Échantillonnage, reconstruction et les systèmes

Transcription

MIC4220, Traitement numérique des signaux
Échantillonnage, reconstruction et les systèmes numériques Mounir Boukadoum, Michaël Ménard et différentes sources
1
Objectifs d’apprentissage
Après ce cours vous serez en mesure: • Décrire le procédé de conversion des signaux analogiques en signaux à temps échantillonné • Énumérer des facteurs limitant la qualité de la conversion • Expliquer comment on reconstruit un signal analogique à partir de données à temps échantillonné • Si vous ne le savez pas déjà (MIC3220) : – Représenter les séquences à temps échantillonné courantes – Décrire les propriétés d’un système linéaire et invariant dans le temps (LIT) – Calculer la réponse impulsionnelle d’un système LIT à temps échantillonné et vérifier sa stabilité – Calculer un convolution numérique de trois façons différentes Mounir Boukadoum, Michaël Ménard et différentes sources
2
1
Schéma système
s(t) Pré‐
traitement CAN CPU P o r t CNA ŷk
ŝk
s( kTe )
Temps et amplitude continus P o r t Post‐
traitement y(t) ŷ( kTe )
Temps échantillonné Temps et amplitude (discret), amplitude discrets (signal numérique) continue CAN: Convertisseur Analogique‐Numérique CNA: Convertisseur Numérique‐Analogique Mounir Boukadoum, Michaël Ménard et différentes sources
3
Échantillonnage du signal
•
•
Fait par un commutateur ouvert régulièrement (multiplication par un peigne d’impulsions) En pratique réalisé par un échantillonneur‐bloqueur piloté par une onde carrée s(t) Pré‐
traitement s( kTe )
   Échantillonneur‐bloqueur Te 1
Te Temps Mounir Boukadoum, Michaël Ménard et différentes sources
4
2
Équations d’échantillonnage
• Dans le temps: x(t )  x t   xt  pt    xt  t  kT 
• En fréquence: X ( f )
1
X  f    X  f  nf 
T
1
1
1
1
  X  f  f   X  f   X  f  f   X  f  2 f   
T
T
T
T
• L’échantillonnage du signal continu rend son spectre de fréquences périodique! 
e
e
k 0

s
e
e n 
e
e
e
e
e
e
e
Mounir Boukadoum, Michaël Ménard et différentes sources
5
Évolution du signal
s(t) P o r t Te Pré‐
traitement CAN se (t )  s ( kTe )
ŝk
CPU P o r t ŷk
Post‐
traitemen
t CNA y(t) ŷ( kTe )
Se ()
S()


-m
m
-2e
-e
-m
Yˆ (i0 )  Sˆ (i0 )
m
-e
-m
m
e
2e
Yˆ ( )

-2e
e
2e
-m
m

Y()
-m
m

6
3
Effets indésirables
• Périodes isolées : recouvrement de la première période possible • Intersection de périodes : recouvrement de la première période impossible •
Toute composante de fréquence f ≥ fe /2 dans le spectre initial se voit ajouter un alias de fréquence fe‐f dans le spectre recouvert Mounir Boukadoum, Michaël Ménard et différentes sources
7
Théorème Nyquist-Shannon
• La fréquence d'échantillonnage doit être égale ou supérieure au double de la fréquence maximale contenue dans le signal à temps continu, pour que la forme à temps échantillonnée du signal soit équivalent à la forme originale. 2
8
4
Temps continu à discret
Series2
1.5
Series1
Series2
1.5
1
0.5
0.5
0.5
0
0
Series2
0
1.
6
3.
1
4.
7
6.
3
7.
9
9.
4
11
12
.6
14
.1
15
.7
17
.3
18
.8
-0.5
Series1
Series3
0
0
1.
6
3.
1
4.
7
6.
3
7.
9
9.
4
11
-0.5
12
.6
14
.1
15
.7
17
.3
18
.8
1
0
1.
6
3.
1
4.
7
6.
3
7.
9
9.
4
11
1
-0.5
-1
-1
-1
-1.5
-1.5
-1.5
12
.6
14
.1
15
.7
17
.3
18
.8
1.5
• Comment éviter les alias? – Utiliser un filtre qui élimine les composantes de fréquence fe/2 avant l’échantillonnage • Doit être analogique • La fréquence de coupure doit être  fe/2 • Le gain dans la bande d’arrêt doit être inférieur à Q 1
la résolution du systèmes (signal résiduel  ) 
2 2
n
9
Filtre anti-alias
• Utiliser fe=2fmax peut demander un filtre d’ordre très grand si on veut rejeter le bruit dans la bande d’arrêt – Ex. : pour rapport de 80 dB entre la bande passante et la bande d’arrêt, un filtre elliptique d’ordre 8 est requis pour fe=2fmax • Utiliser fe >> 2fmax si possible Tiré de EDN, numéro
du 23/11/2006
10
5
Exemple de filtre anti-alias
• Filtre Butterworth de 2ième ordre: 2
1.4141 2
1
1
2
1
1
C2
En fonction de C2: 1.4142
2
1
2
Vin
R1
Choose


