MAT-CRPE-Symétrie axiale

Mathématiques
CRPE
SYMETRIE
I.
AXIALE
Rappel
Une transformation du plan est une application du plan dans lui-même. Cela signifie
que c’est un procédé qui, à tout point A du plan, associe un point A’ et un seul. On
dit que A’ est l’image de A par la transformation.
II. Définitions
1. Première définition
Une figure (F’) est le symétrique d’une figure (F) par rapport à une droite (d)
si lorsqu’on plie la feuille suivant (d), (F) et (F’) se superposent.
B'
A'
C'
B
A
C
2. Deuxième définition (définition mathématique)
Le symétrique d’un point A par rapport à une droite (d) est :
•
le point A’ tel que (d) soit la médiatrice de [AA’], si A n’est pas sur
(d).
•
le point A lui-même si A est sur (d).
A est aussi le symétrique de A’ par rapport à (d). On dit que A et A’ sont
symétriques.
Tous les points de l’axe de symétrie sont leur propre image ; on dit qu’ils sont
invariants.
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III. Construction de l’image d’un point par une symétrie axiale
1. 1ère méthode : avec une règle et une équerre
•
Tracer la perpendiculaire à (d) qui passe par A. Elle coupe (d) en H.
•
Placer le point A’ sur cette perpendiculaire tel que AH = A’H.
2. 2ème méthode : avec le compas uniquement
•
Placer deux points quelconques sur (d).
•
Tracer deux arcs de cercle dont le centre est l’un des points et passant
par A (ces arcs n’ont pas forcément le même rayon).
Le deuxième point commun de ces deux arcs est le symétrique de A.
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IV. Construction de l’image d’une droite par une symétrie axiale
L’image d’une droite par symétrie axiale est une droite.
Construction : il suffit de prendre deux points distincts A et B de la droite d1 , de
construire leurs images A’ et B’ par la symétrie. L’image d'1 de d1 par la symétrie
axiale est la droite (A’B’).
d'1
d
d1
A'
A
B'
B
V.
Cercles et symétrie axiale
1. Image d’un cercle
L’image d’un cercle
cercle
C
de centre O et de rayon r par symétrie axiale est le
C’ de centre O’, image de O par la symétrie et de même rayon r.
d
C’
O'
C
O
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2. Cas particulier d’un axe d passant par le centre O du cercle C
Soit A un point de
C Son image par la symétrie d’axe d est le point A’ tel que
d soit la médiatrice de [AA’]. Comme O appartient à d, OA = OA’. Il en
résulte que A’ appartient à C et que C est invariant par la symétrie d’axe d.
d
A'
A
C
O
VI. Propriétés de la symétrie axiale
•
Si un point est sur une droite, son symétrique est sur le symétrique de
cette droite : la symétrie axiale conserve l’alignement.
•
L’image d’un segment par une symétrie axiale est un segment de même
longueur : la symétrie axiale conserve les longueurs.
•
L’image d’un angle par une symétrie axiale est un angle de même mesure :
la symétrie axiale conserve les angles.
•
L’image du milieu d’un segment par une symétrie axiale est le milieu de
l’image de ce segment : la symétrie axiale conserve le milieu.
•
L'image d’une figure par une symétrie axiale est une figure de même
aire : la symétrie axiale conserve les aires.
VII. Axe de symétrie
1. Définition
Une figure (F) admet un axe de symétrie (d) si le symétrique de tout point de
(F) appartient à (F).
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Exemples :
La droite (d) n’est pas un axe de
symétrie pour la figure (F).
La droite (d) est un axe de symétrie
de la figure (G).
2. Axe de symétrie de figures particulières
Figure
Triangle isocèle
Triangle équilatéral
Triangle rectangle
oui
oui
non
1
3
0
Parallélogramme
Rectangle
Losange
Carré
non
oui
oui
oui
0
2
2
4
Axe de symétrie ?
Nombre
Tracé
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