Corrigé de l`exercice 14

Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Correction exercice 14 – Probabilités
On a posé à 1000 personnes la question suivante :"combien de fois êtes-vous arrivé en retard au travail au cours
des deux derniers mois ?".
1. On choisit au hasard un individu de cette population. On suppose donc l’équiprobabilité.
Déterminons la probabilité que l’individu ait eu au moins un retard le premier mois.
572 personnes sur les 1000 interrogées n’ont pas eu de retard le premier mois, la probabilité
cherchée est donc p1=1− 572 =0,428
1000
La probabilité que cet individu ait eu au moins un retard le premier mois est 0,428 .
Déterminons la probabilité que l’individu ait eu au moins un retard le deuxième mois sachant
qu’il n’en a pas eu le premier mois.
Sur les 572 personnes n’ayant pas eu de retard le premier mois, 310 (250+60) ont eu un retard le
deuxième mois, d’où la probabilité cherchée est p2= 310 = 155 ó0,54
572 286
La probabilité que l’individu ait eu au moins un retard le deuxième mois sachant qu’il n’en a pas
eu le premier est d’environ 0,54.
2. On souhaite faire une étude de l’évolution du nombre de retards sur un grand nombre n de mois. On fait
les hypothèses suivantes :
- Si l’individu n’a pas eu de retard le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n+1 est 0,46
- Si l’individu a eu exactement un retard le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n+1
est 0,66 ;
- Si l’individu a eu au moins 2 retards le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n+1 est
0,66.
On note An l’événement "l’individu n’a eu aucun retard le mois n", Bn l’événement "l’individu a eu
exactement un retard le mois n" et Cn l’événement "l’individu a eu au moins 2 retards le mois n".
Les probabilités des événements An , Bn et Cn sont respectivement notées pn , qn et rn .
D’après l’énoncé, pAn (An+1)=0,46, pBn (An+1)=0,66 et pCn (An+1)=0,66
a. Pour le premier mois (n=1), les probabilités p1, q1 et r1 sont obtenues à l’aide du tableau de
l’énoncé. Déterminons p1, q1 et r1.
p1= 572 = 143
q1= 318 = 159
et r1= 110 = 11
1000 250
1000 500
1000 100
b. Exprimons pn+1 en fonction de pn , qn et rn .
An , Bn et Cn forment une partition de l’univers donc An+1 est la réunion des événements
incompatibles An+1 ∩An , An+1∩Bn et An+1∩Cn
D’où pn+1= p (An+1)=p ( An+1∩An ) +p ( An+1∩Bn ) +p ( An+1∩Cn )
=pAn (An+1)×p ( An ) +pBn (An+1)×p ( Bn ) +pCn (An+1)×p ( Cn )
= 0,46pn +0,66qn +0,66rn =0,46pn +0,66 ( qn +rn )
pn+1=0,46pn +0,66 ( qn +rn )
C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD
Proba – Correction ex 14
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c. Montrons que ┐ný0, pn+1=-0,2pn +0,66
pn+1=0,46pn +0,66 ( qn +rn )
Or, An , Bn et Cn forment une partition de l’univers donc pn +qn +rn =1 donc qn +rn =1−pn
Donc pn+1=0,46pn +0,66( 1−pn ) d’où pn+1=-0,2pn +0,66
d. Soit la suite ( un ) définie pour tout entier naturel n non nul par un =pn −0,55.
Démontrons que ( un ) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
┐n, un+1=pn+ 1 −0,55=-0,2pn +0,66−0,55=-0,2pn +0,11=-0,2(pn −0,55)=-0,2un
( un ) est donc une suite géométrique de raison -0,2 et de premier terme
143
−0,55=0,022.
u1=p1−0,55=
250
D’où ┐n, un =(-0,2)n−1u1
e. Déterminons lim un et déduisons-en lim pn
n↔+ õ
n↔+ õ
-1<-0,2<1 donc lim (-0,2)
n−1
n↔+ õ
Or, pn =un +0,55 donc
C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD
=0 donc lim un =0
n↔+ õ
lim pn =0,55
n↔+ õ
Proba – Correction ex 14
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