Transparents du cours temps-fréquence - CREATIS

Analyse temps fréquence
des signaux
P. DELACHARTRE
D. VRAY
CREATIS
INSA-LYON
Plan
I - SIGNAL ANALYTIQUE FREQUENCE INSTANTANEE
• GRANDEURS LOCALES : AMPLITUDE ET FREQUENCE
INSTANTANEES
• TRANSFORMEE DE HILBERT
• SIGNAL ANALYTIQUE
• REPRESENTATION D’UN SIGNAL PAR SON ENVELOPPE ET SA
PHASE
• EXEMPLES
II - TRANSFORMEE DE FOURIER A COURT TERME ET
SPECTROGRAMME
•
•
•
•
LE PLAN TEMPS-FREQUENCE
REPRESENTATIONS TEMPS-FREQUENCE LINEAIRES
REPRESENTATIONS TEMPS-FREQUENCE BILINEAIRES
EXEMPLES
2
Exemple introductif
• Signal 1 : somme de deux sinus f1=0,1 et f2=0,2
• Signal 2 : sinus avec rupture de fréquence f1=0,1 et
f2=0,2
SIGNAL 1
SIGNAL 2
TEMPS
FREQUENCE
3
Introduction
Espace de représentation
Evolution temporelle
Regarder sous un autre angle
Choix de l'espace de représentation Signaux stationnaires
décision
la détection
l'estimation
la classification
la reconnaissance
analyse spectrale
Signaux non-stationnaires ou localement stationnaires domaine temporel ------------- domaine fréquentiel
méthodes temps-fréquence
4
Classification des méthodes temps fréquence
• Représentations linéaires
– Transformée de Fourier à court terme
– Décomposition de Gabor
– Transformées en ondelettes
• Représentations quadratiques
– Spectrogramme
– Fonction d’ambiguïté
– Distribution de Wigner-Ville
5
Autre classification des
méthodes temps fréquence
• Méthodes instantanées
– Notion d’amplitude et de fréquence instantanées
– Signal analytique
• Méthodes glissantes
– Issues de l’analyse de Fourier
– Transformée de Fourier à court terme
• Méthodes conjointes
– Aucune hypothèse concernant la stationarité
– Transformation de Wigner-Ville
6
Grandeurs locales : amplitude et
fréquence instantanées
• Notion de « spectre instantané » ou de fréquence localisée
dans le temps
• Exemple de la portée en musique
– Le temps est indiqué horizontalement
– La fréquence est indiquée verticalement
• Toutefois, l’axe des temps et des fréquences ont une
résolution fixée
• Analogie limitée :
– Dans le cas de la portée musicale, il s’agit de synthèse :
• RTF Production du signal sonore
– Analyse :
• Signal RTF
7
Signal analytique et transformée de Hilbert
pour un signal monochromatique
• Signal réel :
[
]
x ( t ) = a cos 2πf 0 t = Re ae j2πf 0 t = Re[z x ( t )]
– Amplitude de x(t) – Fréquence de x(t) module de zx(t)
dérivée de la phase de zx (t)
• Signal analytique :
z x ( t ) = ae j2πf 0 t = a cos 2πf 0 t + ja sin 2πf 0 t
∨
z x (t ) = x (t) + j x (t )
• Partie réelle et imaginaire sont en quadrature (déphasée de π/2)
• Transformée de Fourier :
∨
Z x (f ) = X(f ) + j X (f ) = aδ (f − f 0 )
• Spectre unilatéral
a
f0
8
Signal analytique et transformée de Hilbert
pour un signal monochromatique (suite)
• Remarque :
a
[δ (f + f 0 ) + δ (f − f 0 )] et
2
∨
ja
X(f ) = [δ (f + f 0 ) − δ (f − f 0 )] = − jsgn (f )X(f )
2
X (f ) =
Z x (f ) = X (f ) + j( − jsgn (f ))X (f ) = 2 U (f )X (f )
Sgn(f)
+1
+1
+2
=
+
f
-1
U(f) : échelon de Heaviside.
