Mathématiques : devoir à la maison n°3 : corrigé

ème
Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3
Mathématiques : devoir à la maison n°3 : corrigé
Exercice 1
Martin a cuit 125 gâteaux pour l'anniversaire de sa sœur. ll les aligne
pour les décorer. ll met une noix sur un gâteau sur deux, une fraise sur
un gâteau sur trois et une dragée sur un gâteau sur quatre. ll n'y a rien
sur le premier gâteau. Une fois décorés, Martin range les gâteaux sur 4
plateaux :
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les gâteaux sans décoration,
les gâteaux avec une seule décoration,
les gâteaux avec deux décorations,
les gâteaux avec trois décorations.
Les quatre premiers gâteaux, de
gauche à droite
Combien y-a-t-il de gâteaux sur chaque plateau ?
Pour qu’un gâteau soit avec 3 décorations, il faut que sa position soit un multiple de 2 (noix), de 3
(fraise), et de 4 (dragées). Si la position est dans la table de 4, elle est dans la table de 2.
Ainsi, pour qu’un gâteau ait toutes les décorations, il faut qu’il soit dans la table de 3 × 4 = 12 .
Comptions le nombre de paquets de 12 dans 125 avec une division euclidienne : 125 = 12 × 10 + 5 .
Comme on ne peut faire que 10 paquets de 12 complets, il y a 10 nombres divisibles par 12 entre 1
et 125.
10 gâteaux ont les 3 décorations.
Pour avoir 1 décoration, il faut avoir :
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Une noix uniquement, donc avoir une position divisible par 2 mais pas par 3, et pas par 4.
De 2 à 125 : 5 × 12 + 2 = 62 nombres pairs (5 par tranche de 10, et 12 tranches de 10. On
ajoute les 2 positions 122 et 124).
Parmi ces 62, un sur 3 est dans la table de 3 ( 2, 4, 6 , 8, 10, 12 ... )
Pour les 60 premiers, il y en a 60 ÷ 3 = 20 .Les deux derniers nombres pairs sont 122 et 124 qui
ne sont pas dans la table de 3.
Il reste donc 62 − 20 = 42 positions paires non multiples de 3 : 2, 4 , 8 , 10 , 14, 16 , 20 , 22 ...
Cela donne 21 paires de nombres, avec dans chaque paire, l’un des deux dans la table de 4.
21 positions sont donc des nombres divisibles par 2, mais pas par 3, ni par 4.
21 gâteaux ont seulement la noix pour décoration.
•
Il est impossible de n’avoir qu’une dragée, car alors on a aussi la noix.
•
Pour n’avoir qu’une noix : la position doit être un multiple de 3, mais pas de 2 (donc pas de 4).
125 = 3 × 41 + 2 , il y a donc 41 positions divisibles par 3 : 3 , 6, 9 , 12, 15 ,..., 123
Un sur 2 n’est pas divisible par 2, il y a donc 21 nombres divisibles par 3 mais pas par 2
(attention au 123).
21 gâteaux n’ont que la fraise.
21 + 21 = 42 gâteaux ont donc une seule décoration.
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ème
Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3
Pour ne pas avoir de décoration, il ne faut pas être un multiple de 2, ou de 3 (si l’on n’est pas
multiple de 2, on n’est pas multiple de 4).
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•
Nous avons déjà déterminé 62 nombres pairs,
Et 21 nombres multiples de 3 non pairs.
Il y a donc 125 − 62 − 21 = 42 nombres qui ne sont ni multiples de 2, ni de 3.
42 gâteaux n’on aucune décoration.
Reste des gâteaux : 125 − 10 − 42 − 42 = 31
31 gâteaux ont 2 décorations.
Exercice 2
La salle de spectacle a la forme ci-dessous :
Calculons l’aire d’un quart de disque :
aire 1 =
π × r2
4
=
π × 132
4
≃ 132, 37 m2 .
Pour l’aire d’un trapèze, on utilise la formule :
aire 2 =
( Grande base + petite base ) × hauteur
2
La Grande base mesure 13 m .
La petite base est obtenue ainsi : (16 − 2 ) ÷ 2 = 7 m , car il faut tenir compte de la largeur de l’allée.
Donc aire 2 =
(13 + 7 ) × 10 = 100 m2
2
L’aire totale de la salle occupée par des sièges est :
aire = 2 × aire 1 + 2 × aire 2
= 2 × 132, 37 + 2 × 100
= 464, 74 m2
Le nombre de places disponibles est donc 464, 74 × 1, 8 ≃ 836, 5
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