C2
R1  R2 
C1 
R2
1.4142
C2 2 f c
b g
Vo
C1
1
b g
R1 R2 C 2 2  f c
2
Topologie de Sallen et Key Mounir Boukadoum, Michaël Ménard et différentes sources
11
Quantification
• La transformation du signal par le CAN quantifie son amplitude suivant une échelle de valeurs entières • La précision obtenue (résolution) dépend du nombre de bits (n) Q
Q
Vmax  Vmin
2n
12
6
Bruit de quantification
• L’effet de quantifier le signal en format binaire peut être interprété comme l’ajout d’un bruit qui « arrondit » ses valeurs Haut : Conversion de tension continue à discrète Bas : Bruit de quantification correspondant Mounir Boukadoum, Michaël Ménard et différentes sources
13
• On peut modeler le bruit de quantification par un signal aléatoire q(t) uniformément réparti entre Q
Q
Output
q (t )
et
2
2
– La variance (puissance) du bruit est alors Δ
Vref2
Q2
 q2  E[q 2 (t )] 

12 3  2 2 n
– Et le rapport signal‐sur‐bruit pour un signal x(t) donné est : σ x2
SNR 
10 log 10 2 ( étant la puissance du signal) σq

e
q (t )
Input
14
7
• EN termes de valeurs efficaces (rms), le rapport SNR devient: 10.79
20 log
• En pratique, le rapport signal/bruit peut être calculé avec: N 1
1 N 1 2


x
n

 x 2 n
SNR 
N
1
N
n 0
N 1

n 0
N 1
 e n   e n 
n 0
2
q
n 0
2
q
15
• Pour un signal sinusoïdal d’amplitude 1, et Vrms = 0.7 V et le rapport signal‐sur bruit est: SNR(dB)  6n  1.8
x
• Pour un signal gaussien avec =0 et Vref  K on a SNR A/D (dB)  6n  10.8  20log10 K
• Dans les deux cas, l’ajout d’un bit de résolution augmente le rapport de 6dB Example 1
• Multiplier le signal par  modifie sa variance à 2 2

Example 2
 x SNR  6n  10.8  20log K  20log α
A/D
10
10
16
8
Longueur de mots
• Considérer un signal continu converti par un CAN de b bits : – Si les valeurs discrètes obtenues sont emmagasinées dans une mémoire de M bits, M<b, une erreur de représentation est introduite. – Les b‐M bits de poids faible de chaque mot sont perdus. 
t
– La gamme d’amplitudes couverte par l’erreur de troncation, est donnée par 0 |  t | 2 M  2b
– L’erreur se répercute sur les calculs subséquents • Illustration (http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/week13/quantization.html) Mounir Boukadoum, Michaël Ménard et différentes sources
17
Temps discret à continu
• Problème : comment faire passer une courbe continue à travers une séquence de points ? Si f0 < ½ fe , alors y[n ]  A cos2  f 0 Te n   
Peut être converti en y (t )  A cos2  f 0 t   
(Th. d’échantillonnage) 3
4
5
6
7
n
1
2
• Comment mettre en œuvre la solution ? Mounir Boukadoum, Michaël Ménard et différentes sources
18
9
• En théorie, on peut récupérer le spectre du signal original en multipliant Se() par un rectangle qui isole la première période S (  )  Se (  )H (  ) où
T ,
H(  )   e
0 ,
  m / 2
2
,  
  m / 2 m Te
et
 