Le filtrage linéaire de gain complexe –j sgn(f) transforme la⌣partie réelle en
partie imaginaire de zx(t) et réciproquement X(f) = jsgn(f)X(f)
(
)
Transformée de Hilbert
⌣
x(t) = H {x(t )}
9
Exemple d’une onde monochromatique
x ( t ) = A cos 2πf 0 t = Re{ Ae j2 πf
0t
}
a) signal cosinus
b) TF du signal cosinus (reelle)
amplitude
amplitude
1
0
-1
0
10
20
20
0
-20
-40
-0.5
30
0
0.5
frequence reduite
d) TF du signal sinus (imaginaire)
temps
c) signal sinus
amplitude
amplitude
1
0
-1
0
10
20
20
0
-20
-40
-0.5
30
0
0.5
frequence reduite
f) TF de l'exponentielle complexe
amplitude
amplitude
temps
e) exponentielle complexe (reel et imag)
1
0
-1
0
10
20
temps
30
20
0
-20
-40
-0.5
0
frequence reduite
0.5
10
Extension à d’autres types de signaux
• On peut associer à tout signal réel x(t) le signal
analytique (complexe) correspondant :
z x (t) = x(t) + jH{x(t)}
• H désigne la transformée de Hilbert. Par
référence au cas monochromatique, on peut
définir une amplitude instantanée (enveloppe)
et une fréquence instantanée f x ( t ) :
1 d (arg z x )
(t )
rx ( t ) = z x ( t ) et f x ( t ) =
2π
dt
• En fréquence la TF du signal analytique est la
forme unilatérale de celle du signal réel :
rx ( t )
Z x (f ) = X(f ) + j(− jsgn (f ))X(f ) = 2U(f )X(f )
11
Transformée de Hilbert
∨
La TH associe à un signal x(t), le signal x ( t ) défini par :
∞
1 ∞ x (τ)
x(t) = ∫
dτ = ∫ g ( t − τ) x (τ)dτ = g ( t ) * x ( t )
π −∞ t − τ
−∞
∨
C'est une opération de filtrage du signal x(t) par un système
1
linéaire de réponse impulsionnelle g(t) =
∨
πt
∨
1


X (f ) = Fx ( t )  = F  * F{x ( t )} = − jsgn (f ) X (f )


 πt 
Signal analytique :
∨
z x (t ) = x(t ) + j x (t )
On a donc bien∨:
Z x (f ) = X(f ) + j X(f ) = (1 + jsgn (f ))X(f ) = 2 U (f )X(f )
Le signal analytique ne possède pas de fréquences négatives
12
Propriétés de la transformée de Hilbert
• Linéarité
– La transformée de Hilbert est une opération linéaire puisque
définit comme un produit de convolution
• Produit de convolution
∨
∨
∨
z ( t ) = x ( t ) * y ( t ) = x ( t ) * y( t )
• Déphasage
∨
et
∨
x ( t ) * y( t ) = − x ( t ) * y( t )
∨
– Les signaux x ( t ) et x ( t ) sont en quadratures et
∨
X (f ) = − jsgn (f )X (f ) donne :
∨
∨
X(f ) = X(f ) et Arg[X (f )] = Arg[X (f )] −
π
sgn (f )
2
La TH se comporte donc comme un déphaseur pur de ±π/2
±π
13
Représentation d’un signal
par son enveloppe et sa phase
Signal analytique associé à x(t) :
z x ( t ) = rx ( t ) exp[ jΦ x ( t )]
Et donc naturellement :
Re[z x ( t )] = rx ( t ) cos[Φ x ( t )]
Hypothèses, limitations
spectre de rx(t) basse fréquence et spectre de cos[Φ x ( t )] haute fréquence et
disjoint
signaux bande étroite à faible modulation
Enveloppe : rx ( t ) = z x ( t )
Phase instantanée : Φ x ( t ) = arg[z x ( t )]
1 dΦ x ( t )
Fréquence instantanée : f x ( t ) =
2π dt
1 d arg[Z x (f )]
t
(
f
)
=
−
Retard de groupe : x
2π
df
14
Exemple d’un signal sinusoïdal
