La fête des mathématiques 2016

La fête des mathématiques 2016
La date : le mardi 16 février 2016
Note : lors de sa réunion d’automne 2014, GAMA a décidé que les fêtes des
mathématiques au Nouveau-Brunswick francophone auraient lieu le 3e mardi de février
à chaque année.
Le thème : les années bissextiles
2016 est une année bissextile.
Plusieurs jolis problèmes numériques peuvent porter sur le calendrier ou plus
simplement sur le nombre 2016 lui-même. Nous vous en soumettons quelques-uns pour
aiguiser votre curiosité.
Par ailleurs il est important de noter que les thèmes suggérés par GAMA ne sont que ça :
des suggestions. L’important est de consacrer une journée ou davantage aux
mathématiques, l’important est de célébrer la fête des mathématiques. Vos idées sont
aussi bonnes que les nôtres, allez-y et célébrez les mathématiques.
Voici un lien qui conduit à de l’information sur les années bissextiles (Merci à Jacques
Lurette du district francophone NE qui m’a transmis ce lien qu’il avait obtenu d’une
enseignante de son district). http://www.erea86.fr/articles.php?lng=fr&pg=3129
L’explication des années bissextiles et leur histoire y sont très bien présentées. Mais les
chiffres ne sont pas exacts, il est préférable d’utiliser ceux présentés dans ce document.
Nous suggérons des problèmes dans les pages suivantes. Nous fournirons la
réponse à ces problèmes avant la fin janvier
Quelques suggestions pour la fête des mathématiques 2016 :
Sujet 1 : Le calendrier julien et le calendrier grégorien
Le calendrier julien comprenait une année bissextile à tous les quatre ans. Ce calendrier
a été instauré en 46 avant Jésus Christ par Jules César en remplacement de l’ancien
calendrier romain.
Ainsi, dans le calendrier julien, l’année moyenne dure 365 jours et un quart ou encore
365,25 jours (soit 365 jours et 6 heures). Il y a 100 années bissextiles à tous les 400 ans.
Dans les pays catholiques le calendrier julien a été remplacé par le calendrier grégorien
en 1582.
Le calendrier grégorien, instauré en 1582 par le pape Grégoire XIII, est plus précis que le
calendrier julien. En commençant avec les pays catholiques en 1582, puis par après
avec les pays protestants d’Europe, ce calendrier va peu à peu se répandre au monde
entier. L’Union soviétique a été un des derniers pays à l’adopter en 1918. À toutes fins
pratiques aujourd’hui, pour les besoins civils, c’est un calendrier universel. Certains
calendriers plus anciens existent toujours et sont utilisés pour des motifs religieux ou
culturels.
Dans le calendrier grégorien, il y a une année bissextile tous les quatre ans, sauf les
années dont le chiffre se divise par 100 mais pas par 400 (ainsi 2000 était bissextile car
2000 se divise par 400, mais 1900 ne l’était pas et 2100 ne le sera pas non plus car ces
deux chiffres se divisent par 100 mais pas par 400). Il y a donc 97 années bissextiles à
tous les 400 ans dans ce calendrier.
Ainsi, dans le calendrier grégorien, l’année moyenne mesure 365 jours et 97/400 jours,
ou encore 365,2425 jours (soit 365 jours 5 heures 49 minutes et 12 secondes)
En réalité, l’année solaire moyenne dure 365,24219 jours
(soit environ 365 jours 5 heures 48 minutes et 45 secondes, actuellement, ce chiffre
varie lentement au fil du temps, les journées rallongent).
Avec le calendrier julien, l’erreur sur la durée d’un jour est de 11 minutes et 15 secondes
(675 secondes). Il y a une erreur d’un jour à tous les 128 ans environ. Avec le calendrier
grégorien l’erreur est un peu plus de 27 secondes par jour. Il y a une erreur d’un jour à
tous les 3225 ans environ. On voit la précision plus grande du calendrier grégorien.