  
  t 
s(t )  se (t )  h (t )    s( kTe ) (t  kTe )  Te m sinc m 
 2 
k  
  2


  t  kTe  
  t  k 
  s( kTe ) sin c m
   s( kTe ) sinc m

2


 k  
 2 
k  
•
La fonction sinc requise est de durée infinie ! Mounir Boukadoum, Michaël Ménard et différentes sources
19
x
0
1
2
3
• Solution : interpoler les valeurs intermédiaires à partir des valeurs connues • Ex. : Calculer f(1.5) Mémoire d’ordre 0 : Étirer la valeur f(1) => f(1.5) = 1.0 (“marches d’escalier”) 9
Interpolation linéaire (mémoire d’ordre 1) : prendre la moyenne des deux points voisins 4
=> f(1.5) = 2.5 1
Interpolation quadratique (mémoire d’ordre 2) : Trouver une parabole qui passe par trois points voisins => f(1.5) = 2.25 Mounir Boukadoum, Michaël Ménard et différentes sources
f(x)
0.0
1.0
4.0
9.0
x
0
1
2
3
20
10
Reconstruction d’ordre 0
.
Exemples tirés du site web
du livre DSP First
21
Reconstruction linéaire
du livre DSP First
22
11
Reconstruction par sinc
du livre DSP First
23
• La solution pratique revient donc à faire passer les points 
par un filtre qui va les “étirer” : ~
y
(
t
)

y[n ] p(t  Te n )

n  
y[n] : séquence à convertir en un signal à temps continu proche de y(t) p(t) : typiquement une impulsion de durée finie, et de forme rectangulaire, triangulaire, parabolique, sinc, etc. • Les impulsions successives se coupent si elles durent plus que Te • Elles sont généralement d’amplitude ou de surface =1 p(t)
-Te
-½ Te
Par(t)
-Te
-½ Te
1
0
p(t)
1
t
-Te
½ Te Te
1
sinc(x)
t
0 ½ Te Te
-½ Te
-Te
-½ Te
t
0 ½ Te T
e
1
0
½ Te Te
24
12
Comparaison
p(t)
1
• Impulsion rectangulaire – Facile à mettre en œuvre – La transformée de Fourier est une fonction sinc (bande passante infinie) -½ Ts
t
Ts
t
p(t)
1
• Impulsion triangulaire – Relativement facile à mettre en œuvre – La transformée de Fourier est une fonction sinc2 (bande passante infinie) ½ Ts
-Ts
• Impulsion sinc – Forme tronquée de celle prévue par le théorème d’échantillonnage (durée 4Te) – La transformée de Fourier de la version idéale est un rectangle de largeur fe (b. p. finie), celle de la version tronquée à une b. p. infinie ! sinc(x)=sin(x)/x

 
1
0 
 
x
25
Un meilleur sinc
• Les conséquences de tronquer la fonction sinc sur la bande passante peuvent être réduites en la multipliant par une fonction de correction • Ex: cosinus surélevé  t  cos2  W t 
p (t )  sinc 
2
2 2
 Ts  1  16  W t
sinc idéal Attenuation par 1/t2
pour réduire les lobes
W =fe   [0, 1] facteur d’écrasement Passages par 0 à t =  Ts ,  2 Ts , … Mounir Boukadoum, Michaël Ménard et différentes sources
26
13
Un meilleur sinc
f1
Bande passante : (1 + ) W = 2 W – f1 f1 : f où on commence la transition vers 0 1