x ( t ) = A sin(2πf 0 t )
Signal analytique :
z x ( t ) = A[sin(2πf 0 t ) + j sin(2πf 0 t − π / 2)]
z x ( t ) = A[sin(2πf 0 t ) − j cos(2πf 0 t )]
z x ( t ) = A exp( j2πf 0 t ) exp(− jπ / 2)
Enveloppe :
rx ( t ) = z x ( t ) = A
Phase instantanée :
Φ x ( t ) = arg[z x ( t )] = 2πf 0 t − π / 2
Fréquence instantanée :
1 dΦ x ( t )
f x (t) =
= f0
2π dt
fx
f0
t
15
Exemple d’un signal sinusoïdal
x ( t ) = A sin(2πf 0 t )
signal sinusoidal reel, f=0.05
module de la TF du signal reel
200
amplitude
amplitude
1
0
-1
0
100
100
0
-0.5
200
0
-1
0
1
0.5
100
0
0
200
phase instantanee deroulee
200
0.1
frequence
phase
100
frequence instantanee
100
50
0
0
0.5
enveloppe du signal reel
amplitude
amplitude
partie reelle et imaginaire du signal analytique
1
0
0.05
100
200
0
0
100
200
16
Exemple d’un signal module
linéairement en fréquence
B
t ]t )
2T
B
Signal analytique : z x (t ) = A exp( j2π [f 0 + t ]t ) exp(− jπ / 2)
2T
Enveloppe : rx ( t ) = z x ( t ) = A
x ( t ) = A sin(2π [f 0 +
B
Phase instantanée : Φ x ( t ) = arg[z x ( t )] = 2π (f 0 + t ) t − π / 2
2T
Fréquence instantanée : f x ( t ) = 1 dΦ x ( t ) = f 0 + B t
2π dt
T
fx
f0+B
f0
0
T
t
Loi de modulation linéaire
17
Exemple d’un signal module
linéairement en fréquence
B
x ( t ) = A sin(2π [f 0 +
t ]t )
2T
amplitude
amplitude
signal reel modulation linéaire de fréquence, f0=0.1, a=0.0025
1
10
0
-1
0
20
40
5
0
-0.5
60
0
-1
0
20
40
0.5
1
0.5
0
0
60
phase instantanee deroulee
20
40
60
frequence instantanee
0.4
frequence
100
50
0
0
0
enveloppe du signal reel
amplitude
amplitude
partie reelle et imaginaire du signal analytique
1
phase
TF du signal reel
20
40
60
0.2
0
0
18
20
40
60
Exemple d’un signal module linéairement en
fréquence : Comparaison
B
x ( t ) = A sin(2π [f 0 +
t ]t )
2T
SIGNAL 1 : Signal analytique théorique
B
z x ( t ) = exp( j2π [f 0 +
t ]t ) exp(− jπ / 2)
2T
SIGNAL 2 : Signal analytique calculé par TH
B
B


z x ( t ) = sin(2π [f 0 +
t ]t ) + jHsin(2π [f 0 +
t ]t )
2T
2T


19
Exemple d’un signal module linéairement en
fréquence : Comparaison (suite)
Re[z x ( t )], Im[z x ( t )]
fx(t)
SIGNAL 1
SIGNAL 2
20
Exemple d’un signal expérimental
• Les signaux expérimentaux sont des signaux ultrasonores.
Une onde ultrasonore est émise en direction de cibles en
mouvement dans un liquide. Les ondes réfléchies par les
cibles sont sensibles à la vitesse de ces cibles à cause de
l’effet Doppler. L’effet Doppler provoque un changement de
la fréquence de l’onde émise. Les signaux analysés ici sont
démodulés par la fréquence de l’onde émise, ainsi, la
fréquence du signal est directement proportionnelle à la
vitesse de la cible. Les signaux présentés ici permettent de
connaître la vitesse de bulles microscopiques (diamètre de
quelques microns) qui se déplacent vers la surface d’un
liquide.
• L’onde ultrasonore est à la fréquence de 2 MHz. Après
démodulation, le signal Doppler est échantillonné à la
fréquence de 500 Hz.
