6 V de la tension de sortie en régime continu. Sa
résistance de sortie est de valeur importante (source de courant).
Application n°2
1
VOUT ≅
VIN ≅ VIN
UT
1+
2 I pol Rch
Régime continu
VIN = 0 (base à la masse) ⇒ VOUT ≅ 0
r
v out ≅ v in , Z s ≅ be
2β
2. Comparaison
Le montage est un amplificateur suiveur (buffer), comparable à un montage collecteur commun
sans translation de 0.6 V de la tension de sortie en régime continu. Sa résistance d’entrée est de
valeur importante et sa résistance de sortie de valeur faible.
Application n°3
V
R
V
IS ≅ − IN , VOUT = Rch IS ⇒ OUT ≅ − ch
RE
VIN
RE
Régime continu
VIN = 0 , IS ≅ 0 ⇒ VOUT ≅ 0
v
R
v
i s ≅ − in , v out ≅ Rch i s ⇒ out ≅ − ch , Z s ≅ Rch
RE
v in
RE
2. Comparaison
Le montage est un amplificateur inverseur, comparable à un montage base commun (non
inverseur) sans translation de la tension de sortie en régime continu. De plus, l’amplificateur
travaille en convoyeur de courant de gain unité. Sa résistance d’entrée est de valeur faible et sa
résistance de sortie de valeur importante.
Sylvain Géronimi
Page 295
Circuits intégrés
Amplificateur à contre réaction de courant (LT1223 de Linear Technology)
Tous les transistors de ce circuit intégré sont supposés technologiquement identiques ou parfaitement
complémentaires et de gain en courant β = 200 , de tension d’Early VA = 100V . La capacité C
correspond à un effet parasite en H.F.. La résistance R est hors puce et la tension VE est appliquée à
l’entrée du circuit. L’alimentation symétrique du montage est telle que VCC = ± 15 V .
+VCC
Q5
Q6
Q12
Q9
Q10
Q11
Q3
Q19
Q17
Ipol
Q1
iN
C
R
57.6k
vE
Q2
vS
vN
Q18
Q4
Q15
Q20
Q14
Q7
Q8
Q16
Q13
-VCC
3. Evaluez les paramètres rbe et rce des modèles des transistors, ainsi que les éléments de la
caractérisation des sources de courant.
4. Dessinez le schéma du circuit intégré en prenant en compte les éléments précédents.
Sylvain Géronimi
Page 296
Circuits intégrés
5. En considérant uniquement la partie de circuit composée des transistors Q1 - Q2 - Q3 - Q4 et leurs
charges, écrivez les expressions des résistances d’entrée Re1 et de sortie Rs1 , du gain de
transfert en tension α1 = v n v e dans des conditions idéales d’adaptation en tension à l’entrée et
chargé par une résistante Rch1 à la sortie. Evaluez ces paramètres.
6. En considérant uniquement la partie de circuit composée des transistors Q17 - Q18 - Q19 - Q20 et le
circuit d’attaque, écrivez les expressions de la résistance de transfert Rt = v s i n à vide (charge
infinie), et de sortie Rs2 . Evaluez ces paramètres.
Etude du régime dynamique faibles signaux aux fréquences hautes
7. En ne considérant que l’effet dû à la capacité parasite C, écrivez les expressions des impédances
de transfert Z t (p ) et de sortie Z s2 ( p ) .
8. Dessinez le schéma de l’ensemble du circuit en utilisant les paramètres de caractérisation
obtenus.
Sylvain Géronimi
Page 297
Circuits intégrés
Corrigé
1. Description
Le schéma se compose d’un buffer en entrée (étage tampon de gain en tension unité) dont le courant
de sortie, dépendant de sa charge, subit un transfert vers l’entrée d’un second buffer. Un étage de
polarisation, présent en amont, conditionne les courants du circuit intégré. La symétrie par rapport à la
masse de l’ensemble, due aux transistors complémentaires, fait apparaître une topologie parallèle.
-
Le circuit de polarisation est composé de deux miroirs de courant élémentaire Q5 - Q6 et Q7 - Q8
imposant respectivement les courants de collecteur des transistors Q1 et Q2 . Les courants de ces
sources sont fixés par le choix de la résistance R. L’association des transistors parfaitement
complémentaires Q1 - Q3 et Q2 - Q4 reconduit ces courants de polarisation à l’entrée des deux
répétiteurs de courant à effet miroir (miroirs élémentaires et Wilson) pour polariser les transistors
Q17 et Q18 en association avec Q19 et Q20 .
-
Le buffer d’entrée est constitué de quatre transistors Q1 - Q2 - Q3 - Q4 montés en collecteur
commun. Q1 et Q2 , chargés en partie par une source de courant, présentent un niveau de
résistance d’entrée relativement élevé, permettant une attaque en tension du montage. Q3 et Q4
assurent une faible résistance de sortie au niveau de leurs émetteurs, permettant une attaque en
tension de la charge. L’association de ces émetteurs suiveurs conduit à un gain en tension unité.
Ici, l’intérêt de cette topologie réside dans l’association en cascade de deux émetteurs suiveurs
complémentaires ( Q1 - Q3 ou Q2 - Q4 ) qui compensent leurs tensions base-émetteur en mode actif
(ni saturés ou bloqués), donc pas de translation de tension continue entre entrée et sortie
( VS ≅ VE ) et amélioration de la stabilité thermique (structure Diamond).
-
Le faible courant différentiel en sortie du buffer est reconduit par effet miroir (sources de Wilson
Q9 - Q10 - Q11 et Q13 - Q14 - Q15 ) de manière à ce qu’il traverse une charge dynamique complexe de
valeur très importante (résistances de sortie des sources Wilson en parallèle avec la capacité
parasite C).
Le buffer de sortie Q17 - Q18 - Q19 - Q20 possède une topologie à l’image du buffer d’entrée à
l’apport d’un transfert en courant près (miroirs élémentaires Q10 - Q12 et Q14 - Q16 ). La tension
développée aux bornes de la charge à l’entrée du buffer est recopiée à sa sortie. Les
caractéristiques dynamiques des buffers sont fonctions des conditions d’attaque et de charge.
-
En résumé, si un signal est appliqué à l’entrée, il déséquilibre les entrée de Q1 et Q2 en générant un
courant de décalage. Ce faible courant est transmis à une forte impédance dynamique dont la tension
résultante est recopiée en sortie (à l’adaptation près).
+ VCC
buffer
E
I1
transfert
de courant
I1
buffer
+1
N
+1
S
C
I2
transfert
de courant
I2
- VCC
Sylvain Géronimi
Page 298
Circuits intégrés
Aucune tension n’étant appliquée à l’entrée du circuit, les bases des transistors Q1 et Q2 sont à la
masse. Il s’en suit que tous les courants de collecteurs sont égaux à I pol et les tensions de sortie
VN ≅ 0 et VS ≅ 0 (symétrie complémentaire).
VBE i
Les transistors étant technologiquement identiques, ICi ≅ β I BS e
UT
.
Pour le buffer d’entrée,
VE = − VEB1 + VBE3 + VN ⇒ VEB1 = VBE3 ⇒ IC1 = IC3 ≅ I pol et VBE 2 = VEB4 ⇒ IC2 = IC4 ≅ I pol .
Pour le buffer de sortie, les courants de polarisation sont reconduits par les miroirs Q10 - Q12 et
Q14 - Q16 , IC17 = IC19 ≅ I pol et IC18 = IC20 ≅ I pol .
Le courant de polarisation est calculé à partir de l’écriture de la maille 2VCC = VEB5 + R I pol + VBE7
d’où I pol ≅ 500 µA avec VBEo ≅ 0.6 V .
3. Evaluation des paramètres des modèles des transistors et des quadripôles de transfert de courant
U
V
rbe ≅ T β et rce ≅ A ( VCEi << VA ) , soit rbe ≅ 10 kΩ et rce ≅ 200 kΩ
I pol
I pol
ze =
2 rbe
β
≅ 99 Ω , zs ≅ rce ≅ 20 MΩ , Ai ≅ 1 (sources de Wilson)
β +2
2
zs' = rce12,16 = 200 kΩ , Ai' ≅ 1 (miroirs élémentaires)
4. Schéma
≅ i1
≅ i1
ze
rce
rce
zs
i1
Q3
Q1
ve
Q19
Q17
in
Q2
C
vn
Q18
Q4
vs
Q20
i2
rce
ze
buffer d’entrée
zs
≅ i2
rce
≅ i2
transfert en courant
buffer de sortie
La symétrie du schéma conduit à i1 = i 2 .
Sylvain Géronimi
Page 299
Circuits intégrés
5. Caractérisation du buffer d’entrée
i
rbe
i’
rbe
βi
β i’
rce /2
rce
2i
in /2
in
i1
ze
ve
in /2
i
rbe
vn
i’
rbe
βi
rce /2
β i’
rce
i1
ze
Evaluation du transfert en tension à vide
i
rbe
βi
rce /2
ve
i0
i
rbe
⎧i 0 + (β + 1)i = i1
⎪
r
r
r
rce
⎪
⇒ zs1 = ce // be ≅ be
i1
⎨v 0 =
2
β
+
1
β
+1
2
⎪
⎪⎩v 0 = − rbe i
i1
βi
rce /2
zs1
vs1
rce
⎧
⎪⎪v e = rbe i + 2 (β + 1)i
⎨
⎪v = rce (β + 1)i
⎪⎩ s1 2
vs
(β + 1)rce ≅ 1
⇒ 1 =
2 rbe + (β + 1)rce
ve
v0
i’
zs1 + rbe
β i’
rce
vs1
vn
i1
(
)
⎧v s1 = zs1 + rbe i '+ rce (β + 1)i '+ ze i1
⎪
⎨v n = rce (β + 1)i '+ ze i1
⎪i = i '
⎩1
ze
⇒
rce (β + 1) + ze
v
v v s1
vn
≅ 1 (à vide)
=
≅ 1 d’où α 1 = n = n
v s1 zs1 + rbe + rce (β + 1) + ze
v e v s1 v e
Sylvain Géronimi
Page 300
Circuits intégrés
Evaluation de la résistance de sortie
i0
i’
β i’
rce
⎧i + (β + 1)i ' = β i '+ i
0
1
⎪⎪
⎨v 0 = − rbe + zs1 i '
⎪
⎪⎩rce (β i '+i1 ) + ze i1 + rbe + zs1 i ' = 0
(
v0
zs1 + rbe
)
(
)
i1
⎧i = i − i '
⎪⎪ 0 1
⇒ ⎨v 0 = − rbe + zs1 i '
⎪
⎩⎪ (ze + rce ) i1 + rbe + zs1 + β rce i ' = 0
ze
(
v0
⎧
⎪i 0 = i1 + r + z
be
s1
⎪
⇒ ⎨
v0
⎪ (z + r ) i = r + z + β r
be
s1
ce
⎪ e ce 1
r
be + zs1
⎩
(
d’où Rs1 ≅
rbe + zs1
2 (β + 1)
⇒
)
v0
=
i0
(
)
rbe + zs1
1+
rbe + zs1 + β rce
)
≅
rbe + zs1
β +1
ze + rce
≅ 25 Ω .
Evaluation de la résistance d’entrée
L’évaluation de la résistance d’entrée est fonction de la résistance de charge Rch1 du buffer.
i’
in /2
in /2
rbe
β i’
rce
v0
Rch1
vn
β i’ + i1
i1
ze
⎧v 0 = rbe i '+rce (β i '+ i1 ) + ze i1
⎪
⎨Rch1 i n = rce (β i '+ i1 ) + ze i1
⎪
⎩i n = 2 (i '−i1 )
⇒ ze2 = rbe + β rce + (rce + ze )
⎧⎪v 0 = (rbe + β rce ) i '+ (rce + ze )i1
⇒ ⎨
⎪⎩ rce + ze + 2 Rch1 i1 = 2 Rch1 − β rce i '
(
)
2 Rch1 − β rce
rce + ze + 2 Rch1
(
)
⎞
⎛r
≅ rbe + 2 (β + 1)⎜ ce // Rch1 ⎟
⎠
⎝ 2
La résistance d’entrée du montage est donc celles des étages collecteur commun Q5 ou Q6 mis
en parallèle, chargés chacun par ze2 , soit
Re1 =
1⎡
⎛ rce
⎞⎤
// ze2 ⎟⎥
⎢rbe + (β + 1)⎜
2⎣
2
⎝
⎠⎦
Les valeurs limites de cette résistance sont 0.92 MΩ ≤ Re1 ≤ 10 MΩ pour 0 ≤ Rch1 ≤ ∞ .
Sylvain Géronimi
Page 301
Circuits intégrés
Le buffer peut être représenté sous la forme du quadripôle suivant :
in
Rs1
Re1
ve
vn =
Rch1
vn
R
α 1v e (en charge)
R + Rs1
α1 ve
Les conditions d’adaptation à respecter pour ce type d’amplificateur en tension sont une attaque
en tension en entrée ( Re1 >> RG ) et en sortie ( Rs1 << R ).
Expressions des courants i1 , i 2 , i n
Le schéma du buffer étant symétrique, les étages suiveurs Q1 - Q3 et Q2 - Q4 débitent un même
courant ( i1 = i 2 ) constituant le courant i n traversant la résistance de charge Rch1 .
⎪⎧Rch1 i n = rce (β i '+ i1 ) + ze i1
⎨
⎪⎩i n = 2 (i '−i1 )
⇒ 2 i1 =
2 Rch1 − β rce
(β + 1)rce + ze
in ≅ −
β
in ≅ − in
β +1
avec (β + 1)rce >> ze et β rce >> 2 Rch1
Rch1 i n =
Rch1
Rch1 + Rs1
α 1v e
d’où i1 = i 2 ≅ −
ve
in
et i n ≅
.
2
Rch1 + Rs1
6. Caractérisation de l’étage amplificateur à résistance de transfert
rbe
rbe
i
βi
rce /2
2i
i’
β i’
in /2
rce
i’’
in
Rn
rbe
vs
rbe i’
i
βi
rce /2
in /2
β i’
rce
i’’
Evaluation de la résistance de transfert à vide
La sortie des sources de Wilson (étages de transfert en courant) fait apparaître un circuit sous
forme de Norton, attaquant le second buffer, tel que
i n ≅ − (i1 + i 2 ) = − 2 i1 et Rn =
Sylvain Géronimi
zs
= 10 MΩ .
