Isogeometric finite element methods for shape optimization

Daniela Kornelia Fußeder
Isogeometric finite element methods
for shape optimization
Vom Fachbereich Mathematik der Universität Kaiserslautern zur Verleihung des
akademischen Grades Doktor der Naturwissenschaften (Doctor rerum naturalium,
Dr. rer. nat.) genehmigte Dissertation.
1. Gutachter: Prof. Dr. Bernd Simeon, Technische Universität Kaiserslautern
2. Gutachter: Prof. Dr. Jens Gravesen, Technical University of Denmark
Tag der Disputation: 29. Oktober 2015
D 386
‡”‹…Š–‡ƒ—•†‡”ƒ–Š‡ƒ–‹
Daniela Fußeder
Isogeometric finite element methods
for shape optimization
͵ͺ͸ȋ‹••Ǥ‡…Š‹•…Š‡‹˜‡”•‹–¡–ƒ‹•‡”•Žƒ—–‡”Ȍ
Šƒ‡”‡”Žƒ‰
ƒ…Š‡ʹͲͳͷ
Bibliographic information published by the Deutsche Nationalbibliothek
Š‡‡—–•…Š‡ƒ–‹‘ƒŽ„‹„Ž‹‘–Š‡Ž‹•–•–Š‹•’—„Ž‹…ƒ–‹‘‹–Š‡‡—–•…Š‡
ƒ–‹‘ƒŽ„‹„Ž‹‘‰”ƒˆ‹‡Ǣ†‡–ƒ‹Ž‡†„‹„Ž‹‘‰”ƒ’Š‹…†ƒ–ƒƒ”‡ƒ˜ƒ‹Žƒ„Ž‡‹–Š‡–‡”‡–
ƒ–Š––’ǣȀȀ†„Ǥ†Ǧ„Ǥ†‡Ǥ
—‰ŽǤǣƒ‹•‡”•Žƒ—–‡”ǡǡ‹••ǤǡʹͲͳͷ
‘’›”‹‰Š–Šƒ‡”‡”Žƒ‰ʹͲͳͷ
ŽŽ”‹‰Š–•”‡•‡”˜‡†Ǥ‘’ƒ”–‘ˆ–Š‹•’—„Ž‹…ƒ–‹‘ƒ›„‡”‡’”‘†—…‡†ǡ•–‘”‡†‹
ƒ”‡–”‹‡˜ƒŽ•›•–‡ǡ‘”–”ƒ•‹––‡†ǡ‹ƒ›ˆ‘”‘”„›ƒ›‡ƒ•ǡ‡Ž‡…–”‘‹…ǡ
‡…Šƒ‹…ƒŽǡ’Š‘–‘…‘’›‹‰ǡ”‡…‘”†‹‰‘”‘–Š‡”™‹•‡ǡ™‹–Š‘—––Š‡’”‹‘”
’‡”‹••‹‘‘ˆ–Š‡’—„Ž‹•Š‡”•Ǥ
”‹–‡†‹
‡”ƒ›Ǥ
ͻ͹ͺǦ͵ǦͺͶͶͲǦͶͳʹ͵Ǧͳ
ͲͻͶͷǦͲͺͺʹ
Šƒ‡”‡”Žƒ‰
„ȈǤǤͳͲͳͺͳͺȈǦͷʹͲͳͺƒ…Š‡
Š‘‡ǣͲͲͶͻȀʹͶͲ͹Ȁͻͷͻ͸ǦͲȈ‡Ž‡ˆƒšǣͲͲͶͻȀʹͶͲ͹Ȁͻͷͻ͸Ǧͻ
–‡”‡–ǣ™™™Ǥ•Šƒ‡”Ǥ†‡Ȉ‡Ǧƒ‹Žǣ‹ˆ‘̷•Šƒ‡”Ǥ†‡
Financial support by the European Union within the 7th Framework Programme,
project FP7-2011-NMP-ICT-FoF 284981 “TERRIFIC”, and by the Center for
Mathematical and Computational Modelling (CM )2 in Kaiserslautern is gratefully
acknowledged.
iii
Zusammenfassung
In dieser Arbeit wird Formoptimierung mit Isogeometrischer Analysis (iga) kombiniert und insbesondere ein abstrakter Rahmen im optimize first–discretize then
Ansatz entwickelt. Für die Diskretisierung der Zustandsgleichung verwenden wir
iga und für den Kontrollraum bzw. für die zulässigen Formen benützen wir ebenso
b-splines oder nurbs. Dies bietet uns eine große Klasse von Funktionen, um optimale Designs zu repräsentieren. Für Gradienten-basierte Optimierungsmethoden
brauchen wir sogenannte Formgradienten, die sowohl als Abbruchskriterien als
auch Suchrichtungen dienen und isogeometrisch bestimmt werden. Die numerische
Behandlung erfordert dafür Löser für die partiellen Differentialgleichungen der Zustandsgleichung und Algorithmen zur Optimierung, wodurch Diskretisierungsfehler
entstehen. Daher liegt unser Hauptaugenmerk auf dem abstrakten Rahmen für
isogeometrische Formoptimierung für die spätere Implementierung und Fehleranalyse. Die enge Verbindung zwischen iga und Geometriedarstellungen erlaubt es uns,
Geometrie- und Simulation gleichermaßen mit b-splines zu diskretisieren und zu
verfeinern. Numerische Beispiele belegen dann, dass dieser Ansatz auch praktisch
funktioniert und Fallstudien zeigen die Verwendung von lokaler Verfeinerung.