21
Exemple d’un signal expérimental (suite)
2 v cos θ
fd =
f0
c
f0 = 2 MHz
c =1540 m/s
θ = 45°
Exemple :
fd = 65 Hz
cf d
v=
= 0.035m / s
2f 0 cos θ
22
Exemple d’un signal expérimental (suite)
fd = 65 Hz
23
Limitations : Exemple 1
x ( t ) = exp( j2πf1t ) + exp( j2πf 2 t )
f 2 = f1 + ∆f
x ( t ) = exp( j2πf1t )(1 + exp( j2π∆ft ) )
x ( t ) = 2 exp( j2πf1t ) exp( jπ∆ft ) cos(π∆ft )
Enveloppe :
rx ( t ) = x ( t ) = 2
Phase instantanée : Φ x ( t ) = arg[x ( t )] = 2π (f1 +
∆f
) t + arg[cos(π∆ft )]
2
1 dΦ x ( t )
∆f f 1 + f 2
= f1 +
=
Fréquence instantanée : f x ( t ) =
2π dt
2
2
fx
f2
(f1+f2)/2
f1
t
24
Limitations : Exemple 1 (suite)
x ( t ) = exp( j2πf1t ) + exp( j2πf 2 t )
0
-1
0
module de la TF du signal reel
100
amplitude
amplitude
signal sinusoidal reel, f0=0.07, f1=0.02
1
100
50
0
-0.5
200
0
-1
0
1
0.5
100
0
0
200
phase instantanee deroulee
100
200
frequence instantanee
0.2
frequence
phase
100
50
0
0
0.5
enveloppe du signal reel
amplitude
amplitude
partie reelle et imaginaire du signal analytique
1
0
0.1
100
200
0
0
100
200
25
Limitations : Exemple 2
x ( t ) = δ ( t − t1 ) + δ ( t − t 2 )
X (f ) = exp( − j2πft1 ) + exp( − j2πft 2 )
t 2 = t 1 + ∆t
X (f ) = exp( − j2πft1 )(1 + exp( − j2πf∆t ) )
X (f ) = 2 exp( − j2πft1 ) exp( − jπf∆t ) cos(πf∆t )
∆t
Phase : arg[X (f )] = −2πf ( t 1 + ) + arg[cos(πf∆t )]
2
1 d arg[X (f )]
∆t t1 + t 2
Retard de groupe : t x (f ) = −
= t1 +
=
2π
df
2
2
tx
t2
(t1+t2)/2
t1
f
26
Représentation temps-fréquence
• Vers une représentation temps-fréquence RTF
Tx ( t , f )
• Représentation schématique de ce qui est souhaitable
f
f
δ(t-t0)
f0
exp(j2πf0t)
t
t
t0
f
f
Exp(j2πt²α/2)
exp(-αt²)
α
t
t
27
Le plan temps-fréquence
• Domaine temporel ------------ domaine fréquentiel
• Dans le spectre : information délocalisée en temps
• Signal à durée limitée et signal à bande limitée
•
Inégalité d'Heisenberg-Gabor :
1
∆t . ∆f ≥
4π
• Pour une gaussienne
BT ≥1/2
28
Analyse temps-fréquence
SIGNAL
1 - Les méthodes :
Méthodes temps-fréquence
IMAGE TEMPS-FREQUENCE
2 - Quoi extraire ?
Traitement d’images, pré-traitement,
Segmentation
IMAGE TEMPS-FREQUENCE EPUREE
3 - Comment paramétrer ?
Reconnaissance de formes, codage,
modélisation
DESCRIPTEURS
4 - Quelle décision ?
DECISION
Classification, identification
29
Représentations temps-fréquence linéaires
• Décomposition du signal sur une famille de signaux
élémentaires
– Transformée de Fourier à court terme
– Décomposition de Gabor
– Transformée en ondelettes
• Propriété de linéarité
x(t ) = c1x1 (t ) + c2 x2 (t )
⇒
Tx (t , f ) = c1Tx (t , f ) + c2Tx (t , f )
1
2
30
Transformée de Fourier à Court Terme (TFCT)
• TFCT du signal x(t) définie par :
+∞
TFCTx(t,f;h)= ∫ x(τ)h*(τ−t)e − j2πfτdτ
−∞
• Interprétation :
x t(τ)=x(τ)h*(τ−t)
+∞
TFCTx(t,f;h)=Xt(f)= ∫ x t(τ)e − j2πfτdτ
−∞
TF locale au voisinage de t.