2
Page 302
Circuits intégrés
in
⎧
''
'
⎪(β + 1)i + 2 = i + i
⎪
⎪[r + r (β + 1)]i ' = rce i ''
⎪ be ce
2
⎨
⎪
rce ''
i
⎪R n (i n − 2 i ) = rbe i +
2
⎪
⎪v s = rce (β + 1)i '
⎩
⎧⎡
rce ⎤ ' rce
(β + 1)i + rce i n
i =
⎪⎢rbe + rce (β + 1) +
⎥
2 ⎦
2
4
⎪⎣
⎪
'
⇒ ⎨R n i n = (2 Rn + rbe ) i + [rbe + rce (β + 1)]i
⎪
'
⎪v s = rce (β + 1)i
⎪
⎩
rce
⎡ rce
⎤
⎧
(β + 1)⎫⎪⎪ v
⎢ 2 (β + 1)Rn rce ⎥
rce
⎪⎪
s
2
⇒ ⎨rbe + rce (β + 1) +
=⎢
+
+ [rbe + rce (β + 1)]
⎥ in
⎬
2
2 Rn + rbe ⎪ rce (β + 1) ⎢ 2 Rn + rbe
4 ⎥
⎪
⎪⎭
⎪⎩
⎢⎣
⎥⎦
⎡ rce
⎤
⎢ 2 (β + 1)Rn rce ⎥
vs
rce (β + 1)
=
+
d’où Rt =
⎢
⎥
rce
in
2 Rn + rbe
4 ⎥
⎡
⎤
⎢
(β + 1)⎥ r ⎢
⎢
⎦⎥
ce ⎣
[rbe + rce (β + 1)] ⎢1 + 2
⎥+
+
R
r
2
2
n
be ⎥
⎢
⎣⎢
⎦⎥
rce
rce
(β + 1)(β + 2)
(β + 2)Rn
2
Rt ≅
≅ 2
≅ 5.03 MΩ avec rbe << 2 R n et rce (β + 1) .
rce
rce
⎡
⎤
(
)
R
2
1
+
+
β
(
)
+
1
β
n
⎢
⎥
2
2 (β + 1) ⎢1 + 2
⎥ +1
R
2
n
⎢
⎥
⎢⎣
⎥⎦
Evaluation de la résistance de sortie ( v e = 0 ⇒ i n = 0 )
R s2 =
1
2
⎛ zs1 + rbe
⎞ zs1 + rbe
rce 2 Rn + rbe
⎜
⎟
⎜ β + 1 // rce ⎟ ≅ 2 (β + 1) ≅ 149 Ω avec zs1 = 2 // β + 1 ≅ 50 kΩ
⎝
⎠
7. Etude aux fréquences hautes
L’introduction de la capacité parasite en parallèle sur Rn conduit à une charge complexe
Rn
, d’où l’impédance de transfert à vide et l’impédance de sortie
1 + Rn C p
rce
rce
(β + 2)Rn
(β + 2)Rn
Rt
1
2
Zt ( p) ≅
= 2
≅
rce
rce
rce
1 + Rt C p
(β + 1)(1 + Rn C p ) 2 Rn + (β + 1)
(β + 1)Rn C
2 Rn +
2
2
1+ 2
p
r
2 Rn + ce (β + 1)
2
p
1+
Z s1 ( p ) + rbe
zs1 + rbe
rbe
ω1
1
Z s2 ( p ) ≅
= R s2
avec ω1 =
et ω2 =
ω1
≅
p
z
z
2 (β + 1)
rbe + zs1
s
s
1+
(
(
β + 2) 1 rbe C
β + 1) 1 C
ω2
2
2
( f1 ≅ 37.8 kHz et f2 ≅ 6.3 kHz )
Zn ( p) =
r
r
⎞
⎛
1 + be C p ⎟
1 + be C p
rce 2 Z n ( p ) + rbe rce ⎜⎜ 2 Rn
2
2
⎟ ≅ zs
avec Z s1 ( p ) =
//
//
≅
1
zs
β +1
2
2 ⎜ β + 1 1 + Rn C p ⎟
⎟
⎜
1 + (β + 1) 1 C p
⎠
⎝
2
Sylvain Géronimi
Page 303
Circuits intégrés
L’impédance de sortie demeure constante au-delà de la fréquence du zéro ( f >> f1 ) à la valeur
Rs' 2 =
rbe
ω2
Rs2 ≅ 25 Ω .
Rs 2 ≅
ω1
rbe + zs1
Notons que l’influence des buffers en fonction de la fréquence est négligée, les montages
collecteur commun présentant une large bande importante. La stabilité ne peut être étudiée ici.
8. Caractérisation de l’amplificateur à contre-réaction de courant
ve
+1
Zs2 (p)
in
Rs1
Zt (p) in
vs
vn
Sylvain Géronimi
Page 304
Circuits intégrés
Application de l’amplificateur à contre réaction de courant
Le circuit intégré de l’amplificateur à contre réaction de courant figure sous l’image symbolique
suivante au sein des datasheets.
+
+
ve
R2
symbole
vs
R1
1. Déterminez le transfert en tension du montage aux fréquences moyennes.
2. En ne considérant que l’effet de la capacité parasite, déterminez la fréquence de coupure haute.
3. Concluez sur l’originalité de ce type de circuit.
Corrigé
1. Gain en tension aux fréquences moyennes
v e − Rs1 i n Rt i n − v s
⎧
−
⎪i n =
R1
R s2
⎪
⇒ ⎨
⎪v = v − R i + Rt i n − v s R
e
s1 n
2
⎪ s
Rs 2
⎩
ve
v
+ s
⎛ Rt R 2
⎞ R1 Rs2
R
⇒ vs = ve + ⎜
− Rs1 ⎟
− 2 vs
⎜ Rs
⎟
Rs1 Rt
R
s2
2
⎝
⎠ 1+
+
R1 Rs2
⎧i n = i1 − i 2
⎪
⎪v e ≅ Rs1 i n + R1 i1
⎨
⎪v s = Rt i n − Rs2 i 2
⎪v = R i + R i
1 1
2 2
⎩ s
⎡ Rs
⎡
Rt
Rt
⎛ R ⎞ Rs ⎤
R
+ 2 + ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ 1 ⎥ v s = ⎢1 +
⇒ ⎢1 + 1 +
R1 Rs2 Rs2 ⎝
R1 ⎠ Rs2 ⎥⎦
⎢⎣ Rs2
⎣⎢
⎛
R s2
K ⎜1 +
⎜
K
Rt
v
⇒ s = ⎝
R
ve
1+ x
Rt
⎞
⎟
⎟
⎠
en posant K = 1 +
⎛ R2 ⎞⎤
⎜⎜1 +
⎟⎥ v e
R1 ⎟⎠⎥⎦
⎝
⎛ Rs ⎞
R2
et R x = ⎜⎜1 + 1 ⎟⎟ Rs2 + R 2 + K Rs1 .
R1
R1 ⎠
⎝
2. Réponse aux fréquences hautes
Rt
Zt ( p) ≅
et Z s2 ( p ) ≅ Rs2
1 + Rt C p
1+
1+
p
ω1
p
( f1 ≅ 37.8 kHz et f2 ≅ 6.3 kHz )
ω2
Une approche directe de la fréquence de coupure peut être effectuée en prenant Z s2 ( p ) ≅ Rs' 2
pour des fréquences très élevées (>> 1 MHz).
Sylvain Géronimi
Page 305
Circuits intégrés
Rs' 2 C
K
p
⎞ 1+
Rs' 2
⎟
Rs' C
1+
⎟
1+ 2 p
K Rt
⎠
K
≅K
1 + (R x // Rt )C p
1+ Rx C p
⎛
⎛
Rs' 2 ⎞⎟
Rs' 2
K ⎜1 +
K ⎜1 +
⎜ K Zt ( p) ⎟
⎜ K Rt
V ( p)
⎠= ⎝
d’où s
≅ ⎝
Rx
R
Ve ( p )
1+
1+ x
Zt ( p )
Rt
⎛ Rs
car Rs' 2 << K Rt et R x << Rt avec R x = ⎜⎜1 + 1
R1
⎝
⎞ '
⎟ Rs + R 2 + K R s .
1
⎟ 2
⎠
1
K
.
Les coupures dues aux pôle et zéro sont respectivement fc ≅
et fz ≅
2π Rx C
2 π Rs' 2 C
Ce pôle est évidemment un pôle dominant vis-à-vis des effets capacitifs des transistors en
montage collecteur commun et sa valeur fluctue légèrement en fonction des résistances de contre
réaction (voir tableau plus loin). Il y a intérêt à prendre des valeurs faibles pour ces dernières afin
d’obtenir une large bande passante.
3. Originalité du circuit intégré
vs
R
≅ 1+ 2 = K .
ve
R1
Cette expression est identique à celle obtenue avec un amplificateur de tension à contre réaction
tension-tension.
Aux hautes fréquences, ce rapprochement n’est plus à faire puisque la fréquence de coupure en
boucle fermée est uniquement fonction du paramètre R x . La notion de produit gain bande
passante n’a plus lieu. C’est l’originalité de ce type d’amplificateur de tension.
Aux fréquences moyennes, le gain en tension en boucle fermée s’écrit donc
Application numérique : Rs1 ≅ 25 Ω , Rs' 2 ≅ 25 Ω
R1 (Ω)
R2 (Ω)
∞
750
187
83
750
750
750
750
K
1
2
5
10
R x (Ω)
fc (MHz)
fz (GHz )
800
826
904
1033
39.8
38.5
35.2
30.8
1.27
2.55
6.37
12.7
Simulation :
30
R1 = 83 Ω
K = 10
R1 = 187 Ω
K=5
20
R1 = 750 Ω
R1 = ∞
0
(30.406M ,16.923)
(34.656M ,10.863)
K=2
(37.486M ,2.9676)
K=1
(38.479M, -3.0174)
R2 = 750 Ω
-20
10KHz
Sylvain Géronimi
DB(V(S))
100KHz
1.0MHz
10MHz
100MHz
1.0GHz
Frequency
Page 306
Circuits intégrés
Comparateur (LM139 de Texas Instruments)
Considérons le circuit intégré de la figure ci-dessous où la résistance Rch est un élément hors puce.
Le but est de décrire le transfert en tension provoqué par un signal carré à l’entrée du montage au
sein d’une étude à forts signaux.
Tous les transistors sont supposés identiques ou parfaitement complémentaires ( β >> 1 ) et la tension
d’Early est négligée ( VA = ∞ ). Le modèle mathématique d’Ebers-Moll sera utilisé à cause du
comportement non linéaire des transistors, avec les paramètres α F ≅ 1 , α R ≅ 0.5 et I ES = 1 fA .
VCC
5V
I1
I2
100µA
100µA
Rch
Q2
5k
Q3
(+)
(-)
Q1
Q4
VD
Q8
VS
Q7
Q5
Q6
2. Ecrivez l’expression des courants IC2 et IC3 en fonction de la tension différentielle d’entrée VD et
de la source de courant I1 . Tracez ce transfert.
3. Pour une valeur de VD >> 2 UT , expliquez les modes de fonctionnement des transistors Q5 , Q6 ,
Q7 et Q8 . Commentez ce résultat.
4. Même question pour une valeur de VD << 2 UT .
5. Tracez la réponse temporelle de VS et concluez.
6. Dessinez le circuit représentatif des sources de courant I1 et I 2 en employant des résistances
dont les valeurs n’excèdent pas 20 kΩ.
Sylvain Géronimi
Page 307
Circuits intégrés
Corrigé
1. Description
Le circuit intégré se compose d’un étage de polarisation, d’un étage différentiel associé à un transfert
dynamique de courant et d’un étage de sortie.
- Le circuit de polarisation est symbolisé, dans son régime continu, par deux sources de courant I1
et I 2 qui alimentent respectivement l’étage différentiel et l’étage de sortie. La véritable structure
de ce circuit peut être un répétiteur de courant (source de Widlar par exemple) dont les valeurs de
résistances demeurent raisonnables afin d’occuper un minimum de place sur la puce.
- L’étage différentiel est à comportement émetteur commun. Les transistors Q1 et Q4 montés en
collecteur commun, qui précèdent les transistors Q2 et Q3 respectivement, proposent un faible
courant de polarisation en entrée (quelques nA). Le circuit de charge est un miroir élémentaire
Q5 - Q6 qui commande en courant l’étage terminal.
-
L’étage de sortie utilise deux montages émetteur commun. Le transistor Q8 est à collecteur
ouvert, permettant à l’utilisateur de choisir la valeur de la charge. Si la charge n’est pas alimentée
en courant, le circuit est à faible consommation (1 mW). L’intérêt de cette structure apparaîtra lors
de l’étude en commutation de ces transistors.
Rappelons la modélisation du JBT en régime continu (modèle mathématique d’Ebers-Moll)
⎧
⎛ − VCB
⎞
⎛ VBE
⎞
⎪I E = I ES ⎜ e UT − 1⎟ − α R ICS ⎜ e UT − 1⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎪
⎝
⎠
⎠
⎝
⎪⎪
=
−
I
I
I
⎨B
E
C
⎪
VCB
⎛
⎞
⎛ VBE
⎞
⎪
⎜ −U
⎟
⎟
⎜ U
⎪IC = −ICS ⎜ e T − 1⎟ + α F I ES ⎜ e T − 1⎟
⎪⎩
⎝
⎠
⎝
⎠
associées à la condition de réciprocité α F I ES = α R ICS .
Par exemple, en mode actif direct ( VBE > 0 , VCB ≥ 0 ), les équations s’écrivent :
VBE
⎧
⎪I E ≅ I ES e UT
⎪
VBE
⎪
⎨IC ≅ α F I ES e UT
⎪
VBE
⎪I ≅ (1 − α )I e UT
F ES
⎪B
⎩
⇒
IC
αF
≅
= βF ≡ β
IB 1 − α F
si le courant de fuite de la jonction en inverse est négligeable devant le courant direct de la jonction
base-émetteur et VBE >> UT .
Les transistors Q1 , Q2 , Q3 et Q4 sont identiques et travaillent en mode actif direct ( β >> 1 ou
α F ≅ 1).
Sylvain Géronimi
Page 308
Circuits intégrés
⎧VD = −VEB1 − VEB2 + VEB3 + VEB4
⎪
⎪I B2 = I E1
équations du circuit → ⎨
⎪I B3 = I E 4
⎪I = I + I
⎩ 1 E2 E3
VEB1
⎧
⎪ 1
équations technologiques Q1 ≡ Q2 → ⎨
VEB2
⎪
⎪⎩I E 2 ≅ I ES e UT
⎧
⎛ IE IE
⎪VD = UT ln ⎜ 3 4
⎜ IE IE
⎪
⎝ 1 2
⎪
⇒ ⎨I1 = I E 2 + I E3
⎪
⎪ I E1 = I B2 = I E 2
⎪I
I B3 I E3
⎩ E4
⎞
⎟
⎟
⎠
⎧
⎛ IE
⎪⎪VD = 2 UT ln ⎜ 3
⎜ IE
⇒ ⎨
⎝ 2
⎪
I
I
I
=
+
⎩⎪ 1 E 2 E3
VEB3
⎧
⎪ 3
et Q3 ≡ Q4 → ⎨
VEB4
⎪
⎪⎩I E 4 ≅ I ES e UT
⎞
⎟
⎟ d’où I ≅
E2
⎠
I1
1+ e
VD
2 UT
I1
≅ IC 2 , I E 3 ≅
1+ e
−
VD
2 UT
≅ IC 3
100uA
IC 3
IC2
50uA
0A
-300mV
-200mV
-100mV
0V
100mV
200mV
300mV
VD
3. Explication du fonctionnement des transistors pour VD >> 2 UT
Si VD >> 2 UT
⇒ IC2 ≅ 0 et IC3 ≅ I1 = 100 µA . Le transistor Q2 fournit un courant de collecteur
pratiquement nul et le transistor Q3 transfère la quasi intégralité du courant issu de la source I1 .
Le miroir reconduisant le courant d’entrée IC5 ≅ IC2 , amène à sa sortie IC6 ≅ 0 . La loi de nœud
s’écrit IC3 = IC6 + I B7 , donc I B7 ≅ 100 µA . Si le courant collecteur de Q7 était supérieur à son
courant de base, la loi du nœud serait telle que I B8 = I 2 − IC7 < 0 , sens du courant de base de Q8
incompatible avec le type du transistor (NPN). Ainsi, I B7 ≅ IC7 = 100 µA et le transistor Q8 est
bloqué. Aucun courant ne circule dans la charge et le potentiel de sortie est au niveau de
l’alimentation VCC .
On peut vérifier que l’ensemble Q5 - Q6 fonctionne bien en miroir de courant. En effet,
VBE5 = VBE6 (tension faible), VCB5 = 0 V (transistor Q5 monté en diode) et VCB6 = VBE7 − VBE6 > 0 ,
ce qui correspond à un mode actif direct à très faible courant.