if 0  | f | f1

2W

  | f |  W   
 1 
  if f1  | f |  2W  f1
P( f )  
1  sin

W
f
4W
2

2
1




0
otherwise


W
1
2 Ts
  1
f1
W
27
Reconstruction du signal
H h ( s) 
Digital Signal
DAC
y ( n)
y s (t )
y ( n)
1  e  sT
s
Hold
Circuit
y s (t )
n
T
Antiimage
filter
Equalizer
y H (t )
y (t )
y H (t )
t
t
T

sin( fT )
% distortion   1 
 fT

y (t )
t

  100%

28
14
Paramètres importants du CAN
•Architecture •Résolution •Temps de conversion •Rapport signal/bruit •Type d’entrée (unipolaire/Différentielle) •Temps d’ouverture « aperture time » et variation de (« jitter ») •Temps de maintien («hold time») •Type d’interface au DSP Mounir Boukadoum, Michaël Ménard et différentes sources
29
Paramètres importants du CNA
• La résolution • Temps d’établissement «settling time» : temps entre le départ de la transition et la nouvelle valeur à la précision requise (0.5 LSB par ex.) • Le rapport signal/bruit • Type d’interface au DSP Mounir Boukadoum, Michaël Ménard et différentes sources
30
15
Codecs
• Tout sur une seule puce!
31
Systèmes Numériques
32
16
Notation
x[n]
x[0]
x[6]
x[1]
-3
-2
-1
0
1
3
4
6
n
33
Génération de signaux numériques
• On part d’une séquence analogique – On évalue la séquence à des intervalles uniformément distribués (échantillonnage!) ∆
|
xs t   xt  p t 
Train
d’impulsions
34
17
Séquences numériques courantes
• Impulsion 1
0
δ[n]
0
0
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
n
35
• Échelon 1
0
u[n]
0
0
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
n
36
18
• Échelon décalé u[n-2]
1
0
0
0
0
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
n
37
• Fonction sinusoïdale Mounir Boukadoum, Michaël Ménard et différentes sources
cos 2
38
19
∝
• Fonction exponentielle Mounir Boukadoum, Michaël Ménard et différentes sources
39
Propriétés des systèmes numériques
• Linéaire – Un système est linéaire s’il respecte le principe de superposition 1
L
1
1
2
2
2
1
2
40
20
• Invariant dans le temps – La sortie ne dépend pas explicitement du temps IT
1
1
2
1
0
1
2
41
• Causal – La sortie est indépendante des valeurs à venir. C n’est pas fonction de ∙
Un système non‐causal ne peux pas être réalisé en temps réel! Mounir Boukadoum, Michaël Ménard et différentes sources
42
21
• Stabilité – Un système est considéré stable si pour chaque entrée bornée (limitée), il existe un signal de sortie bornée. – Bounded‐input, Bounded‐output (BIBO) |
|
S
∞ lorsque |
|
∞ Mounir Boukadoum, Michaël Ménard et différentes sources
43
Systèmes LIT
• Les systèmes linéaires invariant dans le temps (LIT) et causal peuvent être décrit sous la forme: 1
1
0
⋯
1
1
⋯
1
0
44
22
Systèmes LIT
• Nécessite seulement 3 composants: – Additionneurs – Multiplicateurs – Délais 2
+
1
1
A
1
D
1
2
1
1
1 Mounir Boukadoum, Michaël Ménard et différentes sources
45
Systèmes LIT
• Réponse impulsionnelle h[n]: – Sortie du système lorsque et que les conditions initiales sont zéro. – Décrit complètement un systèmes LIT! ∞
∞
46
23
Systèmes LIT
0
1
47
Exemple
Trouver la réponse impulsionnelle du système suivant (y[n] et x[n] =0 pour n<0) : 0,9
1
0,9
1