• Autre définition :
+∞
− j2πft
X t(f)=X(f)⊗H*(−f)e
= ∫ X(ξ)H*(ξ−f)e j2π(ξ−f)tdξ
−∞
TFCTx(t,f;h)=e
− j2πtf
+∞
j2πξt
X
(
ξ
)
H
*
(
ξ
−
f
)
e dξ
∫
−∞
TFCT obtenue en filtrant x(t) par un filtre passebande de réponse fréquentielle H*(ξ
ξ-f) centré sur f
31
Transformée de Fourier à Court Terme (TFCT)
• Résolution en temps et en fréquence
x1(t)=δ(t−t0)
+∞
TFCTx 1 (t,f;h)= ∫ δ(τ−t0)h*(τ−t)e− j2πfτdτ=e− j2πt 0f h*(t0 −t)
−∞
f
h(t)
t0
t
32
Transformée de Fourier à Court Terme (TFCT)
x2(t)=e j2πf0t
+∞
TFCTx 2 (t,f;h)= ∫δ(ξ−f0)H*(ξ−f)e j2π(ξ−f)tdξ=e j2π(f0 −f)t H*(f0 −f)
−∞
f
f0
H(f)
t
Compromis entre résolution en temps et en fréquence
exprimé par l’inégalité d'Heisenberg-Gabor.
33
Décomposition de GABOR
Notion « d’atomes temps-fréquence »
Définition
+∞
+∞
x ( t ) = ∑ ∑ Gx n , k gnk ( t ) avec gnk ( t ) = g ( t − nT ) e j 2 πkFt
n =−∞ k =−∞
Gx n , k
: coefficients de Gabor
Les fonctions
g nk ( t ) sont appelées logon
Limitations : maillage rectangulaire
f
t
34
Transformée en ondelettes
Représentation temps-échelle continue :
+∞
Tx(t,a)= ∫ x(s)h*ta(s)ds avec h*ta(s)= 1 h(s−t )
a
−∞
a
Représentation Temps-Fréquence pour
a = f / f0
Pavage dyadique
Interprétation : filtres à Q-constant (Q = f0 / B)
f
t
35
Représentations temps-fréquence bilinéaires
Distribution d’énergie
+∞
+∞
• Energie de x(t) : Ex = ∫ x(t) dt= ∫ X(f) df
2
−∞
2
2
−∞
x ( t ) et X ( f ) 2 : densités d’énergie respectivement
temporelle et spectrale.
Rechercher une grandeur mixte Tx ( t ,
une densité conjointe telle que :
f)
qui sera
+∞+∞
Ex = ∫ ∫Tx(t,f)dtdf
−∞−∞
Le « spectre instantané » Tx ( t , f ) est censé
« déployer » l’énergie du signal
Deux contraintes naturelles :
+∞
∫Tx(t,f)dt= X(f) =Px(f) et
−∞
2
+∞
∫Tx(t,f)df = x(t) =px(t)
−∞
2
36
Représentations temps-fréquence bilinéaires
Principe de superposition quadratique
x(t ) = c1 x1 (t ) + c2 x2 (t ) ⇒ Tx (t , f ) = c1 Tx (t , f ) + c2 Tx (t , f ) + c1c2*Tx ,x (t , f ) + c2c1*Tx ,x (t , f )
2
2
1
2
1
2
2
1
Théorème de Wigner : Il n'existe pas de représentation
temps-fréquence qui soit à la fois bilinéaire, à
distributions marginales correctes, et partout non
négative.
37
Spectrogramme
Le Sonagraphe
Le principe peut être modélisé
ainsi :
2
+∞
Sx(t,f;h)= ∫ X(ξ)H*(ξ−f)e j2πξt dξ
−∞
Spectrogramme ou sonagramme donc aussi :
+∞
Sx(t,f;h)= ∫ x(τ)h*(τ−t)e− j2πfτdτ
2
−∞
non négatif et à valeur réelle
Choix de la fenêtre d’analyse
Le spectrogramme est le module carré de la TFCT
38
Effet de la longueur de la fenêtre
39
Distribution de Wigner-Ville (DWV)
Définition
+∞
τ *
τ − j2 πfτ
Wx , y ( t , f ) = ∫ x ( t + ) y ( t − )e
dτ
2
2
−∞
Propriétés
Structure des interférences
Soit : x ( t ) = x 1 ( t ) + x 2 ( t ) avec
et
x 1 ( t ) = x 0 ( t − t 1 )e j2 πf1t
x 2 ( t ) = x 0 ( t − t 2 )e j2 πf 2 t
Les termes d’interférences sont localisées autour
du temps t 12
t1 + t 2
f1 + f 2
=
et de la fréquence f12 =
2
2
40
Distribution de Wigner-Ville (DWV) (suite)
La fréquence des oscillations est f1 − f 2 dans la
direction du temps et la fréquence des oscillations
est t 1 − t 2 dans la direction de la fréquence