IC 5
⎞
⎞
⎛ VBE6
⎛ VBE5
⎟
⎜
U
T
= α F I ES ⎜ e
− 1⎟ et IC6 ≅ ICS + α F I ES ⎜⎜ e UT − 1⎟⎟ ≅ IC5 (effet miroir)
⎟
⎟
⎜
⎜
⎠
⎠
⎝
⎝
Sylvain Géronimi
Page 309
Circuits intégrés
Pour le transistor Q7 ,
⎛ − VCB7
⎞
⎛ VBE7
⎞
⎛ VBE7
⎞
⎛ − VCB7
⎞
IC7 ≅ I B7 ⇒ − ICS ⎜⎜ e UT − 1⎟⎟ + α F I ES ⎜⎜ e UT − 1⎟⎟ ≅ (1 − α F )I ES ⎜⎜ e UT − 1⎟⎟ + (1 − α R )ICS ⎜⎜ e UT − 1⎟⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
soit (2 − α R )ICS e
−
VCB7
≅ (2 α F − 1)I ES e
UT
VBE7
IC 7 ≅
1− αR αF
I ES e
2 − αR
IC 7 ≅
−
1− αR αF
ICS e
2α F − 1
UT
VBE7
UT
car forts courants ( −VCB7 et VBE7 >> UT ).
⎛ 3 IC 7
⇒ VBE7 ≅ UT Ln ⎜⎜
⎝ I ES
⎞
⎟ ≅ 0.66 V
⎟
⎠
VCB7
et VCE7 = VCB7 − VBE7
⎛ 2 IC 7
⇒ − VCB7 ≅ UT Ln ⎜⎜
⎝ ICS
≅ 27 m V
UT
⎞
⎟ ≅ 0.633 V
⎟
⎠
Le transistor Q7 est évidemment saturé et comme VBE8 = VCE7 , le transistor Q8 est bien bloqué.
La tension de sortie est VS = 5 V .
5V
Rch
≅0A
100 µA
100 µA
27 mV
0.66 V
5V
Q8
100 µA
Q7
≅0A
Q5
≅0A
Q6
4. Explication du fonctionnement des transistors pour VD << 2 UT
Si VD << − 2 UT ⇒ IC2 ≅ I1 = 100 µA et IC3 ≅ 0 . Le transistor Q2 transfère la quasi intégralité du
courant issu de la source I1 et le transistor Q3 amène un courant de collecteur pratiquement nul
tel que IC3 = IC6 + I B7 ≅ 0 , soit I B7 ≅ − IC6 . Ainsi, l’ensemble Q5 - Q6 renvoie un courant IC6 dont le
sens est incompatible avec le courant de base de Q7 (type NPN) et I B7 s’identifie grossièrement
au courant de fuite de la jonction collecteur-base du transistor Q7 (tension VBE7 ≅ 0 ). La loi du
nœud impose donc que IC6 ≅ 0 et l’ensemble Q5 - Q6 ne travaille plus en miroir de courant.
Les équations du transistor Q6 s’écrivent
⎧
⎞
⎛ VBE6
⎞
⎛ − VCB6
⎪I = − I ⎜ e UT − 1⎟ + α I ⎜ e UT − 1⎟ ≅ 0
C6
CS ⎜
F
ES
⎪
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜
⎞
⎛ VBE6
⎪
⎠
⎝
⎠
⎝
⎟
⎜ U
(
)
⇒
I
1
α
α
I
≅
−
⎨
B6
R F ES ⎜ e T − 1⎟
VBE6
VCB6
⎟
⎜
⎞
⎞
⎛
⎛
⎪
⎠
⎝
⎟
⎟
⎜ −
⎜
⎪I E 6 = I ES ⎜ e UT − 1⎟ − α R ICS ⎜ e UT − 1⎟ ≅ I B6
⎟
⎟
⎜
⎜
⎪
⎠
⎠
⎝
⎝
⎩
Sylvain Géronimi
Page 310
Circuits intégrés
et pour le transistor Q5 monté en diode IC5
⎞
⎛ VBE5
= α F I ES ⎜⎜ e UT − 1⎟⎟ .
⎟
⎜
⎠
⎝
⎞
⎛ VBE6
⎧⎪IC2 = I E5 + I B6 ≅ I1
De plus, la topologie impose ⎨
⇒ I1 ≅ (α F + 1 − α R α F )I ES ⎜⎜ e UT − 1⎟⎟
⎟
⎜
⎪⎩VBE5 = VBE 6
⎠
⎝
d’où I E5 ≅
αF
1− αR αF
I1 ≅ 67 µA , I B6 ≅
I1 ≅ 33 µA ,
αF + 1− αR αF
αF + 1− αR αF
⎡
⎤
I1
et VBE5 = VBE 6 ≅ UT Ln ⎢
⎥ ≅ 0.623 V
(
)
I
1
α
α
α
+
−
R F ES ⎦
⎣ F
VCB6
⎞
⎞
⎛ VBE6
⎛ VBE6
⎞
⎛ − VCB6
−
ICS ⎜⎜ e UT − 1⎟⎟ ≅ α F I ES ⎜⎜ e UT − 1⎟⎟ ⇒ e UT − 1 ≅ α R ⎜⎜ e UT − 1⎟⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
⎠
⎠
⎝
⎝
⎠
⎝
d’où − VCB6 ≅ VBE6 + UT Ln (α R ) ≅ 0.606 V et VBE7 = VCE6 = VBE 6 + VCB6 ≅ 17 m V
Le transistor Q7 étant bloqué, le courant issu de la source I 2 constitue le courant de base de Q8 ,
fort courant qui sature le transistor.
Ainsi, I B8 ≅ 100 µA et IC8 ≅
VCC
≅ 1 mA
Rch
Les équations du transistor Q8 s’écrivent
VCB8
VBE8
⎧
−
⎪IC ≅ − ICS e UT + α F I ES e UT
⎪ 8
⎨
VBE8
VCB8
−
⎪
U
⎪⎩I B8 ≅ (1 − α F )I ES e T + (1 − α R )ICS e UT
⎡ I B + (1 − α R )IC8
VBE8 ≅ UT Ln ⎢ 8
⎢⎣ (1 − α R α F )I ES
VCE8 = VBE8 + VCB8 ≅ 62 m V
⇒ I B8 ≅ (1 − α R α F )I ES e
VBE8
UT
− (1 − α R )IC8
⎤
⎡ α F I B8 + (α F − 1)IC8
⎥ ≅ 0.695 V , − VCB8 ≅ UT Ln ⎢
⎥⎦
⎢⎣ (1 − α R α F )ICS
⎤
⎥ ≅ 0.633 V
⎥⎦
La source de courant I 2 permet une faible tension de saturation en sortie puisque VS ≅ 62 mV .
5V
1mA
Rch
100µA
≅0A
100µA
100µA
0.695 V
62 mV
Q8
≅0A
0.623 V
17 mV
Q7
≅0A
Q5
67 µA
Sylvain Géronimi
33 µA
Q6
Page 311
Circuits intégrés
5. Tracé de VS (t )
La simulation confirme les résultats obtenus.
6.0V
(124u, 5.00)
4.0V
2.0V
(24u, 300m)
(173u, 62m)
(73u ,-300m)
0V
fréquence 10 kHz
-2.0V
0s
V(S)
V(in+)
50us
100us
150us
200us
250us
300us
Time
Le niveau du signal VS (t ) , issu du comparateur alimenté sous 5 V, est directement compatible avec
des technologies TTL et CMOS. Comme rien n’empêche de brancher le CI sous une tension
d’alimentation symétrique ( ± VCC ), la compatibilité demeure valable pour une technologie ECL.
6. Schéma du circuit représentatif des sources de courant
VCC
R1
R2
200
200
Q11
Q9
Q10
I1
IC11
I2
R3
19.8 k
Le choix se porte sur un répétiteur à sources de Widlar symétriques ( I1 = I 2 ) dont les équations de
circuit sont :
⎧VEB11 = VEB9 + R1 I E9
VEB9
R1 I E9
R1 I1
R2 I 2
⎪
U
T
VEB11
⇒ I E11 ≅ α F I ES e
e UT soit IC11 ≅ I1 e UT ≅ I 2 e UT ( α F ≅ 1 )
⎨
⎪I E ≅ α F I ES e UT
⎩ 11
En prenant R1 = R2 = 200 Ω , IC11 ≅ 222 µA et R3 ≅
Sylvain Géronimi
Page 312
VCC − VEB11
IC11
≅ 19.8 kΩ ( ≤ 20 kΩ ).
Circuits intégrés
Boucle à verrouillage de phase analogique (NE565 de Motorola)
L’étude porte sur le circuit intégré de la figure ci-dessous. Le but est de retrouver les performances du
circuit fournies par le constructeur.
Tous les transistors sont supposés identiques ou parfaitement complémentaires, de gain en courant
important ( β >> 1 ) et dont l’effet Early est négligé ( VA = ∞ ).
Un transistor présente VBE ≅ 0.6 V en mode actif direct, VBEsat ≅ 0.8 V et VCEsat ≅ 0.2 V en mode
saturé. La diode zener D10 présente une tension inverse VZ ≅ 2.7 V et les autres diodes VDi ≅ 0.6 V
en direct.
Une alimentation symétrique par rapport à la masse ( ± VCC ) est branchée entre les bornes 10 et 1.
Ce circuit se compose de deux parties, d’une part la fonction oscillateur contrôlé en tension (VCO),
comprise entre les bornes 7 (entrée) et 4 (sortie), dont la fréquence libre des oscillations est ajustée
par deux composants passifs extérieurs que sont la résistance R1 branchée entre les bornes 8 et 10
et le condensateur C1 branché entre les bornes 9 et 1, d’autre part la fonction comparateur de phase
(CDP), remarquable par ses deux entrées, borne 5 et bornes 2 et 3, avec la sortie sur la borne 7. La
sortie du CDP est directement reliée à l’entrée du VCO.
L’étude à entreprendre est en régime pseudo-continu. Les caractéristiques statiques à évaluer seront
- le facteur de sensibilité K D du CDP,
-
la fréquence libre des oscillations fo et le facteur de sensibilité K 0 du VCO,
-
la plage de maintien 2 ∆fM , centrée autour de fo , de la PLL.
-
la plage de capture 2 ∆f A , centrée autour de fo , de la PLL associée à un filtre RC.
Sylvain Géronimi
Page 313
Circuits intégrés
Fonction CDP
Le circuit du CDP est constitué d’un multiplicateur à quatre quadrants, suivi d’un amplificateur
différentiel asymétrique fonctionnant en régime linéaire.
+VCC
R14
R16
3.3k
7.2k
D12
R18
R19
7.2k
1.75k
D13
R24
VC
VM1
VM2
VS
3.6k
Vref
Q26
Q27
D11
Q18
Q19
Q22
Q20
Q23
R20
R23
R25
3.8k
1k
1k
R21
Q24
8.1k
VE
Q25
Q21
R15
Q28
5.7k
R22
R26
R27
200
200
205
-VCC
Fonction VCO
Le VCO du circuit NE 565 est un oscillateur à relaxation, constitué à partir d’une source de courant
commandée et d’un trigger de Schmitt.
+VCC
R1
D10
VF
R5
R8
R10
R12
6.5k
4.7k
16k
4.3k
Q1
Q2
Vo
R27
Q13
13.65k
Q4
Q3
VS
D3
D2
VT
D8
Q9
D6
Q5
C1
Q12
D7
R3
530
5.8k
Vi
Q7
R2
R11
R7
8.4k
-VCC
530
Q16
Q15
D9
Q11
Q6
Q14
Q17
Q25
Q10
D4
Icom
D5
Q8
R4
R13
2.4k
R6
2.6k
R9
4.8k
R17
200
R26
200
-VCC
Sylvain Géronimi
Page 314
Circuits intégrés
1. Donnez une description précise du schéma du constructeur.
Etude de la fonction CDP
2. Ecrivez l’expression de la tension différentielle de sortie VM = VM1 − VM 2 du multiplicateur en
fonction des tensions VE et VS d’entrée.
3. Si les tensions d’entrée sont des signaux carrés de même fréquence et d’amplitude importante
devant 2UT , décrivez le fonctionnement du multiplicateur.
4. En régime continu, évaluez les potentiels Vref et VCo . Concluez sur les résultats obtenus.
5. En régime dynamique aux faibles signaux, évaluez le gain en tension Ad de l’amplificateur
asymétrique ( β = 200 ). Précisez l’amplitude du signal v C (t ) .
6. Calculez le facteur de sensibilité K D du CDP.
Etude de la fonction VCO
7. Ecrivez l’expression du courant I1 , issu des émetteurs de Q3 et Q4 , en fonction du potentiel VF .
8. Ecrivez l’expression de la période du signal VT en fonction de ses variations ∆VT et du courant
I1 .
9. En négligeant la présence des diodes D6 à D9 et de la résistance R7 , évaluez Vi et Vo ,
respectivement potentiels d’entrée et de sortie du trigger dans les cas Q11 bloqué et Q12 saturé et
inversement. Déduisez les valeurs des potentiels VT+ , VT− et VS .
10. Expliquez précisément la commande de Q8 par le courant I com issu de l’étage différentiel.
Etude de la fonction PLL
Le système est bouclé en connectant les bornes 4 et 5. Un condensateur C2 est connecté entre les
bornes 7 et 10, introduisant ainsi un filtre passe-bas de constante de temps τ = R24 C2 .
11. Pour toute valeur des composants extérieurs R1 et C1 , écrivez les relations donnant la fréquence
libre fo du VCO, les gains de conversion K D et K 0 et les plages de maintien 2 ∆fM et
d’acquisition 2 ∆f A .
Sylvain Géronimi
Page 315
Circuits intégrés
Corrigé
1. Description
Le schéma se compose d’un étage de polarisation, d’un comparateur de phase et d’un oscillateur
contrôlé en tension.
- Le circuit de polarisation, répétiteur de courant, est l’association de sources de type Widlar dont le
courant de référence est fourni par le transistor Q25 et les résistances R19 , R 20 , R21 et R 26 . Les
sorties collecteurs Q10 , Q17 , Q21 et Q28 , associées à leur résistance d’émetteur, polarisent
respectivement l’étage collecteur commun Q9 , la diode zener D10 qui fixe le potentiel de base de
Q16 , l’étage différentiel Q20 - Q24 , l’étage différentiel Q26 - Q27 .
Le circuit VCO est un oscillateur à relaxation comportant d’une source de courant commandée
chargeant et déchargeant un condensateur et d’un trigger de Schmitt basculant en fonction du niveau
aux bornes du condensateur.
- Les transistors Q1 à Q7 et les diodes D1 à D3 forment la source de courant. Le signal de
commande est appliqué sur la base de Q1 . Les transistors Q1 à Q4 constituent la source de
courant commandée par v F (t ) , Q1 et Q2 permettant d’appliquer indirectement v F (t ) aux bornes
de la résistance R1 (composant extérieur) et Q3 et Q4 imposant des courants pratiquement
égaux dans Q1 et Q2 pour que les jonctions base-émetteur de ces derniers soient polarisées de
façon identiques. La tension v F (t ) est donc transférée à la borne 8 et le courant I1 constitue le
courant de charge pour le VCO. Ce courant arrive sur les anodes des diodes D2 et D3 . Lorsque
le transistor Q8 , contrôlé par le trigger, est saturé, D3 est polarisée en inverse. Tout le courant
traverse D2 et commande le miroir de courant (type Wilson) constitué des transistors Q5 à Q7 et
des résistances R 2 et R3 . Il apparaît alors un courant de décharge du condensateur C1
(composant extérieur) sur le collecteur de Q5 égal à I1 . Lorsque Q8 est bloqué, la source de
courant de type Wilson n’est plus alimentée et le condensateur C1 est chargé par l’intermédiaire
de D3 . Le signal triangulaire est disponible sur la borne 9.
