¨Ubungsaufgaben Organisatorisches

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K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik [email protected]
Übungsaufgaben
11. Übung SS 15: Woche vom 29. 6. - 3. 7. 2015
Heft Ü 2: 17.2, 17.3, 17.6 a), c), e), 17.7 a) -c),
17.9 a), b), 17.11 b), c)
Organisatorisches - Klausurvorbereitung bei
Dr. Herrich:
Ab 11.6.: Jeden Donnerstag, WIL C 307, 16.40 - 18-10 Uhr (6.DS)
Supremum/Infimum einer Funktion f : Rn → R
Die Zahl M heißt Supremum der Funktion f , wenn M die
kleinste obere Schranke von f ist, d.h. wenn
f (x) ≤ M für alle x ∈ D und es eine Folge (xk ) ⊂ D gibt mit
lim f (xk ) = M . Das Supremum von f wird bezeichnet durch
k→∞
sup f (x).
x∈D
Die Zahl m heißt Infimum der Funktion f , wenn m die größte
untere Schranke von f ist, d.h. wenn f (x) ≥ m für alle x ∈ D und
es eine Folge (xk ) ⊂ D gibt mit lim f (xk ) = m. Das Infimum von
k→∞
f wird bezeichnet durch
inf f (x).
x∈D
Maximum/Minimum einer Funktion f : Rn → R
Die Zahl M heißt Maximum der Funktion f , wenn
f (x) ≤ M
für alle x ∈ D
und wenn es ein xM ∈ D gibt mit
f (xM ) = M =: max f (x).
x∈D
Die Zahl m heißt Minimum der Funktion f , wenn
f (x) ≥ m
für alle x ∈ D
und wenn es ein xm ∈ D gibt mit
f (xm ) = m =: min f (x).
x∈D
Existenz von Supremum und Infimum
Falls f nach oben beschränkt ist, d.h. wenn M ∈ R existiert, so dass
f (x) ≤ M
für alle x ∈ D,
so existiert sup f (x) in R, andernfalls gilt sup f (x) = +∞.
x∈D
x∈D
Falls f nach unten beschränkt ist, d.h. wenn m ∈ R existiert, so
dass
f (x) ≥ m
für alle x ∈ D,
so existiert inf f (x) in R, andernfalls gilt inf f (x) = −∞.
x∈D
x∈D
Existenz von Maximum und Minimum
Satz 5.2 (Satz von Weierstraß): Sei D ⊂ Rn eine kompakte
Menge und f : D → R stetig. Dann existieren Maximum und
Minimum der Funktion f (f nimmt auf D Maximum und
Minimum an)
Extremwertaufgaben ohne Nebenbedingungen
auch:
Unrestringierte Optimierungsaufgaben
f (x) → min
Lokale oder relative Extrema
Def. 5.33: Es sei f : D → R und x∗ ∈ D. Falls es eine Umgebung
U ⊂ D von x∗ gibt mit
f (x∗ ) ≤ f (x)
für alle x ∈ U,
so heißt x∗ lokale Lösung (oder lokale Minimumstelle) der
Optimierungsaufgabe
f (x) → min .
f (x∗ ) wird dann als lokales oder relatives Minimum
bezeichnet.
Lokale oder relative Maxima
Die Begriffe lokale Lösung, lokale Maximumstelle, bzw. lokales
oder relatives Maximum werden analog für die
Optimierungsaufgabe
f (x) → max
definiert. Dann muss f (x∗ ) ≥ f (x) für alle x in einer Umgebung U
von x∗ gelten.
Notwendige Optimalitätsbedingung
Satz 5.11: Seien D ⊆ Rn offen und f : D → R partiell
differenzierbar. Ist x∗ ∈ D eine lokale Extremstelle (d.h.
Minimumstelle oder Maximumstelle) von f , dann gilt
∇f (x∗ ) = 0,
d.h. sämtliche partiellen Ableitungen von f verschwinden in x∗ .
Jeder Punkt x∗ mit ∇f (x∗ ) = 0 heißt stationärer Punkt von f .
Hinreichende Optimalitätsbedingung
Satz 5.12: Sei D ⊆ Rn offen, f : D → R zweimal stetig partiell
differenzierbar und ∇f (x∗ ) = 0. Dann ist x∗ eine (isolierte)
• lokale Minimumstelle von f , falls ∇2 f (x∗ ) positiv definit ist,
d.h. falls
h> ∇2 f (x∗ )h > 0
für alle h ∈ Rn \ {0},
• lokale Maximumstelle von f , falls ∇2 f (x∗ ) negativ definit ist,
d.h. falls
h> ∇2 f (x∗ )h < 0
für alle h ∈ Rn \ {0}.
Positive/negative Definitheit von Matrizen
Eine symmetrische Matrix A ∈ Rn×n ist genau dann
• positiv definit, wenn alle ihre Eigenwerte positiv sind,
• negativ definit, wenn alle ihre Eigenwerte negativ sind.