Le calendrier a changé car certaines fêtes religieuses ont des dates qui dépendent du
calendrier. Pâques par exemple est toujours le premier dimanche qui suit la première
pleine lune du printemps. Or avec le calendrier julien, la date de l’équinoxe de
printemps en 1582 était autour du 11 mars. On a donc décidé de corriger l’erreur en
retranchant 10 jours au calendrier (pour faire revenir l’équinoxe de printemps autour du
21 mars). Le changement de date a eu lieu dans la plupart des pays catholiques le 15
octobre 1582. Ce jour était le lendemain du 4 octobre 1582. Les jours du 5 au 14
octobre 1582 ont tout simplement été effacés (et tant pis pour ceux pour qui
l’anniversaire tombait à une de ces dates).
Changements entre calendrier julien et grégorien
Calendrier julien :
• une année bissextile à tous les 4 ans, les années qui se divisent par 4.
 durée moyenne de l’année julienne : 365,25 jours
soit 365 jours et 6 heures
Calendrier grégorien :
• une année bissextile à tous les quatre ans, les années qui se divisent par
quatre, sauf les années qui se divisent par 100 mais pas par 400.
(depuis 1582, les années 1600 et 2000 ont été bissextiles mais pas 1700, 1800
et 1900 et 2100 ne le sera pas non plus)
• les 10 jours du 5 octobre 1582 au 14 octobre 1582 n’existent pas, ils ont été
effacés du calendrier.
 durée moyenne de l’année grégorienne : 365,2425 jours
soit 365 jours, 5 heures 49 minutes et 12 secondes.
Année solaire réelle :
L’année solaire dure 365,24219 jours.
soit 365 jours 5 heures 48 minutes et 12 secondes
Question 1 : Le 16 février 2016 du calendrier grégorien serait à quelle date dans le
calendrier julien?
Question 2 : Votre anniversaire en 2016 serait à quelle date dans le calendrier julien?
Question 3 : Le grand savant Isaac Newton est né le jour de Noël 1642 en Angleterre, un
pays qui utilisait encore le calendrier julien. Quelle aurait été sa date de naissance en
France, un pays qui utilisait le calendrier grégorien? Selon vous, doit-on dire qu’il est né
en 1642 ou en 1643?
Question 4 : Pourquoi selon vous les russes fêtent-ils la révolution d’octobre le 7
novembre? Vous savez que cette révolution a eu lieu 25 octobre 1917 alors que la
Russie était toujours sous le calendrier Julien.
Question 5 : Si le premier jour de l’hiver en 46 avant jésus Christ était le 21 décembre,
en quelle année, dans un pays qui aurait toujours utilisé le calendrier julien, le premier
jour de l’hiver tomberait-il le 21 novembre?
Question 6 : Si on modifiait le calendrier grégorien, qui a un peu trop d’années
sabbatiques, en gardant les mêmes années sabbatiques sauf les années dont le nombre
se divise par 4000 qui ne seraient plus sabbatiques dans le nouveau calendrier.
a) Combien d’années sabbatiques y aurait-il dans une période de 4000 ans?
b) Quelle serait la durée moyenne du jour dans ce nouveau calendrier?
c) Combien d’années faudrait-il pour qu’il y une erreur d’une journée complète dans le
nouveau calendrier?
Question 7 : Le calendrier persan mis au point par Omar Al-Khayyâm au 11e siècle est
beaucoup plus précis que le calendrier grégorien. Il est encore utilisé aujourd’hui en Iran
et en Afghanistan. Il a un système d’années bissextiles plus compliqué que le calendrier
grégorien, il suffit de retenir qu’il y a 683 années bissextiles à tous les 2820 ans.
a) Quelle est la durée moyenne du jour dans le calendrier persan?
b) Combien d’années faudrait-il pour qu’il y une erreur d’une journée complète dans le
calendrier persan?
Sujet 2 : jouer avec les nombres, et en particulier avec le nombre 2016
Les nombres triangulaires sont les nombres qui sont la somme de tous les premiers
entiers jusqu’à un certain nombre.