-
Le trigger de Schmitt, formé par les transistors Q11 et Q12 , est piloté par le signal triangulaire issu
de l’armature positive du condensateur C1 par le biais de l’émetteur suiveur Q9 chargé par une
source de courant de type Widlar (étage buffer). Les diodes D6 à D9 évitent la saturation de Q11
et Q12 , ce qui permet d’améliorer la vitesse de commutation. La sortie du trigger est suivie d’un
transistor Q13 , monté en émetteur suiveur, permettant une sortie sous faible impédance. Un
signal carré est alors disponible sur la borne 4. Cette sortie est également connectée à un
amplificateur différentiel Q14 - Q16 qui génère un courant de commande vers la base de Q8 par le
biais de Q15 - R11 . Les diodes D4 et D5 évitent la saturation de Q8 pour améliorer la vitesse de
commutation.
Le circuit CDP est composé d’un multiplicateur à quatre quadrants et d’un amplificateur différentiel de
tension.
- Les transistors Q20 et Q24 forment un circuit différentiel à couplage par émetteurs, alimenté par le
courant issu du collecteur de Q21 et attaqué par le signal v E (t ) . Chacun des transistors Q20 et
Q24 constitue une source de courant pour les paires différentielles Q18 - Q19 et Q22 - Q23 . A ces
paires est appliquée la tension différentielle v S (t ) issue du VCO. La tension différentielle de sortie
du multiplicateur, issue des résistances de charges R16 et R18 , est limitée en amplitude par les
diodes D12 et D13 .
Sylvain Géronimi
Page 316
Circuits intégrés
-
La tension différentielle recueillie est appliquée à l’entrée d’un étage différentiel asymétrique Q26 Q27 (absence de charge sur le collecteur de Q26 ), présentant une contre-réaction locale
d’émetteurs due aux résistances R 23 et R 25 . Cette contre-réaction permet un fonctionnement
linéaire de l’amplificateur de tension, relativement à l’amplitude de l’attaque. La tension de sortie
du CDP est disponible sur la résistance R 24 (borne 7).
Le CDP étant directement connectée à l’entrée du VCO, le potentiel continu du collecteur de Q27 fixe
la fréquence libre du VCO réglé par le choix des composants extérieurs R1 et C1 . Seul, un filtre
passe-bas passif est utilisable puisqu’un filtre actif ne peut être intercalé entre CDP et VCO. La boucle
est refermée en reliant les bornes 4 et 5. Le signal à l’entrée de la PLL est appliqué entre les bornes 2
et 3 tel que sa valeur moyenne soit nulle (attaque centrée par rapport à la masse).
Etude de la fonction CDP
2. Expression de la tension différentielle de sortie VM du multiplicateur à quatre quadrants
Ce multiplieur analogique intégré à découpage est basé sur le fonctionnement du montage différentiel
travaillant en saturation.
+VCC
R14
R16
3.3k
7.2k
D12
R18
R19
7.2k
1.75k
D13
vM
D14
Q18
Q19
Q22
Q23
R20
3.8k
vS
Q20
R21
Q24
vE
8.1k
Ipol
IE
R15
5.7k
Q21
Q25
R22
R26
200
200
-VCC
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Page 317
Circuits intégrés
Pour les transistors Q20 et Q24
VBE20
⎧
⎪ 20
⎨
VBE24
⎪
(technologie) VE = VBE20 − VBE 24 (circuit) ⇒
IC20
IC24
VE
≅ e UT
Le générateur de courant I E impose I E = I E 20 + I E24 ≅ IC20 + IC24 ⇒ IC20 ≅
IE
1+ e
−
VE
UT
et IC24 ≅
IE
VE
1 + e UT
De la même façon, les expressions des courants collecteurs de Q18 , Q19 , Q22 et Q23 s’écrivent :
IC18 ≅
IC20
V
− S
1 + e UT
d’où IC18 ≅
1+ e
VE
⎛
⎜1 + e − UT
⎜
⎝
et IC22 ≅
⎛
⎜1 + e
⎜
⎝
IC20
et IC19 ≅
VE
UT
IE
VS
⎞⎛
⎟ ⎜1 + e − UT
⎟⎜
⎠⎝
IE
VS
⎞⎛
⎟ ⎜1 + e UT
⎟⎜
⎠⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
IC24
, IC22 ≅
VS
UT
1+ e
, IC19 ≅
VE
⎛
⎜1 + e − UT
⎜
⎝
, IC23 ≅
⎛
⎜1 + e
⎜
⎝
VE
UT
IC24
et IC23 ≅
VS
UT
1+ e
IE
VS
⎞⎛
⎟ ⎜1 + e UT
⎟⎜
⎠⎝
IE
VS
⎞⎛
⎟ ⎜1 + e − UT
⎟⎜
⎠⎝
−
VS
UT
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
La tension différentielle de sortie du multiplicateur VM est telle que :
(
(
⎧⎪VM1 = VCC − R16 IC18 + IC22
⎨
⎪⎩VM 2 = VCC − R18 IC19 + IC23
⎛ V
soit VM = − R I E th⎜⎜ E
⎝ 2 UT
)
)
(
)
(
)
⇒ VM = VM1 − VM 2 = − IC18 + IC22 R16 + IC19 + IC23 R18
⎞ ⎛ VS
⎟⎟ th⎜⎜
⎠ ⎝ 2 UT
⎞
⎟⎟ avec R = R16 = R18
⎠
e x − e −x
⎛x⎞
(car th⎜ ⎟ =
)
⎝ 2 ⎠ (1 + e x )(1 + e − x )
La tension de sortie VM est donc égale au produit des tangentes hyperboliques des tensions
différentielles d’entrée.
Dans un contexte général, selon les amplitudes des variations de v e (t ) et de v s (t ) devant 2UT , le
comportement du circuit peut être classé en trois catégories :
-
Si v e et v s << 2UT , le circuit se comporte comme un multiplicateur linéaire générant une tension
de sortie v m (t ) = −
-
R IE
v e (t ) v s (t ) .
4 UT2
Si v e ou v s << 2UT , imposant un fonctionnement en commutation des transistors considérés, le
circuit fonctionne en modulateur générant une tension de sortie v m (t ) = ±
v m (t ) = ±
-
R IE
v e (t ) ou
2 UT
R IE
v s (t ) . On multiplie donc un signal de faible amplitude par un signal carré.
2 UT
Si v e et v s >> 2UT , les six transistors fonctionnent comme un “ou exclusif”. Le circuit n’est
sensible qu’à la différence de phase entre v e (t ) et v s (t ) , signaux synchrones et de même
fréquence. C’est le fonctionnement en modulateur équilibré qui génère une tension de sortie
v m (t ) = ± R I E .
Sylvain Géronimi
Page 318
Circuits intégrés
3. Description du fonctionnement du multiplicateur
Dans le cas présent, le circuit est sensé fonctionner en commutation, v m (t ) = ± R I E signal
rectangulaire de forte amplitude et de valeur moyenne nulle. Cependant, cette tension de sortie est
limitée par les tensions sur les diodes D12 et D13 et v M (t ) = VMo + v m (t ) avec v m (t ) ≅ ± 0.6 V et
VM o = 0 V .
4. Evaluation des potentiels Vcont et VCo
Amplificateur différentiel asymétrique
+VCC
Vref
R19
R24
1.75k
3.6k
VC
VM
Q26
Q27
R20
R23
R25
3.8k
1k
1k
R21
8.1k
Ipol
I0
Q25
Q28
R26
R27
205
200
-VCC
En régime continu, l’étage différentiel est polarisé par un quasi miroir de courant, car R26 ≅ R27 .
⎧⎪2VCC ≅ VBE25 + (R19 + R 20 + R21 + R26 )I pol
2VCC − VBE 25
R
⇒ I pol =
et I 0 ≅ 26 I pol .
⎨
V
R
I
V
R
I
+
≅
+
R
+
R
+
R
+
R
R27
⎪⎩ BE25
26 pol
BE 26
27 0
19
20
21
26
Les expressions des potentiels disponibles en sortie du CDP en régime continu s’écrivent :
I
R R
Vref = Vcc − R19 I pol (borne 6) et VCo ≅ VCC − R24 0 ≅ VCC − 24 26 I pol (borne 7)
2
2 R27
R24 R26
), ces deux bornes sont équipotentielles
2 R27
et permettent une attaque différentielle issue de la sortie du filtre. La tension continue VCo , qui est
Les coefficients de I pol étant du même ordre ( R19 ≅
appliquée à l’entrée du VCO, définit en partie sa fréquence libre d’oscillations (voir l’étude du VCO).
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Page 319
Circuits intégrés
5. Evaluation du gain en tension Ad
L’amplificateur différentiel fonctionne en amplification linéaire de tension à cause de forte contreréaction locale d’émetteur R 23 et R 25 . Le calcul du gain de l’étage se fait en régime dynamique aux
faibles signaux. La méthode du demi schéma est employée ici.
R18
rbe
βi
i
R24
vm / 2
vc
R25
⎧ vm
= [R18 + rbe + (β + 1)R25 ]i
v
β R24
⎪−
⇒ Ad = c =
⎨ 2
v m R18 + rbe + (β + 1)R25
⎪v = − R β i
24
⎩ c
Or rbe =
2UT
UT
β ≅
β ⇒ Ad =
IC
I0
R24
≅ 1.64
⎞
⎛ R18 2 UT
2 ⎜⎜
+
+ R25 ⎟⎟
I0
⎠
⎝ β
( β = 200 ).
Le gain en tension Ad est fonction du courant I 0 , donc de la tension d’alimentation du circuit.
Cependant, le terme
2 UT
étant négligeable devant la valeur de R25 , Ad est pratiquement constant.
I0
Le signal rectangulaire v M (t ) , de valeur moyenne nulle et d’amplitude crête ± 0.6 V est donc
amplifié. Le signal de sortie, image de v M (t ) est v C (t ) = VCo + v c (t ) = VCo + Ad v d (t ) , soit
v C (t ) = 4.56 ± 1V .
8.0V
5.56 V
VC(t)
4.56 V
Vref
4.0V
3.56 V
0.6 V
VM(t)
0V
- 0.6 V
-2.0V
0s
0.2ms
0.4ms
0.6ms
0.8ms
1.0ms
1.2ms
Time
Le comportement « ou exclusif » du multiplicateur produit un signal de sortie rectangulaire de
fréquence double par rapport à la fréquence des signaux d’entrée et de rapport cyclique fonction du
décalage temporel entre ces signaux.
Sylvain Géronimi
Page 320
Circuits intégrés
6. Evaluation du facteur de sensibilité K D
Calcul de la valeur moyenne de v C (t ) ⇒ v C (t ) =
1
T
∫
T
0
v C (t ) dt = VCo +
2
T
∫
T
2v
0
c (t ) dt
400mV
T
0V
VE(t)
-400mV
6.0V
∆t
4.0V
VS(t)
2.0V
0V
-2.0V
6.0V
VC(t)
5.0V
4.0V
3.0V
0s
0.2ms
0.4ms
0.6ms
0.8ms
1.0ms
1.2ms
1.6ms
1.4ms
Time
Pour illustration, les signaux carrés v E (t ) = VEo + v e (t ) et v S (t ) = VSo + v s (t ) , d’amplitudes >> 50 mV ,
sont tels que v e (t ) = ± 0.25 V , valeur moyenne VEo = 0 V et v s (t ) = ± 3.08 V , VSo ≅ 2.32 V (voir la
simulation dans l’étude du VCO). Le décalage temporel entre les deux signaux est ∆t .
Pour 0 ≤ ∆t ≤
⇒ vC =
Pour
2
π
2⎡
4 ∆t
T
⎛T
⎞⎤
, v C (t ) = VCo + ⎢∆t − ⎜ − ∆t ⎟⎥ = VCo − 1 +
T⎣
2
T
⎝2
⎠⎦
ϕ d + 3.56 pour 0 ≤ ϕ d ≤ π ( ϕ d = 2 π
∆t
)
T
⎤
2⎡ ⎛
4 ∆t
T⎞
T
≤ ∆t ≤ T , v C (t ) = VCo + ⎢− ⎜ ∆t − ⎟ + (T − ∆t )⎥ = VCo + 3 −
2⎠
T⎣ ⎝
T
2
⎦
⇒ vC = −
2
π
2
ϕ d + 7.56 pour π ≤ ϕ d ≤ 2 π ou encore v C = − ϕ d + 3.56 pour − π ≤ ϕ d ≤ 0 .
π
Vc
5.56 V
moyen
point stable
5.0
4.56 V
point instable
4.0
pente = 2 / π V / rad
3.56 V
3.0
-π
- π/2
0
ϕd
π/2
π
2π
La sensibilité du CDP est donnée par la pente de la caractéristique , soit K D = ±
2
π
≅ ± 0.64 V / rad . Le
point stable retenu doit être tel que le produit K D K 0 > 0 (voir plus loin le signe de K 0 ).
Sylvain Géronimi
Page 321
Circuits intégrés
Etude de la fonction VCO
Les courants de base sont négligés par rapport aux courants de collecteur ou d’émetteur. La borne 7
est directement reliée à l’entrée du VCO. En l’absence de filtre passe-bas, les potentiels sont
identiques v F (t ) = v C (t ) et donc v F (t ) = VFo + v f (t ) avec VFo = 4.56 V .
7. Expression du courant I1
Source de courant commandée
+VCC
I
R1
Q1
VF
VEB2
VBE1
Q2
Q3
Q4
I1
Pour le miroir de courant
VBE3
⎧
⎪
Q3 ≡ Q4 → ⎨ 3
VBE4
⎪
(technologie) VBE3 = VBE 4 (circuit) ⇒ IC3 ≅ IC4
Pour les transistors Q1 et Q2
VBE1
⎧
⎪ 1
⎨
VEB2
⎪
(technologie)
⎧⎪IC3 ≅ IC1
(circuit) ⇒ VBE1 ≅ VEB2
⎨
⎪⎩IC4 ≅ IC2
Pour le restant du circuit
⎧I1 = I E + I E
3
4
⎪⎪
⎧I ≅ I1
V − VF
⇒ ⎨
⇒ I1 ≅ CC
I
I
I
=
+
⎨
C1
E2
V
R
I
V
≅
+
R1
1 1
F
⎩ CC
⎪
⎩⎪VCC = R1I + VEB2 − VBE1 + VF
Les potentiels de collecteur et de base de Q1 sont égaux ( VCB1 ≅ 0 ). Le potentiel d’entrée VF est
reconduit au point bas de la résistance R1 . Le choix de cette résistance définit le courant I1 .
Sylvain Géronimi
Page 322
Circuits intégrés
8. Expression de la période du signal VT
Générateur d’onde triangulaire
I1
D2
D3
VT
Q5
C1
68n
Q6
-VCC
Q7
R2
R3
530
530
Icom
Q8
-VCC
Le transistor Q8 est commandé par le courant I com et fonctionne en commutation (voir plus loin
l’étude du trigger).
Supposons qu’au départ, le transistor soit bloqué ( I com ≅ 0 ). Le point commun des résistances R2 et
R3 n’est plus connecté, ce qui entraîne le blocage des transistors Q5 , Q6 , Q7 et de la diode D2 . Le
courant I1 , passant par la diode D3 , charge alors le condensateur C1 et le potentiel de l’armature
positive augmente jusqu’à atteindre le seuil de basculement VT+ du trigger. Ce dernier bascule et le
courant I com , de valeur relativement importante, rend le transistor Q8 saturé. Le circuit du miroir de
courant est alors connecté à l’alimentation. Le potentiel de l’anode de la diode D3 est alors de
VD2 + VBE5 + VBE7 + R3 I1 + VCE8 sat − VCC
avec R3 I1 ≅ R3
VCC − VFo
R1
soit légèrement > − 4 V .
