Support Séance 7

Statistiques 2009-2010
Cours 8
Bachelor 1ère année
Unil, Ecole des HEC
Probabilités (1)
Introduction à la théorie probabiliste,
combinaisons et permutations, probabilités
conditionnelles, formule de Bayes
Introduction
• Probabilité que les ventes baissent si les prix
augmentent ?
• Probabilité que tel ou tel projet soit fini à temps ?
• Probabilité qu’un nouvel investissement soit
rentable ?
• Probabilité que Manchester City gagne la
Champions League ?
=> Probabilité = mesure numérique de la
vraisemblance de l’occurrence d’un événement
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1
Probabilités subjectives et objectives
• Lu le 4 novembre 2008:
«Bonne nouvelle pour le candidat démocrate: les
Steelers de Pittsburgh ont écrasé hier les Redskins
de Washington en NFL. Depuis près de 80 ans, la
«Règle Redskins» est en vigueur: s’ils perdent c’est
le candidat du parti qui a perdu les dernières
élections qui est élu.»
=> probabilité objective? Probabilité subjective?
4
Théorie des probabilités, définitions (1)
5
Théorie des probabilités, définitions (2)
6
2
Théorie des probabilités, définitions (3)
7
Théorie des probabilités, définitions (4)
S = « l’espace-échantillon », l’ensemble des résultats possibles
8
Théorie des probabilités, définitions (4)
9
3
Théorie des probabilités, définitions (4)
10
Théorie des probabilités, définitions (4)
11
12
4
Axiomatique de base
13
Exemple
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Combinaisons et permutations
• Identifier et dénombrer les résultats possibles de
l’expérience est une étape nécessaire dans la
détermination des probabilités.
• Combinaisons
=> nombre de résultats obtenus en
sélectionnant n objets parmi un ens. de N objets.
• Permutation
=> combinaison + l’ordre des tirages compte!
(les n objets tirées dans un ordre différent constituent un autre
résultat de l’expérience)
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5
Analyse combinatoire
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Règle de comptage par combinaisons (1)
• Le nombre de combinaisons avec n objets sélectionnés
parmi N est :
C nN = ( nN ) =
N!
n!( N − n)!
• Exemple :
Procédure de contrôle de qualité :
⇒ on tire au sort 2 pièces parmi 5.
⇒ Combien de combinaisons de 2 pièces différentes possibles?
C 25 = ( 52 ) =
5!
(5)( 4)(3)(2)(1) 120
=
=
= 10
2!(5 − 2)! (2)(1)(3)( 2)(1) 12
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Règle de comptage par combinaisons (2)
• Dans un échantillon issu d’une population de taille N, la
règle de comptage par combinaisons permet de
déterminer le nombre d’échantillons de taille n qui
peuvent être sélectionnés.
•
Autre exemple :
Soit une loterie où il faut trouver les 6 bons numéros parmi 47.
Quelle est la probabilité d’avoir la bonne combinaison?
C 647 = ( 47
6 ) =
47!
( 47)(46)(45)(44)(43)(42)
=
= 10737573
6!(47 − 6)!
(6)(5)(4)(3)(2)(1)
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6
Autres exemples
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Permutations
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Règle de comptage par permutations
• Une expérience aura toujours plus de permutations que
de combinaisons : pour chaque tirage de n objets, il y a
n ! façons de les ordonner
PnN = n!( nN ) =
N!
( N − n)!
• Si on reprend ainsi l’exemple du contrôle qualité
P25 = 2!( 52 ) =
5!
(5)(4)(3)(2)(1)
=
= (5)(4) = 20
(5 − 2)!
(5)(4)(3)
=> si l’ordre de tirage est pris en compte il y a 20 résultats possibles.
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Théorème du binôme
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Evénements dépendants et probabilités conditionnelles
• Les événements A et B sont dépendants :
L’information sur A influence la probabilité
d’avoir B et vice-versa
• Probabilité conditionnelle :
Probabilité qu’un événement survienne, étant
donné l’information sur un autre événement
Pr(A sachant B) = Pr(A | B)
E.g. Pr(A se réalise SACHANT QUE B est
réalisé)
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Probabilité conditionnelle
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Formule de Bayes
•
Pr(A ∩ B)
Pr(A | B) = ------------Pr(B)
•
Pr(A ∩ B) = Pr(A | B) .Pr(B)
= Pr(B | A) .Pr(A)
•
Si A et B sont indépendants :
=> Pr(A | B) = Pr(A)
=> Pr(A ∩ B) = Pr(A) Pr(B)
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Théorème de multiplication
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Arbre de probabilité
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Formule de Bayes
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Formule de Bayes
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