f
direction des
oscillations
Ix1,x2(t,f)
1/(f1-f2)
Wx2(t,f)
(t2,f2)
Wx1(t,f)
1/(t1-t2)
(t1,f1)
t
41
Distribution de Wigner-Ville (DWV) (suite)
42
Distribution de Wigner-Ville (DWV) (suite)
43
Fonction d’Ambiguïté (FA)
Définition
+∞
τ ∗
τ − j2 πξt
A x , y (τ, ξ) = ∫ x ( t + ) y ( t − )e
dt
2
2
−∞
+∞
ξ ∗
ξ − j2 πξτ
= ∫ X (f + ) Y ( f − )e
df
2
2
−∞
Fonction corrélative temps-fréquence
La DWV et la FA sont duales
A x , y (τ, ξ) =
+∞ +∞
∫
− j 2 π ( ξt − τf )
W
(
t
,
f
)
e
dtdf
∫ x,y
− ∞− ∞
Réduction des interférences
44
Lissage des distributions de Wigner-Ville
Classe des DWV lissées (classe de Cohen) :
Px ( t , f , Φ ) =
Ou
+∞ +∞ +∞
τ *
τ − j2 πfτ
j2 πξ ( s − t )
e
Φ
(
τ
,
ξ
)
x
(
s
+
)
x
(
s
−
)e
dξdsdτ
∫−∞ −∫∞ −∫∞
2
2
Px ( t , f , Φ ) = Wx ( t, f ) ∗ ∗ϕ( t , f )
ϕ( t , f ) est la fonction de lissage de la DWV
Caractérisation dans le domaine des corrélations
dualité domaine des corrélations et domaine des
distributions d’énergie :
Wx ( t , f , ϕ) = Wx ( t , f ) ∗ ∗ϕ( t , f )
վ 2D TF
վ 2D TF վ 2D TF
A x (τ, ξ, Φ ) = A x (τ, ξ) x Φ (τ, ξ)
45
Lissage des distributions de Wigner-Ville (suite)
La Distribution de Pseudo Wigner Ville (DPWV) est une WignerVille à court terme. On introduit une fenêtre temporelle h
d'observation τ = T
τ ∗
τ 2 τ − j2 πfτ
PWx ( t , f ) = ∫ x ( t + ) x ( t − )h ( )e
dτ
2
2
2
τ = − Th
h
La DPWV réalise un lissage dans la direction des fréquences
uniquement
Les interférences ne seront pas atténuées dans la direction du
temps
Le lissage "fréquentiel" sera important pour une fenêtre h(t) courte
La Distribution de Pseudo Wigner Ville lissée (DPWV lissée) est
une Pseudo-Wigner-Ville sur laquelle a été introduit une fenêtre
fréquentielle g et donc un lissage temporel.
Le lissage temporel est indépendant du lissage fréquentiel.
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Distribution de Choï-Williams
La distribution de Choï-Williams (CW) est une des
nombreuses distributions qui proposent de réduire les
termes d'interférences
La fonction noyau est une gaussienne paramétrée par
une variance s
On retrouve la DWV pour s qui tend vers l'infini
+∞ +∞
2
σ − 2σ 2 (s − t ) 2 / τ 2
τ ∗
τ − j2 πfτ
CWx ( t, f ) =
e
x (s + ) x (s − )e
dsdτ
∫
∫
π − ∞− ∞ τ
2
2
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Exemples
• Analyse de signaux Sonar
– Signaux du fond sous-marin
– Signaux de cibles acoustiques
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Bibliographie
• P. Flandrin, Temps-fréquence, Hermès, Paris, 1993
• F. Hlawatsch et G.F. Boudreaux-Bartels, "Linear and
Quadratic Time-Frequency Representations", IEEE Signal
Processing Magazine, Vol. 9, N°2, April 1992
• F. Hlawatsch, "Time-Frequency Methods For Signal
Processing", Traitement du signal - développements récents,
Ecole pré-doctorale de physique, Session VI, Septembre 1993
• O. Rioul et M. Vetterli, "Wavelets and Signal Processing",
IEEE Signal Processing Magazine, Vol. 8, N°4, Octob er 1991
• M. Basseville, P. Flandrin, N. Martin, "Méthodes TempsFréquence", Traitement du Signal, Vol. 9, Supplément au N°1
49