A l’instant du basculement, le potentiel de la cathode de la diode D2 étant égal à VT+ , valeur
supérieure au potentiel d’anode, la diode est bloquée. Le courant I1 passe par la diode D2 et le miroir
de courant permet la circulation de ce courant dans le transistor Q5 , ce qui va produire la décharge
du condensateur à travers ce dernier. La décharge prend fin lorsque le potentiel d’entrée VT− du
trigger est atteint, ce qui provoque le blocage de Q8 . La situation de départ est retrouvée et le cycle
recommence.
Sous le régime de polarisation, le potentiel d’entrée est constant ( VF = VFo ). Le condensateur C1 se
charge et se décharge à courant I1 constant. Le circuit génère un signal triangulaire à sa sortie dont
l’évolution temporelle est VT = ±
Sylvain Géronimi
I1
t.
C1
Page 323
Circuits intégrés
Pour une évolution positive du potentiel VT , la variation ∆VT = VT+ − VT− s’effectue durant une demi
période ∆t = T 2 ⇒ T =
2 C1 +
(VT − VT− ) .
I1
9. Evaluation des potentiels du trigger
Trigger
+VCC
R5
6.5k
R8
4.7k
Vo
Q12
R7
Q11
8.4k
Vi
R6
2.6k
-VCC
Le signal triangulaire de variation d’amplitude ∆VT = VT+ − VT− , disponible sur la base du transistor Q9
(borne 9), subit une translation de tension d’environ 0.6 V par l’étage suiveur. La forte impédance
d’entrée de l’étage, chargé par une source de courant, impose que le courant I1 se dirige vers le
condensateur C1 . Le signal triangulaire décalé vers le bas, pilote le trigger de Schmitt, composé par
les transistors Q11 et Q12 . La sortie du trigger de Schmitt est suivie du transistor Q13 , monté en
émetteur suiveur, permettant de sortir sous faible impédance (borne 4). Le potentiel Vi est donc à
l’image du potentiel de l’armature positive du condensateur C1 à la translation près de VBE9 ≅ 0.6 V .
Pour une approche analytique plus directe, le courant dans la résistance R7 sera négligé par rapport
aux autres courants et les diodes D6 à D9 , qui permettent d’améliorer la vitesse de commutation, ne
seront pas représentées.
+VCC
Cas 1 : Q11 bloqué et Q12 saturé
⎧⎪2VCC = R5 I ' + VBEsat + R6 (I + I ' )
⎨
⎪⎩2VCC = R8 I + VCEsat + R6 (I + I ' )
R5
6.5k
2VCC − VCEsat − (R6 + R8 )I
⎧
⎪I ' =
R6
⎪
⎪⎪
⎛ R ⎞
⇒ ⎨
2VCC − VBEsat − ⎜⎜1 + 5 ⎟⎟ 2VCC − VCEsat
⎝ R6 ⎠
⎪I =
⎪
⎛ R ⎞
⎪
R6 − ⎜⎜1 + 5 ⎟⎟ (R6 + R8 )
⎪⎩
⎝ R6 ⎠
(
R8
4.7k
I
I’
)
Q12
Vo
I + I’
R6
2.6k
-VCC
Sylvain Géronimi
Page 324
Circuits intégrés
Le potentiel de sortie Vo est à l’état bas (Low) VoL = VCC − R8 I . Ce potentiel subit une translation de
tension continue par la présence de l’étage suiveur Q13 , la borne 4 du circuit intégré présente donc
VS = VoL − VBE13 . Au moment du basculement du trigger, le transistor Q11 est conducteur et le
potentiel d’entrée vaut Vi = VBE11 + R6 (I + I ' ) − VCC . Ce potentiel ayant subi une translation de tension
continue par la présence de l’étage suiveur Q9 , la borne 9 du circuit intégré présente donc :
VT+
= VBE9 + VBE11 + 2VCC − VCEsat − R8
(
)
R5 + R 6
2VCC − VCEsat
R6
− VCC
R + R6
(R6 + R8 )
R6 − 5
R6
2VCC − VBEsat −
Cas 2 : Q11 saturé et Q12 bloqué
+VCC
⎧⎪2VCC ≅ VCEsat + (R5 + R6 )I
⎨
⎪⎩Vi = VBE11 + R6 I − VCC
⇒ Vi = VBE11 + R6
R5
6.5k
2VCC − VCEsat
R5 + R 6
Q11
− VCC
Vi
I
R6
2.6k
-VCC
Le transistor Q12 étant bloqué, le potentiel de sortie Vo est à l’état haut (High) VoH ≅ VCC . La borne 4
présente alors un potentiel de sortie VS ≅ VoH − VBE13 . La borne 9 du circuit intégré présente le
potentiel Vi translaté
VT− = VBE9 + VBE11 +
(
)
R6
2VCC − VCEsat − VCC
R5 + R 6
Ainsi, le signal sur la borne 4 est un signal carré v S (t ) de fréquence fs tel que v S (t ) = VSo + v s (t )
avec une valeur moyenne VSo =
VoH + VoL
− VBE13 et une variation v s (t ) ≅ VoH − VoL autour de cette
2
valeur moyenne.
(
VoH − VoL
⎛ R ⎞
2VCC − VBEsat − ⎜⎜1 + 5 ⎟⎟ 2VCC − VCEsat
⎝ R6 ⎠
≅ R8
⎛ R ⎞
R6 − ⎜⎜1 + 5 ⎟⎟ (R6 + R8 )
⎝ R6 ⎠
)
Le signal sur la borne 9 est un signal triangulaire vT (t ) de même fréquence fs tel que
v T (t ) = VTo + v t (t ) avec une valeur moyenne VTo ≅
VT+ + VT−
et une variation v t (t ) ≅ VT+ − VT− autour de
2
cette valeur moyenne.
VT+
− VT−
= 2VCC − VCEsat − R8
Sylvain Géronimi
(
)
R5 + R 6
2VCC − VCEsat
R6
R6
2VCC − VCEsat
−
R5 + R 6
R5 + R 6
(R6 + R8 )
R6 −
R6
2VCC − VBEsat −
Page 325
(
)
Circuits intégrés
6.0V
4.0V
fs = 1413 Hz
5.40 V
VS(t)
R1 = 3.3 Ω
C1 = 68 nF
∆VS = 6.16 V
2.0V
0.84 V
VT(t)
0V
∆VT = 2.27 V
- 0.76 V
-2.0V
0s
0.2ms
- 1.43 V
0.4ms
0.6ms
0.8ms
1.0ms
1.2ms
1.4ms
1.6ms
Time
10. Explication de la commande de Q8
Amplificateur différentiel pour commande en courant
+VCC
D10
R10
R12
16k
4.3k
R27
13.65k
Q14
VS
Q16
Q15
R11
5.8k
Icom
Q17
Q25
R17
200
R26
200
-VCC
La sortie de l’étage collecteur commun Q13 est connectée à un amplificateur différentiel ( Q14 et Q16 )
qui commande en courant le transistor Q8 par le biais de Q15 .
Sylvain Géronimi
Page 326
Circuits intégrés
Le miroir de courant polarise la diode zener D10 qui fixe le potentiel de la base de Q16 à la valeur
VB16 = VCC − VZ ≅ 3.3 V . La différence de potentiel de l’attaque de l’étage différentiel est VS − VB16 .
Sur le front bas du signal carré ( VS = VoL − VBE13 ), le potentiel de base de Q14 est à un niveau très
inférieur à VB16 . Le potentiel commun des émetteurs étant plus bas que VB16 , Q16 est bloqué et Q14
saturé. Le courant traversant la résistance R11 étant négligeable, le transistor Q15 est bloqué et
I com ≅ 0 . Le transistor Q8 est bloqué lors de la charge du condensateur C1 .
Sur le front haut du signal carré ( VS ≅ VoH − VBE13 ), le point commun des émetteurs est supérieur à
VB16 . Q14 est bloqué et Q16 saturé. La majorité du courant de collecteur de Q16 traverse la résistance
R11 , produisant une tension telle que Q15 devient conducteur. Ainsi, le courant I com est suffisamment
important pour saturer Q8 lors de la décharge du condensateur C1 .
Etude de la fonction PLL
11. Ecriture des relations générales
En posant la tension d’alimentation totale appliquée au circuit VALIM = 2VCC , et en considérant que
VALIM >> VCEsat et VBEsat , les équations issues de l’étude du VCO s’écrivent :
⎛ R5
(R5 + R6 )R8 ⎞⎟ 2V − V
R 6 R8
VT+ − VT− = ⎜⎜
−
2VCC − VBEsat
CC
CE sat +
⎟
(
)
(
+
+
R
R
R
+
R
R
+
R
R
R
R
6
5
6
8
5 6 ⎠
5
6 )R 8 + R 5 R 6
⎝ 5
R5
R5 R8
⇒ VT+ − VT− ≅ k VALIM avec k =
−
≅ 0.2023
R5 + R6 (R5 + R6 )R8 + R5 R6
(
VCC − VFo ≅
)
(
)
2VCC − VBE25
R24 R26
R R
I pol = 24 26
2 R27
2 R27 R19 + R20 + R21 + R26
⇒ VCC − VFo ≅ k 'VALIM avec k ' =
R24 R26
≅ 0.1268
2 R27 (R19 + R20 + R21 + R26 )
D’après l’expression de la période du signal carré v S (t ) issu du VCO (borne 4), la pulsation s’écrit
ω=
π I1
2π
.
=
T
C1 (VT+ − VT− )
Le courant I1 est obtenu à partir, d’une part de la résistance extérieure R1 et, d’autre part, de la
tension d’entrée VF = VFo + ∆VF , d’où I1 ≅
ωs =
(
π VCC − VFo
)
VCC − VFo
R1
−
∆VF
(composantes continue et variable).
R1
π
−
∆VF de la forme ωs = ωo + ∆ω = ωo + K 0 ∆VF
R1C1 (VT+ − VT− ) R1C1 (VT+ − VT− )
Par identification, les expressions de la pulsation libre et de la sensibilité du VCO s’écrivent :
ωo =
(
π VCC − VFo
(
R1C1 VT+
Sylvain Géronimi
)
− VT−
π k'
)≅ R C k
1 1
et K 0 =
−π
−π
≅
.
R1C1 (VT+ − VT− ) R1C1 k VALIM
Page 327
Circuits intégrés
La PLL est associée à un filtre passif de la forme F ( p ) =
1
avec τ = R24 C2 .
1+ τ p
Calcul de la plage de maintien
La variation maximale de la tension d’erreur générée à la sortie du CDP est ∆v c max = K D ϕ d
En sortie du filtre, la tension est ∆v f max = F (0) ∆v c max = K D
max
.
π
puisque F (0) = 1.
2
En sortie du VCO, la variation de la pulsation du signal de sortie autour de la pulsation libre ωo est
∆ωs max = K 0 ∆v f max = K D K 0
π
2
.
Par définition ∆ωs max = 2 π ∆fM , ce qui donne la plage de maintien 2 ∆fM =
KD K0
.
2
Calcul de la plage d’acquisition
∆ω A ≅ K D K 0
π
2
F ( j∆ω A ) pour une capture rapide, avec F ( j∆ω A ) =
1
1 + ∆ω A2 τ 2
≅
1
∆ω A τ
.
En supposant que la demi-largeur de capture ∆ω A est, en pratique, très supérieure à la pulsation de
coupure du filtre 1 τ ,
∆ω A ≅ K D K 0
π
1
⇒ 2 ∆f A ≅
2 ∆ω A τ
2 ∆f M
πτ
.
Dans le cas général, les données de la PLL NE565 sont les suivantes :
K D ≅ − 0.64 V / rad , fo ≅
∆f A ≅
50 fo
8 fo
1
(Hz), K 0 ≅ −
(rad/s/V), ∆fM ≅
(Hz),
3.19 R1C1
VALIM
VALIM
5 fo
1
(Hz) avec τ = 3.6 10 3 × C2 (pour un réseau RC).
2 τ VALIM
Le gain de conversion K D du CDP est peu sensible à la valeur de la tension d’alimentation totale. Si
le multiplicateur fonctionne en commutation (modulateur équilibré), sa valeur est quasi constante et
négative car le gain K 0 du VCO est négatif. Sur la caractéristique triangulaire v C (ϕ d ) , le point de
repos stable est donc à l’abscisse ϕ d = −
π
, centré entre - π et 0 (voir cours « technologie des
2
PLL »). Si le multiplicateur ne travaille pas en commutation, K D est fonction de l’amplitude des
signaux v E (t ) et v S (t ) .
La fréquence centrale libre des oscillations fo est ajustée par R1 et C1 . Les domaines de verrouillage
et de capture s’étendent respectivement de ∆fM et ∆f A de chaque côté de la fréquence centrale.
Sylvain Géronimi
Page 328
Circuits intégrés
Applications de la PLL 565
Nous proposons deux applications de la PLL. L’étude précédente permet de présenter le composant
sous le schéma suivant.
10
+VCC
R24
2
Multiplicateur
3
Amplificateur
7
3.6k
6
5
4
VCO
8
9
1
R1
C1
+VCC
-VCC
-VCC
Application n°1 : Démodulation FSK
+6V
R1
C2
47n
CE
10
8
2
7
1u
565
vE (t)
6
5
3
Ra
Ra
680
680
9
1
4
C1
6.8n
-6V
La boucle est fermée en reliant les bornes 4 et 5. La résistance R24 intégrée au sein du circuit et le
condensateur C2 compose le filtre passe-bas (FPB) du premier ordre. Les résistances Ra de
polarisation du multiplicateur ont une influence négligeable. Le composant CE est un condensateur
de liaison pour la source d’attaque v E (t ) d’amplitude >> 50 mV .
Caractérisation des paramètres statiques de la boucle
En l’absence du signal v E (t ) et du condensateur de filtrage C2 , la fréquence libre des oscillations est
ajustée à fo = 10 kHz à l’aide de la résistance R1 .
1. Déterminez les valeurs des paramètres K D , K 0 , 2 ∆fM de la PLL. Evaluez la résistance R1 qui
règle la fréquence fo à la valeur souhaitée.
2. Ecrivez la relation linéaire fs (VF ) du transfert du VCO.
Sylvain Géronimi
Page 329
Circuits intégrés
Etude dynamique
Le filtre passe-bas est introduit dans la boucle en connectant C2 entre les bornes 7 et 10. Un signal
carré v E (t ) est appliqué à l’entrée, d’amplitude v e (t ) = ± 0.25 V et de valeur moyenne nulle, de
fréquence 9 kHz durant 3 ms , puis 11 kHz durant 3 ms et ceci périodiquement.
3. Evaluez la fréquence de coupure du filtre et la plage de capture correspondante.
4. La PLL étant verrouillée, tracez v F (t ) théorique. Discutez du type de démodulation.
Vf ( p )
, puis écrivez les expressions de ω n et ζ,
Ωe ( p)
respectivement pulsation propre du système non amorti et coefficient d’amortissement.
6. En appliquant le théorème de la valeur finale, évaluez la variation d’amplitude de v f (t ) en régime
permanent relative au saut de pulsation en entrée, ainsi que la fréquence des oscillations amorties
et le dépassement pendant le régime transitoire.