Abstract
In this thesis we develop a shape optimization framework for isogeometric analysis in
the optimize first–discretize then setting. For the discretization we use isogeometric
analysis (iga) to solve the state equation, and search optimal designs in a space of
admissible b-spline or nurbs combinations. Thus a quite general class of functions
for representing optimal shapes is available. For the gradient-descent method, the
shape derivatives indicate both stopping criteria and search directions and are
determined isogeometrically. The numerical treatment requires solvers for partial
differential equations and optimization methods, which introduces numerical errors.
The tight connection between iga and geometry representation offers new ways of
refining the geometry and analysis discretization by the same means. Therefore,
our main concern is to develop the optimize first framework for isogeometric
shape optimization as ground work for both implementation and an error analysis.
Numerical examples show that this ansatz is practical and case studies indicate
that it allows local refinement.
v
Nothing is lost, everything is transformed.
– Antoine Lavoisier
Danksagung
An dieser Stelle möchte ich allen danken, die mir während der Promotionszeit mit
Rat und Tat beigestanden haben.
Zu vorderst gehört mein Dank Prof. Dr. Bernd Simeon, der mir diese Arbeit in
seiner Forschungsgruppe ermöglicht hat. Erst durch seine Ermutigung, aber auch
Herausforderung, zu experimentieren und Neues zu wagen, bin ich schließlich hier
angekommen.
Mein Dank geht auch an Prof. Dr. Jens Gravesen für seine Bereitschaft zur Begutachtung meiner Arbeit. Die kritische, motivierende und beratende, inspirierende
Begleitung als Mentor auf diesem Weg durch Dr. Anh-Vu Vuong schätze ich besonders.
Einige Puzzlestücke dieser Arbeit haben sich erst durch die Diskussionen zur Formoptimierung mit Prof. Dr. Nicolas Gauger, Prof. Dr. René Pinnau und Dr. Bernhard
Kiniger zusammengefügt; Dr. Utz Wever von Siemens hat mir dazu industrielle
“Verbindungsteilchen” gezeigt. Für diese Blickwinkel und ihre Hilfe danke ich ihnen
ganz herzlich. Bedanken möchte ich mich auch bei Dr. Christian Stinner, der
immer ein offenes Ohr für Diskussionen über Sobolev-Räume hatte, bei Dr. Ronny
Bergmann für seine Geduld bei Gedankenexperimenten und seine LATEX-Tipps, bei
Philip Trautmann für die Skype-Sessions zu Optimal Control und bei Dr. Julia
Vuong, für ihre Unterstützung vor allem in der Abschlussphase. Für die Durchsicht
der Arbeit bin ich ihr, Anh-Vu Vuong und meinen Doktorandenkollegen Dr. Oliver
Weeger und Dr. Anmol Goyal sehr dankbar.
Ich danke auch meinen Kollegen Mané Harutyunyan, Dennis Merkert und Dr.
Stefanie Sonner für die gute Arbeitsatmosphäre.
Meinen Eltern danke ich für ihre dauernde Unterstützung und meiner Schwester,
Veronika Fußeder:
My head just feels in pain
I missed the bus and there’ll be hell today,
I’m late for work again and even if i’m there,
They’ll all imply that i might not last the day
And then you call me and it’s not so bad
(Dido: Thank you)
Kaiserslautern, 30. Juni 2015
Daniela Fußeder
Contents
1. Introduction
2. Mathematical Modeling with PDEs
2.1. Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Model Problems . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Variational Formulation of Elliptic PDEs
2.4. Optimization with PDEs . . . . . . . . .
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
12
15
22
3. Abstract Shape Optimization Framework
3.1. Shape Optimization Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Perturbation of Identity Method . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Transformation Approach for Isogeometric Shape Optimization .
3.4. Lagrange Formalism for Isogeometric Shape Optimization . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
33
34
37
47
57
4. Discretization in Isogeometric Analysis
4.1. B-splines, NURBS and Polynomial Spaces .
4.2. Geometries in Isogeometric Analysis . . . . .
4.3. Galerkin Projection in Isogeometric Analysis
4.4. Shape Calculus in Isogeometric Analysis . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
59
59
70
75
86
5. Shape Optimization Methods
5.1. Nonlinear Optimization Programs . . . . . . . .
5.2. Sobolev Smoothing . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Mesh Update Strategies . . . . . . . . . . . . .
5.4. Decoupling of State and Control Discretization .
5.5. Local Refinement . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
97
97
101
102
106
107
.
.
.
.
6. Computational Framework and Applications
113
6.1. Isogeometric Shape Optimization Algorithms . . . . . . . . . . . . . 114
6.2. Shape Optimization Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7. Conclusion
Appendix
141