Im Fall n = 2 ist A := 
a
b
b
c

 genau dann
• positiv definit, wenn
detA = ac − b2 > 0
und a > 0
• negativ definit, wenn
detA = ac − b2 > 0
und a < 0
Globale Lösungen
Sei D ⊆ Rn offen und f : D → R. Dann heißt x∗ ∈ D globale
Lösung (oder globale Minimumstelle) der Optimierungsaufgabe
f (x) → min,
wenn
f (x∗ ) ≤ f (x)
für alle x ∈ D.
Sei D ⊆ Rn offen und konvex und f : D → R konvex. Dann ist
jeder stationäre Punkt von f eine globale Lösung der
Optimierungsaufgabe
f (x) → min .
Ist f zweimal stetig partiell differenzierbar, so ist f genau dann
konvex, wenn ∇2 f (x) für jedes x ∈ D positiv semidefinit ist.
Sattelpunkte
Sei D ⊆ Rn offen, f : D → R zweimal stetig partiell differenzierbar
und ∇f (x∗ ) = 0. Falls ∇2 f (x∗ ) positive und negative Eigenwerte
besitzt, so wird x∗ Sattelpunkt der Funktion f genannt.
Illustration Sattelpunkte
+
+
--
2
Niveaulinien der Funktion f : R → R mit f (x, y) :=
Abbildung 5.22: Sattelpunkt bei (x, y) := (0, 0)
x2
a2
−
y2
b2
Numerische Optimierung: Gradientenverfahren
Aufgabe: f (x) → min bei x ∈ Rn mit f ∈ C 1 (Rn ).
S0 Wähle x0 ∈ Rn , k = 0.
S1 Setze dk := −∇f (xk )/|∇f (xk )| (bzw. = −∇f (xk )).
S2 Bestimme die Schrittweite s̄ aus mins∈R+ f (x0 + sdk ).
S3 Setze xk+1 := xk + s̄dk , Abbruchtest (|∇f (xk+1 | < ε) ⇒ Nein:
k := k + 1, GOTO S1.
Bemerkung: dk ist die (lokale) Richtung des steilsten Abstieges“,
”
d.h., Lösung der Richtungssuchaufgabe: min f 0 (xk ; d).
kdk=1
Extemwertaufgaben mit Nebenbedingungen
auch:
Restringierte Optimierungsaufgaben
f (x) → min
bei
x∈G
wobei f : Rn → R und G ⊂ Rn gegeben sind.
Minimalforderungen“: f glatt“ (f ∈ C 2 ),
”
”
G abgeschlossen, zusammenhängend (evtl. beschränkt)
Globales/Lokales (restringiertes) Optimum
Ein Punkt x∗ ∈ G heißt globale Lösung (globale Minimumstelle)
der Optimierungsaufgabe
f (x) → min
bei
x ∈ G,
wenn
f (x∗ ) ≤ f (x)
für alle x ∈ G.
Ein Punkt x∗ ∈ G heißt lokale Lösung (lokale Minimumstelle) der
Optimierungsaufgabe
f (x) → min
bei
x ∈ G,
wenn eine Umgebung U von x∗ existiert, so dass
f (x∗ ) ≤ f (x)
für alle x ∈ G ∩ U.
Beschreibung des zulässigen Bereiches G
Gegeben seien (2x-stetig differenzierbare) Funktionen
g : Rn → Rm
und h : Rn → Rp
Ungleichungsrestriktionen
G := {x ∈ Rn | g(x) ≤ 0}
Gleichungsrestriktionen
G := {x ∈ Rn | h(x) = 0}
Ungleichungs- und Gleichungsrestriktionen
G := {x ∈ Rn | g(x) ≤ 0, h(x) = 0}
Lagrange Funktion
Seien f : Rn → R, g : Rn → Rm und h : Rn → Rp gegeben. Dann
heißt die Funktion L : Rn × Rm × Rp → R mit
L(x, u, v) := f (x) + u> g(x) + v> h(x)
Lagrange Funktion zur Optimierungsaufgabe
f (x) → min
bei
g(x) ≤ 0, h(x) = 0.
Mit
∇x L(x, u, v) := ∇f (x) + ∇g(x)u + ∇h(x)v
wird der Gradient der Lagrange Funktion bzgl. x bezeichnet.
Notwendige Optimalitätsbedingung (Gleichungen)
Die Funktionen f : Rn → R und h : Rn → Rp seien stetig
differenzierbar. Weiter sei x∗ eine lokale Lösung der Aufgabe
f (x) → min
bei
h(x) = 0.
(∗)
Wenn p < n und die Jacobi-Matrix h0 (x∗ ) Vollrang besitzt, dann
existiert ein Vektor v∗ = (v1∗ , . . . , vp∗ )> , so dass

∇ L(x∗ , v∗ ) = 0,
x
(∗∗)
h(x∗ )
= 0.
Der Vektor v∗ (bzw. seine Elemente) heißen Lagrange
Multiplikator(en) und x∗ stationärer Punkt. Die Bedingungen
(∗∗) werden als Lagrangesche Multiplikatorregel oder
Karush-Kuh-Tucker Bedingungen zu (∗) bezeichnet.
Buch, Kapitel 5: Abbildung 5.24
Graph der Funktion f und seine Einschränkung auf die zulässige
Menge
y2
x2
2
f (x, y) := x y, g(x, y) := 4 + 9 − 1 = 0
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
Gradienten von f und g
Ö
Extremwerte von f unter
Nebenbedingung g(x, y) = 0
Extremwerte von f (x, y) := x2 + 3y 2 − 4 unter der
Nebenbedingung x2 − y − 2 = 0

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