7. Tracez v F (t ) réelle en respectant les échelles sur le régime transitoire.
8. Discutez de l’efficacité du filtre sur les résidus de porteuse et de la stabilité du système.
5. Ecrivez la fonction de transfert en boucle fermée
Application n°2 : Modem 300 bauds
+5V
R1
C2
3.94k
CE
220n
10
8
2
C
C
C
22n
22n
22n
R
R
R
10k
10k
10k
7
1u
+
TL082
R'
565
vE (t)
Ra
680
680
30k
5
3
Ra
-
6
9
1
4
C1
68n
-5V
La PLL 565 est destinée à démoduler un signal FSK (lignes téléphoniques pour transmission de
signaux binaires). Le signal v E (t ) qu’elle reçoit a une fréquence de 1270 Hz lorsque l’information
correspond à un 1 logique et une fréquence de 1070 Hz lorsque l’information correspond à un 0
logique. Le composant CE évite une composante continue indésirable.
La valeur du condensateur C2 du filtre de boucle est fixée par le choix du dépassement approprié sur
la tension démodulée v F (t ) .
Un filtre en échelle à trois étages RC est utilisé pour enlever les résidus de porteuse ( 2 fe ) et sa bande
passante doit se situer approximativement à mi-chemin entre la vitesse maximale du débit binaire (ici
300 bits/s ou 150 Hz) et deux fois la fréquence d’entrée (autour de 2340 Hz). La fréquence libre du
VCO est ajustée avec R1 pour que le potentiel continu à la sortie (signal à rapport cyclique de 50 %
sur la borne 7) soit le même que sur la borne 6.
Un comparateur de tension convertit le signal de sortie en logique compatible. La résistance R ' = 3 R
équilibre les entrées au niveau continu.
Développez le problème à l’image de l’application précédente.
Sylvain Géronimi
Page 330
Circuits intégrés
Corrigé
Application n°1
1. Valeurs des paramètres
K D ≅ − 0.64 V / rad (pour le multiplicateur fonctionnant en commutation)
K0 ≅ −
R1 ≅
50 fo
8 fo
≅ − 41667 rad / s / V , ∆fM ≅
≅ 6667 Hz avec VALIM = 12 V
VALIM
VALIM
1
≅ 4610 Ω
3.19 C1 fo
2. Relation du transfert du VCO
ωs = aVF + b avec a = K 0 , b = ωo − K 0 VF0 et VFo ≅ 4.56 V
⇒ ωs ≅ − 41700 VF + 252833 rad / s ou encore fs ≅ − 6632 VF + 40240 Hz
30K
fS (Hz)
K0 ≅ - 6632 Hz / V
(4.0, 13.71K)
20K
(4.56, 10K)
(5.0, 7.08K)
10K
0
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
VF (V)
Etude dynamique
3. Evaluation de la fréquence de coupure du filtre et de la plage de capture
F ( p) =
∆f A ≅
1
1
avec τ = R24 C2 ⇒ ffpb =
≅ 941 Hz
1+ τ p
2π τ
5 fo
1
≅ 2.48 kHz valeur majorée par l’hypothèse ∆ω A2 τ 2 >> 1 .
2 τ VALIM
4. Tracé de v F (t ) théorique
Pour fs = 9 kHz , VF ≅ 4.71V et pour fs = 11 kHz , VF ≅ 4.41V , ce qui donne un écart de tension
∆VF ≅ 0.3 V associé à une valeur moyenne VFo = 4.56 V .
Sylvain Géronimi
Page 331
Circuits intégrés
4.71 V
4.7V
vF (t)
9 kHz
∆VF = 0.3 V
4.6V
VF moyen = 4.56 V
4.5V
11 kHz
4.4V
4.41 V
3.0ms
0s
6.0ms
9.0ms
Time
Le signal démodulé v F (t ) est à l’image du signal modulant de forme carré de fréquence d’environ
167 Hz, de valeur moyenne nulle et dont l’amplitude est réglée pour produire un saut de
fréquence de 2 kHz centré sur la fréquence de 10 kHz de la porteuse. Le signal v E (t ) modulé à
l’entrée de la PLL subit un décalage en fréquence. Le circuit effectue une démodulation FSK.
5. Ecriture de la fonction de transfert en boucle fermée
H ( p) =
Ω ( p)
K D K 0 F ( p)
K K F ( p)
G( p )
avec G( p ) = D 0
et B( p ) = 1 (retour unitaire ) ⇒ s
=
1 + G( p )
p
Ωe ( p) p + K D K 0 F ( p)
Ω s ( p ) = K 0 Vf ( p ) ⇒
⇒
Vf ( p )
1
=
Ω e ( p) K 0
de la forme
1
K0
Vf ( p )
K D F ( p)
1
avec F ( p ) =
=
1+ τ p
Ω e ( p) p + K D K 0 F ( p)
1
1
τ
1+
p+
p2
KD K0
KD K0
1
1+
2ζ
ωn
p+
p2
avec ωn =
KD K0
τ
et ζ =
ωn2
1
2 τ KD K0
6. Paramètres de v f (t )
En régime permanent, la variation de l’amplitude de la tension v F (t ) est obtenue par l’application
du théorème de la valeur finale
∆ω e
∆ω e
, soit ∆VF ≅ 0.3 V pour ∆fe = 2 kHz .
⇒ v f (∞ ) =
lim v f (t ) = lim pVf ( p ) avec Ω e (p ) =
p
K0
p→0
t →∞
En régime transitoire, les paramètres ζ ≅ 0.235 , fn =
1
2π
KD K0
τ
≅ 2 kHz du domaine fréquentiel
se traduisent par les paramètres fosc = fn 1 − ζ 2 ≅ 1942 Hz , D = e
−
πζ
1−ζ 2
≅ 46.8 % (valeur
normalisée du premier dépassement) dans le domaine temporel.
Sylvain Géronimi
Page 332
Circuits intégrés
7. Tracé de v F (t ) réelle
fréquence des oscillations ≅ 1942 Hz
4.85 V
4.8V
dépassement ≅ 46.8 %
4.71 V
vF (t)
4.6V
∆V = 0.3 V
4.4V
4.41 V
4.27 V
4.2V
2ms
0s
4ms
6ms
8ms
10ms
Time
Les valeurs crête valent 4.41 + 0.3 × 1.468 ≅ 4.85 V et 4.71 − 0.3 × 1.468 ≅ 4.27 V .
8. Discussion sur le filtrage et la stabilité
Le filtre atténue ces fréquences suivant la relation F ( jω ) =
1
ω2
1+
ωc2
. Son rôle est d’éliminer les
résidus de porteuse issus du doublage de fréquence du CDP à comportement « ou exclusif ». Le
signal démodulé v F (t ) supporte sur ses fronts des résidus aux fréquences 18 kHz ( 2 × 9 kHz ) et
22 kHz ( 2 × 11 kHz ).
Dans le cas présent ffpb ≅ 941 Hz pour C2 = 47 nF , les atténuations à 18 kHz et 22 kHz valent
respectivement 0.052 et 0.043 (contexte sinusoïdal), soit des résidus d’amplitude 104 mV et 85
mV issus du signal rectangulaire d’amplitude d’environ 2 V ( v C (t ) = 4.56 ± 1V ).
5.7V
sans C2
signaux à la
fréquence
de 22 kHz
5.0V
(fe = 11 kHz)
C2 = 4.7 nF
C2 = 47 nF
4.0V
C2 = 470 nF
3.6V
440us
460us
VF (t)
480us
500us
520us
540us
560us
580us
600us
Time
Sur cette simulation, nous pouvons observer l’efficacité du filtrage lorsque la valeur du
condensateur C2 augmente. Le choix de C2 = 47 nF apparaît relativement acceptable.
Sylvain Géronimi
Page 333
Circuits intégrés
La stabilité du système laisse à désirer au regard des valeurs des paramètres ζ = 0.235 ou
D ≅ 46.8 % . Ce type de filtre est incapable de satisfaire stabilité et filtrage simultanément.
Cependant, pour la variation maximale ∆VF ≅ ± 0.29 V de la tension à l’entrée du VCO autour de
la valeur moyenne VFo = 4.56 V correspond une variation dynamique de fréquence
∆fdyn =
K 0 ∆VF
≅ 1923 Hz autour de la fréquence libre fo = 10 kHz . La demi plage de maintien,
2π
centrée autour de fo , valant ∆fM ≅ 6.67 kHz pour ce type de filtre, la PLL est bien verrouillée.
excursion maximale
de la fréquence
3.3
7.5 8.1
10
11.9 12.5
fo-∆fM
fo-∆fA fo-∆fdyn
fo
fo+∆fdyn fo+∆fA
16.7
fo+∆fM f (kHz)
plage de verrouillage
5.0V
fréquence amortie = 1942 Hz
résidu issu du signal carré à fe = 9 kHz
dépassement = 46.8 %
fréquence ≅ 18 kHz
VF (t)
niveaux différents
des amplitudes
des résidus
4.5V
amplitude ≅ 85 mV
fréquence = 22 kHz
résidu issu du signal carré à fe = 11 kHz
fréquence du signal modulant = 167 Hz
4.0V
0s
2ms
4ms
6ms
8ms
10ms
Time
Simulation de la PLL 565 en démodulation FSK : le signal d’attaque est un signal v e (t ) = ± 0.25 V
de valeur moyenne nulle et modulé par un signal carré de fréquence 167 Hz dont l’amplitude est
réglée de façon à obtenir un saut de fréquence de 2 kHz.
Sylvain Géronimi
Page 334
Circuits intégrés
12ms
Application n°2
La fréquence libre du VCO a pour valeur fo ≅
1
≅ 1170 Hz , centrée par rapport au saut
3.19 R1C1
de fréquence de 200Hz.
K D ≅ − 0.64 V / rad (pour le multiplicateur fonctionnant en commutation)
K0 ≅ −
50 fo
8 fo
≅ − 5850 rad / s / V , ∆fM ≅
≅ 936 Hz avec VALIM = 10 V
VALIM
VALIM
Evaluation de la fréquence de coupure du filtre de boucle et de la plage de capture
F ( p) =
∆f A ≅
1
1
avec τ = R24 C2 ⇒ ffpb =
≅ 201 Hz
1+ τ p
2π τ
5 fo
1
≅ 430 Hz valeur majorée par l’hypothèse ∆ω A2 τ 2 >> 1 .
2 τ VALIM
Paramètres de v F (t )
fn =
ζ =
1
2π
KD K0
τ
1
2 τ KD K0
≅ 346 Hz ⇒ fosc = fn 1 − ζ 2 ≅ 331 Hz ,
≅ 0.29 , D = e
−
πζ
1−ζ 2
≅ 38.6 %
Variation en régime permanent de v F (t ) autour de VFo = 3.81V (car VALIM = 10 V ) relative à une
variation ∆fe = 200 Hz ⇒ ∆v f (∞ ) =
∆ω e
≅ 215 mV .
K0
Filtres de lissage et comparateur de tension
Ce filtre du troisième ordre doit lisser les résidus de porteuse du signal v F (t ) . Par une approche
ne tenant pas compte de l’interaction entre cellules, y compris celle du FPB (adaptation en tension
1
réalisée), la fréquence de coupure est de l’ordre de flissage =
≅ 723 Hz avec une descente
2 π RC
de – 60 dB par décade.
Les résidus de porteuse de v F (t ) étant éliminés à l’arrivée d’une entrée du comparateur, ce
dernier bascule lorsque v + = v − , soit pour v F (t ) = Vref avec Vref ≅ 3.81V . Les variations de
v f (t ) sont centrées par rapport à la masse (si ce n’est pas le cas, retouchez la fréquence libre à
l’aide de la résistance R1 ).
⎧⎪v + > v −
⎨ +
⎪⎩v < v −
→
v s = + Vsat
→
v s = −Vsat
avec ± Vsat en accord avec la logique compatible.
La vitesse maximale de transmission est de l’ordre de <
Sylvain Géronimi
Page 335
fosc
≅ 165 Hz .
2
Circuits intégrés
Simulation
4.2V
vF(t)
4.0V
3.6V
3.4V
fe = 1270 Hz
fe = 1070 Hz
500mV
vE(t)
0V
-500mV
0s
5ms
10ms
15ms
20ms
25ms
30ms
35ms
40ms
Time
La porteuse est un signal sinusoïdal d’amplitude 1 Vpp et de valeur moyenne nulle changeant de
fréquence toutes les 10 ms de manière périodique. Le signal démodulé v F (t ) , image du signal
modulant (information), présente d’importants résidus de porteuse (2 fe).
4.0V
Vfiltre1(t)
Vref
Vfiltre2(t)
3.8V
basculement
Vfiltre3(t)
3.6V
5.0V
Vlogic(t)
démodulation FSK
100 bits / s
0V
(f = 50 Hz)
-5.0V
0s
5ms
10ms
15ms
20ms
25ms
30ms
35ms
40ms
Time
Le signal démodulé v F (t ) , en sortie de filtre de boucle, subit un triple filtrage et le signal résultant
v filtre3 (t ) est comparé au potentiel Vref . A l’instant de basculement, la tension de sortie du
comparateur change de niveau de saturation. La vitesse de transmission est de 100 bauds (100 bits
par seconde).
Si le signal démodulé n’est pas centré par rapport à Vref , le rapport cyclique de v logic (t ) est différent
de 50 % et le temps de bit n’est pas respecté (10 ms).
Sylvain Géronimi
Page 336
Circuits intégrés
4.2V
Vfiltre1(t)
vF(t)
4.0V
Vref
Vfiltre2(t)
Vfiltre3(t)
3.6V
3.4V
5.0V
Vlogic(t)
démodulation FSK
200 bits / s
0V
(f = 100 Hz)
-5.0V
0s
2ms
4ms
6ms
8ms
10ms
12ms
14ms
16ms
18ms
20ms
14ms
16ms
18ms
20ms
Time
La vitesse de transmission est ici de 200 bauds.
4.2V
vF(t)
4.0V
Vref
3.6V
3.4V
5.0V
Vlogic(t)
0V
-5.0V
0s
2ms
4ms
6ms
8ms
10ms
12ms
Time
La nécessité de filtrer les résidus apparaît de façon évidente en reprenant le cas de la transmission
est à 200 bauds où le triple réseau RC n’est pas utilisé. L’information binaire est alors erronée.
Sylvain Géronimi
Page 337
Circuits intégrés
Electronique analogique - Cours
Modèles de composants associés aux différents régimes
La diode
⎧v D (t ) = VD + v d (t )
⎩i D (t ) = ID + i d (t )
iD(t)
avec ⎨
vD(t)
Régime continu
Modèle mathématique non linéaire
⎛ UVD
⎞
I D = I S ⎜ e T − 1⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
en direct I D ≅ IS e
Modèle linéarisé
VD
UT
en inverse ID ≅ −IS ≅ 0
ID
RD
en direct
ID
en inverse
VD
VD = RD I D + Vγ
VD
Vγ
∞
Modèle linéarisé
en direct
rd
Cd
UT
⎧
⎪rd = I
D0
⎪
⎨
⎪C = τ
⎪ d rd
⎩
en inverse
∞
Ct
Données du constructeur : Vγ (tension dépendante du matériau), τ (durée de vie moyenne des
porteurs ou temps de recombinaison des porteurs minoritaires en « excès »), Ct (capacité de
transition), UT =
kT
≅ 26 mV à 27 °C (tension thermique).
q
Le transistor à effet de champ (JFET)
D
canal N
G
vGS(t)
Sylvain Géronimi
iD(t)
⎧v GS (t ) = VGS + v gs (t )
avec ⎨
0
⎩i D (t ) = ID + i d (t )
S
Page 338
Annexes
Régime continu
Modèle mathématique non linéaire
2
⎛ V ⎞
ID = IDSS ⎜⎜1 − GS ⎟⎟
VP ⎠
⎝
avec 0 ≤ VGS ≤ VP
pour canal N : VGS et VP < 0
pour canal P : VGS et VP > 0
Transistors technologiquement identiques : mêmes I DSS et VP .