On remplace y[n] par h[n] et x[n] par δ[n] 0,9
1
48
24
Exemple
0,9
0
1
2
3
0,9
1
0,9 0
0,9 1
0,9 2
0
1
2
3
1
1 0,9 1 0,9 0,9 0,9 0,81 0,9 0,9 0,9 0,73 0,9 Est‐ce que le système est stable? Mounir Boukadoum, Michaël Ménard et différentes sources
49
Stabilité et h[n]
• Lorsque l’on dispose de la réponse impulsionnelle, la stabilité peut être évaluer avec : ∞
|
|
∞ ∞
50
25
Convolution numérique
• Sortie du système donnée par ∞
∞
• Convolution dans le domaine temporel ∗
• Peut‐être évalué de 3 façons: – Graphique – Tableau – Formule Mounir Boukadoum, Michaël Ménard et différentes sources
51
Méthode graphique
x
0,9 /4
4
4
x[n]
h[n]
52
26
Méthode graphique
• n=0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 = 0
53
Méthode graphique
• n=1
0
0
0
0
0
0
0
0,25
0
0
0
0
0 = 0,25
54
27
Méthode graphique
• n=2
0
0
0
0
0
0
0
0,23 0,50 0
0
0
0 = 0,73
55
Méthode graphique
• n=3
0
0
0
0
0
0
0 0,20 0,45 0,75
0
0
0 = 1,40
56
28
Méthode graphique
• n=4
0
0
0
0
0
0
0 0,18 0,41 0,68
0
0
0 = 1,27
57
Méthode graphique
• n=5
0
0
0
0
0
0
0
0 0,36 0,61
0
0
0 = 0,97
58
29
Méthode graphique
• n=6
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0,55
0
0
0 = 0,55
59
Méthode graphique
• n=7 et +
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 = 0
60
30
Méthode du tableau
k
x(k)
h(0‐k)
h(1‐k)
h(2‐k)
h(3‐k)
h(4‐k)
h(5‐k)
h(6‐k)
h(7‐k)
‐3
‐2
‐1
0
1
2
0,25
0,73
0,81
0,73
0,9
0,81
0,73
1
0,9
0,81
0,73
1
0,9
0,81
0,73
3
0,5
1
0,9
0,81
0,73
4
5
6
0,75
1
0,9
0,81
0,73
1
0,9
0,81
0,73
1
0,9
0,81
1
0,9
0
0,25
0,73
1,40
1,26
0,97
0,55
0
61
Convolution circulaire
• Équivalent de la convolution de 2 séquences périodique: 0
1 • Très utile pour calculer la transformée de Fourier discrète: Mounir Boukadoum, Michaël Ménard et différentes sources
62
31
Propriétés de la convolution
• Commutativité –
∗
∗
• Associativité –
∗
∗
∗
∗
∗
∗
• Distributivité par rapport à l'addition –
∗
∗
∗
• Élément neutre du produit de convolution : impulsion de Dirac –
∗
• Durée d'un signal issu du produit de convolution linéaire – Si x[n] est de durée N1 et h[n] de durée N2, alors x[n]*h[n] est de durée N1+N2‐1 Mounir Boukadoum, Michaël Ménard et différentes sources
63
Combinaison de systèmes LIT
• En série:
1
2
1
∗
2
64
32
Combinaison de systèmes LIT
• En parallèle:
1
+
2
1
2
65
Sommaire
• Échantillonnage – Multiplication par un train dans le temps – Convolution en fréquence • Théorème Nyquist‐Shannon • Erreur de quantification – Dépend du notre de bits •
•
•
•
•

2
Q
Q
et
2
2
Filtre de reconstruction idéal: sinc Séquences courantes: Impulsion, échelon, sinusoïdales, exponentiel Propriétés: Linéaire, invariant dans le temps, causal, stable Les LIT sont complètement décrit par lors réponse impulsionnelle Convolution numérique: Équation, graphique, tableau Mounir Boukadoum, Michaël Ménard et différentes sources
66
33
Prochain cours
• Problèmes
– 2.1, 2.5, 2.9, 2.13, 2.25, 2.29
– 3.5, 3.9, 3.10, 3.15, 3.19, 3.23, 3.27
• Lecture
– Chapitre 4 et 5 de Li Tan
67
34

Échantillonnage, reconstruction et les systèmes

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