Le premier nombre triangulaire est 1
Le second nombre triangulaire est 3 = 1 + 2
Le troisième nombre triangulaire est 6 = 1 + 2 + 3
Le dixième nombre triangulaire est 55 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
Par ailleurs, il n’est pas trop difficile de faire certains calculs qui sont en apparence
impossible à faire. Par exemple pour calculer le dernier chiffre de 31000 il suffit
d’observer le dernier chiffre des premières puissances de 3 et de constater une
répétition régulière. Ainsi, on a 31 = 3, 32 = 9, 33 = 27, 34 = 81, 35 = 243, 36 =729,
37 =2187, 38 =6561 … Les derniers chiffres des premières puissances sont :
puissance
dernier
chiffre
1
3
2
9
3
7
4
1
5
3
6
9
7
7
8
1
On voit bien que ça se répète et qu’à tous les multiples de 4 (4e puissance, 8e puissance,
12e puissance, …) le dernier chiffre sera un 1. Puisque 1000 est un multiple de 4, le
dernier chiffre de 31000 sera aussi un 1.
Question 1 : Faites la liste des 10 premiers nombres triangulaires.
Question 2 : Avec la liste de la question 1, vérifiez que le nième nombre triangulaire est
égal à
𝑛2 + 𝑛
2
. Par exemple, on sait que le 3e nombre triangulaire est 6 et que 6 =
Faites la vérification pour les autres nombres triangulaires jusqu’au 10 e.
Question 3 : Montrez que 2016 est le 63e nombre triangulaire.
Autrement dit 2016 = 1 + 2 + 3 + … + 61 + 62 + 63.
2016 est la somme des 63 premiers entiers positifs!
32 +3
2
.
Question 4 : Quelle était la précédente année avant 2016 à être représentée par un
nombre triangulaire? Étiez-vous nés?
Question 5 : Quelle sera la prochaine année après 2016 qui sera représentée par un
nombre triangulaire? Croyez-vous que vous serez toujours en vie?
Question 6 : Quel est le dernier chiffre de 32016 ?
Question 7 : Quel est le dernier chiffre de 42016 ?
Question 8 : Quel est le dernier chiffre de 162016 ?
Question 9 : Quels sont les deux derniers chiffres de 162016
Question 10 : Quels sont les trois derniers chiffres de 52016 ?
Question 11 : Décomposez 2016 en facteurs premiers et dites combien 2016 possède de
diviseurs distincts.
Question 12 : 2016 = 4 x 7 x 8 x 9. C’est donc le produit de trois nombres entiers positifs
successifs (7, 8 et 9). 2016 est le produit d’autres triplets de trois nombres entiers
successifs, pouvez-vous tous les trouver?
Quelques exercices plus faciles
1. Si nous sommes le 16 février 2016, quelle date sera-t-il dans exactement
30 jours? (donnez le jour et le mois)
2. Quelle date était-il exactement 30 jours après le 16 février 2015?
3. Est-ce que vous avez la même réponse aux deux premières questions?
Pourquoi?
4. Séparez l’année en 4 trimestres, (janvier à mars, avril à juin, juillet à
septembre et octobre à décembre). Combien y a-t-il de jours dans
chaque trimestre? Les trimestres ont-ils le même nombre de jours à
chaque année?
5. Dans notre calendrier, l’an 1 correspond à la date de naissance de Jésus
Christ. Il n’y a pas d’an 0. Un siècle se termine lorsque 100 ans se sont
écoulés. Nous sommes au 21e siècle. Quel était le premier jour du 21e
siècle? Quel sera le dernier jour du 21e siècle?
6. Trouvez une stratégie pour calculer la somme des 63 premiers nombres
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + … + 61 + 62 + 63
7. Une seule des phrases suivantes est fausse, laquelle?
2016 = 504 + 504 + 504 + 504
2016 = 1008 + 1008
2016 = 403 + 403 + 403 + 403 + 403
8. Un nombre palindrome est un nombre qui se lit de la même manière à
l’endroit ou à l’envers. Par exemple 2442 est un nombre palindrome,
mais pas 2016.
a) Quelle est la prochaine année, après 2016, dont le nombre est un
palindrome?
b) Écrivez 3 palindromes de 5 chiffres?