Cgd
Modèle linéarisé
gm
I D0 I DSS
Cgs
∞
vgs
2
=±
VP
id
∞
G
(pour VDS > VP : zone de saturation)
rds
D
vds
g m vgs
en A/V
(paramètre g m toujours >0)
S
Données du constructeur : I DSS (courant de saturation de drain pour VGS = 0 ), VP (tension de
pincement), C gs , C gd (capacités de transition), rds (résistance dynamique de sortie).
Le transistor bipolaire à jonction (JBT)
IC
IC
IB
IB
VEC
VCE
en mode actif
VBE
⎧v BE (t ) = VBE + v be (t )
avec ⎨
⎩i B (t ) = I B + i b (t )
VEB
IE
IE
NPN
PNP
Régime continu
Modèle mathématique non linéaire (équations d’Ebers-Molls en mode actif)
VBE
⎛ V
IC = β I B = β I BS e UT ⎜⎜1 + CE
VA
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
VEB
(NPN)
⎛ V
IC = β I B = β I BS e UT ⎜⎜1 + EC
VA
⎝
VBE
IC = β I B = β I BS e UT
⎞
⎟⎟
⎠
(PNP)
VEB
(NPN)
IC = β I B = β I BS e UT
(PNP)
(effet Early négligé)
Transistors technologiquement identiques : mêmes β et I BS .
Sylvain Géronimi
Page 339
Annexes
Modèle linéarisé
IB
B
⎧I E = I B + IC
⎪
⎨IC = β I B
⎪
⎩ VBE ≅ 0.6 à 0.7 V
IC
+
C
Vγ
β IB
RD ≅ 0
VBE
IE
E
Cbc
Modèle linéarisé
B
UT UT
⎧
β
⎧
⎪rbe = I = I β
⎪g m = r
B0
C0
be
⎪
⎪
et ⎨
⎨
+
V
V
V
CE 0
⎪C + C = IC0
⎪r = A
≅ A
bc
ce
⎪ be
⎪
2π UT ft
IC 0
IC 0
⎩
⎩
ib
ib1
rbe
vbe
ic
∞
C
β ib1
rce
Cbe
gm vbe
E
Données du constructeur : β (valeur typique acceptable en régimes statique et dynamique), Cbc
(capacité de transition), ft (fréquence de transition), VA (tension d’Early supposée grande devant
VCE 0 ).
Tableau récapitulatif sur le choix du modèle du composant en fonction du régime étudié
diode
Régime
continu
Régime
dynamique
Données
constructeur
Hypothèses
simplificatrices
modèle
linéaire par
morceaux
VD = RD I D + Vγ
modèle
mathématique
⎛ VD
⎞
⎜
⎟
I D ≅IS ⎜ e UT − 1⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
modèle faibles
signaux aux
fréquences
basses et
moyennes
aux
fréquences
hautes
JFET
JBT
VBE ≅ 0.6 V , IC = β IB
⎛
V
ID = IDSS ⎜1 − GS
⎜
VP
⎝
gm = ±
U
rd = T , ri = ∞
ID0
2
VP
⎞
⎟
⎟
⎠
VBE
2
IC ≅ β I BS e UT
(mode actif direct)
gm =
I D I DSS
rds
Cd , Ct
Cgs , Cgd
Rd , Vγ , Cd , Ct
I DSS , VP , rds , Cgs , Cgd
rbe =
β
rbe
UT
V
β , rce ≅ A
IC 0
IC0
Cbe ≅
IC0
2π UT ft
− Cbc
β , VA , Cbc , ft
VD ≅ −VZ pour
VBE ≅ Vγ , RD = 0
zener (R Z = 0)
VA >> VCE0
( Transistors technologiquement identiques : mêmes β , IBS pour les JBT ou mêmes I DSS , VP pour
les JFET au sein du modèle non linéaire en régime continu ; pour le JBT en mode actif direct du
modèle Ebers-Moll, l’expression du transfert est simplifiée
VBE
VBE
⎛
VCE0 ⎞⎟
UT
UT ⎜
IC = β I BS e
avec VCE0 << VA (tension d’Early).
⎜⎜1 + V ⎟⎟ ≅ β I BS e
A
⎝
⎠
Sylvain Géronimi
Page 340
Annexes
Modèle de Giacoletto
En régime dynamique faibles signaux, le transistor bipolaire se comporte comme un quadripôle
linéaire en hautes fréquences. Le schéma équivalent en montage émetteur commun, appelé encore
schéma de Giacoletto, est représenté sur la figure suivante.
rb'c
B
ib
rbb'
B'
ic
Cb'c
ib1
C
β ib1
vbe
rb'e
vb'e
rce
Cb'e
Cce
vce
gm vb'e
E
E
En premier lieu, on remarque l’introduction du point B’ constituant le niveau de base vraie. On définit
ainsi :
rbb ' comme étant la résistance extrinsèque de base située entre le foyer actif des porteurs B’ et la
connexion de base B ; sa valeur n’est pratiquement pas influencée par la température, ni par une
variation de courant.
rcc ' et ree ' représentation semblable au niveau des autres électrodes.
Les jonctions du transistor sont représentées sous la forme d’un schéma R-C parallèle. Une capacité
de jonction est la résultante de
- une capacité de transition dominante dans une polarisation inverse telle que sa valeur est d’autant
plus faible que la tension aux bornes est plus grande,
- une capacité de diffusion, représentant le phénomène de diffusion des porteurs à l’intérieur de la
jonction, caractérisé d’une part, par le temps de transit (ou temps moyen mis par un porteur
« commandé » pour aller de l’entrée à la sortie, et d’autre part, par la dispersion du flux des
porteurs, dépendante du phénomène de recombinaison et des répulsions mutuelles qui conduit,
tout compte fait, à une dispersion sur le temps de transit moyen (il faut souligner ici que
l’assimilation du mécanisme de diffusion à une capacité n’est admissible que pour des fréquences
beaucoup plus faibles que l’inverse du temps moyen).
Ainsi, la jonction base vraie - émetteur est une jonction polarisée dans le sens passant et sa
modélisation est la suivante :
rb'e est la résistance dynamique de la jonction vue de la base vraie ; sa valeur est inversement
proportionnelle au courant de polarisation, donc dépendante du point de repos choisi, et varie
U
U
avec la température rb 'e = T = T β avec UT ≅ 25 mV ,
I B0
IC 0
-
Cb'e est la capacité de la jonction modélisant le phénomène de diffusion; sa valeur est
proportionnelle au courant de polarisation, donc dépendante du point de repos choisi, et varie
IC 0
− C b 'c .
avec la température Cb 'e ≅
2π f U
t
T
La jonction base vraie - collecteur est une jonction polarisée dans le sens bloquant et sa modélisation
est la suivante :
rb 'c est la résistance dynamique de la jonction polarisée en inverse (valeur très importante),
-
Cb'c est la capacité de la jonction modélisant le phénomène de transition.
Il est intéressant de noter que ces éléments constituent le circuit de couplage entre l’entrée et la sortie
du transistor.
Sylvain Géronimi
Page 341
Annexes
Il ne reste plus qu’à considérer ce qui se passe entre les électrodes du collecteur et de l’émetteur.
Ceci est plus délicat à modéliser puisqu’il n’y a pas de jonction :
rce est la résistance dynamique qui définit grossièrement la résistance de sortie du transistor ; sa
valeur peut être approchée par la tension d’Early VA telle que rce ≅ VA IC0 si VA >> VCE0 ,
-
Cce est une capacité extrinsèque que l’on peut caractériser de type électrostatique (très faible).
La source de courant dépendante est liée aux variables de la branche supportant rb 'e illustre l’effet
amplificateur du transistor. Dans cette représentation, le courant commandé est proportionnel à la
tension vb’e par le facteur g m (pente interne du transistor) ou au courant traversant la résistance de
jonction par le facteur β (gain en courant). Le relation liant les deux facteurs est g m = β rb 'e .
De façon pratique, cette modélisation du transistor n’est valable que pour des fréquences inférieures à
la fréquence de transition, ceci à cause de la représentation du mécanisme de diffusion sous la forme
d’une simple capacité. D’autre part, on considère que l’on peut négliger les influences de rb'c et Cce
qu’on assimile à des circuits ouverts et l’influence de rbb ' qu’on assimile à un court-circuit. Les points
B et B’ étant confondus, les paramètres rb'e , Cb'e , Cb'c s’identifient à rbe , Cbe , Cbc . L’influence de la
résistance rce peut être négligée qu’à condition que la charge soit faible.
Evaluation du paramètre Cbe du modèle
Soit le montage émetteur commun excité en courant et chargé par un court-circuit ( Rch << rce ).
Cbc
v
ib
rbe
ic
vs =0
Cbe
gm v
Il est nécessaire d’écrire l’expression du paramètre hybride h21e (p ) =
Equations de nœuds →
β (p ) = β 0
1−
1+
ic
= β (p )
ib
⎧
⎛ 1
⎞
+ Cbe p + Cbc p ⎟⎟
⎪i b = v ⎜⎜
⎨
⎝ r b 'e
⎠
⎪
⎩i c = v (g m − Cbc p )
p
ωz
p
avec ω z =
ωβ
gm
1
et ω β =
Cbc
rbe (Cbe + Cbc )
( ω β << ω z )
La fréquence de transition ft est la fréquence à laquelle le gain en courant en court-circuit d’un
émetteur commun a une amplitude unité :
β (p ) ≅
β0
1+
p
ωβ
pour ω ≤ ωt
⇒
β ( jωt ) ≅
β0
⎛ω
1+ ⎜ t
⎜ ωβ
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
2
⇒ 1 ≅ β0
ωβ
ωt
car
ω β << ωt
soit 1⋅ ft ≅ β 0 f β (produit gain en courant x fréquence de coupure haute constant pour un système
passe-bas du premier ordre), d’où l’expression de la capacité de diffusion :
g
Cbe ≅ m − Cbc ( β , ft , Cbc données constructeur).
2π ft
Sylvain Géronimi
Page 342
Annexes
Méthode de travail pour la caractérisation linéaire d’un étage différentiel
Cette méthode de travail est valable pour un étage différentiel à structure symétrique (charges
identiques). Si les charges sont différentes (résistances ou miroir de courant), la méthode reste
valable à condition que les transistors attaquent les charges en courant ( rce = ∞ ).
Les sources de tension à l’entrée de l’étage se décomposent chacune en deux sources mises en
série, faisant apparaître des composantes propres à un régime différentiel et à un régime de mode
v
v − v 2 v1 + v 2 v d
v − v 2 v1 + v 2
+
=
+ vc , v2 = − 1
+
= − d + vc .
commun : v 1 = 1
2
2
2
2
2
2
Le circuit étant linéaire, ces deux régimes sont étudiés séparément par application du théorème de
superposition en effectuant deux étapes :
c l’étude du régime différentiel issu d’une attaque symétrique ( ± v d 2 ), les sources de mode
commun étant éteintes ( v c = 0 ), permettant de caractériser les performances Ad , Zd , Zs ,
d l’étude du régime de mode commun issu d’une attaque parallèle ( +v c ), les sources différentielles
étant éteintes ( v d = 0 ), permettant de caractériser les performances Ac , Zc .
( Exemple d’un amplificateur différentiel classique (résistances de charge identiques)
vs1
RC
RC
+
Q1
Q2
+
ie1+ ie2
vs2
ib1
ib2
+
- vd /2
vd /2
+
vc
vc
z0
Les transistors Q1 , Q2 étant supposés technologiquement identiques, les courants d’entrées se
retrouvent, à une même proportionnalité près, sommés dans la résistance commune d’émetteur
z0 . Si les courants sont issus d’une attaque en tension symétrique ( i b1 = −i b2 ), il ne passe aucun
courant dans z0 et les émetteurs des transistors sont à la masse. Si les courants sont issus d’une
attaque en tension parallèle ( i b1 = i b2 ), le courant dans z0 est égal à 2 i e , en posant i e1 = i e2 = i e ,
et la résistance vue par le courant d’émetteur de Q1 ou Q2 est 2 z0 .
Cela fait apparaître deux demi-schémas dans chacun des régimes.
vs1
RC
RC
Q1
Q2
ib1
+
vd /2
vs1
vs2
ib2
+
+
- vd /2
RC
RC
Q1
Q2
Page 343
+
vc
vc
2 z0
Sylvain Géronimi
vs2
2 z0
Annexes
De façon générale, pour chacune des études, le choix du demi-schéma s’imposera selon la sortie
envisagée (sortie vers l’étage suivant par exemple). Dans le cas présent où les charges de
collecteurs sont égales, il n’apparaît qu’une différence dans les performances, à savoir le signe du
gain en tension sur le schéma de gauche.
La représentation de l’amplificateur dans son régime purement différentiel est une source de
tension contrôlée par la tension différentielle appliquée sur la branche contrôlante supportant Z d .
(+)
B1
Zs
Zd
vd
v’s
Rch
Ad v d
(-)
B2
De même, la représentation de l’amplificateur dans son régime de mode commun est une source
de tension contrôlée par la tension de mode commun appliquée sur la branche contrôlante
supportant Z c , schéma vu des bases de Q1 ou Q2 .
B1 ou B2
Zs
vc
Zc
v’’s
Rch
Ac v c
Méthode de travail pour la caractérisation linéaire d’un circuit complexe
Dans le cadre d’étude en régime dynamique (faibles signaux), la méthode consiste à découper le
circuit en étages élémentaires. Pour chaque étage en cascade, le dipôle de sortie, représenté par son
schéma équivalent de Thévenin ou Norton à vide, est à l’image d’un générateur d’attaque pour l’étage
suivant et ainsi de suite.
Deux étapes sont nécessaires :
c La première étape permet l’évaluation du transfert en tension à vide, ou du courant de court-circuit
selon le cas, et la résistance de sortie du circuit, fournissant ainsi un dipôle équivalent sous la
forme Thévenin ou Norton. La procédure commence par l’obtention du dipôle équivalent relatif au
premier étage attaqué par l’équivalent de Thévenin ou Norton, l’étage suivant étant non connecté.
Le dipôle obtenu attaque l’étage suivant dans les mêmes conditions de charge et la procédure se
poursuit jusqu’au dernier étage non chargé.
d La deuxième étape permet l’évaluation de la résistance d’entrée du circuit. La procédure de calcul
considère le dernier étage chargé dont on évalue la résistance d’entrée (résistance de Thévenin
ou Norton du dipôle). La résistance obtenue servira de charge pour l’étage précédent dont on
évalue la résistance d’entrée et la procédure se poursuit jusqu’au premier étage.
Ainsi, la résistance d’entrée du premier étage est la résistance d’entrée du circuit, la résistance de
sortie du dernier étage est la résistance de sortie du circuit non chargé et le transfert à vide ou en
court-circuit en sortie du montage est le produit des gains élémentaires puisque l’atténuation interétages a été prise en compte par la présence de la résistance du dipôle d’attaque.
Sylvain Géronimi
Page 344
Annexes
( Exemple d’un amplificateur de tension à cinq étages en cascade
RG
vg
Zs5
Zs2
Zs1
ve
Ze1
vs
Ze5
Ze2
vs1 =
A1 vg
vs2 =
A2 vs1
Rch
vs5 =
A5 vs4
Le circuit d’attaque est représenté sous la forme d’un dipôle de Thévenin ( RG , v g ) et la résistance
Rch est la charge terminale.
Nous aboutissons au schéma suivant produisant une résistance d’entrée fermant la maille du
circuit d’attaque et un dipôle de Thévenin branché sur la charge.
RG
Zs5
Ze1
ve
vg
vs
Rch
vs5 =
A0 vg
Les impédances d’entrée et de sortie de l’amplificateur sont respectivement Z e = Z e1 et Z s = Z s5 .
Le gain en tension est A 0 =
v s5
vg
5
=
∏A
i
à vide et v s = A 0 v g
i =1
Rch
en charge.
Rch + Z s
La représentation d’un amplificateur à transfert quelconque (tension, courant, résistance de transfert,
conductance de transfert) fait apparaître un modèle utilisant une source contrôlée de tension ou de
courant, associée à une branche contrôlante supportant une impédance.
( Exemple de l’amplificateur de tension précédent
Dans ce cas, la source liée de tension est commandée par v e , tension aux bornes de la branche
contrôlante supportant la résistance d’entrée Z e du quadripôle.
RG
Zs
ve
Ze
vs
Rch
vg
Av ve
Le transfert en tension doit être calculé à nouveau en tenant compte du pont résistif en entrée.
A0 v g = A0
Sylvain Géronimi
⎛ R
Z e + RG
v e ⇒ A v = A 0 ⎜⎜1 + G
Ze
Ze
⎝
⎞
⎟ (non chargé)
⎟
⎠
Page 345
Annexes
Méthode de travail pour la réponse en fréquence (approximation du pôle
dominant)
La méthode, dite par « approximation du pôle dominant » proposée ici, permet une détermination plus
directe de la bande passante d’un amplificateur à large bande dans le cadre d’une étude en régime
dynamique aux faibles signaux. La stabilité du système peut aussi être discutée dans le cadre de la
réponse aux fréquences hautes (marge de phase).
Considérons un circuit linéaire constitué de résistances, de condensateurs et de sources liées. Le
nombre de pôles de la fonction de transfert associée au circuit égale le nombre de condensateurs
indépendants (ordre du système). Dans le cas d’une fonction de transfert à pôles réels, celle-ci s’écrit
pour un ordre n :
N( p)
N( p)
H (p ) = H 0
= H0
⎛
1 + a1p + a2 p 2 + a3 p 3 + ...
p ⎞⎛
p ⎞⎛
p ⎞
⎟⎟ ...
⎜⎜1 +
⎟⎟⎜⎜1 +
⎟⎟⎜⎜1 +
⎝ ω1 ⎠⎝ ω2 ⎠⎝ ω3 ⎠
avec a1 =
1
ω1
+
1
ω2
+ ... , a2 =
1
ω1ω2
+
1
ω1ω3
+
1
ω2ω3
+ ... , etc et N (p ) polynôme d’ordre ≤ n.
Nous ne nous intéressons qu’aux coefficients a1 et a2 en vue de l’application de la méthode dite de
l’ « approximation du pôle dominant » détaillée plus bas. La forme analytique ci-dessus montre que
ces coefficients sont égaux respectivement à une somme et à un produit de constantes de temps qui
peuvent s’écrire de la manière suivante :
k
a1 =
∑R C
0
i
i
: somme de toutes les constantes de temps à vide du circuit, avec k le nombre de tous
i =1
les condensateurs du schéma et Ri0 la résistance vue par Ci à fréquence nulle. La notation adoptée
pour les résistances Ri0 est la suivante : l’indice donne la référence de la capacité Ci aux bornes de
laquelle la résistance est calculée et l’exposant indique que le calcul est effectué à fréquence nulle,
tous autres les condensateurs étant assimilés à des circuits ouverts.
a2 =
∑R C ⋅ R C
0
i
i
i
j
j
avec Ri0Ci ⋅ R ij C j = R 0j C j ⋅ Rij Ci : somme pour toutes les paires possibles de
capacités avec R ij la résistance vue par C j lorsque Ci est court-circuitée, les autres condensateurs
étant assimilés à des circuits ouverts. La notation adoptée pour les résistances R ij est la suivante :
l’indice donne la référence de la capacité C j aux bornes de laquelle la résistance est calculée et
l’exposant indique que le calcul est effectué à fréquence nulle, tous les autres condensateurs étant
assimilés à des circuits ouverts à l’exception du condensateur C j assimilé à un court-circuit. Quant au
choix de la constante de temps à vide R 0j C j ou en court-circuit R ij C j , il résulte de la topologie du
circuit présentant le calcul le plus commode.
Notons enfin que les expressions analytiques de ces coefficients correspondent exactement à celles
obtenues par la méthode traditionnelle de mise en équations. Ainsi, l’écriture d’une fonction de
transfert du second ordre est plus rapide par cette méthode des constantes de temps.
Approximation du pôle dominant
Hypothèse : la fonction de transfert est supposée à pôles réels et présente une pulsation ω1 , issue du
pôle provoquant la coupure à – 3 dB, nettement éloignée des pulsations issues des autres pôles et
zéros.
( Exemple d’un système passe-bas du second ordre (réponse aux fréquences hautes)
Sylvain Géronimi
Page 346
Annexes
La fonction de transfert est de la forme
H0
H0
1
1
H (p ) =
=
avec a1 =
+
2
1
a
p
a
p
+
+
ω
ω
⎛
p ⎞⎛
p ⎞
1
2
1
2
⎜⎜1 +
⎟⎟⎜⎜1 +
⎟⎟
ω
ω
1 ⎠⎝
2 ⎠
⎝
1
⎧
⎪a1 = ω (1 + ε )
ω
⎪
1
Posons ε = 1 ⇒ ⎨
, si ω1 << ω 2 (ε << 1) ⇒
ω2
a1
⎪a =
⎪⎩ 2 ω2 (1 + ε )
et a2 =
1
ω1ω 2
.
1
⎧
⎪ω1 ≅ a
⎪
1
.
⎨
a
⎪ω ≅ 1
⎪⎩ 2 a2
Notons que l’hypothèse ω1 << ω 2 sous-estime la valeur du pôle dominant ω1 et surestime la
valeur de ω2 . L’approximation sera d’autant plus précise que ω1 est distant des autres pôles et
zéros (les zéros étant au-delà de deux décades du pôle dominant).
Dans le cas présent où le circuit présente deux condensateurs indépendants C1 et C2 , les
coefficients s’écrivent a1 = R10C1 + R20C2 et a2 = R10C1 R21C2 = R12C1 R20C2 .
f1 ≅
1
2π (R10C1 + R20C2 )
( fh ≅ f1 ) et f2 ≅
1 R10C1 + R 20C2
1 R10C1 + R20C2
1
1
=
=
+
.
0
1
2
0
1
2π R1 C1R2C2
2π R1 C1R2 C2
2π R2C2 2π R12C1
L’inverse de la fréquence de coupure haute fh à 3 dB est approché par la somme des inverses
des fréquences de coupure produites par chaque capacité, les autres étant assimilées à un circuit
ouvert.
( Exemple d’un système passe-haut du second ordre (réponse aux fréquences basses)
La fonction de transfert est de la forme
⎛
⎛
p ⎞ p
p ⎞ p
⎟⎟
⎜⎜1 +
⎟⎟
⎜⎜1 +
ω
ω
ω
1
1
1
3 ⎠ 4
3 ⎠ ω4
⎝
⎝
H (p ) = H 0
avec a1 =
+
, a2 =
, ω1ω 2 = ω 3ω 4 .
= H0
1 + a1p + a2 p 2
ω1 ω 2
ω1ω2
⎛
p ⎞⎛
p ⎞
⎜⎜1 +
⎟⎜1 +
⎟
ω1 ⎟⎠⎜⎝ ω 2 ⎟⎠
⎝
a
1
(sous-estimé)
si ω1 >> ω2 ⇒ ω1 ≅ 1 (surestimé), ω2 ≅
a2
a1
Nous obtenons les expressions duales du cas précédent :
1 R10C1 + R20C2
1
1
1
=
+
( fb ≅ f1 ) et f2 ≅
f1 ≅
0
0
1
1
2
2π R1 C1R2C2
2π (R1 C1 + R20C2 )
2π R2C2 2π R1 C1
La fréquence de coupure basse fb à 3 dB est approchée par la somme des fréquences de
coupure associées à chaque condensateur, l’autre étant assimilé à un court-circuit. En
généralisant à plus de deux condensateurs, nous pouvons écrire l’équation suivante :
n
fb ≅
∑ 2π R
i =1
1
∞
i Ci
n
=
∑f
i =1
bi
où Ri∞ est la résistance vue par Ci lorsque les autres condensateurs sont court-circuités (calcul
effectué à fréquence infinie). La fréquence de coupure à 3 dB est approchée par simple addition
des fréquences de coupure à 3 dB produites indépendamment par chaque condensateur du
circuit.
Sylvain Géronimi
Page 347
Annexes
Transformation de schéma par application du théorème de Miller
Le théorème de Miller s’applique sur une topologie très spécifique reconnaissable par une impédance
branchée entre l’entrée et la sortie d’un amplificateur attaqué en tension. L’application du théorème
transforme le schéma original en un schéma plus simple à traiter analytiquement grâce à la disparition
de la contre-réaction. La mise en équations du circuit sera alors plus directe pour le calcul du transfert
et de l’impédance d’entrée du circuit considéré.
Z
i
i
Amplificateur
ve
vs
ve
Z1
i
Amplificateur
Z2
vs
⎧Ve ( p ) − Vs ( p ) = Z ( p ) I ( p )
V ( p)
Z( p)
⎪
=
Ve ( p ) 1 − a v ( p ) = Z ( p ) I ( p ) ⇒ Z1( p ) = e
Vs ( p )
⎨
=
(
)
a
p
I
(
p
)
1
−
a v ( p)
v
⎪
Ve ( p )
⎩
[
]
⎡
V ( p)
Z( p)
1 ⎤
=
− Vs ( p ) ⎢1 −
⎥ = Z( p) I( p) ⇒ Z2 ( p) = s
1
a
(
p
)
I
(
p
)
−
v
⎦⎥
⎣⎢
1−
a v ( p)
L’attaque en tension ne peut correspondre qu’à un amplificateur de tension ou un amplificateur à
admittance de transfert.
Si l’amplificateur est caractérisé par ses paramètres d’admittance de transfert ( Z e , Z s , Yt ), nous
obtenons (en allégeant la notation de Laplace ne faisant pas apparaître le terme (p) des variables) :
ve
Z1
Ze
Zs
Z2
vs
Yt ve
av =
Vs = − Yt Ve
Zs Z2
Zs + Z 2
Vs
Zs Z
− Yt Z s Z + Z s
Zs
Z
Z
= − Yt
⇒ av =
et Z1 =
=
+
−
Y
Z
Z
+
Z
Ve
1
+
Y
Z
1
+
Yt Z s
Z
+
Z
⎛
⎞
t s
s
t s
s
1−
⎜1 − 1 ⎟ Z s + Z
Z
+
Z
⎜ av ⎟
s
⎝
⎠
L’impédance ramenée à l’entrée est l’association en série de deux impédances. Il est important de
constater que Z 2 , impédance de la branche ramenée en sortie, n’a d’utilité que pour définir le
transfert en tension a v . Le schéma transformé par le théorème de Miller ne conduit donc qu’aux
expressions du transfert en tension a v et de l’impédance d’entrée Z1 // Z e . L’impédance de sortie du
circuit ne peut être calculée qu’à partir du circuit original.
( Exemple d’un émetteur commun en H.F.
Identification : Z =
Sylvain Géronimi
1
1
, Yt = g m , Z s = rce // RC ≅ RC et Z e = rbe //
C bc p
Cbe p
Page 348
Annexes
Cbc
ve
rbe
rce
RC
Cbe
vs
gm ve
En régime sinusoïdal ( p = jω ),
ω
ω2
g
1
a v ( jω ) = − g m RC
avec ω1 =
(pôle), ω2 = m (zéro) et ω1 < ω2
ω
RC C bc
Cbc
1+ j
ω1
1− j
d’où Z1 ( jω ) =
RC
1
, association série d’une capacité C1 = Cbc (1 + g m RC ) et
+
jωCbc (1 + g m RC ) 1 + g m RC
d’une résistance R1 =
RC
, branche en parallèle sur Z e ( jω ) .
1 + g m RC
Pour des fréquences telles que f < f1 , a v = − g m RC (gain réel) et Z1 ( jω ) ≅
dire que la capacité C1 = Cbc (1 + g m RC ) est uniquement ramenée en entrée.
1
, c’est-àjωCbc (1 + g m RC )
Si l’amplificateur est caractérisé par ses paramètres de tension ( Z e , Z s , A v ), nous obtenons
ve
Z1
Ze
Zs
Z2
Z2
avec A v = − Yt Z s
Zs + Z 2
(transformation Thévenin/Norton).
Vs = A v Ve
vs
A v ve
Cette même expression de départ conduit évidemment aux mêmes résultats qui s’écrivent
Av Z + Zs
Z + Zs
et Z1 =
.
av =
1 − Av
Zs + Z
Ce dernier cas est plus explicite puisqu’il montre que l’impédance ramenée en entrée est l’impédance
de sortie Z s du quadripôle en série avec Z, divisée chacune par le terme ( 1 − A v ) où A v est le gain
en tension à vide du quadripôle non contre-réactionné.
( Exemple d’un amplificateur différentiel de tension
R
ve
+
vs
Identification : Z = R , A v = − Ad , Z s = Rs avec Rs << R et Ad >> 1
av =
R + Rs
− Ad R + Rs
R
R
R
≅ − Ad , R1 =
et faible résistance d’entrée
≅
// Rd ≅
Rs + R
1+ Ad
Ad
Ad
Ad
Sylvain Géronimi
Page 349
Annexes
Ouvrages spécialisés
« Microélectronique », Tome 3 et 4, par J. Millman et A. Grabel (Mc Graw-Hill)
« Principes et pratique de l’électronique », Tome 1, par F. de Dieuleveult et H. Fanet (Dunod)
« Composants actifs discrets », Tomes 1 et 2, par M. Girard (Mc Graw-Hill)
« Amplificateurs opérationnels », Tomes 1 et 2, par M. Girard (Mc Graw-Hill)
« Amplificateurs de puissance », par M. Girard (Mc Graw-Hill)
« Filtres actifs », par P. Bildstein (Editions Radio)
Principaux symboles utilisés
Av
gain d’un amplificateur de tension
Ai
gain d’un amplificateur de courant
Zt
gain d’un amplificateur à résistance (impédance) de transfert
Yt
gain d’un amplificateur à conductance (admittance) de transfert
Ze
résistance (impédance) d’entrée d’un amplificateur
Zs
résistance (impédance) de sortie d’un amplificateur
ζ
τ
ωn
ωc
ω rip
coefficient d’amortissement
constante de temps de filtre
pulsation naturelle (pulsation propre non amortie)
pulsation de coupure à – 3 dB
pulsation définissant la bande d’ondulation d’un filtre passe-bas
B(p )
G(p )
H (p )
fonction de transfert de la chaîne de retour
fonction de transfert de la chaîne directe
fonction de transfert en boucle fermée
RG
v G (t ) , i G (t )
v E (t ) , i E (t )
v S (t ) , i S (t )
résistance de générateur
tension, courant du générateur
tension , courant d’entrée du montage
tension, courant de sortie du montage
Notations de variables
Superposition des régimes continu et dynamique aux faibles signaux :
i E (t ) = I E 0 + i e (t ) ,
v E (t ) = VE0 + v e (t ) , …. avec I E0 , VE0 , … valeurs des variables en régime continu (polarisation),
i e (t ), v e (t ) , … variations (faibles signaux) des variables en régime dynamique.
Etude du régime pseudo-continu : I E , VE , VD , … variations non linéaires des variables en régime
continu (forts signaux)
Etude fréquentielle dans le plan de Bode ( p = jω ) : I E ( p ), VE ( p ) , …
complexes et G( p ), B( p ), H ( p ) fonctions de transfert.
Sylvain Géronimi
Page 350
Z1( p ), Y1( p ) , … variables
Annexes

Problèmes et corrigés

Transcription

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